138

Chap. 9 Interference

합성 파의 위치에 따른 irradiance(intensity)의 변화를 간섭(interference)이라 한다. 간섭을

해석하려면 두 파의 위상 차(phase difference)가 어떤 관계에 있는지를 알아야 하며, 굴절에

관한 Fresnel 방정식과 Stock's relations의 물리적인 뜻을 이해하는 것이 필요하다.

9.1 굴절률, 파속 및 파장의 상관관계

절대 굴절률(absolute refractive index)은 다음과 같이 정의된다.

/n c v (9.1)

여기서 v와 c는 각각 매질과 진공 속에서 빛의 속도이다.

우측 그림에서 매질 밖 1n 과 회색으로 나타낸 매질 속 2n 의

굴절률들을 (9.1)을 이용하여 나타내면

1 1 1

1

cn c n v

v (9.2)

2 2 2

2

cn c n v

v (9.3)

(9.2) (9.3): 2 11 1 2 2

1 2

v nn v n v

v n (9.4)

그림에서 굴절률이 1n 인 매질 1속의 빛이 t 시간 동안 파장(wave length) 1 을 진행할 때 굴

절률이 2n 인 매질 2 속의 빛은 파장 2 를 진행한다. 따라서 두 매질 속을 진행한 빛의 시간

은 다음과 같다.

1 2 2 2

1 2 1 1

vt

v v v

(9.5)

(9.4) (9.5): 2 2 1

1 1 2

v n

v n

(9.6)

수식 (9.6)의 응용(applications)

(a) Snell’s law(굴절법칙)의 유도

위의 그림에서 1 2, 는 각각 입사각과 굴절각이다. 삼각관계를 구하고 (9.6)을 적용하면

2 2 2 2 1

o

1 1 1 1 2

sin / sin

cos(90 ) / sin

s n

s n

1 1 2 2sin sinn n (9.7)

(b) 진공이나 공기의 굴절률은 1on 이다. 이 속을 통과하는 빛의 파장을 o , 물질 내의 파장

을 라 하면

1o o

o

n

n n n

(9.8)

(c) 매질이 다른 물질을 통과한 빛의 파수 차

139

공기 속을 진행하던 한 빛이 굴절률이 다른 길이 L 인 매질 1과 2 를 통과한다고 가정하자.

각 매질에서 빛의 파장과 굴절률은 각각 ( 1 , 1n ), ( 2 , 2n )라 하고, 진공 또는 공기 속에서의

파장을 o 라 하면 (9.8)에 의해

1 1/ ,o n 2 2/o n

매질 1 속의 파수: 11

1 o

LnLN

매질 2 속의 파수: 22

2 o

LnLN

두 매질을 통과한 빛의 파수 차: 2 1 2 1( )o

LN N N n n

(9.9)

그림에서 아래 물질이 공기일 때 1 1on n 그리고 위 물질(예: 유리)의 굴절률을 2n n 이

라고 하면 광이 두 매질을 통과하고 난 후의 파수 차는 (9.9)에 의해 다음과 같다.

( 1)o

LN n

(9.10)

9.2 두 파의 중첩(Superposition)

벡터나 파들의 합을 중첩이라 하며 간섭은 파의 중첩현상이다.

우선 두 파의 중첩을 수학적으로 간략하게 표현하기 위하여

wave vector는 k , 진폭은 oE , 관찰점 r 는 k 와 같은 방향,

두 파가 시작하는 초기 각(epoch angle)은 0 라고 가정한다.

이 경우 경로 1r 과 2r 를 거쳐 온 복소수 형태(complex form)

의 평면 파를 다음과 같이 각각 쓰고, 점 P 에서 중첩되어 나

타나는 irradiance를 분석하자.

1 1

1( )( , ) o

i k r tE r t E e

(9.11)

2 2

2( )( , ) o

i k r tE r t E e

(9.12)

두 파의 중첩(superposition): 1 2E E E (9.13)

합성 파의 irradiance: 2

1 2 1 2( ) ( )E E E E E E E (9.14)

여기서 *는 공액 복소수(complex conjugate)를 나타낸다.

21 1 2 2 1 2 1 2E E E E E E E E E

2 21 2 1 2o oE E E E E E

2 2 1 2 1 2[( ) ( )] [( ) ( )]2 [ ]o o

i k r t k r t i k r t k r tE E e e

2 2 1 2 1 2) )( (2 [ ]o o

i k r r i k r rE E e e

2 2 2 2

1 2 1 22 2 cos ( ) 2 [1 cos ( )]o o oE E E k r r E k r r (9.15)

1r 과 2r 가 같은 물질 속의 광로일 때 광로 차(OPLD: Optical Path Length Difference)는

OPLD: 1 2r r (9.16)

140

※ 광로 차 는 빛이 매질 속을 통과하는 굴절률들과 관계가 있다. 만일 경로 1r 매질의 굴

절률을 1n , 경로 2r 매질의 굴절률을 2n 라 하면 광로 차 의 정확한 표현은 1 1 2 2n r n r

이다. 그러나 위의 중첩에서 두 경로는 모두 공기나 진공 속이라고 가정하면 1 2 1on n n

이기 때문에 는 단순히 1 2r r 로 표현된다. 공기의 굴절률은 1에 가깝다.

위상 차(phase difference): 1 2( )k r r k (9.17)

여기서 2 / ok (o 는 진공 속에서의 파장)이다. (9.15)를 (9.17)로 다시 표현하면

2 22 (1 cos )oE E (9.18)

물질 속 전자기 파의 irradiance:

22

,2 2

oo

EEI I

v v (9.19)

※ Irradiance는 단위면적당, 단위시간당의 에너지로 Poynting 벡터에서 정의 되는 값이다.

Irradiance를 intensity 또는 flux density로 표현하기도 한다.

Irradiance(Intensity): Poynting vector의 평균값.

Poynting vector: 1 1

S E B S EB

sin( )oE E kr t , sin( )oB B kr t , 그리고 E cB 이다.

Irradiance (intensity): 2 2

2sin ( )2

o oo

E EI S kr t

c c

단위: [2 2

J W

s m m

]

(9.18)을 (9.19)로 나타내면

22 (1 cos ) 4 cos2

o oI I I I

(9.20)

※ 2 2 2cos cos( ) cos ( ) sin ( ) 2cos 1

2 2 2 2 2

간섭 식 (9.20)의 물리적 해석

1 1 2

2 2 2k

1 2( )

2r r

(9.21)

여기서 는 같은 물질 속의 1r 과 2r 를 거쳐 오는 두 파의 공통된 파장이다.

(a) 보강간섭 (constructive interference): cos( / 2) 1 일 때 4 oI I

위상 차 조건: 22

m m

, ( 0, 1, 2,m ) (9.22)

광로 차 조건: 1 2m r r m

(9.23)

(b) 소멸간섭(destructive interference): cos( / 2) 0 일 때 0I

위상 차 조건: 1

( ) (2 1)2 2

m m

(9.24)

광로 차 조건: 1 2

1 1( ) ( )

2 2m r r m

(9.25)

141

9.3 Young's Interference

하나의 laser 빛이 다음 그림처럼 간격이 a 인 ,A B 슬릿(slit)을 통해 들어온다고 가정하자.

1r 과 2r 의 두 경로를 거쳐오는 파는 평면파이며 k 와 oE 은 모두 같고, 초기 각이 0 이다. 이

때 중심으로부터 높이 my 인 벽면의 점

1P 에 나타나는 간섭현상을 분석해 보면 (9.23)과

(9.25)인 조건을 얻을 수 있다.

보강간섭: 1 2r r m

소멸간섭: 1 2

1( )

2r r m

Young의 간섭현상에 대한 수식 개발

Young의 간섭은 두 슬릿의 간격이 대단히 작고( mm 이하) 슬릿 크기는 수십 미크론 정도이

며 여기에 비해 벽면까지의 거리는 상대적으로 멀다( s a ). 따라서 그림에서 E 점은 슬릿 벽

D 점과 거의 일치하고 1P 도 oP 에 근접되어 있어 는 0 에 가깝다. 그 결과 직각삼각형

1ACP 을 1 1AP CP 인 이등변 삼각형으로 취급하여도 간섭현상에 큰 오차가 발생하지 않는다.

점 A에서 C 로 수선을 그으면 1 1AP CP 이므로 두 빛의 광로 차는 다음과 같다.

광로 차: 1 2 sinr r a (9.26)

(a) 보강간섭: sina m (9.27)

여기서 0, 1, 2,m 이다. 0m 는 1r 과 2r 가 중심 oP 에 도달하는 빛의 광로이며 oP 점

은 가장 밝은 간섭무늬를 만드는 곳이다.

(b) 소멸간섭: 1

sin ( )2

a m (9.28)

0 일 때: sin tan /my s (9.29)

(9.29)를 (9.27)의 보강간섭에 적용하면

1 2 sin mm

a y sr r a a m y m

s a

(9.30)

(c) 이웃 보강간섭 사이의 거리: 1 [ ( 1)]m m

s sy y y m m

a a

(9.31)

142

(d) 빛의 irradiance: 2 2

1 24 cos 4 cos ( )2

o oI I I r r

(9.32)

(9.30)의 1 2r r a 와 (9.29)의 /my s 을 대입하면

2 24 cos 4 cos m

o o

a yI I a I

s

(9.33)

9.4 Young의 간섭에 속하는 간섭

9.4.1 Lloyd Mirror

광원 S 에서 두 빛이 각각 1r (거울에서 반사하여 오는 경로)과 2r (반사 없이 직접 오는 경로)

를 거쳐 점 P 로 들어 온다면, 1r 경로로 오는 빛은 거울에서 반사할 때 radian(파장으로

/ 2 )의 위상이동(phase shift)이 있다. 그러므로 점 P 에서 중첩된 두 파는 Young의 간섭과

달리 보강 및 소멸간섭이 반대로 나타난다. 여기서 1r 의 길이는 1 'r PS 과 같다.

위상 차: 1 2' ( )k r r (9.34)

(9.34)를 24 cos ( '/ 2)oI I 에 대입하면

1 2 1 2

' 1cos cos[ ( ) ] sin[ ( )] sin

2 2 2 2k r r k r r

Lloyd mirror에서 irradiance는 (9.20)과 (9.33)이 sine으로 변환된 수식이 된다.

24 sin2

oI I

(9.35)

24 sin mo

a yI I

s

(9.36)

이것은 Young의 상보(complementary) 간섭이다. 다시 말하면 0y (중심)에서 Young의 간

섭은 밝은 보강간섭을 보여주지만 Lloyd mirror는 소멸간섭으로 어둡다.

143

(a) 보강간섭: sin( / 2) 1 일 때 4 oI I

위상 차: 1

( ) (2 1)2 2

m m

(9.37)

광로 차: 1 2 1 2

2 1 1( ) 2( ) ( )

2 2r r m r r m

(9.38)

(b) 소멸간섭: sin( / 2) 0 일 때 0I

위상 차: 22

m m

(9.39)

광로 차: 1 2 1 2

2( ) 2r r m r r m

(9.40)

다른 방법으로 (9.34)에서 또는 를 택하여 계산해도 위의 결과들을 얻는다.

보강간섭: 1 2 1 2

1( ) 2 ( )

2k r r m r r m (9.41)

소멸간섭: 1 2 1 2( ) (2 1)k r r m r r m (9.42)

※ 거울에서 반사된 파가 입사파에 대해 radian의 위상이동이 생기는 이유

파가 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 입사하면 반사파와 굴절파는 위상이동(phase shift)이

없다. 그러나 굴절률이 작은 매질에서 큰 매질로 입사하면 반사파는 경계면에서 radian

shift (파장으로 / 2 )가 일어나고, 굴절파는 그러한 일이 발생하지 않는다. 이것은 밀도가 다

른 끈을 가지고 다음의 실험을 하면 직접적으로 확인할 수 있다.

끈에서 선의 높은 밀도를 1 , 낮은 밀도를 2 라 하면 높은 밀도에서 입사하는 파는 매듭에서

반사할 때 입사파의 위상과 같게 반사하고, 이와 달리 낮은 밀도에서 들어오는 파는 위상이 역

전되어 반사한다. 이때 끈의 밀도는 빛의 경우 매질의 굴절률에 해당한다. 반사파의 이러한 현

상은 박막에서 보강 또는 소멸간섭을 이해하는 데 특별히 중요하다.

9.4.2 Fresnel Double Mirror and Biprism

Fresnel double mirror는 두 개의 반사경(mirror)이 대단히 작은 각 를 가지고 기울어져 있

다. 아래 그림에서 파의 일부는 반사경 A , 다른 일부는 반사경 B 에서 각각 반사하여 점 P

에 도달하며, 이때 거울에서 반사된 각각의 파는 반사하기 전의 입사파에 대해 radian(파장

으로 / 2 ) 위상이동(phase shift)을 일으킨다. 그 결과 점 P 에 도달하는 두 파는 모두 거울

에서 radian 이동을 했기 때문에 전이에 의한 위상 차는 없다.

144

Fresnel biprism에서 광원 S 로부터 점 P 에 간섭을 만드는 두 파는 biprism에 있는 두 점에

서 회절을 일으킨 빛으로 입사파와 위상이동 차가 발생하지 않는다. 여기서 1r 과 2r 는 각각

1 2,PS PS 이다. 그러므로 Fresnel double mirror와 biprism은 점 P 에서 Young의 간섭과 동

등한 결과를 가져온다. 즉 그 간섭현상은 (9.27)과 (9.28)이며 간섭무늬(fringe) 간격은 (9.31)

이다.

9.5 Mirrored Interference

9.5.1 Michelson Interferometer

우측 그림은 거울 1 2,M M 와 beam splitter로 이루어진

Michelson interferometer의 구조를 보여준다. 일반적으

로 beam splitter는 투과도가 좋은 유리 또는 플라스틱

물질에 은(silver)을 얇게 입힌 반 투과 거울(half mirror)

로 여기서 입사광은 둘로 나뉘어 진다.

광원 S 로부터 beam splitter를 투과한 ray1은 거울 1M

에서 반사하고 다시 beam splitter O에서 외부반사

(external reflection)하여 검출기(detector)로 들어온다.

한편 ray 2 는 점 O 의 박막에서 내부 반사(internal reflection)하여 위로 진행하며 거울 2M

에서 다시 반사한 후, splitter를 통과하여 검출기에 입사한다. 이 과정에서 광원으로부터 검출

기로 빛이 올 때에 1M 으로 가는 ray 1 은 splitter를 한번 통과하는 데 반하여 2M 로 가는

ray 2 는 세 번 통과한다. Splitter를 통과할 때 파장은 /o n 으로 변하기 때문에 통과 수가

다르면 광로에 오차가 발생하므로 해석이 어려워 진다. Ray1과 ray 2 의 확산(dispersion) 효

과(굴절률이 있는 물질을 통과할 때 발생하는 파장의 변화)가 같게 하려면 ray 1 의 경로에

splitter와 동일한 물질이면서 두께가 같은 compensator를 splitter에 평행하게 설치한다.

Michelson interferometer의 간섭은 다음과 같은 방법으로 분석된다.

145

(i) 경로 차에 의한 간섭

O에서 1M , 2M 까지의 거리를 각각 1D , 2D 라 하면

광로 차: 1 22( ) 2D D d (9.43)

내부나 외부의 반사로 인한 위상이동(phase shift)을 고려하지 않을 때

보강간섭: 2 od m (9.44)

소멸간섭: 1

2 ( )2

od m (9.45)

(ii) Fringe ring 에 대한 angular radius

간섭 위치에 따른 중심선에 대한 기울어진 각의 크기를 구하는 것으로, 이를 수학적으로 쉽게

해석하기 위하여 Michelson interferometer를 아래 그림과 같이 모든 구성 요소들이 직선상에

놓인 것처럼 배열하여 분석한다.

검출기(detector)에 있는 관찰자는 beam splitter 내의 광원 면 를 거울 1 2,M M 에 의해 각

각 만들어진 허상 면 1 과 2 로 바라본다. 광원에서 여러 방향으로 나온 빛 중에서 한 빛을

선택하여 기하학적 구성을 해보면 이 빛에 대한 광로 차는 2 cosd , 위상 차는 k

이다. 만일 beam splitter가 박막 coating이 없는 유리라면 ray1은 위상변화 없이 splitter를

통과하여 1M 에서 radian, 그리고 splitter에서 외부 반사(external reflection) 때 다시

radian shift가 일어나 입사광과 같은 위상을 갖는다. 이와 달리 ray 2 에 대한 splitter의 내부

반사(internal reflection)는 위상 변화가 없고 2M 에서 반사할 때에 radian shift가 발생한

다. 따라서 ray1과 ray 2 사이에는 radian(파장으로는 / 2 )의 위상전이 차가 있기 때문에

2 cos m od m (9.46)

는 소멸간섭에 해당하며 무늬의 중앙은 검게 나타난다. 만일 beam splitter가

silver coating 되었다면 ray 2 는 O 부분에서 내부 반사 때 radian shift

(glass의 굴절률<silver의 굴절률)가 있게 되므로 ray1과 ray 2 사이에는 결과

적으로 위상 shift가 없게 되어 (9.46)은 보강간섭이 되며 우측 그림과 같이

중앙은 밝은 무늬를 갖는다. 이때 0m 에 대한 중앙의 bright fringe는 다

음 수식으로 표현할 수 있다.

2 o od m (9.47)

연속적 bright ring(보강간섭 무늬)은

146

12 cos ( 1)o od m

22 cos ( 2)o od m

2 cos ( )p o o o o od m p m p (9.48)

m p 그리고 (9.48)에서 om m p 로 놓을 수 있다. 따라서 특별한(particular) ring에 대

한 (9.48)은 (9.46)과 동등한 식이다.

한 예로 10cm, 550nmod 일 때, (9.47)로 계산한 om 는 400,000om 으로 대단히 큰

값이다. 6p 번째 ring은 399,994m 에 해당한다.

(9.47)을 가지고 (9.48)을 다시 표현하면

2 cos 2 2 (1 cos )p o p od d p d p (9.49)

※ 2 2 2cos cos sin 1 2sin

2 2 2

p p p

p

만일 p 가 매우 작다면 2

cos 12

p

p

(9.50)

(9.50)에 의해 (9.49)의 p 번째 fringe ring에 대한 angular radius는 다음과 같다. 2

1/ 22 (1 cos ) 2 [1 (1 )] ( )2

p o

p o p

pd d p

d

(9.51)

(iii) Michelson Interferometer’s Applications

(A) 거리 측정

처음 광로 차를 1d 이라 하고 만일 한 mirror가 움직이면 광로 차가 2d 로 변할 것이다. 이때

N 개의 무늬가 이동한다면 (9.47)식 2 od m 를 이용하여 이동 거리 d 를 측정할 수 있다.

1 22( ) 2 ( )2

o

od d d N d N

(9.52)

따라서 Michelson interferometer는 정확한 길이 측정에 응용될 수 있다.

(B) 굴절률의 측정

한쪽 팔에 재고자 하는 투명한 물질을 놓으면 중심 fringe가 변한

다. 이때 이동한 fringe의 수를 세면 굴절률이 찾아진다.

(예제) 그림에서 Michelson 간섭계의 한쪽에 길이 5.0cmd 인

밀폐된 통이 있다. 사용한 빛의 파장은 500nm 이다. 통에서

공기를 빼내면 60 개의 밝은 무늬가 지나간다. 통의 양 끝에 있는

유리창의 두께는 무시할 수 있다. 이 결과들로부터 대기압에서 공

기의 굴절률을 유효숫자 여섯 자리까지 구하여라.

(풀이) 진공과 공기의 굴절률을 각각 1.000000on , an 라 하면

147

경로 차에 의한 변동은

2( ) 60a on d n d

602( 1) 60 1

2a an d n

d

7

2

60(5.00 10 m)1 1.000300

2(5.0 10 m)an

(C) Michelson-Morley Experiment

우주에 광파를 전달하는 매질(ether)의 존재 여부를 Michelson-Morley는 자신들의 간섭계로

확인하였다. 실제 경험하는 예를 들고 그들의 실험을 이해하도록 하자.

속력 v 로 흐르는 물에서(그림 참조) 배 S 는 점 P

를 출발하여 물의 흐름과 같은 방향으로 거리 에

있는 점 'P 으로 갔다가 역 방향으로 거슬러 다시 출

발점 P 로 돌아 온다. 한편 배 'S 은 점 Q 를 출발하

여 강폭 인 맞은 편 지점 'Q 으로 갔다가 다시 출

발점 Q 로 돌아온다. 강이 흐르지 않을 때 배의 속력

은 u 라고 가정한다. 'P 으로 향해 갈 때 배 S 의 속

력은 물을 타고 가기 때문에 u v , 거슬러 올라 올 때 u v 이다. 그러므로 배 S 가 을 왕

복하는 데 걸린 시간 t 는

2

2

[1 ( / ) ]t

u v u v u v u

(9.53)

한편 횡단 시 배 'S 이 점 'Q 으로 가려면 배의 속력 u 의 방향은 그림처럼 되어야 한다. 이때

'S 의 진정한 속력 'u 은

2 2 2' 1 ( / )u u v u v u (9.54)

'u 은 갈 때나 올 때 모두 같다. 'S 이 물을 횡단하여 을 왕복 하는 데 걸린 시간 't 은

2

2'

1 ( / )t

u v u

(9.55)

(9.53)과 (9.55)로 두 시간 비례 / 't t 를 구하면

2

1

' 1 ( / )

t

t v u

(9.56)

이 예를 interferometer에 적용해 보자. 빛은 우주 공간에 차 있는 ether라는 정적(stationary)

매질 속을 파도 쳐 오며, 빛은 정적 ether에 대해 c 의 속도로 이동한다고 가정한다. 이것은

마치 파도가 정지하고 있는 물(파도를 전달하는 매체)에 대해 v 로 움직여 오는 것과 같다. 우

주 공간에 ether의 존재 여부는 지구 운동에 대하여 평행과 수직으로 이동하는 빛의 속도를 비

교함으로써 확인할 수 있다.

우주에 정지하고 있는 ether를 S 계(frame)라 하고 지구 위에 설치한 interferometer를 'S 계

148

라 하자. Interferometer는 지구 위에 있기 때문에 지구

공전속도(태양 주위를 도는 속도) 43 10 m/v s 로

x 축을 따라 움직인다고 생각할 수 있으며 이 경우

'S 계에서 바라 본 ether의 상대속도는 v 이다. 예를

들면 속도 v 로 달리는 기차( 'S 계)를 탄 사람은 공기

( S 계)가 다가 오는 것을 느끼고 그것은 곧 바람이며

기차에 대해 v 의 속도로 역 방향으로 분다. 이러한

상황인식 속에서 'S 계의 laser 입사광은 beam-splitter

의 점 O 에서 1M 과 2M 로 나뉘어져 보내진다. O 로

부터 거울들로 향한 빛이 다시 O 로 되돌아 오려면 흐르는 물 위에서의 배의 예와 같은 현상

이 일어날 것이다. 즉 1M 으로 향하는 빛은 v 인 ether에 의해 c v 로 진행하고 반사하여

O로 돌아올 때는 c v 의 속도를 갖는다. 2M 로 향하는 빛은 v 로 움직이는 ether를 가로지

르며 이동해야 하기 때문에 (9.54)와 동일한 형태의 속도를 갖는다. 이 경우 위에서 보여 준

배의 속도 u 는 빛의 속도 c 이고, 흐르는 물의 속도 v 는 ether의 지구 공전에 대한 상대속도

인 v 이다. 문제를 단순화하기 위하여 interferometer에서 두 팔의 길이 1OM 과 2OM 는

로 같다고 가정하자. 우선 나타날 수식을 간단히 표현하기 위하여 다음을 정의한다.

v

c ,

2 2

1 1

1 ( / ) 1v c

(9.57)

1OM 을 왕복하는 데 걸린 시간: 2

2

2 2

[1 ( / ) ]t

c v c v c v c c

(9.58)

한편 laser가 점 2M 로 향하려면 빛 속도 c의 방향은 그림처럼 되어야 한다. 기하학적 구조에

의해 진정한 빛의 속도는

2 2 2 21 ( / ) 1c v c v c c

2OM 를 왕복하는 데 걸린 시간: 2

2 2'

1t

cc

(9.59)

이것은 배가 물을 횡단하는 시간인 (9.55)의 형태와 같은 것이다. / 't t 를 구하면 2(2 ) /

' (2 ) /

t c

t c

(9.60)

(9.60) 또한 배에서의 (9.56)과 동등한 식이다.

(9.58)과 (9.59)로 두 경로의 왕복에 대한 시간차 t 를 계산하면

2

2 2 1/ 2

2 2 1 1' ( ) [ ]

(1 ) (1 )t t t

c c

2 1 2 1/ 22[(1 ) (1 ) ]t

c (9.61)

1 이므로 이항정리 적용: 2 2 22 1

[1 (1 )]2

tc c

(9.62)

149

t 를 주기(period)인 로 나누면 파수 차이다.

tN N f t

(9.63)

2 2 2( ) ( )o o

N f fc f

(9.64)

여기서 f 는 빛의 frequency: 1/f , oc f .

만일 interferometer를 o90 회전 시키면 2 t 가 발생한다. 따라서 이때 발생하는 파수 차는

22'

o

N

(9.65)

(예) 지구의 공전속도는 43 10 m/ sv 이다. 만일 interferometer의 팔의 길이가 11.0m ,

사용한 레이저의 파장이 550nmo 이면 interferometer를 o90 회전시킬 때 이동 파수는

42

9 8

2(11.0m) 3 10 m / s' ( ) 0.4

550 10 m 3 10 m / sN

이것은 interferometer 회전 시 무늬가 이동하는 것을 관찰하기에 충분한 수이다. 왜냐하면 무

늬 0.4 개의 이동은 밝은 무늬가 모두 검은 무늬로 바뀔 수 있는 크기로, 특히 중앙부분을 관

찰하면 쉽게 구분할 수 있다. 그러나 Michelson-Morley는 반복된 많은 실험을 했지만 무늬의

이동을 관찰 할 수 없었다. 이 실험의 결론은 바다에서 파도가 물을 매질로 하여 이동하는 것

과 달리 우주에서 빛은 ether를 매질로 이동하지 않는다는 것을 보여 주고 있다. 즉 우주에는

빛을 파도처럼 나르는 ether라는 물질은 존재하지 않으며 빛은 진공 속을 온다고 생각해야만

한다는 것을 암시한다. 무엇보다 중요한 결론은 관성계에서 빛의 속도는 일정하다는 것으로 이

것은 후에 Einstein에 의한 상대성 이론의 첫 번째 가설을 증명한 실험이다.

(D) Einstein의 시간팽창(Time Dilation) 증명

달리는 물체 속에서 시간은 팽창한다는 상대성이론을 Michelson-Morley 간섭장치는 손쉽게

증명한다. 다음 그림처럼 S 계(정지좌표 계)와 'S 계( S 계에 대해 v 로 움직이는 좌표 계)의 원

점이 서로 일치했을 때 'S 계의 사람이 Laser를 천정의 반사경에 쏘았다고 가정하고, 그 반사

경에서 돌아오는 빛이 걸린 시간을 각각의 계에서 조사해 보자.

이러한 상황에서 'S 계의 관측자는 빛이 직진하여 반사해 돌아오는 것을 경험하며, 이와 달리

S 계의 사람은 아래 그림과 같은 방법으로 빛이 오는 것을 관측하게 될 것이다. 이 그림의 상

150

황을 좀 더 쉽게 이해하기 위하여 다음과 같은 경우를 생각하자. 지상( S 계)에 대해 v 로 달리

는 기차( 'S 계) 속에서 공을 위로 던졌다고 하면, 그 사람은 얼마 후 자기가 선 자리에서 공을

받는다. 즉 'S 계의 관측자는 공이 직진하는 것을 경험한다. 그러나 지상에 있는 사람은 자신

의 위치를 옮겨야만 그 공을 잡을 수 있다. 위의 그림은 그러한 상황을 나타낸다.

'S 계에 있는 사람은 빛이 거울에 반사하여 돌아오는 시간을 다음과 같이 측정한다.

2'

lt

c (9.66)

한편 지상에 있는 사람은 그 빛이 위의 우측 그림처럼 반사하여 오기 때문에 총 걸린 시간을

2 ot t 라 하면 한 변의 길이는 oct , 거울에서 수선을 내린 곳까지의 x 축 거리는 ovt 이다. 직

각 삼각형에서 변의 길이는 피다고라스 정리에 의해 다음과 같고 ot 는 이로부터 구해진다.

2 2 2 2 2

o oc t v t l 2 2 2 2(1 )oc t l

2 2 22

2 2 2(1 )o o

l l lt t

c c c

따라서 반사하여 돌아오는 데 걸린 시간 t 는

22 o

lt t

c

2l t

c (9.67)

(9.67)을 (9.66)에 대입하면

't

t

(9.68)

이것은 시간 팽창 식으로 이미 (9.60)에서 얻었다.

시간 팽창의 물리적 의미

'S 계의 시간간격 't 은 S 계의 시간 간격 t 에 1/ 를 곱한 것만큼 팽창(dilation)되어 있다.

예를 들면 'S 계가 S 계에 대해 ( 3 / 2)v c 로 달아난다고 가정하자. 이때 1/ 의 값은

2 2 21 ( 3 / 2) 11 1 ( ) 1 [ ]

2

v c

c c

S 계의 사람이 자신의 좌표에서 두 사건이 100초 간격으로 일어 났다고 하면 'S 계의 사람은

이 두 사건을 자신의 시계로 ' /t t 에 의해 50초 간격으로 일어 났다고 측정한다. 이 논리

에 의하면 광속에 접근하는 빠른 속력에서의 시계는 정지

한 곳에서의 시계보다 느리게 간다.

9.5.2 The rotating Sagnac Interferometer

그림에서 beam splitter에 의해서 분리된 빛은 닫혀진

(closed) 서로 다른 경로를 따라 각각 진행한 후, 검출기

에서 합해진다. 이러한 간섭계는 다양한 형태를 가질 수

있고 회전에 의한 fringe pattern 변화를 관찰할 수 있기

151

때문에 gyroscope에 널리 사용된다.

Spectrometer가 시계방향으로 돈다면 beam splitter에 의해 갈라진 빛은 각각 시계방향과 반

시계방향으로 진행하게 될 것이며, fringe 이동(shift)은 각 속도(angular speed) 에 비례하

여 나타난다. 검출기에 들어 오는 데 걸린 두 빛의 진행시간 차 t 는 다음과 같이 계산된다.

한 변의 길이를 a 라 하면 2a R

선형속도(linear speed): v R (S.1)

시계방향 빛의 속도: ocos 45

2cw

vv c v c

1(1 )

2c (S.2)

반 시계방향 빛의 속도: ocos 45

2ccw

vv c v c

1(1 )

2c (S.3)

시계방향 빛이 점 A로 돌아오는 데 걸린 시간: 4

cw

cw

at

v (S.4)

반 시계방향 빛이 점 A로 돌아오는 데 걸린 시간: 4

ccw

ccw

at

v (S.5)

두 빛이 걸린 시간차 t : 1 1

4 ( )ccw cw

ccw cw

t t t av v

(S.6)

(S.2)와 (S.3)를 (S.6)에 대입: 4 1 1

[ ]1 ( / 2) 1 ( / 2)

at

c

1 14[(1 ) (1 ) ]

2 2

at

c

(S.7)

1 이므로 이항정리(binomial series)를 사용하면

4 8[(1 ) (1 )]

2 2 2

a at

c c

(S.8)

2a R , /v c , v R 를 (S.8)에 대입하면

2

2 2

8( 2 ) 8 ( ) 8

2

R v R R Rt

c c cc

(S.9)

그림에서 interferometer(gyroscope)의 면적은 22A R 이므로

2

4At

c

(9.69)

파수 차: 4 4

( )( )

t A AN f t f

c f c

(9.70)

여기서 는 주기이고 c f .

Michelson과 Gale은 이 방법을 이용하여 지구의 각 속도 를 계산하였다.

※ 위의 수식들은 고전론(classical theory)으로 푼 것이어서 수식 (S.2)에서 보듯 시계방향에

서 빛의 속도가 ( / 2)cwv c v 로 광속을 초과한다. 특수상대성 이론에 의하면 어떤 것도

빛의 속도를 초과할 수 없다. 따라서 위의 gyroscope는 특수상대성 이론을 적용하여야 정확한

값을 얻고 또한 원운동으로 가속되고 있으므로 일반상대성 이론도 도입하여야 한다. 그러나 위

의 경우 v c이기 때문에 상대성 이론으로 풀어도 위와 같은 결과를 가져온다.

152

9.6 Dielectric Films: Double-Beam Interference

얇은 박막에서의 간섭

우측 그림에서 박막(thin film) 표면의 점 A로 들어온 빛은 일부

가 표면에서 반사(external reflection)하고 일부는 박막의 내부로

굴절하여 반대 면인 점 B 에서 반사(internal reflection)한 후,

점 C 로 나간다. 일 예로 공기 중에서 비누방울에 입사하는 빛은

일부가 비누방울 표면에서 반사하고 일부가 비누방울 막을 굴절

하여 막의 내부 벽에서 반사한 후, 다시 밖으로 나와 두 빛이 중

첩(superposition)한다. 이 경우 그림처럼 점 C 에서 반사하는

광에 수선을 내리고 그 점을 D 라 하면 다음과 같이 두 빛의 광

로 차에 의한 간섭이 계산된다.

광로차 및 간섭 계산

박막의 두께: d

입사하는 곳에서의 물리량: 입사각 및 반사각( 1 ), 굴절률( 1n )

박막 내에서의 물리량: 굴절각 및 내부 반사각( 2 ), 굴절률( 2n )

길이 표시: , ,AB BC a AD b AC c

Snell’s law: 21 1 2 2 1 2

1

sinsin sin ( )

sinn n n n

(T.1)

광로 차: 22 1 2

1

sin(2 ) ( ) [2 ( ) ]

sinn a n b n a b

(T.2)

a 와 b 를 박막의 두께 d 로 표현하면

2

2

coscos

da d a

(T.3)

22 2

2 2

2 sinsin sin

2 cos cos

dc da c

o 21 1 1

2

2 sincos(90 ) sin ( )sin

cos

db c c

2 1

2

2 sin sin

cos

db

(T.4)

(T.3)과 (T.4)를 (T.2)에 대입하고 정돈하면

2 2 2 12 2

1 2 1 2

sin sin 2 sin sin2[2 ( ) ] [( ) ( )( )]

sin cos sin cos

ddn a b n

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2(1 sin ) (cos )

cos cos

d dn n

2 2(2 cos )n d (9.71)

박막의 굴절률을 2 tn n , 굴절각을 t 로 재 정의하면 (9.71)은 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

153

(2 cos )t tn d (9.72)

※ 굴절률이 작은 곳의 입사광이 큰 굴절률의 경계면을 만나 반사하면 그 반사한 빛은 입사광

과 radian(파장으로 / 2 )의 위상이동(phase shift)이 발생하며, 이와 달리 굴절률이 큰 곳

에서 입사한 빛이 굴절률이 작은 곳의 경계면에서 반사하면 그 빛은 위상이동이 없다. 이것은

끈의 그림에서 이미 보여 주었다. 위의 그림에서 공기 속을 진행한 빛이 박막에 입사하면

o tn n 의 경계면을 만나게 되므로 점 A의 반사광은 입사광과 radian의 위상이동 차가 발

생한다. 한편 박막을 굴절하여 들어간 빛은 굴절 시 입사광과 위상이동 차가 없으며 또한 그

굴절한 빛은 굴절률이 큰 tn 속을 진행하여 밖이 굴절률이 작은 on 인 공기의 경계면에서 반

사하므로 점 B 에서 반사하는 빛은 입사광과 위상이동 차를 발생하지 않는다. 따라서 점 A에

서 반사한 빛과 점 B 에서 반사하여 나온 빛은 radian의 위상이동 차가 있다. 그 결과 두

파의 위상차는 계산된 값에 radian을 추가하여야 한다.

두 파의 위상 차: k (9.73)

공기 속에서 광이 박막에 입사했다면 2 / ok 이고 박막 속에서 파장은 /t o tn 이다.

이 경우 (2 cos )t tn d 를 (9.45)에 대입하면 다음과 같다.

2[ (2 cos )] 4 ( )cost

t t t

o o

nn d d

/ 1/t o tn 이므로

4cos t

t

d

(9.74)

물리적 해석

두 진행 파의 irradiance는 (9.20)식 24 cos ( / 2)oI I 이다. 편의를 위해 (9.74)에서

maxima(보강간섭)의 경우 , minima(소멸간섭)의 경우 를 선택하면

(a) Maxima(보강간섭)

2 :m 4 1

cos 2 2 cos ( )2

t t t

t

dm d m

(9.75)

수직 입사이면, 0t , 즉 cos 1t : 1

2 ( )2

td m (9.76)

(b) Minima(소멸간섭)

(2 1) :m 4

cos (2 1) 2 cost t t

t

dm d m

(9.77)

수직 입사이면, cos 1t : 2 td m (9.78)

(c) o 보다 얇은 두께의 박막

만일 0.1 od 이면 2d 는 무시할 수 있고 이것은 (9.77)에서 0m 에 대응되며 두 빛의 위

상이동 차는 이기 때문에 빛의 파장이나 세기에 관계없이 박막은 어둡게 된다. 0.1 od 를

154

최소 두께로 정의하면 박막을 어둡게 하는 다음 번 두께는 1m 일 때이다.

(d) 유리 렌즈( 1.5n )에 magnesium fluoride( 2MgF : 1.38n ) 박막을 입힌 경우의 간섭

공기의 굴절률은 1on , fluoride 박막의 굴절률은 tn , 유리 lens의 굴절률은 gn 라 하면

t ogn n n 이다. 공기 중에서 입사하는 빛이 t on n 인 경계면을 만나기 때문에 2MgF 박막

표면에서 반사한 빛은 radian 위상이동이 있다. 또한 2MgF 박막에 굴절하여 광학용 유리

의 경계면에서 반사하면 tgn n 이기 때문에 그 빛 또한 radian 위상이동을 갖는다. 그 결

과 2MgF 박막 표면에서 반사한 빛과 2MgF 박막 속으로 굴절하여 렌즈 경계면에서 반사한

빛의 위상이동 차는 없다. 따라서 두 빛의 위상 차는 k 이기 때문에 중첩 결과는 위와

달리 (9.77)이 maxima, (9.75)가 minima로 역전된다. 즉

Maxima(보강간섭): 2

( 2 cos ) 2 2 cost t t tk n d m d m

Minima(소멸간섭): 2 1

( 2 cos ) (2 1) 2 cos ( )2

t t t tn d m d m

여기서 /t o tn 로 tn 는 fluoride 박막의 굴절률이고 t 는 그 박막 속에서의 파장, 그리고

o 는 2MgF 박막에 입사하는 파장이며 일반적으로 공기 속에서의 파장이다.

9.7 박막 간섭의 응용

9.7.1 Fizeau Fringes

두께가 균일하지 않은 박막으로부터 빛이 반사하여 찌

그러진 간섭 등고선(contour)을 만드는 것을 Fizeau

fringe라 하고, 우측 그림과 같이 두 유리 사이에

spacer가 있는 경우로 생각하여 문제를 풀 수 있다.

이때 두 유리의 기울어진 각은 이며, tn 는 유리 사

이 공기 층의 굴절률로 1t on n 이다. 1 2n n 는

유리의 굴절률이며 이것은 공기의 굴절률 tn 보다 크다.

1rE 은 굴절률 1n 인 처음 유리의 bottom에서 반사한

다. 따라서 공기 속에서 입사한 E 와 굴절률 1n 인 유

리 속에서 반사한 1rE 사이에는 위상이동 차가 없다

(굴절률 1n 인 유리 bottom과 공기 박막이 경계면이기 때문). 한편 2rE 은 공기 박막을 지나

굴절률 2n 인 유리의 top에서 반사하는 빛이기 때문에 2rE 은 E 와 radian 위상이동 차가

있다. 그 결과 중첩될 1rE 과 2rE 은 radian 위상이동 차가 존재하며 maxima는 (9.75),

minima는 (9.77)로 주어진다. 만일 입사광 E 가 매질에 거의 수직하게 입사한다면 cos 1t

이므로 이때 maxima는 (9.76), minima는 (9.78)이 된다. (9.78)을 사용하면

Minima: 2 td m

여기서 t 는 유리와 유리 사이의 공기 층에서 파장으로 초기 공기 속에서 입사 파장과 같다.

155

즉 t o 이다. 유리가 붙어있는 원점으로부터 m order의 minima까지 거리를 mx 이라 하

면, mx 에서의 공기 층 두께는 다음과 같으며 여기서 는 대단히 작은 각이다.

md x (9.79)

이것을 위의 minima식에 대입하고 풀면

2 2t m td m x m : ( )2

t

mx m

(9.80)

Minima는 끝( 0x )에서부터 0,1,2,m 에 해당하는 0, / 2 , / ,t t 의 거리에 나

타난다. 근접한 이웃 minima 사이의 거리는

1

1( ) ( )2 2 2

t

m m t t

m mx x x x

(9.81)

(9.79)로부터 이웃 minima 사이의 박막(thin film) 두께 차는

1( )m md x x x

2

td

(9.82)

9.7.2 Newton's Rings

원형인 fringe pattern의 불규칙성을 관찰함으로

써 렌즈의 완성도를 측정하는 데 사용된다. 여기

서 박막이라 함은 렌즈와 받침대 사이의 공기 층

을 의미하며, 사용하는 받침대는 광학적 평판

(optical flat)이어야 한다. 원리는 Fizeau fringe

와 동일하다. 우측 그림에서 R 은 볼록(convex)

렌즈의 곡률 반경으로 거리 x 와 공기 박막두께

d 사이에는 다음 식이 성립한다.

2 2 2 2 2( ) 2x R R d x Rd d

R d 이기 때문에 이것은 대략 2

2 22

xx Rd d

R (9.83)

이것을 minima의 식 (9.78)에 대입하면 원점으로부터 m 번째 minima의 어두운 고리(dark

ring)에 대한 반경을 얻는다. 2

2 mt t

xd m m

R

1/ 2( )m tx mR (9.84)

여기서 t o 로 공기 속에서의 입사파장이다. 이웃한 minima와 minima 사이의 거리는

1/ 2 1/ 2

1 ( ) [( 1) ]m m t tx x x mR m R

( 1) tx m m R (9.85)

156

9.8 Multiple-Beam Interference

9.8.1 광로 차에 의한 간섭 계산

다음 그림에서 점 P 에 모이는 총 전기장은 박막에서 다중반사(multiple reflection)된 빛들의

상호간 광로 차를 생각함으로써 간편히 계산할 수 있다. 여기서 r 은 표면에서, 'r 은 박막 굴

절 후 내부에서의 반사계수(reflection coefficient)이며 t 는 박막 속으로 그리고 't 은 박막 밖

으로의 투과계수(transmission coefficient)이다. 따라서 반사된 광에 대한 집합 점 P 와 투과

된 빛에 대한 집합 점 'P 에서 간섭을 계산한다. 앞으로 적용될 (2 cos )t tn d 는 (9.72)에

서 계산된 두 이웃한 광에 대한 박막에서의 순수 광로 차 이며 는 공기 중에서의 파장이다.

(i) 인접된 두 빛의 광로 차가 m 인 경우

3 5( ' ' ' ' ' ' )r o o o oE E r E tr t E tr t E tr t (9.86)

Stock's relations: 2', ' 1r r tt r 을 (9.86)에 적용하면

2 4'(1 )r o oE E r E rtt r r

※ 무한수열의 합: /(1 )S a r , ( a : 초항, r : 공비)

2

'

1

or o

E rttE E r

r

2

2

(1 )0

1

or o

E r rE E r

r

(9.87)

인접된 파가 정수 배 파장의 광로 차로 반사된 빛은 없다.

(ii) 인접된 두 빛의 광로 차가 ( 1/ 2)m 인 경우

첫 번째 외부반사(external reflection)와 첫 번째 굴절하여 내부반사(internal reflection)한 파

는 전제조건에 의해 rad (파장으로 / 2 )의 위상 차가 있고, 더불어 첫 번째 반사파는 표면

에서 반사 시 radian의 shift가 일어나므로 두 파는 결과적으로 위상차가 없다. 그 이후의

인접된 파들은 전제조건에서 연속적으로 반 파장 차가 있으므로 위상은 radian의 위상 차

가 교대로 일어나는 것으로 생각할 수 있기 때문에 이것을 반사계수(reflection coefficient)로

157

나타내면 'r r 이 연속적으로 적용되어 (9.86)은 다음과 같이 변환된다.

3 5' ' 'r o o o oE E r E trt E tr t E tr t (9.88)

2 4'(1 )r o oE E r E rtt r r 2

2 2

' (1 )[1 ] [1 ]

1 1r o o

tt rE E r E r

r r

2

2

(1 )r o

rE E

r

(9.89)

Irradiance (intensity or flux density):

22 2

2 2

4

(1 )r o

rE E

r

2

2 2

4

(1 )r o

rI I

r

2r R (reflectance)로 표현하면

2

4

(1 )r o

RI I

R

(9.90)

9.8.2 인접된 두 빛이 임의의 위상 차 을 갖는 계산

(i) 반사파의 중첩

박막에 입사하는 빛을 o

i tE E e 라 하고 반사한 이웃한 파들의 위상 차가 k 라 하면

각 파들은 다음과 같이 기술된다. 여기서 (2 cos )t tn d 이다.

1r o

i tE E re

2

( )' 'r o

i tE E t r t e

3

3

( 2 )' 'r o

i tE E t r t e

5

4

( 3 )' 'r o

i tE E t r t e

(2 3) [ ( 1) ]' 'N

N r o

i t NE E t r t e

반사하여 점 P 에서 중첩(superposition)된 rE 은

2 2 2 2 2[ ( ' ' ){1 ( ' ) ( ' ) ( ' ) } ]N

r o

i t i i i iE E e r r tt e r e r e r e (9.91)

만일 2' 1ir e , N 이면 rE 은 수렴수열(convergent series)이다. 따라서 합은

2

' '[ ]

1 'r o

ii t

i

r tt eE E e r

r e

(E.1)

2', ' 1r r tt r 을 대입하면

2 2

2 2

(1 ) (1 ) (1 )[ ] [ ]

1 1r o o

i i ii t i t

i i

r r e r r e r eE E e E e

r e r e

(E.2)

반사 irradiance: 2

2 2

(1 ) (1 )[ ][ ]*

1 1r o o

i ii t i t

i i

r e r eE E e E e

r e r e

158

2

2 2

(1 ) (1 )[ ][ ]

1 1r o o

i ii t i t

i i

r e r eE E e E e

r e r e

22

2 4

[1 ( ) 1]

[1 ( ) ]o

i i

i i

r e eE

r e e r

2cosi ie e , 2r R ,

2

r rE I , 2

o oE I 를 사용하면

2

2 (1 cos )

[(1 ) 2 cos ]r o

RI I

R R

(E.3)

※ 위상자(phasor)로 rE 을 구하면 다음과 같이 그려진다.

(ii) 투과된 파들(transmitted waves)의 중첩

1 't o

i tE E tt e

2

2

( )' 't o

i tE E t t r e

4

3

( 2 )' 't o

i tE E t t r e

(2 1) [ ( 1) ]' ' N

N t o

i t NE E tt r e

투과하여 점 'P 에서 중첩된 tE 는

2 2 2 2 2[( '){1 ( ' ) ( ' ) ( ' ) }]N

t o

i t i i iE E e tt r e r e r e (9.92)

tE 는 수렴수열(convergent series)로 합은

2

'( )1 '

t o

i ti

ttE E e

r e

(E.4)

',r r 2r R , 'tt T 로 치환하면

(1 )t o

i ti

TE E e

Re

(E.5)

투과 irradiance: 2 ( )( )*

1 1t o o

i t i ti i

T TE E e E e

Re Re

( )( )1 1

o o

i t i ti i

T TE e E e

Re Re

22

2[1 ( ) ]o i i

TE

R e e R

2

t tE I , 2

o oE I 를 사용하면

2

2[(1 ) 2 cos ]t o

TI I

R R

(E.6)

159

계산된 수식의 종합

입사에 대한 반사율: 2

2 (1 cos )

[(1 ) 2 cos ]

r

o

I R

I R R

(9.93)

입사에 대한 투과율:

2

2[(1 ) 2 cos ]

t

o

I T

I R R

(9.94)

(9.93)과 (9.94)를 2cos 1 2sin ( / 2) 로 치환 후 분자 분모를 (

21 R )으로 나누면

2 2 2

2 2 2 2

4 sin ( / 2) [4 /(1 )]sin ( / 2)

(1 ) 4 sin ( / 2) 1 [4 /(1 ) ]sin ( / 2)

r

o

I R R R

I R R R R

(9.95)

2 2

2 2 2 2 2

1( )

(1 ) 4 sin ( / 2) 1 1 [4 /(1 ) ]sin ( / 2)

t

o

I T T

I R R R R R

(9.96)

(iii) The coefficient of finesse F and Airy function ( )A

Finesse 상수 F 와 Airy 함수 ( )A 는 다음과 같이 정의(definition)된다.

The coefficient of finesse: 2

4

(1 )

RF

R

(9.97)

Airy function: 2

1( )

1 sin ( / 2)F

A (9.98)

(9.95)와 (9.96)을 F 와 ( )A 를 이용하여 표현하면 다음과 같다.

입사에 대한 반사율 2

2

sin ( / 2)

1 sin ( / 2)

r

o

I F

I F

(9.99)

2

2 2

1 sin ( / 2) 1 11 1 ( )

1 sin ( / 2) 1 sin ( / 2)

r r

o o

I IF

I IF F

A (9.100)

입사에 대한 투과율

2

2

1( )1 1 sin ( / 2)

t

o

I T

I R F

(9.101)

2( ) ( )1

t

o

I T

I R

A (9.102)

흡수가 없는 박막( 1T R ): ( )t

o

I

I A (9.103)

물리적 해석

(9.93)과 (9.94) 또는 이들로부터 유도된 수식들은 다음 사항들을 만족한다.

(a) ( ) / 1r t oI I I (9.104)

(b) 2m (인접된 파가 정수 배의 파장), 즉 cos 1 이면 (9.93)과 (9.94)는 각각

2

2 (1 cos )0

[(1 ) 2 cos ]

r

o

I R

I R R

(9.105)

160

2 2 2

2 2 21

[(1 ) 2 cos ] 1 2 (1 )

t

o

I T T T

I R R R R R

(9.106)

위상 차가 2m 이면 반사는 없고 투과만 있다. 이때 투과는 maximum이 되어 투과의

fringe pattern이 가장 선명하게 나타난다. 그리고 이 조건에서 (9.103)의 ( ) 1 A 이다.

(c) (2 1)m (인접된 파가 반 파장), 즉 cos 1 이면 (9.93)과 (9.94) 또는 이들로부

터 유도된 수식들은 반사가 maximum, 이때 투과는 당연히 minimum을 갖는다. 따라서

(2 1)m 는 반사의 fringe pattern이 가장 선명하게 나타나는 조건이다.

max2 2 2

2 (1 cos ) 4 4( )

[(1 ) 2 cos ] (1 ) (1 )

r r

o o

I IR R R

I R R R I R

(9.107)

2 2 2

min2 2 2( )

[(1 ) 2 cos ] (1 ) (1 )

t t

o o

I IT T T

I R R R I R

(9.108)

(d) (9.103)을 보면 ( )A 의 물리적 의미는 흡수가 없는 물질에서 입사에 대한 투과율임을 알

수 있다. 따라서 입사에 대한 반사율은 당연히 (9.100)의 [1- ( )A ]이다. 그 결과 [1 ( )A ]

는 ( )A 에 대한 상보함수(complementary function)임을 보여준다.

※ (a)에서 [1 ( )] ( ) 1r t

o

I I

I

A A

다음은 흡수가 없는 물질의 투과율, 즉 Airy function에 대한 그림이다.

9.9 Fabry-Perot Interferometer

Fabry-Perot interferometer는 양면에 은이 도포된 반사 거울(mirror)의 박막을 가지고 있다.

내부의 공기 층(enclosed air gap)은 보통 수 mm ~ cm이고 평행을 유지하도록 screw로 조정

가능한 quartz 판(plate)으로 이루어져 있다. 이러한 간섭장치를 etalon이라 하며 기본적인 레

이저 공명(laser resonant) cavity로 가장 많이 사용된다. 거울에 도포된 금속 박막은 반사할

때 입사각에 의존하는 위상이동(phase shift) ( )i 를 일으킨다. 여기서 반사 시 위상이동은

( ) 0 ori 일 수 있다. 따라서 연속적인 투과 파들 사이에는 2 위상 차가 발생하고

161

그 결과 위상 차는 다음과 같이 교정된다.

2 ( )ik (9.109)

여기서 ( )i 는 입사각 i 에 따른 반사에 의한 위상이동(phase shift)이다. 일반적으로 입사각

0i (normal incidence)으로 대단히 작고 는 거의 일정하기 때문에 무시한다.

는 박막에서의 광로 차: (2 cos )t tn d

2 / ok (o 는 공기 중의 파장).

,t tn : 박막의 굴절률과 굴절각.

흡수가 없는 박막에서 투과(transmittance)와 반사(reflectance)는 1T R 이지만 금속박막

(metallic films)은 빛의 일부를 흡수하기 때문에 이 수식은 다음과 같이 보완되어야 한다.

1T R A (9.110)

여기서 A는 물질의 흡광율(absorptance)이다.

(9.102)를 (9.110)으로 보완하면

2 21( ) ( ) ( ) ( )1 1

t

o

I T R A

I R R

A A

2[1 ] ( )1

t

o

I A

I R

A (9.111)

만일 흡수가 없다면 0A 로 (9.103)인 / ( )t oI I A 가 된다.

일반적으로 물질은 흡수가 있어서 항상 t oI I 이다. 따라서 물질의 peak transmission은 다음

과 같이 정의한다.

Peak transmission: 2max( )

[1 ]1

t

o

I A

I R

(9.112)

(예) 50nmsilver 반투막의 경우 0.94R , 0.01T , 0.05A 이다. 이 때의 max( ) /t oI I 는

2max( ) 0.05 1[1 ]

1 0.94 36

t

o

I

I

즉 최고 투과는 입사강도의 1/ 36정도이다.

Fringe pattern의 상대적인 irradiance는 여전히 Airy function에 의해 결정된다. 즉

(9.111)/(9.112): max

( )( )

t

t

I

I A (9.113)

162

9.9.1 Fringe Sharpness

Sharpness(명확도): Irradiance의 maximum에서 양 끝으로 얼마나 빨리 떨어지는 지를

( ) 1/ 2 A 즉 max/( ) 1/ 2t tI I 일 때 FWHM(Full Width at Half Maximum) 로 정의한다.

FWHM (단위: radian):

max

1when ( )

( ) 2

t

t

I

I A (9.114)

Transmission peaks는 위상 차가 m 2 m 될 때 일어나므로 peak의 반인 곳의 위상 차 각

의 위치를 m 1/ 2 로 나타내면 2sin ( / 2) 는 다음과 같이 계산된다.

2 2 2 2m 1/ 2 1/ 2 1/ 2sin sin ( ) sin ( ) sin2 2 2 2

m

(9.98)의 Airy function에 이것을 대입하여 1/ 2 을 구한다.

2 2

1/ 2

1 1 1( )

1 sin ( / 2) 1 sin ( / 2) 2F F

A

2 11/ 21/ 2

11 sin ( ) 2 2sin ( )

2F

F

일반적으로 F 는 큰 값이다. 근사치(approximation)로 표현하면

1

1/ 2

1 22sin ( )

F F

FWHM: m 1/ 2 m 1/ 2 1/ 2

4( ) ( ) 2

F (9.115)

24 /(1 )F R R 이므로 R 이 커지면 커질수록 는 작아지므로 transmission peak들은 점점

더 sharp해 진다.

Finesse F 의 정의: FWHM 에 대한 adjacent maxima의 separation ratio(율)로 이것은 다

음과 같이 정의 된다.

Finesse: 2

=

F (9.116)

(9.115)를 대입하면

2

FF (9.117)

163

가시광선 영역에서 Fabry-Perrot 장비의 finesse는 보통 30 정도이다. Finesse가 증가하면

(FWHM)는 감소하고 동시에 transmission 역시 감소한다는 것을 명심할 필요가 있다.

9.9.2 Fabry-Perot Spectroscopy

박막의 광로 차 (2 cos )t tn d 일 때 위상 차 (2 / )ok 는 파장 o 의 함수이므

로 두 개의 단색 광(monochromatic light)이 간섭계에 동시에 입사한다면 fringe들이 부분적

으로 겹쳐지고(overlap) 중첩된(superimposed) 고리(ring) 계(system)를 형성하여 두 고리의

구분이 모호해 질 수 있다. 중첩계가 개별적으로 두 개의 띠로 구별될 수 있을 때 이 중첩은

분해된다(resolved)고 말한다. 중첩이 “분해 가능하다(resolvable)” 의 정확한 범주는 중첩 결

과로 나타난 넓은 (resultant broad) fringe의 중심(saddle point)에서 양 fringe의 결합

(combined) irradiance가 2

max(8/ ) ( )tI 이하 일 때이다.

두 개로 이루어진 fringe가 똑 같은 irradiance,

max max( ) ( )a bI I 를 갖고 그림처럼 일부가 겹쳐졌

다고 생각하자. 그러면 a 와 b 에서 일

어나는 결과적인 peak들은 다음의 irradiance를

둘 다 가질 것이다.

max max( ) ( ) 't aI I I (9.118)

(9.113)의 max/( ) ( )t tI I A 을 생각하면 saddle

point에서 2

max(8/ ) ( )tI irradiance는 두 성분

구성(constituent)으로 이루어진 irradiance의 합이다. 즉

max

2

max

/ 2 /2

( )8( ) [ ( )] [ ( )]

( )

t

aa b

I

I

A A (9.119)

(9.118)을 변형하면

maxmax max

max max

( ) '( ) ( ) ' 1

( ) ( )

tt a

a a

I II I I

I I

또한 마지막 항은 다음과 같다.

max

'[ ( )]

( )aa

I

I A

이들을 이용하여 (9.119)를 에 대해 풀 수 있다. 그리고 큰 값 F 에 대해 그 값은

4.2

F (9.120)

이때 이것은 두 개의 분해 가능한 fringe를 분리하는 가장 작은 phase increment, min( ) 을

대표한다. 또한 이것은 파장, 주파수, 그리고 파수의 최소 증가들(minimum increments) 즉

파장 min( )o , 주파수 min( ) , 또는 파수 min( ) 과 관련 지을 수 있다.

2m 에 대해 (9.109)의 2k 는

164

22 (2 cos ) 2t t

o

k n d

42 cos 2 2 cost o

t o t t

o

nm d m n d

(9.121)

두 번째 항 /o 는 첫 번째 항에 비해 충분히 작은 양이므로 무시한다.

2 coso t tm n d (9.122)

우측 항은 일정하므로 미분하면

( ) ( ) 0 oo o

o

mm m

m

(9.123)

o 가 감소할 때 order는 증가하는 것을 의미하기 때문에 여기서 음의 부호는 생략한다.

이 2 변할 때 m 은 1이 변하므로 이것을 나타내면

2 1

2m

m

(9.124)

(9.123)에 (9.124)를 대입하면

2o

o

m

(9.125)

Chromatic resolving power는 거의 수직입사((at nearly normal incidence)에서 가장 작은 분

해 가능한 파장 차 min( )o 대 o 의 비율로 정의 된다.

Chromatic resolving power R :

mi n

2

( )

o t

o o

n d

R F 또는 mR F (9.126)

(예) 500nmo , 10mmtn d , 90%R 일 때 61 10 . 이것은 mi n( ) 이 o 의 백

만 분의 1보다 작다는 것을 의미한다.

2| | | / |o oc 이므로 주파수(frequency)로 나타내면 최소 분해가능 밴드 폭 (minimum

resolvable bandwidth)은 다음과 같다.

mi n( )2 t

c

n dFnD = (9.127)

파장 차가 증가함에 따라 한 파장 o 에 대한 mth-order fringe는 다른 파장( o o )에 대한

(m+1)th-order에 접근할 것이다.

Free spectral range fsr( )o : 겹치기(overlapping)가 발생하는 특별한 파장 차.

(9.125)에서 이 2 변하면 이것은 fsr( ) /o o m 과 일치한다. 또는 normal incidence

근방에서

2

fsr( ) / 2o o tn d (9.128)

이것을 주파수로 나타내면

fsr( ) / 2o tc n d (9.129)

위의 예 500nmo , 10mmtn d 에서 fsr( ) 0.0125nmo 이다.

단순히 거리 d 를 증가시켜 분해능(resolving power)를 증가시키려고 한다면 free spectral

165

range fsr( )o 는 order들의 겹치기로부터 유래한 혼돈을 가져오면서 분명히 감소할 것이다.

필요한 것은 mi n( )o 이 가능한 한 작으면서 fsr( )o 은 커야 한다. 그러나 다음 조건을 만족

시키는 것이 최선이다.

fs r

mi n

( )

( )

o

o

F (9.130)

Fabry-Perot interferometer는 응용과 용도에 따라 그 구성에 많은 변화가 있다. 예를 들면

etalon을 grating과 prism spectroscopes처럼 series로 정렬하여 사용하거나 또는 금속 mirror

coating 대신에 다층 유전체 film을 사용하는 것 등이다.

대표적인 사용부분은 scanning 기술이다. 그 예가 아래 그림에 있다.

9.9.3 Applications of Single and Multilayer Films

굴절률이 각각 on 와 sn 인 두 개의 semi-infinite transparent media 예를 들면 공기와 유리

사이에, 굴절률이 1n 인 얇은 유전체 film으로 입사평면에 수직인 linearly polarized electric

wave가 입사한다고 생각하자. 실제 응용에서는 lens나 mirror 또는 prism에 한 파장 이하 정

도의 유전체 층을 입힌 thin film으로 편광된 빛이 입사하는 경우에 해당한다. 아래 그림은

substrate(보통 유리로 굴절률 sn )에 입혀진 thin film(굴절률 1n ) 그리고 공기 층(굴절률 on )

의 경계에서 편광된 전자기파의 입사, 반사 및 굴절에 대한 방향을 보여 준다.

166

접선성분(tangential component)의 연속조건은 각 경계에서 다음과 같다.

(a) 경계 1에서의 연속 조건

(1) (on 속에서의 전기장 접선성분) (

1n 속에서의 전기장 접선성분)

경계 1에서의 전기장이라는 의미에서 이것을 1E 으로 표시하자.

'

1 1 1 1 2i r t rE E E E E (9.131)

(2) (on 속에서의 자기장 접선성분) (

1n 속에서의 자기장 접선성분)

1

'

1 1 1 2 2 2 2cos cos cos cosi i r i i i r iH H H H

'

1 1 1 2 2 2( )cos ( )cosi r i i r iH H H H (9.132)

물질 속에서 /H B , /B E v , /v c n , 1/ o oc 의 관계가 있다. 공기, thin film

및 substrate는 비 자성물체들로 o 이다. H 를 E 와 관련된 수식으로 바꾸면

/ /

o

oo o o o

B E nE nE nEH nE

v c

(9.133)

(9.133)은 비 자성물질에서 다음과 같이 vector로 표기한다.

ko

o

H n E

(9.134)

(9.132)에 (9.133)의 관계를 적용하고 이것을 경계 1에서의 자기장이라는 의미에서 1H 으로

표시하자.

'

1 1 1 1 1 2 1 2( ) cos ( ) coso oi r o i t r i

o o

H E E n E E n

(9.135)

(b) 같은 방법으로 경계 2 에서의 연속 조건

(1) ( 1n 속에서의 전기장 접선성분) ( sn 속에서의 전기장 접선성분)

2 2 2 2i r tE E E E (9.136)

(2) ( 1n 속에서의 자기장 접선성분) ( sn 속에서의 자기장 접선성분)

2 2 2 1 2 2 2( ) cos coso oi r i t s t

o o

H E E n E n

(9.137)

광로 차 (2 cos )t tn d 에 의해서 thin film 거리 d 를 가로지르는 파는 phase shift를 하므

로 이것을 다음과 같이 놓는다.

1 2(2 cos ) / 2o o ik h k n d (9.138)

그 결과 phase shift를 표기한 전기장은

2 1i toik h

E E e

(9.139)

'

2 2r roik h

E E e (9.140)

경계 2 에서의 (9.136)과 (9.137)은 다음과 같이 각각 쓸 수 있다.

'

2 1 2t ro oik h ik h

E E e E e

(9.141)

167

'

2 1 2 1 2( ) cosot r i

o

o oik h ik hH E e E e n

(9.142)

(9.141)과 (9.142)를 아래와 같이 변형한다.

'

2 1 2

2t r

o oik h ik hE e E E e [9.141]

'21 2

1

2t r

oo

ik hik hH e

E E e

[9.142]

여기서 1 1 2cosoi

o

n

위의 식들로부터 1tE 과 '

2rE 에 대해 풀면 다음의 값이 얻어진다.

2 21 2 1 2

1 1

12 ( )

2t t

o oo o

ik h ik hik h ik hH e H e

E E e E E e

' '2 22 2 2 2

1 1

2 12 ( )

2r r

o oo o o

ik h ik hik h ik h ik hH e H e

E e E e E E e

이들 값을 (9.131)의 '

1 1 2t rE E E 그리고 (9.135)의 '

1 1 2 1( )t rH E E 에 각각 대입하면

' 2 21 1 2 2 2

1 1

1 1( ) ( )

2 2t r

o oo o

ik h ik hik h ik hH e H e

E E E E e E e

22

1

1[ ( ) ( )]

2o o o oik h ik h ik h ik hH

E e e e e

1 2 2

1

sincos o

o

i k hE k h E H

(9.143)

' 2 21 1 2 1 2 2 1

1 1

1 1( ) [ ( ) ( )]

2 2t r

o oo o

ik h ik hik h ik hH e H e

H E E E e E e

1 2 2

1[ ( ) ( )]

2o o o oik h ik h ik h ik h

E e e H e e

1 1 2 2sin coso oH i k h E k h H (9.144)

만일 E 가 입사평면에 평행하다면 위의 결과는 1 을 다음과 같이 바꾸면 된다.

11

2cos

o

o i

n

(9.143)과 (9.144)를 matrix로 표현하면

11 2

1 1 2

cos sin /

sin cos

o o

o o

k h i k hE E

H i k h k h H

(9.145)

1 2

1 2

E E

H H

1M (9.146)

여기서 1M 은 두 이웃 경계에서 fields와 관련된 matrix로 다음과 같다.

1

1

1

cos sin /

sin cos

o o

o o

k h i k h

i k h k h

M (9.147)

168

만일 substrate에 두 개의 다른 물질로 이루어진 film을 적층(deposite)했다면 경계는 3 이고

이에 따른 matrix들은 다음과 같다.

32

2

2 3

EE

H H

M (9.148)

31

1 2

1 3

EE

H H

M M (9.149)

따라서 적층이 p 개이고 각층의 h 와 굴절률 n 이 고유한 값을 가질 때 처음과 마지막 경계는

다음의 관계를 갖는다.

11

1 2

1 1

p

p

P

EE

H H

M M M (9.150)

여기서 곱 matrix는 2 2 matrix이다.

11 12

1 2

21 22

p

m m

m m

M M M M (9.151)

이번에는 위의 matrix들로 반사와 투과계수에 대한 표현을 유도할 것이다.

1cosoo o i

o

n

그리고 2cosos s t

o

n

계산을 위해 위의 경계조건 (9.131), (9.135), (9.136), (9.137)과 matrix (9.146)을 다시 여기

에 쓰고 시작한다.

'

1 1 1 1 2i r t rE E E E E [9.131]

'

1 1 1 1 2 1( ) ( )i r o t rH E E E E [9.135]

2 2 2 2i r tE E E E [9.136]

2 2 2 1 2( )i r t sH E E E [9.137]

1 2

1 2

E E

H H

1M [9.146]

(9.146)을 (9.131)과 (9.135)로 reformulating하면

1 1 2 1 1 211 12

1

1 1 2 1 1 21 22 2

( ) ( )

( ) ( )

i r t i r t

i r o t s i r o t s

E E E E E Em m

E E E E E m m E

M (9.152)

여기서 111 12

1

21 22 1

cos sin /

sin cos

o o

o o

k h i k hm m

m m i k h k h

M

(9.152)를 expand하면

1 1 11 2 12 2i r t t sE E m E m E (9.153)

1 1 21 2 22 2( )i r o t t sE E m E m E (9.154)

169

위 수식들의 양변을 1iE 으로 나누면 1 1/r ir E E , 2 1/t it E E 이므로

2 2111 12 11 12

1 1 1

1 1t trs s

i i i

E EEm m r m t m t

E E E (9.155)

2 2121 22 21 22

1 1 1

(1 ) (1 )t tro s o s

i i i

E EEm m r m t m t

E E E (9.156)

(9.165)와 (9.166)을 연립하여 r 과 t 에 대하여 풀면

11 12 21 22

11 12 21 22

o o s s

o o s s

m m m mr

m m m m

(9.157)

11 12 21 22

2 o

o o s s

tm m m m

(9.158)

어떤 구성의 film들에 대한 r 과 t 를 찾으려면 각 film의 characteristic matrix를 계산하고 위

의 식에 나타난 matrix elements를 대입하면 된다.

9.9.4 Antireflection Coatings

실용면에서 대단히 중요한 normal incidence(수직입사)의 경우를 생각하자. 이때

1 2 2 0i i t

Layer의 수를 구분하기 위하여 r 에 아래 첨자를 붙여 구분한다면 하나의 film의 반사계수는

(9.157)의 matrix elements와 값들을 대입하여 푼다.

Thin film이 하나인 경우 characteristic matrix는 (9.147)이고 여기에 대입될 들은 다음과

같이 정리된다.

1

1

1

cos sin /

sin cos

o o

o o

k h i k h

i k h k h

M [9.147]

1 1cos coso

o o i o i

o

n n

1 1 2 1 2cos coso

i i

o

n n

2 2cos coso

s s t s t

o

n n

여기서 /o o

11 12 21 221

11 12 21 22

o o s s

o o s s

m m m mr

m m m m

[9.157]

Normal incidence(수직입사)의 경우

11 1( cos )(cos ) coso o i o o om n k h n k h

12 1 2

1 2 1

sin ( sin )( cos )( cos )

cos

o o s o

o s o i s t

i

i k h n n i k hm n n

n n

21 1 1 2 1sin ( cos )( sin ) ( sin )o i o om i k h n i k h n i k h

170

22 2( cos )(cos ) coss s t o s om n k h n k h

이들을 (9.157)에 대입하면

11 12 21 22

1

11 12 21 22

o o s s

o o s s

m m m mr

m m m m

1 1

1 1

cos [ ( sin ) / ] ( sin ) cos

cos [ ( sin ) / ] ( sin ) cos

o o o s o o s o

o o o s o o s o

n k h n n i k h n n i k h n k h

n k h n n i k h n n i k h n k h

2

1 1

2

1 1

( )cos ( )sin

( )cos ( )sin

o s o o s o

o s o o s o

n n n k h i n n n k h

n n n k h i n n n k h

2

1 1

1 2

1 1

( )cos ( )sin

( )cos ( )sin

o s o o s o

o s o o s o

n n n k h i n n n k hr

n n n k h i n n n k h

(9.159)

Reflectance(반사도)는 1 1( )*R r r

Reflectance:

2 2 2

1 11 2 2 2

1 1

[ ( )cos ] [( )sin ]

[ ( )cos ] [( )sin ]

o s o o s o

o s o o s o

n n n k h n n n k hR

n n n k h n n n k h

(9.160)

(9.159)나 (9.160)은 / 2ok h 일 때 또는 / 2 에 odd number (2 1)m 를 곱한 값일 때

가장 단순해 진다. 여기서 1,2,m 이다.

2

2 4

o

o

o

k h h h

즉 위의 식들은 optical thickness h 가 입사파장의 quarter wavelength 또는 여기에 odd

number를 곱한 것에 해당할 때 특별히 간단해 진다. 이것을 film의 두께 d 로 나타내면 전제

조건에 의해 0t 이므로

2 2 1( 2 cos ) / 2 ( ) ( )

2 4 4

o tt t t

o o t

n d n d dn

일 때이다. 이 경우에 (9.160)은 2 2

11 2 2

1

( )

( )

o s

o s

n n nR

n n n

(9.161)

(9.161)은 다음의 조건일 때 반사가 없다.

반사가 없는 조건: 2

1 o sn n n (9.162)

응용에서는 일반적으로 눈에 가장 민감한 가시광선의 yellow-green ( 550nmo ) 영역에서

thin film이 / 4oh ( / 4td )가 되도록 선택된다.

Cryolite( 1.35n ), sodium aluminum fluoride compound와 2MgF (magnesium fluoride:

1.38n )가 통상적인 낮은 굴절률 film이고 2MgF 가 안정적이기 때문에 가장 많이 사용된다.

유리( 1.5sn ) 위에서 위의 물질들은 (9.162)를 완전히 만족시킬 수 없지만 2MgF 의 / 4o

layer는 가시광선의 1R 을 4 ~1%까지 줄일 수 있다.

(예) 눈에 가장 민감한 파장은 550nmo 이다. 렌즈( 1.5sn )에 2MgF film( 1 1.38n )을

다음의 두께로 올린 경우

1

1 1 550nm/ 4 99.6nm

4 4 1.38

otd

n

171

이 렌즈의 normal incidence에 대한 반사도는 2 2 2

211 2 2 2

1

( ) (1)(1.5) (1.38)[ ] 0.014

( ) (1)(1.5) (1.38)

o s

o s

n n nR

n n n

, 약 1.4%반사한다.

카메라 렌즈에서 이러한 coating은 사진의 밝기를 증가시킬 뿐 아니라 내부 산란에 의해 발생

하는 방해를 감소시킨다. Yellow-green( 550nmo ) 영역을 벗어난 지역의 파장에서는 R 이

증가하므로 렌즈의 표면이 blue-red로 보이게 된다.

이중 layers에 대해서 quarter wavelength( / 2ok h ) antireflection coating은 matrix에서

1 1 1 1

1

1 1 1 1

cos sin / 0 /

sin cos 0

o o

o o

k h i k h i

i k h k h i

M

2 2 1 2

2

1 2 2 2

cos sin / 0 /

sin cos 0

o o

o o

k h i k h i

i k h k h i

M

1 2

1 2

1 2

0 / 0 /

0 0

i i

i i

M M M

2 1

1 2

/ 0

0 /

(9.163)

Normal incidence에서 matrix의 components는 다음과 같다

2 2 2

2 1

1 1 1

cos/

cos

i

i

n n

n n

11 2

2

/n

n

따라서 (9.163) matrix는

2 1

1 2

/ 0

0 /

n n

n n

M (9.164)

(9.157)에 이 matrix elements를 대입하여 2r 를 구하고 reflectance를 계산하면

1cosoo o i o

o

n n

1 1 2 1coso

i

o

n n

2cosos s t s

o

n n

(9.157): 11 12 21 222

11 12 21 22

o o s s

o o s s

m m m mr

m m m m

2 1 1 2 2 1 1 2

2 1 1 2 2 1 1 2

( / ) (0) (0) ( / ) ( / ) ( / )

( / ) (0) (0) ( / ) ( / ) ( / )

o s o s

o s o s

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

2 2

2 1

2 2 2

2 1

o s

o s

n n n nr

n n n n

(9.165)

172

Reflectance:

2 2

22 1

2 2 2

2 1

( ))

o s

o s

n n n nR

n n n n

(9.166)

이 식이 0 이 되려면 분자가 0 일 때 이므로

2 2 22

2 1

1

0 ( ) s

o s

o

nnn n n n

n n 22

1

( ) s

o

nn

n n (9.167)

이러한 종류의 thin film을 double-quarter, single-minimum coating이라 한다.

주로 만드는 방법은 glass-high index-low index-air ( gHLa ) system이 되도록 한다. 여기서

H-index layer는 Zirconium dioxide( 2.1n ), Titanium dioxide( 2.40n ), Zinc sulfide

( 2.32n )가 사용되고 L-index layer는 Magnesium fluoride( 1.38n ), Cerium fluoride

( 1.63n )가 주로 사용된다.

(예) 눈에 가장 민감한 파장은 550nmo 이다. Glass-high index-low index-air ( gHLa )

system이 되도록 렌즈( 1.5sn )에 Zirconium dioxide film( 2.1n ), Cerium fluoride film

( 1.63n )을 두 film이 각각 / 2ok h , 즉 / 4oh ( / 4td )이 되도록 coating했다면

이들은 각각 다음의 두께로 올린 경우에 해당한다.

Cerium fluoride film 두께: 550nm1 1 1

( ) ( ) ( ) 84.4nm4 4 4 1.63 4 1.63

t o o

t

dn

Zirconium dioxide film 두께: 550nm1

( ) 65.5nm4 2.1

d

이 렌즈의 normal incidence에 대한 반사도는 2 2 2 2

2 22 1

2 2 2 2 2

2 1

(1)(2.1) (1.5)(1.63)( ) [ ] 0.0026

(1)(2.1) (1.5)(1.63)

o s

o s

n n n nR

n n n n

,

약 0.26%를 반사하므로 반사가 거의 없는 효과적인 coating lens가 될 수 있다.

Multilayer Periodic systems

가장 간단한 종류의 antireflection periodic system은 quarter-wave stack으로 아래 좌측 그림

이며 우측 그림처럼 이것이 세 층이 쌓여 있다면 3( )g HL a 로 표기하고 가운데 stack이 증가

할수록 반사가 더 작아진다.

173

한편 강한 반사 거울을 만들려면 ( )mg HL Ha 의 구성을 갖도록 한다.

가시광선의 중심 파장에서 벗어난 짧은 파장 쪽을 감소시키려면 / 8o low-index film을 양단

에 두며 이것은 다음으로 표기한다.

High pass filter: (0.5 )( ) (0.5 )mg L HL H L a

이와 달리 긴 파장은 다음과 같이 표기하고 low pass filter로 사용한다.

Low pass filter: (0.5 ) ( ) (0.5 )mg H L HL H a

연습문제

174