Chapter 4. 관계(Relations)

4.1 기본개념 및 정의

두 가정 A, B에는 아들이 각각 4명, 3명씩 있다. 즉,

A = {a1, a2, a3, a4}, B = {b1, b2, b3}

두 집합의 구성원 사이에 의형제를 맺다보니

“a2는 b1의 형이다.” “a3는 b3의 형이다.”

일 때, 이것을 순서쌍의 집합 R = {(a2, b1), (a3, b3)}로 나타낼 수 있다. 이

와같이 두 집합의 원소 사이의 일종의 관계를 순서쌍으로 표시할 수있다는 것

에 착안하여 다음과 같은 정의를 얻는다.

Definition 4.1.1 집합 A에서 집합 B로의 관계(relation) R은 A×B의

하나의 부분집합을 의미한다. 여기서 (a, b) ∈ R을 aRb로 나타내기도 하고,

a는 R에 따라 b와 관계된다 라고 읽는다.

Definition 4.1.2 집합 A에서의 관계(relation) R은 A×A의 임의의 부

분집합이다.

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Definition 4.1.2 R은 집합 A에서의 관계라 하자.

1. 반사율: 모든 x ∈ A에 대하여, (x, x) ∈ R일 때, 관계 R은 반사

적(reflexive) 이다 라고한다.

2. 대칭율: (x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R을 만족하면, 관계 R은 대칭

적(symmetric) 이다 라고한다.

3. 반대칭율: (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R =⇒ x = y을 만족하면, 관계

R은 반대칭적(antisymmetric) 이다 라고한다.

4. 추이율: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R =⇒ (x, z) ∈ R을 만족하면, 관계

R은 추이적(transitive) 이다 라고한다.

Example X = {1,2,3,4}에서의 관계

R = {(1,1), (1,4), (2,2), (2,4), (4,1), (4,2), (4,4)}

에 대하여 반사율, 대칭율, 반대칭율, 추이율을 말하여라.

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Examples:

1. A = {1,2,3,4}에서

R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,1), (4,4)}

이라하면 R은 반사율을 만족하지 않는다.

2. 집합 A는 유클리드 평면에서의 삼각형들의 집합이라하자. 집합 A에서

의 두 원소간의 관계는 “닮음”이라고 할 때, 이 관계는 반사율, 대칭율,

반대칭율, 추이율을 만족하는가?

3. 실수집합 R에서 R = {(x, y) | x < y}라 하자. 집합 R은 R× R의 부

분집합이므로 R에서의 관계이다. R이 반사율을 만족하는가?

4. A를 집합족이라하자. R의 두 집합의 관계는 다음과 같이 주어진다.

(A, B) ∈ A × A 이면, A ⊆ B이다. 그러면 R은 어떤관계의 정의를

만족하는가?

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Definition 4.1.3 집합 IA := {(x, x) | x ∈ A}를 대각 그래프 또는 대각관

계라고 한다.

Remark 관계 R이 반사적 ⇐⇒ IA ⊆ R.

Theorem 1 R이 집합 A에서의 관계일 때,

(1) R이 대칭적 ⇐⇒ R = R−1, 이 때, R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.

(2) R이 반대칭적 ⇐⇒ R ∩R−1 ⊆ IA.

(3) R 이 추이적 ⇐⇒ R ◦R ⊆ R.

Definition 4.1.4 1. 관계 R이 반사적, 대칭적, 추이적일 때, R을 동치관

계(equivalence relation)이라 한다.

2. 관계 R이 반사적, 반대칭적, 추이적일 때, R을 순서관계(order rela-

tion)이라 한다.

Example m이 주어진 양의 정수일 때, 정수집합 Z 위에서의 법 m에 관한

합동관계(또는 합동 ≡)이란 것은 적당한 k ∈ Z에 대하여

x− y = km⇐⇒ x ≡ y(mod m)

로 정의된 것을 말한다. 이 합동은 정수집합 Z 위에서의 동치관계이다.

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Exercise 다음 정수집합 Z 위에서의 관계에 대하여 반사율, 대칭율, 반대

칭율, 추이율을 말하여라. 또한 동치관계, 순서관계인지 아닌지 를 결정하여

라.

1. R = {(x, y) | x + y < 3}

2. R = {(x, y) | x | y}

3. R = {(x, y) | x, y 서로소}

4. R = {(x, y) | x + y =짝수}

5. R = {(x, y) | x = y ∨ x = −y}

6. R = {(x, y) | x + y =짝수 ∧ x 는 y의 배수}

7. R = {(x, y) | y = x + 1}

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4.2 동치관계와 분할 (Equivalence Relations and Partitions)

이 절에서는 동치관계에 관하여 공부하고 동치관계로부터 정의되는 집합의 분

할에 관하여 알아본다.

Definition 4.2.1 집합 X(X 6= ∅)의 임의의 공집합이 아닌 부분집합

족 P = {Ai}i∈I 대하여 다음의 성질이 모두 성립할 때 P를 집합 X의 분

할(partition) 이라고 한다.

P1. 모든 i, j ∈ I에 대하여, Ai ∩Aj = ∅ 또는 Ai = Aj

P2. X = ∪i∈I

Ai.

직관적으로 분할이란 집합 X를 서로 소인 부분집합들로 나누어 놓은 것으로

생각할 수 있다. 위의 정의에서 P1 조건은 두 집합 Ai와 Aj가 서로 소이거

나 같음을 나타낸다. 즉, 교집합이 공집합 이거나 교집합이 공집합이 아니라

면 두 집합은 같음을 나타낸다. 또한 Ai들은 X의 부분집합들 이므로 그 들

의 합집합도 부분집합이다. 이로부터 분할의 두 조건은 다음과 같이 다시 쓸

수 있다.

P1*. 만일 x ∈ Ai ∩Aj 이면 Ai = Aj이다.

P2*. X ⊆ ∪i∈I

Ai. 즉, x ∈ X =⇒ x ∈ Ai for some i ∈ I.

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Example:

1. 임의의 정수 n에 대하여,

Bn = {m ∈ Z | m− n = 5k for some k ∈ Z}

정수집합 Z의 분할을 Bn을 이용하여 나타내 보아라.

2. 실수 집합 R에서, 아래 와 같이 정의된 P = {Br}r∈R이 집합 R× R의

분할이 됨을 말하여라.

(1) 모든 실수 r에 대하여, Br = {(x, y) | y = x + r}

(2) 모든 실수 r에 대하여, Br = {(x, y) | x2 + y2 = r}

이제 수학의 여러분야에서 매우 중요하게 사용되는 동치관계와 분할사이의 관

계를 알아본다.

R이 집합 A에서의 관계라고 하자. 즉, R ⊆ A × A이다. 특히 R이 동치관

계(반사, 대칭, 추이)일 때, (x, y) ∈ R라고 쓰는 대신 x ∼R y 또는 간단히

x ∼ y라고 쓰기로 하고, “x와 y는 관계 R에 대하여 동치이다 라고 읽는다.

관계 R이 집합 A에서 동치관계 이므로 다음을 만족한다.

(1) 모든 x ∈ A에 대하여 x ∼ x

(2) x ∼ y =⇒ y ∼ x

(3) x ∼ y 이고 y ∼ z 이면 x ∼ z이다.

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Definition 4.2.2 관계 R이 집합 A에서의 동치관계라 하자. 집합 A의 원

소 x에 대하여 x의 동치류 Rx 는 다음과 같이 정의되는 집합이다.

Rx = {y ∈ A | (y, x) ∈ R} = {y ∈ A | y ∼ x}

즉, Rx는 x와 동치인 A의 모든 원소의 집합이다. Rx는 [x]로 쓰기도 한다.

Lemma 2 관계 R이 집합 A에서의 동치관계라 하자. 그러면

x ∼ y ⇐⇒ Rx = Ry

Proof. x ∼ y라 가정하자. 그러면

z ∈ Rx =⇒ z ∼ x =⇒ z ∼ y 가정 x ∼ y

=⇒ z ∈ Ry

따라서 Rx ⊆ Ry. 같은 방법으로 Ry ⊆ Rx이므로 Rx = Ry.

역으로 Rx = Ry라 하자. 그러면 반사율에 의하여 x ∼ x이다. 즉, x ∈ Rx.

그런데 Rx = Ry이므로 x ∈ Ry, 즉 x ∼ y이다. �

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Theorem 3 관계 R이 집합 A에서의 동치관계라 하자. {Rx}x∈A는 A의

모든 원소에 대한 동치류의 모임이라고 할 때, {Rx}x∈A는 집합 A의 분할이

된다.

위의 정리에서 집합 A의 분할 {Rx}x∈A을 동치관계 R에 의한 분할이라 하고

A/R = {Rx}x∈A로 나타내기도 한다.

Theorem 4 {Ai}i∈I를 집합 A의 분할이라하자. 집합 A에서의 관계 R을

다음과 같이 정의하자.

R = {(x, y) | x ∈ Ai ∧ y ∈ Ai for some i ∈ I}

그러면 관계 R은 A에서 동치관계이다. 또한 분할 {Ai}i∈I은 동치관계 R에

의한 분할이다. 즉, A/R = {Ai}i∈I

Exercise 실수 집합 R에서, 아래 와 같이 정의된 P = {Br}r∈R이 집합

R× R의 분할이다. 이 분할과 관계되는 동치관계를 정의 하여라.

(1) 모든 실수 r에 대하여, Br = {(x, y) | y = x + y}

(2) 모든 실수 r에 대하여, Br = {(x, y) | x2 + y2 = r}

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4.3 동치관계와 함수 (Equivalence Relations and Functions)

이 절에서는 하나의 함수로부터 정의되는 동치관계와 주어진 동치관계로부터

정의되는 함수에 관하여 공부한다.

f : X −→ Y 가 함수라 할 때, 집합 X위에서의 관계 R을 다음과 같이 정의

하자.

R = {(a, b) | f(a) = f(b)}

그러면 R은 집합 X위에서 동치관계이다. 이러한 관계를 함수 f에 의하여

정의되는 동치관계라 한다.

Exercise 위의 관계 R이 동치관계임을 보여라.

역으로, 집합 X위에서 관계 R이 동치관계라 하면, 함수 f : X −→ X/R은

다음과 같이 정의된다. 모든 x ∈ X에 대하여,

f(x) = Rx

여기서 X/R = {Rx | x ∈ X} 이고 Rx = {y ∈ X | y ∼ x}이다. 이러한 함

수를 정준함수(canonical function)이라 한다.

Exercise f : X −→ X/R 가 함수의 조건을 만족함을 보여라. 즉, 함수

f : X −→ X/R는 잘 정의된다.

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Theorem 5 관계 R이 집합 X 위에서의 동치관계라 하자. 만일 함수 f :

X −→ X/R이 정준함수라하면, 관계 R은 함수 f에 의하여 정의되는 동치관

계이다.

Proof. 함수 f : X −→ X/R이 정준함수라하고 G는 함수 f에 의하여 정

의되는 동치관계라하자. 그러면 R = G임을 보이자.

(x, y) ∈ R⇐⇒ Rx = Ry ⇐⇒ f(x) = f(y)⇐⇒ (x, y) ∈ G

�

임의의 함수 f : X −→ Y에 대하여, 관계 R을 함수 f에 의하여 정의되는 동

치관계라하자. 함수 f에 의하여 결정되는 3가지의 함수를 다음과 같이 정의

한다.

1. r : X −→ X/R은 정준함수이다.

2. s : X/R −→ f(A)는 모든 x ∈ X에 대하여, s(Rx) = f(x)로 정의 되

는 함수이다.

3. t : f(A) −→ B는 모든 y ∈ f(A)에 대하여 t(y) = y로 정의한다.

이 때, f(A) = {y ∈ Y | y = f(x)for some x ∈ X} 이고 t는 포함함수이

다.

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Theorem 6 함수 f : X −→ Y에 대하여, 관계 R을 함수 f에 의하여 정의

되는 동치관계라하자. 함수 r, s, t는 위와 같이 정의 된다고 하자. 그러면,

r은 전사함수, s는 전단사함수, t는 단사함수이고, f = t ◦ s ◦ r이 성립한다.

Proof.

1. Rx ∈ X/R이면, x ∈ X 이고 r(x) = Rx이므로 r은 전사함수이다.

2. f(x) ∈ f(A)이면, x ∈ X, Rx ∈ X/R이고 f(x) = s(Rx) 따라서 s는

전사함수이다.

3.

s(Rx) = s(Ry) =⇒ f(x) = f(y) =⇒ (x, y) ∈ R =⇒ Rx = Ry

이므로 s는 단사함수이다. 즉, s는 전단사함수이다.

4. t(y1) = t(y2) =⇒ y1 = y2이므로 t는 단사함수이다.

5. 모든 x ∈ X에 대하여

t(s(r(x))) = t(s(Rx)) = f(f(x)) = f(x)

이므로

[t ◦ s ◦ r](x) = f(x) =⇒ t ◦ s ◦ r = f

�

위의 정리에서 t ◦ s ◦ r을 f의 정준합성이라고 부른다. 또한

Exercise f : X −→ Y가 전사함수이면 X/R과 Y는 일대일 대응관계가 있

다.

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