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Teoría de PerturbacionesRegión TN

Dinámica de altas inclinaciones

¿Por qué Eris?

Tabaré Gallardowww.fisica.edu.uy/∼gallardo

Departamento de AstronomíaIFFC (UdelaR)

Seminarios de Física, 7 setiembre 2012

Tabaré Gallardo ¿Por qué Eris?



Indice

1 Teoría de PerturbacionesElementos orbitalesEcuaciones Planetarias y Teoría SecularDinámica de Kozai-Lidov

2 Región TNMapas de KozaiNuevo punto de equilibrio

3 Dinámica de altas inclinacionesMolniyaModelo Sol + anillosEris




Resumen

Enigmático título para una charla cuyo objetivo no es más queintroducir a los estudiantes en algunas metodologías utilizadas enel estudio de la evolución orbital de planetas, cuerpos menores ysatélites.




Eris

(Hubble site)




Los mayores TransNeptunianos

(wikipedia)




Población conocida de TNs

(MPC)




Dispersión orbital en la Región TN




Motivación

La existencia de órbitas de alta excentricidad e inclinacióndesacopladas de Neptuno ha desafiado a los astrónomosquienes han recurrido a diversas teorías que involucran planetasno descubiertos, compañeros solares, pasajes estelares, etc.

¿Es necesario recurrir a esas hipótesis?




Survey of Kozai dynamics beyond Neptune

Tabaré Gallardo ⇑, Gastón Hugo, Pablo PaisDepartamento de Astronomía, Instituto de Física, Facultad de Ciencias, Iguá 4225, 11400 Montevideo, Uruguay

a r t i c l e i n f o

Article history:Received 5 April 2012Revised 14 May 2012Accepted 18 May 2012Available online 30 May 2012

Keywords:Resonances, OrbitalTrans-neptunian objectsKuiper belt

a b s t r a c t

We study the Kozai dynamics affecting the orbital evolution of trans-neptunian objects being captured ornot in MMR with Neptune. We provide energy level maps of the type (x,q) describing the possible orbitalpaths from Neptune up to semimajor axis of hundreds of AU. The dynamics for non-resonant TNOs withperihelion distances, q, outside Neptune’s orbit, aN, is quite different from the dynamics of TNOs withq < aN, already studied in previous works. While for the last case there are stable equilibrium points atx = 0, 90,180 and 270 in a wide range of orbital inclinations, for the former case it appears a familyof stable equilibrium points only at a specific value of the orbital inclination, i 62, that we call criticalinclination. We show this family of equilibrium points is generated by a mechanism analogue to whichdrives the dynamics of an artificial satellite perturbed by an oblate planet. The planetary system also gen-erates an oscillation in the longitude of the perihelion of the TNOs with i 46, being Eris a paradigmaticcase. We discuss how the resonant condition with Neptune modify the energy level curves and the loca-tion of equilibrium points. The asymmetric librations of resonances of the type 1:N generate a distortionin the energy level curves and in the resulting location of the equilibrium points in the phase space (x,q).We study the effect on the Kozai dynamics due to the diffusion process in a that occurs in the ScatteredDisk. We show that a minimum orbital inclination is required to allow substantial variations in periheliondistances once the object is captured in MMR and that minimum inclination is greater for greater semi-major axis.

2012 Elsevier Inc. All rights reserved.

1. Introduction

One of the open problems of the trans-neptunian region (TNR)is to find an explanation for the wide variety of orbits that the dis-covered trans-neptunian objects (TNOs) exhibit. In particular,those objects with perihelion outside Neptune’s orbit and withhigh orbital inclinations and eccentricities that cannot be ex-plained by the diffusive process the Scattered Disk Objects (SDOs)experience, nor by the past dynamical history of the planetarysystem (Tsiganis et al., 2005). It is known (Duncan et al., 1995;Gladman et al., 2002; Fernández et al., 2004) that TNOs with peri-helion q < 36 AU are inside a chaotic region that generates a diffu-sion in semimajor axis enhancing aphelion distances. But thediffusion itself cannot decouple the perihelion from Neptune’s re-gion, then it is necessary to invoke another mechanism to explainthe existence of high perihelion SDOs, also known as DetachedObjects. The origin of these problematic orbits have given rise totheories involving passing stars (Ida et al., 2000), scattered planets(Gladman and Chan, 2006), tides from the star cluster where theSun was formed (Brasser et al., 2006), a stellar companion (Gomeset al., 2006) and others. But, in order to avoid extra hypothesis it is

necessary an abroad panorama of the dynamics generated by theplanetary system itself in the TNR. Secular resonances, mean mo-tion resonances (MMRs) and the Kozai resonance (KR) are dynam-ical mechanisms operating in the TNR and that could explain someeccentric orbits decoupled from encounters with Neptune (Ferná-ndez et al., 2004; Gomes et al., 2005; Gomes, 2011). The presentwork contributes with new results following that line of thinking.

Secular resonances do not affect the TNOs located beyonda 42 (Knezevic et al., 1991) and MMRs with Neptune do not gen-erate themselves a substantial variation in the orbital elements, asfor example the MMRs with Jupiter do (Gallardo, 2006b). The orbi-tal variations observed when a particle is captured in MMR withNeptune are due to a secular dynamics inside the MMR, like Kozaidynamics. The Kozai dynamics, or more properly Kozai–Lidovdynamics, has its roots in a study by Lidov (1962) of the secularevolution of an artificial Earth’s satellite perturbed by the Moon.Applying these ideas to the asteroid belt, Kozai (1962) developedan analytical approximation for the mean secular perturbing func-tion due to Jupiter assumed in circular orbit, valid even for highinclination and high eccentricity asteroidal orbits. The conserva-tion of the semimajor axis, as is usual in secular theories, but alsothe conservation of the parameter H ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 e2p

cos i, and the exis-tence of an energy integral, K(x,e), allowed the calculation of theenergy level curves for this model showing large oscillations of e

0019-1035/$ - see front matter 2012 Elsevier Inc. All rights reserved.http://dx.doi.org/10.1016/j.icarus.2012.05.025

⇑ Corresponding author.E-mail address: [email protected] (T. Gallardo).

Icarus 220 (2012) 392–403

Contents lists available at SciVerse ScienceDirect

Icarus

journal homepage: www.elsevier .com/ locate/ icarus




Elementos orbitalesEcuaciones Planetarias y Teoría SecularDinámica de Kozai-Lidov

(algo de...)

Teoría de Perturbaciones





Elementos orbitales

Ecuación de movimiento (µ = GM):

~r = − µr2 r +∇R

Función perturbadora:R =

∑i

Ri

Energía total de la partícula:

K =v2

2−µ

r− R = − µ

2a− R





Elementos orbitales

Solución:~r(t)

~r(t),~r(t) −→ (a, e, i, ω,Ω,T)

Si R = 0 −→ (a, e, i, ω,Ω,T) son constantes.

Si R 6= 0 −→ (a, e, i, ω,Ω,T) varían con el tiempo.





Evolucion del Sistema Solar interior

http://youtu.be/HKxMTelzcZo





afelio: Q = a(1 + e) perihelio: q = a(1− e)

a(1-e)a(1+e)

Sol





(Greenberg 1982)





Caminos posibles para estudiar la dinámica:

Resolución numérica de las ecuaciones exactas con C.I. queocupen todo el espacio de parámetros. Titánico análisis posteriorde a(t), e(t), . . .

Estudio de un modelo analítico aproximado.

La Mecánica Celeste se desarrolló cuando la primera opción erainconcebible.





100 años después de la Ley deGravitación Universal:

dadt

= fa(R)

dedt

= fe(R)

didt

= fi(R)

. . .

R = Rcp(t) + Rsec(a, e, i, . . .)





Teoría Secular

Se elimina Rcp(t) o se promedia en t (... o algo mas complicado):

dadt

= fa(Rsec) = 0

dedt

= fe(Rsec)

didt

= fi(Rsec)

. . .

Describen el comportamiento de (a, e, i, ω,Ω) a largo plazo,despreciando las oscilaciones de alta frecuencia.

a = constante





Solución numérica de las ecuaciones exactas de movimiento:

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4 5

se

mie

je o

rbita

l (U

A)

millones de anios desde el presente





Energía constante

Si asumimos que los planetas perturbadores tienen orbitas fijas⇒ Rsec resulta independiente del tiempo y la energía del objeto será:

K = − µ

2a− Rsec = constante

podemos calcular curvas de niveles de energía. El movimiento estaráconfinado en esos niveles.

Teoría Secular con planetas en orbitas fijas:

a,K son constantes del movimiento.





Dinámica de Kozai-Lidov

Asumimos además a los perturbadores en órbita circular:

Lidov 1961-1962: satélite perturbado por Luna, analítico.

Kozai 1962: asteroide perturbado por Júpiter, analítico.

Bailey et al. 1992: cometa perturbado por Júpiter, numérico.

Thomas y Morbidelli 1996: TNs perturbados por JSUN,numérico.

una nueva constante del movimiento: H =√

1− e2 cos i.





Método numérico de Bailey et al. (1992) y Thomas y Morbidelli(1996):





Rsec =1

4π2

∫ 2π

0

∫ 2π

0R(λpla, λTN) dλpla dλTN

K(a,H, q, ω) = constante

a = constante

H =√

1− e2 cos i = constante

(para los que vieron Mecánica Analítica: el Hamiltoniano delproblema es K y es independiente de las coordenadas conjugadas delos momentos a y H)




Mapas de KozaiNuevo punto de equilibrio

Región TN

K = constante

a = constante

H =√

1− e2 cos i = constante





H =√

1− e2 cos i = cte

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

eccentricity

inclination

H(i,e), Known population with q>30 AU (Jan. 2012)

0.10.3

0.5

0.7

0.9

-0.1 -0.3

-0.5

-0.7

-0.9





K = constante

(a) H=0.1, a=50 AU

84.2

69.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(e) H=0.1, a=100 AU

83.7

44.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(b) H=0.3, a=50 AU

72.5

28.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(f) H=0.3, a=100 AU

70.9

16.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(c) H=0.5, a=50 AU

60

11.5

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(g) H=0.5, a=100 AU

56.9

18.3

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

q (AU)

(d) H=0.7, a=50 AU

45.6

11.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(h) H=0.7, a=100 AU

40.2

11.4i

0 30 60 90 120 150 180

ω

30

35

40

45

50

55

60

q (AU)





K = constante

(a) H=0.1, a=50 AU

84.2

69.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(e) H=0.1, a=100 AU

83.7

44.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(b) H=0.3, a=50 AU

72.5

28.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(f) H=0.3, a=100 AU

70.9

16.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(c) H=0.5, a=50 AU

60

11.5

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(g) H=0.5, a=100 AU

56.9

18.3

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

q (AU)

(d) H=0.7, a=50 AU

45.6

11.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

q (AU)

(h) H=0.7, a=100 AU

40.2

11.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

30

35

40

45

50

55

60

q (AU)





Nuevo punto de equilibrio en ω = 90

(a) H=0.1, a=200 AU

82

44.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(e) H=0.1, a=300 AU

79.6

57

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(b) H=0.3, a=200 AU

65.2

16.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

q (AU)

(f) H=0.3, a=300 AU

65.2

16.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

20

30

40

50

60

70

80

90

q (AU)

(c) H=0.5, a=200 AU

45.6

4.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

30

35

40

45

50

55

60

q (AU)

(g) H=0.5, a=300 AU

51.3

7.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

50

60

70

80

90

100

110

120

q (AU)

(d) H=0.7, a=200 AU

29

6.3

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

60

65

70

75

80

q (AU)

(h) H=0.7, a=300 AU

42.1

11.4i

0 30 60 90 120 150 180

ω

100

120

140

160

180

200

q (AU)





Solución numérica de las ecuaciones exactas de movimiento versus elmodelo:

30

32

34

36

38

40

42

44

0 30 60 90 120 150 180

q (AU)

ω

H=0.367, a=100.4 AU

63.9

59.3

i





Metamorfosis de los puntos de equilibrio

H=0.49, a=36 AU

60.7

59.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

28

29

30

31

32

33

34

35

36

q (AU)

H=0.48, a=41 AU

61.3

60.1

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

30

32

34

36

38

40

q (AU)

H=0.46, a=50 AU

62.0

60.2

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

q (AU)

H=0.46, a=52 AU

61.8

60.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

35

36

37

38

39

40

q (AU)

H=0.46, a=54 AU

62.4

59.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

32

34

36

38

40

42

44

46

48

q (AU)

H=0.46, a=80 AU

62.6

61.0

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

55

60

65

70

75

80

q (AU)

H=0.36, a=100 AU

65.4

34.3

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

H=0.2, a=500 AU

66.9

54.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

30

35

40

45

50

55

60

65

70

q (AU)





Entonces:

Encontramos una familia de puntos de equilibrio eni ∼ 60 − 63

¿Por qué se generan esos puntos?

¿Hay más?




MolniyaModelo Sol + anillosEris






Algo de historia: satélites Molniya

(wikipedia)





Cobertura de los Molniya

(wikipedia)





Cobertura de los Molniya en apogeo

(wikipedia)





¿Por qué tan inclinados?

El achatamiento terrestre (J2) genera una variación:

dωdt∝ J2(3 + 5 cos 2i)

Pero sii ' 63,4 −→ dω

dt= 0

el apogeo se mantiene fijo (convenientemente) en el hemisferio norte.

¿63,4?





Modelo Sol + anillos

¿Podremos lograr que el sistema planetario sea dinámicamenteequivalente a un Sol achatado?

Sustituímos Sol + planetas −→ potencial de esfera + anillos

z





R generada por esfera + anillos

R =C4µ

r3 (1− 3z2

r2 ) +9E64

µ

r5 (1− 10z2

r2 +353

z4

r4 ) + . . .

Rsec =1

2π

∫ 2π

0R(λTN) dλTN

C = momento de inercia en la dirección z.

la energía K = −µ/2a− Rsec es constante.

podemos calcular curvas de niveles de energía (mapas de Kozai).





Mapas de Kozai para nuestro modelo analítico

97.4

81.3

69.2

60.0

0 30 60 90 120 150 180

60

62

64

66

Ω

iHde

gree

sL

qHA

UL





Ecuaciones de nuestro modelo

dedt

=45ekE

512a11/2(1− e2)3 (5 + 7 cos 2i) sin2 i sin 2ω + . . .

didt

= − 45e2kE1024a11/2(1− e2)4 (5 + 7 cos 2i) sin 2i sin 2ω + . . .

dΩ

dt= − 3Ck

4a7/2(1− e2)2 cos i + . . .

dωdt

=3Ck

16a7/2(1− e2)2 (3 + 5 cos 2i) + . . .

d$dt

=3Ck

16a7/2(1− e2)2 (3− 4 cos i + 5 cos 2i) + . . .





Ecuación para ω

dωdt∝ (3 + 5 cos 2i) + . . .

i ∼ 63,4 −→ dωdt

= 0

como los Molniya!

dedt∝ (5 + 7 cos 2i) sin2 i sin 2ω + . . .

dedt

= 0 −→ ω = 0, 90, 180, 270





Puntos de equilibrio





30

35

40

45

50

55

60

65

70

40 60 80 100 120 140

inclination

a (UA)

dω/dt=0

2005 NU125

2004 XR190

Eris2004 DF77

2006 QR180

2007 TC434





Ecuación para $ = Ω + ω

d$dt∝ (3− 4 cos i + 5 cos 2i) + . . .

d$dt

= 0 −→ i ∼ 46





30

35

40

45

50

55

60

65

70

40 60 80 100 120 140

inclination

a (UA)

dω/dt=0

dϖ/dt=0

2005 NU125

2004 XR190

Eris2004 DF77

2006 QR180

2007 TC434





90

180

270

360

Ω136199 Eris

90

180

270

ω

43

44

i

70

75

80

85

0 50 100 150 200

ϖ

time (Myr)





(Greenberg 1982)





Eris por 200 MA:

http://youtu.be/CA1XPj_DklY




Algunas conclusiones

Para los objetos ubicados más allá de Neptuno el SS esdinámicamente ∼ Sol achatado

Existe una familia de puntos (en i ∼ 63) con ω = 0 que generangrandes oscilaciones en q

No se han descubierto aún objetos reales en esa configuración

Existe una familia de puntos (en i ∼ 46) con $ = 0

Eris es el único objeto conocido en esa configuración




¿Por qué Eris?




Bibliografía y links

Survey of Kozai Dynamics Beyond Neptune, Icarus 220, 392-403.

Seminario Investigando la Dinámica de Sistemas Planetarios(2004).

Programa SOLEVORB: para hacer integraciones numéricas.

www.fisica.edu.uy/∼gallardo


Reunión Anual de la Sociedad Uruguaya deAstronomía 2012

www.astronomia.edu.uy/sua2012

Sábado 6 de OctubreAulario del Faro


(a) res 5:11, H=0.1, a=50.95 AU

84.3

68.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(e) res 1:6, H=0.1, a=99.45 AU

84.1

76.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

10

20

30

40

50

60

70

80

q (AU)

(b) res 5:11, H=0.3, a=50.95 AU

72.5

39.4

59.7

65.7

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(f) res 1:6, H=0.3, a=99.45 AU

72.2

62.6

23.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

10

20

30

40

50

60

70

80

q (AU)

(c) res 5:11, H=0.5, a=50.95 AU

32.8

45.1

60

i 0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(g) res 1:6, H=0.5, a=99.45 AU

59.3

33.8

57

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

70

80

q (AU)

(d) res 5:11, H=0.7, a=50.95 AU

8.9

28.2

45.6

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(h) res 1:6, H=0.7, a=99.45 AU

44.5

15.2

29.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

20

30

40

50

60

70

80q (AU)


(a) res 5:11, H=0.1, a=50.95 AU

84.3

68.9

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(e) res 1:6, H=0.1, a=99.45 AU

84.1

76.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

10

20

30

40

50

60

70

80

q (AU)

(b) res 5:11, H=0.3, a=50.95 AU

72.5

39.4

59.7

65.7

i 0 30 60 90 120 150 180

ω

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(f) res 1:6, H=0.3, a=99.45 AU

72.2

62.6

23.8

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

0

10

20

30

40

50

60

70

80

q (AU)

(c) res 5:11, H=0.5, a=50.95 AU

32.8

45.1

60

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(g) res 1:6, H=0.5, a=99.45 AU

59.3

33.8

57

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

10

20

30

40

50

60

70

80q (AU)

(d) res 5:11, H=0.7, a=50.95 AU

8.9

28.2

45.6

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

15

20

25

30

35

40

45

50

q (AU)

(h) res 1:6, H=0.7, a=99.45 AU

44.5

15.2

29.4

i

0 30 60 90 120 150 180

ω

20

30

40

50

60

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q (AU)


0

10

20

30

40

50

60

70

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

ii (degrees)

ai (AU)


¿por qué eris? - fisica.edu.uygallardo/sem/seminariofisica2012tg.pdf · teoría de perturbaciones...

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