chapitre 3 : electrostatique - hautetfort

PC/PC* LycéeSCHWEITZERMulhouse

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Chapitre3:ELECTROSTATIQUE

Notions et contenus Capacités exigibles1. Électrostatique 2.1 Champ électrostatique Loi de Coulomb. Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle : relation E = - grad V. Principe de superposition. Circulation conservative du champ électrique et signification physique : énergie potentielle d’une charge q dans un champ E. Équation locale rot E = 0. Propriétés de symétrie. Théorème de Gauss et équation locale divE=ρ/ε0. Propriétés topographiques.

Citer l’ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l’électron dans un atome d’hydrogène. Associer la circulation de E au travail de la force qE. Utiliser le théorème de Stokes. Associer les propriétés locales rot E = 0 dans tout l’espace et E=-grad V. Associer la relation E = - grad V au fait que les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants. Exploiter les propriétés de symétrie des sources (translation, rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des propriétés du champ créé. Choisir une surface adaptée et utiliser le théorème de Gauss. Justifier qu’une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d’un champ électrostatique ; repérer d’éventuelles sources du champ et leur signe. Associer l’évolution de la norme de E à l’évasement des tubes de champ loin des sources. Déduire les lignes équipotentielles d’une carte de champ électrostatique, et réciproquement. Évaluer le champ électrique à partir d’un réseau de lignes équipotentielles.

2.2 Exemples de champs électrostatiques Dipôle électrostatique. Moment dipolaire Potentiel et champ créés. Actions subies par un dipôle placé dans un champ électrostatique d’origine extérieure :

Décrire les conditions de l’approximation dipolaire. Établir l’expression du potentiel V. Comparer la décroissance avec la distance du champ et du potentiel dans le cas d’une charge ponctuelle et dans le cas d’un dipôle. Tracer l’allure des lignes de champ. Utiliser les expressions fournies de l’énergie


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résultante et moment. Énergie potentielle d’un dipôle rigide dans un champ électrostatique d’origine extérieure. Approche descriptive des interactions ion-molécule et molécule-molécule. Dipôle induit. Polarisabilité.

potentielle Ep, de la résultante F et du moment M. Prévoir qualitativement l’évolution d’un dipôle dans un champ d’origine extérieure E. Expliquer qualitativement la solvatation des ions dans un solvant polaire. Expliquer qualitativement pourquoi l’énergie d’interaction entre deux molécules polaires n’est pas en 1/r3. Exprimer la polarisabilité d’un atome en utilisant le modèle de Thomson. Associer la polarisabilité et le volume de l’atome en ordre de grandeur.

Plan infini uniformément chargé en surface. Condensateur plan modélisé par deux plans parallèles portant des densités superficielles de charges opposées et uniformes. Capacité. Densité volumique d’énergie électrostatique.

Établir l’expression du champ créé. Établir l’expression du champ créé. Déterminer la capacité du condensateur. Citer l’ordre de grandeur du champ disruptif dans l’air. Associer l’énergie d’un condensateur apparue en électrocinétique à une densité volumique d’énergie.

Noyau atomique modélisé par une boule uniformément chargée : énergie de constitution de la distribution.

Exprimer l’énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près par analyse dimensionnelle. Obtenir le préfacteur numérique en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l’infini. Relier les ordres de grandeur mis en jeu : rayons et énergies. Justifier la nécessité de l’interaction forte.

2.3 Analogies avec le champ gravitationnel

Analogies formelles entre champ électrostatique et champ gravitationnel.

Mettre en évidence les analogies formelles entre les forces électrostatique et gravitationnelle pour en déduire l’analogie des propriétés des champs.


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1. Equationsgénéralesetconséquences: 1.1.Equationsvérifiéespar𝐸:

Sousformelocale:

𝒅𝒊𝒗 𝑬 = 𝝆𝜺𝟎

; 𝒓𝒐𝒕 𝑬 = 𝟎 ♡

Sousformeintégrale:

𝑬 .𝒅𝑺 = 𝑸𝒊𝒏𝒕𝜺𝟎

; 𝑬 .𝒅𝒍 = 𝟎 ♡

cettedernièrerelationexprimelefaitquelechamp𝐸 estàcirculationconservative.Ondéduitdelaformelocaledel’équationdeMaxwell-Faraday:

𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽 ⇔ 𝒅𝑽 = −𝑬.𝒅𝑴 ♡ Vestlepotentielélectrostatique. 1.2.EquationsdePoissonetdeLaplace:Onutiliselarelationvectorielle:𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 = ∆𝑉LacombinaisondeséquationsdeMaxwell-GaussetMxwell-Faradaypermetd’écrire:

∆𝑽+𝝆𝜺𝟎= 𝟎 (𝒆𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏)

Dansunerégionvidedecharges(𝜌 = 0),cetteéquations’écrit:

∆𝑽 = 𝟎 (𝒆𝒒𝒖𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆) 1.3.Principedesuperposition:Leséquationsvérifiéesparleschampsétantlinéaires(cféquationsdeMaxwell)leschampsobéissentau principe de superposition: le champ créé par une distribution de charges est égal à la somme (vectorielle)deschampscréésparchacunedesescharges.Exemple:moléculed’eau. 1.4.Relationentrelignesdechampetéquipotentielles:Définition:leséquipotentiellessontleslieuxdespointsMsurlesquelslepotentielestconstant.Larelation:

𝑑𝑉 = −𝐸.𝑑𝑀exprimelefaitqueleséquipotentiellessontperpendiculairesauxlignesdechamp.Lesigne–exprimelefaitqueleslignesdechampsontorientéesdanslesensdespotentielsdécroissants.


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1.5.Energiepotentielleélectrostatique:Laforceexercéeparunchampélectrostatique𝐸surunechargeq’est:

𝑭 = 𝒒!𝑬 = −𝒒.𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽 = −𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒒𝑽)L’énergiepotentielled’unechargeq’dansunpotentielVestdonc:

𝐸! 𝑟 = 𝑞.𝑉 𝑟

2. Casdeschargesponctuelles: 2.1.LoideCoulomb:LaforceexercéeparuneparticuleponctuelledechargeqsituéeenPsuruneparticuleponctuelledechargeq’situéeenMestlaforcedeCoulomb:

𝑭 𝑴 =𝒒𝒒!

𝟒𝝅𝜺𝟎𝟏𝒓𝟐 𝒖𝑷𝑴 ♡

LechampcrééenunpointMparunechargeponctuelleqsituéeenPs’écritenconséquence:

𝑬(𝑴) =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝟏𝒓𝟐 𝒖𝒓

Larelationentrechampetpotentielpermetdecalculerlepotentielélectrostatiquecrééparunechargeponctuelle:

𝑽 𝒓 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝟏𝒓 + 𝒄𝒕𝒆

Engénéralonchoisitlepotentielnulàl’infinicequiannulelaconstante;onchoisittoujourscetteconventionlorsqu’iln’yapasdechargesàl’infini.

2.2.Ordredegrandeuratomique:

Pourl’atomed’hydrogène,ona:r≈50pm(rayondeBohr); 14πε0

= 9.109

SI;

lechampcrééparlenoyausurl’électrondansunatomed’hydrogènevautE=6.1011V.m-1. 2.3.Energiepotentielleélectrostatique:LetravaildelaforcedeCoulombpourdéplacerlachargeq’d’unepositionMcaractériséeparr1,àunepositionM’caractériséeparr2,est:

𝑊!→! = 𝐹.𝑑𝑟 =𝑞𝑞′4𝜋𝜀!

1𝑟!−1𝑟!

!!

!!

Onendéduit:

𝐸! 𝑟 =𝑞𝑞!

4𝜋𝜀!1𝑟 + 𝑐𝑡𝑒

Lacirculationduchampélectrostatiqued’unpointAàunpointBs’écrit:

Pq

Mq’

𝑢!"!!!!!!!⃗


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𝐶!→! = 𝐸.𝑑𝑟 =𝑞

4𝜋𝜀!1𝑟!−1𝑟!

!

!=𝑊!→!

𝑞′

Onvérifiebienque:

𝑬 .𝒅𝒍 = 𝟎

2.4.Etudedequelquescartesdechamp:

Quellesinformationspeut-ondéduiredelalectured’unecartedechamp,oud’unecartedepotentiels?3. Symétriesd’unedistributiondecharges:L’étudedessymétriespermetdeconnaîtreladirectionduchamp. 3.1.Champenunpointd’unplandesymétrie:Considéronsuncouplede2chargesidentiques.Cettedistribution–discrète–possèdeunplandesymétrieπ:ladistributiondechargesestinchangéedansunesymétrieparrapportauplanπ.

OnconstatequesiMestdansleplandesymétrieE(M ) estcontenudansceplan;cettepropriétéest

généralepourlesdistributionsdiscrètesetcontinues.EnunpointMd'unplandesymétried’unedistributiondechargeslechamp

E(M ) estcontenu

dansceplan♡. 3.2.Champenunpointd’unpland’antisymétrie:Considéronsuncouplede2chargesopposées.Cettedistribution–ditediscrète–possèdeunpland’antisymétrieπ’:ladistributiondechargesesttransforméeensonopposéedansunesymétrieparrapportauplanπ’.

q qπ

M


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Onconstatequedanslepland’antisymétrie

E(M ) estperpendiculairedansceplan;cettepropriétéest

générale,pourlesdistributionsdiscrètesetcontinues.EnunpointMd'unpland’antisymétried’unedistributiondechargeslechamp

E(M ) est

perpendiculaireàceplan♡.Danslecasgénéral,unedistributiondechargespeutprésenteràlafoisdesplansdesymétrieetdesplansd’antisymétrie,ainsiilestsouventpossibledeconnaîtreladirectionde

E(M ) entoutpointde

l’espace.Attention,pourcaractériserlesplans,ilfautd’abordchoisirunsystèmedecoordonnéesadaptées! 3.3.Exemples:

• planinfinichargéavecunedensitésurfaciqueσ>0;• ensemblededeuxplansinfinisdistantsdeaetchargésaveclesdensitéssurfaciqueσet-σ;• lignedroiteinfiniechargéeavecunedensitélinéiquedechargesλ;• sphèrederayonRchargéeavecunedensitévolumiquedechargesρ.

4. Invariancesd’unedistributiondecharges:Lesinvariancespermettentdesavoirdequellesvariablesdépendlechamp.Définition:unedistributiondechargesestditeinvarianteparunetransformationTdel’espacesicettedistributionestinchangéedanslatransformationT.Lestransformationsconsidéréessont:

• Lestranslations(selonuncertainaxe);• Lesrotations(autourd’uncertainaxe).

Onadmetquesiunedistributiondechargesestinvariantedansunetransformation,lechampélectrostatiqueestégalementinvariantdanscettetransformation.C’estleprincipedeCurie:lessymétriesdescausesseretrouventdansleseffets.Exemple:planinfinichargéavecunedensitésurfaciqueσ>0.Lescoordonnéesadaptéeslesplusnaturellessontlescoordonnéescartésiennes(onpeutaussiutiliserdescoordonnéescylindriques,l’axe0zétantperpendiculaireauplanchargé.Toutetranslationdansunedirectionparallèleàl’axeOxou0ylaisseladistributioninvariante;onendéduitquelechampnedépendnidexnidey.

-qqπ’

M


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5. ThéorèmedeGauss: 5.1.Méthode:LethéorèmedeGaussestl’équationdeMaxwell-Gaussintégrale:

𝐸 .𝑑𝑆 = 𝑄!"#𝜀!

Cethéorèmepeutserviràcalculerlechampdanslesdistributionsà«hautesymétrie»:distributionsdanslesquellesladirectionduchampestconnueentoutpointdel’espace,etpourlesquelleslechampnedépendqued’unevariable.Rappel:surfacefermée:onditqu’unesurfaceestferméesiellepermetdedéfinirunintérieuretunextérieuràcettesurface.Unesurfaceferméeesttoujoursorientéeversl’extérieurparunvecteur dS

!

normalàcettesurface.OndoitchercherunesurfaceferméepassantparlepointMd’étude,surlaquellelechamp𝐸 serauniforme,etdontlevecteur𝑑𝑆 est:

• soitcolinéaireà𝐸;• soitperpendiculaireà𝐸.

Cettesurfacepeutêtrelaréuniondeplusieurssurfacesouvertes. 5.2.ChampcrééparunesphèrederayonRetdecentreOuniformémentchargéeenvolumeavecunedensitévolumiquedechargesρ:Lachargetotaledelasphèreest:𝑄 = 𝜌. !

!𝜋.𝑅!.

Onmontrequ’àl’intérieurdelasphère:

𝐸 𝑀 =𝜌𝑟3𝜀!

𝑢! =𝑄

4𝜋𝜀!𝑟𝑅! 𝑢!

etàl’extérieurdelasphère:

𝐸 𝑀 =𝜌3𝜀!

𝑅!

𝑟! 𝑢! =𝑄

4𝜋𝜀!1𝑟! 𝑢!

Remarques:

• lechampestidentiqueauchampcrééparunechargeponctuelleQsituéeenO;• le champ est continu en r = R: cette continuité est générale pour les distributions de charges

volumiques. 5.3.Champcrééparunplaninfiniuniformémentchargéavecunedensitésurfaciqueσ:SileplanchargéestleplanOxy:

𝐸(𝑀) = !!!!𝑢!pourz>0;

𝐸 𝑀 = − !!!!𝑢!pourz<0.

Remarque:lechampestdiscontinuenz=0,ladiscontinuitévalant:

𝐸 0! − 𝐸 0! =𝜎𝜀!𝑢!


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6. Principedesuperposition:applicationaucondensateurplan: 6.1.Définition:UncondensateurplanestformédedeuxarmaturesplanesdesurfaceS,distantesdee,etportantdeschargesQet–Qopposéesuniformémentrépartiesaveclesdensitésσet-σ.Onanaturellement:

Q=σ.SUnemodélisationsimpleconsisteàconsidérerlesplanscommeinfinis,ieànégligerleseffetsdebord.OnamontréquelechampcrééparuneplaqueplaneinfinieperpendiculaireàunaxeOzetchargéeavecunedensitéuniformeσest:

𝐸(𝑀) = !!!!𝑢!pourz>0;

𝐸 𝑀 = − !!!!𝑢!pourz<0.

Parsuperposition,lechampcrééparlecondensateurplanestnulàl’extérieuretuniformeàl’intérieur,avec:

𝐸 𝑀 = −𝜎𝜀!𝑢!

Ladifférencedepotentielentrelesdeuxarmaturesvautdonc:

𝑈 =𝜎𝜀!𝑒

6.2.Capacitéducondensateur:

𝐶 ≝ 𝑄𝑈 =

𝜀!𝑆𝑒

Remarque:l’espaceinterarmaturesn’estpasvide,maisremplid’unisolant(dit«diélectrique»)etcaractériséparsapermittivitérelative(ierelativeauvideetsansdimension)notéeε.Lacapacitédevientalors:

𝐶 = 𝜀𝜀!𝑆𝑒

6.3.Energieducondensateur:L’énergieélectrostatiqued’unedistributiondechargequicréeunchampélectrostatique

!E(M ) dans

l’espaceapourexpression:

Ee =ε0.E

2

2.dτ

espace∫∫∫

Oncalculeici:

𝐸! =!!𝐶.𝑈! = !

!!!

!.

eQ-Q


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7. Energieélectrostatiqued’unnoyauatomique: 7.1.Premièreapprochedel’énergie:OnmodéliselenoyauatomiqueparunesphèrederayonauniformémentchargéeenvolumedechargetotaleQ=Z.e.L’énergieélectrostatiquedunoyauestl’énergieàfournirpourconstituerlenoyauàpartirdechargessituéesàl’infini.Paranalysedimensionnelle,l’énergieélectrostatiqueestdelaforme:

𝐸! = 𝐾𝑄!

𝜀!𝑎

oùlepréfacteurKestsansdimensions.Uncalculexactmontreque:

𝐸! =35𝑍!𝑒!

4𝜋𝜀!𝑎

7.2.Modèledunoyau:Lepremiermodèledenoyau(modèledelagoutte)duàNielsBohretVonWeiszacker(1935)stipuleque:

• Lenoyauestsphérique;• Ladensitédelamatièrenucléaireestconstanteetidentiquepourtouslesnoyaux,soit:

𝑁𝑉 =

𝐴4𝜋𝑅!/3

d’oùR=R0.A1/3avecR0=1,2.10-15m.Exempled’unnoyaud’U(Z=92,A=235,a=7,0fm);oncalcule:

E=1000MeV

Cetteénergietendnaturellementàfaireéclaterlenoyau,ainsiilexisteuneforcepermettantlaliaison:laforcenucléaire,associéeàuneénergieparnucléonlargementsupérieureà4MeV/nucléonpourlaplupartdesnoyaux.VoirFeynmanElectromagnétisme1«Energieélectrostatique».


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8. Analogieaveclechampdegravitation:LaforceexercéeparunemasseponctuellemsituéeenOsurunemasseponctuellem’situéeenMestlaforcedeCoulomb:

𝑭 𝑴 = −𝑮𝒎𝒎!

𝒓𝟐 𝒖𝑶𝑴 ( 𝐥𝐨𝐢 𝐝𝐞 𝐍𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 ♡)

G=6,67.10-11SIestlaconstantedegravitationLechampdegravitationcrééenunpointMparunemasseponctuellemsituéeenOs’écritenconséquence:

𝐴 𝑀 = −𝐺𝑚𝑟! 𝑢!

LethéorèmedeGausspourlechampdegravitation𝐴s’exprimedonc:

𝐴 .𝑑𝑆 = −4𝜋𝐺.𝑀!"#

REVISONSL’ELECTROSTATIQUE

• EcrirelaloideforcedeCoulombetlechampcrééparunechargeponctuelle.• Calculerlechampcrééparleprotondel’atomed’hydrogènesurl’électron.• QuelestletravaildelaforceélectrostatiqueentredeuxpointsAetB?Endéduirel’énergie

potentielleélectrostatiqued’unechargeponctuelledanslechampd’uneautrechargeponctuelle.• Définirlepotentielélectrostatiquecrééparunechargeponctuelle.• Donnerlesdeuxéquationslocalesdel’électrostatique;passeràlaformeintégraleenutilisantles

théorèmesdeStokesetdeGreen-Ostrogradsky.• QuellerelationlocalelielepotentielélectrostatiqueVà𝐸?Quellerelationintégrale?Lepotentiel

est-ilunique?• Quellessontlessymétriesduchamp𝐸;lesappliquerdanslescasdesplans,sphèresetcylindres

chargésuniformément.• Savoircalculerlechampduàuneplaqueplanechargéeensurface.• Savoircalculerlechampduàunesphèrechargéeenvolume.• EnoncerlaloideCoulomb;fairel’analogieaveclaloideNewtondelagravitation;endéduirele

théorèmedeGausspourlagravitation.

• Définirledipôleélectrostatique;donnerl’expressiondupotentielcréé(avecdémonstration),endéduirelechampcréé,tracerqualitativementleslignesdechamp.

• Savoircalculerlesformesdesactionssubiesparundipôlerigidedansunchampextérieuruniforme(résultanteetcouple),etsonénergied’interactionaveccechamp.

• Savoirutiliserlaformedelaforcesubieparundipoledansunchampnonuniforme.

• Expliquerqualitativementpourquoiunionsesolvateetcommentdesmoléculesneutrespeuventinteragir.

Om

Mm’

𝑢!"!!!!!!!⃗

chapitre 3 : electrostatique - hautetfort

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