Chapter 14 다중적분

Chapter 14 다중적분

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 14 다중적분

Contents

14.4 극좌표에서의 이중적분

14.6 삼중적분

14.7 원주좌표에서의 삼중적분

Chapter 14 다중적분

14.4 극좌표에서의 이중적분

극좌표

x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y2 = r2

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14.4 극좌표에서의 이중적분

이중적분의극좌표로의 변환

f가 R = {(r, θ) : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β, 0 ≤ β−α ≤ 2π} 위에서 연속이면∫∫R

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ b

a

f(r cos θ, r sin θ)rdrdθ

이다.

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14.4 극좌표에서의 이중적분

Example

x2 + y2 = 1과 x2 + y2 = 4에 의해 둘러사이고 x축 위쪽 반 평면에 있는

영역을 R이라 할때

∫∫R

(3x+ 4y2) dA를 계산하여라.

풀이.

Example

z = 0와 z = 1− x2 − y2에 의해 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라.

풀이.

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14.4 극좌표에서의 이중적분

Theorem영역 D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} 위에서함수 f가 연속이면,∫∫

D

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

f(r cos θ, r sinθ) r dr dθ

Example

z = x2 + y2아래, xy-평면 위, x2 + y2 = 2x의 안쪽에 놓여 있는 입체 도형의부피를 구하여라.

풀이.

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14.6 삼중적분

f가 직육면체

B = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}위에서 정의된 함수라 하자.

▶ B를 작은 부분 직육면체로 분할

Bijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], ∆V = ∆x∆y∆z

▶ 리만합

l∑i=1

m∑j=1

n∑k=1

f(x∗ijk, y

∗ijk, z

∗ijk

)∆V

Definition직육면체 영역 B위에서의 함수 f의 삼중적분은 다은 식의 극한이 존재할경우 극한으로 정의한다.∫∫∫

B

f (x, y, z) dV = liml,m,n→∞

l∑i=1

m∑j=1

n∑k=1

f(x∗ijk, y

∗ijk, z

∗ijk

)∆V

Chapter 14 다중적분

14.6 삼중적분

Theorem (삼중적분에 관한 푸비니의 정리)

f가 직육면체 영역 B = [a, b]× [c, d]× [r, s]에서 연속이면∫∫∫B

f(x, y, z) dV =

∫ s

r

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y, z) dx dy dz

=

∫ b

a

∫ s

r

∫ d

c

f(x, y, z) dy dz dx

= · · · · · ·

Example

B = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3}일 때∫∫∫B

xyz2dV 를

계산하시오.

풀이.

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14.6 삼중적분

일반적인 영역 위에서의 삼중적분

E = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}이면∫∫∫E

f (x, y, z) dV

=

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∫ u2(x,y)

u1(x,y)

f (x, y, z) dz dy dx

E = {(x, y, z) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}이면∫∫∫E

f (x, y, z) dV

=

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

∫ u2(x,y)

u1(x,y)

f (x, y, z) dz dx dy

Chapter 14 다중적분

14.6 삼중적분

Example

x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1으로 둘러싸인 사면체를 E라 할 때∫∫∫E

z dV를 계산하시오.

풀이.

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14.6 삼중적분

Example

y = x2 + z2과 y = 4에 의해 둘러싸인 영역을 E라 할 때

∫∫∫E

√x2 + z2 dV

를 계산하여라.

풀이.

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14.6 삼중적분

▶

∫∫∫E

dV = V (E): E의 부피

Example

평면 x+ 2y + z = 2, x = 2y, x = 0, z = 0에 의해 둘러싸인 사면체의 부피를삼중적분을 이용하여 구하여라.

풀이.

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14.7 원주좌표에서의 삼중적분

원주좌표P (r, θ, z): 원주좌표

▶ x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y2 = r2

▶ z = z

Example

1. 원주좌표가 (2, 2π/3, 1)인 점을 그리고, 그 직교좌표를 구하여라.

2. 직교좌표가 (3,−3,−7)점의 원주좌표를 구하여라.

풀이.

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14.7 원주좌표에서의 삼중적분

함수 f가 연속함수이고

E = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D,u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}

라고 가정하자. 여기서 D는 극좌표로

D = {(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}

로 주어진다면∫∫∫E

f(x, y, z) dV =

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

∫ u2(r cos θ,r sin θ)

u1(r cos θ,r sin θ)

f(r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ

Chapter 14 다중적분

14.7 원주좌표에서의 삼중적분

Example

x2 + y2 = 1의 내부, z = 4 아래 z = 1− x2 − y2위로 이우러진 입체를 E라 할

때

∫∫∫E

√x2 + y2dV를 구하여라.

풀이.

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14.7 원주좌표에서의 삼중적분

Example∫ 2

−2

∫ √4−x2

−√

4−x2

∫ 2

√x2+y2

(x2 + y2) dz dy dx.를 계산하여라.

풀이.