chapitre 5 - polytech lille, ecole d'ingé · pdf filetraité...

1 1

CHAPITRE 5

Par J. BAUDET H.D.R.

I.R1 C.N.R.S. honoraire

Juin 2013

2 2

AVANT-PROPOS Combien il est parfois difficile de retrouver les notions mathématiques nécessaires à la

résolution d’un problème physique. Ces notions ont été enseignées le plus souvent à une autre

période et vite oubliées car ne correspondant alors pas à un besoin concret. Et si par hasard,

on se souvient de ces notions, on a parfois des difficultés à retrouver leur démonstration ou,

tout au moins, leur fondement et leurs conditions de validité !

Et cependant, il est indispensable si l’on veut être rigoureux dans la conception d’un

système électronique et être capable d’interpréter correctement les résultats obtenus, d’avoir

en mémoire l’outil mathématique nécessaire et surtout d’être en mesure de faire le pont

entre cet outil et le problème concret qui se présente.

Il est aussi indispensable, si l’on veut maîtriser les informations multiples qui arrivent,

en particulier par l’intermédiaire de l’outil informatique, d’avoir un esprit critique, autrement

dit le sens physique étayé par les mathématiques, qui permettra d’avoir une bonne estimation

du résultat obtenu et donc de sa validité.

Ayant une formation d’ingénieur et après avoir effectué toute ma carrière comme

responsable de R&D en électronique au L.R.P.E.* (devenu TELICE* et rattaché au D.H.S.*,

l’un des trois départements de l’I.E.M.N.* de l’U.S.T.L.*), maintenant que la retraite est

venue, j’ai été tenté de faire partager mon expérience, si toutefois cela est possible !

Remerciements :

Le Professeur Y. Crosnier, professeur honoraire à l’I.E.M.N.* de l’U.S.T.L.*, a

corrigé avec très grande rigueur, voire critiqué très pertinemment et positivement ce

document et ses évolutions successives: cela me fut d’une grande aide. Sa disponibilité,

caractérisée par un nombre impressionnant de longs rendez-vous, et la qualité de ses

corrections m’encouragèrent tout au long de cette rédaction et je lui en suis reconnaissant.

Madame M.-T. Pourprix, Maître de Conférences honoraire en Mathématiques à

l’U.S.T.L.*, a apporté une contribution importante et déterminante pour la rédaction des

parties plus spécifiquement mathématiques de ces différents chapitres. Sa disponibilité et sa

patience me furent très précieuses et je l’en remercie. Il faut souligner que Madame Pourprix

est l'auteur du livre : "Des mathématiciens à la Faculté des Sciences de Lille, 1854-1971"

Editeur : L'Harmattan , Paris(16 avril 2009)

Monsieur J.-P. Lestamps, Ingénieur honoraire, m’a apporté une aide fondamentale en

ce qui concerne la médiatisation de ce document : qu’il trouve ici l’expression de ma gratitude

la plus sincère.

* L.R.P.E. : Laboratoire de Radio Propagation et Electronique

* TELICE : TELécommunications, Interférences et Compatibilité Electromagnétique

*D.H.S. : Département Hyperfréquences et Semi-conducteurs

*I.E.M.N. : Institut d’Electronique, de Microélectronique et de Nanotechnologies

* U.S.T.L. : Université des Sciences et Technologies de Lille

3 3

PRÉSENTATION

Le cinquième chapitre aborde l’ « Intégrale de Fourier » et la

« Fonction de Corrélation ». Grâce à cela la représentation de

fonctions « Non Périodiques » peut être abordée. Ce chapitre se

poursuit alors par la présentation de la « Densité Spectrale

d’Energie » et par celle de la « Densité Spectrale de Puissance». Il

se poursuit ensuite par un développement concernant les

« Fonctions Pseudo-Aléatoires » dont l’étude est très dépendante de

la fonction d’autocorrélation. Enfin, le concept de l’ « Impulsion de

Dirac » est abordé à partir des résultats obtenus pour la fonction

« porte », fonction non périodique.

Outre l’apport, toujours aussi précieux, de mes collègues cités en avant-propos, je me

suis appuyé, pour ce chapitre, sur certaines définitions et démonstrations données par :

Frédéric de Coulon, aux chapitres 1 et 4 de son

Traité d'électricité, vol VI, Théorie et traitement des signaux,

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne,

1ère édition 1985, réédité en 1999

4 4

S O M M A I R E

AVANT-PROPOS .......................................................................................................................................... 2

5. DE L’INTEGRALE DE FOURIER ET LA CORRELATION VERS LA DENSITE SPECTRALE ET LA GENERATION DE SPECTRES ................................................ 6

5.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................ 6 5.1.1 Rappel concernant les fonctions traitées précédemment ............................................................... 6 5.1.2 Quelles classes de fonctions n’entrent pas dans cette catégorie ? .................................................. 6 5.1.3 Les outils nécessaires au traitement de ces deux classes de fonctions ........................................... 8 5.1.4 A propos des notations ................................................................................................................. 8

5.2 L’INTEGRALE DE FOURIER, SES PROPRIETES ET SA FONCTION INVERSE ........................... 9 5.2.1 Présentation ................................................................................................................................. 9 5.2.2 Effet d’une fenêtre sur une fonction non périodique .................................................................... 9 5.2.3 Elargissement de la fenêtre : passage de la série de Fourier à l’intégrale de Fourier .................... 11 5.2.4 Retour à la fonction temporelle : Transformation de Fourier Inverse .......................................... 13 5.2.5 Interprétation physique des fonctions G(f) et g((t) ...................................................................... 14 5.2.6 Quelques propriétés de la Transformation Intégrale de Fourier d’une fonction réelle ................. 16 5.2.7 Quatre exemples didactiques ...................................................................................................... 29

5.3 LES FONCTIONS DE CORRELATION ............................................................................................ 41 5.3.1 Introduction ............................................................................................................................... 41 5.3.2 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions complexes ou

réelles à énergie finie. Signification des résultats obtenus......................................................................... 43 5.3.3 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions complexes ou

réelles à puissance moyenne finie. Signification des résultats obtenus ..................................................... 54 5.3.4 Quelques remarques pour les électroniciens ............................................................................... 56 5.3.5 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de fonctions réelles

périodiques. Signification des résultats obtenus ........................................................................................ 57 5.3.6 Une application pleine d’enseignements et de renseignements : la détection synchrone .............. 71 5.3.7 Quelques mots sur la gestion « discrète » de la corrélation ......................................................... 84

5.4 LA FONCTION D’AUTOCORRELATION AU SERVICE DE L’OBTENTION DE LA « DENSITE

SPECTRALE » D’ENERGIE OU DE PUISSANCE ..................................................................................... 89 5.4.1 Introduction ............................................................................................................................... 89 5.4.2 Approche à partir du cas des fonctions périodiques réelles ......................................................... 89 5.4.3 Approche de la Densité Spectrale de Puissance de fonctions réelles à puissance moyenne finie . 94 5.4.4 Approche de la Densité Spectrale d’Energie de fonctions réelles à énergie finie ........................ 98 5.4.5 Une application qui se base sur de nombreux développements exposés dans ce document afin

d’aboutir aux Séquences Pseudo-Aléatoires........................................................................................... 101 5.4.6 Une solution au problème des faibles niveaux générés par la « fonction porte » : la « fonction

pseudo-aléatoire » ................................................................................................................................... 112 5.5 L’IMPULSION DE DIRAC .............................................................................................................. 137

5.5.1 Comment un électronicien en prend-il conscience dans l’exercice pratique de sa profession .... 137 5.5.2 Approche de l’Impulsion de Dirac à partir du signal « rectangulaire unipolaire et unique» ...... 139 5.5.3 Approche Mathématique de l’Impulsion de Dirac .................................................................... 140 5.5.4 Application de l’Impulsion de Dirac au prélèvement de signaux électroniques dans le domaine

temporel (appelé aussi « Echantillonnage ») ............................................................................................ 145

5 5

CH 5 : DE L’INTEGRALE DE FOURIER

ET LA CORRELATION VERS

LA DENSITE SPECTRALE

ET LA GENERATION DE SPECTRES

Outre l’apport, toujours aussi précieux, de mes collègues cités en avant-propos, je me

suis appuyé, pour ce chapitre, sur certaines définitions et démonstrations données par :

Frédéric de Coulon, aux chapitres 1 et 4 de son

Traité d'électricité, vol VI, Théorie et traitement des signaux,

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne,

1ère édition 1985, réédité en 1999

6 6

5. DE L’INTEGRALE DE FOURIER ET LA CORRELATION VERS LA

DENSITE SPECTRALE ET LA GENERATION DE SPECTRES

5.1 INTRODUCTION

5.1.1 Rappel concernant les fonctions traitées précédemment

Dans les chapitres 3 et 4 nous avons présenté un outil mathématique permettant,

moyennant quelques restrictions énoncées au paragraphe 3-3 du chapitre 3, de décomposer

des fonctions périodiques en une série de fonctions harmoniques trigonométriques (chapitre

3) ou de la forme je (chapitre 4). Cet outil est nommé « décomposition en série de Fourier ».

Rappelons qu’une fonction est dite périodique sur T si elle conserve indéfiniment

(donc dans l’intervalle t ) les caractéristiques qu’elle possède sur T .

Une telle définition peut paraître irréaliste et ne pas correspondre aux contraintes

humaines...

Cependant, par exemple en électronique, si nous considérons que l’on allume un

générateur (ou du moins on devrait le faire pour le laisser se stabiliser en température) un

moment avant son utilisation, on peut considérer la définition de périodicité satisfaite. En

effet, elle est vérifiée de par la très faible durée de la période T du signal par rapport à sa durée d’existence dans des conditions de non modification.

Note pour les électroniciens : on retrouve, dans cette présentation succincte, l’importance de

la durée d’analyse des composantes spectrales successives lorsque l’on utilise un analyseur de

spectre à balayage.

Rappelons aussi que la fonction périodique doit être à énergie finie durant sa période

T , donc à puissance moyenne finie, (ceci est développé en annexe 6-7) pour que le

développement en série puisse exister.

Note : il faut constater qu’une telle fonction (c’est-à-dire ne possédant pas une énergie infinie

durant sa période), possède une énergie infinie sur toute son existence (puisqu’elle est censée

être de durée infinie) mais conserve une puissance moyenne finie (identique à celle trouvée

sur une période).

5.1.2 Quelles classes de fonctions n’entrent pas dans cette catégorie ?

Il existe deux classes de fonctions que l’on retrouve en électronique et qui n’entrent

pas dans la catégorie des fonctions définies ci-dessus. Il s’agit, d’une part, des fonctions dites

« à énergie finie sur toute leur existence» et, d’autre part, des fonctions dites « à puissance

moyenne non nulle et ne possédant pas de périodicité propre sur un temps fini ».

7 7

Dans la pratique, la première classe concerne les fonctions de durée finie donc de

durée inférieure à la durée d’analyse, et ne comportant pas de valeurs infinies (de

telles valeurs paraissent, physiquement parlant, usuellement irréalistes). Une

illustration en est donnée figure 5-1.

Cette classe respecte la condition générale de la transformation de Fourier et, ne

présentant plus de périodicité propre, sera représentée par une intégrale et non plus

par une série.

De telles fonctions peuvent résulter, dans le domaine pratique, de phénomènes

transitoires comme :

- le couplage entre deux appareils (par exemple un récepteur radio et un système

d’éclairage). L’allumage ou l’extinction de ce dernier peut perturber

provisoirement la qualité de la réception

- la foudre et, si l’on s’éloigne de l’électronique, les phénomènes sismiques, de

rupture de matériaux lors de tests de résistance, etc.

Cette liste n’est évidemment pas exhaustive…

La seconde classe, quant à elle, concerne les fonctions ne possédant pas de périodicité spécifique et existant sur une durée infinie (physiquement parlant, longue par rapport à

la durée d’observation). De telles fonctions possèdent le plus souvent une énergie

infinie et dans ce cas, possèdent une puissance moyenne finie non nulle.

Cette classe ne respecte plus la condition générale de la transformation de Fourier et

implique des solutions spécifiques.

De telles fonctions peuvent résulter, dans le domaine pratique, de phénomènes tels que :

- le bruit thermique bien connu des électroniciens et souvent cause de limitation des

performances des systèmes

- les transmissions numériques car, même si celles-ci contiennent des signaux

périodiques de synchronisation, le contenu de la transmission change en

permanence de manière imprévisible (sinon, il ne s’agirait plus d’informations

mais de répétitions !)

Note : certaines fonctions, telle la fonction de la forme générique )².(. xe

(dans

laquelle et sont des constantes et x , variable sans dimension, existe dans

l’intervalle ; ), appartiennent à la seconde classe de par leur durée infinie.

Cependant, ces fonctions tendent, à droite et à gauche, asymptotiquement vers zéro,

leur énergie normalisée est finie et leur puissance moyenne tend vers zéro. Une

limitation de l’excursion de x à l’intervalle 21; xx telle que l’énergie ainsi perdue

soit négligeable, permet de traiter ces fonctions comme étant de la première classe.

8 8

5.1.3 Les outils nécessaires au traitement de ces deux classes de fonctions

Note : il est important, avant d’aborder la suite de ce chapitre, de prendre connaissance de

l’annexe, paragraphe 6-1, pour bien exploiter la notion de dimension des fonctions et des

résultats obtenus. Cette notion reviendra souvent tant dans les développements mathématiques

que dans les applications physiques.

Pour aborder ce chapitre, nous présenterons, au paragraphe 5-2, la «Transformation

Intégrale de Fourier », sa fonction inverse et leurs propriétés puis nous exposerons, au

paragraphe 5-3, le concept de « Fonction de Corrélation » et enfin, au paragraphe 5-4, nous

introduirons le concept de « Densité Spectrale». Ces trois notions sont indispensables pour

aborder les deux classes de fonctions présentées ci-dessus.

5.1.4 A propos des notations

Il est difficile, sur un document volumineux, de pouvoir conserver des notations

identiques. Dans un premier temps, il était logique de désigner les différentes fonctions

mathématiques temporelles par f : c’est ce qui a été fait sauf au paragraphe 3-7 quand il

s’est agit de définir les fonctions à symétrie paire et impaire (désignées respectivement par

g et h ) mais ce ne fut que pour un paragraphe court.

Va apparaître, dans certaines relations de ce chapitre, la fréquence sous forme de

variable continue et non plus de variable discrète comme dans les développements en série de

Fourier. Cette variable est alors désignée par f . Pour éviter que dans ces relations, la même

lettre désigne à la fois une fonction et une variable, dans le paragraphe suivant les fonctions

temporelles seront écrites )(tg au lieu de )(tf et leurs transformées de Fourier )( fG .

Cette observation est destinée à insister sur l’importance du choix judicieux des

notations. Rappelons que les électroniciens ont remplacé le symbole i cher aux

mathématiciens par j pour éviter toute confusion avec l’intensité du courant.

De même, particulièrement dans le paragraphe 5-2, on est amené à faire évoluer la

durée d’analyse du signal. Cette durée sera considérée comme une période T . Pour éviter

d’avoir simultanément dans les relations T et 1/T)(F F , F sera remplacé

systématiquement par 1/T dans les différentes relations extraites du paragraphe 4-1 du

chapitre 4.

9 9

5.2 L’INTEGRALE DE FOURIER, SES PROPRIETES ET SA FONCTION INVERSE

5.2.1 Présentation

On peut aborder l’ «intégrale de Fourier » à partir de l’expression du développement

de fonctions périodiques en série de Fourier sous forme polaire.

Rappelons que ce développement permet de décomposer une fonction )(tg ,

périodique (de période T ) et réelle (comme définie paragraphe 3-2 du chapitre 3), d’allure

quelconque (moyennant les réserves énoncées au paragraphe 3-3 de ce même chapitre) en une

série illimitée de vecteurs polaires, de période n/T ( où n est un entier évoluant dans

l’intervalle ; ), de module et de phase initiale déduits de la fonction étudiée.

5.2.2 Effet d’une fenêtre sur une fonction non périodique

Soit la fonction )(tg représentée figure 5-1: elle simule l’effet de trois impulsions de

faible durée, décalées dans le temps, de niveaux décroissants et passant dans un filtre passe-

bas du premier ordre. Cette fonction est supposée définie dans l’intervalle ; .

Cette fonction, étant unique, n’est donc pas périodique et ne permet pas d’appliquer

les développements présentés chapitres 3 et 4.

Un électronicien, toujours tenu par la variable « temps », sera tenté d’ouvrir une

« fenêtre temporelle d’analyse » englobant la totalité T de ce qui est, pour lui, l’information utile (puisque le reste de l’information est nul) et se limitera à cette durée.

Il aura alors la tentation de calculer les coefficients de Fourier…

Figure 5-1 : « train » de trois impulsions de niveau décroissant,

passant dans un filtre passe-bas du premier ordre.

Y est superposée une fenêtre d’analyse envisageable (en jaune), de durée T .

t

T

+∞ -∞

g(t)

10 10

En réalité, il obtiendra les coefficients de Fourier de la fonction )T,(tg qu’il vient

de créer arbitrairement (le T ajouté dans la définition de )(tg stipule que cette fonction, de

par le calcul des coefficients, est devenue périodique, de période T , ce qui était implicite

dans les chapitres 3 et 4). Cette nouvelle fonction est partiellement représentée par trois de ses

périodes figure 5-2.

On dit que la fonction initiale a été périodisée et les coefficients obtenus seront

tributaires de la durée de la fenêtre choisie.

Notons que cette fenêtre peut avoir aussi pour effet de modifier les caractéristiques

temporelles de la fonction lors de son ouverture et de sa fermeture, en introduisant des écarts

de niveaux ou (et) de pentes comme l’illustre la figure 5-3 où la fenêtre se termine au milieu

de la troisième impulsion.

Pour atténuer ces problèmes, qui apparaissent surtout lors de traitements par

« Transformation de Fourier Discrète» (TFD ou DFT en anglo-saxon pour « Discrete Fourier

Transform ») où le nombre de points de mesures est limité, il existe des techniques telles que:

choix judicieux du fenétrage en fonction du signal, forme des fronts de montée et de descente

de la fenêtre modifiée, etc...

Figure 5-2 : impact d’une fenêtre temporelle

lors du calcul des coefficients de Fourier de la fonction de la figure 5-1.

t T

+∞ -∞

g(t,T)

Figure 5-3 : impact d’une fenêtre inopportune.

Elle coupe la troisième impulsion et introduit un changement brutal de pente à cet

instant. Cependant les conditions d’existence du développement de Fourier énoncées

au paragraphe 3-3 du chapitre 3 sont vérifiées : on aura un résultat non significatif.

+∞ -∞

t

T’

g(t,T)

11 11

Cependant, la solution la plus satisfaisante sur le plan théorique est d’élargir la fenêtre

d’analyse, donc d’augmenterT , et de la faire tendre vers l’infini.

Mathématiquement parlant, rien n’empêche de faire cette opération en un temps…fini !

5.2.3 Elargissement de la fenêtre : passage de la série de Fourier à l’intégrale

de Fourier

5.2.3.1 La démarche

Considérons la figure 5-1 représentant une fonction )(tg dans l’intervalle de temps

; . Une telle fonction est dite à énergie finie (puisque ses valeurs non nulles sont

limitées dans le temps et qu’elle ne possède pas de niveaux infinis) contrairement à une

fonction périodique dont l’énergie totale est infinie (puisqu’elle n’est pas limitée dans le

temps).

Dans la figure 5-1, la zone de niveau non nul a été délimitée par une fenêtre de durée T .

Note : Ce type de fonction correspond à la condition générale d’existence des

développements en série présentée en annexe 6-7. Rappelons que, paradoxalement, les

fonctions périodiques, bien que possédant une énergie totale infinie, admettent aussi un

développement en série, parce que périodiques, à condition que leur énergie, calculée sur une

période, ne soit pas infinie (sinon le chapitre 3 n’aurait pas lieu d’être !).

Si l’on augmente cette durée, on englobe une part de plus en plus importante de la

zone où la fonction est nulle (figure 5-4) (il ne faut pas oublier qu’une valeur nulle est, en

elle-même, une information). L’on s’approche alors progressivement du signal effectif.

On pourra encore appliquer la méthode du développement en série de Fourier de

fonctions périodiques sur la fonction ainsi obtenue, que l’on désigne alors par )T,(tg pour

bien mettre en évidence l’intervention de la durée de la fenêtre.

Figure 5-4 : impact de l’élargissement de la fenêtre d’analyse sur la représentation de la

fonction g(t) périodisée de la figure 5-2 :

- il ne reste que deux périodes de la fonction sur la zone visualisée

- le temps où la fonction est nulle s’allonge pour tendre vers la fonction initiale de la

figure 5-1.

t

T

+∞ -∞

g(t,T)

12 12

Rien n’empêche alors de faire tendre T ce qui permet de retrouver la fonction

recherchée, )(tg :

Rappelons l’expression du développement en série de Fourier, en coordonnées

polaires, de la fonction périodique )(tf (dénotée )(tg , comme justifié au paragraphe

5-1-4) telle qu’elle a été exprimée au chapitre 4 (relation (4-20)). Elle est reportée ci-dessous

sous la référence (5-2) :

Note : le coefficient complexe de Fourier Fnc est affecté de la lettre « F » en indice et en

italique : elle ne désigne évidemment pas une fréquence mais indique qu’il s’agit d’un des n

coefficients de Fourier (« F » pour Fourier).

A partir des relations (5-2) et (5-3), dans lesquelles, rappelons-le, F sera remplacé par

1/T , la relation (5-1) devient (les couleurs affectées à ces relations sont respectées):

5.2.3.2 Modification à apporter aux paramètres lors du passage à la

limite

Remarque : dans le sous-paragraphe précédent, on a fait tendre la durée de la fenêtre vers

l’infini. Les passages à la limite ultérieurs peuvent être démontrés mais sortent du cadre de

notre propos.

(5-1) )T,(lim)(T

tgtg

n

ntjntj edte)g(ttg T/.2T/.2

2/T

2/TT

.. .T,.T

1lim)(

(5-4)

(5-3)

n

tnjFn ectg F..2.)(

(5-2)

avec (relation (4-21)

du chapitre 4) :

dteg(t)c tnjFn . ..

T

1 F..2

2/T

2/T

13 13

Le fait que T implique de faire apparaître des paramètres mieux adaptés :

- dfT/1

- fn T/ : en effet, comme la durée d’analyse, donc la périodicité ainsi créée,

tend vers l’infini, les composantes fréquentielles, qui résultent du développement en

série de Fourier, se rapprochent indéfiniment et finissent par devenir une variable

continue

- ∑ devient alors une intégrale puisque les surfaces élémentaires deviennent de largeur

infiniment petite (car dfT/1 ) et sont approximées par des rectangles de même base

- )()T,( tgtg

ce qui permet d’écrire la relation (5-4) sous la forme:

relation qui permet, à partir de la zone encadrée par des pointillés, d’obtenir la

Transformée de Fourier de )(tg :

5.2.4 Retour à la fonction temporelle : Transformation de Fourier Inverse

En remplaçant dans la relation 5-5 la zone encadrée par des pointillés par )( fG ,

fonction définie relation (5-6), )(tg devient:

Cette relation définit la Transformée de Fourier Inverse.

-

..2 .).()( dfefGtg tfj (5-7)

-

..2 .).()( dtetgfG tfj (5-6)

tfjtfj edtetgdftg ..2..2 ..).(.)(

(5-5)

-

..2 .).()( dfefGtg tfj (5-7)

-

..2 .).()( dtetgfG tfj (5-6)

14 14

5.2.5 Interprétation physique des fonctions G(f) et g((t)

5.2.5.1 Quelques observations

Autant l’interprétation physique du développement en série de Fourier de fonctions

périodiques est relativement aisée, même dans sa version polaire, autant l’interprétation de

l’intégrale de Fourier d’une fonction non périodique mais de durée finie est plus abstraite.

Tout d’abord, il ne faut pas oublier que les deux représentations données par les

relations (5-6) et (5-7) constituent deux approches différentes de la même fonction ou du

même processus physique, l’une en fonction de la fréquence, l’autre en fonction du temps. Ces

relations permettent de faire la transition d’une représentation à l’autre.

Considérons la relation (5-6) définissant )( fG , rappelée ci-

contre: la variable de cette fonction est la fréquence :

- chaque composante de )( fG , de fréquence f , est

infiniment proche de ses voisines (puisque f est une variable continue) alors que

le développement en série de Fourier définit des composantes distantes entre elles

de 1/TF . La valeur de cette composante f est le résultat de la recherche,

sur la totalité du temps (qui est ici la variable d’intégration), de la présence dans

)(tg de la composante ayant cette fréquence. Le résultat est le plus souvent

complexe.

On a donc réalisé un filtre de bande passante infiniment étroite pour la fréquence f

analysant le signal sur un temps infini !

- )( fG sera totalement définie quand on aura fait cette recherche pour l’ensemble

des fréquences dans l’intervalle fréquentiel ; .

Considérons la relation (5-7) définissant )(tg , rappelée ci-

contre la variable de cette fonction est le temps.

- Le niveau à chaque instant t de )(tg (infiniment

proche des instants voisins), est le résultat de la sommation infinie du niveau que

prend à cet instant chacune des composantes fréquentielles complexes ( f est ici

la variable d’intégration).

- )(tg sera totalement définie quand on aura fait ce calcul de niveau pour

l’ensemble des instants dans l’intervalle temporel ; .

Cette transformation inverse revient à reconstituer la fonction à partir des données

issues de l’analyse de cette fonction par une infinité de filtres de bande passante infiniment

étroite.

-

..2 .).()( dtetgfG tfj

-

..2 .).()( dfefGtg tfj

15 15

5.2.5.2 Revenons à la dimension de G(f)

Les coefficients na , nb , n et Fnc ont, de par les relations (3-17) et (4-24)

respectivement des chapitres 3 et 4, la même dimension. Cette dimension est celle de la

grandeur physique analysée. Quand il s’agit d’une fonction, généralement normalisée, ils sont

alors évidemment sans dimension.

En effet, ces coefficients affectent, directement ou indirectement (dans le cas de la

représentation polaire) des fonctions trigonométriques qui n’ont évidemment pas de

dimension (donc, dont la dimension est

exprimée par l’unité, comme expliqué en

annexe, paragraphe 6-1-1). La relation

(3-6) du chapitre 3, rappelée ci-contre en

est la confirmation.

Pour )( fG , l’approche est différente. Repartons de la

relation (5-6) rappelée ci-contre. Cette fonction est l’intégrale du produit de trois termes : les deux premiers sont sans dimension.

L’expression mathématique de la dimension qui résulte de leur produit est 1 . Comme

l’intégration se fait par rapport au temps (par la présence de dt ), la dimension de )( fG est

« s », autrement dit le temps. Notons que, replacée dans la relation (5-7), cette dimension,

associée à celle de df , donne un résultat unitaire, identique à la dimension de )(tg .

Note : on constate qu’alors )( fG , le module de )( fG , représente une « densité

d’amplitude par rapport à la fréquence» puisque ce terme caractérise le niveau de la fonction

)(tg en un point de la variable continue, la fréquence f , et que sa dimension « s » peut

aussi s’écrire « Hz-1

».

Dans le cas d’un signal électrique de tension )(tv , on peut poser :

-

..2).()( dtetvfV tfj (5-9)

)( fV s’exprime alors en « V.s » ou en « V.Hz-1

».

tnbtnaatf

n

n

n

n F.2sin.F.2cos.)(

11

0

-


16 16

5.2.6 Quelques propriétés de la Transformation Intégrale de Fourier d’une

fonction réelle

La démonstration qui vient d’être faite est valable, tant pour une fonction temporelle

complexe que réelle. Dans ce qui suit, nous nous bornerons aux propriétés des fonctions

temporelles réelles, plus fréquentes en électronique.

5.2.6.1 Décomposition de la transformée de Fourier d’une fonction

temporelle réelle en sa partie réelle et sa partie imaginaire

Repartons de la relation (5-6) en supposant )(tg réel. On peut alors

développer )( fG comme suit:

Comme )(tg est réel on peut en déduire que, en changeant de signe la variable f et

en se souvenant que cos)cos( et sin)sin( :

En conclusion, on peut déduire que :

- la partie réelle de )( fG possède une symétrie paire puisque : )()( fGfG RR

- sa partie imaginaire possède une symétrie impaire puisque : )()( fGfG II .

dttftgjdttftg

dtetgfG tfj

)...2(sin).(.)...2(cos).(

.).()(

-

..2

(5-10) )( fGR )(. fGj I (5-11)

)()(.)()(.)(

.).()(

*

-

).(2

fGfGjfGfGjfG

dtetgfG

IRIR

tfj

(5-12)

17 17

Cas particulier : pour 0f (valeur qui détermine la composante continue), la relation

(5-11) se réduit à :

dttgG ).()0( (5-13)

Ce résultat correspond à la valeur moyenne de )(tg .

Remarque: la relation (5-11) met en évidence que si )(tg était complexe, les parties réelles

et imaginaires de )( fG seraient plus …complexes à calculer et ne permettraient pas

d’aboutir à l’égalité de la relation (5-12).

Si l’on suppose connus (résultats de calculs par exemple), )( fGR et )( fGI , on

peut en déduire le module du spectre d’amplitude :

)()()( 22 fGfGfG IR (5-14)

et le spectre de phase, moins utilisé, s’écrit :

))(/)(arctan()( fGfGf RI (5-15)

(ne pas oublier les tests de localisation de la phase dans le bon quadrant décrits paragraphe 1-9-2)

Suite aux conclusions de la relation (5-12), on peut vérifier que la phase est une

fonction impaire puisque : )()( ff .

De par les relations (5-14) et (5-15), on peut aussi écrire:

)(..)()( fjefGfG (5-16)

.Note pour les électroniciens: en électronique appliquée, la gamme de fréquence

ff ; est généralement limitée à une zone un peu supérieure à celle où le module du

signal n’est pas négligeable. Et ce surtout si, disposant comme informations initiales de la

partie réelle )( fGR et de la partie imaginaire

)( fGI de )( fG , on veut en déduire la

phase. En effet lorsque ces grandeurs prennent simultanément de faibles valeurs (ce qui induit

un module voisin de zéro), le bruit électronique qui s’y superpose peut devenir prépondérant.

Ceci amène le calcul de la phase, déduite de la fonction ))(/)(arctan( fGfG RI , à

fluctuer de manière importante et aberrante vu les multiples changements de signe du rapport

)(/)( fGfG RI résultant de la présence de ce bruit.

18 18

5.2.6.2 Simplifications de ces paramètres en cas de symétrie de la

fonction, temporelle et réelle, étudiée

Attention : dans ce sous-paragraphe, la variable prise en compte n’est plus la fréquence mais

le temps.

Rappel : ce sous-paragraphe reprend les résultats du paragraphe 3-7-4 du chapitre 3. De ce

paragraphe, nous pouvons extraire que :

- la fonction cosinus est paire puisque : cos)cos(

- la fonction sinus est impaire puisque: sin)sin(

- le produit de deux fonctions paires ou de deux fonctions impaires donne une

fonction paire

- le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire donne une fonction

impaire

- l’intégrale étendue de ; d’une fonction paire peut être remplacée par

le double de l’intégrale étendue de ;0 de cette fonction

- l’intégrale étendue de ; d’une fonction impaire est nulle

A partir de ce rappel, nous pouvons envisager deux cas :

cas où )(tg est pair.

Dans ce cas, si nous reprenons les termes sous le symbole d’intégration de la relation

(5-11) nous constatons que:

- comme )..2cos().( )).(.2cos().( tftgtftg , la fonction

contenant ces termes est paire et son intégrale se réduit à :

- comme )..2sin().()).(.2sin().( tftgtftg , la fonction

contenant ces termes est impaire et son intégrale est nulle:

0)( fGI

(5-18)

(5-17) dttftgfGR )...2cos().(.2)(

0

19 19

Par conséquent et en tenant compte de la parité de )( fGR démontrée au sous-

paragraphe précédent, nous pouvons conclure que (pour )(tg réel) :

)()()( fGfGfG RR (5-19)

ou encore que : )(..)()( fj

R efGfG (5-20)

avec 0)( f si 0(f))GR ou )( f si 0(f))GR

cas où )(tg est impair.

En utilisant la même démarche que dans le cas précédent, la relation (5-11) permet

d’écrire :

0)( fGR (5-21)

et :

Par conséquent et en tenant compte de l’imparité de )( fGI démontrée au sous-

paragraphe précédent, nous pouvons conclure que (pour )(tg réel) :

)(.)(.)( fGjfGjfG II (5-23)

ou encore que : )(..)()( fj

I efGfG (5-24)

avec 2/)( f si 0(f))GI ou 2/)( f si 0(f))GI

5.2.6.3 Quelques autres propriétés de la Transformation de Fourier d’une

fonction réelle

Note : les propriétés ci-dessous se retrouvent à peu près toutes au paragraphe 3-7 du chapitre

3 pour des fonctions périodiques. Il est important de réaliser que )( fG , comme les

coefficients na et nb pour les fonctions périodiques, est indépendant du temps pour une

valeur de f donnée.

(5-22)

0

)...2sin().(.2)( dttftgfGI

20 20

Les relations (5-6) et (5-7), rappelées ci-après sous les références (5-26) a et b,

montrent la réciprocité de la transformation de Fourier : cette propriété permet de passer du

domaine temps au domaine fréquence et réciproquement, d’où l’utilisation du symbole

pour les relier. On écrira par exemple: )(..)()()( fjefGfGtg (5-25)

Propriété 1 : (5-27)

Cette propriété ne se justifie que si )(tg est complexe : elle est décrite ici pour

montrer les différentes configurations que peut prendre la transformation de Fourier.

Démarche : posons )(.)()( tgjtgtg IR

- la relation (5-26a) devient alors:

- )( fG S’obtient en remplaçant f par f dans la relation ci-dessus :

- or le conjugué de )( fG s’écrit :

Si )()( fGtg

Alors )()( ** fGtg

-


-


Rappel des relations (5-6) et (5-7)

(5-26)

a b

dttftgtftgjdttftgtftg

dtetgjtgfGg(t)

IRIR

tfjIR

)..2cos().()..2sin().(.)..2sin().()..2cos().(

.)).(.)(()(

-

..2


fG

IRIR

)..2cos().()..2sin().(.)..2sin().()..2cos().(

)(


fG

IRIR

)..2cos().()..2sin().(.)..2sin().()..2cos().(

)( *

21 21

- par ailleurs la transformée de Fourier du conjugué de )(tg peut se calculer

directement à partir de la relation (5-26a) :

En conséquence: l’équivalence des deux relations précédentes confirme la propriété 1.

Propriété 2 : )(.)(. fGKtgK (5-28)

(où K désigne une constante réelle)

Cette propriété ne nécessite pas de démonstration.

Propriété 3 : )()()()( 2121 fGfGtgtg (5-29)

(où 1g et 2g désignent deux fonctions indépendantes)

La restriction concernant la périodicité des deux fonctions de la propriété 3 du

paragraphe 3-7-3 du chapitre 3 disparaît évidemment.

Propriété 4 : )/(.1

).( KfGK

tKg (5-30)

(où K désigne une constante réelle différente de zéro)

Objectif recherché: la transformée de Fourier de )(tg étant connue et donnée par la

relation (5-26a):

-

..2 .).()( dtetgfG tfj , l’objectif est de déduire la

transformée de Fourier )(1 fG de la fonction ).( tKg , en fonction de )( fG .


dtetgjtg(t)g

IRIR

tfjIR

)..2cos().()..2sin().(.)..2sin().()..2cos().(

.)).(.)((

-

..2*

22 22

Il faut donc calculer l’intégrale ci-dessous, désignée par: ).(I tKg :

-

..2).( .)..(I dtetKg tfj

tKg

(5-31)

(il faut noter que l’argument de la fonction exponentielle et le terme dt ne

sont pas affectés par la constante K car cette constante ne fait partie que de la

fonction ).( tKg )

- Cas exclu : 0K . Dans ce cas, la fonction n’a plus de lien avec le temps !

Démarche :

- Changement de variable : on pose tKtK . . Cette nouvelle variable est

évidemment homogène à un temps. On peut alors écrire :

/Kdt dt/K tt

dtKdttKt

KK

KK

. .

(5-32)

Sur le plan mathématique, deux configurations se présentent selon le signe de

K : en effet si 0K , les bornes de l’intégrale changent de signe puisque

).(K et .K

- Si 0K : l’intégrale exprimée relation (5-31) devient, en appliquant le

changement de variable défini en (5-32) :

-

..2

0),.( .).(IK

dtetg KK

tfj

KKtKg

K

(5-33)

Il faut noter que :

- la fonction K

tfj K

e..2

peut s’écrire : Kt

K

fj

e.2

pour faire

ressortir la variable temporelle

- la constante du terme KdtK / peut être extraite de l’opérateur

d’intégration.

La relation (5-33) devient :

-

.2

0),.( .).(.1

I K

tK

fj

KKtKg dtetgK

K

(5-34)

23 23

- Si 0K : la relation (5-34) subit un changement du signe de ses bornes

d’intégration et devient :

.2

0),.( .).(.1

I K

tK

fj

KKtKg dtetgK

K

(5-35)

relation qui peut s’écrire :

-

.2

0),.( .).(.1

I K

tK

fj

KKtKg dtetgK

K

(5-36)

- Unification des deux cas : si l’on prend en compte que pour 0K le

rapport K/1 est positif et que, pour 0K , le rapport K/1 est aussi

positif, on peut unifier les relations (5-34) et (5-36):

En conséquence : si l’on considère la partie encadrée de pointillés de la relation

(5-37), on constate qu’elle revêt la forme de la transformée de Fourier )( fG à un

point près.

En effet, une modification de fréquence apparaît de par la présence dans l’argument de

la fonction exponentielle, de la constante K au dénominateur du terme fréquentiel.

On obtient en définitive :

)/(.1

)().( 1 KfGK

fGtKg (5-38)

Interprétation physique: deux configurations possibles apparaissent selon la valeur

du module de K . On peut en effet distinguer le cas où 1K de celui où 1K .

- Dans le domaine temporel : si 1K et en supposant t positif, on a

ttK . : en conséquence, pour obtenir la même évolution d’une fonction, il

faudra une évolution du temps plus importante. Ceci se vérifie facilement sur

une fonction trigonométrique de la forme )..F2sin( tK : pour parcourir les

2 radians, il faut plus de temps (un exemple sera consacré à ce problème au

sous-paragraphe 5-2-7-3, figure 5-12).

Pour 1K le raisonnement est évidemment inverse.

-

.2

0),.(1 .).(.1

I)( K

tK

fj

KKtKg dtetgK

fGK

(5-37)

24 24

- Dans le domaine fréquentiel : (ici, c’est la fréquence qui est en abscisse

puisque c’est la variable). Si 1K et en supposant f positif, on a

fK

f : en conséquence, pour obtenir la même description de )( fG , la

fonction )/( KfG aura besoin d’une excursion de fréquence plus faible. On

retrouve cette propriété en exemple du sous-paragraphe 5-2-7-3, figure 5-12.

Pour 1K le raisonnement est évidemment inverse.

Enfin : le coefficient K/1 affectant la fonction G assure la validité de l’identité de

Parseval , énoncée ci-après en propriété 8.

Exemple simple: si 1K , )()( fGtg .

Propriété 5 :

)2/)(.(.)(..2

)()..2())((

fjefGf

fGfjdt

tgd

(5-39)

Il faut calculer :

dtetg tfj ..2.).(' (5-40)

Cette expression représente la transformée de Fourier de la dérivée de la fonction

)(tg , fonction dont on suppose connue la transformée de Fourier )( fG . La

démonstration est basée sur l’intégration par parties.

Rappel à propos de l’intégration par parties : elle est basée sur la relation de la

dérivée du produit de deux fonctions )(tu et )(tv , chacune dérivable et dont les

dérivées 'u et 'v sont continues dans l’intervalle 21;tt où l’on veut effectuer

l’intégration par parties. La dérivée du produit s’écrit:

'.'.)'.( uvvuvu (5-41)

Cette expression peut s’écrire sous la forme :

'.)'.('. uvvuvu (5-42)

25 25

L’intégrale de cette expression s’exprime (on constate que le second terme est

l’intégrale de la dérivée du produit des deux fonctions):

Et en définitive :

Note : dans les relations (5-45) à (5-47) les couleurs affectées aux termes de la relation

(5-44) sont conservées.

Retour au problème : on dispose des données initiales )(tg et tfje ..2. . On les

dénomme respectivement :

on peut en déduire :

)(')(' tgtu et tfjefjtv ..2...2.)(' (5-46)

Comme )(tg est une fonction à énergie finie, sa valeur tend vers zéro pour

t et donc : 0).()().( ..2.

tfjetgtvtu

En conséquence : en remplaçant dans la relation (5-44) 'u et v par leurs valeurs

extraites des relations (5-45) et (5-46) et en faisant tendre les limites d’intégration vers

l’infini, on retrouve la relation donnant la transformée de Fourier recherchée :

dtetgfj

dtefjtgdtetgdt

tgd

tfj

tfjtfj

..2.

..2...2.

).(..2.

)..2.).(().('))((

(5-47)

2

1

2

1

2

1

.'.)'..(.'.

t

t

t

t

t

t

dtuvdtvudtvu

2

1)().(

t

ttvtu

(5-43)

→ )()( tgtu et tfjetv ..2.)(

ainsi que : 1t et 2t

(5-45)

2

1

2

1

2

1

.'.)().(.'.

t

t

t

t

t

t

dtuvtvtudtvu (5-44)

26 26

En conclusion: si l’on se souvient des relations (5-25) et (5-26) rassemblées ci-

dessous :

On retrouve bien:

)2/)(.(.)(..2

)()..2())((

fjefGf

fGfjdt

tgd

(5-48)

Propriété 6 :)2/)(.(.

.2

)(

).2(

)().(

fje

f

fG

fj

fGdttg (5-49)

Attention: cette opération n’est faisable que moyennant une restriction indiquée en

rouge au cours du développement. De plus, elle n’est pas toujours définie pour 0f

(risque de division par zéro).

On pose: )(t ( est la lettre grecque γ majuscule) une primitive de )(tg (il y en

a une infinité, chacune ayant une constante d’intégration différente) : on supposera

cette constante comme étant nulle.

On peut, ici encore, utiliser l’intégration par parties présentée propriété 5. Dans les

relations (5-50) à (5-52) les couleurs affectées aux termes de la relation (5-44) sont

conservées.

Paramètres de l’intégration par parties. On dispose des données initiales )(tg et

tfje ..2. que l’on dénomme respectivement :

on en déduit : fj

etu

tfj

.2.)(

..2.

et )()( ttv (5-51)

dtetgefGfGtg tfjfj ..2.)(. ).(.)()()(

→ tfjetu ..2.)(' et )()(' tgtv

ainsi que : 1t et 2t

(5-50)

27 27

dans l’hypothèse où : 0.2.

).()().(..2.

fj

ettvtu

tfj

, ce qui

impose que 0)()( , on peut, ici aussi, simplifier la relation (5-44).

En conséquence : en utilisant la même procédure que pour la propriété 5, on obtient :

On peut alors introduire l’expression de )( fG ce qui donne bien la relation (5-49):

)2/)(.(.

.2

)(

).2(

)().(

fje

f

fG

fj

fGdttg

Propriété 7 : )..2)(.(

..2.

.)(

).()(

ffj

fj

efG

efGtg

(5-53)

Il s’agit du théorème du retard (dans le cas où est positif) détaillé pour les fonctions

périodiques en fin du paragraphe 3-7-3 du chapitre 3. Ce problème peut être traité

mathématiquement à l’aide d’un changement de variable, en posant tu et en

appliquant la même démarche, alors beaucoup plus simple, que pour la propriété 4.

Cependant, il peut aussi être abordé, comme au chapitre 3, de manière moins abstraite

pour ceux qui sont habitués à visualiser des signaux.

Rappel extrait du paragraphe 5-2-5 : on considère la

relation (5-26b), rappelée ci-contre, définissant )(tg en

fonction de sa transformée de Fourier )( fG . La variable

de )(tg est le temps.

-


dtetgfj

dtfj

etgdtett

tfj

tfjtfj

..2.

..2...2.

).(..2.

1

..2.

)().().()(

(5-52)

28 28

On peut noter que le niveau de )(tg à chaque instant t , est le résultat de la

sommation du niveau que prend à cet instant l’infinité (donc pour f allant de à

) des composantes fréquentielles complexes représentées par )(..)()( fjefGfG . Il ne faut pas oublier que, une fois connues ou

calculées, ces composantes sont indépendantes du temps : c’est le terme tfje ..2 qui

fait le lien avec l’évolution temporelle de )(tg .

En ce qui concerne un retard, la fonction )( tg (figure 5-5) reproduit, à l’instant

t , l’allure qu’a la fonction )(tg à l’instant t . )( tg est donc en retard sur

)(tg . Comme il vient d’être dit, )( fG et )( f sont invariants par rapport au

temps: seul le terme tfje ..2 subit une évolution temporelle et s’écrit

).(.2 tfje .

En définitive, il vient :

Figure 5-5 : reprise du signal unique de la figure 5-1 et sa recopie avec un retard τ.

La courbe g(t-τ) reproduit, à l’instant t , l’allure de la courbe g(t) à l’instant t-τ : elle est donc en retard.

t

g(t) g(t-τ)

τ

-

..2..2

-

).(.2 .).(.).()( dfeefGdfefGtg tfjfjtfj (5-54)

Nouvelle valeur de la transformée de Fourier

)..2)(.(

..2.

.)(

).()(

ffj

fj

efG

efGtg

29 29

Propriété 8 : Identité de Parseval :

Cette identité établit une relation entre l’énergie normalisée de la fonction (qui est,

rappelons-le, dans cette étude, finie) et le carré de sa Transformée de Fourier. On peut

écrire :

norWdffGdttg

.)(.)(22

(5-55)

Cette identité est un moyen pratique pour vérifier la validité des résultats de

Transformation de Fourier.

5.2.7 Quatre exemples didactiques

5.2.7.1 Transformée de Fourier d’une fonction rectangulaire, unique et

positive, de durée T et de niveau A

Cette fonction se trouve aussi sous le nom de « fonction porte ».

Elle est nulle partout sauf dans l’intervalle

2/T;2/T où elle vaut A . Elle est donc

réelle et paire telle qu’étudiée au sous-paragraphe

5-2-6-2. Sa transformée de Fourier est donc réelle et

paire et se réduit à la relation (5-17) dans laquelle

Atg )( et la borne supérieure d’intégration se

limite évidemment à 2/T . On peut donc écrire :

Rappel : la fonction « sinc » qui se nomme « sinus cardinal » équivaut à regrouper le sinus de

π fois (et non 2.π fois) le terme sans dimension inséré dans la parenthèse divisé par π fois ce

terme.

g(t)

A

0 -∞← -T/2 +T/2 → + ∞ t

Figure 5-6 : fonction rectangulaire

de durée T et de niveau A

(5-56)

)T.(inc.T.T..

)T..sin(.T.

)..2sin(..2

.2)...2cos(..2

)...2cos().(.2)()(

2/T

0

2/T

0

0

fsAf

fA G(f)

tff

AdttfA

dttftgfGfG R

30 30

Il est facile de vérifier que : )T.(sinc)T.(sinc ff et donc que )( fG est

bien une fonction paire.

Les deux courbes suivantes représentent les différents paramètres de la transformée de

Fourier de la fonction décrite figure 5-6. Ces courbes existent sur la totalité de l’intervalle

fréquentiel allant de à mais leur intervalle est limité ici à T/4;T/4 .

Le coefficient T.A qui a la « seconde » pour dimension, est pris ici égal à 1 seconde

(n’oublions pas que cette transformée représente une densité spectrale d’amplitude, donc

représente le niveau par élément infinitésimal de fréquence).

La figure 5-7 représente la transformée de Fourier de la fonction définie figure 5-6 par

la relation (5-56) : il s’agit de la fonction « sinus cardinal ».

La figure 5-8 représente le module de cette transformée, donc le module de la fonction

« sinus cardinal ». Cette représentation est rencontrée très souvent (en analyse spectrale par

exemple).

La représentation que l’on a habituellement de cette transformée est celle du module

(figure 5-8).

Si l’on s’intéresse à la phase, le sous-paragraphe 5-2-6-1 indique que la phase est une

fonction impaire. Dans ce cas particulier, puisque 0)( fGI comme indiqué au sous-

paragraphe 5-2-6-2, la phase est nulle si 0)( fG et vaut si 0)( fG .

Figures 5-7 et 5-8: transformée de Fourier d’un signal rectangulaire unique, pair et positif, de niveau A et de durée T, conforme à la figure 5-6.

Dans ces figures, le produit A.T est supposé valoir 1 seconde.

La figure 5-7 représente le niveau de cette transformée et la figure 5-8, son module.

1

0,5

0

1

0,5

0 -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T

f

f

G(f)

│G(f)│

Figure 5-8

Figure 5-7

s

31 31

Application de l’identité de Parseval :

- la figure 5-6 permet de déduire que l’énergie temporelle normalisée vaut : T².A

- la relation (5-56) exprimant )( fG est réelle: on peut donc simplifier la partie

fréquentielle de la relation (5-55) qui se réduit au carré d’un terme réel.

- en remplaçant )( fG par sa valeur, issue de la relation (5-54), il vient :

dffAdffG ).T.(sinc²T²².).²( (5-57)

- or, les tables d’intégrales donnent:

1).sinc²( dα .

- en posant fT. (où T est une constante et f , la variable), on

obtient alors dfd .T

- dans ces conditions, l’intégrale de la relation (5-57) peut se mettre sous la

forme : T/1).sinc²(T.

dff

- en plaçant ce résultat dans la relation (5-55), on obtient aussi T².A :

l’identité de Parseval est bien vérifiée.

5.2.7.2 Reconstitution temporelle par calcul numérique d’une fonction

rectangulaire unique à partir de sa transformée de Fourier directe

Cette simulation repose sur la relation (5-26b), rappelée

ci-contre, permettant de reconstituer une fonction temporelle à

l’aide de sa transformée de Fourier )( fG .

Le sous-paragraphe 5-2-7-1 et en particulier la relation (5-56) décrivent la transformée

de Fourier d’une fonction rectangulaire unique, nulle partout sauf dans l’intervalle

2/T;2/T où elle vaut A .

-


32 32

Cette transformée est réelle et paire, ce qui permet de simplifier la relation décrivant

)(tg . On peut alors écrire:

00

)...2cos()..T(sincT..2)...2cos().(2)( dftffAdftffGtg (5-58)

Si l’on pose pour la simulation numérique:

1A et ms 10T (5-59)

on devra traiter :

0

)...2cos()..01,0(sinc.02,0)( dftfftg (5-60)

relation dans laquelle le terme T est exprimé en secondes

Passage de cette relation exprimée sous forme continue à son expression sous

forme discrète

(comme la durée de niveau non nul de )(tg est finie, on peut limiter, dans la

simulation, la zone temporelle de calcul)

- l’opérateur d’intégration est remplacé par l’opérateur de sommation

- on pose f le pas fréquentiel, n le numéro de l’échantillon fréquentiel en

cours de traitement (de sorte que f est remplacé par fn . ) et Mn le numéro de

l’échantillon le plus élevé (qui ne correspond évidemment pas à une fréquence

infinie bien que devant y tendre pour affiner le résultat de la simulation)

- on pose t le pas temporel, p le numéro de l’échantillon temporel en cours de

traitement (de sorte que t est remplacé par tp . ) et Mp le numéro de

l’échantillon le plus élevé (ici, MM ppp ) . Il est évident qu’il faut

prendre Mp tel que 2/T. tpM

- la variable d’intégration df est remplacée par le pas fréquentiel f

Il faut noter que la relation (5-58) présente une indétermination de la fonction

).T(sinc f pour 0f . Cette indétermination a été levée au sous-paragraphe 3-4-3-4 du

chapitre 3. Dans ce cas particulier 1)..2cos()..T(sinc tff .

33 33

La relation (5-58) prend alors, pour un instant donné, la forme :

Note 2 : on prend évidemment une seule fois la valeur en 0n et, dans la somme, deux

fois les valeurs de n entier strictement positif, du fait de la parité de )( fG .

Suite à la note 1, dans la relation (5-61) les termes T.A et f peuvent être regroupés

et leur produit donne une grandeur sans dimension. De même, le terme sous le signe somme

est sans dimension (ainsi donc que le résultat de cette sommation) : le résultat de la simulation

sera aussi sans dimension, ce qui est en accord avec la définition du niveau de notre fonction

rectangulaire initiale.

En définitive, la relation (5-61) devient, en appliquant les valeurs de la colonne

« zoom » du tableau 5-1(attention, 0,1 ms=10-4

s):

400

1

44 )..10..2cos()..01,0(sinc.21.01,0).10(n

npnpg (5-62)

Les simulations

Deux simulations sont présentées. Les paramètres utilisés en sont donnés tableau 5-1.

La première simulation (figure 5-9), intitulée « globale » cherche, si cela était possible, à

montrer que le rectangle est bien unique, la seconde simulation (figure 5-10) donne un

zoom sur le rectangle reconstitué.

SIMULATION

δf

AT

nM

pM

δt

Hz

s

ms

unité

1

0,01

400

300

0,2

150

0,1

Zoom

Global

Tableau 5-1 : les paramètres

de simulation de restitution

d’un rectangle unique.

Figure 5-9 : dite « globale ». Elle tente de

montrer que la fonction rectangulaire

est unique sur l’infinité du temps.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-60 -40 -20 0 +20 +40 +60

tms

ffntpfnAtpgMn

n

.)....2cos()..T.(sinc.21.T.).(1

(5-61)

Note 1: la variable d’intégration df fait partie du calcul de l’intégrale dans la relation

(5-58) et impacte la dimension de son résultat alors que le pas fréquentiel f de la relation

(5-61) agissant sur chaque calcul de la sommation, peut être extrait de la sommation.

34 34

En conclusion, on constate que :

- comme indiqué en théorème, paragraphe 3-5-2 du chapitre 3, en cas de

discontinuité de première espèce, le signal reconstitué coupe cette transition à mi-

hauteur. Cette information est intéressante car la hauteur d’un tel signal n’est pas

toujours facile à évaluer de par les ondulations qui se superposent à ce signal lors

de la transition (phénomène de Gibbs). En effet, si la détermination du niveau

« zéro » ne pose pas de difficulté (il suffit de « faire le zéro» de l’oscilloscope), le

niveau A est plus délicat à préciser (voir figure 5-10)

- par contre, si l’on connaît la durée T du signal rectangulaire initial, on peut

déterminer le niveau A du signal restitué en faisant abstraction de l’impact du

phénomène de Gibbs. En effet, il suffit de rechercher le niveau correspondant à la

durée T (ce qui peut être fait avec précision) et de doubler sa valeur (voir figure

5-10, les traits et caractères en bleu) pour obtenir la valeur de A

- si l’on constate grâce au tableau 5-1, que la fréquence la plus élevée utilisée dans

la simulation est Hz400.FM fnM , on en déduit que la période

correspondant à cette fréquence est ms5,2TM : les durées indiquées en vert

et en rouge sur la figure 5-10 sont liées à cette période. On en déduit que plus la

fréquence maximum utilisée dans la simulation est élevée, plus la durée des

transitions et des oscillations qui les accompagne (phénomène de Gibbs) est brève

- en particulier, les oscillations existeront toujours même si la fréquence la plus

élevée pouvait être infinie. Pour une transition de niveau donné, le dépassement affectant le niveau haut et celui affectant le niveau zéro (par valeur inférieure) a

une valeur de l’ordre de 9% de celui de la transition (ceci a été développé au

paragraphe 3-6-4 du chapitre 3 pour des fonctions périodiques). On peut

comprendre ce phénomène en se posant la question suivante: est-il possible de

synthétiser parfaitement une transition par le moyen d’un ensemble de fonctions

trigonométriques, même de fréquence tendant vers l’infini, puisque celles-ci ne

possèdent pas de discontinuité ?

Figure 5-10 : zoom sur le rectangle reconstitué à l’aide de la simulation décrite ci-dessus :

on reconnaît le phénomène de Gibbs décrit au paragraphe 3-6-4 du chapitre 3 (défini en

rouge et en vert) et l’on retrouve (en bleu) la durée théorique du rectangle à sa mi-hauteur

(aspect évoqué en théorème, paragraphe 3-5-2, chapitre 3 pour des signaux périodiques).

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

10 ms

0,5*A #1,25 ms

#2,5 ms

tms

-15 -10 -5 0 +5 +10 +15

35 35

5.2.7.3 Application de la propriété 4 à la fonction rectangulaire traitée

au sous-paragraphe 5-2-7-1

Rappel de la propriété 4 : )/(.1

).( KfGK

tKg (5-63)

Les transformations proposées par cette propriété peuvent paraître abstraites et

l’exemple du sous-paragraphe 5-2-7-1 permet d’éclaircir la présentation.

Considérons les résultats de la transformée de Fourier de la fonction rectangulaire (ou

fonction porte), )(tg décrite figure 5-6. Elle est de durée T (définie par l’intervalle

2/T;2/T ) et de niveau A dans cet intervalle. Elle est nulle ailleurs. La

relation (5-56) indique que:

)T.sinc(T..)()( fAfGtg (5-64)

Considérons maintenant la fonction rectangulaire )(1 tg de durée 1T (définie par

l’intervalle 2/T;2/T 11 ) et de niveau A dans cet intervalle. Elle est nulle

ailleurs. La démonstration du sous-paragraphe 5-2-7-1 peut être développée à

l’identique et la transformée de Fourier de )(1 tg s’écrit:

)..sinc(TT.)()( 1111 fAfGtg (5-65)

Ces deux fonctions sont représentées

figure 5-11 en traits continus bleus pour la

première et en pointillés verts pour la

seconde. Le rapport 1T/T est alors pris

égal à un demi.

La question est de savoir comment

appliquer la propriété 4 pour obtenir la

transformée de Fourier de la fonction

)(1 tg connaissant celle de )(tg .

Les fonctions )(tg et )(1 tg ont, dans ce qui précède, été représentées en fonction

du temps. La représentation normalisée de la fonction rectangle (ou porte) s’écrit :

)T/rect(.)T/( tAtg (5-66)

La fonction )T/rect(t vaut l’unité pour 2/1T/2/1 t et zéro en

dehors.

Observation : la présence du terme T au dénominateur de ces fonctions est indispensable

pour rendre la fonction rect sans dimension comme présenté en annexe paragraphe 6-1 : un

bon exemple en est les fonctions trigonométriques ou la fonction exponentielle pour

lesquelles il est facile de constater que l’argument doit être sans dimension.

Figure 5-11 :

les deux fonctions « porte » :

g(t) (en bleu) et g1 (t) (en vert)

(définies ci-dessus avec T1 =2.T).

g(t), g1 (t)

A

0 -T1 /2 -T/2 +T/2 +T1 /2 t

-∞← → + ∞

36 36

Pour passer de )T/rect(t à )T/(rect 1t , il suffit d’affecter un coefficient K à t

tel que :

1T/TK (5-67)

Ce qui permet en effet d’obtenir :

)Trect(.)T/.rect(. 1t/AtKA (5-68)

Connaissant la transformée de Fourier )( fG de )(tg (relation (5-64)), le

coefficient K (relation (5-67)) et la propriété 4 (relation (5-63)), on peut alors poser:

Ceci permet de retrouver, grâce à la propriété 4, la relation (5-65).

Note : pour la figure 5-11, K a été pris égal à ½ : il faut à ).( tKg , donc à )(1 tg , deux

fois plus de temps pour arriver aux transitions qu’il n’en faut à )(tg .

Figure 5-12 : Transformées de Fourier de la fonction g(t) (en bleu)

et de la fonction g1 (t) (en vert).

On retrouve l’impact du coefficient K=0,5 affectant le niveau et la durée des lobes

lors du passage d’une transformée à l’autre.

1

0,5

0

-0,5

2

1,5

1

0,5

0

G(f)

-2/T1 -1/T1 0 1/T1 2/T1

f

f

-4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T

G1 (f)

)()..sinc(TT.).T/T

T(sinc.

T/T

T.

)/(.1

).()(

111

11

1

fGfAfA

KfGK

tKgtg

(5-69)

37 37

Une première approche de l’impulsion de Dirac: cette impulsion sera étudiée au

paragraphe 5-5. Nous pouvons toutefois noter, sur la figure 5-12 que, quand on considère une

fonction rectangulaire de durée T (décrite figure 5-11), la fonction ).T(sinc f décrivant sa

transformée de Fourier a, pour les fréquences positives, son premier zéro pour une valeur

T/1Zf . Il en est de même, au signe près, pour les fréquences négatives. On dit que

l’intervalle de fréquence T/1;T/1 définit le lobe principal. On peut en déduire alors

que si la durée de la fonction rectangulaire tend vers zéro, le lobe principal s’étend sur une

fréquence de plus en plus élevée et tend vers l’infini. Cette observation est le fondement de

l’impulsion de Dirac. Or il faut savoir que cette impulsion est le signal fondamental de

l’analyse dite impulsionelle (ou percusionelle) de circuits par « transformation de Laplace ».

L’impulsion de Dirac est donc le pont entre la transformation de Fourier et celle de Laplace.

Note pour les électroniciens : la fonction ).T(sinc f présente la propriété de ne varier que

faiblement en niveau pour T/1f . Elle vaut en effet plus de 90% de la valeur

maximum (obtenue pour 0f et valant l’unité comme montré au sous-paragraphe 3-4-3-4

du chapitre 3) tant que 4/zff . On conçoit que cette propriété peut présenter un intérêt

sur le plan pratique en évitant d’imposer la création (impossible) d’une vraie impulsion de

Dirac.

5.2.7.4 Transformée de Fourier d’une fonction triangulaire unique et

positive de durée 2. T et de niveau A

Ce résultat peut être obtenu de différentes

manières. Celle qui suit présente l’intérêt d’utiliser

deux des propriétés décrites précédemment.

Point de départ : définissons une fonction

)(2 tg (figure 5-13) telle que :

- Atg )(2 dans l’intervalle 0;T-

- Atg )(2 dans l’intervalle T;0

)(2 tg est donc une fonction impaire et les

relations (5-23) et (5-22) permettent d’en obtenir la

transformée de Fourier :

En haut , figure 5-13 : g2 (t)

c’est la fonction de départ

En bas, figure 5-14 :, Г(t)

c’est une des primitives de g2(t)

(sa constante est prise nulle)

g2 (t)

A

0

-A

-∞← -T +T → + ∞

t

Г3(t)

A.T

0

-∞← -T +T → + ∞

t

0

2

22

)...2sin().(.2

)(.)(

dttftgj

fGjfG I

(5-70)

38 38

Calcul de )(2 fG : en remplaçant dans la relation (5-70) )(2 tg par sa valeur pour

0t et en limitant la durée d’intégration à celle où 0)(2 tg , on peut écrire :

et obtenir :

)T..2cos(1..

.1)T..2cos(..

.2 ff

Ajf

f

Aj(f)G

(5-72)

si l’on se souvient que :

²aa-

aaaa

sin22cos1

²sin.21²sin²cos2cos

le résultat précédent peut s’écrire :

)T..²(sin..

2.)(2 f

f

AjfG

(5-73)

Il est facile de vérifier que cette fonction est impaire puisque )T..(sin² f est

toujours positif et donc que le signe de )(2 fG est lié à celui de la variable f .

Primitive de la fonction )(2 tg (figure 5-13): la surface de la zone de cette fonction

comprise dans l’intervalle T;0 est égale, au signe près, à celle comprise dans

l’intervalle 0;T- et cette fonction est nulle partout ailleurs.

Nous pouvons en déduire une fonction primitive, )(t , pour laquelle nous choisirons

une constante d’intégration nulle : cette fonction est un triangle unique (figure 5-14),

tel que:

- dans l’intervalle 0;T- : T).()( tAt (5-74)

- dans l’intervalle T;0 : T).()( tAt (5-75)

- pour 0t , T.)0( A

)..2cos..

. )...2sin(..2

)...2sin().(..2)(

T

0

T

0

T

0

2

tff

AjdttfAj

dttfAjfG

(5-71)

39 39

- 0)( t partout ailleurs et en particulier :

- 0)()( (5-76)

Note : les relations (5-74) et (5-75) peuvent se regrouper de sorte que, dans

l’intervalle T;T- , on puisse écrire; T).()( tAt (5-77).

Transformée de Fourier de )(t : de par le respect de la relation (5-76), )(t

répond à la condition d’obtention de sa transformée de Fourier, par intégration de celle

de )(2 tg , énoncée propriété 6 du sous-paragraphe 5-2-6-3. La relation (5-49) permet

alors d’écrire, à partir de la relation (5-73):

Normalisation du niveau du triangle : tel qu’il vient d’être défini, le triangle

présente un inconvénient majeur puisque son niveau est lié à sa durée.

Or, souvent en électronique, le niveau du triangle est indépendant de la durée.

Pour pallier à cette difficulté il suffit, dans l’étude précédente, que le niveau A de

)(2 tg (figure 5-13) varie en fonction de la durée du triangle. Ceci amène à poser :

T/NAA (5-79)

La fonction triangulaire qui en résulte est dénommée )(3 tg . Grâce à ce coefficient :

- la relation (5-79) devient : )1T

t.( NA (5-80)

- le maximum du triangle est indépendant de sa durée: NAg )0(3

- la propriété 2 permet d’appliquer le coefficient T/NA à )( fG pour

obtenir la transformée de Fourier, )(3 fG de )(3 tg à partir de la relation (5-78):

(5-81) )T.(sinc².T.)(3 fAfG N

)()T.²(csin².T.T)²..(

T)..²(sin².T.

)T..²(sin.).).(.2(

.2.

.2

)(.

1)( 2

fGfAf

fA

fff

A

j

j

f

fG

jfG

(5-78)

40 40

La figure 5-15 en est une illustration :

En conclusion : cette transformée de Fourier, qui représente la densité spectrale d’un

signal triangulaire unique de durée T.2 à la base, est réelle et toujours du signe de

NA . Elle est de phase invariante et nulle, de par la présence de la fonction « sinus

cardinal » élevée au carré. Bien que de durée double de celle de la fonction porte

étudiée au sous-paragraphe 5-2-7-1, l’argument de sa fonction « sinus cardinal » (ici

élevée au carré) est identique pour les deux transformées.

Il avait été indiqué, propriété 6, qu’un risque d’indétermination pouvait survenir pour

la composante continue de par la présence de f au dénominateur de la relation

(5-49). Dans cet exemple-ci, la relation (5-78), qui est l’application de la relation

(5-49) au triangle, insère le terme 2f du dénominateur dans la fonction

).T²(inc fs . Or, le sous-paragraphe 3-4-3-4 a montré que pour 0f , cette

fonction valait l’unité : l’indétermination est donc levée et la transformée de Fourier

ne subit pas de discontinuité en ce point.

Note 1: une autre manière de lever l’indétermination du sinus cardinal pour un

argument nul consiste à utiliser le développement limité, au voisinage de zéro, de la

fonction sinusoïdale. Il s’écrit, en posant f.T : .).sin( .

Comme :

.

).sin()(sinc , on en déduit que : 1)0(sinc

Note 2 : on peut encore, pour lever l’indétermination, utiliser la « règle de

l’Hôpital » : on dérive, indépendamment, numérateur et dénominateur de la fonction et

on fait tendre la variable vers zéro. L’indétermination disparaît ici:

1

0,5

0 -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T

f

s

G3 (f)

Figure 5-15 : représentation de la transformée de Fourier

d’un signal triangulaire unique et positif, de durée 2T.

(dans cette figure, le produit AN.T est supposé valoir 1 seconde).

1).cos(.

lim).(

)).(sin(

lim.

).sin(lim))(sinc( lim

0000

d

dd

d C.Q.F.D.

41 41

5.3 LES FONCTIONS DE CORRELATION

5.3.1 Introduction

5.3.1.1 Présentation et intérêt de la corrélation

Cet outil mathématique est très puissant et efficace dans l’analyse de fonctions ou de

signaux.

Il permet de chercher :

- dans le cas de deux fonctions (ou signaux), leur degré de similitude ou de

s’assurer de leur orthogonalité : il s’agit alors de l’intercorrélation

- dans le cas d’une fonction (ou signal) unique, certaines de ses propriétés : il s’agit

de l’autocorrélation

Observation : Par la suite, les termes « fonction » et « signal » seront utilisés selon leur

meilleure adaptation au sujet traité.

Deux grandes classes d’applications :

- l’extraction d’un signal de structure connue mais noyé dans du bruit. En effet,

pour extraire le signal du bruit, une solution consiste à effectuer, avec un signal de

même structure que le signal recherché (c’est donc de l’autocorrélation),

l’opération de corrélation. Cette opération se produit simultanément avec le bruit

(c’est évidemment de l’intercorrélation)

- synchronisation d’un système de réception par rapport à un système d’émission.

Cette synchronisation peut se faire en effet, à partir de deux messages identiques

présents sur chaque système. On effectue le calcul de corrélation en réception,

entre le message reçu de l’émetteur et le message local. Après chaque calcul de

corrélation, on décale le message local. Lorsque la position optimum est obtenue

on peut dire que le message local est « calé » sur celui d’émission. Ce calage tient

compte du temps de propagation entre l’émetteur et le récepteur. La réception peut

alors se faire dans de bonnes conditions.

Ce sont deux exemples parmi bien d’autres.

L’objectif visé dans ce qui suit est:

- d’exposer les développements mathématiques concernant ces fonctions

- de montrer les pièges à éviter et d’expliciter les précautions à prendre lors du

maniement de ces fonctions.

42 42

5.3.1.2 Classe des fonctions auxquelles la corrélation est applicable (sous

réserve d’adaptation du formalisme)

L’outil « corrélation » est applicable :

- aux fonctions à énergie finie

- aux fonctions à puissance moyenne finie non nulle, donc à énergie infinie

(ces deux classes ont été décrites au paragraphe 5-1-2)

- aux fonctions périodiques

- aux fonctions aléatoires

Note : on utilise les termes « énergie » et « puissance » pour des fonctions (bien que

définies sans dimension) pour faire état de leur élévation au carré : on adjoint parfois à ces

termes celui de « normalisé» pour marquer la différence avec ceux utilisés en physique.

5.3.1.3 notations employées et terminologie anglo-saxonne

Notations employées :

- pour l’intercorrélation, nous utiliserons deux fonctions, )(tf et )(tg , toutes

deux pouvant être complexes ou réelles

- pour l’autocorrélation, nous n’utiliserons que la fonction )(tf

- le décalage temporel employé dans la procédure de calcul sera désigné par

Il ne parait pas exister de notation standard pour les fonctions de corrélation comme il

en existe pour le module, la phase, la tension, etc...

- nous emploierons les notations suivantes pour les fonctions à énergie finie :

)(fgR pour l’intercorrélation et )(ffR pour l’autocorrélation

- pour les fonctions à puissance moyenne finie non nulle, nous emploierons :

- )(fgR pour l’intercorrélation et )(ffR pour l’autocorrélation

Terminologie anglo-saxonne :

- l’intercorrélation ou « corrélation croisée » se trouve en anglo-saxon soit sous le

terme « cross correlation » soit aussi « cross-correlation » soit encore

« crosscorrelation »

- l’autocorrélation s’écrit, à l’accent près, identiquement dans les deux langues.

43 43

5.3.2 Les relations des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation de

fonctions complexes ou réelles à énergie finie. Signification des résultats

obtenus

Rappelons que les fonctions à énergie finie n’existent que sur l’intervalle 21;tt et ne

peuvent avoir de valeur infinie. Comme elles sont nulles en dehors de cet intervalle, rien

n’empêche d’étendre celui-ci de ; mais sans oublier que la fonction est de durée

limitée.

5.3.2.1 Les relations

Cas où les fonctions traitées sont complexes. Par définition, on pose :

- pour la fonction d’intercorrélation :

dttgtfR fg ).().()( (5-82)

- et pour la fonction d’autocorrélation :

dttftfR ff ).().()( (5-83)

Cas où les fonctions traitées sont réelles. Ces deux relations deviennent respectivement :

- pour la fonction d’intercorrélation :

dttgtfR fg ).().()( (5-84)

- pour la fonction d’autocorrélation :

et :

dttftfR ff ).().()( (5-85)

44 44

Conséquence: ces deux relations permettent de déduire que les fonctions d’intercorrélation et

d’autocorrélation de fonctions réelles sont des fonctions réelles.

Commentaire : il est fondamental de noter que ces relations expriment la valeur de la

corrélation pour une valeur du décalage définie (l’intégrale a en effet le temps et non le

décalage comme variable). L’ensemble de la fonction de corrélation sera obtenu en faisant

varier de -∞ à +∞ et en calculant, pour chaque valeur de , la valeur de l’intégrale.

Note : ces relations, définies pour des fonctions à énergie finie, seront utilisables, moyennant

adaptation, pour des fonctions à puissance moyenne finie ainsi que pour des fonctions périodiques comme cela sera développé par la suite.

Dans la suite de ce paragraphe nous supposerons que les fonctions traitées sont

réelles.

5.3.2.2 Pourquoi les relations d’intercorrélation et d’autocorrélation telles

qu’elles viennent d’être présentées correspondent au problème posé ?

En ce qui concerne l’intercorrélation :

La relation (5-84) correspond à l’expression du produit scalaire calculé sur un intervalle

de temps t infini, de deux fonctions, l’une des deux étant affectée d’un décalage 1

donné.

Il faut bien réaliser ce que cette opération signifie : pour un décalage 1 donné et pour

un instant t , on effectue le produit des deux fonctions. Tout en gardant le même

décalage, on passe à l’instant suivant (infiniment proche du précédent puisqu’il s’agit de

fonctions continues) et l’on ajoute le résultat obtenu au premier et ainsi de suite. Quand

l’opération est terminée, on passe au décalage suivant afin d’obtenir la totalité de la

fonction )(fgR .

Pour un décalage 1 donné, trois cas peuvent se présenter :

- si )( 1fgR est nul, cela signifie que les deux fonctions sont orthogonales donc

indépendantes pour ce décalage 1

- si )( 1fgR est négatif, cela signifie que, pour ce décalage, l’intégrale du produit

des deux fonctions est négative

- si )( 1fgR est positif, la conclusion du point précédent est inversée.

Dans ces deux derniers cas les fonctions ne sont plus orthogonales pour le décalage

1 : elles sont corrélées plus ou moins fortement selon la valeur de )( 1fgR

45 45

En ce qui concerne l’autocorrélation :

La relation (5-85) correspond à l’expression du produit scalaire calculé sur un

intervalle de temps t infini, d’une fonction et de cette même fonction affectée d’un

décalage 1 donné. Pour les différentes valeurs de , on peut retrouver les trois

configurations de l’intercorrélation auxquelles s’en ajoute une quatrième :

- si 0 , norff WdttfR

).²()0( (5-86)

)0(ffR représente l’énergie normalisée norW de la fonction.

Note : dans la suite de cette étude sur la corrélation nous supposerons que les fonctions

)(tf et )(tg sont réelles : c’est le cas le plus fréquent en électronique.

5.3.2.3 En ce qui concerne l‘autocorrélation, peut-il y avoir un décalage

donnant un niveau supérieur à celui obtenu pour un décalage nul ?

L’inégalité de Schwarz

L’inégalité de Schwarz permet de répondre à cette question. Dans sa version

générale, cette inégalité est aussi bien valable pour l’intercorrélation que pour

l’autocorrélation mais son expression est relativement complexe : nous ne donnons ci-dessous

que son adaptation à l’autocorrélation, adaptation qui correspond mieux aux interrogations

d’un électronicien.

Cette inégalité prend la forme :

On constate que, quel que soit le décalage , la valeur absolue de la fonction

d’autocorrélation n’est jamais supérieure à la valeur de cette fonction obtenue pour un

décalage nul, donc à l’énergie normalisée de cette fonction.

norWdttfdttftf

).²().().(

Valeur absolue de la

fonction d’autocorrélation Autocorrélation

pour τ=0

(5-87)

46 46

5.3.2.4 Impact d’un coefficient réel affectant une des deux fonctions

En électronique, il arrive souvent que, dans le cas de l’autocorrélation, le signal )(tf

et le signal )( tf ne soient pas identiques lorsque 0 mais, de par la technologie,

diffèrent d’un coefficient K (réel et non nul). Strictement parlant, l’opération

d’autocorrélation devient de l’intercorrélation. Cependant l’objectif est toujours de trouver

l’instant du maximum de corrélation entre les deux signaux. On peut adapter la relation (5-85)

et obtenir :

L’inégalité de Schwarz (relation (5-87)) peut donc s’appliquer et permet encore de dire

que le maximum de la corrélation est pour 0 . Le niveau de la corrélation pour cet

instant devient :

norKff WKdttfKR .).²(.)0(.

(5-89)

La relation (5-88) accepte des valeurs négatives pour K . Ceci signifie que pour

0 , la valeur de la corrélation est alors négative. En particulier pour 1K , on

obtient :

norff WdttfdttftfR

).²()().()0( (5-90)

Note 1: cette configuration, qui se retrouve fréquemment en électronique où il n’est

pas rare « d’inverser » un signal, ne doit pas être oubliée lors de l’interprétation de

résultats.

Note 2 : l’adaptation de ce raisonnement à l’intercorrélation est immédiate.

= )(.

).().(.).().( )( .

ff

Kff

RK

dttftfKdttKftfR

(5-88)

47 47

5.3.2.5 Propriété liée à la symétrie hermitienne des produits scalaires

Cette symétrie est habituellement déterminée pour des fonctions complexes. Dans le

cas de fonctions réelles, son expression se simplifie et se présente sous la forme :

pour l’intercorrélation :

)()( gffg RR (5-91)

qui peut se présenter sous la forme :

dttftgdttgtf ).().().().( (5-92)

La démonstration peut se faire à l’aide d’un changement de variable. Posons :

c

cc

tt

dtdttt

(5-93)

En remplaçant t par ct dans le premier terme de la relation (5-92), nous obtenons :

pour l’autocorrélation :

Il suffit de remplacer la fonction g par la fonction f dans les relations

précédentes :

)()( ffff RR (5-95)

dttftfdttftf ).().().().( (5-96)

Conséquence importante : cette relation montre que la fonction d’autocorrélation possède

une symétrie paire par rapport à l’axe situé en 0 . Cet aspect est fondamental pour

faciliter l’interprétation des oscillogrammes de fonctions d’autocorrélation.

)().().().().()( gfcccfg RdttgtfdttgtfR

(5-94)

CQFD

48 48

5.3.2.6 Synthèse des propriétés des fonctions de corrélation dans le cas

de fonctions réelles à énergie finie

Propriété 1 : l’intercorrélation et l’autocorrélation de fonctions réelles sont des fonctions réelles.

Propriété 2 : l’autocorrélation a son maximum pour un décalage nul (voir sous-

paragraphe 5-3-2-3).

Propriété 3 : pour l’intercorrélation et l’autocorrélation, si la fonction )(tf

analysée, et seulement elle, est affectée d’un coefficient, le résultat de la corrélation

est affecté de ce même coefficient. Il en est de même si ce sont les fonctions

d’analyse, )( tf (voir relation (5-88)) ou )( tg , qui sont affectées de ce

coefficient.

Propriété 4 : l’intercorrélation a une symétrie hermitienne: )()( gffg RR .

L’autocorrélation transforme cette symétrie en symétrie paire: )()( ffff RR

(voir sous-paragraphe 5-3-2-5).

Propriété 5 : l’intercorrélation et l’autocorrélation ont le temps pour dimension. En

effet les fonctions traitées, )(tf et )(tg , bien que liées au temps, sont considérées

sans dimension (voir sous-paragraphe 6-1-1-1 de l’annexe) : il reste la variable

d’intégration dt , seul paramètre possédant une dimension. Dans le cas de

l’autocorrélation, pour nul, on retrouve la notion d’énergie normalisée telle que

définie dans cette même annexe, au sous-paragraphe 6-1-1-3.

5.3.2.7 Trois exemples concernant la symétrie de la fonction de

corrélation

Nous allons commencer par deux exemples concernant l’autocorrélation, d’abord par

un cas d’école puis un cas plus général, pour traiter enfin un exemple concernant

l’intercorrélation.

Premier exemple : cas de l’ autocorrélation d’une fonction « porte »

Présentation :

Cette fonction a été rencontrée au sous-paragraphe 5-2-7-1 lors du traitement de son

intégrale de Fourier. Rappelons qu’elle est nulle partout sauf dans l’intervalle

2/T;2/T où elle vaut A .

- La figure 5-16a décrit la fonction « porte » : elle est désignée par )(tf

49 49

- la figure 5-16b représente la fonction )( tf pour trois valeurs de décalage

différentes : 0 et 3/T2 (voir encadré de la figure)

- la figure 5-16c illustre le résultat du produit )().( tftf avant intégration et

pour ces trois valeurs de décalage -

Deux remarques :

- sur la figure 5-16b, si le décalage est positif, la fonction )( tf (panneau en

vert) se situe à gauche de la fonction )(tf : il suffit, pour s’en convaincre, de

chercher pour quelle valeur de t , )0()( ftf

- sur cette figure, la même approche peut être faite dans le cas d’un décalage négatif

(panneau en couleur or).

Figures 5-16 : ces trois figures représentent respectivement :

- une fonction « porte » à analyser, centrée sur l’origine des temps, de durée T et de

niveau A (figure 5-16a)

- trois configurations de décalage τ de la fonction d’analyse (figure 5-16b) :

- en encadré bleu: τ=0 - en panneau vert: τ=2.T/3 - en panneau or: τ=-2.T/3

- le résultat de la multiplication f(t).f(t+τ) dans les trois configurations ci-dessus se

trouve en figure 5-16c.

-

5-16a

5-16b

f(t+τ)

t

T -T/2 +T/2

A

τ>0 τ<0 τ=0

T T

0

f(t)

t

T -T/2 +T/2

A

0

f(t).f(t+τ)

t

T -T/2 +T/2

A²

0

= = =

5-16c τ>0 τ<0

50 50

En ce qui concerne le décalage, il est facile de déduire de la figure 5-16b que pour

T et T ces panneaux n’ont plus d’instants communs avec la fonction

« porte » à analyser. Il en résulte que sur la figure 5-16c les panneaux, représentant la

fonction )().( tftf , n’ont plus d’existence. La valeur de l’autocorrélation

devient alors nulle.

En ce qui concerne les bornes d’intégration temporelle, comme la fonction

« porte » est nulle en dehors de l’intervalle 2/T;2/T , les bornes de

l’intégration de la fonction )().( tftf peuvent se réduire à 2/T .

En conséquence, chaque point de la fonction d’autocorrélation se calcule sur

l’intervalle 2/Tt et cette fonction s’étend sur un décalage double ( T ).

Elle est nulle en dehors. De plus la symétrie paire de l’autocorrélation permet de

limiter le calcul à l’intervalle T;0 puis d’étendre le résultat à l’intervalle T;0 .

La figure 5-17 décrit la totalité de la fonction d’autocorrélation de la fonction « porte ».

Les relations permettant de conforter l’analyse ci-dessus :

Pour un décalage tel que T0 , la fonction d’autocorrélation s’écrit :

Pour un décalage tel que 0T , la fonction d’autocorrélation s’écrit :

)T².(².².).().()(2T(

2/T

)2/T(

2/T

)2/T(

2/T

AtAdtAdttftfR

)-τ/

ff

(5-97)

)-T².(².².).().()(2T(

)2/T(

2/T

)2/T(

2/T

)2/T(

AtAdtAdttftfR)/

ff

avec τ <0 (5-98)

Figure 5-17 : fonction d’autocorrélation de la fonction « porte » décrite figure 5-16a.

Il est fondamental de noter que l’axe des abscisses représente le décalage temporel de

l’analyse de corrélation : ce décalage est totalement séparé du temps décrivant le signal.

On constate que la fonction d’autocorrélation s’étend sur un décalage ayant une valeur

double de la durée de la fonction initiale.

Rff (τ) A².T

0 τ

+T -T 2.T

A².(T-│τ│) A².(T-τ)

51 51

Ces deux fonctions :

- convergent pour 0 où elles valent .T²A , valeur qui représente l’énergie

normalisée de la fonction « porte »

- confirment la symétrie paire de la fonction d’autocorrélation (figure 5-17) par

rapport à 0 . Cependant, comme la fonction « porte » est aussi une fonction

paire, un exemple plus convaincant est donné ci-après.

Deuxième exemple : cas de l’autocorrélation d’une fonction dissymétrique

Considérons la fonction )(tf représentée figure 5-18a par le triangle OAB, rectangle

en O, dont le côté OA est confondu avec l’ordonnée et le côté OB décrit la durée T .

- Sur cette figure est aussi représentée cette même fonction mais affectée d’un

décalage négatif tel qu’elle se retrouve avoir le côté OA positionné en CD au

point d’abscisse C.

- La figure 5-18b reprend la fonction initiale ainsi que cette même fonction affectée

d’un décalage positif tel qu’elle se retrouve avoir le côté OA positionné en C’D’

au point d’abscisse C’ : on peut écrire OCOC'

Figures 5-18: représentation graphique de la symétrie de la fonction d’autocorrélation. La fonction utilisée est une fonction sous forme de triangle rectangle OAB.

- sur la figure 5-18a y est adjoint la fonction retardée de τC

- sur la figure 5-18b y est adjoint la fonction avancée de τC

En gris, sur chaque figure, apparaissent les zones où la fonction initiale

ou la fonction décalée rend le produit nul.

0

D

F

C

’

G

B

τ <0

t 0

5-18a f(t)

f(t-│τc│)

A

E

5-18b

t

A

F’

G’

E’

τ >0

f(t) f(t+τC )

D’

B C’ T

T

52 52

Ces figures montrent clairement que les valeurs entrant dans le calcul

d’autocorrélation s’effectuent avec des données identiques, quel que soit le signe de . La

relation (5-95) : )()( ffff RR se vérifie graphiquement.

Troisième exemple : cas de l’intercorrélation entre deux fonctions

Il s’agit ici de confirmer la symétrie hermitienne de la fonction d’intercorrélation

aboutissant à la relation (5-91) : )()( gffg RR . Cet exemple (figures 5-19) est basé

sur les résultats du premier exemple concernant la fonction « porte ».

Figures 5-19 : ces cinq figures montrent la symétrie hermitienne de la

fonction d’intercorrélation telle qu’indiquée relation (5-91) :

- la figure 5-19a représente la fonction à analyser. Elle est composée de deux fonctions

« porte » de même durée, T. La seconde est de niveau moitié et en retard de 5.T/2 sur la

première.

- la figure 5-19b représente cette fonction affectée d’un décalage positif de 5.T/2

- la figure 5-19c est la fonction d’analyse : c’est aussi une fonction « porte » de durée T

- la figure 5-19d représente cette fonction d’analyse affectée d’un décalage négatif de 5.T/2

- la figure 5-19e décrit la fonction d’intercorrélation (attention, l’abscisse est donc τ) alors

que les quatre figures précédentes décrivent le processus de calcul de corrélation pour deux

valeurs du décalage (5.T/2) symétriques. On retrouve bien la symétrie hermitienne.

t

t

A1

A2

ά g(t)

f(t+τ)

τ>0

5-19c

T T

T

5-19b

t

t

A1

T A2

ά

f(t) 5-19a

5-19d

T T

T

5T/2

g(t-│τ│)

T/2 2.T 2.T

Rfg

τ 0

5-19e τ=-5.T/2

dttgtf ).().(

dttgtf ).().(

0

0

0 0

53 53

5.3.2.8 Quels sont la durée et le décalage minimums nécessaires pour

effectuer valablement une opération d’intercorrélation ou

d’autocorrélation sur des fonctions à énergie finie centrées sur l’instant

zéro ?

Cette question se pose dans la pratique car on ne peut évidemment étendre des calculs

sur des durées infinies tout en désirant obtenir la fonction de corrélation avec le maximum de

résolution et ce, en un temps fini.

Considérons deux fonctions quelconques mais réparties autour de l’instant zéro :

- la première, )(tf , est non nulle dans l’intervalle T/2T/2;

- la seconde, )(tg , est non nulle dans l’intervalle /2T/2;T 11 : c’est cette

fonction qui subira le décalage dans le cadre de l’analyse

- nous supposerons dans cet exemple que TT1 (voir figure 5-20) :

Des commentaires de cette figure, nous pouvons déduire que la fonction

d’intercorrélation des deux fonctions traitées telles qu’elles ont été définies, est nulle en

dehors de l’intervalle de décalage : 2/)TT(;2/)TT( 11 et que l’intervalle

d’intégration est de : 2/T;2/T .

Une démonstration similaire peut être effectuée dans le cas où TT1 : on constate

qu’aucun des intervalles précédents n’est modifié.

Enfin dans le cas de l’autocorrélation, où la fonction )(tg est remplacée par la

fonction )(tf (on a alors TT1 ), les bornes d’intégration ne changent pas. Par contre,

grâce à la symétrie paire (voir sous-paragraphe 5-3-2-5) de la fonction d’autocorrélation,

l’intervalle de décalage se réduit, pour le calcul, à : T;0 (à condition d’en prendre le

symétrique par rapport à l’ordonnée pour l’intervalle de décalage : T;0 ).

t -T/2 +T/2

-T1/2 +T1/2 f(t)

0 gf(t+τ)

τm =(T+T1)/2

τm =-(T+T1)/2

Figure 5-20 : les flèches bleues et vertes ne représentent évidemment pas les fonctions f(t)

et g(t) mais les zones temporelles où ces fonctions ne sont pas nulles. Comme on effectue le

produit de ces fonctions et que la fonction f(t) ne subit pas de décalage, on en déduit que :

- les bornes minimums d’intégration sont de +/-T/2

- la valeur minimum (en valeur absolue), τm , du décalage de g(t) (flèches pointillées

vertes) à partir de laquelle le produit de ces fonctions est toujours nul, vaut (T+T1)/2

54 54


fonctions complexes ou réelles à puissance moyenne finie. Signification des

résultats obtenus

5.3.3.1 Présentation du problème

Repartons du premier exemple donné au sous-paragraphe 5-3-2-7, celui de la fonction

« porte » schématisée figure 5-16a. L’énergie normalisée représentée par cette fonction est

donnée par la relation (5-86). Elle vaut :

T².AW norp (5-99)

(l’indice « p » indique que cette énergie concerne la fonction « porte »)

Supposons alors que la durée de la porte augmente et tende vers l’infini : l’énergie de

cette fonction tend aussi vers l’infini. La fonction d’autocorrélation de la relation (5-86), ne

converge plus.

Remarque : la fonction « porte » dont la durée est infinie, peut alors être assimilée à une

fonction « constante ».


Pour résoudre le problème de convergence posé par ce type de fonction, on modifie les

relations du sous-paragraphe 5-3-2-1 en en prenant la moyenne par rapport au temps et en

faisant tendre ce paramètre vers l’infini. Les relations (5-82) à (5-86) sont adaptées comme

suit:

Cas où les fonctions traitées sont complexes :

- Pour l’intercorrélation, la relation (5-82) devient :

2/T

2/TT

).().(.T

1lim)( dttgtfR fg (5-100)

- Pour l’autocorrélation, la relation (5-83) devient :

2/T

2/TT

).().(.T

1lim)( dttftfR ff (5-101)

55 55

Cas où les fonctions traitées sont réelles :

- Pour l’intercorrélation, la relation (5-84) devient :

2/T

2/TT

).().(.T

1lim)( dttgtfR fg (5-102)

- Pour l’autocorrélation, la relation (5-85) devient :

2/T

2/TT

).().(.T

1lim)( dttftfR ff (5-103)

Cas de l’autocorrélation d’une fonction réelle pour un décalage nul :

norff PdttfR

2/T

2/TT

).²(.T

1lim)0( (5-104)

Cette dernière relation, qui correspond à la définition de la puissance moyenne

normalisée de la fonction, est bornée. Elle justifie l’écriture des quatre relations qui la

précèdent pour s’affranchir du cas où l’énergie de la fonction tend vers l’infini.


de fonctions réelles à puissance moyenne finie

Ces propriétés sont similaires à celles correspondant aux fonctions à énergie finie

(sous-paragraphe 5-3-2-6).

Propriété 1 : l’intercorrélation et l’autocorrélation de fonctions réelles sont des fonctions réelles.

Propriété 2 : l’autocorrélation a son maximum pour un décalage nul (voir sous-

paragraphe 5-3-2-3).

Propriété 3 : pour l’intercorrélation et l’autocorrélation, si la fonction )(tf

analysée, et seulement elle, est affectée d’un coefficient, le résultat de la corrélation

est affecté de ce même coefficient. Il en est de même si ce sont les fonctions

d’analyse, )( tf (voir relation (5-88)) ou )( tg , qui sont affectées de ce

coefficient.

56 56

Propriété 4 : l’intercorrélation a une symétrie hermitienne : )()( gffg RR

l’autocorrélation transforme cette symétrie en symétrie paire : )()( ffff RR (voir sous-paragraphe 5-3-2-5).

Propriété 5 : l’intercorrélation et l’autocorrélation sont sans dimension. En effet les

fonctions traitées, )(tf et )(tg , bien que liées au temps, sont considérées sans

dimension (voir sous-paragraphe 6-1-1-1 de l’annexe) : il reste la variable

d’intégration dt dont la dimension se simplifie avec la durée T du processus. Dans

le cas de l’autocorrélation, pour nul, on retrouve la notion de puissance moyenne

normalisée (voir relation (5-104)) définie dans l’annexe, au sous-paragraphe 6-1-1-3.

Remarque : contrairement au calcul de la corrélation des fonctions à énergie finie (voir sous-

paragraphe 5-3-2-8), il n’y a, a priori, pas de simplification concernant les bornes de calcul de

la corrélation des fonctions à puissance moyenne finie.

5.3.4 Quelques remarques pour les électroniciens

les expressions énergie normalisée et puissance moyenne normalisée, employées pour

caractériser les fonctions utilisées dans les deux paragraphes précédents, découlent de

l’analogie que l’on peut établir entre le carré d’une fonction et le carré de la tension

présente aux bornes d’une résistance et lui faisant dissiper une énergie (donc une

puissance). Ce concept a été utilisé dans les chapitres 3 et 4 de ce document.

Dans le cas de la corrélation, le problème est tout autre. Ce sont les fonctions entrant

dans le calcul de corrélation qui sont définies à énergie normalisée finie ou à

puissance moyenne normalisée finie. Le calcul se fait en intégrant le résultat du

produit d’une fonction par une autre fonction subissant un décalage (ou par la même

fonction subissant un décalage) : ce sont donc des fonctions différentes qui sont

utilisées. Dans le cas où la corrélation se calcule sur des fonctions, cela ne porte pas à

conséquence puisque ces fonctions sont considérées sans dimension.

Mais dans le cas où la corrélation se calcule sur des signaux, la notion d’énergie ou de

puissance du résultat n’a plus de sens (sauf pour l’autocorrélation, si le décalage est

nul, comme l’expriment les relations (5-86) et (5-104)). En ce qui concerne un signal

électronique, la dimension sera alors exprimée en V².s (« s » représente la grandeur

« temps » : voir annexe, paragraphe 6-1-2) et non en J (joule) pour les signaux à

énergie finie et en V² et non en W (watt) pour les signaux à puissance moyenne finie

(ne pas confondre la grandeur physique W et le symbole W utilisé pour désigner la

relation définissant une énergie).

Si l’on considère ce qui vient d’être dit, l’intercorrélation et l’autocorrélation traitent des fonctions différentes : autrement dit, la modification du niveau d’une seule des

fonctions (donc la modification du coefficient K ) entraine une modification du

niveau de la corrélation par le même coefficient, comme le montre le sous-paragraphe

5-3-2-4 (et non par son carré comme on pourrait le penser). En télécommunications,

cette modification de K permet d’évaluer les variations du coefficient de

transmission d’une liaison radio.

57 57


fonctions réelles périodiques. Signification des résultats obtenus

5.3.5.1 Présentation des

spécificités apportées par la périodicité des fonctions

Dans le cas de la corrélation, pour repartir de la fonction à énergie finie employée au

paragraphe 5-3-2, on peut dire qu’une fonction à énergie finie qui se reproduit à l’identique

indéfiniment correspond à la classe des fonctions périodiques que l’on peut traiter par

corrélation.

Quand la variable est le temps, la durée entre deux répétitions consécutives de la fonction

s’appelle période : elle est généralement désignée par T . D’une manière générale

la périodicité peut se traduire par la relation :

ttfmtf rr )()T.( (5-105)

où .Tm (avec m entier non nul) représente le nombre de périodes séparant les périodes

considérées.

Note 1 : dans la suite de ce paragraphe, les fonctions traitées seront affectées de la lettre « r »

portée en indice pour bien spécifier leur propriété répétitive.

Avertissement : dans le cas de l’intercorrélation, les deux fonctions étudiées doivent avoir

une périodicité identique. Cette périodicité peut alors être multiple de la période fondamentale

fT de la fonction )(tfr et de la période fondamentale gT de la fonction )(tgr de sorte

que : gf T.T.T qp (5-106)

Plusieurs conséquences, concernant la corrélation, apparaissent :

Pour un décalage donné, le résultat de l’intercorrélation est invariant quand on

effectue ce calcul sur des périodes différentes. On peut en effet écrire grâce à la

relation (5-105) :

2/T

2/T

2/T

2/T

).)T.(().T.().().( dtmtgmtfdttgtf rrrr (5-107)

Cette constatation est aussi valable pour l’autocorrélation.

Pour un décalage donné, rien n’empêche de changer les bornes d’intégration si cela

facilite le calcul et ce, grâce à la périodicité des fonctions et à condition de maintenir

l’espacement de ces bornes à la valeur T (voir figure 5-21).

58 58

Grâce à cette figure, on constate que le produit des fonctions à intégrer est inchangé dans

l’intervalle TT; ;0 . De par la périodicité des fonctions, on peut alors écrire :

δTT

0

).().().().(

dttgtfdttgtf rrrr (5-108)

Cette constatation est aussi valable pour l’autocorrélation.

Pour un décalage donné, lorsque, durant l’intégration :

- le terme t de la fonction rg devient supérieur à 2/T (borne

supérieure de définition de la période des deux fonctions dans la relation

(5-107)), la relation (5-105) permet de remplacer ce terme par Tt

- le terme t devient inférieur à 2/T , la relation (5-105) permet de le

remplacer par T t .

Grâce à cet artifice, toutes les valeurs de la fonction d’analyse se localisent

dans la même période (définie ici de 2/T à 2/T ), ce qui est particulièrement

intéressant en traitement numérique du signal. En résumé :

Note 2 : les valeurs sur fond orange doivent prendre les mêmes valeurs que les bornes

d’intégration. On trouve souvent aussi les bornes 0 et T (n’oublions pas que ces bornes

doivent être espacées de T ) comme figure 5-21 et relation (5-108).

La fonction d’intercorrélation est de même périodicité T que les fonctions traitées.

En effet, considérons la fonction )( tgr . Pour un décalage T.m , le

résultat de l’intercorrélation devient , grâce encore à la relation (5-105) :

Il en est évidemment de même pour la fonction d’autocorrélation.

2/T

2/T

2/T

2/T

2/T

2/T

).().()).)T.(().()).T.(().( dttgtfdtmtgtfdtmtgtf rrrrrr

(5-111)

Si : T T/2 τ-tt (5-109)

Si : T T/2 tt (5-110)

t

0

T

δ T+δ Figure 5-21 : représentation du changement des bornes d’intégration.

- en vert, la période, prise en compte pour l’intégration, commence à l’instant t=0

- en bleu, cette période commence à l’instant t=δ et se termine à l’instant t=T+δ

Le retard de δ se retrouve évidemment strictement en fin de ces deux séquences.

-

59 59


Ces relations peuvent être déduites des relations concernant les fonctions à puissance

moyenne finie (sous-paragraphe 5-3-3-2). Mais ici, la périodicité permet de réduire le

calcul à une seule période de durée finie.

Nous nous limiterons au cas des fonctions réelles, le plus rencontré dans la pratique

de l’électronique. Ceci simplifie l’écriture.

Cas général :

- pour l’intercorrélation, la relation (5-102) devient :

2/T

2/T

).().(.T

1)( dttgtfR rrgf rr

(5-112)

- pour l’autocorrélation, la relation (5-103) devient :

2/T

2/T

).().(.T

1)( dttftfR rrff rr

(5-113)

Cas de l’autocorrélation d’une fonction réelle pour un décalage nul :

Ce résultat s’obtient à partir de la relation ci-dessus :

norrff PdttfRrr

2/T

2/T

2 ).(.T

1)0( (5-114)

Cette dernière relation, correspond à la définition de la puissance moyenne normalisée

de la fonction périodique et, de par l’inégalité de Schwarz, cette valeur ne peut être

dépassée, en valeur absolue, pour aucune valeur du décalage autre que 0 .

60 60

5.3.5.3 Le problème du chevauchement d’une période de la fonction

de corrélation sur la précédente ou la suivante

Le sous-paragraphe 5-3-2-8 a mis en évidence les bornes d’intégration et les limites de

décalage nécessaires pour traiter une ou des fonctions à énergie finie donc limitées dans le

temps et centrées sur l’instant zéro.

Or nous pouvons considérer qu’une fonction périodique est une fonction à énergie

finie qui se répète indéfiniment. Si l’on n’y prend garde il peut y avoir, de par la périodicité,

chevauchement de la fonction de corrélation, d’une période sur l’autre. En effet, le sous-

paragraphe 5-3-5-1 a mis en évidence que la fonction de corrélation avait la même

périodicité T que la fonction étudiée (dans le cas de l’autocorrélation) ou la périodicité T

commune aux deux fonctions étudiées (dans le cas de l’intercorrélation).

Pour aborder ce problème, il faut d’abord lever une ambigüité dans la mesure où l’on

utilise deux définitions différentes pour T :

- l’une est issue de la périodicité donnée aux fonctions )(tfr et )(tgr

- la seconde est issue de la durée de non nullité de ces fonctions telle qu’elle a été

définie pour la corrélation dans le cas des fonctions à énergie finie.

Pour lever cette ambiguïté, dans ce sous-paragraphe, nous exprimerons ces durées par

pour )(tfr et 1 pour )(tgr de manière à maintenir le symbole T pour désigner la

période des fonctions, comme dans tout le reste de ce document : la période centrale sera de

durée symétrique de l’instant zéro et sera donc définie dans l’intervalle T/2T/2; .

Deux cas seront traités : celui de l’autocorrélation d’une fonction « porte » déjà présentée figures 5-16 et 5-17 et celui de l’intercorrélation de deux fonctions,

similaires à l’exemple de la figure 5-19. Mais ici, ces fonctions sont périodisées.

Cas de l’autocorrélation de la fonction « porte » périodisée

Cette fonction, pour une période considérée, s’étend sur l’intervalle 2/;2/

et dans ces conditions son autocorrélation a pour bornes: ; (voir sous-

paragraphe 5-3-2-8). On en déduit que pour qu’il n’y ait pas chevauchement entre les

résultats de l’autocorrélation concernant deux périodes consécutives, il faut que la

durée d’existence de la corrélation soit inférieure ou égale à la périodicité de la

fonction donc que T.2 . La durée maximum de la fonction « porte » est alors

2/T . C’est le cas représenté par les figures 5-22.

Les figures 5-23 représentent un cas où 2/T . On observe l’empiètement de la

fonction d’analyse sur la fonction « porte » de la période suivante. La zone en rouge

de la figure 5-23c est alors considérée comme faisant partie des informations à intégrer

dans la « zone d’intégration » définie pour la période centrale de la figure 5-23a. Cette

« intrusion », prise en compte sur le plan mathématique, faussera l’interprétation que

les physiciens attendent, de par l’absence d’une zone où la corrélation est nulle.

61 61

t

τ

T

T

0

0

Δ=T/2

Δ=T/2

fr (t) 5-22a

5-22b )(rr ffR

A

A²/2

Figures 5-22 : autocorrélation d’une fonction périodique

à la limite du chevauchement

- la figure 5-22a représente une fonction « porte » périodisée de durée

Δ=T/2

- la figure 5-22b représente sa fonction d’autocorrélation

Attention : les abscisses de ces deux figures ne représentent pas les mêmes

paramètres : pour la première, il s’agit du temps ; pour la seconde, il s’agit du

décalage temporel de l’analyse par autocorrélation.

t 0

fr (t)

-T/2 -T/2 +T/2

Δ>T/2

t 0

fr (t+τ)

ZONE d’INTEGRATION

pour la période centrale

t

τ

PRODUIT : fr (t).fr (t+τ)

pour la PERIODE

CENTRALE

5-23a

5-23b

5-23c

Figures 5-23 : ce qui se passe lors du chevauchement de la fonction « porte »

et de la fonction d’analyse de la période voisine

- la figure 5-23a représente la fonction « porte », périodisée, définie pour

Δ>T/2

- la figure 5-23b représente la fonction d’analyse ayant subi un décalage τ. Y

est indiquée aussi la « zone d’intégration » pour la période centrale de la

fonction « porte » : elle est définie dans l’intervalle de –T/2 à +T/2

- la figure 5-23c indique ce qu’il y aura à intégrer pour le décalage adopté

pour la figure 5-23b : le rectangle rouge est lié au fait que Δ>T/2.

62 62

Cas de l’intercorrélation de deux fonctions périodisées différentes

On a choisi l’exemple (très simplifié) d’un signal d’étude d’un canal de propagation en

télécommunications. En effet, cette étude peut se faire en émettant périodiquement un

signal de type « porte » » de courte durée Δ (non représenté sur les figures 5-24) et en

observant le signal reçu: il y apparaît un premier signal lié au « trajet direct » de l’onde

et un ou des signaux plus ou moins retardés liés à ce que l’on nomme des « trajets

multiples ».

L’exemple des figures 5-24 est une illustration simplifiée car il ne comporte qu’un

seul signal issu de trajets multiples. Il représente en outre un mauvais choix de la

périodicité du signal émis car le seul signal lié à un trajet multiple se termine juste à

l’instant où arrive le signal lié au trajet direct de la période suivante.

La figure 5-25 met en évidence l’impact du chevauchement de ces deux informations

sur le résultat de l’intercorrélation. Attention, cette figure ne représente qu’une période

du décalage dont l’échelle est triplée par rapport à celle des temps des figures 5-24.

Figures 5-24 : intercorrélation de deux fonctions périodiques de même période

- la figure 5-24a décrit trois périodes du signal reçu, représentées respectivement sur fond

gris, or et jaune (ces couleurs se retrouvent pour les figures suivantes).

Chaque période est composée d’un signal rectangulaire de niveau A1 et de durée Δ suivi,

avec un « blanc » de durée double, d’un « écho » de niveau A2, lui aussi de durée Δ. Le

signal de niveau A1 de la période suivante commence alors immédiatement à la fin de cet

écho : la périodicité est donc de T=4.Δ.

- les figures 5-24b et c décrivent trois périodes du signal d’analyse respectivement pour un

décalage nul et pour un décalage de -3,5.Δ (valeur proche de la périodicité du décalage) : ce

choix permet de mettre en évidence, sur la figure 5-24c , la cause du chevauchement.

L’effet de ce chevauchement sur le résultat de l’intercorrélation est illustré figure 5-25.

A1

T

A2

fr(t)

Δ Δ

0

T=4.Δ

t

5-24a

T

2.Δ

Δ

gr(t+τ) pour τ=0

t

5-24b

gr(t+τ)

pour τ-=3,5.Δ

t

ZONE d’INTEGRATION

pour cette PERIODE (de 0 à T)

5-24c

Δ Δ

3.Δ

63 63

Attention : on peut être surpris de l’écart entre les deux maxima de la figure 5-25

(3.Δ) et l’écart apparent des deux signaux « porte » contenus dans une période de la

figure 5-24a. Si l’on considère l’écart entre deux évolutions identiques de ces signaux

(par exemple, leur front montant comme indiqué en rouge), on retrouve bien cet écart.

Conséquences du chevauchement : l’écho de la figure 5-24a n’est plus localisable

puisque sa valeur centrale devrait se localiser au sommet du second triangle (qui a

disparu). Ce cas est évidemment un cas d’école mais il illustre l’importance, lors de

l’étude de canaux de propagation, de prendre des périodes d’analyse suffisamment

longues pour englober la majorité des échos de niveau important.

Il faut noter aussi qu’un autre chevauchement peut intervenir quand l’écho et le trajet

direct sont de durées voisines. Ceci entraine, au niveau de l’intercorrélation, la

superposition de deux triangles, parfois de niveaux voisins, et qui se superposent

partiellement, ce qui rend la localisation des maxima parfois délicate.


de fonctions périodiques réelles et quelques observations

Ces propriétés sont pour la plupart, issues de celles des fonctions à énergie finie

données au sous-paragraphe 5-3-2-6.

Propriété 1 : l’intercorrélation de deux fonctions périodiques réelles de périodes identiques est une fonction périodique réelle de même période. Il en est de même pour

l’autocorrélation d’une fonction périodique réelle.

Figure 5-25 : cette figure présente l’intercorrélation du signal illustré figure 5-24a et d’une fonction d’analyse de type « porte » dont deux valeurs du décalage sont illustrées figures 5-24b

et c.

On observe, en trait plein, l’intercorrélation obtenue. De τ =0 à -3.Δ, la fonction est conforme au

résultat attendu. A partir de -3.Δ, la fonction continue à croître, comme la figure 5-24c le laisse

penser alors que, s’il n’y avait pas chevauchement avec la période suivante, elle devrait décroître

(trait pointillé).

(Notons que les deux traits pointillés, de part et d’autre de l’intervalle 0 à -3.Δ, caractérisent le

résultat théorique exact de l’intercorrélation que l’on obtiendrait si le signal traité était unique ou

si la périodicité du signal reçu était prolongée de Δ (au minimum).

τ

-Δ 0

T τ= -4.Δ

-3.Δ

)(rr gfR

64 64

Propriété 2 : l’autocorrélation a son maximum pour un décalage nul (voir relation

(5-114) : elle représente alors la puissance moyenne normalisée de la fonction

analysée.

Propriété 3 : pour l’intercorrélation et l’autocorrélation, si la fonction )(tf r

analysée, et seulement elle, est affectée d’un coefficient réel, le résultat de la

corrélation est affecté de ce même coefficient. Il en est de même si ce sont les

fonctions d’analyse, )( tgr ou )( tfr (et seulement elles) qui sont

affectées de ce coefficient.

Propriété 4 : l’intercorrélation a une symétrie hermitienne : )()( rrrr fggf RR et

l’autocorrélation transforme cette symétrie en symétrie paire : )()( rrrr ffff RR

(voir sous-paragraphe 5-3-2-5 pour la démonstration

et figure 5-26 pour l’illustration).

Propriété 5 : comme dans le cas des fonctions de puissance moyenne finie,

l’intercorrélation et l’autocorrélation sont sans dimension. En effet les fonctions

traitées, )(tfr et )(tgr , bien que liées au temps, sont considérées sans dimension

(voir annexe 6-1-1 sur cet aspect) : il reste la variable d’intégration dt dont la

dimension se simplifie avec la période T du processus.

Dans le cas de l’autocorrélation, pour nul, on retrouve la notion de puissance

moyenne normalisée (voir relation (5-114)) telle que définie dans l’annexe précitée.

Figure 5-26 :

illustration de la symétrie de la fonction d’autocorrélation d’une fonction réelle.

La fonction source n’a pas de symétrie propre,

ce qui n’est pas le cas de sa fonction d’autocorrélation.

τ

t

T

T

T

T T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

)(rr gfR

fr(t)

65 65

Observation 1 : sauf dans l’étude de fonctions spécifiques où la périodicité est définie

par la fonction, dans l’analyse de systèmes il est conseillé de choisir une durée de

période telle que les informations issues du système ne produisent pas de

chevauchement d’une période sur l’autre (voir les exemples, sous-paragraphe 5-3-5-3).

Observation 2 : la symétrie paire autour de l’axe de nul, indiquée en propriété 4

pour les fonctions d’autocorrélation, permet d’éviter le calcul de la totalité de cette

fonction en la limitant uniquement à une moitié (dans l’intervalle de décalage

2/T0 ou 02/T ). Ceci est un avantage en calcul numérique. Il

ne reste alors qu’à compléter la fonction à l’aide des valeurs déjà trouvées : ceci se

vérifie bien sur la figure 5-26.

Observation 3 : pour un décalage donné, l’intégration temporelle se fait sur la

totalité d’une période comme l’indiquent les relations (5-112) pour l’intercorrélation et

(5-113) pour l’autocorrélation. Autrement dit, pour un décalage donné le résultat sera

indépendant de l’origine de la borne d’intégration temporelle (comme le justifie la

figure 5-21 et le point associé).

Conséquence : la fonction d’autocorrélation d’une fonction sinusoïdale est identique à

celle d’une fonction cosinusoïdale puisque ces deux fonctions sont identiques à 4/T

près. Ceci se démontre aisément sur le plan analytique.

5.3.5.5 Peut-il y avoir un décalage autre qu’un décalage nul, donnant

une valeur de corrélation égale, en valeur absolue, à celle obtenue pour

τ=0

L’inégalité de Schwarz, présentée au sous-paragraphe 5-3-2-3 indique que le décalage

nul correspond à une valeur maximum de la fonction d’autocorrélation. Mais cette relation de Schwarz contient aussi le symbole d’égalité : autrement dit on peut envisager qu’un résultat,

positif ou négatif, de la fonction d’autocorrélation puisse atteindre une valeur absolue égale

à celle donnée pour un décalage nul.

Mathématiquement, on peut rechercher si, pour certaines valeurs du décalage , on

peut obtenir : )0()(rrrr ffff RR (5-115)

Ceci se rencontre dans le cas de certaines fonctions périodiques à caractéristiques bien

spécifiques.

Ces fonctions périodiques et leur image décalée de 2/T ont l’axe des abscisses pour

axe de symétrie. La démonstration en est faite ci-dessous.

Objectif : il faut chercher une fonction )(tfr telle que sa fonction d’autocorrélation

vérifie la relation (5-116) autrement dit que :

T/2

T/2

2

2

0

T/2

T/2

).(T

1).().(.

1

-

r

-

rr dttfdttftfT

(5-117)

66 66

- Donnons à une valeur fixe 0 .

- Supposons que l’on puisse trouver une fonction telle que:

ttftf rr )()( 0 (5-118)

cette fonction est une solution au problème posé.

- Quelle est la valeur de 0 vérifiant cette condition ? Nous devons chercher la

valeur de 0 qui, pour 0.2 , permet de retrouver la fonction initiale :

ttftftf rrr )()().2( 00 (5-119)

- Or cette solution est la définition d’une fonction périodique ce qui correspond au

domaine des fonctions étudiées dans ce paragraphe. Nous pouvons alors poser :

t)(tftftf rrr T )().2( 0 (5-120)

- Nous pouvons alors déduire que pour toute fonction telle que :

2/T0 (5-121)

si la relation (5-118) est vérifiée, )(tfr répond à la question.

La figure 5-27a en est un exemple : sa fonction d’autocorrélation présente, à chaque

période, deux extrema de valeur absolue identique. On observe sur la figure 5-27b que :

²)0()2/T( ARRrrrr ffff (5-121)

Figures 5-27 :

la figure 5-27a représente une fonction « carrée » de valeur moyenne nulle :

- en bleu, la fonction source - en rouge cette fonction décalée de T/2

la figure 5-27b représente sa fonction d’autocorrélation

τ T

0

Δ=T/2

A²

-A²

5-27b )(rr ffR

t

T

0

Δ=T/2 fr (t)

5-27a

A

-A

67 67

Note 1 : on peut vérifier que si la fonction n’est plus « carrée » mais devient rectangulaire

(tout en conservant les mêmes niveaux), la relation (5-115) n’est plus valable.

Note 2 : d’autres fonctions, très utilisées en électronique, présentent cette propriété : on

rencontre les fonctions sinusoïdales (ou cosinusoïdales) qui seront utilisées au paragraphe

5-3-6.

5.3.5.6 Expression des fonctions d’intercorrélation et d’autocorrélation

de fonctions périodiques réelles à partir de leur développement en série de

Fourier

Représentation sous forme de série de Fourier des fonctions utilisées

La relation (4-20) du paragraphe 4-1-3 du chapitre 4 donne l’expression du

développement en série de Fourier d’une fonction périodique réelle exprimé en

coordonnées polaires. Cette expression est rappelée ci-dessous :

- le terme Fnc désigne le coefficient

de Fourier du rang n considéré.

C’est un nombre complexe même si

la fonction traitée est réelle.

- Le terme de fréquence 1/TF

désigne la fréquence fondamentale correspondant à la périodicité de la fonction.

Pour adapter cette relation aux deux fonctions utilisées dans ce paragraphe

concernant la corrélation :

- nous désignerons le coefficient de Fourier de la fonction )(tf r , pour le rang n ,

par rnf

- nous désignerons le coefficient de Fourier de la fonction )(tgr , pour le rang p ,

par rpg .

Note : l’introduction de paramètres différents pour désigner le rang de chacun des

deux développements se justifie par la présence de leur produit dans la fonction de

corrélation.

Introduction du décalage temporel dans les coefficients de Fourier de )(tgr

Considérons le rang p de )(tgr , soit )(tgrp la fonction correspondant à ce rang,

nous pouvons écrire à partir de la relation (5-122) :

tpj

rprp egtg F..2..)( (5-123)

Comme rpg est un coefficient indépendant du temps, le seul terme affecté par le

décalage temporel est le terme exponentiel. Nous pouvons écrire :

n

tnjFn ectf F..2.)(

(5-122)

tpjpjrp

tpjrprp eegegtg F..2.F..2.)F(..2. ...)( (5-124)

68 68

Le nouveau coefficient de ce rang conserve son module initial (ce qui est logique,

puisque la fonction temporelle ne change pas d’allure) : le seul changement intervient

sur la phase. Le terme additif de phase vaut : F..2 pa .

Injection des relations (5-123) et (5-124) dans la fonction d’intercorrélation

Reprenons la relation (5-112) et introduisons la forme polaire du développement en série des fonctions

présentes. Il vient :

Cette fonction peut paraître délicate à résoudre : en effet, pour une valeur 1 du décalage temporel, il

faut effectuer l’intégrale sur T du produit de deux membres (panneaux jaune et bleu) comportant

chacun une infinité de termes. Cependant, pour une valeur 1n de n et une valeur 1p de p ,

l’opération se simplifie considérablement. Considérons la relation (5-126) extraite de la relation (5-125)

et relative à ces valeurs 1n et 1p , il vient :

Deux cas se présentent alors :

- pour )( 11 pn , cette relation peut s’écrire :

(en effet l’argument de l’exponentielle présent dans le panneau orange est nul)

2/T

2/T

F..2F..2F..2

2/T

2/T

... . . .T

1

).().(.T

1)(

dteegef

dttgtfR

p

tpjpjrp

n

tnjrn

rrgf rr

(5-125)

2/T

2/T

F..2F..2F..2. .. . ..

T

1111

1

1

1dteegef

tpjpjrp

tnjrn

(5-126)

11

11

11

11

1111

11

111

1

1

1

F..2)(

2/T

2/T

F..2)(

2/T

2/T

F)..(2F..2)(

2/T

2/T

F..2F..2F..2)(

.. .T

1. ..

. .T

1. ..

. .... .T

1

pjrppr

pjrppr

tppjpjrppr

tpjpjrp

tpjpr

egfdtegf

dteegf

dteegef

(5-127)

69 69

- pour )( 11 pn , il suffit de considérer l’argument de l’exponentielle du

panneau orange en remplaçant )( 1p par sa valeur initiale, 1n (le terme du

panneau vert de la seconde ligne est en effet indépendant du temps). Le terme

11 pn est toujours entier et jamais nul (puisque le cas )( 11 pn vient

d’être réglé).

Si mous repassons sous forme trigonométrique, il est évident que l’intégration sur

l’intervalle 2/T de :

donne toujours un résultat nul.

Les fonctions tnj

rn efF..2 1

1.

et

)F(..2 1

1.

tpjrp eg sont, dans cette hypothèse,

orthogonales.

En conséquence : pour un décalage temporel donné 1 , à chaque valeur du rang p

du développement en série de Fourier sous forme polaire de la fonction )( 1tgr

ne correspond qu’une valeur du rang n du développement de Fourier de la fonction

)(tfr pouvant donner une valeur non nulle à l’opération de corrélation. Cette valeur

se situe au rang )( 11 pn et la corrélation vaut alors :

11

11

F..2)( ..

pjrppr egf (5-128)

En définitive : en étendant ce résultat à l’infinité des rangs p , la corrélation pour un

décalage 1 donné, s’écrit :

p

pjrpprgf egfR

rr

1F..2)(1 ..)(

(5-129)

Et pour l’ensemble de la fonction d’intercorrélation, nous obtenons :

p

pjrpprgf egfR

rr

F..2)( ..)( (5-130)

)F)..(2sin(.)F)..(2cos( 1111 tpnjtpn

70 70

En ce qui concerne la fonction d’autocorrélation : la relation (5-130) devient, en

remplaçant la représentation de la fonction )F(..2. tpj

rp eg par celle de

)F(..2. tpjrp ef :

p

pjrpprff effR

rr

F..2)( ..)( (5-131)

Or, dans le cas d’une fonction réelle, les coefficients de Fourier (qui, dans la

représentation polaire, sont complexes) d’indices de signe opposé sont conjugués.

Autrement dit :

2

)(

2**)( . prrprprprppr ffffff (5-132)

(le symbole ││ indique qu’il s’agit du module, c’est-à-dire de la racine carrée de la

somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe

comme explicité paragraphe 1-2 du chapitre 1. Il s’agit ici du coefficient de Fourier du

rang considéré).

Nous pouvons alors écrire :

Pouvons-nous alors exprimer cette relation sous forme réelle ?

Calculons la somme de deux termes d’indice 1p de signes opposés présents

sous le symbole somme de la relation (5-133) en tenant compte des égalités de la

relation (5-132). Il vient :

)F..2cos(..2.. 1

2F..22F..22

)( 1

1

1

1

1

pfefef rppj

rppj

pr

(5-134)

(ce passage sous forme trigonométrique des exponentielles à argument imaginaire a

été démontré au chapitre 2).

Grâce à cela, la relation (5-133) devient :

. )( F..22

p

pjrpff efR

rr

(5-133)

)F..2cos(..2)(

1

220

p

rprff pffRrr

(5-135)

71 71

(il n’est pas nécessaire d’exprimer 0rf sous forme de module puisqu’une composante

continue n’a pas de terme imaginaire).

Connaissant les coefficients de Fourier de la fonction )(tfr , nous pouvons tracer,

dans le domaine des décalages temporels (et non du temps), sa fonction d’autocorrélation :

- l’absence de termes sinusoïdaux confirme qu’il s’agit d’une fonction paire, ce qui

justifie la propriété 4 du sous-paragraphe 5-3-5-4

- la présence d’un argument identique (à la variable près : t pour l’une, pour

l’autre) pour les termes trigonométriques de la fonction et de son autocorrélation,

confirme que, chacune, dans son domaine, a une périodicité égale à T . Cet

aspect avait déjà été évoqué au sous-paragraphe 5-3-5-1. Cette propriété n’est pas

choquante dans la mesure où t et , bien que représentant des domaines

différents, ont la même dimension physique : le temps.

La relation (5-135) correspond bien à celle du développement en série de Fourier sous forme

trigonométrique d’une fonction réelle, de symétrie paire, de périodicité T , représentée dans

le domaine des fréquences positives (voir paragraphes 3-5-5 et 3-7-5 du chapitre 3) mais

avec pour variable, le décalage .

5.3.6 Une application pleine d’enseignements et de renseignements : la

détection synchrone

5.3.6.1 Présentation

Cet exemple offre l’intérêt de regrouper un certain nombre de configurations

rencontrées dans les paragraphes précédents et de faire le lien entre l’intercorrélation et la

technique dite de « détection synchrone ».

Supposons qu’une information soit portée par le niveau d’une fonction périodique de

fréquence F et de la forme :

tVv F.2sin. (5-136)

Si cette information n’est pas entachée de bruit, une mesure directe du niveau suffit

mais si du bruit vient s’y superposer, plusieurs solutions peuvent être envisagées (filtre passe

bande, filtre sélectif…) pour récupérer l’information selon le niveau et le type de bruit.

Une solution particulièrement efficace est la « détection synchrone ». Cette solution

consiste à multiplier l’information reçue par un signal de même structure (mais évidemment

sans bruit) et de niveau invariant, donc de la forme :

)F(.2sin. tVv aa (5-137)

et d’intégrer le résultat du produit sur une ou plusieurs périodes de

l’information.

72 72

5.3.6.2 Le point de départ : cas du signal non bruité

Note : il faut remarquer que l’opération décrite au sous-paragraphe précédent n’est pas

strictement de l’autocorrélation dans la mesure où les deux signaux entrant dans le calcul ont

des niveaux indépendants : nous verrons par la suite que c’est un des intérêts de la méthode.

Remarque : quand le bruit vient se superposer à l’information, l’opération préconisée devient

à la fois de l’autocorrélation et de l’intercorrélation et de plus, avec un facteur pénalisant dans

la mesure où le bruit est aléatoire.

Pour effectuer le calcul décrit au sous-paragraphe précédent, il suffit d’écrire, en

désignant par )(avvR le résultat :

En développant ce produit de fonctions sinusoïdales en leur somme (voir relation

(4-109) du sous-paragraphe 4-3-7-2 du chapitre 4), on obtient :

Sur une période, l’intégrale sur fond rouge est nulle puisqu’elle se calcule sur deux

périodes entières de la cosinusoïde.

Par ailleurs, le terme F.2cos , qui est indépendant de t , peut être extrait de

l’intégrale sur fond jaune, et il vient :

Remarque 1 : cette relation établit, pour un décalage temporel nul, une proportionnalité entre

le niveau de la corrélation et celui du signal reçu.

2/T

2/T

2/T

2/T

)).(F.2).(sinF.2(sin.T

).().(.T

1)( dttt

V.VdttvtvR a

avva

(5-138)

2/T

2/T

2/T

2/T

).2(F.2cos.2.T

.F.2cos.2.T

)( dttV.V

dtV.V

R aavva

(5-139)

)( F.2cos.2

...

T.

2

F.2cos)(

2/T

2/T

aa vv

aavv R

VVdt

V.VR

(5-140)

Et en particulier, pour 0 :

2

)0( avv

VVR

ra (5-141)

73 73

Remarque 2 : la relation (5-140) permet de constater que pour 2/T , on a, comme

développé au sous-paragraphe 5-3-5-5, )2/T()0(aa vvvv RR .

Note pour les électroniciens : si, pour un mathématicien, il est facile de poser 0 , pour

un électronicien, cette valeur nécessite souvent une réalisation techniquement délicate. De

toute façon, on n’obtiendra jamais rigoureusement 0 mais la fonction cosinusoïdale

apparaissant dans la relation (5-140) permet de limiter les dégâts. En effet cette fonction

évolue faiblement au voisinage de son maximum (ce qui n’est pas le cas pour une fonction

triangulaire par exemple). Remplaçons l’argument F.2 par exprimé en radians. Pour

de faibles valeurs de cet argument, on peut utiliser le développement limité au second terme

de la fonction cosinusoïdale. On obtient : 2/²1cos . Si l’erreur sur la phase est

inférieure à ±0,14 radian (soit ±8°), l’imprécision sur le niveau du signal est inférieure à 1%.

Si cette erreur atteint ±0,44 radian (soit ±25° donc τ/T<±0,07), l’imprécision sur le niveau est

encore inférieure à 10%, ce qui est parfois encore acceptable.

5.3.6.3 Quelques considérations sur l’introduction du « bruit » dans ces

calculs

Pour simplifier l’étude de la présence du bruit sur le signal portant l’information, et ce,

après corrélation :

nous remplacerons chacune des composantes fréquentielles de bruit par une fonction trigonométrique de niveau invariant et identique à celui du signal. La phase de cette

fonction à l’instant initial d’intégration sera un paramètre supplémentaire.

Nous limiterons cette étude à la gamme 4.FF.25,0 , gamme largement

suffisante pour que les filtres passifs, usuellement placés en début de chaîne, puissent

agir efficacement sur le reste du spectre de bruit. La fréquence de chaque composante

sera désignée par F. avec 425,0 .

Remarque : nous nous éloignons alors de la théorie de l’intercorrélation qui

impliquait que les fonctions soient périodiques sur la durée d’intégration mais la

pratique est souvent plus exigeante que les hypothèses de la théorie.

Nous modifierons les bornes d’intégration. En effet, si mathématiquement il est parfois préférable, pour mettre en évidence des symétries facilitant le calcul, d’intégrer

de 2/T à 2/T , dans les exemples qui suivent, issus de la réalité physique, les

bornes adoptées sont différentes.

En effet, il est logique de définir l’origine de l’intégration par rapport au signal

d’analyse. Dans le cas d’un signal sinusoïdal, il faudra donc que le passage au zéro

dans le sens croissant d’une de ses périodes coïncide avec le début de l’intégration. La

fin de l’intégration sera alors aussi définie par le passage au zéro dans le sens croissant

de la période suivante. De cette manière, si l’on veut intégrer sur plusieurs périodes (ce

74 74

nombre étant désigné par m par la suite), il suffira uniquement de modifier le nombre

de périodes à attendre pour définir la fin de l’intégration.

Il a été montré au sous-paragraphe 5-3-5-1 que ce changement de position des bornes

ne modifiait pas le résultat de la corrélation dans la mesure où la durée d’intégration était multiple entier de la période des fonctions traitées. Or ce n’est ici le cas que pour

le signal d’analyse et le signal reçu. Dans l’étude qui suit, l’impact du non respect de

cette hypothèse par le bruit, sera largement développé.

Mais quel est le but recherché ? Il ne faut pas oublier qu’en dehors du signal reçu, fonction

sinusoïdale de fréquence F , pour lequel la corrélation peut être maximum (si sa phase le

permet), l’idéal est d’avoir une corrélation nulle pour toutes les autres composantes quelle

que soit leur fréquence et leur phase.

5.3.6.4 Etablissement de la fonction d’intercorrélation normalisée entre

une composante de bruit et le signal reçu (dans l’hypothèse où ce dernier

est en phase avec le signal d’analyse)

Le signal d’analyse, défini relation (5-137), ne présente ici qu’un seul décalage pour faciliter les calculs. Ce décalage, défini par rapport à l’instant initial d’intégration, est

0 . Le signal d’analyse devient :

tVv aa F.2sin. (5-142)

Dans ces conditions le signal reçu de l’émetteur, non bruité (par la suite cette

précision sera supprimée, pour alléger la lecture) au niveau de la détection synchrone

doit avoir la même phase (ce qui n’est évidemment pas le cas au niveau de l’émission,

car il faut tenir compte des temps de propagation) pour que l’autocorrélation soit

optimum.

En ce qui concerne le bruit :

- chaque composante de bruit est prise de niveau V constant (égal à celui du

signal reçu) et de fréquence F. ( avec 0 ), elle aussi définie par rapport à

la fréquence du signal reçu. Ces composantes s’écrivent donc :

)F..2sin(. tVvb (5-143)

- les résultats de l’intercorrélation, )0(abvR , des différentes composantes de

bruit avec le signal d’analyse défini pour un décalage nul, seront exprimés en

valeur absolue : n’oublions pas en effet que, si une corrélation n’est pas nulle,

cela signifie qu’il existe un couplage entre les deux signaux et ce, quel que soit le

signe de la corrélation.

75 75

- les calculs qui suivent et les courbes de la figure (5-28) seront normalisés par

rapport à l’autocorrélation )0(avvR obtenue pour le signal reçu (quand il est de

même phase que le signal d’analyse). On calcule donc :

)0(

)0(

a

a

vv

bv

R

R (5-144)

Il est à noter que, pour )0(avvR , la relation (5-140), adaptée à une durée

d’intégration T.m , aboutit encore à la relation (5-141).

La relation à traiter est :

En développant ce produit de fonctions sinusoïdales en leur somme (voir relation

(4-109) du sous-paragraphe 4-3-7-2 du chapitre 4), on obtient :

La résolution de cette relation est fastidieuse mais présente des simplifications

intéressantes. Nous les présentons pour la relation contenue dans le panneau jaune.

(5-146)

T.

0

T.

0

).F.2)).(sinF.2(sin(.T.

2

).F.2.(sin)).F.2.(sin(..T

1.

.

2

m

m

a

a

dtttm

dttVtVmVV

(5-145)

T.

0

T.

0

).F)1.(2cos(.T.

1).F)1.(2cos(.

T.

1

mm

dttm

dttm

sin)..2sin(..)1.(2

1

sin)).1.(2sin(..)1.(2

1

)F)1.(2sin(.F)1.(2

1.

T.

1

).F)1.(2cos(.T.

1

T.

0

T.

0

mm

mm

tm

dttm

m

m

(5-147)

76 76

Note : la simplification de l’argument de la fonction trigonométrique n’est faisable que parce

que l’intégration dure un nombre m entier de périodes de la fonction d’analyse.

Un calcul similaire sur le second terme de la relation (5-146) (panneau bleu) permet alors d’obtenir une fonction trigonométrique de même argument :

et, en définitive, de pouvoir écrire :

et après regroupement :

5.3.6.5 Interprétation du résultat ci-dessus quand la composante de

bruit possède la fréquence du signal reçu (donc du signal d’analyse) c’est-

à-dire pour =1

Le cas où 1 provoque une indétermination dans la relation (5-149). Or cette

configuration est fondamentale dans la mesure où elle doit aussi permettre de récupérer le

signal reçu de l’émetteur.

Mathématiquement, pour cette valeur de , le numérateur et le dénominateur tendent

vers zéro et la règle de l’Hôpital est une des méthodes qui permettent de lever

l’indétermination. Elle consiste à dériver indépendamment, par rapport à , numérateur et

dénominateur et à poser de nouveau 1 .

La relation (5-149) devient alors :

cos)..2(cos

.2

.2

11

m

m

m (5-150)

)1(

1

)1(

1sin)..2sin( .

.2

1

m

m(5-148)

(5-149) sin)..2sin(.)1²(

1 .

.

1

m

m

sin)..2sin(..)1.(2

1

m

m(5-147 bis)

77 77

Donc pour : cos 1 (5-151)

Il s’agit d’un cas bien particulier où la composante de bruit, de même fréquence (et de

même niveau selon l’hypothèse de départ) que le signal reçu, a sa phase qui varie par rapport

à celui-ci. En supposant k entier, on constate que pour :

- 0 2/. k : la composante de bruit ne perturbe absolument

pas le signal reçu

- 1 . k : la composante de bruit se superpose au signal ; soit d’une

manière additive, soit d’une manière soustractive

- pour les valeurs intermédiaires de la perturbation se fait plus ou moins sentir

En conclusion : cette configuration est, nous le verrons ci-dessous, à niveau de composante

de bruit égale au signal reçu, la pire des configurations.

5.3.6.6 Recherche des « zéros » de la relation de corrélation entre la

composante de bruit et le signal d’analyse

Rappelons que cette relation est normalisée sous la forme du coefficient . Si

0 quelle que soit la phase, il n’y a aucune corrélation donc aucune relation de

dépendance entre la composante de bruit considérée et le signal d’analyse.

Cette condition se réalise quand le numérateur de la relation (5-149) s’annule quel que

soit :

sin)..2sin( m (5-152)

ce qui implique que : .2..2 km (où k est entier)

Dans ce cas, la composante considérée et le signal d’analyse sont complètement

décorrélés.

Donc pour :

0 / mk

avec k entier et à condition que :

(positif par hypothèse) soit différent de 1

(5-153)

78 78

- Pour mk / (avec k et m entiers), il y a décorrélation totale pour chaque

composante de fréquence multiple de F . Cet aspect est particulièrement

intéressant quand le signal reçu a subi des distorsions.

- Plus m , donc la durée d’intégration, augmente, plus les fréquences pour

lesquelles apparaît cette décorrélation se rapprochent les unes des autres.

Un cas particulier : si 0 ou , la relation (5-152) se simplifie et devient, pour obtenir

l’annulation du numérateur : ...2 km . Le nombre de fréquences donnant une

décorrélation totale est doublé : mais il s’agit d’un cas d’école dans la mesure où la

probabilité d’avoir une composante de phase nulle est… quasi nulle.

5.3.6.7 Recherche du « maximum» situé entre deux « zéros » de la

relation de corrélation entre la composante de bruit et le signal d’analyse

Rappelons que cette relation est normalisée sous la forme du coefficient . Cette

recherche est plus délicate dans la mesure où deux paramètres interviennent : et . Une

simulation numérique calculant, pour un nombre discret de valeurs de (donc de la

fréquence) donnée, la valeur maximum de en fonction de la phase, est présentée figure

5-28. Elle est réalisée dans la gamme 425,0 . Elle prend appui sur la relation

(5-145), donc sur la relation de départ.

Cependant plusieurs constatations sur l’évolution de

peuvent être déduites du résultat analytique (relation

(5-149) rappelée ci-contre sous la référence (5-154)) :

- est inversement proportionnel à m donc à la durée d’intégration à condition

que celle-ci soit un multiple entier de la période du signal d’analyse. En

conséquence, plus la durée d’intégration augmente, plus l’impact des

composantes de bruit diminue.

- pour des composantes de fréquence supérieure à celle d’analyse (donc pour

1 ), on peut admettre que le coefficient : ²

1

1²

1

et en déduire

que, dans cette gamme de fréquences, évolue comme un filtre du second

ordre

Il reste à trouver la valeur de pour laquelle l’expression de la partie

trigonométrique de la relation (5-154) est maximum en valeur absolue.

(5-154)

sin)..2sin(.)1²(

1 .

.

1

m

m

79 79

Hypothèse : cette approche, ne tenant pas compte de l’évolution de , donne des résultats

d’autant plus précis que 1 comme le montre la figure 5-28. Cependant, c’est une

approche satisfaisante de ce problème.

Recherche du maximum de│β│en fonction de α, en supposant le numérateur maximum

- On sait que la fonction sinusoïdale est maximum (en valeur absolue) pour:

1)(-sin 2/ (5-155)

- si l’on trouve une valeur de telle que le terme de la relation (5-154) :

1)..2sin( m (5-156)

- alors, la partie trigonométrique (le numérateur) de la relation (5-154) sera, en

valeur absolue, maximum et égale à 2 .

- En remplaçant par ses valeurs (relation (5-155)), on peut écrire :

kmkm 2..2 2/2)2/..2sin( (5-157)

(le terme k2 désigne les différentes déterminations de la fonction périodique)

- En définitive : mm

k

.2

1 (5-158)

En conséquence :

- si l’on se réfère à la relation (5-153) définissant la position des zéros de la fonction

, on constate que, moyennant notre hypothèse concernant , la composante de

bruit donnant le maximum (en valeur absolue) de corrélation se situe exactement à

mi-distance des fréquences correspondant à deux zéros consécutifs de .

- Ce maximum est pour une phase bien précise de la composante de bruit par

rapport à l’origine de l’intégration : 2/ .

Note : la présence des symboles +/- et -/+ a permis de traiter les deux valeurs de la phase

donnant un maximum du numérateur (en valeur absolue), en un seul développement : il faut

en tenir compte attentivement.

Exemple : pour simplifier, prenons le cas où 1m et 51 k . La relation (5-153)

permet d’obtenir la position des zéros. On obtient, comme sur la figure 5-28 :

4.F 3.F, 2.F,F. Z

et la relation (5-138) montre que les maxima se situent exactement à mi-distance de ces

valeurs (quel que soit le signe de la relation (5-158) adopté et la valeur de k choisie).

80 80

En définitive : de ce qui précède, nous pouvons déduire que l’enveloppe des maxima de la

relation (5-154) est régie par :

1²

1.

.

2

menv (5-159)

C’est le résultat important pour les électroniciens (si l’on fait abstraction de l’intérêt

particulier des « zéros », évoqué au sous-paragraphe précédent).

La figure 5-28 regroupe :

- deux courbes issues de la simulation de la relation (5-149) (reprise en relation

(5-154)), l’une, en noir, pour un temps d’intégration égal à la période du signal

d’analyse ( 1m ), l’autre, en bleu, pour une durée quadruple ( 4m ). Pour

chaque valeur de la fréquence, seule a été retenue la valeur de la phase donnant la

valeur de la plus élevée (donc le cas le plus défavorable)

- deux courbes décrivant la relation (5-159), donc l’enveloppe des courbes

précédentes (d’où le choix des couleurs). Ces courbes ne représentent pas la zone

asymptotique de puisque, pour cette valeur, le sous-paragraphe 5-3-6-5 a mis

en évidence une discontinuité levée spécifiquement.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,25.F 0,5.F F 1,5.F 2.F 2,5.F 3.F 3,5.F 4.F

│β│

α.F

-3 db

Figure 5-28 : représentation normalisée et en valeur absolue des maxima de la réponse fréquentielle d’une détection synchrone et de son enveloppe :

- en noir, la durée d’intégration (donc, d’analyse) est égale à la période du signal reçu

- en bleu, cette durée est de quatre périodes de ce signal.

81 81

- On observe une tangence rigoureuse entre les maxima des courbes issues de la

simulation et les enveloppes.

En conclusion : ce type de traitement de signal est d’autant plus efficace que la durée

d’intégration est élevée. La présence de « zéros », dont la localisation est liée au rapport

m/F permet d’éliminer des signaux de fréquence stationnaire.

Note : à la suite de cette présentation, on peut être surpris que le bruit, de nature

essentiellement aléatoire, ait été traité comme un signal sinusoïdal. L’approche aléatoire aurait

été beaucoup plus complexe en faisant appel à des concepts non développés ici alors que

l’approche utilisée ici permet de bien mettre en évidence l’action de la corrélation sur les

différentes composantes fréquentielles du bruit.

5.3.6.8 Un inconvénient majeur

L’étude précédente a été menée sous l’hypothèse énoncée au début du sous-paragraphe 5-3-6-4 que le signal reçu était en phase avec le signal d’analyse, autrement dit

que la corrélation du signal reçu était maximum. Or c’est loin d’être le cas dans la pratique et

le sous-paragraphe suivant donne une solution efficace mais qui était délicate à réaliser avant

l’avènement de l’informatique.

5.3.6.9 Une solution universelle…

Jusqu’à présent nous avons traité la corrélation sous sa forme mathématique et, dans le

cas de signaux exprimés sous forme de tension, nous nous sommes arrangés pour

normaliser les calculs (voir la relation (5-144)). Cependant, il arrive un moment où

l’électronicien mesure un résultat sous forme, en général, d’une tension. Or, comme nous

l’avons déjà dit et le rappelons ci-après, cette tension est proportionnelle au produit de la

tension d’analyse et de la tension reçue. Cette perte d’homogénéité est parfois cause d’erreur d’interprétation car, dans le cas de recherche de signal reçu, ce produit ne

correspond pas à une puissance.

Reprenons la relation (5-138) en supposant :

- que l’intégration s’étende de 0 à T.m

- que le signal d’analyse ait un décalage temporel nul (donc qu’il soit en

phase avec l’origine de l’intégration)

- que le signal reçu soit de phase quelconque

La relation de corrélation s’écrit :

T.

0

).F.2)).(sinF.2(sin(..T

)0(

m

avv dttt

m

V.VR

a (5-160)

82 82

Ce calcul a été développé plusieurs fois dans ce qui précède : à la fin du temps

d’intégration, le niveau obtenu est :

cos.2

)0( avv

V.VR

a (5-161)

Affectons alors un coefficient :

aVK

2 (5-162)

Note : un tel coefficient, fonction de aV est, à l’heure actuelle, de réalisation technique

aisée. Sa dimension est V-1

.

Grâce à ce coefficient, nous pouvons définir )0(v comme étant le niveau du signal

reçu lorsque le signal d’analyse a un décalage temporel nul :

cos.)0(.)0( VRKvavv (5-163)

Cette expression impose d’avoir une concordance de phase nulle entre le signal reçu

et le signal d’analyse pour connaître la valeur de V .

Recommençons cette opération, toujours avec le signal reçu avec sa phase mais

ici, en appliquant un décalage temporel 4/T au signal d’analyse.

Celui-ci peut alors s’écrire :

tVvtVv aaaa F.2cos. )4/T.(F.2sin. (5-164 )

La relation (5-160) devient :

Comme pour le cas du décalage nul, le développement trigonométrique aboutit à :

sin.2

)4/T( avv

V.VR

a (5-166)

et en définitive :

sin.)4/T(.)4/T( VRKvavv (5-167)

T..

0

).F.2)).(cosF.2(sin(..T

)4/T(

m

avv dttt

m

V.VR

a (5-165)

83 83

A partir des relations (5-163) et (5-167), la solution pour obtenir le niveau du signal

reçu, est évidente.

Il suffit de calculer l’expression :

Vvv )4/T²()0²( (5-168)

En conséquence, cette solution règle le problème du calage de phase, par contre, elle

présente l’inconvénient d’augmenter un peu l’impact du bruit. Ce problème pourra être

contourné par une augmentation de la durée d’intégration dans la mesure où les contraintes

d’expérimentation le permettent.

Remarque : deux valeurs du décalage de la fonction d’intercorrélation ont suffi pour extraire

le niveau du signal reçu quelle que soit sa phase par rapport au signal d’analyse. Sur le plan

technique les signaux d’analyse nécessaires pour obtenir ces deux points sont des signaux

trigonométriques déphasés de π/2 comme montré sur le schéma ci-dessous.

Note pour les électroniciens : la réalisation d’une fonction trigonométrique déphasée de π/2

par rapport à une autre fonction trigonométrique et de même niveau que celle-ci varie selon

les gammes de fréquence concernées. C’est, avec les multiplieurs, un point délicat de ce

système.

Attention : l’élévation au carré et la suite des calculs de la relation (5-168) se font sur le

résultat de l’intégration, c’est-à-dire sur les valeurs présentes à la fin de la durée T.m .

Autrement dit, comme la gestion du système est cyclique (de période T.m ) on dispose, si

nécessaire, de la durée de la période T.m suivante pour effectuer ces calculs.

Figure 5-29 : synoptique simplifié d’une détection synchrone indépendante de la phase.

On y retrouve le processus du calcul de deux valeurs de corrélation.

(en jaune, la voie « sinus » ; en bleu, la voie « cosinus » ; en vert, la partie commune)

V %

π/2

2

2

)F.2sin(. tV

T

0

m

T

0

m

tVa F.2sin. +

+

84 84

5.3.7 Quelques mots sur la gestion « discrète » de la corrélation


Au vu des cinq premiers paragraphes (le sixième étant, rappelons-le, un cas particulier

où le décalage n’a qu’une seule ou au plus deux valeurs), nous constatons que la corrélation

est une fonction qui nécessite un nombre élevé d’opérations mathématiques. Il faut en effet :

- pour une valeur du décalage temporel de la fonction d’analyse, calculer

l’intégrale du produit de cette fonction avec celle à étudier

- incrémenter d’une valeur infinitésimale le décalage temporel de la fonction

d’analyse

- recommencer la procédure jusqu’à l’obtention de la totalité de la fonction de

corrélation

Note : le résultat de l’opération pour un décalage donné définit le coefficient de corrélation

entre les deux fonctions pour ce décalage : si ce coefficient est nul les deux fonctions sont

orthogonales (évidemment, uniquement pour cette valeur du décalage).

En mathématiques, pour certains cas simples, ce processus peut être traité

analytiquement. Cela a été montré au sous-paragraphe 5-3-6-2 pour une fonction sinusoïdale

dont la fonction de corrélation est donnée relation (5-140).

En physique, les solutions sont diverses et variées, adaptées à la manière dont se

présentent les signaux. La filière « analogique » peut être envisagée (il existe d’excellents

multiplieurs quatre quadrants et intégrateurs). Elle ne pose pas de problème particulier pour

le calcul d’une valeur de décalage de la fonction de corrélation. Cependant le fait de devoir

recommencer l’opération après chaque période (ou multiple de période) du signal d’analyse,

après que ce dernier ait subi un décalage temporel, implique une gestion séquencée du

processus. Ceci incite à s’orienter vers une option « numérique».

5.3.7.2 Une précaution préalable concernant la durée d’analyse

Physiquement parlant, la corrélation de signaux à puissance moyenne finie, tels que

définis au paragraphe 5-3-3, est peu réaliste puisque ces signaux sont censés durer un temps

infini. Aussi nous nous bornerons à deux autres classes de signaux : celle des signaux à

énergie finie et celle des signaux périodiques.

Pour les signaux à énergie finie, le sous-paragraphe 5-3-2-8 a mis en évidence la durée de l’emprise temporelle des fonctions d’intercorrélation ou d’autocorrélation (donc

pour lesquelles ces fonctions ne sont pas nulles). Il est alors bon d’avoir les

conclusions du sous-paragraphe précité en mémoire lors du choix du décalage

temporel à explorer, si toutefois on en a la maîtrise.

85 85

Pour les signaux périodiques, il est logique de faire évoluer le décalage temporel , ,

(voir propriété 1 du sous-paragraphe 5-3-5-4):

- dans le cas de l’intercorrélation, sur la durée de la période des signaux à traiter

(s’ils sont de même période) ou de leur période multiple commune

- dans le cas de l’autocorrélation, sur la durée de la période du signal à traiter.

Il est bon de rappeler que, dans le cas de signaux périodiques, les résultats de la

corrélation peuvent se chevaucher d’une période sur l’autre, comme développé au

sous-paragraphe 5-3-5-3. Ceci est un problème majeur dans la mesure où l’on peut

être incapable de savoir si une valeur de la fonction de corrélation obtenue est à

affecter à la période actuelle, à celle qui la précède ou à celle qui la suit, et ce avec

toutes les conséquences sur l’analyse qu’une telle ambiguïté peut présenter. Dans le

concret de la physique, il est bon dans la mesure du possible, d’éviter ce

chevauchement (développé au sous-paragraphe 5-3-5-3) pour faciliter l’interprétation

des résultats, par un choix judicieux de la durée de la période des ou du signal à traiter.

5.3.7.3 Application de la numérisation au calcul de la fonction de

corrélation d’un signal à étudier et d’un signal d’analyse, tous deux

périodiques, et de périodes identiques

Nous avons choisi cet exemple et non pas un exemple concernant les signaux à énergie

finie, moins fréquents dans le domaine de l’électronique.

Les deux signaux, de période T , sont représentés chacun par N mots. La

valeur de ces mots, pour un signal, est prélevée à un instant donné et maintenue durant une

durée t telle que T/Nt (cette méthode est appelée « échantillonnage-blocage d’ordre

zéro »). Nous désignerons par k la variable discrète affectant t et permettant de décrire

l’évolution temporelle des signaux durant une période. On a donc N0 k .

Note 1 : prélever les signaux à des instants précis revient à ne prendre en compte que leur

évolution intervenant entre ces deux instants. Cela occulte des fluctuations de durée inférieure

à t et ne modifiant pas le niveau des signaux aux deux instants des prélèvements.. Sur le

plan mathématique, le signal a changé d’expression…mais c’est celui dont on dispose !

Note 2 : comme, selon la note précédente, la résolution temporelle des prélèvements est t ,

il est évident que le décalage temporel ne peut être inférieur à ce temps. Il peut lui être

supérieur mais ce serait perdre de l’information : aussi, nous choisirons t .

En vertu de la propriété 1 énoncée au sous-paragraphe 5-3-5-4, on en déduit qu’il faut

aussi N calculs d’une valeur de corrélation pour définir une période de la fonction de

corrélation. Désignons par p la variable discrète affectant et définissant le décalage

temporel de la fonction d’analyse par rapport à la fonction étudiée, on a aussi : N0 p .

86 86

Avant d’aller plus loin, exprimons les relations (5-112) et (5-113) sous forme discrète

en désignant par es le signal étudié et par as le signal d’analyse (quand il s’agit de

l’intercorrélation). Pour l’autocorrélation le signal d’analyse est es affecté du décalage.

- On obtient, pour la fonction d’intercorrélation :

- et pour la fonction d’autocorrélation :

Mais alors : on constate que le calcul peut s’effectuer avec les valeurs contenues dans une

seule période du signal étudié et du signal d’analyse.

- cette constatation est évidente pour le signal étudié puisque N0 k

- elle l’est moins pour le signal d’analyse de par la présence du terme )( pk

dans l’argument, mais si l’on se reporte à la note 2 du sous-paragraphe 5-3-5-1,

on peut effectuer une modification de l’adressage des mots dans les conditions

indiquées ci-dessous ce qui permet d’effectuer le calcul avec les mots contenus

dans une seule période du signal d’analyse.

Si N 0 pkpk et si N N pkpk

Impact de la discrétisation temporelle des signaux : nous venons de constater que les deux

signaux traités par corrélation pouvaient être limités à une période composée, pour chacun des

signaux, de N mots successifs. Une fois ces mots mémorisés dans des mémoires (qui sont,

dans ce cas, des registres à décalage) selon le séquencement imposé par la période des

signaux (et définissant t ), la notion de temps peut disparaitre en faveur de celle de

numérotation des mémoires des registres.

En effet, le paragraphe 6-1-1 de l’annexe, a justifié que les arguments des fonctions sont sans

dimension : ce qui définit la dimension d’un signal est la grandeur affectant sa fonction.

Rappel de la relation (5-113)

2/T

2/T

).().(.T

1)( dttftfR rrff rr

)).(()..(s.N.

1).(

1N

0

e tpkstktδ

pR

k

ess ee

(5-170)

Rappel de la relation (5-112)

2/T

2/T

).().(.T

1)( dttgtfR rrgf rr

)).(()..(s.N.

1).(

1N

0

e tpkstktδ

pR

k

ass ae

(5-169)

87 87

A titre d’exemple, si la fonction est sinusoïdale du temps,

elle s’écrit sous forme analogique: )T/.2sin( t

et devient, sous forme discrète : )N/.2sin( )).N/(..2sin()T/..2sin( kttktk

(5-171)

La numérotation (ou indexation) des mémoires sert de variable.

En conséquence : comme de plus t , les relations (5-169) et (5-170)

deviennent respectivement :

Une fois les deux signaux mémorisés, on peut effectuer le calcul de la fonction de

corrélation au rythme des moyens de calcul dont on dispose, rythme éventuellement variable

si besoin est.

Le nombre d’opérations à effectuer est considérable. De ces relations, on déduit aisément

que :

- pour une valeur du décalage, p , donnée, il faut exécuter :

- N multiplications

- 1N- additions

- 1 division

- ces nombres doivent évidemment être multipliés par N lors du relevé complet de la

fonction de corrélation recherchée. La durée de ce relevé est indépendante de la

période des signaux traités : elle est liée à la puissance du système informatique

utilisé. Pour des signaux de période courte (donc de fréquence élevée), ce relevé se

révèle donc particulièrement chronophage.

Dans la pratique :

- il est rare de disposer de systèmes (sauf en ce qui concerne les systèmes très

puissants) capables d’effectuer simultanément les N multiplications

correspondant au calcul d’une valeur du coefficient de corrélation. On est alors

amené à effectuer une gestion séquencée de ce calcul et donc de présenter à

chaque séquence, les deux mots à multiplier à un multiplicateur unique puis à un

additionneur qui se chargera de la sommation des produits successifs.

Les mots, présents dans les deux registres à décalage (celui contenant le signal

étudié et celui contenant le signal d’analyse) sont décalés d’un emplacement

mémoire à chaque séquence, si bien qu’à la fin des N séquences, les registres

)().(s.N

1)(

1N

0

e pkskpR

k

ess ee

)().(s.N

1)(

1N

0

e pkskpR

k

ass ae

(5-171)

(5-172)

88 88

sont vides ! Sauf si l’on utilise des registres « circulaires » qui réinjectent en

entrée chaque mot sortant (voir figure 5-30).

- après chaque calcul d’une valeur du coefficient de corrélation, il reste à

incrémenter d’un emplacement (variable p ) les mots du signal d’analyse (en

effet, après les N décalages, les deux registres sont revenus dans leur état

initial).

Ce descriptif est succinct mais c’est la base du calcul de la fonction de corrélation de

signaux numérisés.

5.3.7.4 Que se passe-t-il si les signaux numériques n’ont pas été

strictement numérisés au même instant

Cette situation se présente en particulier quand les deux signaux sont identiques et

issus de systèmes différents et que l’on désire « caler » l’un des systèmes sur l’autre.

Une solution consiste à numériser l’un des signaux à une cadence multiple de t/1

(par exemple q fois avec q positif et entier), ce qui produit, pour ce signal, des échantillons

tous les qt / et permet d’induire des décalages temporels de cette même valeur. Le nombre

de valeurs de corrélation à calculer sera q fois supérieur mais le maximum de la corrélation

sera connu avec une précision temporelle qt / qui permettra un calage nettement meilleur.

Cette procédure se fait en général lors de la mise en service des systèmes. Le temps

« perdu », lié à l’augmentation de durée des premiers relevés de corrélation, destinés à la

synchronisation des systèmes, est négligeable. Après cette phase, on peut reprendre les

valeurs de t et .

Note pour les électroniciens : il faut prendre en compte, lors de l’exécution d’une

autocorrélation, le nombre d’inversions de phase que subissent les signaux au cours de leur

traitement électronique sous peine de chercher le maximum de corrélation sous une polarité

erronée et de se caler sur un pseudo maximum.

m0 m1 m2

m1 m2 m0

Entrée des

données

Décalage

circulaire

élémentaire

Figure 5-30 : registre à décalage circulaire de trois mots.

- en haut, après l’entrée des trois mots du signal

- en bas, après le premier décalage

89 89

5.4 LA FONCTION D’AUTOCORRELATION AU SERVICE DE L’OBTENTION DE LA

« DENSITE SPECTRALE » D’ENERGIE OU DE PUISSANCE

5.4.1 Introduction

Il arrive parfois que l’on ne soit pas en mesure de calculer les coefficients de Fourier

d’une fonction périodique ou l’intégrale de Fourier d’une fonction à énergie finie ou à

puissance moyenne finie mais que l’on connaisse leur fonction d’autocorrélation.

On peut montrer que :

Cette caractéristique se retrouve aussi pour les processus aléatoires (non traités dans ce

document) stationnaires sous le nom de théorème de Wiener-Khintchine.

5.4.2 Approche à partir du cas des fonctions périodiques réelles

5.4.2.1 Présentation des calculs à effectuer pour obtenir les coefficients

de Fourier de la fonction d’autocorrélation

Pour comprendre cette équivalence, nous allons partir du cas, simple à développer et si

fréquemment rencontré en électronique, des fonctions périodiques réelles.

Repartons de la relation (5-135) rappelée ci-contre

sous la référence (5-173) : elle décrit la fonction d’auto

corrélation à partir des coefficients complexes du

développement en série de Fourier de la fonction étudiée.

Il faut remarquer que la variable est ici le décalage temporel dont la dimension est

« s » (donc le temps, comme dans le développement en série de fonctions temporelles) : la

variable du développement en série de Fourier sera donc ici encore la fréquence (à condition

que la restitution de cette fonction se fasse à débit constant, ce qui n’est pas obligatoirement le

cas lors de l’approche discrète présentée paragraphe 5-3-7).

)F..2cos(..2)(

1

220

p

rprff pffRrr

(5-173)

- 1) la Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation d’une fonction à

énergie finie est la densité spectrale d’énergie (DSE) de cette fonction

- 2) la Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation d’une fonction à

puissance moyenne finie est la densité spectrale de puissance (DSP) de cette

fonction

- 3) le développement en série de Fourier de la fonction d’autocorrélation d’une

fonction périodique permet de retrouver la puissance contenue dans chacune

des composantes de cette fonction.

90 90

La fonction d’autocorrélattion représentée relation (5-173) est :

- bâtie à partir du carré du module de coefficients complexes

- une somme de fonctions paires (puisque, en dehors de la composante continue,

elle est composée de fonctions trigonométriques cosinusoïdales)

- unilatérale (puisque le rang de ces fonctions n’est pas négatif)

- une somme d’harmoniques de 1/TF (où T désigne la périodicité de la

fonction initiale (ainsi que, ne l’oublions pas, de la fonction d’autocorrélation).

Cherchons les coefficients du développement en série de Fourier sous forme complexe

de cette fonction (ces coefficients s’étendent alors de -∞ à +∞).

(Pour éviter toute confusion, nous affecterons ces coefficients de l’indice « A »).

Le sous-paragraphe 4-1-3-3 du chapitre 4 permet d’écrire, par sa relation (4-21)

appliquée à la fonction d’autocorrélation traitée ici, que :

.).(.T

12/T

2/T

F..2.

deRc A

rrA

pjffp (5-174)

et en remplaçant )(rr ffR par sa valeur, issue de la relation (5-173), il vient :

5.4.2.2 Développement des calculs

Pour une valeur de Ap donnée définissant un coefficient complexe de Fourier :

2/T

2/T1

220

2/T

2/T1

220

2/T

2/T

F..2.

1

220

)..F..2sin(.)F..2cos(..2 .T

1.

)..F..2cos(.)F..2cos(..2 .T

1

..)F..2cos(..2.T

1

dppffj

dppff

depffc

A

p

rpr

A

p

rpr

pj

p

rprpA

A

(5-175)

91 91

le panneau rouge définit la valeur moyenne sur l’intervalle 2/T , 2/T du

produit )F...2sin( Ap et de l’ensemble des termes exprimés entre les crochets :

- pour 0Ap , le résultat de la valeur moyenne est évidement nul pour tous les

produits puisque 0)F...2sin( Ap

- pour 0Ap :

- la valeur moyenne du produit avec 20rf est évidement nulle sur l’intervalle

d’intégration considéré

- les fonctions cosinusoïdales sont toutes orthogonales avec la fonction

)F...2sin( Ap sur l’intervalle d’intégration considéré. L’intégrale de leur

produit avec cette fonction est donc nulle quel que soit p .

L’ensemble des moyennes définies dans le panneau rouge est nul.

le panneau bleu définit la valeur moyenne sur l’intervalle 2/T , 2/T du

produit )F...2cos( Ap et de l’ensemble des termes exprimés entre les crochets :

- pour 0Ap , 1)F...2cos( Ap et les fonctions entre crochets ne sont

pas modifiées par le produit :

- 20rf devient la valeur moyenne relative à ce terme sur cet intervalle

- la valeur moyenne des fonctions cosinusoïdales sur cet intervalle, est nulle

En conséquence : 200 rA fc

- pour 0Ap :

- la valeur moyenne du produit avec 20rf est évidement nulle sur l’intervalle

d’intégration considéré

- la valeur moyenne du produit des fonctions cosinusoïdales, sous le signe

somme, avec la fonction F...2cos Ap peut être calculée pour une valeur de

p donnée en développant le produit :

).F)..(2cos().F)..(2cos(.

2

1

).F..2cos()..F..2cos(

pppp

pp

AA

A

Relation (5-176-1) Relation (5-176-2)

92 92

A ce propos, il ne faut pas oublier que p est toujours positif (d’après les

bornes du symbole « somme » de la relation (5-175)). Or on sait que la valeur

moyenne sur l’intervalle considéré de ces deux fonctions (relation (5-176-1)

et (5-176-2)) est toujours nulle sauf quand leur argument vaut 0 . En

conséquence :

- pour 0Ap , l’argument de la relation (5-176-1) ne peut jamais

s’annuler et celui de la relation (5-176-2) vaut 0 uniquement quand

App : c’est le seul cas de l’ensemble des fonctions cosinusoïdales

qui donne un résultat non nul et égal à 2

ArppA fc

- pour 0Ap , l’argument de la relation (5-176-2) ne peut jamais

s’annuler et celui de la relation (5-176-1) vaut 0 uniquement quand

App : c’est le seul cas de l’ensemble des fonctions cosinusoïdales

qui donne un résultat non nul et égal à 2

AprpA fc .

5.4.2.3 Synthèse des résultats

D’après ce qui précède, les coefficients pAc sont réels et ne sont jamais négatifs

Ces coefficients présentent une symétrie paire par rapport à l’ordonnée

Présentation bilatérale des résultats : c’est la plus souvent rencontrée en mathématiques dans la mesure où les mathématiciens aiment étendre leurs résultats

dans l’intervalle ; .

En faisant la somme de coefficients de Fourier, pAc , de la fonction d’autocorrélation

de la fonction périodique réelle étudiée, )(tf , puis en les remplaçant par leurs

valeurs respectives déterminées ci-dessus, on peut écrire :

1

220

1

2

1

0

1

A

A

A

A

AAA

p

rpr

p

pr

p

pA

p

pAA

p

pA

fff

cccc

(5-177)

93 93

Or la relation (5-132) rappelée sous la référence (5-178) :

2

)(

2

prrp ff (5-178)

permet d’écrire : 2

)(

2

prprff et de compacter cette somme sous la forme :

nor

T

-p

rp

p

pA Pdttffc

A

A

A

2/

T/2

2

).²(.T

1 (5-179)

Nous retrouvons l’expression de la puissance moyenne normalisée de la fonction

)(tf exposée au paragraphe 4-1-7 du chapitre 4 (après renomination des

paramètres).

Présentation unilatérale des résultats : cette représentation est souvent rencontrée

en électronique

si l’on ne passe pas par l’étape de la généralisation des résultats à l’intervalle

; et que l’on réorganise les termes de la relation (5-177) à partir de la

relation (5-178), il vient :

nor

T

-p

rpr

p

pAA Pdttfffcc

A

A

A

2/

T/2 1

220

1

0 ).²(.T

1.2 .2 (5-180)

- Observation : les facteurs « 2 » qui apparaissent sont liés au fait que les

coefficients de Fourier de la fonction )(tf ont été calculés dans le domaine

complexe et non dans le domaine réel (voir à ce propos le paragraphe 4-1-3 du

chapitre 4).

5.4.2.4 Quelques observations

si les coefficients complexes rpf de Fourier de la fonction réelle )(tf ne sont pas

accessibles ou le sont difficilement et si par contre, on peut connaître les coefficients de

Fourier pAc de sa fonction d’autocorrélation, on peut en déduire trois observations :

observation 1 (fondamentale) : comme ces coefficients correspondent au carré d’un module,

donc à la puissance normalisée de chaque composante de )(tf , l’information de phase est

perdue mais, faute de mieux…on dispose du carré du niveau de chaque rang de )(tf .

94 94

Observation 2 : on retrouve, dans la relation (5-179), sur l’intervalle ; , les deux

représentations de la puissance :

- soit sous forme fréquentielle

- soit sous forme temporelle

autrement dit, on vérifie l’identité deParseval.

Observation 3 : cette même relation fait appel à la sommation de la puissance normalisée de

chaque composante fréquentielle, de par la présence du terme2

Arpf (voir paragraphes 4-1-5

à 4-1-7 du chapitre 4 et en particulier la relation (4-30)). La notion de « densité » est un peu

un abus de langage puisque chaque composante correspond à une fréquence parfaitement

localisée. Cependant, nous retrouverons la justification de cette notion dans les deux

paragraphes suivants qui se basent sur l’intégrale de Fourier.

Un exemple fondamental : il concerne les fonctions pseudoaléatoires et sera développé paragraphe 5-4-5.

5.4.3 Approche de la Densité Spectrale de Puissance de fonctions réelles à

puissance moyenne finie


Pour le cas des fonctions périodiques, il était judicieux de déterminer les coefficients

de Fourier du développement en série de la fonction d’autocorrélation des fonctions

périodiques concernées. En effet, cette fonction d’autocorrélation est, elle-même, périodique

et sa transformée de Fourier est une série de composantes fréquentielles

« monochromatiques ». Ceci a fait l’objet du paragraphe 5-4-2.

En ce qui concerne les fonctions à puissance moyenne finie, nous repartirons de la

définition donnée paragraphe 5-4-1 :

Note : la fonction représentant la densité spectrale de puissance sera désignée par :

)( fp (Φ est le symbole de la lettre majuscule grecque « phi »).

La Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation d’une fonction réelle à

puissance moyenne finie est la densité spectrale de puissance (DSP) de cette fonction.

95 95

5.4.3.2 Rappel des relations nécessaires pour la démonstration

Rappelons que :

- pour des considérations de convergence d’intégrale, la

relation initiale de la fonction d’autocorrélation est

légèrement modifiée dans le cas des fonctions à puissance

moyenne finie, et devient : (reprise de la relation (5-103)

du paragraphe 5-3-3 et renumérotée (5-181))

- la puissance normalisée d’une telle fonction se retrouve

en donnant une valeur de décalage temporel , nulle

dans sa fonction d’autocorrélation : (reprise de la

relation (5-104) du paragraphe 5-3-3 et renumérotée

(5-182))

- la Transformée de Fourier Directe s’écrit : (reprise de la

relation (5-6) du paragraphe 5-2-3 et renumérotée (5-183))

- la Transformée de Fourier Inverse s’écrit : (reprise de la

relation (5-7) du paragraphe 5-2-4 et renumérotée (5-184))

5.4.3.3 Calcul de la Densité Spectrale de Puissance

En repartant de la définition du sous-paragraphe 5-4-3-1, nous pouvons écrire, en

adaptant la relation (5-183) non plus à la variable temps mais à la variable décalage temporel:

-

..2 .).()( deRf fjffp (5-185)

et la relation inverse (5-184) permet d’obtenir :

-

..2 .).()( dfefR fjpff

(5-186)

En posant 0 dans cette relation et en tenant compte de la relation (5-182), il vient :

2/T

2/TT

).().(.T

1lim)( dttftfR ff

(5-181)

-


(5-183)

norff PdttfR

2/T

2/TT

).²(.T

1lim)0(

(5-182)

-


(5-184)

norffpff PdttfRdffR

2/T

2/TT

-

).²(.T

1lim)0().()0(

(5-187)

96 96

5.4.3.4 Propriétés de la Densité Spectrale de Puissance

- La relation (5-187) montre bien que )( fp représente une densité de puissance

et que l’on retrouve de nouveau l’identité de Parseval, autrement dit que l’on

retrouve la puissance moyenne finie du signal aussi bien par l’approche

fréquentielle que par l’approche temporelle.

- Si )(tf est une fonction réelle :

- la propriété 4 du sous-paragraphe 5-3-3-3 de ce chapitre-ci montre que sa

fonction d’autocorrélation est paire donc que : )()( ffff RR

- le sous-paragraphe 5-2-6-2 de ce même chapitre montre aussi qu’alors la

Transformée de Fourier d’une telle fonction est réelle et paire donc que :

)()( ff pp (5-188)

- Cette densité spectrale de puissance ne peut jamais être négative car cela induirait,

localement, une puissance négative

- Dans le cas d’une fonction sans dimension, sa fonction d’autocorrélation est elle-

même sans dimension (propriété 5 du sous-paragraphe 5-3-3-3) et la relation de

définition de la densité spectrale de puissance (5-185) permet de déduire que sa

dimension est « s » (voir « observation importante » en annexe, paragraphe 6-1-2)

autrement dit Hz-1

. Ceci correspond bien à une densité, par rapport à la

fréquence, d’une puissanc moyenne finie normalisée.

- En électronique, où la dimension du signal étudié est généralement exprimée

en volt, la dimension de la densité spectrale sera : V².Hz-1

. Il ne s’agit pas, à

proprement parler, d’une puissance physique mais du résultat d’un traitement

effectué sur un signal exprimé sous forme de tension. L’emploi du terme

« puissance » est, en quelque sorte, un abus de langage.

5.4.3.5 Une digression concernant le concept de densité spectrale de

puissance adapté aux mesures de bruit en électronique

Bref rappel concernant le « bruit blanc » : ce bruit est dit « blanc » par analogie à la

lumière blanche qui utilise toutes les fréquences du spectre lumineux visible. Il s’agit d’un

bruit dont la densité spectrale de puissance est uniforme quelle que soit la fréquence. C’est le

bruit électronique de plus fort niveau sauf en basse fréquence (en dessous de quelques

kilohertz) où il est noyé dans le bruit dit « en 1/F » et en très haute fréquence (au dessus du

gigahertz).

On conçoit que la notion de densité spectrale de puissance devient alors une aide

appréciable à la métrologie électronique. Mais ce n’est pas, à strictement parler, d’une densité

dont il s’agit puisque cette puissance ne peut, physiquement parlant, qu’être évaluée sur une

bande de fréquence donnée. Cependant comme cette « densité » est constante, il suffit de dire

sur quelle bande de fréquence elle est évaluée. Dans la pratique, on peut la connaître soit :

- par mesure à l’aide d’un analyseur de spectre

- par les fiches de caractéristiques des composants fournies par les constructeurs.

97 97

Les paramètres : désignons par Hzbp 1 (de dimension W.Hz-1

), la puissance de bruit

ramenée à une bande passante de 1 Hz (en fait, ce seront des sous-multiples du watt qui seront

utilisés, vu la très faible valeur de cette puissance).

Pour une bande de fréquence donnée, f , si la densité spectrale de bruit reste

constante, la puissance de bruit s’écrit :

W .1 fpp Hzbfb

Attention : c’est donc la puissance du bruit qui est proportionnelle à la bande de fréquence et

non la tension qui, par ailleurs, dans le cas du bruit répond aux caractéristiques statistiques

des signaux aléatoires (non traités ici).

Etant donné les très faibles valeurs de cette puissance par Hertz (avant amplification,

les ordres de grandeurs sont de l’ordre de l’attowatt soit 10-18

W), on préférera utiliser le

dBm.

Rappel sur le dBm :

- dBm 0 représente une puissance de mW 1 et ce, quelle que soit la valeur de la

résistance aux bornes de laquelle elle est dissipée.

- le passage de Watt en dBm se fait à l’aide de la relation :

dBm1

log.10dBm301

log.10 1010

mw

mW

w

WdBm

PPP

selon que la puissance est exprimée en Watt ou en milliwatt.

Note : on peut être surpris de la présence d’un dénominateur, apparemment sans utilité, dans

les expressions logarithmiques : il ne faut pas oublier que le logarithme est sans dimension et

que le dénominateur indique par rapport à quelle valeur de la grandeur le numérateur est

exprimé. Le dernier exemple de ce sous-paragraphe en donnera une illustration.

Exemples : voici deux exemples de la même mesure vue de manières différentes :

- si nous connaissons la puissance de bruit sur une bande de fréquence de Hz1

exprimée en dBm, soit ici dBm1601, HzbdBmp (0,1 aW ou 10-19

W), sur

une bande passante de kHzf 100 , nous obtiendrons :

dBm1101

10log.10160

5

10,

fbdBmP

- si la même valeur de puissance de bruit est définie sur une bande de fréquence de

Hz100 exprimée en dBm, soit ici dBm140100, HzbdBmp (10 aW ou

10-17

W), sur une bande passante de kHzf 100 , nous obtiendrons :

dBm110100

10log.10140

5

10,

fbdBmP

98 98

En conclusion de ce paragraphe sur la DSP : l’approche de la DSP par la métrologie est

très différente de celle présentée par l’autocorrélation. C’est aussi la plus utilisée par les

praticiens de l’électronique…

5.4.4 Approche de la Densité Spectrale d’Energie de fonctions réelles à

énergie finie


La démarche est similaire à celle employée pour la DSP et son développement sera

donc réduit.

Note : la fonction représentant la densité spectrale d’énergie sera désignée par :

)( fe

5.4.4.2 Rappels et calcul de la Densité Spectrale d’Energie

- Rappel de la fonction d’autocorrélation d’une fonction )(tf à

énergie finie (relation (5-85) renumérotée (5-189)). L’énergie de

la fonction étant limitée, l’intégrale ne diverge pas et il n’y a pas

d’adaptation à faire. Ceci n’était pas le cas pour la DSP.

- Rappel du résultat de cette corrélation pour un décalage

temporel nul (relation (5-86) renumérotée (5-190)).

Attention : ne pas confondre Wnor (énergie normalisée) avec W du sous-

paragraphe précédent qui est le symbole de l’unité de puissance.

Grâce à la relation (5-183) la densité spectrale d’énergie prend, d’après sa définition,

la forme :

-

..2 .).()( deRf fjffe (5-191)

et la relation inverse, (5-184), permet d’écrire :

-

..2 .).()( dfefR fjeff

(5-192)

La Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation d’une fonction réelle à énergie

finie est la densité spectrale d’énergie (DSE) de cette fonction.

dttftfR ff ).().()(

(5-189)

norff WdttfR

).²()0(

(5-190)

99 99

En posant 0 dans cette relation et en tenant compte de la relation (5-190), il vient :

5.4.4.3 Propriétés de la Densité Spectrale d’Energie

- La relation (5-193) montre bien que )( fe représente une densité d’énergie et

que l’on retrouve l’énergie du signal aussi bien par l’approche fréquentielle que

par l’approche temporelle.

- Si )(tf est une fonction réelle :

- la propriété 4 du sous-paragraphe 5-3-2-6 de ce chapitre-ci montre que sa

fonction d’autocorrélation est paire donc que : )()( ffff RR

- le sous-paragraphe 5-2-6-2 de ce même chapitre montre aussi qu’alors la

Transformée de Fourier d’une telle fonction est réelle et paire donc que :

)()( ff ee (5-194)

- Cette densité spectrale d’énergie ne peut jamais être négative car cela induirait,

localement, une énergie négative

- Dans le cas d’une fonction sans dimension, sa fonction d’autocorrélation a le

temps pour dimension (propriété 5 du sous-paragraphe 5-3-2-6) et la relation de

définition de la densité spectrale d’énergie (5-191) permet de déduire que sa

dimension est « s² » (voir « observation importante » en annexe, paragraphe 6-1-2)

autrement dit « s.Hz-1

», ce qui correspond bien à une densité, par rapport à la

fréquence, d’une énergie finie normalisée.

- En électronique, où la dimension du signal étudié est généralement exprimée

en volt, la dimension de la densité spectrale sera : V².s.Hz-1

. Il ne s’agit pas, à

proprement parler, d’une énergie physique mais du résultat d’un traitement

effectué sur un signal exprimé sous forme de tension. L’emploi du terme

« énergie» est, en quelque sorte, un abus de langage.

Attention : pour la propriété suivante ainsi que le sous-paragraphe ci-après, nous reprenons la

désignation de la fonction utilisée dans le paragraphe 5-2 concernant l’intégrale de Fourier

c’est-à-dire )(tg et non )(tf . Ceci permet d’éviter une représentation de la Transformée

de Fourier, pour le moins ambiguë, du type )( fF , F ayant systématiquement été affecté à

la fréquence.

- si )(tg est réelle on peut montrer que :

2

)()( fGfe (5-195)

Le sous-paragraphe qui suit en est une illustration.

Note : cette propriété ne se retrouve pas dans le cas de la DSP.

norffeff WdttfRdffR

).²()0().()0(

-

(5-193)

100 100

5.4.4.4 Retrouvons le carré du module de la Transformée de Fourier

d’une fonction à énergie finie, grâce à la densité spectrale d’énergie

Rappelons que cette fonction d’autocorrélation est :

- nulle sauf dans l’intervalle T;T

- dans cet intervalle, les relations (5-97) et (5-98) peuvent être regroupées sous la

forme: )T².()( ARgg : il s’agit donc d’une fonction paire.

Dans ces conditions, la relation (5-17) du sous-paragraphe 5-2-6-2, appliquée à la

relation (5-191) permet d’écrire :

et la DSE de la fonction « porte » devient :

Après traitement des bornes d’intégration, les termes contenus dans les encadrés 1 et

3, égaux, s’annulent de par la présence du signe « - » devant l’encadré 3.

Il reste l’encadré 2. Après application des bornes d’intégration et en tenant compte de

la présence du signe « - » le précédent, son numérateur devient :

Figure 5-31 (rappel de la figure 5-17) : fonction d’autocorrélation de la fonction

« porte » (décrite figure 5-16a), de niveau A et s’étendant de –T/2 à +T/2.

Rgg (τ) A².T

0 τ

+T -T 2.T

A².(T-│τ│) A².(T-τ)

T

0

T

0

T

0

)...2cos(.)...2cos(.T²..2

)...2cos().T(²..2)(

dfdfA

dfAfe

(5-196)

Rappel : sachant que la primitive de : xx cos. est : xxx sin.cos , on en

déduit que la primitive de : xax .cos. est : xaxaxaa .sin...cos. 12

T

0

T

0

1T

0

T..2sin..

.2

1..2cos.

)².2(..2sin)

.2(²..2)(

f

ff

ff

fAfe

1 3 2 (5-197)

T..2.sin² T..sin²T..²cos1 T..2cos1 ffff

(5-198)

101 101

Et, en définitive, en incorporant la relation (5-198) dans l’encadré 2 de la relation

(5-197), la densité spectrale d’énergie de la fonction « porte » s’écrit :

.f)²

fA

π.f)²(

fAfe

(

T..²sin².

2

T..²sin.2²..2)(

En multipliant numérateur et dénominateur par T² , nous pouvons mettre en évidence

la fonction sinus cardinal et obtenir :

Or la valeur de )( fG trouvée au sous-paragraphe 5-2-7-1 comme exemple de

transformée de Fourier de la fonction « porte » est (relation (5-56)) :

).T(sinc.T.)( fAfG (5-200)

La conclusion est évidente et la relation (5-195) est vérifiée. Notons toutefois

l’absence de l’opérateur « module » dans cette dernière relation puisque, dans cet exemple,

)( fG est réel.

5.4.5 Une application qui se base sur de nombreux développements exposés

dans ce document afin d’aboutir aux Séquences Pseudo-Aléatoires

5.4.5.1 Note sur la fonction « sinus cardinal »

Cette fonction a souvent été rencontrée dans ce document pour faciliter la présentation

de résultats cependant elle présente des propriétés qu’il est bon de souligner avant d’aborder

ce paragraphe. Elle est représentée figure 5-32a et son module, figure 5-32b.

- Sa formulation mathématique est :

.

).sin()(inc s (5-201)

- la relation précédente permet, en changeant le signe de de montrer que cette

fonction est paire : cela se vérifie sur la figure 5-32a

- pour le cas particulier où 0 , cette fonction présente une indétermination

que l’on peut lever par différentes méthodes :

- par « prolongement par continuité » comme il est présenté au sous-paragraphe

3-4-3-4 du chapitre 3

- par la « règle de l’Hôpital » (en dérivant indépendamment

numérateur et dénominateur et en réappliquant 0 )

– en prenant le développement limité du numérateur aux

alentours de 0

).T²(sinc.T²².T.(

T..²sinT².².)( fA

)².f

fAfe

(5-199)

102 102

Par les trois méthodes le résultat est évidemment identique et donne : 1)0(inc s

- cette fonction présente un zéro pour toutes les valeurs entières de sauf

évidemment pour 0 . La zone séparant deux zéros consécutifs s’appelle

« lobe » et celle englobant 0 , de largeur double, s’appelle « lobe principal »

- le maximum (en valeur absolue) de chaque lobe secondaire est à proximité de son

milieu (à cet endroit en effet 1).sin( ). De par la présence du

dénominateur, pour de faibles valeurs positives de , ce maximum (en valeur

absolue) se situe un peu avant le milieu. La parité de la fonction permet d’étendre

cette observation au domaine des négatifs.

Cas particulier du lobe principal : ce sera la zone qui nous interessera dans la suite

de ce paragraphe. Sa partie positive est illustrée figure 5-33.

1

0,5

0

-0 ,5 1

0,5

0

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

α

α

sinc(α)

│sinc(α)│ Figure 5-32b

sinc

│sinc│

Figure 5-32a

Figures 5-32 : représentation de la fonction « sinus cardinal » dans l’intervalle [-4 ;+4]

- figure 5-32a (valeurs numériques de l’ordonnée en bleu) : fonction effective

- figure 5-32b (valeurs numériques de l’ordonnée en rouge) : valeur absolue

de la fonction (représentation la plus rencontrée)

α

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

-1 dB

α=0,26

Figure 5-33 : zoom sur la partie positive du lobe principal de la fonction sinus cardinal

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

103 103

Ce qui importe, pour la suite de ce paragraphe, c’est de chiffrer l’écart, en fonction de

, de la fonction sinus cardinal par rapport à son maximum (donné pour 0 et qui vaut

alors l’unité).

- dans l’intervalle de tel que 08,0;08,0 , la fonction sinc ne descend

pas en dessous de 99,0

-

- dans l’intervalle de tel que 44,0;44,0 , la fonction sinc ne descend

pas en dessous de 71,0 (soit un peu moins de -3 dB)

On peut en conclure (encadré bleu) que dans une zone de un quart de lobe de part et

d’autre de l’ordonnée, la variation de la fonction sinus cardinal est, techniquement parlant et ce, pour beaucoup d’applications, peu gênante.

5.4.5.2 Point de départ de l’utilisation de la fonction « sinus cardinal »

En électronique, il est fréquent d’effectuer un relevé de fonction de transfert d’une

chaîne de traitement de signal. Le plus souvent, surtout pour des questions de précision, ce

relevé se fait point par point ou plus exactement valeur de fréquence par valeur de fréquence,

ceci permettant d’effectuer la mesure pour des valeurs caractéristiques (fréquence d’accord,

de réjection, de coupure à -3 dB etc.).

Un générateur et un oscilloscope y pourvoient et permettent aussi d’accéder au

déphasage introduit par la chaîne, paramètre permettant d’obtenir avec une excellente

précision la localisation de certains points spécifiques de la fonction de transfert.

Mais cette méthode, par ailleurs précise, est longue et fastidieuse et pas toujours adaptée à une vérification rapide des caractéristiques de la chaîne. Dans certains cas elle n’est

pas adaptée, comme en télécommunications où la présence de trajets multiples n’est pas

détectée et fausse les mesures.

L’idéal serait de disposer d’un signal possédant l’infinité des composantes

fréquentielles ou tout au moins les composantes nécessaires à l’analyse.

Plusieurs signaux répondent à ce besoin ou s’en rapprochent.

dans l’intervalle de tel que 25,0;25,0 , la fonction sinc ne descend pas

en dessous de 90,0 (soit un peu moins de -1 dB)

104 104

5.4.5.3 Une première solution : la « fonction porte »

L’étude de la « fonction porte » (appelée aussi fonction ou signal rectangulaire) a été

développée au paragraphe 5-2-7 comme un exemple de l’intégrale de Fourier. Elle est réelle et

paire. Elle est représentée figure 5-6 et, sa transformée de Fourier, par la relation (5-56) : ces

informations sont reprises respectivement figure 5-34 et relation (5-202).

Note : pour pouvoir reprendre dans la suite de ce paragraphe le symbole T pour désigner la

période, à partir de maintenant, nous désignerons la largeur de la fonction rectangle par .

Si nous nous reportons au sous-paragraphe précédent, nous pouvons remplacer par

f. (où f est la variable, ici continue, donc la grandeur exprimée sur l’abscisse des

figures 5-32 et 5-33). Nous pouvons en déduire, en nous basant sur l’encadré bleu, que dans la

gamme de fréquences : )/25,0();/25,0( le niveau varie au maximum de -1 dB.

Cette représentation est peu pratique et s’éclaircit en posant :

/1FL (5-203)

cette fréquence correspond à celle du premier zéro de la fonction sinc : c’est une

valeur aisément repérable.

Nous pourrons alors écrire que dans la gamme :

LL F.25,0F.25,0 f (5-204)

le niveau de la représentation fréquentielle de la « fonction porte » varie au maximum

de -1 dB.

Mais plus nous voulons augmenter la gamme de fréquences, plus il faut augmenter

LF donc diminuer ce qui a pour conséquence de diminuer le niveau de l’ensemble des

composantes fréquentielles (relation (5-202)) ainsi créées.

On peut augmenter A pour compenser cette diminution de niveau mais, si cela ne

gêne pas les mathématiciens, techniquement parlant, augmenter le niveau d’un signal

rectangulaire a des limites !

Enfin, sauf dans des applications particulières, un signal unique n’est pas très facile à

traiter (sauf si on l’enregistre et qu’on le traite en temps différé).

g(t)

A

0 -∞← -Δ/2 + Δ /2 → +∞ t

Figure 5-34 : fonction porte de durée Δ et de niveau A

(5-202)

).(inc.. fsA G(f)

105 105

5.4.5.4 Périodisation de la « fonction porte »

Cette fonction est la reproduction indéfinie de la « fonction porte » et son impact sur

une fonction électronique à étudier, peut être analysé aussi bien par oscilloscope (dans le

domaine temporel) que par analyseur de spectre (dans le domaine fréquentiel).

Cette fonction est une fonction périodique, réelle et paire.

Nous pouvons nous baser, pour connaître sa représentation spectrale, sur les

développements en série de Fourier présentés sous forme trigonométrique de fonctions réelles

et paires traités au chapitre 3 et en particulier sur les relations (3-54) à (3-56) du sous-

paragraphe 3-7-5-1 rappelées ci-après et renumérotées (5-205) à (5-207) :

(la gamme de fréquences s’étend uniquement dans le domaine positif, sans oublier toutefois la

composante continue qui, techniquement parlant, est parfois une gêne).

Si nous nous reportons à la figure 5-35, nous pouvons limiter la borne supérieure des

deux intégrales à 2/ puisque la fonction est nulle sur le reste de la demi-période positive,

donc jusque 2/T .

En ajoutant l’indice g pour ces nouveaux coefficients et en les exprimant aussi par

rapport à 1/TF , F représentant la fréquence de répétition du rectangle, nous obtenons :

Figure 5-35 :

fonction porte périodisée de niveau A, de durée Δ et de période T.

La symétrie par rapport à l’ordonnée apparaît clairement : c’est la parité paire.

g(t)

A

0

-Δ/2 + Δ /2

t → + ∞ -∞←

-T/2 +T /2

T

2/T

0

0 ).(.T

2dttga 0n

2/T

0

b ..F..2cos).(.T

4

dttntgan

(5-205) (5-206) avec : (5-207) 0n

(5-208) F..T

...T

20

2/

0

0

AAadtAa gg

106 106

et enfin : 0gnb (5-210)

La puissance contenue dans une composante voisine de l’origine (donc pour 1n et

pour le produit F. faible) vaut :

F)²...(2F)²/2...2(1 AAP (5-211)

(n’oublions pas en effet que les coefficients de Fourier définissent les valeurs crêtes

des composantes trigonométriques et non leur valeur efficace et que 01 gb )

La fonction obtenue n’est plus dite à énergie normalisée finie comme pour la

« fonction porte » (unique) mais à puissance moyenne normalisée finie. Elle vaut ici :

)T/².( APnor . (5-212)

Note pour les électroniciens : la relation (5-209) montre que, dans le cas d’un signal carré

(donc pour 2/1T/ ), le niveau crête de la composante fondamentale (donc pour

1n ) vaut : )/2.(1 Aag . Autrement dit la valeur crête-crête ( )/4.( A ) du

fondamental est supérieure de plus de 25% au niveau du signal qui l’a engendré (à condition

évidemment que le gain de la chaîne, concernant le fondamental, soit de 1 !). A première vue,

cela peut surprendre mais il ne faut pas oublier l’action des composantes de rang supérieur.

En conséquence : le spectre n’est plus continu mais composé d’une infinité de composantes

équidistantes, de fréquences uniquement positives. Elles sont toutes séparées de la fréquence

F (donc de l’inverse de la périodicité T de la fonction). Cette valeur de fréquence définit la

résolution fréquentielle de l’analyse. La variable d’incrémentation de cette fréquence est n .

Dans tous les sous-paragraphes qui suivent et à condition de ne tolérer qu’une baisse du

niveau des composantes ne dépassant pas 1 dB : si nous désignons par tn le nombre de

composantes satisfaisant cette contrainte, nous pouvons déduire, à l’aide de l’encadré bleu du

sous-paragraphe 5-4-5-1, que le nombre de composantes fréquentielles, Zn , nécessaire pour

atteindre le premier zéro de la fonction sinus cardinal présente en relation (5-209) est :

tt

Z nn

n .425,0

(5-213)

).F.(inc.F...2)T

.(sinc.T

..2

.F..

.F..sin.

T..2.F..sin

.

.2.F..2sin.

.F.T.2

.4

..F..2cos.T

.4 ..F..2cos..

T

4

2/

0

2/

0

2/

0

nsAnAa

n

nAn

n

Atn

n

A

dttnA

adttnAa

gn

gngn

(5-209)

107 107

Attention : pour la validité des relations qui suivent, il est impératif que Zn soit entier donc

que le premier zéro de la fonction « sinus cardinal » (et évidemment les suivants) supporte

une composante fréquentielle : celle-ci doit être prise en compte dans la valeur de Zn .

Ceci permet de déduire la largeur Δ du rectangle (donc de la porte), grâce à l’argument

de ce sinus cardinal : en effet le zéro se produit pour :

1.F. Zn F.

1

F..4

1 .F..4

Zt

tnn

n (5-214)

Cela permet aussi d’exprimer les relations (5-208), (5-209) et (5-212) sous une forme

indépendante de la fréquence et ne dépendant uniquement que de tn donc de Zn :

.

5.4.5.5 Les coefficients de Fourier présentés ci-dessus permettent

d’utiliser une propriété moins connue, mais qui peut s’avérer très utile, de la

fonction « sinus cardinal »

L’objectif est de rechercher la puissance totale contenue dans le signal rectangulaire,

non plus à partir de ses caractéristiques temporelles mais à partir de ses caractéristiques

spectrales. Une telle équivalence a été démontrée au paragraphe 3-5-11 du chapitre 3 pour les

fonctions périodiques, ce qui correspond à notre problème.

Nous nous bornerons au calcul de la puissance normalisée (on retrouve alors la notion

de fonction et non de signal), specnorP , contenue dans l’ensemble du spectre. Nous ne

prendrons pas en compte la puissance contenue dans la valeur moyenne (donc dans la

composante continue) qui peut être très variable d’une fonction à l’autre tout en restant sans

impact sur l’allure spectrale.

Le calcul se simplifie considérablement car le spectre ne comporte que des coefficients

de la forme ga tel qu’il est exprimé relations (5-216) et (5-217).

Zg nAa /0

)(inc.2

. ZZ

gnn

ns

nAa

(exprime la valeur crête des composantes)

0gnb

Znor nAP /²

(5-215)

(5-216)

(5-217)

(5-218

108 108

N’oublions pas que ces coefficients représentent les valeurs crêtes des composantes

spectrales et que celles-ci sont orthogonales entre elles : lors de l’élévation au carré

permettant d’aboutir à la puissance, les doubles produits seront donc nuls et il restera :

1

2

1

2 )(sinc..2

.2

1.

2

1

nZZ

n

gnspecnorn

n

n

AaP (5-219)

Dans cette relation, seule la fonction sinc est fonction de n si bien que nous

pouvons écrire :

Or, la partie de l’équation en zone jaune est, pour les mathématiciens, un cas d’école

impliquant une démonstration assez longue : cette démonstration, par ailleurs très

intéressante, est reportée en annexe 6-6 (attention, il s’agit ici du résultat concernant les

valeurs positives de n ). Elle permet d’aboutir au résultat suivant :

Dans ces conditions, la relation (5-220) devient :

2

1².

Z

Zspecnor

n

nAP

(5-222)

Une vérification : le cas où 2/T (fonction carrée) donne une vérification aisée. Pour

ce cas particulier, on a, par la relation (5-214), 2Zn . On obtient alors :

- par la relation (5-218), 2/²APnor : il s’agit de la puissance normalisée totale

de la fonction

- par la relation (5-222), la puissance spectrale vaut : 4/²AP specnor . Mais, il

ne faut pas oublier la puissance moyenne due à la composante continue 0ga

(relation (5-215)). Cette puissance vaut : 4/²20 Aag

- et en définitive : 4/²20 AaPP gnorspecnor C.Q.F.D. !

1

2

)(sinc² ..2

.2

1

nZZ

specnorn

n

n

AP (5-220)

2

1)(sinc²

1

Z

nZ

n

n

n(5-221)

109 109

Un apport précieux pour les électroniciens : la relation (5-222) donne un accès à la

puissance spectrale d’une fonction (ou d’un signal), dont le spectre évolue en sinus cardinal,

si l’on connaît le rang Zn de la composante spectrale correspondant au premier zéro de la

fonction.

Cependant, dans la pratique, le niveau A est inconnu. Par contre celui de la composante

fondamentale est facilement mesurable, soit par son niveau (dans le domaine des basses et

moyennes fréquences), soit par sa puissance (dans le domaine des hyperfréquences).

Si l’on reste dans le cas des fonctions, la puissance du fondamental, déduite de la relation

(5-216) s’écrit : )1

(inc².²

.22

12

211

ZZ

gnorn

sn

AaP (5-223)

Ce qui permet d’exprimer la relation (5-222) sous la forme :

1.)/1²(sinc.2

1nor

Z

Zspecnor P

n

nP

(5-224)

La présence du terme )/1²(sinc Zn rend ce résultat, dans la pratique, peu intéressant mais

si l’on sait que ce terme vaut l’unité avec une erreur inférieure à 1% si 18Zn (valeur qui

ne donnerait que quatre valeurs correspondant à notre critère de baisse de niveau de 1 dB),

l’on peut, dans ce cas particulier, remplacer ce terme par 1et la relation (5-224) devient :

(attention cette relation ne vérifie pas la condition choisie pour la validation de la page

précédente pour laquelle 2Zn )

Grâce à cette relation simple, Zn étant généralement connu, on peut, connaissant l’une

des deux valeurs de puissance, facilement connaître l’autre. Cette propriété de la fonction

sinus cardinal sera utilisée plusieurs fois au paragraphe 5-4-6.

5.4.5.6 Une autre approche du problème de la génération de fréquences grâce à

l’autocorrélation

N’existe-t-il pas une fonction de niveau A donnant la même richesse spectrale tout en

délivrant une puissance en fonction de zn , meilleure que celle de la relation (5-222) ?

Nous avons vu au paragraphe 3-3 du chapitre 3 qu’une fonction périodique réelle

respectant les conditions énoncées paragraphes 3-3-1, 2 et 3 pouvait être décomposée en une

infinité de fonctions trigonométriques de fréquences positives et multiples entiers de la

fréquence fondamentale de la fonction étudiée. Cette décomposition est le développement en

1.2

1nor

Zspecnor P

nP

(5-225)

Valable à moins

de 1% si nZ >18

110 110

série de Fourier sous forme réelle. Les composantes spectrales obtenues ont des niveaux et

des phases bien définis : autrement dit, connaissant l’ensemble de ces informations, nous

pourrions recréer la fonction de départ.

Or le paragraphe 5-4-2 a montré que l’on pouvait trouver la densité spectrale de

puissance d’une fonction réelle à l’aide du développement en série de Fourier sous forme

complexe de sa fonction d’autocorrélation. Cette dernière possède un lien (voir sous-

paragraphe 5-3-5-6) avec les coefficients complexes de Fourier de la fonction initiale.

Nous sommes donc en possession d’un outil permettant de trouver la puissance de

chaque composante du spectre d’une fonction.

Mais, si nous ne connaissons que la puissance d’une composante, nous avons perdu

l’information de phase. Plusieurs fonctions (ou signaux) pourront donc avoir le même spectre

d’amplitude mais un spectre de phase différent : leur allure temporelle sera différente.

Or nous avons vu au sous-paragraphe 5-4-5-2 que la connaissance de la phase d’une

chaîne de traitement n’est pas toujours nécessaire. Il faut donc espérer que l’on soit en mesure

de trouver des fonctions qui, à partir d’un signal d’amplitude A , donnent un spectre d’allure

similaire en amplitude mais de niveau supérieur.

Mais attention :

- ce qui est connu, c’est la fonction densité de puissance, autrement dit le

développement en série de Fourier sous forme complexe défini par les coefficients c

(donnés par la relation (5-174)) de la fonction d’autocorrélation de la fonction initiale

inconnue )(tf

- ce qui est recherché, c’est le spectre d’amplitude sous forme réelle de la fonction

initiale, réelle, )(tf . Sous sa forme complexe, ce spectre a été désigné par rf .

Or, souvent dans la pratique, les développements en série de ces deux fonctions

(initiale et densité de puissance) sont représentés sous forme réelle : il reste à établir le lien

entre les coefficients de Fourier sous leur forme complexe et sous leur forme réelle (que nous

désignerons par a ,b et comme dans les paragraphes 3-5 et 4-1 des chapitres 3 et 4,

affectés de l’indice « c » pour la fonction densité de puissance et « f » pour la fonction

initiale).

Rappelons qu’au sous-paragraphe 5-4-2-2 nous avons donné les relations liant les

coefficients c et rf . Ces relations seront rappelées au moment opportun.

Attention : pour simplifier la présentation, comme les indices (numéros des composantes)

des coefficients de Fourier sont négatifs et positifs sous la forme complexe et uniquement

positifs sous la forme réelle, nous emploierons les mêmes indices (qui représentent en fait, la

même composante fréquentielle). Les coefficients complexes seront sur fond jaune et les

coefficients réels sur fond bleu.

Note : certaines relations de la page suivante font appel à des relations du paragraphe 4-1 du

chapitre 4 : cette information ne sera sous-entendue que par leur numérotation.

111 111

En ce qui concerne la densité de puissance, passons du complexe au réel :

Comme la fonction d’autocorrélation est une fonction réelle et paire, on peut en

déduire (grâce aux relations (4-13) et (4-14) et en posant 0b de par la parité) que

l’équivalence des coefficients de son développement en série peut s’écrire :

ppp ccc .2)( pca (5-226)

et : (5-227)

(le coefficient de la composante continue est évidemment inchangé : il représente la

valeur moyenne de la fonction d’autocorrélation, donc la puissance normalisée de la

composante continue de la fonction initiale).

En ce qui concerne la fonction initiale, passons du complexe au réel :

Rappelons que cette fonction est inconnue. La seule chose que l’on sait sur elle, est

qu’elle est réelle. Ses coefficients de Fourier complexes seront désignés, pour un rang

donné, par rpf et non par Fnc pour éviter tout conflit entre les différentes fonctions

utilisées dans ces paragraphes-ci. Les relations du paragraphe 4-1-7 donnent :

(le coefficient de la composante continue est évidemment inchangé. Il représente la valeur

moyenne de la fonction initiale).

En conséquence, en reprenant les relations du sous-paragraphe 5-4-2-2, rappelées sur

fond vert :

- pour la composante continue, à partir de la relation 200 rfc qui fait le lien

entre la relation (5-227) et la relation (5-229), on obtient :

- pour la valeur efficace ou crête des composantes spectrales, à partir de la relation 2

rpp fc qui fait le lien entre la relation (5-226) et la relation (5-228), on

obtient :

0c0ca

00 cf aa (5-230)

pppp cfcfeff aa .2 (5-231)

0rf 0fa

22

)(*

)( rpprrppr ffff

22

)( rppr ffppppp fnorfefffff Pba 2222 2/2/)( (5-228)

ce qui permet d’écrire :

et : (5-229)

112 112

En conclusion : sachant que le développement en série de Fourier de la fonction

d’autocorrélation d’une fonction réelle est paire, la seule connaissance des coefficients ca

(puisque la parité rend les coefficients cb nuls) de son développement en série de Fourier

sous forme réelle permet d’obtenir le spectre d’amplitude de la fonction initiale.

L’information de phase est perdue.

Cette correspondance étant établie, nous allons maintenant pouvoir passer à

l’application particulière que représentent les fonctions pseudo-aléatoires.

5.4.6 Une solution au problème des faibles niveaux générés par la « fonction

porte » : la « fonction pseudo-aléatoire »


Cette fonction permet de produire un signal de spectre d’amplitude similaire à celui de

la « fonction porte » périodisée. Le spectre ainsi obtenu est, à niveau du signal source

identique, de niveau supérieur.

Cette fonction s’appelle pseudo-aléatoire car elle possède en partie les caractéristiques

statistiques du « bruit blanc » sans les satisfaire complètement du fait de sa périodicité, d’où

l’attribut de pseudo qui lui est adjoint et le nom de « bruit rose » attribué au signal résultant.

Nous ne nous étendrons pas sur les caractéristiques statistiques du bruit ainsi produit

car le domaine statistique sort du thème de ce document.

Nous n’aborderons pas non plus l’aspect mathématique qui justifie la suite de ce

paragraphe car il fait appel à la théorie des :

(ce corps a pour abréviation : CG(2) en français et GF(2) en anglo-saxon pour Galois Field).

Cette théorie déborde largement l’objectif de ce paragraphe. Une appproche plus

fondamentale et les liens avec la conception électronique seront exposés dans l’annexe 6-9.

Cette annexe comporte en particulier quelques éléments bibliographiques de référence dans ce

domaine.

5.4.6.2 Comment réaliser un générateur de séquences pseudo-

aléatoires ?

Une séquence pseudo-aléatoire (voir figure 5-36), peut être obtenue à partir :

« polynômes irréductibles et primitifs dont les coefficients

appartiennent au Corps de Galois à deux éléments »

113 113

- de circuits « bascule D » disposés en série (« D » désigne l’action de décalage).

Pilotée par un signal d’horloge, une « bascule D » reproduit sur sa sortie le niveau

d’entrée présent à la période d’horloge précédente. Attention, ce circuit n’est pas

un compteur.

- d’un circuit « OU Exclusif » réalisant la fonction « modulo

2 » (ce circuit est généralement désigné par « XOR » dans le

jargon électronique anglo-saxon). Il assure le rebouclage

imposé par la théorie développée en annexe 6-9. Un circuit

XOR a la table de vérité ci-contre et ne possède que deux

entrées : s’il en faut plus, il est nécessaire d’associer

plusieurs de ces circuits (au détriment des temps de propagation) ou d’utiliser des

circuits logiques programmables.

Moyennant certaines contraintes sur le choix des sorties des bascules utilisées, nous

obtenons, si le nombre de bascules est m , une séquence pseudo-aléatoire dite de longueur

maximale, c’est-à-dire de périodicité 12 m périodes d’horloge.

La figure 5-36 en est l’illustration :

Attention : si l’on remplace « x0 » par « 2m-1

», « x1 » par « 2m-2

» (et ainsi de suite) et que l’on

ne tient pas compte du rebouclage, un électronicien peut être tenté de confondre ce synoptique

avec celui d’un compteur modulo 2m

. En fait ce synoptique permet de générer, en sortie

(rectangle bleu) une séquence pseudo-aléatoire de longueur 2m-1

et les circuits fonctionnent

comme des bascules D et non comme des compteurs !

Les bouclages proposés et ce qu’il faut faire et ne pas faire :

- un rebouclage prenant en compte un nombre impair de bascules est à exclure car,

dans le cas où la sortie de l’ensemble des bascules est à l’état « 1 » (ce qui se produit

dans une séquence de longueur maximale), la sortie de la fonction modulo 2 sera

aussi à l’état « 1 » et plus rien ne se produit lors du fonctionnement de l’horloge

H

Figure 5-36 : schéma fonctionnel d’un

« générateur de séquence pseudo-aléatoire de degré m».

L’interrupteur placé sur la bascule de rang 0 sert à initialiser la

séquence : il est donc ouvert pendant le fonctionnement en générateur.

Dans ce synoptique, seules les sorties x0 et xm-1 des bascules sont

utilisées comme entrées du circuit assurant la fonction modulo 2 :

Comme nous le verrons sur le tableau 5-1, il s’agit d’un cas parmi

d’autres pour un degré m donné.

XOR

xm-1

Q D

x?

Q D x0

Q

H H H

x1

Q D

H

D

1

HΔ

Sortie série de

la séquence

série

α1 0 1

α2

0 0 1

1 1 0

114 114

- la sortie de la bascule d’ordre « 0 » doit impérativement faire partie du rebouclage

- les rebouclages nécessitant plus de deux sorties compliquent la réalisation de la

fonction modulo. On se limite donc à des rebouclages ne nécessitant que deux sorties.

Le tableau 5-1 en donne un exemple concernant les séquences de degré 3 à 11

- il est impératif que l’une au moins des bascules soit initialisé à l’état « 1 » car sinon,

si toutes les sorties des bascules sont à l’état « 0 », il en est de même de la sortie de la

fonction modulo 2 et rien ne se produit lors du fonctionnement de l’horloge…

Note importante : en considérant le tableau 5-1, on constate que, si la bascule xi satisfait les

conditions d’obtention d’une séquence pseudo-aléatoire, la bascule xm-i les satisfait aussi mais

la séquence engendrée sur une période sera, heureusement, différente.

5.4.6.3 Les propriétés d’une séquence pseudo-aléatoire de degré m de

longueur maximale

- la séquence obtenue est périodique (c’est-à-dire qu’elle retrouve la même forme)

selon une périodicité définie par : .1)(2T m (5-232)

(si l’on reprend les choix des symboles temporels faits au sous-paragraphe 5-4 5-4 et

en particulier exposé figure 5-35)

2

1

1 0 m=3

0

3 2 0 m=4

0 1

4 3 0 m=5

0 2 1

5 4 0 m=6

0

3 2 1

6 5 0 m=7

0 4 3 2 1

7 6 0 m=8

0 5 4 3 2 1

8 7 1 m=9

0 6 5 4 3 2 0

9 8 2 m=10

0 7 6 5 4 3 0 1

10 9 3 m=11

0 8 7 6 5 4 1 2 0

Tableau 5-1 : les configurations utilisables

ne nécessitant que deux sorties pour obtenir

une séquence de longueur maximale.

En jaune : le degré de la séquence

En vert : la bascule x0

(dont la sortie doit être

obligatoirement utilisée).

En bleu : une des bascules

permettant d’obtenir une

séquence de longueur

maximale.

En blanc : bascule

inutilisable pour ce

type de rebouclage

(à deux sorties)

115 115

- cette séquence possède, à une période de l’horloge HΔ près, la périodicité d’un

compteur binaire de m étages (donc composé alors de m bascules « J-K » et non de

m bascules « D »). Toutes les 12 m impulsions d’horloge, les m bascules se

retrouvent dans la même configuration : cette séquence est donc dite à longueur

maximale

- si l’on considère la sortie de la bascule x0 sur une période, la séquence obtenue

comportera :

et le nombre maximum d’états « 1 » consécutifs est égal à m ce qui peut faciliter une

synchronisation.

Note : les sorties des bascules précédentes respecteront le même séquencement mais avec une

avance d’une période de l’horloge HΔ au fur et à mesure que l’on remonte vers la gauche la succession des bascules: voir tableau 5-2 et figure 5-37.

Une application en guise de justification de ces propriétés :

La figure 5-37 décrit un générateur tel que 3m : il utilise l’une des deux

possibilités de rebouclage données par la première ligne du tableau 5-1 : les deux entrées

du « XOR» sont

respectivement les

sorties des bascules 0 et

1.

L’initialisation est

réalisée ici en mettant

toutes les bascules à

l’état « 1 » car cette

configuration est plus

facile à détecter (grâce à

un circuit « ET » à m

entrées). Ceci peut servir

de détecteur de périodicité de séquence.

Les caractéristiques de la séquence:

- par la relation (5-232), on doit trouver une périodicité de 7.Δ.

- par les relations (5-233) et (5-234), sur 7 périodes Δ, on doit trouver quatre états

« 1 » et trois états « 0 »

Chaque ligne du tableau 5-2 décrit, pour une valeur de l’horloge HΔ, l’état des trois

bascules et du circuit « XOR» (ou modulo 2). Pour ceux qui ne sont pas familiarisés avec

les fonctions logiques électroniques, il faut savoir que le signal de l’horloge HΔ est un

signal rectangulaire de période Δ.

- 12 m

états 1

- 12 1m états 0

(5-233)

(5-234)

Figure 5-37 : schéma fonctionnel d’un

« générateur de séquence pseudo-aléatoire de degré 3».

XOR

x2

Q D x1

Q D x0

Q

H H H

D

1

HΔ

Sortie

série

de la

séquenc

e série

S0 S1

1 S2

2

S

116 116

A chaque transition de ce signal (montante ou descendante selon les références

techniques des bascules) l’état du circuit précédent (ici, en allant de gauche à droite) est

transféré dans le circuit suivant : sur le tableau 5-2 on passe alors à la ligne suivante.

Une exception, qui est le nœud de ce générateur de séquences pseudo-aléatoires,

concerne la bascule x2. Elle reçoit le résultat du circuit « XOR » (ce transfert est

matérialisé, sur le tableau 5-2, par une ligne fléchée, pour la première transition) : c’est

cette information que le registre transfère vers sa sortie.

A la huitième période de l’horloge HΔ, on retrouve l’état initial.

5.4.6.4 Les différents paramètres d’une séquence pseudo-aléatoire

Puissance moyenne normalisée d’une telle séquence :

Dans l’hypothèse, utilisée jusqu’à présent, où le niveau du signal généré vaut 0 ou

A , durant une séquence :

- l’énergie contenue dans l’ensemble des états 0 est nulle

- l’énergie contenue dans un état 1 , de durée élémentaire , vaut ².A

- par la relation (5-233), l’énergie contenue dans l’ensemble des états 1 vaut donc

²..2 1 Am : il s’agit de l’énergie contenue dans une séquence de durée

.1)(2T m (relation (5-232))

Tableau 5-2 : huit périodes d’une séquence pseudo-aléatoire de degré 3.

Les sorties des bascules portent le numéro qui leur correspond sur la

figure 5-37 et la sortie du « XOR» est désignée par S . L’indice présent sur ces symboles correspond à la période de

l’horloge HΔ considérée : le numéro de cette période est reporté dans la

colonne de gauche, en bleu.

Il y a donc huit lignes puisque celle de l’état initial est représentée.

Les colonnes en vert représentent les états des bascules utilisées par le

circuit « XOR».

Chronologiquement, la séquence se lit de haut en bas,

sur l’une quelconque des trois sorties.

0 S20 =1 S10 =1 S00 =1 S 0 =0

Δ S21 =0 S11 =1 S01 =1 S 1 =0

2.Δ S22 =0 S12 =0 S02 =1 S 2 =1

3.Δ S23 =1 S13 =0 S03 =0 S 3 =0

4.Δ S24 =0 S14 =1 S04 =0 S 4 =1

5.Δ S25 =1 S15 =0 S05 =1 S 5 =1

6.Δ S26 = 1 S16 =1 S06 =0 S 6 =1

7.Δ S27 =1 S17 =1 S07 =1

Note : si l’on considère la fonction :

S0Δ.20+S1Δ.2

1+S2Δ.2

2

pour Δ évoluant de 0 à 6, on

retrouve, dans le désordre,

une fois et une seule,

chaque valeur décimale

allant de 1 à 7. Seule

manque la valeur nulle.

117 117

- en définitive la puissance moyenne normalisée s’écrit :

mpourm

m

norseq A²/AP 2 12

)2(².

1

(5-235)

Valeur moyenne d’une telle séquence :

Un raisonnement analogue au précédent, mais concernant le niveau, donne :

mpourm

m

seq A/AA 2 12

)2(.

~1

(5-236)

expression qui permet de déduire la puissance dissipée en pure perte car ne créant pas

de puissance spectrale :

mpourm

m

seq /AAA 4² 12

)2(².²

~21

(5-237)

Note : les trois résultats précédents tendent très vite vers leur valeur limite puisque, pour

7m , les deux premiers s’en approchent , par excès, à moins de 1% et le troisième, à un

peu plus de 1%.

Puissance disponible pour la génération spectrale :

Si l’on constate que la valeur moyenne ne contribue pas à la génération spectrale, il est

intéressant de connaître la puissance normalisée disponible pour cette génération. Il faut

calculer : seqnorseqnordiseq APP ²~

à partir des relations (5-235) et (5-237). Il vient :

(dès que 4m , la valeur finale est atteinte à mieux que 1%)

En conséquence : la moitié seulement de la puissance fournie se retrouve dans les

composantes spectrales.

mm

mm

m

m

m

m

nordiseq AAAP 4/² )²12(

)12).(2(².

12

)2(1.

12

)2(².

1111

(5-238)

Malgré cette réserve, ne tenons-nous pas la réponse à la question posée au sous-paragraphe

5-4-5-6. Autrement dit, cette fonction ne permet-elle pas d’obtenir, à partir du même niveau

que celui de la « fonction porte », un spectre d’allure similaire mais de niveau supérieur à

celui donné par cette fonction ?

Il apparaît que la fonction pseudo-aléatoire telle qu’elle vient d’être décrite, a, pour

fonction d’autocorrélation, un triangle de durée à la base .2 puis un niveau constant

tout le reste de sa période, soit durant .2T .

C’est exactement le « candidat » recherché…

118 118

Impact du bouclage sur la fonction d’autocorrélation :

- pour obtenir des signaux représentables sur un graphique standard nous

choisirons comme degré du polynôme pseudo-aléatoire : 4m . Ce choix entraine

une périodicité de quinze impulsions de l’horloge HΔ (relation (5-232))

- pour obtenir des graphiques et des résultats facilement comparables nous choisissons

comme niveau de la «fonction pseudo-aléatoire » et de la «fonction porte » : 1A

La séquence comporte donc quinze états avant de revenir dans une configuration similaire.

En ce qui concerne la puissance normalisée de la séquence, la relation (5-235) et la

simulation de la fonction d’autocorrélation pour un décalage nul, donnent exactemennt le

même résultat à plus de six chiffres significatifs près : 333.533,0norseqP (5-239).

Figure 5-39 : fonction d’autocorrélation de la fonction pseudo-aléatoire de référence (figure

5-38). Cette fonction d’autocorrélation est représentée sur deux périodes de décalage τ.

On retrouve le « triangle de corrélation » de largeur 2.Δ à la base et un niveau constant sur la

suite de la période : cette allure confirme la possibilité d’utiliser la fonction pseudo-aléatoire

comme générateur de signaux sinusoïdaux, de la même manière que la « fonction porte ».

Note : Pour un décalage nul, on retrouve un niveau égal à la puissance normalisée de la

séquence de référence (relation (5-239)).

On constate aussi que la corrélation reste constante et importante entre chaque triangle.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

2.Δ

0 T τ

Δ

5.Δ T=15.Δ 10.Δ 15.Δ t

1

0

14

Figure 5-38 : séquence constituée à partir du polynôme de degré 4 selon le rebouclage

présenté dans l’encadré orange sur fond vert (simplification de la figure 5-36).

La séquence résultante servira pour la plupart des exemples qui suivent

et sera dénommée « séquence de référence».

Une période T comporte 24

-1 échantillons élémentaires de durée Δ (elle est

délimitée par les deux verticales fléchées) puis elle recommence à l’identique.

Les cinq derniers échantillons du graphe sont représentés pour illustrer cette périodicité.

Attention, l’échantillon 14, indiqué en rouge, se rapporte à la figure 5-40.

3

2 0 1

119 119

La figure 5-40 décrit la fonction d’autocorrélation d’une séquence créée virtuellement

à partir de la séquence de référence (figure 5-38) en remplaçant l’avant dernier état

(initialement à zéro) par un état « un » représenté en rouge. On constate une importante

altération de la fonction d’autocorrélation. La densité spectrale de puissance n’est plus celle

attendue. Ainsi apparaît l’importance de respecter les bouclages fournis par des polynômes

générateurs issus de la théorie (annexe 6-9).

5.4.6.5 Alignement des paramètres temporels de la « fonction porte »

périodisée sur ceux de la « fonction pseudo-aléatoire » et comparaison des

puissances spectrales obtenues dans les deux cas

La fonction d’autocorrélation de la fonction pseudo-aléatoire vient d’être présentée

dans le sous-paragraphe précédent. Elle a la même structure que celle de la « fonction porte »

qui a été largement étudiée au sous-paragraphe 5-3-5-3.

Mais, la fonction pseudo-aléatoire ne peut présenter que des valeurs figées, liant la

durée de l’échantillon élémentaire et la période T de la séquence produite par

l’intermédiaire du degré du polynôme employé (relation (5-232) : )12/(1T/ m).

Cette contrainte n’existe pas pour la « fonction porte » : ce sera donc cette dernière

fonction qui subira, pour l’étude qui suit, un alignement, en remplaçant T/ par

)12/(1 m dans les résultats du sous-paragraphe 5-4-5-4.

Mais, tout d’abord, le fait de donner aux deux fonctions une durée et un rapport

T/ identiques leur permet d’avoir une fonction d’autocorrélation identique (au niveau

près !) et, de par le paragraphe 5-4, de savoir qu’elles posséderont un spectre de fréquence

similaire (au niveau près !). C’est ce rapport de niveaux que nous cherchons.

Note : les résultats concernant la « fonction porte » ont pour indice « por » au lieu de « seq »

consacré à ceux de la fonction pseudo-aléatoire.

- la relation (5-212) devient :

mpourmnorpor AAP 0 12

1².

T² (5-240)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Figure 5-40 : cette figure illustre l’impact, sur la fonction d’autocorrélation, du non

respect des caractéristiques du polynôme générateur de séquences pseudo-aléatoires.

L’instant « 14 » de la séquence, initialement à « 0 », a été forcé à « 1 » (figure 5-38)

120 120

- la puissance dissipée dans la valeur moyenne s’écrit (non calculée ici mais d’expression évidente) :

mpourmpor AAA 0 )²12(

1².

²T

²².²

~ (5-241)

- la puissance normalisée disponible devient :

mpourm

m

nordispor AAP 0 )²12(

22².

T1

T² (5-242

- le niveau du module de la composante spectrale de rang n (n’oublions pas qu’il s’agit

d’une fonction paire) devient (relation (5-209)) :

)12

(inc.12

.2)

T.(sinc.

T..2

mmngn

ns

AnAa (5-243)

Note pour les électroniciens : il est rare de connaître simultanément la puissance totale du

spectre et la puissance des premières composantes. La théorie donnera souvent la puissance

totale alors que le praticien cherchera celle des premières composantes pour s’assurer que sa

chaîne électronique n’inflige pas d’écrêtage au signal. Si alors, il connaît la puissance du

fondamental, ce même praticien pourra s’assurer que la puissance totale ne dépasse pas les

limites admissibles ou autorisées. La relation (5-224), rappelée et adaptée ci-dessous sous la

référence (5-244) assure cette transition ( Zn représente le nombre de composantes présentes

depuis le fondamental jusqu’au premier zéro de la fonction sinus cardinal. D’après la relation

(5-214), ce paramètre vaut : T/Zn et donc, dans le cas actuel : 12 mZn ) :

1

1

1 .))12/(1²(sinc

12.

)/1²(sinc.2

1norm

m

nor

Z

Zspecnor PP

n

nP

(5-244)

- et enfin, si l’on fait le rapport des puissances disponibles pour les deux fonctions, il

vient, à partir des relations (5-238) et (5-242) et après simplification :

22 m

nordispor

nordiseq

P

P (5-245)

En conséquence : ce rapport est supérieur à l’unité dès que le degré du polynôme est

supérieur à 2 , ce qui est la condition pour obtenir une séquence pseudo-aléatoire.

121 121

5.4.6.6 Simulation appliquée à une « fonction porte » et à une « fonction

pseudo-aléatoire » donnant le même spectre (au niveau près)

Paramètres de la simulation :

- degré du polynôme : 4m ce qui induit :

- périodicité des deux fonctions : .15T

- pour la « fonction porte » (relation (5-232)) : 15/1T/

- pour les spectres (relation (5-214)) : 15zn (rang du premier zéro)

- excursion pour les deux fonctions : 10 A

Objectifs de la simulation:

- trouver le module des quarante-cinq premières composantes spectrales (donc trois

lobes) du spectre pour chacune des deux fonctions et obtenir les valeurs numériques

des coefficients de Fourier de leur fondamental ( 1n ). Pour un praticien, ce module

(ou la puissance équivalente) est, en effet, facile à obtenir par analyseur de spectre. Par

contre, ce n’est pas le cas de la puissance totale car le nombre de composantes que

l’on peut prendre en compte dans une mesure est mal défini et jamais infini !

- Connaissant la puissance spectrale totale théorique de chacune de ces fonctions

(relation (5-238) pour la fonction pseudo-aléatoire et relation (5-222) pour la fonction

porte), on peut établir deux « ponts » entre ces deux fonctions.

Pont entre ces deux fonctions (« pseudo-aléatoire » et « porte »):

- le pont entre les spectres de ces deux simulations se fait par le calcul du rapport entre

la puissance du fondamental (issue de la simulation) et la puissance spectrale totale

(issue de la théorie). Ce rapport est donné, sur le plan théorique, par la relation

(5-244) et vaut pour 4m :

140781,07

)15/1²(sinc1

specnor

nor

P

P (5-246)

Note : la composante continue n’est pas prise en compte car elle est variable, à spectre

similaire, d’un signal à l’autre et, le plus souvent, elle est éliminée lors des liaisons entre

circuits.

- le pont entre la puissance délivrée par le fondamental de la « fonction pseudo-

aléatoire » et le fondamental de la « fonction porte » (valeurs issues de la simulation)

est, sur le plan théorique, donné par la relation (5-245) et vaut, pour le degré 4m :

42 2 m

nordispor

nordiseq

P

P (5-247)

122 122

En ce qui concerne la fonction « pseudo-aléatoire » :

- à l’aide de la simulation, si l’on reprend les dénominations des développements en

série de Fourier, on obtient, pour le fondamental :

035039,0 070078,0 121

21

21 norPba (5-248)

- à l’aide de la relation (5-238), donnant la puissance théorique totale, on obtient :

248889,0225/56)²12(

)12).(2(².

11

m

mm

nordiseq AP (5-249)

- le rapport de ces deux résultats est : 140782,0 …(résultat à comparer à la

relation (5-246) qui donne : 0,140781).

En ce qui concerne la « fonction porte » :

- à l’aide de la simulation, par la méthode du développement en série de Fourier :

008759,0 519.017,0 121

21 norPa (5-250)

- à l’aide de la relation (5-222), reflétant l’approche théorique, on obtient :

062222,0225/141

².2

Z

Zspecnor

n

nAP (5-251)

- le rapport de ces deux résultats est : 770.140,0 … (résultat à comparer à la

relation (5-246)). Le léger écart est vraisemblablement lié au fait que les valeurs n’ont

pas été exprimées en « notations scientifiques » pour être plus lisibles.

Figure 5-41 : cet histogramme représente le module du développement en série de Fourier (voir

chapitre 3) des quarante-cinq premières composantes spectrales de la séquence pseudo-aléatoire de

la figure 5-38. Cet histogramme a bien pour enveloppe, en noir, une fonction sinus cardinal.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

n

ρ

123 123

En ce qui concerne le rapport entre les puissances du fondamental fournies par la

« fonction pseudo-aléatoire » et la « fonction porte » :

(on choisit ce rapport et non celui des puissances totales car ce rapport, issu des

simulations, est facilement accessible par la mesure).

A partir du rapport des résultats des relations (5-248) et (5-250), on obtient :

000343,4 (5-252)

ce qui est conforme, à mieux que un pour dix- mille, aux prévisions de la

relation (5-247). Ceci se retrouve, à un rapport 2 près car ici ce sont les modules (donc

les racines carrées des puissances) qui sont représentés, sur les histogrammes des

figures (5-41) et (5-42).

5.4.6.7 Comment est-il possible d’obtenir des courbes d’allure différente

alors qu’elles ont même spectre de module et même fonction

d’autocorrélation ?

Le seul paramètre caractérisant une fonction à partir du développement en série de

Fourier, inutilisé jusqu’à présent dans cette étude des fonctions pseudo-aléatoires, est la

phase. En effet cette information est perdue dans l’opération d’autocorrélation.

Autrement dit, rien n’empêche l’existence de fonctions pseudo-aléatoires ayant même

degré et des allures différentes bien que possédant des spectres de modules, de niveaux

strictement identiques.

C’est ce qu’illustrent les séquences des figures 5-43a et b. La première est celle

utilisée jusqu’à présent (c’est la séquence dite de référence). Reportons-nous alors aux

synoptiques sur fond vert de ces deux figures (synoptiques dans lesquels seul le numéro des

bascules a été conservé pour pouvoir réduire le format de ces incrustations). On retrouve

évidemment dans les deux cas, pour le rebouclage, la présence de la sortie de la bascule x0 .

Pour la figure 5-43a la seconde entrée du circuit de rebouclage est assurée par la sortie de la

bascule x3 alors que pour la figure 5-43b ce rebouclage est assuré par x1 .

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45


chapitre 3) des quarante-cinq premières composantes spectrales de la « fonction porte ».

Comme le rapport des puissances de la fonction « pseudo-aléatoire » et de la « fonction porte »

est de 4 (relation (5-247)), celui des modules doit être de 2, ce qui se vérifie entre l’histogramme

précédent et celui-ci.

n

ρ

124 124

Une configuration particulière : si l’on se reporte à la note précédant le sous-paragraphe

5-4-6-3, comme on est dans le cas où m=4, si l’on pose i=3 (rebouclage pour la figure 5-43a),

on trouve m-i=1. Cette valeur correspond à celle du rebouclage de la figure 5-43b : elle vérifie

bien une des valeurs données tableau 5-1 pour générer une séquence pseudo-aléatoire de

degré 4 à longueur maximale… mais cette configuration entraine une spécificité

supplémentaire.

En effet, si l’on considère les deux séquences des figures 5-43a et b, on constate

qu’elles sont identiques, à condition de transposer l’une des deux dans le domaine des temps

négatifs : on dit que ces séquences sont des séquences miroir (en fait, en se souvenant que

l’on s’est limité, pour le tableau 5-1 et les applications qui en découlent, à deux entrées de

rebouclage, pour une valeur de i donnée, telle que 0<i<m, l’utilisation de la bascule m-i

donnera une séquence miroir). Pour m=4, les deux séquences sont donc miroir et il faut aller

au degré 7 (soit 127 échantillons par séquence) pour trouver deux séquences non-miroir ou il

faut augmenter le nombre d’entrées de rebouclage.

Retour au cas général : on peut cependant dire de toute façon, que pour un degré donné,

toutes les fonctions pseudo-aléatoires de longueur maximale auront une allure temporelle

différente mais un spectre de module, de niveau strictement identique. Reste la phase pour

expliquer cette différence d’allure temporelle (voir figure 5-44).

Les spectres de phase des courbes des figures 5-43a et b, dont l’origine est prise

arbitrairement à l’instant 0, accusent des écarts importants pour une composante spectrale

donnée, en fonction du rebouclage utilisé (voir histogrammes de la figure 5-44).

L’information de phase permet donc, à elle seule, de justifier la différence d’allure de

ces courbes.

Figures 5-43a et b : deux séquences constituées à partir du polynôme de degré 4 (m=4).

Les encarts sur fond vert indiquent les rebouclages utilisés.

La courbe de la figure 5-43a correspond à la courbe dite de référence : ce

sont ses paramètres de rebouclage qui sont utilisés dans le paragraphe 5-4-6. Une période

T comporte 24

-1 échantillons élémentaires de durée Δ (elle est donc délimitée par les deux

verticales fléchées) puis elle recommence à l’identique.

On observe facilement l’effet miroir décrit dans le texte en « lisant » la courbe de

la figure 5-43b de droite à gauche et celle de la figure 5-43a de gauche à droite.

Mais, physiquement parlant, ces courbes sont évidemment différentes!

3

2 0 1

1

0 1

0

Figure 5-43b

Δ

t

t

Figure 5-43a

T=15.Δ

3

2 0 1

125 125

Mais alors : si l’on dispose du module et de la phase des différentes composantes spectrales,

par exemple, de la fonction dite « de référence», il est intéressant de vérifier que sa

reconstitution peut être assurée par l’une des relations de

définition du développement en série de Fourier (issue du

chapitre 3 et rappelée ci-contre) et ce, malgré la complexité de

cette fonction. C’est ce que montrent les figures 5-45.

-180

-135

-90

-45

0

45

90

135

180

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Figures 5-44 : ces deux histogrammes représentent la phase des quarante-cinq premières

composantes spectrales des courbes de la figure 5-43 (leur module a été représenté figure 5-41 : une

seule représentation suffit pour les deux courbes car les écarts entre ces modules sont <10-7

).

L’origine des phases est choisie à l’instant 0 des courbes de la figure 5-43 : un autre instant

n’aurait eu pour conséquence que de mettre en service le théorème du retard (voir tableau 3-1 du

paragraphe 3-7 du chapitre 3).

On trouve :

- en bleu, la phase concernant la courbe de la figure 5-43a (courbe de référence)

- en rouge, la phase concernant la courbe de la figure 5-43b.

On peut en conclure que c’est bien la phase qui assure la différence des deux courbes issues de

polynômes de degrsé identiques mais de rebouclages différents.

n

φ°

1

0 )F.2cos(.)(

n

nn tntf

Δ

T=15.Δ

1

0

1

0

Figure 5-45b

Figure 5-45a

t

t

Figures 5-45a et b : reconstitution (courbe 5-45b) de la séquence de référence (courbe 5-45a) à partir des coefficients des six premiers lobes du développement en série de

Fourier (donc des quatre-vingt dix premières composantes spectrales). Malgré la

configuration très perturbée de la courbe de référence, la reconstitution est satisfaisante :

on remarque toutefois l’apparition du phénomène de Gibbs (déjà rencontré au paragraphe

3-6-4 du chapitre 3) qui se produit à chaque transition.

Notons que ce sont les quarante-cinq premiers coefficients de Fourier qui ont servi au

tracé de l’histogramme du module et de la phase des figures 5-41 et 5-44.

126 126

5.4.6.8 Dans la fonction pseudo-aléatoire délivrant un signal de niveaux

0/+A, beaucoup de puissance est perdue dans la valeur moyenne de ce

signal : ne pouvons-nous pas y remédier ?

Les relations (5-237) et (5-238) du sous-paragraphe 5-4-6-5 mettent en évidence que la

puissance due à la valeur moyenne de la séquence pseudo-aléatoire est, pour un degré du

polynôme élevé, égale à la puissance spectrale disponible. Quelle dissipation inutile !

Si l’on pouvait atténuer, voire éliminer cette valeur moyenne, le gain serait

appréciable.

Il existe une solution qui consiste à remplacer le niveau 0 par un niveau A .

Il est facile de montrer que la puissance totale du signal devient :

mAP norbipseq ² (5-253)

(l’indice « bip » indique que le signal possède les deux polarités).

La tension demandée au système est double mais tout électronicien sait qu’une chaîne

électronique nécessite généralement des sources de tension des deux polarités.

Par contre, il est facile de montrer que la valeur moyenne devient :

mpourmbipseq AA 0 12

1.

~ (5-254)

2.Δ T

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 τ

Figure 5-46 : fonction d’autocorrélation de la fonction pseudo-aléatoire de référence à

niveaux bipolaires +/-1.

Cette fonction d’autocorrélation est représentée sur deux périodes du décalage temporel τ.

On retrouve le « triangle de corrélation » de largeur 2.Δ à la base et un niveau constant,

proche d’une valeur nulle, sur la suite de la période : cette allure confirme la possibilité

d’utiliser cette fonction pseudo-aléatoire comme générateur de signaux trigonométriques,

de la même manière que la « fonction porte ».

Note : Pour un décalage nul, on retrouve un niveau rigoureusement égal à la puissance

normalisée de la fonction de référence de niveaux -/+1 (relation (5-253)).

On constate aussi que la corrélation reste constante et importante entre chaque triangle.

127 127

et que la puissance dissipée par la valeur moyenne se réduit à :

mpourmbipseq AA 0 )²12(

1²²

~ (5-255)

Si alors, la fonction d’autocorrélation de la fonction peudo-aléatoire bipolaire est

similaire à celle de la « fonction porte », cette configuration de séquence pseudo-aléatoire

vaut la peine d’être étudiée. La figure 5-46, issue de simulations, en est la preuve.

Note sur la zone plane de la fonction d’autocorrélation :

Contrairement à la fonction d’autocorrélation de la fonction pseudo-aléatoire de niveaux 0/+A

représentée figure 5-39, on peut constater que le niveau de corrélation, en dehors de la zone

triangulaire, est voisin de zéro. Ce résultat entraine deux observations de nature très

différente :

- la décorrélation quasi-totale en dehors de la zone triangulaire facilite grandement la

recherche du maximum de corrélation entre deux signaux et par conséquent, la

synchronisation de l’un des signaux sur l’autre

- la relation (5-230) du sous-paragraphe 5-4-5-6 indique que la valeur moyenne de cette

fonction (d’autocorrélation) est le carré de la valeur moyenne de la fonction initiale.

La relation (5-255) montre que celle-ci tend vers zéro quand m croît. Comme la

fonction d’autocorrélation comporte un triangle positif de niveau élevé, on en déduit

que, pour que sa valeur moyenne tende vers zéro, la zone de décorrélation doit avoir

une valeur négative. On peut montrer que cette valeur vaut :

)12/(² mA (5-256)

(ceci apparaît bien sur la figure 5-46 pour 4m ).

En définitive, nous pouvons utiliser la fonction pseudo-aléatoire bipolaire comme

fonction génératrice du spectre recherché.

La puissance normalisée disponible s’écrit :

Note : cette puissance est, quel que soit le degré du polynôme, toujours quadruple de celle

disponible grâce à une séquence pseudo-aléatoire de niveaux 0/+A (relation (5-238)).

Le spectre de module obtenu est évidemment doublé par rapport à celui

d’une séquence unipolaire.

(On peut le constater en comparant l’histogramme de la figure 5-41 et celui de la figure 5-47).

Ceci revient bien à un quadruplement de la puissance disponible.

Par contre, la puissance demandée à la source d’alimentation ne tend que vers une

valeur double (relations (5-235) et (5-253)) quand m croît.

mpourm

mm

mnorbipdiseq AAAP ² )²12(

)12).(2(².

)²12(

11².

11

(5-257)

128 128

En conclusion : le rapport de la relation (5-257) (qui donne la puissance spectrale délivrée

par une fonction pseudo-aléatoire bipolaire) et la relation (5-242) (qui donne la puissance

spectrale délivrée par une « fonction porte ») s’écrit :

m

nordispor

norbipdiseq

P

P2 (5-258)

Autrement dit, plus on cherche à produire des composantes spectrales respectant une baisse

de niveau inférieure à 1 dB (voir figure 5-33 du paragraphe 5-4-5), moins la « fonction porte »

est efficace. Par contre la fonction pseudo-aléatoire (aussi bien unipolaire que bipolaire)

fournit une puissance spectrale totale indépendante de ce paramètre, puissance répartie sur

plus de composantes qui voient alors leur niveau individuel baisser.

Enfin, la fonction bipolaire fournit une puissance quadruple de la fonction unipolaire et un

signal quasiment dépourvu de composante continue : en fait, pratiquement toute la puissance

utilisée est transformée en puissance spectrale.

Puissance du fondamental délivrée par une séquence pseudo-aléatoire bipolaire en

fonction du degré du polynôme générateur supposé élevé :

si nous repartons de la relation (5-244) nous pouvons écrire:

1))12/(1(inc ms et 11 212 mm

et la relation (5-257) devient : ²AP norbipdiseq

ce qui donne :

)2/(² 11

mnor AP (5-259)

plus nous cherchons à générer de composantes fréquentielles dans un lobe (le demi-lobe

principal évidemment) plus leur niveau diminue mais la puissance totale du spectre tend vers

²A (relation (5-257) ce qui n’aurait pas été le cas avec la « fonction porte » où la puissance

totale du spectre tend vers zéro (relation (5-242)).


chapitre 3) des quarante-cinq premières composantes spectrales de la séquence pseudo-aléatoire de

référence mais générant ici des signaux bipolaires de niveaux -/+1. Cet histogramme a bien pour enveloppe, en noir, une fonction sinus cardinal.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

n

ρ

129 129

5.4.6.9 Synthèse des simulations donnant le module du fondamental des

différentes configurations présentées ci-dessus

Nous ne donnerons que les résultats obtenus pour les modules des composantes

fondamentales apparaissant dans les graphes 5-41, 5-42 et 5-47 auxquels nous ajouterons

celui de cette même composante pour un polynôme plus réaliste, de degré 6.

Nous indiquerons aussi les relations permettant d’aboutir, par la théorie, à ces

résultats. Ces relations donnent la puissance de la composante fondamentale. Rappelons que

le module vaut alors : 11 .2 P .

- « Fonction porte de durée 1/15ième

de période (pour se mettre en accord avec les

fonctions pseudo-aléatoires de degré 4) et de niveaux 0/+1 » :

132359,01

(relation (5-242) puis (5-244) )

- « Fonction pseudo-aléatoire de degré 4 et de niveaux 0/+1» :

264723,01

(relation (5-238) puis (5-244))

- « Fonction pseudo-aléatoire de degré 4 et de niveaux -1/+1» :

529446,01

(relation (5-257) puis (5-244))

- « Fonction pseudo-aléatoire de degré 6 et de niveaux -1/+1» :

253863,01

(relation (5-257) puis (5-244))

(cette dernière configuration donne un peu plus de quatre fois plus de composantes par

lobe)

5.4.6.10 Au lieu d’un spectre de type « passe-bas », pouvons-nous, par le

même procédé, produire un spectre de type « passe-bande » ?

La solution est apportée par la technique de « modulation avec suppression de

porteuse ».

Cette technique consiste à multiplier le signal pseudo-aléatoire par un signal

cosinusoïdal (ou sinusoïdal) de fréquence pF multiple de F (générant cette séquence).

Cette modulation est alors dite « cohérente » (toutefois, si la fréquence porteuse est très

supérieure à F la condition de cohérence est moins critique). Nous poserons :

F.Fp avec entier et positif (5-260)

n

130 130

Il ne faut pas oublier que :

- F définit les paramètres de l’enveloppe spectrale de la fonction pseudo-aléatoire :

par exemple, dans la figure 5-47, si l’on traduit l’abscisse en fréquence, F

correspond à la composante de rang 15n (rang du premier zéro désigné

précédemment par Zn puis par )12( m)

- d’après la relation (5-232), les composantes spectrales sont équidistantes et séparées

d’une fréquence :

)12/(FF m

(5-261)

(si l’on désire augmenter la richesse spectrale, il suffit d’augmenter le degré du

polynôme générateur, autrement dit, d’augmenter m ).

Note : la technique de modulation avec suppression de porteuse est bien adaptée aux

séquences pseudo-aléatoires bipolaires qui provoquent une inversion de phase de la porteuse

lors du changement de polarité de la séquence. Si on applique cette technique à une séquence

unipolaire, outre la perte de puissance évidente, l’absence de porteuse durant l’annulation du

signal pseudo-aléatoire rend le traitement du signal plus délicat en réception.

L’approche théorique est simple :

- les sous-paragraphes précédents ont montré que la fonction pseudo-aléatoire peut être

décomposée en une somme de fonctions trigonométriques indépendantes (appelées

composantes fréquentielles) dont le module évolue en sinus cardinal et la fréquence

en F.n .

- si l’on représente la composante de rang n sous la forme (donnée en relation (3-3) du

chapitre 3) :

)F..2cos(. nn tn (5-262)

Le résultat du produit avec le signal porteur pourra être étendu à l’ensemble des

composantes du spectre prises indépendamment, donc à la séquence.

En reprenant le résultat de la relation (4-111) du sous-paragraphe 4-3-7-2 du chapitre 4

donnant la décomposition d’un produit de fonctions cosinusoïdales, nous obtenons :

))F.F(2cos(.2

1))F.

pF(2cos(.

2

1p nn tntn (5-263)

Il faut noter l’apparition de deux composantes symétriques de la fréquence porteuse et

la disparition complète de celle-ci. Ces deux composantes ont le même niveau si l’on fait

abstraction du phénomène de repliement spectral, largement développé au sous-paragraphe

4-3-9-10 du chapitre 4 et dont les effets diminuent avec l’augmentation de (ceci est illustré

par les histogrammes des figures 5-49 où 4 et 5-50 où 32 ). La production, pour

une composante donnée, de deux composantes de fréquence symétrique de la fréquence

porteuse transforme le spectre de type passe-bas en type passe-bande centré sur cette

fréquence.

131 131

Ici encore, on peut établir une relation entre la puissance d’une des deux composantes

fondamentales (symétriques de la fréquence porteuse et désignées par en indice) et celle de

la totalité du spectre : le résultat de la relation (5-244) est évidemment doublé :

1

1

1 .))12/(1²(sinc

12.2.

)/1²(sinc

1

norm

m

nor

Z

Zspecnor PP

n

nP (5-264)

La figure 5-48 illustre une modulation de la séquence pseudo-aléatoire de référence

avec suppression de porteuse. Il s’agit ici d’une modulation cohérente.

Pour permettre une meilleure lisibilité de la figure :

- seul le résultat de la modulation des échantillons cinq à huit (correspondant à la

séquence de référence décrite figure 5-43a) est indiqué ainsi que la transition de

l’échantillon quatre vers l’échantillon cinq

- le coefficient est choisi égal à 4 ce qui conduit à n’avoir que quatre périodes du

signal porteur par échantillon et à rendre cette modulation cohérente

- la porteuse possède une valeur crête normalisée de 1

- étant donné la cohérence de la porteuse, son nombre de périodes pour la totalité

d’une séquence pseudo-aléatoire, est entier. La puissance moyenne passe de 1

(relation (5-253)) à 5,0 puisque la porteuse est d’allure sinusoïdale.

Il faut, ici aussi, prendre en compte la valeur moyenne de la séquence : elle est à

l’origine de la composante présente à l’emplacement de la fréquence porteuse, visible sur les

histogrammes ci-après. Cette valeur est donnée, dans le cas d’une séquence bipolaire, par la

relation (5-254) du sous-paragraphe 5-4-6-8 et, comme la modulation la met sous forme

cosinusoïdale, son module s’écrit :

1/15 12

1pF

m

Figure 5-48 : exemple de modulation, avec suppression de porteuse, de quelques

échantillons d’une séquence pseudo-aléatoire bipolaire (indiqués en bleu).

On constate aisément qu’à chaque changement de polarité d’un échantillon, la

porteuse change de phase de π : c’est le seul effet apparent de cette modulation.

-1

-0,5

0

0,5

1

5 6 7 8

t

132 132

C’est, à moins de 10-6

près, ce que donne la simulation pour les deux histogrammes ci-

après. La puissance correspondant à cette composante vaut donc :

450/12/2FF pp

P

Note : cette composante devrait faire partie du spectre passe-bande mais son origine, liée à la

valeur moyenne de la séquence, la rend non significative pour cet usage (ce qui n’est pas

génant si l’on augmente la valeur du degré du polynôme générateur).

La puissance disponible pour le reste du spectre (sans tenir compte de l’impact

éventuel du repliement spectral) est donc:

497777,0bandepasseP

Connaissant la puissance du spectre et à l’aide de la relation (5-264), nous pouvons en

déduire la puissance de l’une ou l’autre des deux composantes fondamentales :

035039,0FFpnorP

de même que leur module:

264721,0FFpnor

Intervention du repliement spectral : deux simulations ont été effectuées :

- la première simulation, avec 4 (soit, en respectant les paramètres attribués à

la séquence pseudo-aléatoire, 60.FFp ). L’histogramme de la figure 5-49 en

est l’illustration. On obtient pour les deux composantes fondamentales, les valeurs

numériques suivantes:

2625,0FFpnor et 2669,0FFp

nor

Ces valeurs sont à moins de un pour cent de la valeur théorique mais l’écart

s’accroit avec l’éloignement des composantes par rapport à la fréquence porteuse.

- la seconde simulation, avec 32 (soit, en respectant les paramètres attribués à

la séquence pseudo-aléatoire, 0.F48Fp ). L’histogramme de la figure 5-50 en

est l’illustration. On obtient pour les deux composantes fondamentales, les valeurs

numériques suivantes:

2644,0FFpnor et 2650,0FFp

nor

Ces valeurs sont à près de un pour mille de la valeur théorique et l’écart s’accroit

faiblement avec l’éloignement des composantes par rapport à la fréquence

porteuse.

L’impact du repliement spectral et.sa diminution lorsque la fréquence porteuse

augmente se trouve, comme au sous-paragraphe 4-3-9-10 du chapitre 4, vérifié.

133 133

Note : si l’on prend la demi-somme des modules, pour chaque simulation, on retrouve bien

la valeur de FFpnor (selon le nombre de chiffres significatifs exprimés).

La zone utile, définie au sous-paragraphe 5-4-5-1 sur la figure 5-33, est mieux

respectée dans ce second cas (rappelons qu’il s’agit de définir la zone de diminution

inférieure à 1 dB, du signal généré).

Note : si l’on repart de la relation (5-213), on peut définir le nombre de composantes

spectrales respectant le critère de zone utile en fonction du nombre de composantes, Zn ,

présentes dans un lobe. On obtient :

4/Zt nn (5-265)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

15 30 45 60 75 90 1095 F

ρ

Figure 5-49 : cet histogramme est formé à partir des mêmes paramètres de séquence pseudo-aléatoire que ceux de la figure 5-47 et le signal généré subit une modulation, avec

suppression de porteuse, à l’aide d’une porteuse de 60.F. Ceci explique la répétition

symétrique du spectre par rapport à cette fréquence porteuse.

La courbe en rouge décrit la fonction sinus cardinal : l’histogramme s’en éloigne de plus

en plus pour des composantes de rang élevé par rapport à la fréquence porteuse.

La zone en jaune définit la zone utile (1 dB de baisse de niveau par rapport au maximum).

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

435 450 465 480 495 510 525

F

ρ

Figure 5-50 : identique à la précédente hormis la fréquence porteuse, huit fois supérieure. L’histogramme et la fonction sinus cardinal coïncident presque parfaitement.

134 134

Dans les simulations ci-dessus on a pris, dans un objectif de lisibilité des histogrammes,

15Zn . On obtient alors une valeur de tn non entière. Le panneau jaune, pour les

figures 5-49 et 5-50, est un peu trop large. Mais dans la réalité, le degré du polynôme

générateur de la séquence pseudo-aléatoire est plus élevé et l’approximation se réduit.

5.4.6.11 Développement d’une application numérique destinée à

générer un spectre de type « passe-bande » évoluant en « sinus cardinal »

Cahier des charges :

Supposons que l’on désire générer un signal de caractéristiques suivantes (nous nous

basons, pour ce faire, sur les études développées aux paragraphes 5-4-5 et 5-4-6) :

- fréquence centrale : kHz200Fp

- zone utile: kHz20FZU (c’est-à-dire, zone dans laquelle les

composantes spectrales diminuent de moins de 1 db par rapport au niveau

maximum)

- résolution fréquentielle : Hz100F

Solution :

Comme le signal est issu d’une modulation alors que sa génération est réalisée dans le

domaine appelé « bande de base », (c’est-à-dire sans porteuse), on définit ses

caractéristiques dans ce domaine avant d’effectuer la transposition de fréquences.

- le nombre tn de composantes dans la zone utile, définie en bande de base (donc

sur la moitié de la zone utile du cahier des charges), doit au moins valoir :

100 F

1.

2

FZU tn

- le nombre Zn de composantes constituant le premier lobe de la fonction sinus

cardinal se déduit de la figure 5-33 du sous-paragraphe 5-4-5-1 et de la relation

5-213 du sous-paragraphe 5-4-5-4 :

400.4 tZ nn

- ceci permet de définir la fréquence F nécessaire pour gérer le circuit de

génération de la séquence pseudo-aléatoire utilisée:

kHznZ 04F.F

- or, le degré du générateur de séquences pseudo-aléatoires donnant la valeur

voisine (par valeur supérieure évidemment) de ce nombre de composantes par lobe

est : 9m

- la séquence obtenue comporte alors :

511' Zn composantes par lobe.

135 135

En définitive :

A partir d’une horloge de fréquence :

kHz04F ,

- d’un oscillateur à vérouillage de phase, calé sur la fréquence d’horloge, de

coefficient multiplicateur :

5 permettant d’obtenir :

kHz200Fp

- d’un générateur de séquences pseudo-aléatoires à neuf étages piloté par la

fréquence F permettant d’obtenir, de manière similaire à celle développée dans

le sous-paragraphe 5-4-6-6 et illustrée figure 5-41, le spectre désiré en bande de

base.

On peut alors reprendre la relation (5-232) du sous-paragraphe 5-4-6-3 donnant la

résolution fréquentielle effective :

F7812

40000F'

9

Hz

- ce qui correspond bien au cahier des charges

- et obtenir la fréquence porteuse (donc de transposition) désirée.

Après transposition de fréquence :

- le nombre de composantes fréquentielles tn '' , diminuant de moins de 1 db par

rapport au niveau maximum, est doublé de par la symétrie produite par la

transposition de fréquence (voir figure 5-50 du sous-paragraphe précédent) :

2562

12

2

'

4

'.2''

9

ZZt

nnn

En ce qui concerne la puissance :

Supposons que le niveau de la porteuse, d’allure trigonométrique, soit de cV1 (pour

se rapprocher de la figure 5-48) et que la charge présentée par le circuit électronique

utilisant cette génération spectrale soit de 50 (comme le plus souvent en électronique

de fréquence moyenne ou haute). La puissance totale du signal ainsi généré vaut :

mW10specP

136 136

Etant donné la valeur élevée du degré du polynôme utilisé, on peut :

- par la relation (5-255) du sous-paragraphe 5-4-6-8, négliger la puissance dissipée

dans la composante porteuse (résultant de la valeur moyenne de la séquence avant

transposition)

- dans la relation (5-264) du sous-paragraphe 5-4-6-10 rappelée ci-dessous (mais

sans l’indice “nor” puisqu’il s’agit ici de puissance réelle) :

1

1

.))12/(1²(sinc

12.2

PP

m

m

spec

- négliger 1 devant 12 m

- poser : 1)0²(sinc))12/(1²(sinc m (comme démontré au

sous-paragraphe 3-4-3-4 du chapitre 3)

On a alors :

μW20 .2mW10 11 PPP mspec

et, enfin, pour les deux composantes fondamentales, on obtient pour valeur efficace :

mV311 eff

En conclusion :

- le cahier des charges est bien respecté

- mais, pour ce faire, on a généré un spectre en sinus cardinal s’étendant sur une

gamme de fréquences bien supérieure, comme illustré figure 5-50 du sous-paragraphe

précédent, ce qui n’était pas nécessaire : un filtre passe-bande centré sur pF peut régler

ce problème

. l’ensemble des composantes se reproduit avec une périodicité donnée par la relation

(5-232) du sous-paragraphe 5-4-6-3 :

ms8,12F/)12(T Δ9 .

Ce procédé, relativement complexe tant sur le plan théorique que technique, permet de

faire des analyses spectrales de systèmes dont on ne peut relier l’entrée au signal « source » de

l’analyseur de spectre. Ceci se rencontre en particulier dans l’analyse de «canaux de

propagation » en télécommunications. Reste alors à bien régler les paramètres de l’analyseur

de spectre placé en réception… il ne faut pas oublier en effet, que la connaissance des

coefficients de Fourier implique une mesure sur une durée infinie : en mathématique, ce n’est

qu’un symbole, en électronique, c’est du temps passé.

137 137

5.5 L’IMPULSION DE DIRAC

Qu’est-ce qui se cache derrière l’expression « Impulsion de Dirac » lié au physicien et

mathématicien britannique Paul Dirac, l’un des Pères de la Mécanique Quantique, qui vécut

au XXe siècle ?

C’est ce que l’on se propose d’étudier dans ce petit paragraphe.

5.5.1 Comment un électronicien en prend-il conscience dans l’exercice

pratique de sa profession

La figure 5-51 décrit, en noir, un signal rectangulaire unipolaire et périodique de

niveau 1VV , de durée 1 et de période 1.5,2T et en bleu, un second signal

de même structure mais tel que le produit : 1122 .ΔV.ΔV .

Pour pouvoir interpréter les spectres de ces signaux que décrirait un analyseur de

spectre à balayage, nous donnons ci-dessous le module de la composante de rang n :

F)..(sinc.2..FV. nneff (5-266)

où 1/TF , désigne la fréquence de répétition du signal et est maintenue constante

pour les deux types de signaux considérés.

La figure 5-52 donne la valeur absolue des deux fonctions « sinus cardinal » qui

résultent des deux valeurs de : nous les désignerons alors par « enveloppe spectrale ». A

l’aide de flèches, nous positionnerons les différentes composantes pour l’un et l’autre signal.

TT

Δ2 Δ1

t

V1

1

V2

Figure 5-51 : deux signaux rectangulaires de période T identique :

- en noir : Δ=Δ1 =0,4.T et V=V1 - en bleu : Δ=Δ2 =0,2.T et V=V2 =2.V1

En conséquence : V1.T1=V2.T2

f

F 2.F 1/Δ1 3.F 4.F 5.F (1/Δ2 )

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figure 5-52 : valeur absolue des fonctions « sinus cardinal » utilisées dans

les modules des composantes spectrales des deux signaux de la figure 5-51.

Pour des valeurs de l’argument proches de zéro, les fonctions se rejoignent.

Pour une courbe donnée, le zéro du premier lobe est à la fréquence : f=1/Δ.

138 138

Ces résultats sont déduits du sous-paragraphe 5-4-5-4 (le nom de fonction « porte » est

une autre dénomination de ces signaux). Comme ce sous-paragraphe donne la valeur des

coefficients spectraux et non leur module, il existe, dans la relation (5-266), en plus de la

disparition du signe de la fonction sinc , un rapport 2 avec la relation (5-209) du sous-

paragraphe 5-4-5-4.

Note : la composante continue n’est pas traitée ici car elle n’apporte rien au spectre.

Pour les deux fonctions le coefficient F..V est identique.

La seule différence entre les deux spectres est liée à l’évolution des deux enveloppes

spectrales présentes dans la relation (5-266) et tributaire de la largeur des rectangles. Ces

deux enveloppes sont représentées figure 5-52. Il faut noter que les seules composantes

spectrales qui existent sont celles de fréquence F.n (avec n entier et positif) : la localisation

des composantes est donc identique pour les deux signaux et seul, leur niveau diffère.

Conséquence : plus diminue, tout en conservant F constant, plus le nombre de

composantes de niveau voisin de l’unité augmente : c’est le cas représenté par l’enveloppe

spectrale bleue par rapport à l’enveloppe spectrale noire.

Dans ces conditions : si l’on désire obtenir une valeur du module des premières composantes

spectrales indépendante de la largeur des rectangles, en repartant de la relation (5-266) ,

on doit poser :

cteV.Δ (5-267)

Observations importantes:

- ce produit a pour dimension physique « V.s » et ne peut donc en aucun cas être

assimilé à une surface (dont les deux grandeurs doivent être de dimension identique).

- si l’on veut réduire fortement la largeur de l’impulsion, on est confronté à deux

problèmes techniques :

- les transitions des rectangles ne peuvent se faire, techniquement parlant, en un

temps nul et, plus diminue, plus le rectangle prend une forme trapézoïdale

puis triangulaire

- la relation (5-267) impose, si l’on veut conserver un spectre de valeur initiale

constante, que le niveau des rectangles prenne des valeurs hors des possibilités

de l’électronique classique

Dans le langage électronicien, quand le rectangle voit sa largeur se réduire, il est

courant de dire que l’on a un « Dirac » sans se préoccuper des effets résultant des temps de

transits ni de ceux liés à la relation (5-267).

139 139

5.5.2 Approche de l’Impulsion de Dirac à partir du signal « rectangulaire

unipolaire et unique»

5.5.2.1 Présentation du signal rectangulaire unique de durée Δ

Considérons un signal rectangulaire unipolaire et unique que l’on serait capable de

produire avec des transitions de durée nulle. Ce signal est de durée . Donnons lui un

niveau valant /1 (donc qui est de dimension « s-1

») (figure 5-53). Techniquement parlant,

ce signal ne peut apparaître qu’après un temps , tel que 0 , suivant la mise en service

des appareils nécessaires à sa production.

Note pour les électroniciens : on est loin des temps négatifs chers aux mathématiciens mais

ces temps négatifs n’existent que pour des questions de symétrie, d’extension d’intégrale…

Ce décalage temporel par rapport à l’instant zéro n’a, comme le montre la propriété 7 des

intégrales de Fourier énoncée en fin du sous-paragraphe 5-2-6-3, d’effet que sur la phase et

non sur le module du spectre.

On peut définir le produit Pr des paramètres

durée et niveau du rectangle par la relation :

La transformée de Fourier, TF de ce signal a été

calculée au sous-paragraphe 5-2-7-1. Adaptée aux paramètres de ce paragraphe-ci, puisque le

coefficient 1Pr (il est de dimension unité), son module (ou enveloppe spectrale) s’écrit :

).(sinc).(sinc.PrTF ff (5-269)

(attention, ici f est une variable continue)

Note : une analyse spectrale par balayage d’un tel signal est inconcevable puisque ce signal

n’est pas répétitif.

5.5.2.2 Faisons tendre Δ vers zéro

Faisons tendre la durée du rectangle vers zéro et son niveau vers l’infini. Si l’on

considère l’encadré vert de la relation (5-268), même dans cette configuration particulière le

produit : Pr vaut encore l’unité.

Cette configuration du signal ainsi défini est appelée usuellement :

impulsion de Dirac : elle est désignée par () .

0 1 .

1Pr

tdt

(5-268)

Figure 5-53 : signal

« rectangle unique » et ses

différents paramètres.

0 τ Δ t → + ∞

1/Δ

140 140

Note : la valeur entre parenthèses désigne l’instant (ou tout autre paramètre quand la variable

n’est pas le temps) de l’existence de l’impulsion par rapport à l’origine. L’impulsion se

produit au moment où la valeur entre parenthèses est nulle. Si l’impulsion se produit à

l’instant (comme dans la figure 5-53), on écrit :

)( t (5-270)

En tout autre instant, sa valeur est nulle.

Comment se comporte la relation (5-269) donnant la transformée de Fourier de ce

signal quand 0 ?

Nous avons vu, figure 5-52, que plus la largeur du signal rectangulaire se réduit, plus

la largeur du lobe représentant l’enveloppe spectrale s’étend. Ceci entraine une augmentation

de la plage de fréquences dans laquelle la fonction « sinus cardinal » reste voisine de l’unité.

En conséquence : mathématiquement parlant, quelle que soit la valeur de la fréquence, on

peut trouver une valeur de la largeur de ce signal suffisamment petite pour que

1)(sinc f .

Donc : si l’on désire que f , et que TF reste égal à l’unité, il faut que :

- la largeur de ce signal tende vers zéro

- et que son niveau tende vers l’infini (pour que Pr reste égal à l’unité)

On peut alors écrire : 1).(inc.PrTF fs (5-271)

Note: l’opérateur « valeur absolue » disparaît puisque le premier lobe porte l’infinité des

fréquences et qu’il est positif.

Nous obtenons alors un spectre continu, s’étendant sur l’infinité des fréquences et de

niveau unité (donc de dimension « 1»), de par la définition du signal initial donnée sous-

paragraphe 5-5-2-1 et figure 5-53.

Un obstacle de taille : pour un physicien, il est évident qu’il est impossible de produire un

signal de niveau infini (donc d’énergie infinie !) et de durée nulle, mais rien ne rebute les

mathématiciens :

une autre approche est possible…

5.5.3 Approche Mathématique de l’Impulsion de Dirac

5.5.3.1 Transition

L’impulsion de Dirac est à la frontière de deux domaines des mathématiques : celui

des fonctions et celui de leur extension : les distributions.

L’encadré qui suit, ainsi que les notes, ont été rédigés par M.-T. Pourprix, Maitre de

Conférences honoraire en Mathématiques de l’USTL (voir « Avant-propos »).

Avertissement : pour les mathématiciens la variable est sans dimension (donc de dimension

« 1 ») : elle est désignée dans ce qui suit par x .

141 141

5.5.3.2 Fonction ? Distribution ? Qu’est-ce que l’Impulsion de Dirac ?

Souvent, quand on gagne en généralité mathématique, (par exemple, en

généralisant la notion de fonction par la notion de distribution), le problème est plus

abstrait et moins simple.

> Une fonction est définie par un espace départ (contenu dans R , qui désigne

l’ensemble des nombres réels, ou dans nR ), un espace d’arrivée et une application

qui fait correspondre à tout élément de l’espace de départ un élément de l’espace

d’arrivée. - On peut définir la somme, le produit de fonctions. Les notions de continuité,

de dérivabilité, d’intégration, de transformée de Fourier et de Laplace sont

définies sur les fonctions.

Cependant les deux exemples suivants (début du XXe siècle) ont justifié le besoin

de généraliser la notion de fonction (milieu du XXe siècle, Laurent Schwartz) :

- le premier exemple est fourni par l’impulsion de Dirac (qui n’est pas une

fonction mais peut être manipulée comme « presque » une fonction) :

0)( x pour 0x et )0( (5-272)

avec :

1).( dxx (5-273)

- le deuxième exemple est basé sur la notion de fonctions égales presque partout

que l’on trouve dans l’intégrale de Lebesgue (voir note 1). Autrement dit, si on

transforme une fonction en un nombre fini ou dénombrable de points, son

intégrale de Lebesgue n’est pas modifiée.

Ces deux exemples sont essentiels à la théorie de la transformée de Fourier. Ils

conduisent vers la notion de distribution.

> Une distribution se définit comme une application linéaire (voir note 2) de l’espace

S dans R .

Rappel : S est l’espace des fonctions localement intégrables c’est-à-dire

Indéfiniment dérivables sauf en un nombre fini de points, et intégrables

(au sens de Lebesgue) sur tout intervalle. Un signal rectangulaire, une

impulsion en sont des exemples.

SUITE

.

142 142

Note 1 Intégrale de Lebesgue : l'intégrale de Lebesgue étend la notion d'intégrale de

Riemann (représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une fonction) et facilite

la démonstration des théorèmes de passage à la limite.

Note 2 Application linéaire : l’application linéaire (ou opérateur linéaire) est

une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la

multiplication par un scalaire définie dans ces espaces vectoriels.

Note 3 Forme linéaire : une forme linéaire désigne une application linéaire telle que

l’espace d’arrivée est R .

> Une distribution n’est donc pas définie point par point comme une fonction mais est

définie par ses effets (ou son mode d’action) sur les fonctions. Ainsi une fonction

Sf peut être considérée comme une distribution car elle peut être, par définition,

considérée comme une forme linéaire (voir note 3) dans S par l’application linéaire :

).().( dxxgxfgfg (5-274)

(le symbole signifie « est envoyé dans… » et le symbole symbolise la

linéarité de l’opération faite (ou induite) par la distribution)

En conséquence :

- deux fonctions, 1f et 2f , égales presque partout, définissent la même

distribution, car pour tout Sg on a :

2

1 ).().().().( dxxgxfdxxgxf (5-275)

- l’impulsion de DIRAC est une distribution en ce sens où l’application suivante

est linéaire :

)0().().(

gdxxgxgg

(5-276)

On peut en déduire que : l’impulsion de Dirac est un « opérateur d’échantillonnage »

dans la mesure où elle sélectionne la valeur d’une fonction )(xg pour 0x .

Note : on peut définir la somme de distributions, la dérivée, l’intégrale, la transformée

de Fourier d’une distribution.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_(math%C3%A9matiques)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel

143 143

5.5.3.3 « Dimension » de l’impulsion de Dirac

Comme c’est le cas en mathématiques, dans le sous-paragraphe précédent, la variable

x était de dimension « 1 » (on dit aussi « sans dimension »).

Or dans la plupart des cas en physique, les variables représentent une grandeur qui

possède généralement une dimension : en électronique la variable est, le plus souvent, le

temps (sauf par exemple dans le cas d’une transformation de Fourier d’une fonction

temporelle où la variable devient la fréquence). Le paragraphe 6-1 de l’annexe est consacré à

la notion de dimension.

Il faut alors, pour rendre cette fonction exploitable, affecter la variable d’un coefficient

tel que l’argument de la fonction redevienne de dimension « 1 ». Par exemple, pour une

fonction trigonométrique, ce coefficient sera la pulsation , de dimension rad.s-1

(n’oublions pas que le radian est le rapport de deux longueurs, comme explicité au sous-

paragraphe 1-5-3-2 du chapitre 1 et est donc de dimension « 1 »). En conséquence l’argument

d’une fonction trigonométrique s’écrit t. et sa dimension est rad.s-1

.s=1.

En définitive, nous écrirons la fonction du temps sous la forme ).( tg où

désigne le coefficient précité.

Dans ce cas, l’impulsion de Dirac, les bornes d’intégration et la variable d’intégration

sont définies dans le domaine temporel et la relation (5-276) devient :

)0()0.()..().(

ggdttgt

(5-277)

En particulier si 1).( tg , cette fonction est constante et 1)0()0.( gg ,

on a alors :

1).( dtt (5-278)

L’impulsion de Dirac a, pour dimension, l’inverse d’un temps (il ne faut pas oublier en

effet, la présence de la variable d’intégration). Comme le montre la relation (5-278), son intégrale vaut l’unité.

Ce résultat est à rapprocher de celui obtenu pour le signal rectangulaire unipolaire du

paragraphe 5-1-2 et, en particulier, de la relation (5-268).

D’une manière générale, l’impulsion de Dirac a pour dimension, l’inverse de la

variable physique portée par l’abscisse.

144 144

Si l’impulsion de Dirac a lieu à l’instant , comme 0)( t si t ,

on a : ).().().().( gttgt

et donc :

).()..().()..().(

gdtgtdttgt

(5-279)

5.5.3.4 Retrouvons aisément la Transformée de Fourier de l’Impulsion de

Dirac

Le sous-paragraphe 5-5-2-2 nous en a donné une approche en considérant cette

impulsion dans le domaine des fonctions. Si nous nous plaçons dans le domaine des

distributions, la solution est immédiate.

En effet, grâce au sous-paragraphe 5-2-3-1 du paragraphe 5-2 consacré à l’intégrale

de Fourier, nous avons vu que l’on pouvait écrire, après adaptation des

dénominations des fonctions pour éviter toute confusion ( )(tg étant

remplacé par )(th et )( fG par )( fH ), la relation (5-6) sous la

forme (5-280).

On peut alors remplacer la fonction ).( tg de la relation (5-277) par la fonction

tfje ..2 de la relation (5-280) ce qui permet d’obtenir la Transformée de Fourier de )(t .

Notons que, dans ce cas particulier, cette transformée est désignée par )(TF f et non par la

majuscule de la fonction temporelle (comme dans la relation (5-280)):

1.).()(TF 0..2

..2

fjtfj edtetf

(5-281)

Nous retrouvons, par une autre approche, le résultat du sous-paragraphe 5-5-2-2 mais

plus simplement et avec plus de rigueur grâce à la théorie des distributions.

Remarque : si l’impulsion de Dirac est affectée d’un retard , il suffit alors de remplacer,

dans la relation (5-281), )(t par )( t pour obtenir :

..2sin...2cos.).()(TF ..2

.2 fjfedtetf fjttfj

(5-282)

-

..2 .).()( dtethfH tfj

(5-280)

145 145

5.5.4 Application de l’Impulsion de Dirac au prélèvement de signaux

électroniques dans le domaine temporel (appelé aussi « Echantillonnage »)

5.5.4.1 Transition avec le paragraphe précédent

Si l’on reprend les relations (5-277) et (5-279), on peut déduire que l’impulsion de

Dirac peut être considérée comme un « opérateur d’échantillonnage » dans la mesure où elle

sélectionne la valeur d’un signal (dont nous ne représentons que la composante fonction du

temps : ).( tg ) aux instants 0t et t . Le sous-paragraphe suivant en donne deux

exemples.

5.5.4.2 Le « Peigne de Dirac »

Depuis le sous-paragraphe 5-5-3-3, nous avons utilisé l’opérateur pour prélever la

valeur d’une fonction à un instant donné. S’il s’avère nécessaire d’obtenir cette valeur à des

instants réguliers, il existe un opérateur, issu de l’impulsion de Dirac, appelé « Peigne de

Dirac ».

Si l’on prend eT comme expression du temps séparant deux prélèvements consécutifs

sur la fonction ).( tg (ces prélèvements se répétant à l’infini), on appellera cet opérateur:

eT (voir figure 5-54). de sorte que :

k

ktt )T.()( eTe (5-283)

-6.Te -5 Te -4 Te -3 Te -2 Te - Te 0 + Te +2 Te +3 Te +4 Te +5 Te

t

eT

Figure 5-54 : représentation, sur une faible durée, du « peigne de Dirac ».

146 146

Appliquons cet opérateur à une fonction temporelle continue (donc sans discontinuité),

).( tg , la relation d’échantillonnage de cette fonction s’écrit :

On retrouve bien, grâce à la relation (5-283), la représentation généralisée de la

relation (5-279). Elle permet de prélever, à des instants régulièrement espacés d’une durée

eT , la valeur d’une fonction.

Exemple : si cette fonction est de la forme, telle que représentée figure 5-55 :

)12.T

T(2sin).(

e

e

ttg (5-285)

la relation (5-284) permet d’obtenir :

k

kdt

tt )

12.T

T).1(.(2sin.)

12.T

T.(2sin).(

e

e

e

eTe

(5-286)

-6.Te -5 Te -4 Te -3 Te -2 Te - Te 0 + Te +2 Te +3 Te +4 Te +5 Te

t

).(.eT tg

Figure 5-55 : application du peigne de Dirac à une fonction trigonométrique

k

kgdttgt )T..()..().( eTe (5-284)

chapitre 5 - polytech lille, ecole d'ingé · pdf filetraité...

Documents