1

6. สนามแม่เหลก็สนามแม่เหลก็

ในหวัขอ้ที่ผา่นมาเราไดศ้ึกษาเกี่ยวกบัสนามไฟฟ้าสาํหรับประจุไฟฟ้าที่ไม่เคลื่อนที่ แต่สาํหรับบริเวณรอบๆ ประจุไฟฟ้าที่มีการเคลื่อนที่จะมีสนามแม่เหล็กเขา้มาเกี่ยวขอ้งดว้ย

ถา้ให้ แทนสนามแม่เหลก็ทิศของสนามแม่เหล็กชี้ในทิศขั้วเหนือดงัรูป ซึ่งแสดงส น า ม แ ม่ เ ห ล็ ก ข อ ง แ ท่ งแม่เหลก็โดยใชเ้ขม็ทิศโดยเส้นสนามแม่ เหล็กจะ ชี้จากขั้ วเหนือไปยงัขั้วใต้

รูปเขม็ของเขม็ทิศสามารถใชใ้นการหาทิศของสนามแม่เหลก็

N S

B

2

รูปแสดงการจดัเรียงตวัของสนามแม่เหลก็โดยใชผ้งเหลก็(a) รูปแบบของสนามแม่เหลก็รอบแท่งแม่เหลก็(b) รูปแบบของสนามแม่เหลก็เนื่องจากขั้วแม่เหลก็ต่างชนิดกนั(c) รูปแบบของสนามแม่เหลก็เนื่องจากขั้วแม่เหลก็ชนิดเดียวกนั

(a) (b) (c)

N

N

N

SN

S

3

แม่เหลก็ธรรมดา (หรือ แม่เหลก็ถาวร)

• แม่เหลก็ทุกชนิดมีขั้ว 2 ขั้ว ขั้วหนึ่งคือ ขั้วเหนือ อีกขั้วเป็นขั้วใต้

• แม่เหลก็ขั้วเหมือนกนัเขา้ใกลก้นัมนัจะผลกักนั และขั้วต่างกนัมนัจะดูดกนั

• แม่เหลก็ไฟฟ้ามีหลกัการพื้นฐานเหมือนกนั เพียงแต่วา่โลหะจะเป็นแม่เหลก็ได้

กต็่อเมื่อใส่กระแสไฟฟ้าเขา้ไปเท่านั้น

แม่เหลก็ไฟฟ้า

แม่เหลก็ไฟฟ้าใชไ้ฟจากแบตเตอรี่เป็นแหล่งจ่ายกระแสไฟฟ้า ถา้เราต่อสายไฟใหค้รบวงจรโดยต่อสายไฟจากขั้วบวกไปที่ขั้วลบโดยตรง อิเลก็ตรอนซึ่งเป็นประจุลบจะเคลื่อนที่จากขั้วลบไปที่ขั้วบวกของแบตเตอรี่

• อิเลก็ตรอนไหลจากขั้วลบไปที่ขั้วบวกอยา่งรวดเร็ว

• พลงังานภายในแบตเตอรี่จะหมดอยา่งรวดเร็วดงันั้นไม่ควรต่อสายไฟตรง ควรใชส้วทิซ์

หรือต่อตวัตา้นทานหรือภาระ (เช่น มอเตอร์ หลอดไฟ วทิย)ุใหก้บัแบตเตอรี่ดว้ย

• สนามแม่เหลก็จะเกิดขึ้นรอบสายไฟเมื่อมีกระแสไฟฟ้าไหล สนามแม่เหลก็ที่เกิดขี้นนี้จะ

นาํเราไปสู่ การสร้างแม่เหลก็ไฟฟ้า

4

แม่เหลก็ เป็นสารประกอบของเหลก็และออกซิเจน เป็นวตัถุที่สามารถดูดสารแม่เหลก็บางชนิดได้

คุณสมบัตขิองเส้นแรงแม่เหลก็

1. มีทิศออกจากขั้วเหนือเขา้สู่ขั้วใต้

2. ถา้มีเส้นแรงแม่เหลก็ปริมาณมาก

เส้นแรงแม่เหล็กจะรวมกนัหรือตา้น

กนัออกไป ทาํให้เกิดจุดสะเทินซึ่ง

เป็นจุดที่มีค่าความเขม้สนามแม่เหลก็

เป็นศูนย์

สนามแม่เหลก็ คือบริเวณหรือขอบเขตที่แม่เหลก็ส่งเส้นแรงแม่ เหลก็ที่มีอาํนาจการดึงดูดออกไปไดถ้ึง

ฟลกัซ์แม่เหลก็ คือ ปริมาณเส้นแรงแม่เหล็ก หรือจาํนวนของเส้นแรงแม่เหลก็

ความเข้มสนามแม่เหลก็ B หมายถึงจาํนวนเส้นแรงแม่เหลก็ต่อ หน่วยพื้นที่ที่เสน้แรงแม่เหลก็ตกตั้งฉาก

B = ความเขม้ของสนามแม่เหลก็

(T หรือ Wb/m2 )

= ฟลกัซ์แม่เหลก็ (Wb)

A = พื้นที่ที่ตั้งฉาก (m2) B B A

B

B

5

ต่อสายไฟไว้กับแบตเตอรี่โดยผ่านสวิทซ์หนึ่งอนัดงัรูปวางเข็มทิศไวบ้นสายไฟขณะที่ยงัไม่มีการปิดสวทิซ์ เขม็ทิศจะชี้ไปยงัทิศเหนือตลอดและนิ่งอยู่อย่างนั้น แต่เมื่อเราปิดและเปิดสวิทซ์เป็นจงัหวะเข็มทิศจะสวิงไปมา เพราะกระแสไฟฟ้าทาํให้เกิดสนามแม่เหล็กและผลกัเขม็ทิศออกไปถา้เรากลบัขั้วของแบตเตอรี่และทดลองซํ้ า เขม็ทิศจะถูกผลกัไปอีกดา้นหนึ่ง

สนามแม่เหลก็ที่เกิดขึ้นรอบเสน้ลวด สนามแม่เหลก็เกิดรอบวงของเส้นลวด

แม่เหลก็ไฟฟ้าแบบง่ายๆ

แม่เหลก็ไฟฟ้าเกิดขึ้นไดก้ต็่อเมื่อมีกระแสไฟฟ้าไหลผา่นดงันั้นถา้เกิดไม่มีกระแสไฟฟ้าอาํนาจของสนามแม่เหลก็จะหมดไป

เพราะวา่สนามแม่เหลก็รอบเส้นลวดเป็นวงกลมและมีทิศตั้งฉากกบัเส้นลวด เราจึงสามารถเพิ่มความเขม้ของสนามแม่เหล็กได้โดยขดเสน้ลวดใหเ้ป็นวง

ถา้เราเพิ่มขดลวดขึ้นอีกวง สนาม

แม่เหลก็จะเพิ่มความเขม้ขึ้น ยิง่มีวง

ขดมากสนามแม่เหลก็ยิง่มากตาม

สนามแม่เหล็กที่เกิดขึ้น

เป็นรูปวงกลมล้อมรอบ

เส้นลวด สนามแม่เหลก็

จะอ่อนลงเมื่ออยู่ห่างจาก

เ ส้ น ล วด ทิ ศท า ง ขอ ง

สนามแม่เหลก็มีทิศทางตั้ง

ฉากกบัเสน้ลวดเสมอ

6

เราสามารถใหน้ิยามสนามแม่เหลก็ ที่จุดหนึ่งๆไดใ้นเทอมของแรงแม่เหลก็ ซึ่ง

สนามกระทาํต่ออนุภาคประจุ q ซึ่งเคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว โดยในเวลาเริ่มตน้สมมติวา่

ไม่มีสนามไฟฟ้าและสนามแรงโนม้ถ่วง

-• ขนาดของแรงแม่เหลก็ ที่กระทาํต่ออนุภาคเป็นสดัส่วนตรงกบัประจุ q และความเร็ว v ของอนุภาค

• ขนาดและทิศทางของ ขึ้นอยูก่บัความเร็วของอนุภาคและขนาดและทิศทางของสนามแม่เหลก็

• เมื่ออนุภาคมีประจุเคลื่อนที่ขนานกบัเวกเตอร์สนามแม่เหลก็แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่ออนุภาคเป็นศูนย์

• เมื่อเวกเตอร์ความเร็วของอนุภาคทาํมุม กบัสนามแม่เหลก็ แรงแม่เหลก็จะกระทาํในทิศทางที่

ตั้งฉากกบั และ นัน่คือ จะตั้งฉากกบัระนาบที่เกิดจาก และ

• แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อประจุบวกมีทิศตรงขา้มกบัแรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อประจุลบ ซึ่งเคลื่อนที่ใน

ทิศเดียวกนั

• ขนาดของแรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่ออนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นสดัส่วนตรงกบั

เมื่อ เป็นมุมที่เวกเตอร์ความเร็ว v ของอนุภาคกระทาํต่อทิศของ B

-

การทดลองกบัประจุทดสอบที่เคลื่อนที่ในสนามแม่เหลก็ใหผ้ลดงันี้

BF

B

sin

0

BF

BF

B

B

v

vv B

BF

7

ดงันั้น สามารถเขียนแรงแม่เหลก็ไดด้งันี้ BvqF B

เมื่อทิศของ FBอยูใ่นทิศของ ถา้ q เป็นบวกและและจะมีทิศตรงขา้ม ถา้ q เป็นลบ

ทิศของ FB จะตั้งฉากกบั v และ B

Bv

ใชก้ฎมือขวาหาทิศของ โดยการชี้นิ้วทั้งสี่ของมือขวาไปในทิศของ v แลว้วนไปตามทิศของ B

ทิศของนิ้วหวัแม่มือคือทิศของ

Bv

Bv

จากสูตร F จะมีค่าเป็นศูนยเ์มื่อ v ขนานกบั B ( = 0o หรือ 180o ) และมีค่าสูงสุดเป็น qvB เมื่อ v ตั้งฉากกบั B ( = 90o )

รูป (a) กฏมือขวาสาํหรับกาํหนดทิศของแรงแม่เหลก็

ที่กระทาํต่ออนุภาคที่มีประจุ q เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว ใน

สนามแม่เหลก็ ทิศของ มีทิศตามนิ้วหวัแม่มือ

(b) ถา้ q เป็นบวก ชี้ขึ้น (c) ถา้ q เป็นลบ ชี้ลง

Bv

v

B

BF

BF

รูปทิศของแรงแม่เหลก็ ซึ่งกระทาํต่ออนุภาคมีประจุที่เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว v ในสนามแม่เหลก็ B (a) แรงแม่เหลก็ตั้งฉากกบั และ (b) แรงทางแม่เหลก็ ซึ่งมีทิศตรงขา้มกนักระทาํต่ออนุภาคมีประจุซึ่งมีประจุตรงขา้มกนั โดยอนุภาคทั้งสองเคลื่อนที่ดว้ยความเร็วเดียวกนัในสนามแม่เหลก็

BF

BF B

v

BvqF B

BF

q

B

v

+-

B

BF

BF

vv

(a) (b)

8

ขอ้แตกต่างที่สาํคญัระหวา่งแรงไฟฟ้าและแรงแม่เหลก็มีดงันี้

แรงไฟฟ้า แรงแม่เหลก็

1. แรงไฟฟ้าอยูใ่นทิศของ

สนามไฟฟ้าเสมอ

2. แรงไฟฟ้าที่กระทาํต่ออนุภาค

ไฟฟ้าไม่ขึ้นกบัความเร็วของ

อนุภาค

3. แรงไฟฟ้าทาํใหเ้กิดงานใน

การยา้ยประจุไฟฟ้า

)EqF( E

1. แรงแม่เหลก็ตั้งฉากกบั

สนามแม่เหลก็เสมอ

2. แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อ

อนุภาคไฟฟ้าจะเกิดขึ้นได้

เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่

3. แรงแม่เหลก็ไม่ก่อใหเ้กิด

งานเมื่ออนุภาคไฟฟ้ายา้ยที่

)B x vqF( B

9

qBmvr

• ถา้อนุภาคไฟฟ้ามวล m ที่มีประจุ q เคลื่อนที่ในสนามแม่เหลก็ที่

สมํ่าเสมอ B และความเร็วตน้ v มีทิศตั้งฉากกบัสนามแม่เหลก็

แลว้อนุภาคจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยระนาบการเคลื่อนที่จะ

ตั้งฉากกบัทิศของสนามแม่เหลก็ โดยวงโคจรมีรัศมี r ตามสมการ

ความถี่เชิงมุมของการหมุนของอนุภาคนี้จะได้

v qB r m

2mvqvB r

10

ตวัอยา่ง An electron moving in a magnetic fieldอิเลก็ตรอนในหลอดภาพโทรทศัน์เคลื่อนที่ไปยงัดา้นหนา้ของหลอด ดว้ยความเร็ว8x106 m/s ตามแนวแกน x ดงัรูป รอบๆ คอหลอดภาพเป็นขดลวดซึ่งทาํใหเ้กิดสนามแม่เหลก็ขนาด 0.025 T มีทิศทาํมุม 60o กบัแกน x และวางตวัอยูใ่นระนาบ xy จงคาํนวณหาแรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่ออิเลก็ตรอนและความเร่งของอิเลก็ตรอน

วธิีทาํ

ขนาดของแรงแม่เหลก็

sinvBqFB

N108.2)60)(sin025.0)(108)(106.1(

14

o619

เพราะวา่ v x B มีทิศตามแนวแกน z (จากกฎมือขวา) และประจุมีค่าเป็นลบ ดงันั้น FB อยู่ในทิศแกน –z

ความเร่งของอิเลก็ตรอนคือ มีทิศตามแนวแกน -z2163114

B s/m101.31011.9108.2

mFa

11

แรงแม่เหลก็กระทาํต่อตวันาํที่มีกระแสไหล

ลวดตวันาํที่มีกระแสไฟฟ้าไหลอยู่ในบริเวณที่มีสนามแม่เหล็กจะไดร้ับแรงแม่เหล็กดว้ย เพราะว่ากระแสไฟฟ้าคือกลุ่มอนุภาคที่มีประจุที่เคลื่อนที่ ดงันั้นแรงลพัธ์ที่กระทาํโดยสนามแม่เหลก็ต่อลวดตวันาํคือผลรวมแบบเวกเตอร์ของแรงแต่ละแรงที่กระทาํต่ออนุภาคที่มีประจุ ทาํใหเ้กิดกระแสไฟฟ้า แรงที่

กระทาํต่ออนุภาคจะส่งถ่ายใหก้บัเสน้ลวดเมื่ออนุภาคชนกบัอะตอมของเสน้ลวด

เราสามารถทาํการทดลองให้เห็นว่าแรงทางแม่เหล็กกระทาํต่อลวดตวันาํที่มีกระแสไหลไดโ้ดยการแขวนลวดระหว่างขั้วของแม่เหลก็ดงัรูป สนามแม่เหลก็พุ่งเขา้หาหนา้กระดาษในบริเวณพื้นที่วงกลมเมื่อกระแสในเสน้ลวดเป็นศูนยเ์สน้ลวดจะวางตวัอยูใ่นแนวดิ่ง ดงัรูป (a) เมื่อมีกระแสไหลขึ้นในแนวดิ่งดงัรูป ( b) เส้นลวดจะถูกผลกัไปทางดา้นซา้ยถา้ทาํการกลบัทิศกระแสดงัรูป (c) ลวดจะถูกผลกัไปทางดา้นขวา

รูปเสน้ลวดแขวนในแนวดิ่งขนานกบัหนา้ของแท่งแม่เหลก็ B ที่มีทิศพุง่เขา้หาแผน่กระดาษ(a) ไม่มีกระแส ( I = 0 ) (b) กระแส I ไหลขึ้น เสน้ลวดจะถูกผลกัไปทางดา้นซา้ยมือ(c ) กระแส I ไหลลง เสน้ลวดจะถูกผลกัไปทางดา้นขวามือ

12

รูปส่วนของลวดตวันาํที่มีกระแสไหล

วางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็ B

เราสามารถอธิบายไดโ้ดยพิจารณาส่วนของลวดความยาว L มีพื้นที่หนา้ตดั A มีกระแส I วางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ B ดงัรูป แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อประจุq ที่เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว v คือ qv x B ในการหาแรงรวมที่กระทาํต่อเส้นลวดทาํได้โดยคูณแรงที่กระทาํต่อประจุ qv x B กบัจาํนวนประจุในส่วนของเส้นลวดนั้นๆเนื่องจากปริมาตรของส่วนของเส้นลวดเป็น AL จาํนวนของประจุในแต่ละส่วนเลก็ๆนี้คือ nAL เมื่อ n คือจาํนวนประจุต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร ดงันั้นแรงแม่เหลก็รวมที่

กระทาํต่อเสน้ลวดยาว L คือ nAL )Bv(qF B

เมื่อ L คือเวกเตอร์ที่ชี้ในทิศการไหลของกระแส I มีขนาดเท่ากบัความยาว L ของเส้นลวดแต่สูตรนี้ใช้ได้กับส่วนของเส้นลวดตรงที่วางตัวอยู่ในสนามแม่เหล็กสมํ่าเสมอเท่านั้น

เมื่อกระแสในเส้นลวดคือ I = nqvA ดงันั้น B x LI F B

13

รูปส่วนของเส้นลวดรูปทรงใดๆ มี

กระแส I อยูใ่นสนามแม่เหลก็ แรง

แม่เหลก็ที่กระทาํบนส่วน ใดๆ คือ

ทิศพุง่ออกจากกระดาษBsId

B

sd

ต่อไปจะพิจารณาส่วนของเส้นลวดที่มีลกัษณะใดๆ ที่มีภาคตดัขวาง

สมํ่าเสมอวางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็ ดงัรูป สนามแม่เหลก็ ที่

กระทาํต่อส่วนของเสน้ลวด ในกระบวนการเป็นไปดงัสมการ

โดยสมมติให ้ มีทิศทางพุง่ออกจากกระดาษดงัรูป

BsIdFd B

B

sd

BFd

B

sdI

14

แรงจะมีค่าสูงสุดเมื่อ ตั้งฉากกบักระแส และ

แรงจะมีค่าเป็นศูนยเ์มื่อ ขนานกบักระแส

แรงทั้งหมดที่กระทาํต่อเส้นลวด หาไดจ้ากการอินทิเกรทสมการนี้

ตลอดความยาวลวด

เมื่อ a และ b แสดงตาํแหน่งปลายของเส้นลวด ผลที่ไดจ้ากการ

อินทิเกท คือขนาดของสนามแม่เหลก็และทิศทางของสนามที่กระทาํ

ต่อ

Bsd IF b

aB

B

B

sd

15

พจิารณา 2 กรณพีเิศษซึ่งมสีนามแม่เหลก็ทีค่งทีท่ั้งขนาดและทศิ

b

a

sd เนื่องจากปริมาณ แสดงถึงผลรวมแบบเวกเตอร์ของทุกๆ ความยาว

ในช่วง a ถึง b ถา้ใหผ้ลรวมที่ไดเ้ป็นเวกเตอร์ มีทิศชี้จาก a ไปยงั b

สมการนี้จะกลายเป็น

L

B L I F B

รูป เส้นลวดโคง้มีกระแส I ในสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ

แรงแม่เหล็กสุทธิที่กระทาํต่อเส้นลวดโคง้เทียบเท่ากบั

แรงที่กระทาํกบัเส้นลวดตรง L/ ที่เชื่อมระหวา่งปลาย

ของเส้นลวดโคง้

กรณทีี ่1 เส้นลวดโคง้มีกระแส I ไหลผา่นวางอยู่ในสนามแม่เหล็กสมํ่าเสมอ แรงสุทธิ

ที่กระทาํต่อเส้นลวดโคง้เทียบเท่ากบัแรง

ที่กระทาํกบัเส้นลวดตรง ที่เชื่อม

ระหว่างปลายของเส้นลวดโค้ง ดังรูป

เนื่องจากสนามไฟฟ้ามีค่าคงที่สามารถดึง

ออกจากเครื่องหมายอินทิเกรตออก

จากสมการได ้ Bsd IFb

aB

L

B

B

B

L

aI

bsd

16

กรณทีี ่2

0 Bsd IF B ดงันั้น สรุปไดว้า่

เสน้ลวดโคง้เชื่อมต่อกนัเป็นลูปปิดมีกระแสไฟฟ้า I ไหลผา่นและว า ง ตั ว อ ยู่ ใ นสน ามแ ม่ เ ห ล็ กสมํ่าเสมอ ดงัรูป จะไดว้า่

แรงแม่ เหล็ก สุท ธิจะ เ ป็น ศูนย ์เ นื่องจากผลรวมแบบเวกเตอร์ตลอดเสน้ทางปิดจะมีค่าเป็นศูนย ์

B

I

sd

17

ตวัอยา่ง Force on a semicircular conductor เส้นลวดโคง้เป็นครึ่งวงกลมปิด รัศมี R มีกระแสไฟฟ้า I ไหลผา่นและวางตวัอยูส่นามแม่เหลก็สมํ่าเสมอในระนาบ xy โดยสนามแม่เหลก็มีทิศในแกนบวก y ดงัรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อเสน้ลวดในส่วนที่เป็นเส้นตรง และในส่วนที่เป็นเส้นโคง้

วธิีทาํ

แรง กระทาํต่อเส้นลวดที่เป็นเส้นตรง

มีขนาด F1= ILB = 2IRB เพราะวา่

L = 2R เนื่องจากเส้นลวดตั้งฉากกบั

สนาม ทิศทางของ จะพุง่ออกจาก

กระดาษ เพราะว่า มีทิศตามแกน

บวก z ซึ่งพุง่ออกจากกระดาษดงัรูป

BL

1F

B

1F

B

R

I

d

sd

รูปแรงสุทธิที่กระทาํต่อเส้นลวดรูปครึ่ง

วงกลมปิดซึ่งมีกระแส I มีค่าเป็นศูนย์

18

ในการหาแรงรวม F2 ที่กระทาํต่อส่วนโคง้ทาํไดโ้ดยการอินทิเกรตสมการดา้นบนเพื่อทาํการรวมส่วนของความยาวเลก็ๆ ds โดยที่ทิศทางของแรงที่กระทาํต่อส่วนต่างของของลวดมีทิศพุ่งเขา้ไปในกระดาษ ดงันั้นแรงลพัธ์ F2 บนเส้นลวดมีทิศพุ่งเขา้ไปในกระดาษเช่นกนั ทาํการอินทิเกรต dF2 ในช่วง ถึง จะไดว้า่

00

2 cos IRBd sinIRBF

2IRB1)1( IRB0) cos π(cos IRB

เนื่องจาก F2 ซึ่งมีขนาดเป็น 2IRB มีทิศพุง่ออกและF1 ซึ่งมีขนาดเป็น 2IRB มีทิศพุง่เขา้ ดงันั้นแรงสุทธิที่กระทาํต่อลูปปิด (close loop) เป็นศูนย์

ในการหาแรง F2 ที่กระทาํต่อส่วนโคง้ ทาํไดโ้ดยแสดง dF2 ในรูปของส่วนของความยาว ds ดงัรูป ถา้ คือมุมระหวา่ง B และ ds ขนาดของ dF2 คือ

dssinIBsd IdF2 B

เนื่องจาก s = R จะไดว้า่ ds = Rd ทาํการอินทิเกรตจะไดว้า่

d sinIRBdF2

0

19

ทอร์คในวงปิดซึ่งวางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ

พิจารณาวงปิดรูปสี่เหลี่ยมมีกระแส I วางตวัในสนามแม่เหล็กสมํ่ าเสมอซึ่งมีทิศขนานไปกับระนาบของวงปิด ดงัรูป (a) พบว่าไม่มีแรงแม่เหล็กกระทาํต่อเส้นลวดดา้น 1 และ 3 เพระว่าเสน้ลวดจะขนานไปกบัสนามดงันั้น 0BL

อยา่งไรกต็ามมีแรงแม่เหลก็กระทาํต่อดา้นที่ 2 และ 4 เพราะวา่ดา้นนี้วางตวัตั้งฉากกบัสนามแม่เหลก็ แรงแม่เหลก็มีขนาดเป็น IaBFF 42

รูป (a) overhead view ของลูปกระแสสี่เหลี่ยมในสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ ไม่มีแรงกระทาํต่อดา้นที่ 1 และ 3 เพราะวา่ดา้นเหล่านี้ขนานกบั B แรงกระทาํต่อดา้น 2 และ 4 (b) Edge view ของลูปแสดงทิศ F

1และ F

1ชี้ลง แรงเหล่านี้ทาํ

ใหเ้กิดทอร์คซึ่งทาํใหลู้ปหมุนตามเขม็นาฬิกา

1

2

3

4

B

I

a

b

(a)

2 4• x•

(b)

B 0

b/22F

4F

20

ทิศทางของ F2

ซึ่งเป็นแรงที่กระทาํต่อเส้นลวด 2 พุ่งออกจาก

หนา้กระดาษ แรง F4

ที่กระทาํต่อเส้นลวด 4 มีทิศพุง่เขา้ไปในกระดาษ

ดงัรูป (a) ดงันั้นสามารถเขียนรูปแบบของแรง F2 และ F4 ไดด้งัรูป

(b) ถา้วงปิดมีจุดหมุนที่ O วงปิดสามารถหมุนรอบ O แบบตามเขม็

นาฬิกา (มองจากดา้นที่ 3 ) โดยมีขนาดของทอร์คสูงสุดเป็น max

max 2 4b b b b F F (IaB) (IaB) IabB 2 2 2 2

เมื่อแขนโมเมนตมัรอบจุด O เป็น b/2 สาํหรับแรงแต่ละแรงและ

เนื่องจากพื้นที่ที่ปิดลอ้มวงปิดเป็น A = ab

ดงันั้น ทอร์คสูงสุด คือ IAB max

21

รูป ลูปกระแสสี่เหลี่ยมในสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ (a) เวกเตอร์พื้นผวิ A ตั้ง

ฉากกบัระนาบของลูปทาํมุม กบัสนาม แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อดา้น 2

และ 4 หกัลา้งกนั แรงที่กระทาํต่อดา้น 1 และ 3 ทาํใหเ้กิดทอร์คต่อลูป

(b) Edge view ของลูป

(a) (b)

1

23

4

2F

4F

B

A1F

3F

0a

b

1F

•

3F

1

3x

B

A

2a

sin2a 0

22

ค่าทอร์คสุทธิ์ที่สูงที่สุดจะเกิดขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กขนานกบัระนาบของวงปิดต่อไป

สมมติวา่สนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอทาํมุม < 90° กบัเส้นที่ตั้งฉากกบัระนาบของวงปิด

(A) ดงัรูป (a) เพื่อความสะดวกสมมติให้ B ตั้งฉากกบัดา้น 1 และ 3 จะเห็นวา่แรง F2และ F

4ที่กระทาํต่อดา้นที่ 2 และ 4 หกัลา้งกนัเนื่องจากผา่นจุดกาํเนิดไม่ทาํใหเ้กิดทอร์ค

แรง F1และ F

3ทาํใหเ้กิดทอร์ค

จากรูป (b) พบวา่แขนโมเมนตร์อบจุด O ของแรง F1และ F

3คือ (a/2) sin เนื่องจากวา่

ดงันั้นทอร์คสุทธิ์รอบจุด O มีขนาด IbBFF 31 sin

2

aFsin

2

aF 31

sinIAB

sinIabBsin2

aIbBsin

2

aIbB

เมื่อ A = ab คือพื้นที่วงปิด ผลที่ไดแ้สดงใหเ้ห็นวา่ทอร์คสูงสุดมีค่าเป็น IAB เมื่อสนามตั้งฉากกบั

เส้นปรกติ(เส้นที่ตั้งฉากกบัระนาบของวงปิด) ( = 900) และจะมีค่าเป็นศูนยเ์มื่อสนามเส้นปกติที่ตั้งฉากกบัระนาบ ( = 00)

23

สูตรที่ใชแ้สดงทอร์คที่กระทาํต่อวงปิดที่วางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็สมํ่าเสมอ B คือ

BAI

เมื่อ A คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกบัระนาบของวงปิดมีขนาดเท่ากบัพื้นที่ของวงปิด

โดยสามารถหาทิศของ A ไดโ้ดยใชก้ฎมือขวาโดยทาํการวนนิ้วทั้งสี่ไปตาม

ทิศของกระแสในวงปิด นิ้วหวัแม่มือจะชี้ในทิศของ A

ผลคูณ IA นิยามวา่เป็นไดโพลโมเมนตแ์ม่เหลก็ (magnetic dipole moment )

หรือเรียกสั้นๆ วา่ magnetic moment ของวงปิด IA

หน่วย SI ของไดโพลแม่เหลก็คือ ampere-meter2 (A.m2) ดงันั้น ทอร์คที่กระทาํ

กบัวงปิดซึ่งมีกระแสไหลผา่นซึ่งวางตวัอยูใ่นสนามแม่เหลก็ B คือ

B

24

ถา้ขดลวดประกอบดว้ยลวด N เส้น แต่ละเส้นมีกระแสและพื้นที่เท่ากนั

ไดโพลโมเมนตแ์ม่เหลก็รวม (the total magnetic dipole moment) คือ

BB coilloop NNจากความรู้ที่ผ่านมาพบว่าพลังงานศักย์ของไดโพลไฟฟ้าใน

สนามไฟฟ้ามีค่าเป็น U = -P.E ดงันั้น พลงังานศกัยข์องไดโพล

แม่เหลก็ที่วางตวัในสนามแม่เหลก็มีลกัษณะที่คลา้ยกนัคือ

U B

จากสูตรพบวา่ไดโพลแม่เหลก็มีพลงังานตํ่าสุดเป็น เมื่อ

ชี้ไปในทิศทางเดียวกบั B และจะมีค่าสูงสุดเป็น เมื่อ

ชี้ไปในทิศทางตรงขา้มกบั B

minU B

maxU B

25

ตวัอย่าง The magnetic dipole moment of a coil

(a) จงคาํนวณหาขนาดของโมเมนตไ์ดโพลแม่เหลก็(b) จงหาขนาดของทอร์คที่กระทาํต่อขดลวด

ขดลวดสี่เหลี่ยมขนาด 5.4 cm 8.5 cm มีจาํนวนขดลวด 25 ขด และมีกระแสไฟฟ้าขนาด 15 mA ไหลผา่น ใหส้นามแม่เหลก็ขนาด 0.35 T ในทิศทางที่ขนานกบัระนาบของขดลวด

วธิีทาํ

3 3 2coil NIA 25 15 10 (0.054) (0.085) 1.72x10 A m

เพราะวา่ ตั้งฉากกบั จะไดว้า่

(a) ขนาดของโมเมนตไ์ดโพลแม่เหลก็

(b) ขนาดของทอร์คที่กระทาํต่อขดลวด

mN10 x 02.6)35.0)(1072.1(B 43coil

แบบฝึกหดั จงคาํนวณขนาดของทอร์คที่กระทาํต่อขดลวดซึ่งทาํมุม (a) 60o (b) 00 กบั

ตอบ (a) (b) 0m.N1021.5 4

coil

B

26

ตวัอย่าง Satellite attitude control

ดาวเทียมส่วนใหญ่จะใชข้ดลวดที่เรียกว่า torquersในการปรับวงโคจรโดย

อุปกรณ์นี้จะเกิดอนัตรกิริยากบัสนามแม่เหลก็โลกทาํใหเ้กิดทอร์คต่อดาวเทียม

ในทิศแกน x y และ z ในการใชป้ระโยชน์ของระบบ attitude control โดยใช้

ไฟฟ้าที่ผลิตจากเซลแสงอาทิตย์ ถา้เครื่องมือมีไดโพลโมเมนตแ์ม่เหลก็เป็น

250 A.m2 จงหาค่าทอร์คที่มากที่สุดที่ใหก้บัดาวเทียม เมื่อ torquers ทาํงาน

ขณะที่สนามแม่เหลก็โลกมีขนาด 3.0x10-5 T

วธิีทาํ

ทอร์คสูงสุดเมื่อโมเมนตไ์ดโพลแม่เหลก็ของ torquer

ตั้งฉากกบัสนามแม่เหลก็โลก

mN10x5.7)100.3)(250(B 35max

27

• เมื่อกระแสไฟฟ้าไหลผ่านตวันาํที่มีลกัษณะเป็นแผ่นแบนราบที่วางอยู่ใน

สนามแม่เหลก็ B จะเกิด ปรากฏการณ์ฮอล (Hall Effect) และวดัความต่างศกัย์

ตามขวางในแถบตวันาํซึ่งเรียกวา่ ศกัยไ์ฟฟ้าของฮอล (Hall Voltage) ไดเ้ป็น

VH = vdBd

ให ้ n เป็นจาํนวนพาหะไฟฟ้าต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร และ A เป็นพื้นที่หนา้ตดัของแถบตวันาํแลว้จะได้

nqAIBdV H

เมื่อใหพ้ื้นที่ A = td เมื่อ t เป็นความหนา และ d เป็นความกวา้งของแถบตวันาํแบน แลว้จะได้

nqtIBV H

และสมัประสิทธิ์ของฮอล (Hall Coefficient) จะได้ BtV

nqIR HH

(เพิ่มเติม)

28

สรุป

BF qv x B

ขนาดของแรงนี้คือ FB = qvB sin

• แรงแม่เหลก็ที่กระทาํบนประจุ q ที่เคลื่อนที่ดว้ยความเร็ว ในสนามแม่เหลก็ คือv B

เมื่อ เป็นมุมระหวา่ง และ v B

B มีหน่วยเป็น Wb/m2 เรียกวา่เทสลา (tesla; T) T = Wb/m2 = N/A.m

• ในกรณีที่อนุภาคประจุไฟฟ้า q เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว เข้าไปในบริเวณที่มี ทั้ งสนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็ก แรงลัพธ์ ที่กระทาํบนประจุ q หา ไดต้ามสมการลอเรนซ์ คือ

vB

FE

E BF F + F

6. สนามแม่เหลก็

F qE qv x B

29

B F I L x B

• ตวันาํยาว L ที่มีกระแสไฟฟ้าไหล I และวางอยูใ่นสนามแม่เหลก็ที่ สมํ่าเสมอ ตวันาํนี้จะถูกสนามแม่เหลก็กระทาํดว้ยแรง B

BdF I ds x B

• สาํหรับตวันาํเส้นลวดใดๆ ที่มีกระแส I ไหลผา่นและวางอยูใ่นสนาม แม่เหลก็ที่สมํ่าเสมอ แรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อความยาวนอ้ยๆ

ของลวดตวันาํ คือ

B

เมื่อ คือเวกเตอร์ที่ชี้ในทิศการไหลของกระแสไฟฟ้า I

มีขนาดเท่ากบัความยาว L ของตวันาํ

L

sd

และแรงลพัธ์ ที่สนามแม่เหลก็ กระทาํบนลวดตวันาํทั้งหมด คือB

BF

b

Ba

F I ds x B Note ถา้เป็นเสน้ลวดโคง้เชื่องต่อกนั

เป็นลูปปิด แรงแม่เหลก็จะเป็นศูนย์

B F I ( ds) x B = 0

30

• โมเมนตแ์ม่เหลก็ ของวงกระแส คือ มีหน่วยเป็น A.m2

เมื่อ คือพื้นที่ของวงกระแสและมีทิศตั้งฉากกบัระนาบของวงกระแส

μ AI μ

A

• ทอร์ก ที่กระทาํบนวงกระแส เมื่อวงกระแสวางอยูใ่นสนามแม่เหลก็ที่

สมํ่าเสมอ เป็น

B x B

qBmvr

• ถา้อนุภาคไฟฟ้ามวล m ที่มีประจุ q เคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กที่

สมํ่าเสมอ B และความเร็วตน้ v มีทิศตั้งฉากกบัสนามแม่เหลก็แลว้

อนุภาคจะเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยระนาบการเคลื่อนที่จะตั้งฉากกบัทิศ

ของสนามแม่เหลก็ โดยวงโคจรมีรัศมี r เป็น

ความถี่เชิงมุมของการหมุนของอนุภาคนี้จะได้ rv

mqB

31

• เมื่อกระแสไฟฟ้าไหลผ่านตวันาํที่มีลกัษณะเป็นแผ่นแบนราบที่วางอยู่ใน

สนามแม่เหลก็ B จะเกิด ปรากฏการณ์ฮอล (Hall Effect) และวดัความต่างศกัย์

ตามขวางในแถบตวันาํซึ่งเรียกวา่ ศกัยไ์ฟฟ้าของฮอล (Hall Voltage) ไดเ้ป็น

VH = vdBd

ให ้ n เป็นจาํนวนพาหะไฟฟ้าต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร และ A เป็นพื้นที่หนา้ตดัของแถบตวันาํแลว้จะได้

nqAIBdV H

เมื่อใหพ้ื้นที่ A = td เมื่อ t เป็นความหนา และ d เป็นความกวา้งของแถบตวันาํแบน แลว้จะได้

nqtIBV H

และสมัประสิทธิ์ของฮอล (Hall Coefficient) จะได้ BtV

nqIR HH

32

แบบฝึกหัด

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

1. โปรตอนตวัหนึ่งเคลื่อนที่ดว้ยความเร็วขนาด 4x106 m/s ผา่นสนามแม่เหลก็

ซึ่งมีความเขม้ 1.7 T เกิดแรงแม่เหลก็กระทาํต่อโปรตอนขนาด 8.2x10-13 N

จงหามุมระหวา่งความเร็วของโปรตอนและสนามแม่เหลก็

2. ลูกบอลโลหะมีประจุสุทธิ 5 C ถูกปาออกไปทางหนา้ต่างในแนวระดบัดว้ยอตัราเร็ว 20 m/s เมื่อหนา้ต่างมีความสูงเหนือพื้นดิน 20 m สนามแม่เหลก็มี

ความเขม้สมํ่าเสมอ 0.01 T ในทิศตั้งฉากกบัระนาบของทางเดินลูกบอลโลหะ

จงหาขนาดของแรงแม่เหลก็ที่กระทาํต่อลูกบอลโลหะก่อนกระทบพื้นดิน

3. เป็ดตวัหนึ่งบินไปทางทิศเหนือดว้ยความเร็ว 15 m/s ผา่นเมืองแอตแลนตา

ซึ่งมีความเขม้สนามแม่เหลก็โลก 5x10-5 T ในทิศทาํมุม 60o ใตเ้ส้นระดบั

เหนือใต ้ ถา้ตวัเป็ดมีประจุไฟฟ้าสุทธิ 0.04 C แรงแม่เหลก็โลกที่กระทาํต่อตวัเป็ดเป็นเท่าไร

33

เอกสารประกอบการค้นคว้า

ภาควชิาฟิสิกส์. เอกสารประกอบการสอนฟิสิกส์เบื้องตน้, คณะวทิยาศาสตร์ มหาวทิยาลยันเรศวรภาควชิาฟิสิกส์. ฟิสิกส์2, คณะวทิยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิยาลยัD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,

ISBN: 0-13-666769-4, 1991.D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed.,

John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htmhttp://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.phphttp://www.physics.sci.rit.ac.th