chaotic dynamics of stellar spin in binaries and the...
TRANSCRIPT
Chaotic Dynamics of Stellar Spin in Binaries and theProduction of Misaligned Hot Jupiters
Natalia I. Storch1, Kassandra R. Anderson1, and Dong Lai11Center for Space Research, Department of Astronomy, Cornell University, Ithaca, NY 14853
Many exoplanetary systems containing hot Jupiters are observed to have highlymisaligned orbital axes relative to the stellar spin axes. Kozai-Lidov oscil-lations of orbital eccentricity/inclination induced by a binary companion, inconjunction with tidal dissipation, is a major channel for the production of hotJupiters. We demonstrate that gravitational interaction between the planetand its oblate host star can lead to chaotic evolution of the stellar spin axisduring Kozai cycles. As parameters such as the planet mass and stellar rota-tion period vary, periodic islands can appear in an ocean of chaos, in a mannerreminiscent of other dynamical systems. In the presence of tidal dissipation,the complex spin evolution can leave an imprint on the final spin-orbit mis-alignment angles.
About 1% of solar-type stars host giant planets with periods of ∼ 3 days (1). These “hotJupiters” could not have formed in situ, given the large stellar tidal gravity and radiation fieldsclose to their host stars. Instead, they are thought to have formed beyond a few astronomicalunits (AU) and migrated inward. However, the physical mechanisms of the migration remainunclear. In the last few years, high stellar obliquities have been observed in many hot Jupitersystems, i.e., the spin axis of the host star and the planetary orbital angular momentum axis aremisaligned (2–7). Planet migration in protoplanetary disks (8,9) is usually expected to producealigned orbital and spin axes [however, see (10–14)], so the observed misalignment suggeststhat other formation channels may be required, such as strong planet-planet scatterings (15,16),secular interactions/chaos between multiple planets (17,18), and the Kozai-Lidov effect inducedby a distant companion (19–22). Other observations suggest that multiple formation channelsof hot Jupiters may be required (23–25).
In the “Kozai+tide” scenario, a giant planet initially orbits its host star at a few AU and ex-periences secular gravitational perturbations from a distant companion (a star or planet). Whenthe companion’s orbit is sufficiently inclined relative to the planetary orbit, the planet’s ec-centricity undergoes excursions to large values, while the orbital axis precesses with varyinginclination. At periastron, tidal dissipation in the planet reduces the orbital energy, leading toinward migration and circularization of the planet’s orbit.
1
arX
iv:1
409.
3247
v1 [
astr
o-ph
.EP]
10
Sep
2014
As the planet approaches the star in a Kozai cycle, the planet-star interaction torque dueto the rotation-induced stellar quadrupole makes the stellar spin and the planetary angular mo-mentum axes precess around each other. Although the equations for such precession in thecontext of triple systems are known (21, 26), previous works on the “Kozai+tide” migrationeither neglected such spin-orbit coupling or included it without systematically examining thespin dynamics or exploring its consequences for various relevant parameter regimes (19–22,27).However, the stellar spin has the potential to undergo rich evolution during the Kozai migration,which may leave its traces in the spin-orbit misalignments in hot Jupiter systems. Indeed, thereare several examples of chaotic spin-orbit resonances in the Solar system. For instance, Sat-urn’s satellite Hyperion experiences chaotic spin evolution due to resonances between spin andorbital precession periods (28). The rotation axis of Mars undergoes chaotic variation as well,as a result of resonances between the spin precession and a combination of orbital precessionfrequencies (29, 30).
We demonstrate here that gravitational interaction between the stellar spin and the planetaryorbit can indeed induce a variety of dynamical behavior for the stellar spin evolution duringKozai cycles, including strongly chaotic behavior (with Lyapunov times as short as a few Myr)and perfectly regular behavior in which the stellar spin stays aligned with the orbital axis at alltimes. We show that in the presence of tidal dissipation the memory of chaotic spin evolutioncan be preserved, leaving an imprint on the final spin-orbit misalignment angles.
Kozai Cycles and Spin-Orbit Coupling. We consider a planet of mass Mp initially in anearly circular orbit around a star of mass M⋆ at a semi-major axis a, with a distant binarycompanion of mass Mb, semi-major axis ab and eccentricity eb, which we set to 0. In that case,if the planet’s initial orbital inclination relative to the binary axis, denoted by θ0lb, falls within therange 40, 140, the distant companion induces cyclic variations in planetary orbit inclinationand eccentricity, with a maximum eccentricity of emax ≃
√1− (5/3) cos2 θ0lb (31, 32). These
Kozai cycles occur at a characteristic rate given by
t−1k = n
(Mb
M⋆
)(a
ab
)3
=
(2π
106yr
)(Mb
M⋆
)(M⋆
M⊙
)1/2(a
1AU
)3/2( ab100AU
)−3
, (1)
where n = 2π/P is the mean motion of the planet (P is the orbital period). Note, however,that the presence of short-range forces, such as General Relativity and tidal distortions, tendto reduce the maximum attainable eccentricity, so that the actual emax may be smaller than the“pure” (i.e. without short-range forces) Kozai value given above (19, 20, 33). Along with theeccentricity and inclination variations, the planet orbital angular momentum vector precessesaround the binary axis (Lb) at an approximate rate which, in the absence of tidal dissipation, isgiven by (Sec. S1)
Ωpl ≈3
4t−1k cos θ0lb
√1− e20
[1− 2
(1− e201− e2
)sin2 θ0lbsin2 θlb
], (2)
2
where e0 is the initial eccentricity. Because of the rotation-induced stellar quadrupole, the planetinduces precession in the stellar spin orientation, governed by the equation
dS
dt= ΩpsL× S. (3)
Here S and L are unit vectors along the stellar spin and planet orbital angular momentum axes,respectively, and the precession frequency Ωps is given by
Ωps = −3GMp(I3 − I1)
2a3(1− e2)3/2cos θslS
(4)
= −2.38× 10−8
(2π
yr
)1
(1− e2)3/2
(2kqk⋆
)(103Mp
M⋆
)(M⋆
M⊙
)1/2(Ω⋆
0.1
)(a
1AU
)−3(R⋆
R⊙
)3/2cos θsl,
where I3 and I1 are principal moments of inertia of the star, S is its spin angular momentum,Ω⋆ ≡ Ω⋆/
√GM⋆/R3
⋆ is its spin frequency in units of the breakup frequency, R⋆ is the stellarradius, θsl is the angle between the stellar spin and planet angular momentum axes, and wehave used (I3 − I1) ≡ kqM⋆R
2⋆Ω
2⋆ and S ≡ k⋆M⋆R
2⋆Ω⋆. For a solar-type star, kq ≈ 0.05, and
k⋆ ≈ 0.1 (34). The stellar quadrupole also affects the planet’s orbit, by introducing additionalperiastron advance, at a rate of order −ΩpsS/(L cos θsl) (where L ≡ Mp
√GM⋆a(1− e2) is the
orbital angular momentum), and making L precess around S at the rate (S/L)Ωps (Sec. S1).During the Kozai cycle, orbital eccentricity varies widely from 0 to emax, and thus Ωps and
Ωpl change from Ωps,0 and Ωpl,0 to Ωps,max and Ωpl,max, respectively. However, Ωps is moresensitive to eccentricity variation than Ωpl, and attains a larger range of values. We thereforeexpect three qualitatively different regimes for the spin evolution.
Regime I, |Ωps,max| <∼ |Ωpl,max| (“nonadiabatic”): |Ωps| is always smaller than |Ωpl|. Weexpect S to effectively precess around Lb, the binary angular momentum axis (about which Lis precessing), maintaining an approximately constant angle θsb.
Regime II, |Ωps,max| >∼ |Ωpl,max| and |Ωps,0| <∼ |Ωpl,0| (“transadiabatic”): A secular reso-nance occurs when the stellar precession rate approximately matches the orbital precession rate(|Ωps| ≈ |Ωpl|). As the eccentricity varies from 0 to emax during the Kozai cycle, the systemtransitions from nonadiabatic to adiabatic. We expect this resonance crossing to lead to complexand potentially chaotic spin evolution.
Regime III, |Ωps,0| >∼ |Ωpl,0| (“adiabatic”): |Ωps| is always larger than |Ωpl|. We expect thespin axis to follow L adiabatically, maintaining an approximately constant spin-orbit misalign-ment angle θsl.
For a given planet semi-major axis a and binary semi-major axis ab, the division betweendifferent regimes depends on the product of planet mass and stellar spin (Fig. S1). In particular,systems with low Mp and Ω⋆ lie in Regime I, while those with large Mp and Ω⋆ lie in RegimesII and III.
Numerical Exploration. We first study the evolution of stellar spin in “pure” Kozai cy-cles: we integrate Eq. (3) together with the evolution equations for the planet’s orbital elements,
3
0.01
0.1
11-
e
0
50
100
150
Θ lbHd
egL
0
50
100
150
Θ sbHd
egL
0 50 100 150 200 2500
50
100
150
t HMyrL
Θ slHd
egL
Figure 1: Sample evolution curves for the “pure” Kozai system, demonstrating how the stellarspin evolves through Kozai cycles. The parameters for this run are a = 1AU, ab = 200AU,eb = 0, M⋆ = Mb = 1M⊙, Ω⋆ = 0.05, Mp = 4.6MJ , and initial e0 = 0.01, θ0lb = 85. Thespin’s erratic evolution is suggestive of chaos; we therefore plot a “real” trajectory (red solidlines) and a “shadow” trajectory (orange dashed lines), used to evaluate the degree of chaoticbehavior. The trajectories are initialized such that the “real” starts with S parallel to L, andthe “shadow” with S misaligned by 10−6 deg with respect to L. This figure corresponds to theorange scatter plot of Fig. 2 and the orange curve of Fig. 3 (left). The spin evolution is highlychaotic.
4
driven by the quadrupole potential from the binary companion (Sec. S1), but excluding all short-range forces. Although at the octupole level the companion may induce chaotic behavior in theplanet orbit (35–38), the effect is negligible if aeb/[ab(1 − e2b)] ≪ 0.01 and is completely sup-pressed for eb = 0. To isolate the dynamics of stellar spin evolution, we exclude the precessionof L around S and all other short-range forces; thus, while the planet orbit influences the stellarspin, the stellar spin does not affect the orbit in any way. We consider different combinationsof planet mass and stellar rotation rate to illustrate the different regimes described above (weconsider M⋆ = Mb = 1M⊙ and R⋆ = 1R⊙ in all the examples shown in this paper). We presentfour “canonical” cases that encapsulate the range of the observed spin dynamics, including asample trajectory in the transadiabatic regime (Regime II) (Fig. 1).
We find excellent agreement with the qualitative arguments outlined above. In Regime I(“nonadiabatic”, Fig. 2, top left) the spin evolution is regular and periodic. While we do not plotthe spin-binary misalignment angle (θsb), it indeed stays constant. The “adiabatic” regime (Fig2, bottom right) is difficult to access for trajectories that start with high initial misalignment ofS and L, due to the cos θsl factor in the spin precession frequency. Those trajectories that startwith low initial θsl (or with θ0sl close to 180) maintain that angle, as expected. In Regime II(“transadiabatic”), two different types of behavior are observed. For most parameters that fallwithin this regime, the spin evolution is strongly chaotic, as indicated by the large degree ofscatter that fills up the phase space (Fig. 2, top right and bottom left). However, periodic islandsexist in the middle of this chaos, in which the stellar spin behavior is regular (Fig. 2, bottomleft; Fig. S3).
Since the stellar spin and planet orbital axes in real physical systems typically start outaligned, we specialize to the trajectories with θ0sl = 0 for the remainder of this paper. To assessthe degree of chaos in each of the sample cases (Fig. 2), we evolve a “shadow” trajectory inaddition to the real one (Fig. 1), with initial conditions very close to the original ones, andmonitor how fast the two trajectories diverge, particularly in the spin direction. As expected,three out of four of our sample cases do not exhibit chaos, while the fourth, in the transadiabaticregime, is strongly chaotic, with a Lyapunov time of λ−1 ∼ 5.6 Myr, corresponding to only ∼ 1Kozai cycle (Fig. 3, left).
Next we include the precession of L about S and other short range forces (periastron ad-vances due to General Relativity, stellar quadrupole, planet’s rotational bulge, and tidal distor-tion of the planet) (19, 20) in our calculations. We find that including these short-range forcesfor our four sample cases (Fig. 3, right) does not change our general conclusion that chaotic evo-lution occurs in the transadiabatic regime, although it can shift the locations (in the parameterspace) of periodic islands.
Clearly, the stellar spin behavior in the transadiabatic regime is very complex: highly chaoticfor certain parameters, more regular for others. To explore this diversity further, we construct a“bifurcation” diagram (Fig. 4), with which we could examine the degree of chaos over a largerange of parameter values (particularly the planet mass). Visualized in this way, the topology ofthe chaos is more obvious: most of the mass bins are highly chaotic, but they are interspersedwith individual, isolated quasiperiodic islands. To better understand this complex topology, wehave developed a simpler analytical toy model that captures many of the features of this system
5
0 Π
2Π 3 Π
22 Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0co
sΘ s
l
0 Π
2Π 3 Π
22 Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
0 Π
2Π 3 Π
22 Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Φsl
cosΘ s
l
0 Π
2Π 3 Π
22 Π
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Φsl
Figure 2: Surfaces of section of the angle (θsl) between S and L vs the precessional phase(φsl) of S around L for the “pure” Kozai system, demonstrating the presence or lack of chaosin the stellar spin evolution. In all of these sample cases, a = 1AU, ab = 200AU, eb = 0,M⋆ = Mb = 1M⊙, and e0 = 0.01, θ0lb = 85. Each panel is composed of multiple uniquetrajectories, corresponding to different initial θ0sl (with the initial spin-binary angle θ0sb rangingfrom 0 to π, and assuming S is initially in the same plane as L and Lb). In each panel the coloredtrajectory indicates the one with θ0sl = 0. Each case is evolved for 12.7 Gyr, corresponding to∼ 1500 Kozai cycles. Each point in a trajectory is recorded at the argument of pericenter ω =π/2(+2πn, with n an integer), corresponding to every other eccentricity maximum (Fig. S2).Top left: Regime I (nonadiabatic); Ω⋆ = 0.003, Mp = 1MJ . We show 18 unique trajectories,with θ0sb ranging from 5 to 175; the green line corresponds to θ0sl = 0. The “equilibrium” statesat (θsl, φsl) ≈ (40, 90) and (40, 270) correspond to S parallel and anti-parallel to Lb. Topright: Regime II (transadiabatic); Ω⋆ = 0.05, Mp = 4.6MJ ; the orange dots show θ0sl = 0, whilethe black dots are a composite of several different θ0sl. Bottom left: Regime II (transadiabatic);Ω⋆ = 0.03, Mp = 1.025MJ ; 11 periodic or quasi-periodic trajectories and a composite chaoticregion. The red dot at (cos θsl, φsl) ≈ (0.06, 1.8π) (see arrow) corresponds to a periodic islandwith θ0sl = 0. Bottom right: Regime III (onset of adiabaticity); Ω⋆ = 0.05, Mp = 20MJ ; 5 quasi-periodic trajectories and a composite chaotic region. The blue line corresponds to θ0sl = 0. Notethat while both the orange and red cases are in Regime II, the orange one is highly chaotic, andthe red resides in a periodic island.
6
0 20 40 60 80 100 12010-8
10-6
10-4
0.01
1
t HMyrL
∆
0 100 200 300 400 50010-8
10-6
10-4
0.01
1
t HMyrL
∆
Figure 3: Left panel: Distance between two phase space trajectories, starting at slightly differentinitial spin orientations, for the “pure” Kozai system. The first (real) starts with S parallel toL, the other (shadow) with S misaligned by 10−6 deg with respect to L, for each of the sampleθ0sl = 0 cases depicted in Fig. 2. The phase space distance is calculated as δ = |Sreal − Sshadow|and therefore has a maximum value of 2. The lines are color-coded to correspond to eachof the cases of Fig. 2. The grey dashed line demonstrates that for the chaotic orange curve,δ ∝ eλt, with λ ∼ 0.18Myr−1. Right panel: Same as left, but including orbit precessiondue to stellar quadrupole and periastron advances due to General Relativity, stellar quadrupole,planet oblateness, and static tides in the planet. The orange curve shows chaotic growth withλ ∼ 0.15Myr−1. The red curve, which is periodic on the left, is mildly chaotic here, withλ ∼ 0.02Myr−1.
7
2 4 6 8 100
50
100
150
Mp HMJL
Θ slH
deg
reesL
Figure 4: “Bifurcation” diagram of spin-orbit misalignment angle vs planet mass, including allshort-range effects. The procedure described in Fig. 2 is carried out for each value of planetmass: the spin-orbit misalignment angle is recorded at every other eccentricity maximum for∼ 1500 Kozai cycles. The parameters for this plot are a = 1AU, ab = 200AU, e0 = 0.01, θ0lb =85, Ω⋆ = 0.03. High degree of scatter in a single mass bin indicates highly chaotic behavior.Note that multiple quasiperiodic islands appear in the middle of highly chaotic regions.
(Sec. S2.2).Wide-spread chaos in dynamical systems is typically driven by overlapping resonances (39).
Repeated secular spin-orbit resonance crossings (|Ωps| ∼ |Ωpl|) during Kozai cycles play animportant role in producing the observed chaotic spin behavior. On the other hand, Kozaicycles themselves result from the near 1 : 1 resonance ( ˙ = Ω) between the longitude of theperiapse and the longitude of the ascending node Ω of the planet’s orbit. The back-reactionof the stellar spin on the orbit can naturally couple these two resonances. We suggest that allthese effects are important in the development of the chaotic stellar spin evolution.
Tidal dissipation and memory of chaotic evolution. Having explored in some detail thevariety of behaviors exhibited by stellar spin during Kozai cycles, we now assess the impactof this evolution on the production of hot Jupiters, particularly on their final stellar spin-orbitmisalignment angles, by adding tidal dissipation to our equations. We employ the standardweak friction model of tidal dissipation in giant planets with constant tidal lag time (40, 41). In
8
order to ensure that all our runs lead to circularized planets and a final θsl within about 1010yrs,we enhance tidal dissipation by a factor of 14 (Fig. 5, left) and 1400 (Fig. 5, right) relativeto the fiducial value for Jupiter (42) (Sec. S1). As long as the tidal evolution timescale of theorbit is much longer than the Lyapunov time for the chaotic spin evolution, we do not expectthis enhancement to have major qualitative effect on the final observed spin-orbit misalignmentangle.
Tidal dissipation leads to a gradual decrease in the proto-hot Jupiter’s semi-major axis andeventual circularization close to the host star (Fig. S4). As the planet’s orbit decays, Kozaicycles become suppressed by short-range forces. Also, as the semi-major axis decays, |Ωps/Ωpl|increases. Thus, even if we choose initial conditions that lie squarely in the nonadiabatic regime(Regime I), as a decreases, all trajectories will eventually go through the |Ωps| = |Ωpl| secularresonance and end up fully adiabatic. At that point, the spin-orbit misalignment angle freezesout to some final, constant value θfsl.
In all of the numerical examples of non-dissipative evolution discussed above, we have heldthe value of the stellar spin rate Ω⋆ constant. However, because the divisions between differentspin evolution regimes depend on Ω⋆, stellar spindown can potentially have a substantial effecton the degree of chaos in the system. Isolated solar-type stars spin down via magnetic brakingassociated with the stellar wind (43). For simplicity, we use the empirical Skumanich Law (44)to add stellar spindown to our evolution equations, starting with an initial spin period of 2.3days; the final spin period (at t = 5 Gyr) is 28 days.
To assess the influence of chaotic stellar spin evolution on the final distribution of spin-orbitmisalignment angles, we create a different kind of “bifurcation” diagram (Fig. 5). As in thenon-dissipative case (Fig. 4), we consider a range of planet masses. For each Mp, we take aset of initial conditions that are identical in all but the initial orbit-binary misalignment angleθlb, which we randomly choose from a very small range: θ0lb ∈ 86.99, 87.01 (Fig. 5, left)and θ0lb ∈ 84.95, 85.05 (Fig. 5, right). We evolve these trajectories until the hot Jupitercircularizes and θsl reaches its final value. We find that the scatter in θfsl depends on the planetmass. The scatter generally increases with increasing Mp, but drops sharply in the adiabaticregime (for Mp >∼ 4.4MJ in the left panel of Fig. 5). There also exist quasiperiodic islands,where θfsl has a rather small spread. Also, a range of misalignment angles around 90 appears tobe excluded, with this range decreasing with increasing planet mass. Given the very small rangeof initial conditions, the evolution of any regular, non-chaotic system should result in only onefinal misalignment angle. Therefore, we suggest that this bimodality is the result of the systempassing through the |Ωps| ∼ |Ωpl| secular resonance, and the complex and possibly chaoticdynamics that occur during that time. We tentatively attribute the decrease of bimodality withincreasing mass to an increase in chaotic behavior. The final semi-major axis af also exhibits“chaotic” spreads and periodic islands. Thus, in effect, the final distributions of θfsl and af carryan imprint of the spin’s past chaotic evolution.
As a final step, we run a “mini” population synthesis calculation, for a fixed value of a0 andab and a broader range of initial orbital inclinations (Fig. 6). A sharp contrast exists betweenthe distribution of final spin-orbit misalignment angles at low Mp and high Mp. At low Mp abimodal distribution of θfsl is produced (this bimodality has been found in some previous popu-
9
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ççç
ç ç
ç
çç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
çççççççççççççççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççççççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
çç
ççç
ççç
ççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ççç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç çç ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ççç
ç çç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç çç ç
ç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
çççççççççççç
ç
ç ççççççç
ç
ççç
ç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çç
çç
ç
çç
çç
çççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççç
ç
çççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççççççççççççççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç ç
ç
ç
çç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
çççç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
çç ççç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
ç ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç ççççç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
çç
çç
ç
çççççççççççç
ççç
ç
ççç
çç
ççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççççççççççç
ç
çç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
çç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç ççç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç çç
ççç
ç ççç çç
ç
çç
ç
çç ççççççççççççççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
çççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
çççççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
ç
ç
çç
çççççççççç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç ç
çççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç çç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççççççç
çç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
çççççççç çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç çç
çç
ç
ç
çç ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç ç
ççççççç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç
ççç
çç
çççççççççççççççççççç çç
ç
ççççç
ç
çç
ççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çç
çç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çççç
ç
ççç
ççç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
çççççççççç
ç
ç
çç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç ç
ç
çç
ç ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
çççççççççç
ç
ç ççç
ç çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç çç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç çç ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
1 2 3 4 50
50
100
150
H L
Θ slfHd
egre
esL
ç
ç
ç
ç
çççç
ççç
çç
çç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ççççççççç
ç
ççç
çç
ç
ççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ççççç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççççççççç
ç
ç
ççç
ç
ççççççç
ç
çççççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççççç
ç
çççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççççççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çççççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç çç ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
çç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççççç çç
ç ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ççç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç ç
çç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ççç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çççççç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç
ç çççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
çççç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
çççççççççççç
ç
ç
çççççç
ççç
ç
ççç
ç
çç ç
çç
ç ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ççç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççççççç
ç
çç
çççççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
çç
ç
çç
çççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ççç
ççç
ççç
çççççççççç
ç
çççççççççççççç
ç
ç
çççç
çççç
ç
ç
çççççççç
ç
çççççççççççççç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ççççççççççç
çç
ç
ççççç
çççç
ç
çç
ç
çç
çç
çççç
ç
ç
ççç
çç
çç
çç
çççç
ççç
çççççççç
çççççç
ç
ççççççççççç
çç
ççççççç
çççç
çç
ç
ç
çç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççç
ççççç
çççççççççççççç
ç
ç
ççççççç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çç
ç
çç ç çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ççççççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ççççç
ç
ççç
ç
ç ççççç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
çççççç
ç
çççççççç
ç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççççççç
ç
çççççç
ç
ç
çççççççççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ççççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç çççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç ççççç çç
ç
çç
çççç
ç
çç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç çç
ç
ç
çç
çç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ççç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç çç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç
ççççç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççççç
çç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ççç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
çççç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççççç
ç
çççç
ç
ççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ççççççççç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççççççç
ç
çççççç
ç
çç
ç
ççççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç çç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ççççççççççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çççç
ç
ççç
çç
çç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççççç
ç
ççççç
ç
ç
çççççç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççççççççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççççç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç çç
çç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ççç ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
çççççç
çççç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çççç
ç
çç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççççç
çç
çç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
çççççççççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
çççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ççç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ççç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ççççççççççç
ç
ççç
ç
çççç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççççç
ç
ç
çç
çç
çççççç
çççç
çç
çççççççççççççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççç
çççç
ç
çççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
çççç
ç
ççç
ç
ççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççççççççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ççç
ç ç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç ç
ççç
çç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
çççç
çç
ççççççççç
çç
çççççççç
çççç
ççççççççççççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ççççççççç
ç
çççççççççççç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç
ççççççç ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
ççç
çç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çççççç
çççççççççççççç
çç
çççççççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ççççç
ççç
ç
çççç
ççç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
çççç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççççççççççççç
ç
çççç
ç
çççççççççççç
ç
çç
ç
ççççççççççççç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ççç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çççç
ç
ç ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç çç
ç
çç
çç çç
çççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
çççççç
ç
ç
çç
1 2 3 4 50
50
100
150
H L
Θ slfHd
egre
esL
çççççççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çççççççççç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çç
ççççççççççççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççç
çç
ç
ççççççççç
ç
ç
ç
çç
ççç
ççççççç
çççç
ç
ç ççç
çç
çç
ç
ç çççç
çççç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç çç
ç
ç
ççç ç ç
çç
ç
ç
ççççç çç
ç
çç ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ççççç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çç çç ççç
ç
çç
ç
ç ç
çççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ççççç
ççç
çç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çççç
çç
çç
ççç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ç
ççç
çç
çç ç
ç
çç
çç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç çç
ç
ççççç
ç
ç
ççç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
çççç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç çççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ççç
ççççç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
ççççççççççççç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççççççççç
ççççççç
ç
ççççç
ç
ççççççççç
ç
çç
ççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççç
ç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççç
ç
ççççççççççççççççççççç
çççççççççççççççççççççççççç
çç
ççç
ççççççççççççççççççççç ç
ç
ççççç
ç
çç
çç çç ççç ç
çççç
çç
çççç
çç
ç ç
ç
çç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ççç ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç çç
ççççççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çç ç
ç
ç
ç
çç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çççç
ççç
ç
çç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çç ççç çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
çç
ççççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ççççç
ç
çç çç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
çççççç
ç
çç ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
ççç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççççç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çççççççççççç
ççç
ç
ççç
çç
ççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççççç
ççç
çççççççççç
ç
ç ç
çç
ç
ççççç
çç
çç
ç
çç
çççç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
çç
çç
ç
çççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
çççç
çç
çç
ç
ççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ççççç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çççççççç çççç
ç
ç
ççç
ç
çççç
çç
çç çç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
çççç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç çç
ç
ççç
çççç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ççççççççççççççççç
ç
ç
ç
çç
ççççç
ç
ççç
ç
ç
çççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççççççççç
çççççççççç
çç
ççç
çççç
ççç
çççç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ççç ç
çç
çççççççççç
ççç
çççççç çç
ç
ççççç
ç
ç
çç
çç
ççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ççççç ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç ç ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç ççç
ç
çççç
ç
ç ççç çç
ç
çç ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
çç ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
çççç
çç
çç ç
ççç ç
ç
ç
ç
ç çç
çç ç ççççç ç
ç
ç
çççç ç
çç
ç
ç
ç
ççç ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ççç ç
ç
ç ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çççççç
ç
çç
ç
çç
ç ç
ççç
çç
ççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççççççç
ç
çç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç çç
ç
ç
ç
çç çç
ç
ç
çç
ç
çç
çç ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç ççç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ç
ççç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çççç
ç
çç ç
çç
ç ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ççç
ç
çç
ç
ç
çççç
ççç
çç
ççççççççççççççççççç
ç
çç
ç
ççççç
ç
çç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççç
ç
ççç
ççççççççç
ç
çççççç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç çççççççççç
çççç
çççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç ç
ççç
ç
çç
çççççç
çç ççç ççç çç
çç
çç
ççç
ççççççççç ççççççççççççççççç ççççç
ççç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
çç
ççççç
çç
çç
çç
ççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççççççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççç
çççççç
ç
ç
ç
1 2 3 4 5
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0.055
MpHMJL
afHA
UL
ççççççççççççççç çç
çç ç ççççç ççç
çç çççç
çç ç çç ççç ç ç ççç ç
çççç
ççç çç
çç çç ç çççç
ç çç çççç ç
çç ççççç çç ç
ç çç ççç
çççç ç
ççç
ççç ç
ç çç
çççç
ççç ççç ççç ççççç
ççç
çç ç çççç
çç
ççç
ççç
ççç ç
çççççç ç
ç çç
çççç çç çç ç ççç
ççç
çç
çççç ç
çç
ççç ç çç
çç çç
ç ççç ç ççç çççç ççç ç ç
çççççç ç çç ççççççç
ç çççç
ç çç ççç ççç
ççç ççççç çç
ççç ççççç ç ççç çç
çç ç
çç
ççççç çç
çç
ç çç ççç ç
ççççç
çç ççç
çç
çç ççç
çç çççç
ç ççç
çç ç ççç çç ç ç
ç ç çç çç
çççççç ççç ç
çç ç çç ç çççç çç
ççç ç
çç ç
ççç ç
ççç çç
ççç
çççç ç
çç ç
ç çççç ççç
çççç ççç çççç çç ç çççç çç ç
ç ççç
ççç ççç
ççç çç çççç ççç
ç çççç
ççç ç çç
çç çççççç ç
ç
çç
çççççççç
ççç
ççççççççççççççç çççççç çççççççç
ççççççç
ç çç
ç
ç
ççççç
ç çççç ççç
çççççç
çç ççççççççç ç
çççç ç çççççççççç ç
çççç
çççççççç ççççççç
çççç
çç ç ççççççç
çç
çç ççç
çççççççç ççççççç
ççç çç çççç çç
ç ççççççççççç çç
çççççç ççççççççççç
ççç
ç ççç
ççç
çç çççççççççç
ç çççççç
çççç
ççç
ççç ççç ç ç ç çççççç ççç
çç
ç
ççç çç
ççç ç
ççççç
ççç ç
çç
ç ççç
ç
ç ç çççç
çç
çççç
çç ç
ç
ç çç
ççç
ççç
çççç
ççç
ç
çç ç
çç
çç ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç ççç
ç
ç
çç ç
çç
çç
ççç
çç
çççç
ç
çççç ççççç
ç
çççç
ççç çç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç ççç
ççç
ç
çç
ç ççç
ç
ç
çç çç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç çç
çç
çç çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç ç
çç
çç
çç ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ççç
çç
ç ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
çççç
ççç
ç
çç ç
ç
ççç ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ççç
çç çç çç ç
ç ç
ççç ç
çç
ç ç
çç
ç ç
ç
ç
çç
çççç
ç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
çççççççç
ç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
çç
çç
ç
ççççç
çç
ç
ç
ç
çççççççç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç ç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çç ç
çç
ç
ç
ç ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç ç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççç
çççç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç ç
çç
ç
çç
çççç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççç
çç
ç
çç
ç
ççç
ççç
ç
ç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
çç ççç
ç
ç
ççççç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ççç
ççççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
çç
ççççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
çç
ç
ççç
çç çççç
ç
ççç
ççç
ç
çççç ç
çççç
ççç
çç
ççç
çç
çç
çççç çççç çççç çççç ç
ççç
ç
ç
ççççç
ççç
çç çç
çççç
çç
çççççççç
ççç
ççç
ç ç
çççç
ç
çççççççççççççççççççççç
ç
çççççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ççç
çç
çççççççç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
çç
ççç
ç
çç
ççççç
ç
çç ççç
çç
ç ç
çççç
ç
çç
ç
ççççççç
çççç
çç
çç
ç
ççççç
çç
çç
çç
ç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
çç
çç
çççç
ç
ççç
çç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççççççççççççç
ç
çççççç
ççç
çççç
ç
ççç
çç
çç
ççç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
çççççççç
ç
çççç
ççç
çç
çç
çççç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
çç
çççç
ç
ç
çç
çççç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çççççççç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
çç
ç
ççççççç
ççç
çççç
çç
çç
çç
ççç
çç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
çç
çççççç
ç
çç
ç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
çç
ççççççç
ç
ç
ç
çççççç
ç
çççççç
ç
ççççççç
ç
ççç
çç
çççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
çççççç
ç
çççç
ç
çç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççç
ç
ççççççççç
ç
çççççççççççççç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççççççççç çççççç ççççç çççççç ç çç
çççç
çç ç
çç ççç ççç
çççç çççç ç ççç
çç
ç ç ç ççç
çççç ççç çç ç
ççç çç
ç
ç çç
çç ççççç ç
ççç çççç ç ç
çççççç çççç ç
çç ççç
ççççç çç ç ççççç
çç ççççç
çç çç
çççççç çç ç
ççç
çç ç
çç çç çççç çççç ççç ççç
çç ç çç
çç ççç çç ç ççççç
çç ç ççç çç çç ç
çç çç
çççç çç çç ççç
ç çççç çç ç ççç ççççç çççççççç
ççççççççç çççç
ççç çççççççç ççç
ç ç ççç ç
ç ççç
ççç ç ççç çç ç ççç çç
ççç ç çç çç çççç
çççç
ç çç
ç ççç ç ççççç ç
çç çç
çç
ççç
çççççç çççç ç ç
ç ççç çç çç ççç ççç çç ç ç ççç
çç ç ç
ç çç ç ççç ç
ççç çççç çç ç ç çç ççç ç ç çç
ç
çççç ç ççççç ç
ççç çççç çç çç
ççç
ç
ç çç çç
çç ç ççç çç ççç
çç çç
ç
çç
ççççç çç ç
ç
ç ç çççç
ççççççççççççççç
ç
ç çç ççççççççççççççççç ççç
çç ççç
ç
ç çççç çççççççç çççç çç ççççç ççççççç çç
çççç ççç
ççç
çççç ççç ççççççç ççççççççç
ççççççççççççç
ç
ç
çççç çççççççç çççççççç
ç
ççççççççççç
ççç
çç çççç ççç
çççççç ççç
ççç
çç
ççççççççç çç çççç
ççççççççç çç
ç
ççç
çç
çç
ççç çççç
çç çç çç ççççç
çç ççç
çç
ç
çççççç ç
ç
çç
ç ç çç
çç
ç
ççç
çç
çç
ççç
ç ççç
çç çç
çç
çç
ç
ççç
ççç
ç
ççç
çç
çç
çç
ç
ç
çç çç
ç
çç
ç çç
ç
ç çç
çççççç
ççç
çç
çç
çççç
çççç
çç
çç
ççç
ç
çç çç
ç
ç
çç
çç
ççç
çç
ç
ççç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççç
çç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç ççç
ç
ç
ç
ççç
ç
çç ç
ç
çç
ççççç ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
ççç
ç
çç
ççç
ççç
çç
çç
ç ççççç ç ççççç
ç
ç
ç
ç
çç ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç ç
ç ççç
çç
ç
ç
ççç
ççç
ç
çççççç
ç
ç
çç çç
ç
ç ç
ç ç çç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ççççç
çç
ç çç
ççççç
çç
ç
çççççç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
ç
ççç
çç çç
ççç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ççç
ç
çç
ç
ççç
çç
ççççç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç
ççç
çç
ççç
çç
çç
ç
ççççç
ç
çç
çççç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
ççç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç çç
ç
çççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç çç
çç
ç
çççç
çç ç
ç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ççç
ççç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ççç
ç
çç
çççç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
çççç
ç
ç
çç
ççççççç
çç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
çç ç
ç
ç çç
ç
çççç ç
ç
ç
ç
çç
çç ç
ç
çç
ç
ç
çç ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ççç ç
çççççç
çç
çç
ççççççç ççççç
çç ç
ç
ç
çççç ç
ç
ç
çç
ç
çççççççççç ççç
çç
ç
ç
ç ççççç
ç
çç
ç
ççççççççççççç
ç
çççççççççç
ç
çççç
ç
ç
ççççç
ç
ççç
ç
ççççççç
ç
ççç
ç
çççççççççç
ç
ç
ç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç ççç
çç
ç
ç
çççççç
ç ç
çççç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
çççç
ççç
çç
ççç
çççç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çç ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ççç
ç
çç
çç
ççç
çç
ççç
ç
ççççç
ç
çççç
ç
çççç
ççççç
ç
çççç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç
ç
çççç
çç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
çç
ççç
ç
ç
ççççç
ç
ç
çç
çççç
çç
ççç
ç
ç
çç
çç
ç
ç
ççççç
ç
ççççç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
çççç
ç
çç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççççç
ç
çç
çç
ç
çç
ççç
ç
çç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ççç
ççç
ç
ç
ç
çççççç
ç
çç
ç
çççç
çç
ç
ç
çç
ç
ççç
ç
çç
çç
ç
ççç
çççççç
ç
çççççç
ç
ççç
çç
çççç
çç
çççç
ç
ççççççç
çççç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
çççççççççç
çç
çççççççç
çççççççç
ç
ççççççççç
ç
ççççç
ç
ç
ççççççççç ççççççç çç ççççç çççççç ççççç çççç çç
çç
çç çççç
ç çç
çç ççç
ç çççç çç
ç ççç
ççç
ç çç çç çççç ççç çççç çç
ççççç
çççç çç
ççç ççççççççççççç ç çççç
ççç ç çççççç
ç çççççç
ççç çç çççççç ç ççç ççç
ççççççç çç ççç
çç ççç
ç
ççççççç çç
ç
ç
ççççç ç ç
çç
çç
ç
çç
ç
ççççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çççç ççççç çç ççççççççççççç
ççççç
çç çç ççççç
çç ççççççç ççç
çç
ççççç ç
ççççç
çççç
çççç ççççççççççç çç
çç
çççç ççççççç çççççç ç ççççççç
çççç
ççç
ççç ççç
çççç
çççççççç
ç
ççççç
ççç
çç ç
ççç çç
çç
çççç
ççç
çç
çç
ççç
çç
ç ç çç
çç
ç
ç
çççç
ççç
ççç
çç
çççç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ççç
çççç
ççç
ç
çç
çç
çç
çççççç
çç
ççç
ççç
ççççççççççççç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ççççççç
ç
çççççççççççççççç
ç
çç
ç
ççççççççççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççççç
ç
ççç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ççç
çç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ççççççççççççç
ç
çç
çç
ç
çççççççççç
ççççççççççççç
çç
ççççç
çç
çççç
ç
ç
ç
ççççççç
çç
ççç
ç
çç
ççç
ç
çççççç
ç
çççç
ç
çç
ç
çç
ççççççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççççç
çç
çç
çççç
çççççççç
çç
çç
ç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ççç
ççç
ç
çççççççççççç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
ç
ççç
çç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ççççç
çççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççççççççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççççç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
çç
ççççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ççççççç
ç
çç
ç
çççççççççççç
ç
ççç
çç
ççççç
ççç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ççç
çç
ç
çç
ç
ççççç
ççççççççççççççççç ççççç ççç ççç çç ççç
çççç çç çç
ççççç çççççç
ççç
çç ççççç
çççç
çççç ççç
ççç çç
ççççççççç
çççç
ççç
ç çççç
ç çççç ç
ççç
ççç
ç çççç ç ççç ç
ççççç
ççççç
çççç
çççç
ççç ççç çç çç
çççç
çç
çç ççç
ççççç çç çç ççç
ççç
çççç çççç çç ççç
çççç ççç çççç
ççç çç çç
ç çç
ççç çççç
ççç ç
çççç
ç çççç
ççç
ç ççç çç çç ççç ççççç
ççççççç çç ççççç çç ç ççç ççççççççç çç
ççççç
çç çç çç ççç çç çç
çç ç çç çççççç
ç ççç ççç çç çççç
çç çççççç ç
çç ççç çççççççç çççç ççç çç
ç
çç
ç çççç ç ççç
çççç
çç çççç çççç
ç
çç çç ççççç
çççççççççççççç çççç
ççççççççççççç ç çççç çççççççççç ççççççççççççççççççççççççççç
ç
ççççççççççççççççç
çç
çççç ççççççç
çççççç çç çççççç
ççççç çççç
ççççççççççççççççççççççççççççç
çççççççççç ç
ççç çç çç
ç
çç
ç
ççç
ççç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
çç
ççç
ççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
çççç
ççç
çç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ççç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ççç
çç
çç
çç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
ç
çç
ç
çççç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çççç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ççç
çç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
ççç
çç
ç
çççç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çççç
çççç
ç
çç
çç
ç
çç
ç
ççç
ç
ç
ç ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ççç ç
ç
ç ç
ççç
ççç
ç
ç
çç çç
çç
çç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ççççççç
çç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççç
çç
çç
ç
ç
ç
ççççççççççççç
çç
çç
ççç
ç
ç
ççççççççç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
çç
çç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç çç
ç
çç
ç
çç
ç
çç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
çç
ççç
ç
çç
ç
çç
ç
çççç
çç
ç
ç
ç
çç
çççç
çç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
çç
ççç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ççççççç
çç
çç
çç
ççç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
çç
çççç
ç
çç
ç
çç
ççç
çç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
çççççç
ç
ççç
çç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
ççç
ççç
ç
çç
çççççççç
ç
ç
çççç
ç
çç
ççç
ççç
ç
ç
ç
çç
çççç
çç
çççç
çç
ç
çç
ç
çççççççççç
çç
ççççççç
ç
ç
ç
çç
çç
çç
çç
ç
ç
ç
ççç
ç
çççç
ççç
ççç
çç
ççççç
çççççççççç
ççççççççççç
çççççççç
çççç
çççççççççççççç
çç
çç
ççç
ççççç
ççç
ççç
çç
ççç
ç
ç
ç
çççç
ç
ççç
ççççççççç
ç
çççççççççççççç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
ççççç
ç
çç
ç
çççççç
ç
ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç
ç
çççç çççç çççççç
ççç ççç
çç çç çç
ççç ç
çç ç
ç çççç
ççççç
ç çç
çç ççççç çççç ççç ççç ç çç ççç çç
çç ççç ççç ççç
çç ççç
ççç çç ççç
çç ççç
ç
çççç çç
ç
ç
ççç
ç
ççççççççççççççç ççççç
ççççççççççççç
ççç çççççççççççççç çç çç
ççççç ççç
ç
çç çç çç
çç
ççç
ç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çççç
çç
ççç
çç
ççççç
çç
ççç
ççççç
çç
ç
ç
çç
ç
ççççççççççç
ç
ççç
ç
çççççççç
ç
çççç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ççç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççççççç
ççççççççç
ç
çççççççççççççç
ç
ççç
ççç
ç
ç
ç
ççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çç
çççç
çç
çççç
çç
çç
ç
ç
ççç
çç
çç
ç
ç
ç
çç
ç
ç
çç
ç
çç
ç
ç
ç
ç
ççç
çç
ç
ç
çççç
çç
ç
çç
çç
çç
ç
ç
ççç
çç
ççç
çççç
çç
çççççç
ç
ççç
ç
ç
çç
ç
ççç
ççççççççççç
çç
ççççç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
çççç
çç
ç
çç
ç
ç
ççççççççç
ç
ç
çç
1 2 3 4 5
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
MpHMJL
afHA
UL
Figure 5: Two “bifurcation” diagrams of the final spin-orbit misalignment angle (top) and semi-major axis (bottom) vs planet mass for a small range of initial planet-binary inclinations, in-cluding the effects of tidal dissipation and stellar spindown. Here ab = 200AU, e0 = 0.01,Ω⋆,0 = 0.05. Each data point represents the outcome of a single complete run starting witha0 = 1.5AU (left) and a0 = 1AU (right) and ending when the planet has sufficiently cir-cularized (final eccentricity ef ≤ 0.1) and the final spin-orbit angle θfsl is attained. For eachrun, we randomly select an initial inclination θ0lb from the range 86.99 − 87.01 (left) and84.95−85.05 (right). Each mass bin contains ∼200 points. The degree of scatter in θfsl gener-ally increases with increasing Mp, but drops sharply in the adiabatic regime (for Mp >∼ 4.4MJ
in the left panel). Quasiperiodic islands are still present (e.g. at ∼3.8MJ in the right panel).
10
Mp=1MJ
0 50 100 1500
100
200
300
400
\ L
num
ber
Mp=3MJ
0 50 100 1500
100
200
300
400
@
num
ber
Mp=5MJ
0 50 100 1500
100
200
300
400
Θslf HdegreesL
num
ber
Figure 6: Distribution of the final spin-orbit misalignment angles as a function of planet mass,including the effects of tidal dissipation and stellar spin down, for initial planet-binary inclina-tions θ0lb in the range 85 − 89. Here a0 = 1.5AU, ab = 200AU, e0 = 0.01, Ω⋆,0 = 0.05.Each evolutionary trajectory is integrated until it has sufficiently circularized (ef ≤ 0.1), for amaximum of 5Gyr. If by the end of 5Gyr the planet is not circularized, it is discarded. Notethat the bimodality featured in Fig. 5 is still present here, despite the wider range of initial incli-nations. At Mp = 5MJ the evolution is mostly adiabatic, and therefore it is difficult to generatemisalignment.
11
lation synthesis calculations (20, 21)). At high Mp the evolution is mostly adiabatic, producingvery little spin-orbit misalignment. This is a clear signature of the complex spin evolution in theobserved stellar obliquity. Other factors, such as the stellar spindown rate and planetary tidaldissipation rate, can also affect the final misalignment distribution.
Discussion. The discovery of spin-orbit misalignment in close-in exoplanetary systems inthe last few years was a major surprise in planetary astrophysics. Much of the recent theoreticalwork has focused on the non-trivial evolution of the planetary orbit (such as orbital flip) due tofew-body gravitational interactions (27, 36, 37). However, as we have shown here, the spin axisof the host star can undergo rather complex and chaotic evolution, depending on the planetarymass and the stellar rotation rate. In many cases, the variation of the stellar spin axis relative tothe binary axis is much larger than the variation of the orbital axis. Therefore, to predict the finalspin-orbit misalignments of hot Jupiter systems in any high-eccentricity migration scenario, itis important to properly account for the complex behavior of stellar spin evolution.
In the above, we have focused on the Lidov-Kozai mechanism for the formation of hotJupiters, but similar consideration can be applied to the formation of short-period stellar binaries(20). Indeed, spin-orbit misalignment angles have been measured for a number of close-instellar binaries (45–47). Because of the much larger stellar spin precession rate in stellar binariescompared to the star-planet systems, the stellar spin evolution is expected to be largely in theadiabatic regime (depending on various parameters; Fig. S1), in which case the observed spin-orbit misalignment angles in close binaries would reflect their initial values at formation.
It is a curious fact that the stellar spin axis in a wide binary (∼ 100 AU apart) can exhibitsuch a rich, complex evolution. This is made possible by a tiny planet (∼ 10−3 of the stellarmass) that serves as a link between the two stars: the planet is “forced” by the distant compan-ion into a close-in orbit, and it “forces” the spin axis of its host star into wild precession andwandering.
The “binary+planet+spin” system studied in this paper exhibits many intriguing dynamicalproperties. While we have provided a qualitative understanding for the emergence of chaos inthis system in terms of secular resonance crossing, much remains to be understood theoretically.Most remarkable is the appearance of periodic islands as the system parameters (planet massand stellar spin) vary – a feature reminiscent of some well-known chaotic systems (48, 49).
References1. S. Udry, N. C. Santos, ARA&A 45, 397 (2007).
2. G. Hebrard, et al., A&A 488, 763 (2008).
3. N. Narita, et al., PASJ 61, L35 (2009).
4. J. N. Winn, et al., ApJ 703, L99 (2009).
5. A. Triaud, et al., A&A 524, A25 (2010).
12
6. G. Hebrard, et al., A&A 516, 95 (2010).
7. S. Albrecht, et al., ApJ 757, 18 (2012).
8. P. Goldreich, S. Tremaine, ApJ 241, 425 (1980).
9. D. N. C. Lin, P. Bodenheimer, D. C. Richardson, Nature 380, 606 (1996).
10. M. R. Bate, G. Lodato, J. E. Pringle, MNRAS 401, 1505 (2010).
11. D. Lai, F. Foucart, D. N. C. Lin, MNRAS 412, 2790 (2011).
12. K. Batygin, Nature 491, 418 (2012).
13. K. Batygin, F. C. Adams, ApJ 778, 169 (2013).
14. D. Lai, MNRAS, 440, 3532 (2014).
15. E. B. Ford, F. A. Rasio, ApJ 686, 621 (2008).
16. M. Juric, S. Tremaine, ApJ 686, 603 (2008).
17. M. Nagasawa, S. Ida, T. Bessho, ApJ 678, 498 (2008).
18. Y. Wu, Y. Lithwick, ApJ 735, 109 (2011).
19. Y. Wu, N. Murray, ApJ 589, 605 (2003).
20. D. Fabrycky, S. Tremaine, ApJ 669, 1298 (2007).
21. A. C. M. Correia, J. Laskar, F. Farago, G. Boue, CemDA 111, 105 (2011).
22. S. Naoz, W. M. Farr, F. A. Rasio, ApJ 754, L36 (2012).
23. R. I. Dawson, R. A. Murray-Clay, ApJ 767, L24 (2013).
24. S. Dong, B. Katz, A. Socrates, ApJ 781, L5 (2014).
25. H. Knutson, et al., ApJ, 785, 126 (2014).
26. P. P. Eggleton, L. Kiseleva-Eggleton, ApJ 562, 1012 (2001).
27. Y. Lithwick, Y. Wu, PNAS, in press (arXiv:1311.1214).
28. J. Wisdom, S. J. Pease, F. Mignard, Icarus 58, 137 (1984).
29. J. Laskar, P. Robutel, Nature 361, 608 (1993).
30. J. Touma, J. Wisdom, Science 259, 1294 (1993).
13
31. Y. Kozai, AJ 67, 591 (1962).
32. M. L. Lidov, Planet. Space Sci. 9, 719 (1962).
33. M. Holman, J. Touma, S. Tremaine, Nature 386, 254 (1997).
34. A. Claret, A. Gimenez, A&AS 96, 255 (1992)
35. E. B. Ford, B. Kozinsky, F. A. Rasio ApJ 535, 385 (200)
36. B. Katz, S. Dong, R. Malhotra, Phys. Rev. Lett. 107, 181101 (2011).
37. S. Naoz, et al., Nature 473, 187 (2011).
38. S. Naoz, et al., MNRAS 431, 2155 (2013).
39. B. V. Chirikov, Phys. Rep. 52, 263 (1979).
40. M. E. Alexander, Ap&SS 23, 459 (1973).
41. P. Hut, A&A 99, 126 (1981).
42. N. I. Storch, D. Lai, MNRAS 438, 1526 (2014).
43. F. Gallet, J. Bouvier, A&A 556, A63 (2013).
44. A. Skumanich, ApJ 171, 565 (1972).
45. S. Albrecht, et al., Nature 461, 373 (2009).
46. A. H. M. J. Triaud, et al., A&A 549, A18 (2013).
47. S. Albrecht, et al., ApJ 785, 83 (2014).
48. S. H. Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology,Chemistry, and Engineering. Perseus Books, Reading, MA (1994).
49. A. J. Lichtenberg, M. A. Lieberman, Regular and Chaotic Dynamics, Springer, New York,NY (1992).
50. We thank Konstantin Batygin, Dan Fabrycky, Matt Holman and Diego Munoz for usefuldiscussions. This work has been supported in part by NSF grants AST-1008245, AST-1211061 and NASA grants NNX12AF85G, NNX14AG94G. K.R.A. is supported by theNSF Graduate Research Fellowship Program under Grant No. DGE-1144153.
14
Supplementary Materials forChaotic Dynamics of Stellar Spin in Binaries and the Production of Misaligned
Hot Jupiters
Natalia I. Storch1, Kassandra R. Anderson1, and Dong Lai11Center for Space Research, Department of Astronomy, Cornell University, Ithaca, NY 14853
correspondence to: [email protected]
This PDF file includes:Materials and MethodsSupplementary TextFigs. S1 to S7
1
S1 Materials and MethodsFor the “pure” Kozai problem discussed in the earlier part of the main text, we integrate thestandard quadrupole Kozai-Lidov equations for the planet’s orbital elements (assuming Mp M?,Mb). These are given by
de
dt= t−1
k
15
8e√
1− e2 sin 2ω sin2 θlb,
dΩ
dt= t−1
k
3
4
cos θlb (5e2 cos2 ω − 4e2 − 1)√1− e2
, (S1)
dθlbdt
= −t−1k
15
16
e2 sin 2ω sin 2θlb√1− e2
,
dω
dt= t−1
k
3[2(1− e2) + 5 sin2 ω(e2 − sin2 θlb)
]
4√
1− e2,
where e is the planet’s orbital eccentricity, θlb is the angle between the planet orbital angularmomentum axis and the binary axis Lb, Ω is the longitude of the ascending node, ω is the argumentof periastron, and t−1
k is the characteristic Kozai rate, given by Eq. (1) of the main text. We choosethe binary orbital plane to be the invariant plane. In all the cases we consider, we take as ourinitial condition Ω0 = 0 and ω0 = 0 (thus, ω always circulates rather than librates; see Fig. S2).Note, however, that this is not a particularly special choice, since for the initial inclinations θlb weconsider (85 − 89) the maximum eccentricity is the same for the circulating and librating cases,and the rates of precession of the node (Ωpl, Eq. 2) are only slightly different.
We evolve the precession of the stellar spin according to the equation
dS
dt= ΩpsL× S, (S2)
where Ωps is given by Eq. (4), and L = (sin θlb sin Ω,− sin θlb cos Ω, cos θlb) in the inertial framewhere the z-axis is parallel to the binary axis Lb.
In the latter part of the main text, we add short-range forces to our system. We use the ex-pressions given in (19) for periastron advances due to General Relativity, planet spin-inducedquadrupole, and static tide in the planet. We also add nodal and apsidal precession of the plan-etary orbit due to the spin-induced stellar quadrupole. This introduces the following terms to theorbital evolution equations:
dω
dt= ω?
(1− 3
2sin2 θsl −
cos θlbsin θlb
cos θsl∂ cos θsl∂θlb
),
dΩ
dt= ω?
cos θslsin θlb
∂ cos θsl∂θlb
, (S3)
dθlbdt
= −ω?cos θslsin θlb
∂ cos θsl∂Ω
,
2
where
cos θsl = L · S = Sx sin θlb sin Ω− Sy sin θlb cos Ω + Sz cos θlb,
∂ cos θsl∂θlb
= Sx cos θlb sin Ω− Sy cos θlb cos Ω− Sz sin θlb, (S4)
∂ cos θsl∂Ω
= Sx sin θlb cos Ω + Sy sin θlb sin Ω,
and ω? = −ΩpsS/(L cos θsl).Finally, we add tidal dissipation in the planet to our equations. We use the standard weak
friction tidal dissipation model (40,41):
1
a
da
dt=
1
ta
1
(1− e2)15/2[(1− e2)3/2f2(e)
Ωs,p
n− f1(e)
], (S5)
1
e
de
dt=
11
4
1
ta
1
(1− e2)13/2[(1− e2)3/2f4(e)
Ωs,p
n− 18
11f3(e)
], (S6)
where a is the semi-major axis, Ωs,p is the spin rate of the planet, the functions f1 − f4 are definedas
f1(e) = 1 +31
2e2 +
255
8e4 +
185
16e6 +
25
64e8,
f2(e) = 1 +15
2e2 +
45
8e4 +
5
16e6,
f3(e) = 1 +15
4e2 +
15
8e4 +
5
64e6, (S7)
f4(e) = 1 +3
2e2 +
1
8e4,
(S8)
and ta is a characteristic timescale, given by
1
ta= 6k2∆tL
(M?
Mp
)(Rp
a
)5
n2, (S9)
where n is the mean motion of the planet, k2 is the tidal Love number and ∆tL is the tidal lagtime. For Jupiter, k2 = 0.37 and we take ∆tL = 0.1 s (corresponding to k2/Q ≈ 10−5 at a tidalforcing period of 6.5 hours). We therefore use ∆tL = 0.1χ s, where χ is a tidal enhancementfactor, which we take to be 14 for Fig. 5 (left) and 1400 for Fig. 5 (right), in order to ensure thatthe planets in our test cases circularize within the lifetime of their host stars. For all the samplecases considered in this work, we assume the planet spin to be pseudosynchronous with the orbit,i.e. Ωs,p/n = f2(e)/[(1− e2)3/2f5(e)], with f5(e) = 1 + 3e2 + (3/8)e4. Relaxing this assumptiondoes not qualitatively change our results. (For pseudosynchronous spin, the periastron advancedue to planet’s rotation bulge is always smaller than that due to tidal distortion.)
Equivalent evolution equations for the spin-triple system can be found in (21,26).
3
S2 Supplementary Text
S2.1 FiguresIn this section we provide several supplementary figures that facilitate deeper understanding of therich dynamics exhibited by the stellar spin during Kozai cycles and migration.
As stated in the main text, the division between different regimes of stellar spin behavior de-pends on the planet semi-major axis, binary semi-major axis, and the product of planet mass andstellar spin frequency. In Fig. S1, we illustrate these divisions in the ab − a space for several dif-ferent values of Mp ≡ (Ω?/0.05)(Mp/MJ). We note that for real systems, short-range effects dueto General Relativity (GR) and tidal/rotation distortion of the planet may affect the Kozai cycles.For the parameter space explored in this paper, the GR effect dominates. When the Kozai preces-sion frequency ωk ∼ t−1
k (1− e2)3/2 becomes comparable to the GR-induced precession frequencyωGR, the Kozai cycle is arrested. In this case, the maximum eccentricity achieved during a Kozaicycle is reduced, and any planet undergoing Kozai cycles in will fail to become a hot Jupiter ifrp = a(1− emax) is larger than ∼ 0.1 AU. Thus, the effect of GR can restrict the available param-eter space in which adiabatic evolution (regime III) happens and a hot Jupiter is created. However,the presence of short-range forces and tidal dissipation also alters the topology of the chaos in theparameter space, making it difficult to draw a direct connection between the regime divisions inthe “pure” Kozai system and the results of our dissipative simulations. In fact, the results of Fig. 5(left) demonstrate that, indeed, it is possible for hot Jupiters to experience adiabatic evolution.
In order to explore the three regimes of stellar spin evolution, we create surfaces of section(Fig. 2) by sampling the spin trajectory every time the orbital trajectory comes back to the sameregion of phase space. In Fig. S2 we show the orbital trajectory in phase space, with and withoutshort-range forces, and mark the point at which we choose to sample the spin evolution.
In the main text, we demonstrate that in the “transadiabatic” regime (regime II), stellar spin hasthe potential to undergo both chaotic motion and regular quasiperiodic motion, depending on theparameters of the system. In Fig. 1 we present an example of a chaotic trajectory. Here, in Fig. S3we present an example of a periodic transadiabatic trajectory: even at late times, the “real” and“shadow” trajectories match perfectly.
Finally, in Fig. S4 we present a sample time evolution for the Kozai problem with added short-range forces, tidal dissipation and stellar spindown, showing how the final semi-major axis af andspin-orbit misalignment angle θfsl are attained. Each point in Fig. 5 represents the result of suchevolution.
4
102
103
ab (AU)
Mp =1
III
II
I
102
103
ab (AU)
Mp =5
III
II
I
1 2 5 10
a (AU)
102
ab (AU)
Mp =300
III
II
I
Figure S1: Breakdown of parameter space into the three regimes of spin evolution, as discussed inthe text. Black: for a periastron distance of rp = a(1− emax) = 0.03 AU; gray: for rp = 0.05 AU.Here Mp = (Ω?/0.05)(Mp/MJ). The regimes are determined by the relative values of the stellarspin precession frequency Ωps and the nodal precession frequency Ωpl of the planet’s orbit. Notethat Ωps depends on cos θsl, and for concreteness we use cos θsl = 1. Ωpl is a complicated functionof eccentricity and θlb (Eq. 2), which we approximate as Ωpl ≈ −t−1
k /(1 − e2) in making thisfigure. The lines separating Regimes I and II are given by |Ωps,max| ≈ 0.5|Ωpl,max|, where Ωps,max
and Ωpl,max are equal to Ωps and Ωpl evaluated at (1−emax) = rp/a. The line separating Regimes IIand III is given by |Ωps,0| ≈ 2|Ωpl,0|, where Ωps,0, Ωpl,0 are equal to Ωps and Ωpl evaluated at e = 0.The dotted lines mark the boundary at which the effect of GR becomes significant, approximatedby ωGR ≈ t−1
k (1 − e2max)−1/2. Above the dotted lines, GR will suppress the Kozai cycles, so that
the system cannot reach the specified rp. In Regimes I and III the spin precession frequency neveroverlaps with the nodal precession frequency, and the spin evolution is expected to be regular andperiodic. In Regime II, the two frequencies are equal for some value of e during the Kozai cycle,and therefore secular spin-orbit resonance develops, potentially leading to chaos. Note that theparameters shown in the lowest panel ( Mp = 300) correspond to a low-mass star rather than aplanet.
5
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
e cosΩ
esi
nΩ
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
e cosΩ
esi
nΩ
Figure S2: Orbital trajectory in e − ω phase space, for the “pure” Kozai problem (left), and withthe addition of short-range forces (right). ω circulates with a period that is twice the period of theeccentricity oscillations. In red, we mark the point in the trajectory where we choose to samplethe spin evolution in generating Figs. 2 and 4: i.e., every time the trajectory passes that point, werecord the stellar spin orientation.
6
0.01
0.1
1
1-e
0
50
100
150
ΘlbHd
egL
0
50
100
150
ΘsbHd
egL
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
t HMyrL
ΘslHd
egL
0.01
0.1
1
0
50
100
150
0
50
100
150
950 960 970 980 990 10000
50
100
150
Figure S3: Sample evolution curves for a trajectory in a periodic island of regime II, demonstratinghow the stellar spin evolves through many Kozai cycles. We plot a “real” trajectory (red solid lines)and a “shadow” trajectory (orange dashed lines), used to evaluate the degree of chaotic behavior.The trajectories are initialized such that the “real” starts with S parallel to L, and the “shadow”with S misaligned by 10−6deg with respect to L. The parameters are a = 1AU, ab = 200AU,e0 = 0.01, θ0lb = 85, Ω? = 0.03, Mp = 1.025MJ . This figure corresponds to the red points ofFig. 2 (bottom left) and the red curve of Fig. 3 (left). It is perfectly periodic: even at late times, the“real” and “shadow” trajectories match perfectly.
7
10 100 1000 104
0.1
0.30.5
1
aHA
UL
10 100 1000 104
0.01
0.1
1
1-
e
Θlb
Θsb
10 100 1000 1040
50
100
150
Θlb
,Θ
sbHd
egL
10 100 1000 1040
50
100
150
t HMyrL
Θsl
Hdeg
L
Figure S4: Sample orbital and spin evolution, including tidal dissipation and stellar spindown.The parameters for this run are a0 = 1AU, ab = 200AU, e0 = 0.01, θ0lb = 85, Ω?,0 = 0.05,Mp = 5MJ , χ = 700.
8
S2.2 Toy ModelWe consider a toy model in order to gain a better understanding of the dynamical behavior ofthe “real” Kozai system with stellar spin evolution (i.e. the system on which we focused in themain text). In this model, the stellar spin axis S satisfies Eq. (S2), and the orbital axis L evolvesaccording to
dL
dt= ΩplLb × L, (S10)
where we have neglected the back-reaction torque of the stellar spin on the planetary orbit (thisback-reaction can be included but it does not introduce qualitatively new features when L S),and the nutation of the orbital angular momentum vector L. The external binary axis Lb is fixedin time, and the angle between L and Lb is constant. The spin precession rate Ωps is a functionof eccentricity (and time) [see Eq. (4)]. In the case of pure Kozai oscillations (i.e. without extraprecession effects), the eccentricity is a periodic function of time, varying between 0 and emax. Weimitate this oscillatory behavior by adopting the following explicit form for Ωps:
Ωps(t) = Ωps,0f(t) cos θsl, with f(t) ≡ 1 + ε
1 + ε cos Ω0t, (S11)
where Ω0 represents the Kozai oscillation frequency. The precession frequency of L around Lb hasthe approximate eccentricity dependence Ωpl ∝ [2(1− e2)−1 − 1] in the real system, and thereforein our toy model takes the form
Ωpl = Ωpl,0(2f2/3 − 1), where Ωpl,0 =
3
4Ω0 cos θlb. (S12)
During a Kozai cycle, Ωps varies from Ωps,0 cos θsl to Ωps,max = Ωps,0(1 + ε) cos θsl/(1 − ε). Weadopt ε = 0.99 in our examples below. Thus, the parameter ωps,0 ≡ Ωps,0/Ωpl,0 determines whetherthe system is nonadiabatic (ωps,0 . 0.1), transadiabatic (0.1 . ωps,0 . 1), or fully adiabatic(ωps,0 & 1).
For a given Ωps,0, we numerically integrate Eqs. (S2) and (S10) for 1000 “Kozai cycles,” recordthe values of θsl and θsb at eccentricity maxima (i.e., Ω0t = π, 3π, 5π, · · · ), and then plot thesevalues in the θsl − ωps,0 and θsb − ωps,0 planes. We repeat the process for different values of ωps,0.The results are shown in Fig. S5 for initial θlb = 60 (and initial θsl = 0). The range of ωps,0 hasbeen chosen to illustrate the nonadiabatic, transadiabatic and fully adiabatic regimes.
As in the real system, our toy model exhibits periodic/quasiperiodic solutions and chaoticzones, and the level of chaos is determined by the parameter ωps,0. If we use the spreads of θsland θsb as a measure of chaos, we see that the system generally becomes more chaotic with in-creasing ωps,0, until ωps,0 reaches ∼ 5, beyond which the system becomes fully-adiabatic (θsl → 0and θsb approaches a constant). However, multiple periodic islands exist in the ocean of chaos.Figure S6 illustrates the time evolution of θsl and θsb in several of these periodic islands, alongwith an example of chaotic evolution. Figure S7 compares δ(t) = |Sreal(t)− Sshadow(t)| (wherethe shadow trajectory has an initial condition nearly identical to the real one) for the different cases,clearly showing the difference between the periodic islands and chaotic evolution.
9
Figure S5: Angles θsl and θsb evaluated at maximum eccentricity (where Ω0t = π, 3π, 5π... for1000 cycles) as functions of ωps,0 ≡ Ωps,0/Ωpl,0. The initial angle between L and Lb is θ0lb = 60,and S and L are initially aligned. The range of ωps,0 (on the logarithmic scale) in the right panelsis chosen to illustrate the behavior of the three regimes (nonadiabatic, transadiabatic, and fullyadiabatic). The narrow range of ωps,0 (on the linear scale) in the left panels exhibits the existenceof periodic and quasiperiodic islands within the (chaotic) transadiabatic zones.
10
0
50
100
150
θ sl (
deg
)
0 5 10 15 20
t/π
0
50
100
150
θ sb (deg
)0
50
100
150
0 5 10 15 20
t/π
0
50
100
150
0
50
100
150
θ sl (
deg
)
0 5 10 15 20t/π
0
50
100
150
θ sb (deg
)
0
50
100
150
0 5 10 15 20t/π
0
50
100
150
0
50
100
150
θ sl (
deg
)
0 5 10 15 20t/π
0
50
100
150
θ sb (deg
)
0
50
100
150
0 5 10 15 20t/π
0
50
100
150
Figure S6: Angles θsl and θsb as functions of time, demonstrating the various behaviors of differentorbits shown in Figure S5, including the three distinct regimes, and the difference between periodicand chaotic evolution in the transadiabatic regime. Time is in units of Ω0 = 1 (Eq. S11), and hasbeen scaled by π. The dashed lines, included for reference, are located at odd-integers (when thesystem is at maximum eccentricity). Upper left panel: ωps,0 ≡ Ωps,0/Ωpl,0 = 0.023, nonadiabatic,so that θsb ≈ constant. Upper right panel: ωps,0 = 13.3, fully adiabatic, so that θsl ≈ θ0sl ≈ 0.Middle left panel: ωps,0 = 0.89, transadiabatic but periodic, with period= 12π. Middle right panel:ωps,0 = 1.25, transadiabatic but periodic, with period= 16π. Bottom left panel: ωps,0 = 2.13,transadiabatic but periodic, with period= 2π. Bottom right panel: ωps,0 = 2.35, transadiabatic,with no discernible periodic behavior, chosen to illustrate chaotic evolution. See also Fig. S7 forfurther comparison between periodic and chaotic evolution.
11
0 10 20 30 40 50 60t
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
δ
Figure S7: Difference (δ) in the spin vector S between “real” and “shadow” trajectories for thefour transadiabatic systems shown in Fig. S6 (bottom 4 panels), starting with an initial δ0 = 10−8.Time is in units of Ω0 = 1. Three examples of periodic evolution are shown, where ωps,0 ≡Ωps,0/Ωpl,0 = 0.89 (blue), ωps,0 = 1.25 (green), ωps,0 = 2.13 (red), as well as a chaotic exampleωps,0 = 2.35 (purple). Compare with Figure S6. For the periodic examples δ remains small, whilein the chaotic example, δ increases exponentially, and eventually saturates to its maximum valueof δ = 2.
12