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TRAITÉ D'HYDRAULIQUE À SURFACE LIBREGérard DEGOUTTE

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TRAITÉ D'HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE.

1.1- DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES..................................... 11

1.2 - DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES HYDRAULIQUES .................................... 13

1.2.1 - MASSE VOLUMIQUE ................................................................................................................................ 131.2.2 - POIDS VOLUMIQUE.................................................................................................................................. 131.2.3 - DÉBIT...................................................................................................................................................... 131.2.4 - VITESSE EN UN POINT DE L’ÉCOULEMENT ............................................................................................... 131.2.5 - VITESSE MOYENNE.................................................................................................................................. 131.2.6 - LIGNE DE COURANT ................................................................................................................................ 131.2.7 - TUBE DE COURANT.................................................................................................................................. 131.2.8 - PRESSION HYDROSTATIQUE EN UN POINT ................................................................................................ 141.2.9 - CHARGE HYDRAULIQUE EN UN POINT D’UN LIQUIDE EN MOUVEMENT..................................................... 141.2.10 - CHARGE MOYENNE DANS UNE SECTION ................................................................................................ 141.2.11 - LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE ......................................................................................................................... 151.2.12 - LIGNE DE CHARGE MOYENNE ................................................................................................................ 161.2.13 - CHARGE SPÉCIFIQUE ............................................................................................................................. 161.2.14 - POUSSÉE SUR UNE PAROI DU CANAL...................................................................................................... 171.2.15 - FROTTEMENT SUR UNE PAROI DU CANAL............................................................................................... 17

1.3 - LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT............................................................................... 18

1.3.1 - RÉGIME PERMANENT............................................................................................................................... 181.3.2 - ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME .................................................................................................... 181.3.3 - ÉCOULEMENT PERMANENT VARIÉ ........................................................................................................... 181.3.4 - RÉGIME TRANSITOIRE ............................................................................................................................. 18

1.4 - CALCUL DES ÉCOULEMENTS PERMANENTS UNIFORMES....................................................... 19

1.4.1 - RAPPEL DE LA DÉFINITION ...................................................................................................................... 191.4.2 - ÉQUATION DE CONTINUITÉ...................................................................................................................... 191.4.3 - ÉQUATION DU RÉGIME UNIFORME ........................................................................................................... 191.4.4 - FORMULE DE CHÉZY ET FORMULE DE MANNING-STRICKLER.................................................................. 20

1.5 - ÉCOULEMENTS PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIÉS .................................................... 26

1.5.1 - PRÉSENTATION DU PROBLÈME CONSIDÉRÉ.............................................................................................. 261.5.2 - ÉQUATION DE LA LIGNE D’EAU ; TIRANT D'EAU NORMAL ........................................................................ 261.5.3 - TIRANT D’EAU CRITIQUE......................................................................................................................... 271.5.4 - ÉCOULEMENT FLUVIAL, ÉCOULEMENT TORRENTIEL ............................................................................... 281.5.5 - CALCUL D’UNE COURBE DE REMOUS....................................................................................................... 29

1.6 - ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS ........................................................................................... 31

1.6.1 - RESSAUT HYDRAULIQUE ......................................................................................................................... 311.6.2 - TYPOLOGIE ET LONGUEUR DU RESSAUT .................................................................................................. 321.6.3 - POSITION DU RESSAUT ............................................................................................................................ 361.6.4 - SEUIL DÉNOYÉ OU NOYÉ ......................................................................................................................... 36

1.7 - ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES ........................................................................................................ 39

1.7.1 - LES DEUX ÉQUATIONS DE BASE ............................................................................................................... 391.7.2 - RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE BARRÉ DE SAINT VENANT (MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES) ......... 441.7.3 - PROBLÈMES RÉELS RENCONTRÉS ............................................................................................................ 451.7.4 - PROPAGATION DE CRUE DANS LES CHENAUX À FORTE PENTE.................................................................. 461.7.5 - PROPAGATION DE CRUE DANS LES CHENAUX À TRÈS FAIBLE PENTE ........................................................ 471.7.6 - CONCLUSION SUR LA PROPAGATION DES CRUES EN RIVIÈRE ................................................................... 49

1.8 - LOGICIELS DE CALCUL DE LIGNE D’EAU EN RIVIÈRES OU CANAUX.................................. 50

1.8.1 - LOGICIEL DE CALCUL PERMANENT ET FLUVIAL....................................................................................... 501.8.2 - LOGICIEL DE CALCUL TRANSITOIRE ........................................................................................................ 501.8.3 - CALCULER EN PERMANENT OU EN TRANSITOIRE ?................................................................................... 511.8.4 - MODÈLE À UNE OU À DEUX DIMENSIONS ? .............................................................................................. 52


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Une liste des notations figure en tête d'ouvrage.

Nous allons nous limiter à un chenal (rivière à lit unique ou canal) dont le tracé peut êtreraisonnablement considéré comme rectiligne. La géométrie du chenal peut alors êtreparfaitement définie par une succession de sections perpendiculaires à son axe. Il existe unedirection privilégiée de l’écoulement appelée axe de l’écoulement. Par voie de conséquence,la surface libre est supposée horizontale d’une rive à l’autre (absence de dévers). Lescomposantes verticales de l'écoulement ainsi que les composantes de rive à rive sont doncnégligées. Tous les paramètres géométriques peuvent être considérés comme des fonctionsde l’abscisse mesurée sur l’axe d’écoulement. Les vitesses sont supposées homogènesdans une section. Ce type d’approche est celle de la modélisation filaire (ou à unedimension). Le jargon classique emploie l’appellation « modèle 1D ». A la fin du chapitre 1du texte principal sont données quelques indications sur les logiciels 1D et 2D.La rivière est enfin supposée transporter de l'eau claire et avoir ses parois et son fond fixes.

1.1- DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES

Ces paramètres sont relatifs à une section du chenal dans un plan perpendiculaire à sonaxe, dont la position est définie par une abscisse (x). Les paramètres essentiels sont le tirantd’eau (y), la section mouillée (S), la largeur au miroir (L) ou largeur de la section mouillée, lepérimètre mouillé (P). Ils sont définis sur le schéma de la figure 1.1. Bien noter que lepérimètre mouillé est la longueur de paroi en contact avec l'eau (berges et fond), mais necomporte pas le contact eau-atmosphère.

Figure 1. 1 - tirant d’eau, largeur au miroir et section mouillée

Le rayon hydraulique est le rapport entre section mouillée et périmètre mouillé, R = S/P. Pour

un canal rectangulaire, y.2L

y.LR+

= . Pour un canal infiniment large, R = y.

La pente du chenal est la pente de son fond1, mesurée tout le long de son axe, et comptée 1 aussi appelé radier.

L : largeur au miroir

yP

périmètre mouillé

tirantd'eau

y

α


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positivement si le chenal est descendant. Elle est notée )sini(i α= . Si z désigne la cote du

fond, alors dxdzi −= .

Il ne faut pas se laisser abuser par l’appellation « paramètres géométriques ». Tous lesparamètres L, y, S, P, R dépendent du débit et ne sont donc pas des constantesgéométriques. Seule la pente (i) est une constante géométrique (c’est à dire indépendantedu débit, mais certes, pas forcément de l’abscisse).


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1.2 - DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES HYDRAULIQUES

1.2.1 - Masse volumique La masse volumique de l'eau est notée ρw et vaut 1000 kg/m3 dans le cas de l’eau sansmatières en suspension.

1.2.2 - Poids volumique Le poids volumique de l'eau est noté γw= g.ρw et vaut 9,81 kN/m3 pour de l’eau sans matièresen suspension. g désigne l'accélération de la pesanteur et vaut 9,81 m/s2.

1.2.3 - Débit Le débit (Q) est le volume d’eau qui traverse une section perpendiculaire à l’axe du chenalpar unité de temps.

1.2.4 - Vitesse en un point de l’écoulement Par définition, la vitesse (v) en un point de l'écoulement est celle de la particule qui passe en cepoint au moment considéré.

1.2.5 - Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est par définition V = Q/S, c’est à dire Sv.dsV ∫∫= , ds désignant un

élément de surface ( ∫∫= dsS ).

1.2.6 - Ligne de courant

Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points P au vecteur vitesseen ce point. Son équation est donc 0dPv =Λ (produit vectoriel).

En écoulement non permanent, la vitesse v au point P évolue dans le temps ; les lignes decourant se déforment donc avec le temps. En écoulement permanent, les lignes de courantne se déforment pas et constituent des trajectoires de particules d’eau. Le profil de la surfacelibre est une ligne de courant particulière.

1.2.7 - Tube de courant

Un tube de courant est le volume délimité par les lignes de courant qui s’appuient sur uncontour fermé.


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1.2.8 - Pression hydrostatique en un point

Dans un liquide au repos, w

pzγ

+ est constant. p désigne la pression appliquée à une

facette passant par le point considéré et ne dépend pas de l’orientation de cette facette. Elles'exprime en Pascal (symbole Pa ou N/m2). Dans ce qui suit, p désignera la pression relative(autrement dit, en surface d’un liquide p = 0). A une profondeur h sous la surface libre,

h.p wγ=

1.2.9 - Charge hydraulique en un point d’un liquide en mouvement

L'appellation charge hydraulique désigne une énergie par unité de poids de liquide. Par

définition, la charge en un point P d’une ligne de courant est la valeur g2

vpzH2

wPP ++=

γoù Pz est la cote du point, p la pression en ce point, v la vitesse au point P. Si z∆ désigne ladifférence d'altitude entre le point P et la surface libre, la pression (relative) en P est

z.p w ∆γ= (figure 1.2). Si Py désigne la distance du point P à la surface et si α désignel'angle du fond avec l'horizontale, α∆ cos/zyP =

Donc .cos/y.p Pw αγ= Dans les problèmes courants de rivières ou de canaux, la pente est

très faible (quelques %o à quelques %) et .1cos ≈α Par exemple, jusqu'à un angle de 8°,c'est à dire une pente de 14%, l'erreur n'est que de 1%.

D’où : Pw y.p γ= , comme pour un problème hydrostatique. Donc, en hydraulique à surface

libre et pour une pente faible, la charge en un point vaut aussi : g2vyzH 2PPP ++= .

Figure 1. 2 - pression en un point p = γw. ∆z

1.2.10 - Charge moyenne dans une section

En intégrant g2vyzH 2PPP ++= dans une section, il vient : g2VyzH 2

f β++= , où fz

désigne la cote du fond et y le tirant d’eau pour la section. Le coefficient β vaut 1 si la

α

y

P

P

��

.∆ z


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répartition des vitesses dans la section est uniforme. Sa formulation est : S.V

dsv3

3∫∫=β . En

rivière, β est généralement compris entre 1 et 1,2. Par la suite, c’est cette charge moyenneque nous utiliserons.

1.2.11 - Ligne piézométrique

C’est par définition le lieu de wP /pz γ+ lorsque P décrit une ligne de courant. Or

l'éloignement de P à la surface libre mesuré verticalement est w.cos

pγα

. Si la pente est

faible, cet éloignement est pratiquement égal à : w/p γ (figure 1.3).

La ligne piézométrique coïncide avec la surface libre dans un écoulement à surfacelibre à faible pente.

Figure 1. 3 - ligne piézométrique

p / γw

P

zP

��

ligne piézométrique = surface libre

ligne de courant

fond


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1.2.12 - Ligne de charge moyenne

La ligne de charge moyenne 2 est obtenue en reportant graphiquement g2V 2 au-dessus dela ligne piézométrique (figure 1.4). Sur cette figure, le tirant d'eau est assimilé à la distanceverticale entre le fond et la surface libre, toujours compte tenu de l'hypothèse de pente faible.Cette assimilation sera maintenue par la suite.

Figure 1. 4 - ligne de charge et ligne piézométrique

1.2.13 - Charge spécifique

La charge spécifique est la charge moyenne mesurée par rapport au fond du chenal :

g.2Vp zH H

2

wfs β

γ+=−= . La pression hydrostatique vaut αγ cosy.p .w= . Si la pente

est faible, y.p wγ= . D’où : )g.2/(V. y H 2s β+= (figure 1.5).

Figure 1. 5 - charge spécifique (β est ici supposé égal à 1)

2 ou ligne d'énergie.

H y

z

v / 2.g

f

P

2

��

fond

ligne de charge

surface libre

Hy

V / 2.g

s

2

��

fond

ligne de charge

surface libre


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1.2.14 - Poussée sur une paroi du canal

L’eau exerce une poussée égale à celle qui existerait si l’eau était au repos. Sur un élémentde section ds, la poussée est ds.pdP = avec y.p wγ= .

1.2.15 - Frottement sur une paroi du canal

L’eau étant en mouvement, exerce aussi sur les parois du chenal une force de frottementhabituellement notée : ds.dF 0τ= cf. figure 1.6.

0τ est la force de frottement par unité de surface ou contrainte tangentielle à la paroi.

L’expression consacrée est celle de force tractrice. C’est un abus de langage puisque l’ondevrait parler de tension. L’intérêt de cette notion de force tractrice apparaît plus clairementen examinant la condition de stabilité des grains qui constituent le fond ou les berges desrivières (cf. § 2.7 au chapitre 2).

Figure 1. 6 - forces appliquées par l'eau sur les parois

(l'une perpendiculaire, l'autre tangentielle)

d P= p .ds

d F=τ .ds0


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1.3 - LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT

1.3.1 - Régime permanent

Le chenal transporte un débit Q constant dans le temps. Le tirant d'eau y en un point donnéest donc aussi constant. En pratique, on peut calculer en régime permanent des canauxd'irrigation, des écoulements en rivière à l'étiage ou en régime moyen. Mais le calcul d'unécoulement en crue ne peut pas être abordé par le régime permanent.

Permanent : Q indépendant de yt ⇒ indépendant de t

Le régime permanent peut être uniforme ou varié selon la géométrie du chenal.

1.3.2 - Écoulement permanent uniforme

Les caractéristiques géométriques du chenal sont constantes tout au long du tronçonconsidéré : section mouillée S, pente i ainsi que la rugosité des parois. Le tirant d’eau estconstant tout au long du tronçon (appelé tirant d’eau normal). Dans le cascontraire l'écoulement est dit varié. Nous verrons que la pente ne peut être que strictementpositive. Voir paragraphe 1.4.

Permanent uniforme :)0(i,S > et rugosité indépendantes de x ; Q indépendant de t ;

y indépendant de x et t (appelé tirant d'eau normal).

1.3.3 - Écoulement permanent varié

L'écoulement est varié lorsque la géométrie ou la rugosité ne sont pas constantes. Mais ill'est aussi dans un tronçon dont la géométrie et la rugosité sont constantes si le tirant d'eaun'est pas constant. Nous distinguerons les écoulements graduellement ou rapidementvariés. Voir paragraphes 1.5 et 1.6.

1.3.4 - Régime transitoireLe débit varie en fonction du temps, et il en va donc de même du tirant d'eau en chaquepoint du cours d'eau. Le calcul du laminage d’une crue par un barrage est typiquement unproblème de calcul transitoire ; de même le calcul d'un écoulement de rivière en crue,surtout lorsque le lit majeur est sollicité. Voir paragraphe 1.7.


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1.4 - CALCUL DES ÉCOULEMENTS PERMANENTS UNIFORMES

1.4.1 - Rappel de la définition

Un écoulement permanent est en outre uniforme lorsque la géométrie, la pente et la naturedes parois restent inchangées et lorsque le tirant d’eau (y) garde une valeur constante. Unécoulement réellement uniforme se rencontre rarement dans les rivières, mais plutôt dansles canaux de grande longueur, à section et pente constantes. C’est néanmoins unécoulement auquel on se réfère souvent, même dans l’étude des problèmes réels nonuniformes. Souvent par simplification de langage, nous nous contentons de parlerd'écoulement uniforme, au sens d'écoulement permanent et uniforme.

1.4.2 - Équation de continuité

L’équation de continuité exprime que la masse de liquide sortant d’une section 2 est égale àla masse de liquide entrant dans une section amont 1 pendant le même intervalle de temps

t∆ (1). D’autre part, le liquide est supposé homogène et incompressible ( =wγ constante). Il y

a donc aussi continuité du volume.

Donc le volume entrant t.Q1 ∆ est égal au volume sortant 212 QQt.Q =⇒∆ .

En écoulement permanent (uniforme ou non), le débit se propage en restant constant.

Comme en outre y est constant par définition, S est aussi constant. La vitesse moyenneS/QV = est aussi constante.

En écoulement permanent uniforme, la section mouillée et la vitesse moyenne sontconstantes le long du chenal.

1.4.3 - Équation du régime uniforme

Soit i la pente du fond (dx

dzi f−= ). La pente de la surface libre est aussi égale à i car le

tirant d’eau est constant dans l’espace.

La charge moyenne en une section est par définition g2/VzyH 2++= (cf. § 1.2.10).Entre une section 1 et une section 2, la charge varie d’une quantité H1 – H2 appelée pertede charge (figure 1.7).

Le théorème de Bernoulli exprime que dans un écoulement permanent d'un fluide parfait(viscosité nulle), la charge est constante. Mais nous nous intéressons à des liquides réels(visqueux). Le théorème de Bernoulli généralisé exprime simplement que la variation de lacharge H∆ est égale à la perte de charge x.j ∆ .

La perte de charge linéaire (j) est donc identique à la pente de la ligne de charge

(1) C’est le fameux principe « rien ne se perd, rien ne se crée » de Lavoisier.


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dxdHj −= . D'où :

dxdz

g2

Vzydxdj f

2

f −=

++−= car y comme V sont constants. Il en

résulte : i ji = . Au passage, constatons qu'un écoulement uniforme n'existe que si la pente

est positive, ce que le bon sens indique.

Dans un écoulement uniforme la ligne de charge, la surface libre et le fond sont parallèles..

Figure 1. 7 - écoulement uniforme

1.4.4 - Formule de Chézy et formule de Manning-Strickler

Pour calculer complètement un régime uniforme, il reste à calculer le tirant d’eau y obtenulorsque le débit vaut Q. Il ne nous manque plus qu’une relation. Celle-ci consiste à écrireque dans l’écoulement uniforme, les forces appliquées à la masse fluide comprise entredeux sections espacées d’une distance l sont en équilibre.

Figure 1. 8 - frottement sur les parois

Sγ S.l.i

τ .P.l0

w

l α

��

HH

V / 2.g2

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fond

surface libre

ligne de charge


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Le poids de la tranche d’eau considérée sur la figure 1.8 est l.S.wγ . Sa projection sur lefond est .i.l.S.sin.l.S. ww γαγ =

Pour le même volume d’eau, la force de frottement est l.P.0τ (en effet, la surface de contactavec le liquide est l.P où P est le périmètre mouillé). D’où : lPilSw ..... 0τγ =

Soit : P/S.i.w0 γτ = , soit : i.R.w0 γτ = .

τo (déjà défini au paragraphe 1.2.15) est évidemment fonction de la masse volumique duliquide et de la vitesse de l’écoulement. Nous écrirons (par analogie avec les écoulementsen charge) : .g2/V..C 2

wf0 γτ = fC est le coefficient de frottement unitaire (sans

dimension). En hydraulique à surface libre, on préfère poser C,C/g2C 2f = s’appelant le

coefficient de Chézy qui s’exprime en m1/2/s-1.

D’où : 2

w0 CV

= γτ .

De ces deux relations, il résulte : i.RCV 2

=

.

Ce résultat s’écrit classiquement sous la forme iR C V .= (formule de Chézy).

Le coefficient de Chézy C dépend de la nature des parois et du rayon hydraulique. Pourl'estimer, une des formules expérimentales les plus utilisées est celle de Manning-Strickler

6/1R.KC = , K étant le coefficient de Strickler de dimension L1/3 T−1. Il dépend de la rugositédes parois du chenal.

En partant de la formule de Chézy et de la valeur du coefficient C donnée ci-dessus, nousobtenons la très classique et très importante formule de Manning-Strickler

2/13/2 iR.KV =

Elle s’écrit aussi : 2/13/2 iR.S.KQ =Avec V/SQ =

V vitesse moyenne ;K coefficient de rugosité (ou de Strickler) du lit ;S section mouillée ;R rayon hydraulique P/SR = ;P périmètre mouillé ;i pente (constante par hypothèse) du tronçon de cours d'eau (pente du fond).

Dans cette relation, R et S sont des fonctions du tirant d'eau y. La résolution de l'équationdonne y en fonction de Q. Le tirant d'eau obtenu est par définition le tirant d'eau normalbaptisé ny . La pente de la ligne d’eau est égale à celle du chenal et à la perte de charge par

unité de longueur.


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Cas particulier : dans une rivière très large, et de forme rectangulaire, le rayon hydrauliquedevient sensiblement égal au tirant d’eau.

On en déduit : 2/13/5 iy.L.KQ = . Il existe donc dans ce cas particulier une relation explicite

donnant le tirant d’eau en fonction du débit : 10/35/35/35/3 iLKQy −−−= .

Voici quelques ordres de grandeur du coefficient de Strickler.

Nature des parois Valeur de K en s/m 3/1

Béton lisse 75

Canal en terre, non enherbé 60

Canal en terre, enherbé 50

Rivière de plaine, sans végétation arbustive 35-40

Rivière de plaine, large, végétation peu dense 30

Rivière à berges étroites très végétalisées 10-15

Lit majeur en prairie 20-30

Lit majeur en vigne ou taillis 10-15

Lit majeur urbanisé 10-15

Lit majeur en forêt <10

Dans le cas d’un chenal dont le fond et les berges sont en graviers, des formulesempiriques ont pu être établies :

formule de Strickler : 6/150d/21K =

formule de Meyer-Peter et Müller : 6/190d/26K =

formule de Raudkivi : 6/165d/24K =

Dans ces formules, K est exprimé en s/m 3/1 et nd désigne le diamètre (en mètres) des

grains du lit tel que n% en poids aient un diamètre inférieur. Nous y reviendrons en détailau § 2.6. 90d représente donc les grains les plus gros ou presque. 50d est le diamètre

médian, (couramment appelé aussi diamètre moyen par confusion).

Nous recommandons l’emploi de la première formule lorsque la granulométrie est étroite etla seconde lorsqu’elle est étalée.

Attention : le coefficient de rugosité du lit d’une rivière varie en fait en fonction du tirantd’eau, c’est à dire en fonction du débit pour trois raisons :

• la rugosité du fond et celle des berges ne sont généralement pas identiques (matériauxplus fins, présence de végétation ou de protection ;


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• en cas de débordement, le lit majeur a une rugosité a priori différente de celle du litmineur ;

• enfin, la rugosité du fond varie selon que le fond est plat ou bien constitué de dunes,comme nous le verrons au chapitre 2.

Par exemple, sur la Loire moyenne, le diamètre moyen des matériaux du fond est souventassez proche de 1 mm. La formule ci-dessus conduirait pour le fond à K = 66 environ, alorsque le coefficient de rugosité du lit mineur vaut 30 à 35.

Si l’on s’intéresse au seul lit mineur, il est donc utile de distinguer le coefficient relatif aufond ( fK ), celui des berges ( bK ) et le coefficient global (K).

Rugosité composée

Il est assez courant que la rugosité du fond fK et celle des berges bK soient différentes.

Einstein (1934) a proposé de calculer la rugosité équivalente K de la manière suivante :

2/3b

b2/3

f

f2/3 K

PK

PK

P+= (cité dans [25] et [51]). Dans le calcul des périmètres mouillés fP et

bP relatifs aux berges ou au fond, seuls les contacts terre-eau sont à considérer.

Si par exemple la hauteur de berges vaut 2 m, la largeur du fond vaut 30 m, le coefficient derugosité du fond vaut 13/1

f sm35K −= et celui des berges 13/1b sm20K −= , on obtient :

2/32/32/3 2022

3530

K34

+= , d’où 13/1 sm32K −= .

Figure 1. 9 - rugosité composée

Cas d'un lit majeur :

La section est découpée en sous sections et le débit total est ainsi obtenu :∑=

jj

3/2jjj iR.S.KQ (voir figure 1.10).

Dans le calcul des périmètres mouillés jP , seuls les contacts terre-eau sont à considérer.

Dans le cas d’un chenal avec risbermes, les pentes ji sont toutes pratiquement égales.

Mais dans le cas du lit majeur d’un cours d’eau, 31 ii = représente la pente du lit majeur et)i(i 12 < celle du lit mineur.

P

PP

f

b1 b2

f

bb

K

K

K


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En pratique, on ne mesure pas séparément les coefficients des lits mineur et majeur. Parcalage d’une ligne d’eau, on peut faire une estimation du coefficient 2K du lit mineur, et sil’on peut observer une crue débordante, on peut faire une estimation du coefficient global.Ramette [51] et Nicollet [37], à la suite de mesures en laboratoire à Chatou, proposentpour le coefficient global :

6/1M

6/5m KK.9,0K =

où mK représente le coefficient de rugosité du lit mineur au moment du début dedébordement, et MK le coefficient du lit majeur. Cela traduit le fait qu’au moment dudébordement, l’écoulement dans le lit mineur est perturbé par les tourbillons qui sedéveloppent au contact des deux lits.

Figure 1. 10 - lits mineur (2) et majeur (1 et 3)

RÉSUMÉ : ÉCOULEMENT UNIFORME

→ 2/13/2 iR.S.KQ =

→ pente surface libre = pente ligne de charge = pente du fond

→ y = constante (tirant d’eau dit normal).

1 2 3


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Exercice sur le régime uniforme .

Soit un canal d’irrigation à section rectangulaire uniforme de pente (i) devant transiterun débit permanent Q. Quels sont le tirant d’eau (y) et la largeur (L) pour que la sectionmouillée soit minimale ?

Réponse : y = L/2 et 8/3

8/7

iKQ2L

= .

Résolution. La formule du régime uniforme, Q = K.S.R2/3.i1/2,montre que puisque Q, K et i sont fixés, si S est minimal,alors R est maximal. Puisque le périmètre mouillé P = S/R , P est aussi minimal. Donc dP = 0. Or P = L+2.y, d'où dL+2.dy=0⇒ dS=L.dy+y.dL = 0 ⇒ L.dy – 2.y.dy = 0, soit y=L/2.

La formule Q = K.S.R2/3.i1/2 en remplaçant S par L2/2 et R par L/4, se transforme en :

2/13/7

3/82/1

3/22i

2LKi

4L

2LKQ =

= . D'où L.

Nota : une revanche devra être adoptée, par sécurité.


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1.5 - ÉCOULEMENTS PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIÉS

1.5.1 - Présentation du problème considéré

En pratique dans un chenal uniforme, c’est à dire de section, pente et rugosité uniformes, letirant d’eau n’est constant qu’à une grande distance des extrémités. Près des extrémités,l’écoulement est varié, c’est-à-dire que le tirant d’eau varie. Plus généralement, l’écoulementest également non uniforme lorsque le chenal est non uniforme (sa géométrie et/ou sarugosité sont variables).

Ce chapitre se limite au cas des faibles variations. Un écoulement graduellement varié estobtenu lorsque :

• les dimensions, les formes, la rugosité, la pente du chenal varient faiblement sansbrusquerie ;

• le tirant d’eau varie faiblement.

La figure 1.12 illustre un exemple où l'écoulement est varié dans deux tronçons successifs.

1.5.2 - Équation de la ligne d’eau ; tirant d'eau normal

La charge moyenne dans une section d’abscisse x est :

2

2

f

2

f S.g.2Q z y

g.2V z y H ++=++= (cf. § 1.2.10).

avec y = tirant d’eau ;

zf = cote du fond ;

V = vitesse moyenne dans la section, ces trois valeurs y, zf ,V étant des fonctions de x.

Intéressons-nous à la perte de charge qui est dxdHj −= (cf. § 1.4.3).

D'où : dxdS

S.gQ

dxdz

dxdy

dxdHj 3

2f +−−=−= (car Q est constant tout au long du chenal ;

voir paragraphe 1.4.2)

D’autre part idxdz f −= et dy. L dy

yS dx

xS dS =

∂∂

+∂∂

= (L = largeur au miroir) 3.

D’où : dxdy.L

gSQi

dxdyj 3

2

++−= . Soit

3

2

S.gLQ1

ji dxdy

−

−= .

Pour le second membre, Q et i sont des constantes connues et L et S sont des fonctions

3 Nous supposons ici que S n’est fonction que de y, c’est-à-dire que

xS

∂∂

est nul ou tout au moins négligeable.


27

connues de y. Reste le terme j. On considère que la perte de charge a la même valeur qu’en

régime uniforme pour le même tirant d’eau et le même débit. Donc 3/422

2

R.S.KQj =

d’après la formule de Manning Strickler vue au § 1.4.4. C’est donc aussi une fonction connuede y.Nous avons bien une équation différentielle de la ligne d’eau. Puisqu’elle est du premierordre, le problème est complètement résolu avec une seule condition à la limite.

Remarques :

lorsque i = j on retrouve 0 dxdy

= (y = constante), c’est-à-dire le régime uniforme ;

nous n’avons pas le droit d’écrire l’équation différentielle ci-dessus lorsque 1LS.g

Q3

2=

(division par zéro). Nous allons y revenir.

Par définition, le tirant d'eau normal ( ny ) est la solution de l'équation différentielle en y :

0dx

dH s = . Or jidx

dHzHH ss −=⇒−= . ny est donc la solution de l'équation en y :

2/13/2 iR.S.KQ = . Nous constatons qu'en régime uniforme (i = j), le tirant d'eau réel estforcément le tirant d'eau normal. En régime non uniforme, si la pente est négative, il ne peutexister de tirant d'eau normal. Enfin, si la pente est positive, le tirant d'eau réel n'a aucuneraison d'être égal au tirant d'eau normal.

1.5.3 - Tirant d’eau critique

Intéressons-nous à dy

dH s . 2

2

s S.g.2QyH += (énergie spécifique ; cf. § 1.2.13).

D’où en dérivant :

∂∂

+∂∂

−= dxxS dy

yS

SgQdydH s 3

2

..

Par définition du régime graduellement varié, S varie peu avec x et le dernier terme est nul.

En admettant en outre que les pentes des parois sont fortes, LyS

=∂∂

.

D’où : LS.g

Q1 dy

dH3

2s −= .

L’énergie spécifique est donc minimale lorsque le tirant d’eau vérifie 1S.gLQ 32 = . Pardéfinition, cette valeur est appelée tirant d’eau critique )y( c . Remarquons que c’est

justement le cas où l’on ne peut pas écrire l’équation différentielle de l’écoulementgraduellement varié. Nous dirons tout simplement qu'au voisinage du tirant d’eau critique,l’écoulement n'est pas graduellement varié du fait de la courbure des filets liquides.

Le lecteur vérifiera facilement que l’énergie spécifique minimale est : L.2

SyH ccsc += .


28

Dans le cas d’un chenal rectangulaire, le tirant d’eau critique peut s’expliciter ainsi :

gV

L.gQy

23

2

2c == , et l’énergie spécifique minimale vaut : csc y

23H = .

1.5.4 - Écoulement fluvial, écoulement torrentiel

Posons 3

2

S.g

LQF = , appelé nombre de Froude. Il s'écrit aussi my.g

VF = , où

L/Sym = est le tirant d'eau moyen dans la section.

Le nombre de Froude est un nombre sans dimension dont le carré représente le rapport del’énergie cinétique du liquide en mouvement à l’énergie potentielle de la pesanteur. Il a unrôle tout à fait fondamental pour caractériser les écoulements.

En section rectangulaire, .y.LS = D’où y.gVF = . Il est souvent pratique d’utiliser ledébit linéaire ou débit par mètre de largeur du lit L/Qq = . Le nombre de Froude en section

rectangulaire s’écrit donc aussi : 3y.gqF = .

En section quelconque, 3my.gqF = .

Lorsque 1F = , le tirant d’eau est critique d’après ce qui précède.

De plus, d’après le § 1.5.3 : 2s F1dy

dH−= .

Lorsque 1F < (ou lorsque cyy > ) le régime est dit fluvial. sH est une fonction croissante

de y et l’on se trouve sur la branche de droite de la courbe figure 1.11.

Lorsque 1F > (ou lorsque cyy < ), le régime est dit torrentiel.

Figure 1. 11 - relation charge spécifique – tirant d’eau pour un débit donné!!! inverser fluvial – torrentiel sur dessin

La notion de régime fluvial, torrentiel ou critique s’applique évidemment au cas particulier durégime uniforme.

y

H

y y

H

yy1c

sc

s

1c

torrentiel fluvial

ligne decharge

surfacelibre


29

Lorsque cn yy < l’écoulement est uniforme torrentiel, et lorsque cn yy > l’écoulement est

uniforme fluvial.

La figure 1.11 ci-dessus a l’intérêt de montrer que pour une même énergie spécifique, deuxtirants d’eau sont possibles l’un fluvial, l’autre torrentiel. Bien entendu, la connaissance de lacondition à la limite aiguillera vers l’un ou vers l’autre, selon sa position par rapport à yc.

1.5.5 - Calcul d’une courbe de remous

Il s’agit simplement de résoudre une équation différentielle du premier ordre du type f(y)dxdy = connaissant une condition aux limites 0yy = pour 0xx = .

Attention, la condition doit être donnée à l’amont si l’écoulement est torrentiel et à l’aval s’ilest fluvial.

Donnons deux exemples avec un changement de pente net.

a) fluvial puis torrentiel (figure 1.12)

Figure 1. 12 - passage fluvial – torrentiel

La ligne d’eau amont est fluviale et le tirant d’eau tend vers l’amont vers le tirant d’eaunormal yn. La forme de la ligne d’eau est imposée par un contrôle aval, ici cyy = .

De même, dans la partie torrentielle, le tirant d’eau tend vers le tirant d’eau normal versl’aval. Le contrôle est amont (le même, cyy = ).

b) torrentiel vers fluvial

Dans ce cas les deux contrôles (amont du torrentiel, aval du fluvial) peuvent conduire à uneincompatibilité. L’équation différentielle de la ligne d’eau n’est pas applicable sur tout letronçon. Il s’agit d’un cas où l’équation de Bernoulli ne permet pas de conclure partout. Nousverrons au chapitre suivant (paragraphe 1.6.1) comment procéder.

Plus généralement, la résolution numérique de l’équation différentielle de la ligne d’eau doittoujours être confrontée à la réalité physique. La ligne d’eau réelle est limitée par des

yyy

n

cn

��

��

Fluvial

Torrentiel


30

singularités connues (seuils, vannes, …) voire par des singularités qui ne sont pas toujoursconnues à l’avance (ressauts).La figure 1.13 résume les différents types d’écoulement permanent.

Figure 1. 13– écoulements uniforme, graduellement varié, rapidement varié.

1 : uniforme fluvial2 : fluvial graduellement décéléré3 : rapidement accéléré (fluvial puis torrentiel)4 : ressaut5 : uniforme fluvial6 : rapidement accéléré (fluvial puis torrentiel)7 : uniforme torrentiel

��

��

��

��

1 2 34 5

6

7


31

1.6 - ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS

Les écoulements rapidement variés se rencontrent soit en cas de changements degéométrie brutaux en plan (convergents, divergents), soit dans le cas d’écoulements dont leslignes de courant deviennent très courbes (en profil).

1.6.1 - Ressaut hydraulique

Un ressaut est obtenu lorsqu’un écoulement torrentiel «rencontre» un écoulement fluvial. Lepassage se fait avec une forte discontinuité du tirant d’eau, et une importante agitation quidissipe une grande part de l’énergie acquise dans le tronçon torrentiel. L'observation montrede grands tourbillons, des remous ainsi que de nombreuses bulles d'air entraînées.

Le principe de conservation de l'énergie ne permet pas de conclure car la perte de chargedans le ressaut n’est pas connue.

Nous appliquons alors le théorème de la quantité de mouvement (ou théorème d’Euler), caril permet de nous passer de la connaissance des forces de frottement internes au fluide.Entre deux sections S1 et S2 encadrant le ressaut, la quantité de mouvement sortant àtravers la surface du volume fluide est égale à la somme des forces appliquées (cf. figure1.14). Il s’agit d’une égalité vectorielle, que nous allons utiliser en projection sur l’axe dufond du chenal. Pour simplifier le calcul, le chenal est supposé rectangulaire à fond plathorizontal.

Figure 1. 14 - passage torrentiel – fluvial (ressaut hydraulique)

Les forces en présence sont le poids, le frottement sur les parois et les forces de pression.En rapprochant au maximum les deux sections considérées, nous pouvons négliger lesdeux premières forces devant celles de pression.

En supposant le canal uniforme, les forces de pressions exercées par les parois sontperpendiculaires à l’axe. Leur projection est nulle. Restent les forces de pression sur lessections de sortie et d’entrée, 1pF et 2pF (figure 1.14).

2

1F

Fp2

p 1

��

S

S


32

∫ ==S Gwwp y.Sds.yF γγ où G est le centre de gravité de la section S.

D’où : ( )2G21G1w2p1p y.Sy.SFF −=− γ .

Pour simplifier, supposons la section rectangulaire 2/yyG =⇒ et .y.LS =

D’où : 2/)yy.(L.g.2/)yy.(L.FF 22

21w

22

21w2p1p −=−=− ργ . 1y et 2y désignent les

tirants d'eau de part et d'autre du ressaut (figure 1.16).

La variation de quantité de mouvement est :

( ) ( )

21

212

w12

2

w

12

2w

211

222w

111w222w

y.yyy

LQ

y1

y1

LQ

S1

S1Q)VSVS(

dtVdtVSVdtVS

dt)v.m(d

−=

−=

−=−=

−=

ρρ

ρρρρ

Le théorème de la quantité de mouvement implique donc :

212122

2121212

212 y.y)yy(L.gQ.2y.y)yy)(yy.(L)yy.(Q.2 +=⇒+−=− (car y2 = y1

n’est évidemment pas une solution intéressante).

En divisant par y13 , il vient : 3

12

2

1

2

1

2

y.L.gQ21

yy

yy

=

+ .

Ou bien, 0F.2yy

yy 2

11

22

1

2 =−+

, en introduisant le nombre de Froude amont F1.

Cette équation de second degré se résout en : 2

F.81y

2yy

21

11

2+

+−=

On arriverait de même à :2

F.81y

2yy

22

22

1+

+−= . y1 et y2 sont appelés tirants d’eau

conjugués.

On vérifiera que la perte de charge dans le ressaut est 21

312yy.4

)yy(H⋅

−=∆ (toujours dans

l’hypothèse d’un chenal uniforme rectangulaire à fond horizontal). Ces différentes formulessont intégrées dans l'abaque de la figure 1.16, fortement inspiré de Lencastre [39].

Valeur approchée : pour 3F1 > , la formule ci dessus se simplifie en : .y)2/1F2(y 112 −=

1.6.2 - Typologie et longueur du ressaut

D'après Lencastre [39], sont distingués cinq types de ressaut (figure 1.15).

• Le ressaut ondulé est obtenu pour des nombres de Froude inférieurs à 1,7. Seules


33

quelques légères rides sont observées en surface.

• Le ressaut faible est obtenu pour des nombres de Froude compris entre 1,7 et 2,5. Despetits tourbillons ou rouleaux prennent naissance.

• Le ressaut oscillant apparaît pour des nombres de Froude compris entre 2,5 et 4,5. Desturbulences fortes se produisent non seulement en surface, mais aussi au fond et cela demanière irrégulière. Ces turbulences peuvent se propager loin à l'aval.

• Lorsque le nombre de Froude est compris entre 4,5 et 9, le ressaut est dit établi oustationnaire. Il est bien localisé et efficace en terme de dissipation de l'énergie.

• Enfin, au-delà d'un nombre de Froude de 9, ce qui ne se rencontre pas en rivière, leressaut est dit fort. De véritables paquets d'eau sont projetés par intermittence.

Lorsque le nombre de Froude croît, le ressaut devient moins ondulé et présente un rouleaumarqué. Il est donc plus facile à stabiliser.

Figure 1. 15 - typologie des ressauts

La longueur du ressaut est par définition la distance entre sa face amont et la zone atteintelorsque toute l'énergie est pratiquement dissipée et ne provoque pas plus d'érosion quel'écoulement fluvial. Il faut être conscient de l’imprécision de cette définition. L'abaque de lafigure 1.16 permet d'estimer la longueur du ressaut )L( r en fonction du nombre de Froudeà l'extrémité du tronçon torrentiel et du tirant d'eau fluvial aval. Selon Sinniger et Hager [55],on peut également appliquer la formule )F8/(F35y/L 112r += , valable au-delà de

3F1 = .

Lorsque l'on dimensionne un bassin de dissipation d'énergie d'un ressaut, il est important debien noter que l'écoulement aval est indépendant du ressaut, et qu'il n'y a aucune raisonpour que la ligne d'eau fluviale aval rejoigne le tirant d'eau conjugué calculé. Lorsque letirant d'eau aval est supérieur, le ressaut est dit submergé. La dissipation d'énergiedemande plus de place, et selon Lencastre [39], la longueur du ressaut submergé est :

��

��

Ressaut ondulé

Ressaut oscillant

1 < F < 1,7

2,5 < F < 4,5

Ressaut établi

Ressaut faible

F > 4,5

1,7 < F < 2,5


34

.y.2,1y.9,4L 2avalr +=

Le dimensionnement des bassins de dissipation d'énergie à l'aval des seuils est traité auparagraphe 9.4.3.2.


35

Figure 1. 16 - détermination rapide des caractéristiques du ressaut

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0, 7 y / H1 1

F

F

H / H12

y / H2 1

Pas de ressaut

Ressaut ondulé1 < F < 1,7

Ressaut faible1, 7 < F < 2,5

Ressaut oscillant2,5 < F < 4,5

Ressaut établi4,5 < F < 9

yy

V /2g V /2gH

H1

1

1

22

22 2

∆H

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

7

6

5

4

3

2

1

L

L / y 2

Fond horizontal

Pente 5%

∆H/H1

1

1

1

1

1

1

y / H2 1

H / H12

F = V / g.y1 1 1

r

r

1

2

3

4

5

6

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

0,9

1


36

1.6.3 - Position du ressaut

Le ressaut se positionne à l’endroit où le tirant d’eau conjugué du tirant d’eau torrentielamont devient égal au tirant d’eau fluvial aval. Cette approche théorique conduit en fait àsupposer que la longueur du ressaut est nulle. En pratique, la longueur du ressaut estassez importante et vaut environ Lr = 4,5 à 6.y2 comme on l'a vu au paragraphe précédent.Cela permet alors de positionner avec plus de précision le début et la fin du ressaut. Sur lafigure 1.17, le ressaut se positionne là où la distance horizontale entre la ligne d’eau aval estécartée de Lr de la courbe amont des tirants d’eau conjugués.

Figure 1. 17 - positionnement du ressaut

1.6.4 - Seuil dénoyé ou noyé

Un seuil est dénoyé tant que l'écoulement aval n'influe pas sur l'écoulement au droit duseuil. Lorsque le débit est suffisant pour que l'écoulement aval conditionne l'écoulement audroit du seuil, le seuil est noyé ; le niveau d'eau obtenu à l'amont est alors supérieur à cequ'il serait si les conditions aval permettaient un fonctionnement dénoyé.

Loi de seuil dénoyé L'écoulement reste dénoyé tant que H’ < 2. H /3. H et H’ sont les charges spécifiquesrelatives à la crête du seuil (cf. § 1.2.13). H = y + V2 /2.g − p = y + Q2 /(2.g.S2) − p. Voirnotations en figure 1.18.La loi du seuil s'écrit alors : 23H.g.2.L.Q µ=

où L = longueur du seuil ; p = pelle du seuil . µ = coefficient du débit du seuil varie entre 0,32 et 0,50 selon que le seuil est mal ou bienprofilé et selon la charge sur le seuil.

longueur ressautLr

conjugué

��

��

fluvial

torrentiel


37

Figure 1. 18 - écoulement sur un seuil

Loi de seuil noyé Lorsque H’ > 2. H /3, l'écoulement au droit du seuil est influencé par le tirant d'eau aval, etl'écoulement sur le seuil est dit noyé. La loi devient alors : )'HH(g.2'.H.L'.Q −= µ avec

2/33' µµ = . Cette formulation a l'avantage de respecter la continuité des résultatsobtenus lorsque H’ vaut 2. H /3.Pour un même débit, la charge amont est supérieure à celle qui aurait été obtenue pour unécoulement dénoyé.

Lorsque l’on fait croître le débit, la limite dénoyé-noyé apparaît pour H’ = 2.H/3 c’est-à-direenviron pour y’ = 2.y/3. Or, au niveau critique : .2/y.3)g.2/(VyH c

2cc =+= La limite

noyé-dénoyé apparaît donc lorsque y’ atteint yc. Ceci n’est bien sûr possible qu’enécoulement fluvial. On en déduit que lorsque l’écoulement du tronçon aval du seuil esttorrentiel, le seuil est dénoyé pour tout débit. (Ce résultat est intéressant pour la conceptiondes évacuateurs de crue des barrages).

Attention au vocabulaire : dans le langage courant, un seuil noyé désigne plutôt un seuilne provoquant pas de forte dénivelée de la ligne d'eau. Cela est gênant, car au début duvrai ennoiement, il reste encore une dénivelée égale au tiers de la différence de charge.Pour éviter toute confusion, il convient de réserver l'appellation de seuil noyé au cas où lesconditions aval influent sur la charge sur le seuil. Pour qualifier un seuil qui ne marque plusvraiment l'écoulement, nous préférons dire qu'il est complètement noyé. Donc, lorsque ledébit croît, un seuil est successivement dénoyé puis noyé puis complètement noyé.

RÉSUMÉ pour les lois de seuil : Si H’ < 2. H /3 : 23..2.. HgLQ µ=

Si H’ > 2. H /3 : )'HH(g.2'.H.L'.Q −= µ avec 2/33' µµ =

��

��

H '

y

H

y '

ligne de charge

p


38

Seuils profilés

Lorsque l’on souhaite améliorer l'écoulement et éviter des dépressions entre la lame d'eauet le béton, on donne aux seuils la forme de la surface libre d'une lame déversante. Le profilclassiquement utilisé est le profil Creager d'équation :

z = 0,50. x1,85 / H0 0,85

où x (positif vers l'aval) et z (positif vers le bas) sont les coordonnées d'un point du profil desommet x = z = 0, et H0 la charge pour laquelle le seuil est calculé. Elle est comptée au-dessus du sommet du seuil. Pour une charge égale à H0, la pression appliquée parl'écoulement au seuil est égale à la pression atmosphérique. La pression est supérieure à lapression atmosphérique si la charge est supérieure et inversement.

Le raccordement entre le parement amont et la crête a une forme courbe constituée d’un arcde cercle (figure 1.19). Le rayon de l’arc de cercle et la distance de l’extrémité d’arc à l’axede la crête sont : r = 0,40.Ho ; d = 0,28.H0. (Source US Bureau of Reclamation).Le coefficient de débit d'un seuil Creager est d'environ µ0 = 0,50 lorsque la charge estvoisine de H0 , alors que pour un seuil plat il est de l'ordre de 0,32 seulement. Le bénéficeest donc significatif. Lorsque la charge H est très faible, le coefficient de débit tend vers0,385. Lorsqu'elle est très forte, il vaut environ 0,55. Selon V.T. Chow, cité dans [55], lecoefficient de débit varie ainsi en fonction de la charge :

( ) 12,000 H/Hµµ = pour 2H/H2,0 0 << avec 50,00 ≈µ .

Figure 1. 19 - seuil de type Creager

H 0 x

z

d

r


39

1.7 - ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES

1.7.1 - Les deux équations de base

1.7.1.1 - Conservation de la masse

Le principe de continuité exprime que la variation de la masse de liquide comprise entredeux sections pendant un certain temps est égale à la masse de liquide entrant moins lamasse de liquide sortant.

En supposant le liquide homogène et incompressible (1), le principe traduit la conservation duvolume.

Considérons les sections d’abscisses x et x+dx (figure 1.20).

Figure 1. 20 - volumes entrant et sortant d’un domaine élémentaire

A l’instant t, le débit entrant est Q, le débit sortant dxxQQ

∂∂

+ . La différence de volume

pendant l’intervalle de temps dt est donc dtdxxQ .

∂∂

− .

Cette variation est due au déplacement de la ligne d’eau entre t et t+dt qui engendre uneaugmentation de volume :

.dt.dxt

SdxdS∂

∂=. (parties grisées figure 1.20).

D’où 0t

Sx Q

=∂∂

+∂∂

.

Rappel des hypothèses :

- fluide homogène et incompressible ;

- problème filaire : à chaque abscisse, le niveau de l'eau est horizontal d'une rive àl'autre ;

- absence d’apports ou de départs latéraux (problème conservatif).

Mais, la dernière condition est facile à lever. Dans le cas d’un apport latéral uniforme q (en

(1) En hydraulique à surface libre, il est presque toujours parfaitement licite de considérer les liquides comme

incompressibles. En écoulement en charge, dans l’étude des coups de bélier, cette hypothèse n’est plusjustifiée. Elle ne l’est pas non plus dans l’étude de la cavitation (qui peut se produire dans des écoulementstrès rapides à surface libre ou en charge).

QQ+

xQ.dx

dx

y (x,t) y (x,t)

dSà t à t+dt

fond

à t + dtsurface libre à t


40

m3/s/m), ou d’un débordement latéral (q<0), l’équation devient : qt

Sx Q

=∂∂

+∂∂

.

Pour chaque couple (x,t), les inconnues sont Q et S. Il nous faut donc une deuxièmeéquation. C’est l’objet du paragraphe suivant.Cas particulier du régime permanent :

0 t S

=∂∂ par définition, donc 0

x Q

=∂∂

. On retrouve le résultat du paragraphe 1.4.2.

1.7.1.2 - Équation dynamique

Nous considérons à nouveau deux sections d’abscisses x et x+dx. Elles délimitent unvolume liquide D auquel nous appliquons le théorème de la quantité de mouvement. Cethéorème avait déjà été énoncé au paragraphe 1.6.1 à propos de la formule du ressaut. Il

consiste à écrire que la variation de quantité de mouvement dt

dM entre x et x+dx est égale à

la somme des forces extérieures ∑ )F( e appliquées au volume considéré. Il s’agit d’une

égalité vectorielle, que nous allons utiliser en projection sur l’axe du fond du chenal. Lesforces extérieures sont la gravité (action de la pesanteur) gF , les forces de pression pF et

les forces de frottement fF (cf. figure 1.21).

Figure 1. 21 - forces extérieures appliquées à un domaine D (!! α et non i surdessin)

La projection de la force de gravité vaut dxiSdF wg ...γ= (avec i = sin α).

La projection de la force de pression appliquée à la section amont est : Gwp h.S.F γ= , Gh

désignant la distance verticale par rapport au fond du centre de gravité G de la section S(c’est-à-dire le point d’application de la résultante de la force de pression appliquée à lasection S). Celle appliquée à la section aval est pp dFF + et la résultante appliquée au

domaine D par l’extérieur est pdF− .

x

x+dxdFf

F + dF

Fp

p p

��

γ Sidxw

volume liquide D

α


41

D’où : ( )dxh.Sx

dx x

FdF Gw

pp ∂

∂=

∂

∂= γ . On suppose ici (comme déjà fait au § 1.6.1.) que

les forces de pression appliquées par les parois ont une résultante perpendiculaire à l’axedu chenal. C’est en particulier vrai lorsque le chenal est de section uniforme.

Nous allons supposer, pour simplifier l’exposé, que la section est sensiblement rectangulaire(S = L.y et 2/yhG = ) et que la largeur L varie faiblement.

.dxxyS.dx

xyy.L.dx

x)2/y.L(dF ww

2

wp ∂∂

=∂∂

=∂

∂= γγγ

Enfin, la force de frottement appliquée par les parois est :dx.j.S.dx.P)j.R.(dx.P.dF ww0f γγτ −=−=−= où j est la pente de la ligne de charge.

Au total : ∑ ∂∂

−−=+−= dx)xyji.(S.dFdFdFF wfpge γ .

Pour calculer maintenant la variation de quantité de mouvement, considérons à l’instant t ledomaine D délimité par les deux sections écartées de dx et le domaine D’ obtenu à l’instantt+dt (cf. figure 1.22).

Figure 1. 22 - déformation du domaine pendant dt

La variation dM de la quantité de mouvement lorsque l’on passe de t à t+dt est la sommealgébrique de :• la variation de quantité de mouvement du volume commun à D et D’,

soit : dx.dttQ.dxdt

tQdx).Q.(ddx).V.S.(d wwww ∂

∂=

∂∂

== ρρρρ .

• la quantité de mouvement perdue à l’entrée de D,

soit : dtS

QdtSVVSdtV www

22 ....)...( ρρρ == ;

x

x+dx��volume liquide D à l'instant t

D ' à l'instant t+dt

��


42

• la quantité de mouvement gagnée à l’entrée de D, c'est à dire la valeur ci-dessus enremplaçant x par x+dx.

La somme algébrique des deux derniers termes est :

..)/()./.( 22

dxdtx

SQdxx

dtSQw

w

∂∂

=∂

∂ρ

ρ

Finalement, la variation globale de quantité de mouvement pendant dt est :

dx.dtx

)S/Q(tQdM

2

w

∂

∂+

∂∂

= ρ .

Il s’agit là du module d’un vecteur parallèle au vecteur vitesse, c’est à dire au fond du chenalen supposant négligeable la courbure des filets liquides.

Le théorème de la quantité de mouvement donne ∑= eFdt

dM (en projection sur l’axe du

fond). Après division par g/ww γρ = nous obtenons :

∂∂

−−=∂

∂+

∂∂

xyji.S.g

x)S/Q(

tQ 2

.

Telle est la seconde équation qui, jointe à l’équation de continuité, devrait permettre derésoudre le problème moyennant la connaissance adéquate des conditions initiales et auxlimites. Les inconnues sont ),( txQ et ),( txy ou indifféremment V(x,t) et y(x,t) puisque àchaque instant VSQ .= .Les données sont S (connu si y est connu) et i. Le terme j est la pente de la ligne de charge.On peut admettre qu’à chaque instant, la formule du régime uniforme est valable.

Ainsi : 342

2

.RKVj = avec la formulation de Strickler,

ou RC

Vj.2

2

= avec la formulation de Chézy.

Le premier terme de l’équation dynamique se transforme facilement :

xQV

xV Q

x(QV)

x/S)(Q et

tSV

tV S

tQ

∂∂

+∂∂

=∂

∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

=∂∂ 2

. Or, l’équation de continuité

permet d’annuler la somme xQV

tSV

∂∂

+∂∂

. Selon que l’on choisit comme variables d’état Q

et y ou V et y, le système d’équation s’écrit donc en admettant la formulation de Strickler pourles pertes de charge :

- formulation en débit :

( )3/422

22

R.S.KQji

xy

x/SQ

S.g1

tQ

S.g1

0xQ

tS

−=−=−

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

- formulation équivalente, en vitesse :


43

3/42

2

R.KVji

xy

xV

gV

tV

g1

0x

)S.V(tS

−=−=−

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂+

∂∂

Ces équations sont les équations de Barré de Saint Venant (1871). Elles ont étédémontrées pour des sections rectangulaires, mais sont valables pour des sections deforme quelconque.

Dans ces équations, il ne faut pas oublier que les inconnues Q, V, y sont des fonctions de xet t. R et S sont des fonctions de x et y. i est fonction de x (modèle à fond fixe) et K est uneconstante (ou éventuellement une fonction de x et même de y).

Dans le cas d’un apport latéral uniforme q (en m3/s/m), ou d’un débordement latéral (q<0),les équations ci-dessus restent valables en remplaçant 0 par q dans le second membre desdeux premières équations.

1.7.1.3 - Cas particuliers

Régime permanent non uniforme :

0tQ

=∂∂ .

Le système se réduit à :

Q = constante,

jidxdy

dx)S/Q(d

S.g1 2

−=+

D'où : jidxdy

dxdS

S.gQ

3

2−=+−

Supposons que la vallée ait des pentes latérales fortes. (Ce n’est pas le cas des champsd’inondation où d’ailleurs les écoulements peuvent rarement être considérés commepermanents). Alors dS = L.dy.

La deuxième équation s’écrit donc : jidxdy

S.gL.Q1 3

2−=

−

On retrouve, par une méthode différente, la formulation de l’écoulement graduellement varié(paragraphe 1.5.2).

Cas du régime permanent uniforme :

Le système d’équation se réduit à : Q = constante,

i = j

Résultat déjà vu au paragraphe 1.4.3.


44

1.7.2 - Résolution des équations de Barré de Saint Venant (méthode descaractéristiques)

La résolution analytique des équations de Barré de Saint Venant n'est pas possible, mais larésolution numérique est maintenant tout à fait courante sur micro ordinateur. Le principe enest soit la méthode aux différences finies, soit celle aux éléments finis. La méthodeclassique des caractéristiques que seule nous exposons présente cependant un intérêtpédagogique et conduit à des résultats intermédiaires intéressants.

Prenons par exemple la formulation en vitesse. En raisonnant non pas sur les variables debase (V et y) mais sur leurs dérivées partielles, nous avons formellement quatre inconnues

qui sont : , t V

xV

∂∂

∂∂ ,

ty

xy

∂∂

∂∂ et .

Aux deux équations de Barré de Saint Venant s’ajoutent deux relations évidentes :

- dttydx

xydy

∂∂

+∂∂

=

- dttVdx

xVdV

∂∂

+∂∂

=

Quatre inconnues, quatre équations : le problème est théoriquement résolu.

Prenons un chenal rectangulaire (S=L.y).

L’équation de continuité 0x

)S.V(tS

=∂

∂+

∂∂ devient :

0xVy

xyV

ty

=∂∂

+∂∂

+∂∂

En posant y.gc2 = (d’où xcc.2

xyg

∂∂

=∂∂

et de même en t), puis en éliminant y et faisant la

somme puis la différence des deux équations, on arrive très facilement au systèmed’équations où les inconnues sont V et c :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) j)g(ix

c2VcVt

c2V

j)g(ix

)c2V(cVt

c2V

−=∂−∂

−+∂−∂

−=∂+∂

++∂+∂

Nous pouvons passer des dérivées partielles aux dérivées totales puisque :

( ) ( )

dxx

)c2V(dtt

)c2V()c2V(d

dxx

c2Vdtt

c2Vc)2d(V

∂−∂

+∂−∂

=−

∂+∂

+∂+∂

=+


45

D’où ( ) j) g(idt

c2Vd−=

+ avec dtdxcV =+

( ) j)g(idt

c2Vd−=

− avec dtdxcV =−

Ce système de deux équations aux dérivées totales remplace le système des deuxéquations aux dérivées partielles de Barré de Saint Venant 4.

La relation cVdtdx

±= exprime que ygc .= est la célérité des intumescences (vitesse

pour un observateur qui suit l’écoulement) alors que dtdx

est la vitesse par rapport au sol.

Ces deux équations différentielles dans lesquelles V et c sont des fonctions de x et t,définissent les familles de trajectoires des perturbations (ou familles des caractéristiques).

Il est facile de généraliser à une section non rectangulaire en passant par le tirant d'eaumoyen L/Sym = .

Résultat : la célérité des intumescences vaut my.gc = .

Remarque : une autre façon de caractériser les régimes est la suivante :- si V < c, le régime est fluvial ;- si V > c, le régime est torrentiel ;- si V = c, le régime est critique. L'observation de ronds dans l'eau permet de déterminer la nature de l'écoulement. Si lapartie amont des ronds progresse vers l'amont pour un observateur fixe, l'écoulement estfluvial. Si l'écoulement est torrentiel sans être trop agité, l'observateur peut voir que tous lesronds sont emportés vers l'aval.

1.7.3 - Problèmes réels rencontrés

Les équations de Barré de Saint Venant permettent de résoudre tous les problèmesd’hydraulique transitoire dès lors que la courbure des filets liquides n’est pas trop forte etque la pression reste hydrostatique :

- propagation d’une crue en rivière ;

- ondes provoquées en amont et en aval d’une vanne fermée brutalement, ou ouvertebrutalement ;

- phénomène analogue pour la vidange ou le remplissage d’une écluse de canalnavigable ;

- phénomène analogue lors de l’arrêt ou de la mise en marche des turbines d’une centralehydroélectrique ;

4 Une présentation plus élégante conduit à une seule équation vectorielle dont les coefficients sont des matrices. Nous l'avonsvolontairement écartée pour ne pas encore accroître l'abstraction de la démonstration.


46

- onde de crue provoquée par une rupture de barrage.

Nous allons examiner plus en détail le cas des crues en rivière à pente forte puis faible.

1.7.4 - Propagation de crue dans les chenaux à forte pente

Dans le cas des chenaux à forte pente, et lorsque le lit majeur n'est pas très large, les

termes d’inertie )xy

gV

tV

g1(

∂∂

+∂∂

sont négligeables et la variation de profondeur

∂∂xy

sont

négligeables devant celle du fond (i). L’équation dynamique se réduit alors à i = j (ce quirevient à considérer que l’évolution du débit est suffisamment lente pour que l’écoulementsoit assimilé à une succession d’états où l’écoulement est uniforme). L’onde de crue est ditecinématique. Elle ne s’atténue pas.

D’où : iR.S.KQ 3/2= , relation univoque entre Q et y.

Transformons l’équation de continuité : 0xQ

tS

=∂∂

+∂∂

.

En un point d’abscisse 0x donnée, et si le chenal est prismatique uniforme, Q et S ne

dépendent que de y, tS

∂∂

peut être remplacé par 00 xx S

QtQ

tQ

QS

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂ . L’équation de

continuité se transforme en : 0xQ

SQ

tQ

0x=

∂∂

∂∂

+∂∂

. Il apparaît donc que 0x

c SQc

∂∂

= est

une estimation de la célérité de la propagation de la crue en un point donné (figure 1.23).

Figure 1. 23 - front de l’onde cinématique

Pour un chenal rectangulaire large dont la rugosité ne dépend pas du tirant d’eau, la céléritéde l’onde de crue est :

( ) V35iy.K

35

yi.y.K

yQ

L1

SQc 2/13/2

2/13/5

c ==∂

∂=

∂∂

=∂∂

= .

(Avec la formule de Chézy au lieu de celle de Strickler, nous obtiendrions 2/V3cc = ).

Comme les intumescences se propagent à la célérité y.gVcV +=+ , nous aurions ccc =

��

à tà t + x / c 0

0

c

x


47

si 3/V5y.gV =+ soit si h.g3/V2 = c’est-à-dire si 5,1F = (nombre de Froude).

En rivière, généralement F < 1,5. La crue se propage donc moins vite que lesintumescences.

1.7.5 - Propagation de crue dans les chenaux à très faible pente

Ce type de phénomène peut être résolu de manière approchée en négligeant les termesd’inertie (c’est-à-dire de quantité de mouvement) dans l’équation dynamique. Ainsi, pour une

crue du Rhône en aval de Lyon, les deux termes tV

g1

∂∂

et xy

gV

∂∂

sont de l'ordre de

grandeur de 10−5, alors que les termes de pente de la ligne de charge et du fond, i et j sontde l'ordre de 10−3. Par contre, la pente de la ligne d'eau n'est plus négligeable par rapport àcelle du fond.

L'équation dynamique se résume alors à jixy

−=∂∂

(appelée équation de l’onde diffusive).

Il est facile de démontrer comme au paragraphe précédent que si la section estrectangulaire et large, si la pente du fond i est constante et si la rugosité ne dépend pas dutirant d’eau, la crue se propage avec une célérité 3/V.5cd = .

L’onde de cette crue (appelée onde diffusive) s’amortit au fur et à mesure de sa propagationvers l’aval (figure 1.24), contrairement à l’onde cinématique.

Avec les hypothèses ci-dessus, il peut être établi que le coefficient d’atténuation de l’ondede crue vaut :

Q.2y.L.K

y.L2Q 3/102

≈=σ .

Une crue s’atténue donc d’autant mieux que le lit est large et que le tirant d’eau est élevé.

Figure 1. 24 - amortissement de l’onde diffusive(l’onde de crue en pointillé a parcouru la distance x)

Exemple classique d’atténuation de crue.

��

à t + x /c0 d

à t0

x

j < ij > i

j = i


48

Entre le bec d’Allier et Tours, sur près de 300 km, la Loire ne reçoit aucun affluent notable. La crue historique de

1866 s’atténue de la manière suivante grâce au rôle du lit majeur :

- 9300 m3/s au bec d’Allier (PK 0) à t = 0 ;

- 9200 m3/s à Gien (PK 100) à t = 12h ;

- 7600 m3/s à Orléans (PK 170) à t = 24h ;

- 6200 m3/s à Tours (PK 290) à t = 48h.

L'équation de l'onde diffusive est 0R.S.K

Qixy

3/422

2=+−

∂∂

, en introduisant la formulation de

Strickler.

Ou bien xyiR.S.KQ 3/2

∂∂

−= . Nous écrivons Q pour ne pas alourdir les équations, mais il

faudrait écrire Q(x,t).

Contrairement à la formule du régime permanent 2/13/2 iR.S.KQ = , celle du régime

transitoire (où i est remplacé par xyi

∂∂

− ) n’est pas univoque.

Dans un problème de type diffusif, à chaque valeur de Q correspondent donc deux tirantsd’eau y différents en crue ou en décrue (figure 1.25).

Figure 1. 25 - relation (Q-y) non univoque

Aussi, pendant une crue, seront atteints successivement :- l’instant où la vitesse est maximale ;

- celui où le débit est maximal ;- celui où le tirant d’eau est maximal.

Q

y

écoulement uniforme(onde cinématique)

écoulement non uniforme transitoire (onde dynamique)


49

Exercice sur l’onde diffusive e Soit une rivière à faible pente dont le lit rectangulaire est large mais de largeur variable.Donner l’expression du coefficient d’amortissement de la crue )(σ et de la célérité de l’onde

)c( d . On admettra que yR = et que le terme de frottement est régi par la formule de

Strickler.Quelle conclusion pratique pour la propagation des crues lorsque la vallée s’élargit ?Indication : ces deux paramètres apparaissent dans une équation de la forme

2

2

d xQ

xQc

tQ

∂∂

=∂∂

+∂∂ σ , qui est de type convection-diffusion.

Réponse :

xL

L3V.5c

Q.2y.LK

d

3/102

∂∂

+=

=

σ

σ

Si la vallée s'élargit, xL

∂∂ est positif, donc la crue se propage plus vite. Ce n'est pas ce que le

sens commun indiquerait.

1.7.6 - Conclusion sur la propagation des crues en rivière

Retenons pour la propagation des crues en rivière naturelle que :

❖ lorsque la pente est forte, et lorsque le champ d’inondation est réduit, la crue se propagesans s’amortir, et la relation (Q-y) reste univoque (onde cinématique) ;

❖ lorsque la pente est faible, la crue s’amortit et la relation (Q-y) n’est pas univoque (ondediffusive).

L’amortissement d’une crue met en évidence le rôle bénéfique des champsd’inondation. Les endiguements ou les remblaiements du lit majeur ont pour effet desupprimer ces amortissements. En les pratiquant, on transforme une onde diffusiveen onde cinématique (figure 1.26). Les conséquences peuvent en être très graves pourles riverains aval.

Figure 1. 26 - comparaison de la propagation d’une crue

avec ou sans épandage amont dans le lit majeur

��

avec épandage de crue

épandage supprimé


50

1.8 - LOGICIELS DE CALCUL DE LIGNE D’EAU EN RIVIÈRES OU CANAUX

1.8.1 - Logiciel de calcul permanent et fluvial

Supposons l'écoulement unidirectionnel. Les données nécessaires au calcul sont :

les données géométriques (pente, forme de la section) ; les coefficients de rugosité (ou de Strickler) ; le débit entrant dans le bief considéré ; la loi hauteur-débit à l'aval du bief.

Le bief est un tronçon de rivière compris entre deux affluents (ou défluents).

Le logiciel permet facilement de calculer les lignes d'eau pour plusieurs débits différents. Partâtonnements on obtient en particulier le débit de plein bord tronçon par tronçon (débit au-delà duquel il y a débordement sur l'une au moins des berges).

L'estimation des coefficients de Strickler est très approximative :• K varie de 15 à 40 pour le lit mineur5 selon la largeur du lit, sa sinuosité et l'état de lavégétation ;• K varie de 10 à 30 pour le lit majeur6 selon son occupation (prairie, taillis, habitations,forêt).

Quelques valeurs repère sont données au paragraphe 1.4.4, mais il est absolumentindispensable de réaliser un calage en comparant le résultat du calcul à une ligne d'eauobservée. L'idéal, est de bénéficier d'une crue presque débordante et peu pointue, depiqueter les niveaux atteints en plusieurs points et de jauger dans chaque bief le débit aumême moment, sauf si l'on dispose d'un limnigraphe. Le lever topographique des piquetsest ensuite effectué le plus tôt possible après la décrue. Lorsque, pour le débit de cruejaugé, le tirant d'eau calculé diffère du tirant d'eau observé, on modifie le coefficient deStrickler jusqu'à ce que les deux lignes d'eau soient assez proches l'une de l'autre.

Ce coefficient de Strickler est donc en fait utilisé comme un coefficient de calage intégrant larugosité des parois mais aussi les irrégularités géométriques. Les coefficients de perte decharge aux singularités hydrauliques (ponts, seuils ...) constituent aussi des paramètres decalage.

Lorsque la crue connue est ancienne, il faut en premier lieu travailler avec la géométrie del'époque si la géométrie du lit mineur a évolué (enfoncement, rescindement de méandres...)ou si l'occupation du lit majeur a changé. En second lieu on introduit la géométrie actuelledans le modèle ainsi calé.

Le calage nécessite des tâtonnements menés avec bon sens. Si la ligne d'eau obtenue esttrop haute, il faut augmenter le coefficient de Strickler du tronçon aval sans modifier celui del'amont. Si le calage conduit à un coefficient aberrant, par exemple 55, il faudra porter unregard critique sur les données et peut être en abandonner une. Ne pas chercher à atteindreune précision illusoire au cm et ne pas changer de coefficient à chaque section de calcul.Un modèle bien calé peut ensuite rendre de très grands bénéfices : calcul des débitsconduisant aux premiers débordements, simulation d'enlèvements de seuil, de coupure deméandre …

1.8.2 - Logiciel de calcul transitoire 5 espace occupé par l'écoulement pour les crues courantes.6 espace occupé par l'écoulement pour les crues les plus fortes (voir § 3.1).


51

Les données nécessaires sont du même type :• géométrie du lit (mineur + majeur) en un certain nombre de sections de données ;• rugosité (mineur, majeur), pour les mêmes sections ;• hydrogramme de crue à l'amont du bief Q(t) ;• loi de débit à l'aval du bief ou relation y(t) ;• ligne d'eau initiale (à t = 0).Le calage est également une opération fondamentale qui nécessite d'avoir des observationsfiables (en débit et en cote) pour de fortes crues ayant sollicité le lit majeur. Il faudra alorsfaire des hypothèses sur les coefficients (rugosité du lit majeur, coefficient de débit dupassage mineur majeur...) et tester leur sensibilité. Si l'on a la chance de disposer d'unecrue entonnée dans le lit mineur et d'une crue ayant noyé le lit majeur, la situation estidéale. La première crue permet, en régime permanent de caler le coefficient de Strickler dulit mineur. Ensuite, il reste à tâtonner en régime transitoire sur les coefficients du lit majeur.Si l'on ne dispose que d'une crue ayant coulé dans le lit majeur, il faut tenter de caler à lafois les coefficients de Strickler des deux lits. Pour cela, si par exemple le limnigrammecalculé à l'aval s'avère trop pointu par rapport au limnigramme connu, on peut diminuer lecoefficient du lit majeur.

1.8.3 - Calculer en permanent ou en transitoire ?

Il est fondamental de savoir :- si l'on doit effectuer un calcul permanent ou transitoire ;- quelles données topographiques et hydrologiques sont nécessaires ;- comment fonctionnent les connections entre le lit mineur et le lit majeur qui peut jouer unsimple rôle de stockage ou également participer à l'écoulement.

Sur un tronçon court, un calcul permanent peut suffire. Souvent, il est limité au lit mineur,sauf bien sur si l'on veut calculer les plus hautes eaux dans le lit majeur.

Mais lorsque l'on étudie l'aménagement d'un tronçon de grande longueur, l'influence surl'aval doit être calculée. En effet, l'aménagement modifie le rôle de laminage du lit majeur etles crues se propagent alors différemment à l'aval. Par exemple, un calibrage de rivière oula surélévation d'une partie du lit majeur ont pour conséquence de diminuer l'effet destockage transitoire du lit majeur. Les débits de pointe sont alors plus forts à l'aval(fig.1.27a). Au contraire, si l'aménagement consiste à favoriser les débordements dans unezone où cela est peu gênant, on diminue les débits de pointe à l'aval (fig.1.27b). Ce type desolution est malheureusement trop souvent ignoré ! Dans ces deux cas, un calcul transitoires'impose.

Figure 1. 27 - (a) effet d'un calibrage amont (b) effet d'un débordement amont

Pour savoir si un calcul transitoire apporte quelque chose, une bonne manière consiste àadopter le raisonnement que l'on emploie pour savoir si une retenue lamine la crue. Il s'agit

Q Q

t ta) b)

(1)

(2)

(2)

(1)


52

de comparer le volume de la crue entrante au volume stocké dans le tronçon. Si le premierest nettement supérieur, l'effet transitoire est négligeable et un calcul permanent suffit.

Avant d'entreprendre un calcul transitoire, il est clair qu'il faut :• disposer de la topographie du lit majeur et pas du seul lit mineur ;• connaître des formes d'hydrogrammes et non pas seulement des débits de pointe ;• faire des hypothèses sur la nature des connexions hydrauliques et la façon de lesmodéliser.

On retiendra que pour l'étude de l'influence d'un aménagement sur les débordements, uncalcul transitoire doit être entrepris en règle générale, avec prise en compte du lit majeur.

1.8.4 - Modèle à une ou à deux dimensions ?

Les modèles classiquement utilisés sont unidimensionnels (aussi appelés modèles 1D oufilaires). L'écoulement est supposé suffisamment rectiligne pour que chaque section soitsensiblement perpendiculaire à un axe dit axe de l'écoulement et soit définie par laconnaissance de son abscisse.

Parmi ces modèles, on distingue les modèles à bief unique, les modèles ramifiés quipermettent de considérer des affluents et enfin les modèles maillés qui autorisent la prise encompte de bras multiples. Dans un modèle 1D, le lit mineur et le lit majeur actif coulent enmême temps mais il est possible de différencier les coefficients de rugosité des deux lits.Pour les calculs transitoires, il est possible de considérer qu'une partie du lit majeur (nonactive) joue le rôle de champ d'expansion et communique avec le lit actif par des lois detype seuil (noyé ou dénoyé). Ces modèles simulent alors bien les propagations de crue surde longues distances et l'impact en grand d'aménagements importants. Les impacts locauxne peuvent pas être étudiés.

Les modèles bidimensionnels horizontaux (ou 2DH) sont libérés de cette hypothèsed'écoulement axial. Ils permettent de simuler en plan les écoulements et de tenir comptefinement des obstacles dans le lit majeur (sans avoir à faire une distinction entre un litmajeur actif et un lit majeur stockant).

Les modèles à casier sont intermédiaires. Ils permettent de prendre en compte des zonesdu lit majeur, appelées casiers, dont les contours s'appuient sur la topographie (coteaux,digues). Ces modèles supposent que la cote de l'eau est uniforme dans tout le casier et sontarchitecturés comme des modèles 1D. Les casiers communiquent avec le lit mineur et entreeux par des lois de type seuil ou orifice ou écoulement poreux dans une digue ou perte decharge par frottement sur le fond. Ces modèles moins coûteux en temps de calcul que lesmodèles 2D autorisent la prise en compte du rôle d'écrêtement du lit majeur mais ne doiventpas être utilisés sur de longues distances. Ils sont avantageux par rapport aux modèlesfilaires pour étudier des impacts locaux dans le lit majeur, en particulier ceux des obstaclestransversaux à la vallée (digues longeant le lit mineur).

Modèle ≠ modélisation . D'une manière générale, préférer toujours un modèle simple à un modèle sophistiqué pourlequel des données doivent être inventées. Le meilleur modèle ne compensera jamais lamédiocrité des données ni celle de l'utilisateur. C'est toute la différence entre un modèle,toujours d'emploi assez facile et la modélisation qui s’apparente plutôt à un art délicat.

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