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Droites et plans de l'espaceGéométrie vectorielle dans l'espace

Représentations paramétriques

Chapitre 10 - Géométrie spatiale

Paul DARTHOS

Lycée Jaufré RUDEL - BLAYE

7 mars 2017

On commence par les bases

Paul DARTHOS Chapitre 10 - Géométrie spatiale



GénéralitésOrthogonalité dans l'espace

Dé�nitions de base

De�nitions

Deux droites de l'espace sont parallèles si elles sontcoplanaires sans aucun point commun (strictementparallèles), ou si elles sont confondues.

Deux plans de l'espace sont parallèles s'ils n'ont aucunpoint commun (strictement parallèles) ou s'ils sontconfondus.

Une droite de l'espace est parallèle à un plan si elle n'apas de point commun avec le plan (strictement parallèle)ou si elle est incluse dans ce plan.





Parallélisme d'une droite à un plan

Propriété

Si une droite d est parallèle à une droite d ′ d'un plan P , alorsla droite d est parallèle au plan P .





Parallélisme de deux plans

Propriété

Si deux plans P et P ′ sont strictement parallèles, alors tout

plan Q qui coupe le plan P coupe aussi le plan P ′ et les

droites d'intersection sont parallèles entre elles.





Le théorème du toit

Théorème

Théorème du toit.

Soient P et P ′ deux plans sécants. Si une droite d de P est

parallèle à une droite d ′ de P ′, alors ces deux droites sont

parallèles à la droite d'intersection ∆ de P et P ′.





Une caractérisation du parallélisme de plans

Propriété

Si un plan P contient deux droites sécantes d et d ′ qui sont

toutes deux parallèles à un plan P ′, alors P et P ′ sont

parallèles.





Une caractérisation du parallélisme de plans

Corollaire

Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement

parallèles à deux droites sécantes d'un plan P ′, alors P et P ′

sont parallèles entre eux.





Orthogonalité de deux droites

Dé�nition

Deux droites d et d ′ sont orthogonales s'il existe une droite

∆ parallèle à d et une droite ∆′ parallèle à d ′ telles que ∆ et

∆′ sont coplanaires et perpendiculaires.

Propriété

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à

l'une est orthogonale à l'autre.





Droite perpendiculaire à un plan

De�nition

Une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle estorthogonale à deux droites sécantes de P .

Théorème

Si une droite d est perpendiculaire à un plan P , elle est

orthogonale à toutes les droites de ce plan.





Propriétés de la perpendicularité

Propriétés

Il existe une unique droite d passant par un point A et

perpendiculaire à un plan P donné.

Il existe un unique plan P passant par un point A et

perpendiculaire à une droite d donnée.

Si deux droites d et d ′ sont parallèles, alors tout plan Pperpendiculaire à d est aussi perpendiculaire à d ′.

Si deux droites d et d ′ sont perpendiculaires à un même

plan P , alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux plans P et P ′ sont parallèles, alors toute droite dperpendiculaire à P l'est à P ′.





Plan médiateur

De�nition

Le plan médiateur P d'un segment [AB] est le plan passantpar le milieu I du segment et perpendiculaire à la droite (AB).

Propriété

Le plan médiateur de [AB] est l'ensemble des points

équidistants de A et de B .




Vecteurs de l'espaceCaractérisation vectorielle des droites et plans de l'espaceRepères de l'espace

Vecteurs de l'espace

De la même manière qu'on les dé�nit dans le plan (repéré ounon), les vecteurs de l'espace sont dé�nis dans l'espace.

Propriétés

Deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires si et

seulement si ~v = k~u, où k est un nombre réel. Le vecteur

nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les

vecteurs−→AB et

−→AC sont colinéaires.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement

si les vecteurs−→AB et

−→CD sont colinéaires.





Vecteurs de l'espace

Propriété

Soient A et B deux points distincts de l'espace.

Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il

existe un nombre réel x tel que−−→AM = x

−→AB .

Une droite peut ainsi être dé�nie par la donnée d'un point etd'un vecteur, appelé vecteur directeur. Une droite admetune in�nité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux àdeux.





Plans de l'espace

Propriété

Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace.

Un point M appartient au plan (ABC ) si et seulement si il

existe deux nombres réels x et y tels que−−→AM = x

−→AB + y

−→AC .

Un plan peut ainsi être dé�ni par la donnée d'un point et dedeux vecteurs, appelés vecteurs directeurs du plan.Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs noncolinéaires sont parallèles.





Repères de l'espace

Propriété

Soient ~i , ~j et ~k trois vecteurs non coplanaires.

Pour tout vecteur ~u, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de

nombres réels tels que :

~u = x~i + y~j + z~k





Repères de l'espace

De�nitions

Un repère de l'espace est un quadruplet (O;~i ,~j ,~k) dans

lequel O est un point appelé origine, et ~i , ~j et ~k sonttrois vecteurs non coplanaires.

Le repère (O;−→OI ,−→OJ ,−→OK ) est dit orthonormé si les

droites (OI ), (OJ) et (OK ) sont deux à deuxperpendiculaires et si OI = OJ = OK = 1.

Les réels x , y et z tels que ~u = x~i + y~j + z~k sont lescoordonnées du vecteur ~u.

Soit M un point de l'espace. Les coordonnées de M dans

le repère (O;~i ,~j ,~k) sont celles du vecteur−−→OM : x est

l'abscisse, y est l'ordonnée et z la cote de M .





Propriétés des vecteurs

Propriétés

Soient ~u

xyz

et ~v

x ′

y ′

z ′

deux vecteurs dans un repère

(O;~i ,~j ,~k) de l'espace.

~u = ~v équivaut à x = x ′, y = y ′ et z = z ′.

~u + ~v a pour coordonnées

x + x ′

y + y ′

z + z ′

.

Si α ∈ R, alors α~u a pour coordonnées

αxαyαz

.





Propriétés de géométrie

Propriétés

Soient A(xA; yA; zA) et B(xB ; yB ; zB) deux points de l'espace

repéré par (O;~i ,~j ,~k).

−→AB a pour coordonnées

xB − xAyB − yAzB − zA

.

Le milieu I de [AB] a pour coordonnées(xA+xB

2; yA+yB

2; zA+zB

2

).

Si (O;~i ,~j ,~k) est orthonormé, alors

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.




Représentation paramétrique d'une droiteReprésentation paramétrique d'un plan

Représentation paramétrique d'une droite

Propriété

Soit d la droite passant par A(xA; yA; zA) et de vecteur

directeur ~u

abc

.

Un point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à d si et

seulement si il existe t ∈ R tel que :

x = xA + tay = yA + tbz = zA + tc





Représentation paramétrique d'une droite

Propriété

Soient x0, y0 et z0, a, b et c des nombres réels tels que

(a; b; c) 6= (0; 0; 0).

Le système d'équations

x = x0 + tay = y0 + tbz = z0 + tc

avec t ∈ R dé�nit

une représentation paramétrique de la droite d passant par

A(x0; y0; z0) et de vecteur directeur ~u

abc

. Le nombre t est

appelé paramètre de M .





Représentation paramétrique d'un plan

Propriété

Soit P le plan passant par A(xA; yA; zA) et de vecteurs

directeurs ~u

abc

et ~v

a′

b′

c ′

.

Un point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à P si et

seulement si il existe (t; t ′) ∈ R2 tel que :x = xA + ta + t ′a′

y = yA + tb + t ′b′

z = zA + tc + t ′b′





Représentation paramétrique d'un plan

Propriété

Soient x0, y0 et z0, a, b et c , a′, b′ et c ′ des nombres réels tels

que a, b et c ne sont pas proportionnels à a′, b′ et c ′.

Le système d'équations

x = x0 + ta + t ′a′

y = y0 + tb + t ′b′

z = z0 + tc + t ′c ′avec

(t; t ′) ∈ R2 dé�nit une représentation paramétrique du plan P

passant par A(x0; y0; z0) de vecteurs directeurs

abc

et

a′

b′

c ′

.

Le couple (t; t ′) est appelé couple de paramètres de M .


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