ความรพนฐานทางคณตศาสตร

อ.อธศ ปทมวรรณ มหาวทยาลยนเรศวร

เนอหา

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 2

เซต ฟงกชน และ กราฟ ตวอกษร สตรง และภาษา เทคนคการพสจน ไวยากรณและออโตมาตา

ความหมายของเซต

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 3

เซต (Set) คอ กลมของวตถโดยไมค านงถงการจดเรยง เรยกสงทอยในเซตวา สมาชก

a เปนสมาชกของเซต S จะเขยนอยในรป 𝑎 ∈ 𝑆

a ไมเปนสมาชกของเซต S จะเขยนอยในรป 𝑎 ∌ 𝑆

𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} เซต S ประกอบดวยสมาชกคอ a, b c จะเขยนในรป

ลกษณะของเซต

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 4

เซตจ ากด (Finite Set ) ทราบจ านวนสมาชกทแนนอน

เซตไมจ ากด (Infinite Set) ไมทราบจ านวนสมาชกแนนอน

เซตวาง (Empty Set) ไมมจ านวนสมาชกเลย

𝑆 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

𝑆 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐, … , 𝑧}

𝑆 = { 1, 2, 3, … }

𝑆 = { 𝑛 | 𝑛 𝑚𝑜𝑑 3 = 0}

𝑆 = { } หรอ 𝑆 = 𝜙

เซตทเทากน (Equal Sets)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 5

เซตสองเซตจะเทากนกตอเมอเซตทงสองมสมาชกเหมอนกน เซต A เทากบ เซต B แทนดวย 𝐴 = 𝐵 เซต A ไมเทากบ เซต B แทนดวย 𝐴 ≠ 𝐵

𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐶 = {𝑐, 𝑏, 𝑎} 𝐴 = 𝐵 𝐴 = 𝐶

𝑋 = 0, 1, 3, 5 𝑌 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐼+, 𝑥 < 6} 𝑍 = {1, 3, 5, 7} 𝑋 ≠ 𝑌 𝑋 ≠ 𝑍

เซตทเทยบเทากน (Equivalent Sets)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 6

เซตทมจ านวนสมาชกเทากน และ สมาชกของเซตจบคกนไดพอดแบบหนงตอหนง

เซต A เทยบเทากบ เซต B แทนดวย 𝐴 ↔ 𝐵

𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝐴 ↔ 𝐵

𝑋 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐼+ 𝑌 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛, 𝑛 = 1, 2, 3, … } 𝑋 ↔ 𝑌

เซตทเทยบเทากน (Equivalent Sets)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 7

ถา 𝐴 = 𝐵 แลว 𝐴 ↔ 𝐵 ถา 𝐴 ↔ 𝐵 ไมอาจสรปไดวา 𝐴 = 𝐵

สบเซต (Subset)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 8

การทเซต A จะเปนสบเซตของเซต B ไดนนสมาชกทกตวของเซต A จะตองเปนสมาชกของเซต B

เซต A เปนสบเซตของเซต B แทนดวย 𝐴 ⊂ 𝐵 เซต B ไมเปนสบเซตของเซต C แทนดวย 𝐵 ⊄ 𝐶

A B C

สบเซต (Subset)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 9

เซตทกเซตเปนสบเซตของตนเอง 𝐴 ⊂ 𝐴 เซตวางเปนสบเซตของทกเซต ∅ ⊂ 𝐴 ถาเซต 𝐴 ⊂ ∅ แลว 𝐴 = ∅ ถา 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐶 แลว 𝐴 ⊂ 𝐶 𝐴 = 𝐵 กตอเมอ 𝐴 ⊂ 𝐵 และ B ⊂ 𝐴

เพาเวอรเซต (Power Set)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 10

ถา A เปนเซตใด ๆ เพาเวอรของเซต A คอ เซตทมสมาชกเปนสบเซตทงหมดของ A เขยนแทนดวย P(A)

𝐴 = ∅ 𝑃(𝐴) = ∅

𝐵 = {𝑎} 𝑃(𝐵) = ∅, {𝑎}

C = {𝑎, 𝑏} 𝑃(𝐶) = ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}

การด าเนนการทท ากบเซต (Set Operation)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 11

ปฏบตการระหวางเซต คอ การน าเซตตาง ๆ มากระท ากนเพอใหเกดเปนเซตใหมได ซงท าได 4 วธ คอ ยเนยน (Union) ยเนยนของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวยสมาชก

ของเซต A หรอ B อนเตอรเซคชน (Intersection) อนเตอรเซคชนของเซต A และ B คอเซตท

ประกอบดวยสมาชกของเซต A และ B คอมพลเมนต (Complement) คอมพลเมนตของเซต A คอเซตท

ประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเอกภพสมพทธ แตไมเปนสมาชกของ A

ผลตางของเซต (Difference) ผลตางของเซต A และ B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของเซต A แตไมเปนสมาชกของเซต B

ยเนยน (Union)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 12

𝑆1 ∪ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑜𝑟 𝑎 ∈ 𝑆2}

𝕌 = 1, 2, 3, … , 20 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 𝐵 = 2, 4, 6, 8, 10 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

𝕌

A B

อนเตอรเซกชน (Intersection)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 13

𝑆1 ∩ 𝑆2 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝑆1 𝑎𝑛𝑑 𝑎 ∈ 𝑆2}

𝕌 = 1, 2, 3, … , 20 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 𝐵 = 2, 4, 6, 8, 10 𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 4, 6}

𝕌

A B

ฟงกชน

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 14

ฟงกชน (Function) ท าหนาทในการเชอมโยงระหวางอนพทไปยงเอาทพท โดยอนพทหนงคาจะใหคาเอาทพทเพยงคาเดยวเทานน

𝑓 𝑥 = 𝑦 โดยท 𝑥 เปนอนพท และ 𝑦 เปนเอาทพท

𝑥 𝑓 𝑥 𝑦

input output

ความสมพนธ (Relation)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 15

ความสมพนธ (Relation) ท าหนาทในการเชอมโยงความสมพนธระหวางเซตของอนพท ทเรยกวาโดเมน (Domain) ไปยงเซตของเอาทพท ทเรยกวาเรนจ (Range)

𝑋 = 1, 2, 4 𝑌 = 4, 5, 6

ถาให 𝑅 เปนความสมพนธนอยกวา หรอเรยกวา 𝑅 เปนความสมพนธ จาก 𝑋 ไปยง 𝑌 โดยท 𝑥 < 𝑦 เมอ 𝑥 ∈ 𝑋 และ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑥𝑅𝑦 = { 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 4,5 , (4,6)}

ความสมพนธทเทาเทยมกน (Equivalence Relation)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 16

ความสมพนธแบบสะทอน (Reflexive) ความสมพนธแบบถายทอด (Transitive) ความสมพนธแบบสมมาตร (Symmetric)

ความสมพนธแบบสะทอน (Reflexive)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 17

𝑎𝑅𝑎 ส าหรบทก 𝑎 ทอยในเซต 𝑆 นนคอ 𝑎, 𝑎 เปนสมาชกในเซตของความสมพนธเชน 𝑎𝑅𝑎 = 1,1 , 2,2 , (3,3)

ความสมพนธแบบถายทอด (Transitive)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 18

ถา 𝑎𝑅𝑏 และ 𝑏𝑅𝑐 แลว 𝑎𝑅𝑐 นนคอ ถามความสมพนธ 𝑎, 𝑏 และ 𝑏, 𝑐 แลว จะตองม ความสมพนธ 𝑎, 𝑐 เชน 1,2 , 2,3 , (1,3)

ความสมพนธแบบสมมาตร (Symmetric)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 19

ถา 𝑎𝑅𝑏 แลว 𝑏𝑅𝑎 นนคอ ถามความสมพนธ 𝑎, 𝑏 แลว จะตองม ความสมพนธ 𝑏, 𝑎 เชน 1,2 , 2,1

กลมของความเทาเทยมกน (Equivalence Class)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 20

ส าหรบความสมพนธ 𝑅 ท เทาเทยมกน (Equivalence Relation) กลมของความเทาเทยมกน (Equivalence Class) ถกนยามโดย Equivalence Class of 𝑥 = 𝑦 𝑥𝑅𝑦 เชน 𝑅 = 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 1,2 , 2,1 , (3,4 , (4,3)} Equivalence Class of 1 = {1,2} Equivalence Class of 2 = {1,2} Equivalence Class of 3 = {3,4} Equivalence Class of 4 = {3,4}

กราฟ (Graph)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 21

กราฟ (Graph) คอโครงสรางขอมลทประกอบดวยสองสวนคอ โหนด (Nodes หรอ Vertices) กง (Edges)

แบงออกเปนสองประเภทใหญคอ กราฟทไมมทศทาง (Undirected Graph) กราฟทมทศทาง (Directed Graph)

B

A D

C

B

A D C

Undirected Graph

Directed Graph

การอธบายกราฟโดยไมใชแผนภาพ

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 22

ใชสญลกษณกราฟ 𝐺 = (𝑉, 𝐸) โดยท 𝑉 คอเซตของโหนดทอยในกราฟ 𝐸 คอคล าดบของโหนดเพอใชอธบายวาโหนดไหนเชอมตอกนบาง

𝐺 = ( 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 , 𝐴, 𝐵 , 𝐵, 𝐷 , 𝐵, 𝐶 , 𝐶, 𝐷 )

B

A D

C

ค าทตองรจกเกยวกบกราฟ

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 23

ดกร (Degree) จ านวนกงของโหนดหนงๆ กราฟยอย (Sub graph) A จะเปนกราฟยอยของ B กตอเมอ เซต

ของโหนดในกราฟ A เปนเซตยอยของเซตของโหนดในกราฟ B และเซตของกงภายในกราฟ A ตองเปนเซตยอยของกงในกราฟ B ดวย

การเดน (Walk) ล าดบของกงทเชอมตอกน ทาง (Path) การเดนโดยไมมกงใดถกผานซ า ทางแบบงาย (Simple Path) การเดนโดยไมมโหนดใดถกผานซ า

ค าทตองรจกเกยวกบกราฟ

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 24

ไซเคล (Cycle) กราฟททาง (Path) ใดๆ มจดเรมตนและสนสดเปนจดเดยวกน

ออยเลอรทวร (Euler Tour) ไซเคลผานทกกง โดยแตละกงจะผานครงเดยวเทานน

ฮามลโทเนยนไซเคล (Hamiltonian Cycle) ไซเคลเกดจากการผานโหนดทกโหนดของกราฟและจะผานแคครงเดยวเทานน

ตนไม (Tree)

ทฤษฎการค านวณ: ท าความรจกกบทฤษฎการค านวณ 25

ตนไม (Tree) กราฟทไมมทศทาง และไมม ไซเคล มจดทท าหนาทเปนจดเรมตนบนสดเรยกวา ราก (Root)

A

B C D

E F

G

ความลก (Depth) = 3 โหนดใบ (Leaf) ={B, G, F, D}

โหนดพอแม (Parent)

โหนดลก (Child)