chƣơng 5: hÀm nhiỀu biẾn (functions of several … · 2019. 10. 5. · xác định tại...

VLU/Calculus1/ChapterV_ Functions of several variables _/ of 14

Chƣơng 5: HÀM NHIỀU BIẾN (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES)

5.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA (DEFINITIONS):

HÀM HAI BIẾN (FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)

Ký hiệu hàm hai biến: ,z f x y với x, y là các biến độc lập và z là biến phụ thuộc.

Ví dụ 1: Với mỗi hàm số sau, tính 3,2f và tìm miền xác định.

(a) 1

,1

x yf x y

x

(b) 2, lnf x y x y x

Giải:

(a) 3 2 1 6

3,23 1 2

f

Miền xác định của hàm số f :

, / 1 0, 1D x y x y x

(b) 23,2 3ln 2 3 0f

Miền xác định của hàm số f :

2, /D x y x y .

Ví dụ 2: Tìm miền xác định và miền giá trị của

2 2, 9g x y x y .

Giải: Miền xác định của hàm số g:

2 2 2 2, / 9 0 , / 9D x y x y x y x y

D chính là đĩa tròn có tâm 0,0 và bán kính bằng 3.

Miền giá trị của g: 2 2/ 9 , , 0,3z z x y x y D

vì 2 20 9 3x y .

ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự

,x y trong tập 2D D R với một số thực duy nhất được kí hiệu là ,f x y . Tập D là miền

xác định (domain) và tập , / ,T f x y x y D R là miền giá trị (range) của hàm f


ĐỒ THỊ (GRAPHS)

Ví dụ 3: Phác họa đồ thị hàm số , 6 3 2f x y x y .

Giải: 6 3 2 3 2 6z x y x y z : phương trình mặt phẳng

Để vẽ mặt phẳng ta cần xác định giao điểm của nó với các trục tọa độ:

Cho 0y z , ta có 2x mặt phẳng giao trục x tại 2x

Tương tự giao với trục y tại 3y và trục z tại 6z

Ví dụ 4: Phác họa đồ thị hàm số 2 2, 9g x y x y .

Giải: 2 2 2 2 29 9z x y x y z

Đây là phương trình mặt cầu tâm O bán kính 3. Vì 0z nên đồ thị

của g là nửa trên của mặt cầu.

HÀM SỐ BA HAY NHIỀU BIẾN HƠN(FUCTIONS OF THREE OR MORE VARIABLES)

Hàm số ba biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ số có thứ tự , ,x y z thuộc miền xác định

3D R với một số thực duy nhất được kí hiệu là , ,f x y z .

Ví dụ 5: Tìm miền xác định của f với , , ln sinf x y z z y xy z .

Giải: Hàm số xác định khi 0z y . Vậy miền xác định của hàm số là:

3, , /D x y z R z y [Đây là tập các điểm nằm phía trên mặt phẳng z y ]

Hàm số n biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ số có thứ tự 1 2, ,..., nx x x thuộc nR với

duy nhất một số được kí hiệu là 1 2, ,..., nz f x x x .

Ví dụ 6: Một công ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác nhau để chế biến một loại thực phẩm.

Nếu ci là chi phí trên mỗi đơn vị sản phẩm và xi là số đơn vị sản phẩm được sử dụng của nguyên

liệu thứ i, khi đó tổng chi phí C dùng cho nguyên liệu là hàm số n biến x1, x2, …, xn.

1 2 1 1 2 2, ,..., ... n n nC f x x x c x c x c x .

5.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC (LIMITS AND CONTINUITY):

GIỚI HẠN (LIMITS)

ĐỊNH NGHĨA: Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D

thì đồ thị của f là tập hợp tất cả các điểm 3, ,x y z sao

cho ,z f x y và ,x y thuộc D

ĐỊNH NGHĨA: Cho f là hàm hai biến có miền xác định D chứa các điểm gần ,a b . Giới

hạn của ,f x y khi ,x y dần về ,a b là L nếu với mỗi số 0 tồn tại tương ứng số

0 sao cho với ,x y D và 2 2

0 -x a y b thì ,f x y L .

Ta viết:

, ,lim ,

x y a bf x y L

hay lim ,

x ay b

f x y L

hay ,f x y L khi , ,x y a b


Nếu 1,f x y L khi , ,x y a b theo đường 1C và 2,f x y L khi

, ,x y a b theo đường 2C , với 1 2L L thì

, ,lim ,

x y a bf x y

không tồn tại.

Tập 2 22, , :D a b x y R x a y b gọi là đĩa (disk) tâm (a,b), bán kính .

Ví dụ 1: Chứng minh

2

2 2, 0,0

3lim 0

x y

x y

x y

.

Giải: Với > 0, tìm > 0 sao cho: nếu 2 20 x y thì 2

2 2

30

x y

x y

Ta có:

222 2 2

2 2 2 2

330 3 3 3

x yx yy y x y

x y x y

. Chọn /3 , với :

22 2 2 2

2 2

30 0 3 3 3

3

x yx y x y

x y

. Vậy

2

2 2, 0,0

3lim 0

x y

x y

x y

.

Ví dụ 2: Chứng minh

2 2

2 2, 0,0lim

x y

x y

x y

không tồn tại.

Giải: Đặt 2 2

2 2,

x yf x y

x y

Cho , 0,0x y dọc theo trục x thì 0y : ta có 2

2,0 1, 0

xf x x

x vậy , 1f x y

Cho , 0,0x y dọc theo trục y thì 0x : ta có 2

20, 1, 0

yf y y

y

vậy , 1f x y

giới hạn đã cho không tồn tại.

Ví dụ 3: Cho 2

2 4,

xyf x y

x y

,

, 0,0lim ,

x yf x y

có tồn tại hay không?

Giải: Cho , 0,0x y dọc theo đường thẳng y x :

3

2 4 2, ,

1

x xf x y f x x

x x x

: , 0f x y khi , 0,0x y

Cho , 0,0x y dọc theo parabola 2x y : 4

2

4 4

1, ,

2

yf x y f y y

y x

:

1

,2

f x y khi , 0,0x y dọc theo parabola 2x y . Vậy giới hạn không tồn tại.

Lƣu ý:

- Các luật giới hạn (về tổng, hiệu, tích, thương) và định lý kẹp trong trường hợp một biến được

mở rộng cho trường hợp hai biến


- , , , , , ,

lim , lim , limx y a b x y a b x y a b

x a y b c c

LIÊN TỤC (CONTINUITY):

Hàm đa thức (polynomial function) hai biến là một tổng các số hạng có dạng m ncx y , ở đó c là

hằng số, m, n là các số nguyên không âm, ví dụ: 4 3 2 4, 5 6 7 6f x y x x y xy y

Hàm hữu tỉ (rational function) là tỉ số của các hàm đa thức, ví dụ: 2

,2

x yg x y

xy

Kết quả:

- Các đa thức là các hàm liên tục trên 2 , các hàm hữu tỷ liên tục trên miền xác định của nó

- Nếu ,f x y liên tục trên D, g t liên tục trên miền giá trị của f thì ,h g f x y liên tục

trên D

Ví dụ 4: Tính

2 3 3 2

, 1,2lim 3 2

x yx y x y x y

.

Giải: Vì 2 3 3 2, 3 2f x y x y x y x y là hàm đa thức nên liên tục trên 2 . Do đó:

2 3 3 2 2 3 3 2

, 1,2lim 3 2 1 .2 1 .2 3.1 2.2 11

x yx y x y x y

.

Ví dụ 5: Hàm số 2 2

2 2,

x yf x y

x y

liên tục trên miền nào?

Giải: Hàm 2 2

2 2,

x yf x y

x y

là hàm hữu tỷ liên tục trên miền xác định D của nó:

, / , 0,0D x y x y .

Ví dụ 6: Hàm số

2 2

2 2, , 0,0

,

0 , , 0,0

x yx y

x yg x y

x y

liên tục trên miền nào?

Giải: Hàm ,g x y xác định tại điểm (0,0) nhưng hàm không liên tục tại (0,0) vì

, 0,0lim ,

x yg x y

không tồn tại (xem Ví dụ 2). Vậy hàm ,g x y liên tục trên , / , 0,0D x y x y .

5.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (DERIVATIVES AND DIFFERENTIALS)

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUCTIONS OF

TWO VARIABLES)

Cho hàm hai biến ,f x y , giả sử chỉ biến x thay đổi và cố định y y b . Khi đó, hàm f trở

thành hàm một biến. Đặt ,g x f x b , nếu g có đạo hàm tại a, ta gọi nó là đạo hàm riêng của

f đối với x tại ,a b và kí hiệu là ,xf a b . Do đó:

ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f liên tục tại ,a b nếu

, ,lim , ,

x y a bf x y f a b

Ta nói f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi điểm ,a b trong D.

,xf a b g a với ,g x f x b


Vì:

0limh

g a h g ag a

h

nên:

Tương tự, đạo hàm riêng của f đối với y tại ,a b là:

.

Ví dụ 1: Cho 3 2 3 2, 2f x y x x y y , tìm 2,1xf và 2,1yf .

Giải: Xem y là hằng số và lấy đạo hàm đối với x:

2 3 2 3, 3 2 2,1 3.2 2.2.1 16x xf x y x xy f

Xem x là hằng số và lấy đạo hàm đối với y:

2 2 2 2, 3 4 2,1 3.2 .1 4.1 8y yf x y x y y f .

Ví dụ 2: Cho , sin1

xf x y

y

, tính

f

x

và

f

y

.

Giải: Ta có:

1cos . cos .

1 1 1 1

f x x x

x y x y y y

2

cos . cos .1 1 1 1

f x x x x

y y y y y y

.

Ví dụ 3: Tìm /z x và z/ y với z là hàm ẩn theo hai biến x và y xác định bởi phương trình

3 3 3 6 1x y z xyz .

0

, ,, limx

h

f a h b f a bf a b

h

0

, ,, limy

h

f a b h f a bf a b

h

Nếu f là hàm hai biến, đạo hàm riêng của nó là các hàm ,x yf f được xác định bởi:

0 0

, ,, li

, ,, l mim , yx

hh

f x y h f x yf

f x h y f x yf x y

hx y

h

KÍ HIỆU ĐẠO HÀM RIÊNG: Nếu ,z f x y thì

, ,, ,, y yx x yx

f zf x y f f x y D

f zf x y f f x y D f

y y yf

x x x

QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA ,z f x y

1. Để tìm xf , xem y là hằng số và lấy đạo hàm ,f x y đối với x

2. Để tìm yf , xem x là hằng số và lấy đạo hàm ,f x y đối với y


Giải: Xem y như hằng số, lấy đạo hàm theo biến x hai vế của phương trình đã cho:

2

2 2

2

23 3 6 6 0

2

z z z x yzx z yz xy

x x x z xy

Tương tự, đối với biến y ta được 2

2

2

2

z y xz

y z xy

.

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU HƠN HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF

FUCTIONS OF MORE THAN TWO VARIABLES)

Nếu f là hàm số ba biến x, y, và z thì đạo hàm riêng đối với x được xác định bởi:

0

, , , ,, , limx

h

f x h y z f x y zf x y z

h

Tương tự ta cũng có công thức đạo hàm riêng đối với y và z.

Tổng quát, nếu u là hàm n biến, 1 2, ,..., nu f x x x , đạo hàm riêng của u đối với biến thứ i, ix là:

1 1 1 1

0

,..., , , ,..., ,..., ...,lim

i i i n i n

hi

f x x x h x x f x x xu

x h

Ví dụ 4: Tìm ,x yf f và zf với , , lnxyf x y z e z .

Giải: Ta có: ln , ln , xy

xy xy

x y z

ef ye z f xe z f

z .

ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES):

Nếu f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của nó là ,x yf f cũng là các hàm hai biến. Ta có thể

xét các đạo hàm riêng , ,x x yx y xf f f và y y

f , được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm

f. Nếu ,z f x y , ta sử dụng các kí hiệu sau đây:

Ví dụ 5: Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 3 2 3 2, 2f x y x x y y .

Giải: Ta có 2 3 2 2, 3 2 , , 3 4x yf x y x xy f x y x y y

Khi đó 2 3 3 2 3 23 2 6 2 3 2 6xx xyf x xy x y f x xy xyx y

2 2 2 2 2 23 4 6 3 4 6 4yx yyf x y y xy f x y y x yx y

ĐỊNH LÍ CLAIRAUT: Giả sử hàm f được xác định trên đĩa D chứa điểm ,a b .

Nếu các hàm số xyf và yxf là các hàm số liên tục trên D thì

, ,xy yxf a b f a b

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

x xyx xxx

y y

y

y yxx yy

f f zf f

x x x x

f f zf f

y y y

f f zf f

y x y x y x

f f zf f

x y yx y x y


HÀM KHẢ VI (DIFFERENTIABLE FUNCTIONS):

Nếu hàm hai biến f có các đạo hàm riêng liên tục, thực hiện tương tự hàm một biến, ta thiết lập

được phương trình mặt phẳng tiếp xúc (tangent plane) với mặt z = f(x, y) tại điểm P(x0, y0, z0) là:

0 0, 0 0 0, 0 0x yz z f x y x x f x y y y

Rõ ràng những điểm trên mặt phẳng tiếp xúc càng gần tiếp điểm P thì khoảng cách từ điểm đó

đến mặt z = f(x, y) càng nhỏ. Tức là, khi x thay đổi từ a đến a x , b thay đổi từ b đến b y ,

thì số gia tương ứng của z là , ,z f a x b y f a b và ta có ước lượng sau, được gọi là

xấp xỉ tuyến tính (linear aproximation) của hàm z = f(x, y) tại điểm (a, b).

, ,x yz f a b x f a b y

Định lí sau đây cho phép ta kiểm tra tính khả vi của hàm hai biến

Ví dụ 6: Chứng minh , xyf x y xe khả vi tại 1,0 và tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc của

đồ thị f tại điểm đó. Dùng phương trình vừa tìm ước lượng 1.1, 0.1f .

Giải: Đạo hàm riêng là: 2, , ,xy xy xy

x yf x y e xye f x y x e

1,0 1, 1,0 1x yf f

Cả hai hàm xf và yf liên tục tại (1,0) nên f khả vi tại (1,0). Phương trình mặt phẳng tiếp xúc:

1,0 1,0 1 1,0 0x yz f f x f y z x y

Xấp xỉ tuyến tính tương ứng: xyxe x y 1.1, 0.1 1.1 0.1 1f

VI PHÂN (DIFFERENTIALS)

Cho hàm hai biến khả vi ,z f x y , ta định nghĩa các vi phân dx và dy là các biến độc lập (có

thể nhận bất kì giá trị nào). Khi đó, vi phân toàn phần (total differential) dz được định nghĩa:

ĐỊNH NGHĨA: Hàm ,z f x y khả vi tại ,a b nếu z biểu diễn được dưới dạng:

1 2, ,x yz f a b x f a b y x y , với 1 2à 0 khi , 0,0v x y

ĐỊNH LÍ: Nếu các đạo hàm riêng , x yf f tồn tại gần ,a b và liên tục tại ,a b thì f khả vi

tại ,a b


Ví dụ 7:

(a) Cho 2 2, 3z f x y x xy y , tìm vi phân dz .

(b) Nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05 và y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh giá trị của z và dz .

Giải:

a. 2 3 3 2z z

dz dx dy x y dx x y dyx y

b. Đặt x = 2, dx = x = 0.05, y = 3, dy = y = -0.04, ta có:

2.2 3.3 *0.05 3.2 2.3 * 0.04 0.65dz

Số gia của z là: 2.05,2.96 2,3 0.6449z f f .

5.4 QUY TẮC DÂY CHUYỀN VÀ ĐẠO HÀM HÀM ẨN (THE CHAIN RULE AND

IMPLICIT DIFFERENTIATION)

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (THE CHAIN RULE)

Ví dụ 1: Cho 2 43z x y xy , với sin 2x t và cosy t , tính dz

dt khi 0t .

Giải: 4 2 32 3 2cos2 12 sindz z dx z dy

xy y t x xy tdt x dt y dt

Khi 0t ta có sin0 0x và cos0 1y . Do đó: 0

6t

dz

dt

.

Ví dụ 2: Cho sinxz e y , với 2x st và 2y s t , tìm /z s và z/ t .

Giải: Ta có: 2

2 2 2sin osy 2 sin 2 os sst

x xz z x z ye y t e c st te t s t sc t

s x s y s

2

2 2 2sin 2 cosy 2 sin cos sst

x xz z x z ye y st e s se t s t s t

t x t y t

, ,x y

z zdz f x y dx f x y dy dx dy

x y

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 1): Giả sử ,z f x y là hàm khả vi theo

biến x, y, với ,x g t y h t là các hàm khả vi theo biến t, thì z là hàm khả vi theo

biến t và

dz f dx f dy

dt x dt y dt

hay dz z dx z dy

dt x dt y dt

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 2): Giả sử ,z f x y là hàm khả vi

theo biến x, y, với , , ,x g s t y h s t là các hàm khả vi theo biến s và t thì:

z z x z z x z y

t x

z y

s x s y s t y t


Ví dụ 3: Cho 4 2 3u x y y z , với 2 2, , sint tx rse y rs e z r s t , tính giá trị của u

s

khi

2, 1, 0r s t .

Giải: 3 4 3 2 2 24 2 2 3 sint tu u x u y u zx y re x yz rse y z r t

s x s y s z s

Khi 2, 1, 0 2, 2, 0 192u

r s t x y zs

.

ĐẠO HÀM HÀM ẨN (IMPLICIT DIFFERENTIATION)

- Cho y f x là hàm khả vi theo x và phương trình dạng , 0F x y . Sử dụng quy tắc dây

chuyền, lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến x ta được:

0F dx F dy

x dx y dx

. Vì 1

dx

dx nên nếu 0

F

y

, thì

F

dy xFdx

y

hay

- Cho ,z f x y và phương trình , , 0F x y z . Nếu F và f khả vi, theo quy tắc dây chuyền:

0F x F y F z

x x y x z x

. Vì 1x

x

và 0y

x

nên: 0

F F z

x z x

Nếu 0F

z

, ta được:

Fz x

Fx

z

. Tương tự ta có

F

z y

Fx

z

. Vậy:

Ví dụ 4: Tìm y biết 3 3 6x y xy .

Giải: Phương trình đã cho được viết lại là: 3 3, 6 0F x y x y xy

Vậy 2 2

2 2

3 6 2

3 6 2

x

y

Fdy x y y x

dx F y x y x

.

x

y

Fdy

dx F

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TỔNG QUÁT): Giả sử u là hàm khả vi n biến 1 2, ,..., nx x x và

mỗi ix là một hàm khả vi m biến

1 2, ,..., mt t t . Khi đó, u là một hàm theo các biến 1 2, ,..., mt t t

và

1 2

1 2

... , 1,2,...,n

i i i n i

xu u x u x ui m

t x t x t x t

y

z z

xF

y F

z

x F

Fz


Ví dụ 5: Tìm z

x

và

z

y

biết 3 3 3 6 1x y z xyz .

Giải: Đặt 3 3 3, , 6 1f x y z x y z xyz , ta có:

2 2

2 2

2 2,

2 2

yx

z z

FFz x yz z y xz

x F z xy y F z xy

.

5.5 GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU (MAXIMUM AND MINIMUM VALUES)

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI ĐỊA PHƢƠNG VÀ CỰC TIỂU ĐỊA PHƢƠNG (LOCAL MAXIMUM

AND MINIMUM VALUES)

Lƣu ý: Khái niệm (x,y) gần (a,b) có nghĩa là với mọi (x,y) thuộc đĩa nào đó có tâm (a,b).

Từ định lí trên ta thấy nếu f có cực đại địa phương hay cực

tiểu địa phương tại ,a b thì ,a b là điểm tới hạn của f.

Tuy nhiên tại điểm tới hạn, hàm có thể có cực đại địa

phương, cực tiểu địa phương hoặc không có cả hai.

Ví dụ 1: Cho 2 2, 2 6 14f x y x y x y . Khi đó

, 2 2 , 2 6x yf x y x f x y y

Các đạo hàm riêng bằng 0 khi 1x và 3y nên 1,3 là điểm tới hạn duy nhất của hàm số.

Ta có: 2 2

, 4 1 3 , 4, ,f x y x y f x y x y . Do đó: 1,3 4f là cực tiểu địa

phương và cũng là cực tiểu toàn cục của f .

ĐỊNH NGHĨA:

Hàm hai biến f có cực đại địa phương (local maximum) tại ,a b nếu

, ,f x y f a b khi ,x y gần ,a b ,

số ,f a b gọi là giá trị cực đại địa phương (local maximum value).

Hàm hai biến f có cực tiểu địa phương (local minimum) tại ,a b nếu

, ,f x y f a b khi ,x y gần ,a b ,

số ,f a b gọi là giá trị cực tiểu địa phương (local minimum value).

Nếu các bất đẳng thức trên đúng cho mọi ,x y thuộc miền xác định của f ta nói f có cực đại

tuyệt đối/ cực tiểu tuyệt đối (absolute maximum/absolute minimum) tại ,a b .

ĐỊNH NGHĨA:

Điểm ,a b gọi là điểm tới hạn (critical point) nếu , 0xf a b và , 0yf a b , hoặc nếu

một trong hai đạo hàm riêng không tồn tại.

ĐỊNH LÍ: Nếu f có cực đại địa phương hay cực tiểu địa

phương tại ,a b và các đạo hàm riêng cấp 1 của f tồn tại

thì , 0xf a b và , 0yf a b


Ví dụ 2: Tìm các giá trị cực trị của 2 2,f x y y x

Giải: 2 , 2x yf x f y f có một điểm tới hạn là (0,0).

Ta có f (0,0)=0.

Với các điểm trên trục x, do 0y nên 2, 0 0f x y x x

Với các điểm trên trục y, do 0x nên 2, 0 0f x y y y

Vậy, mỗi đĩa với tâm 0,0 chứa các điểm mà f có thể nhận giá

trị dương cũng như giá trị âm, do đó 0,0 0f không thể là

giá trị cực trị của f hay f không có giá trị cực trị.

Lƣu ý: (i) Trường hợp (c), điểm ,a b gọi là điểm yên ngựa (saddle point) của hàm f.

(ii) Nếu D = 0 thì không thể kết luận gì về điểm (a, b).

Ví dụ 3: Tìm giá trị cực đại địa phương, cực tiểu địa phương và điểm yên ngựa của

4 4, 4 1f x y x y xy .

Giải: Ta có: 3 34 4 4 4x yf x y f y x

Cho 0, 0x yf f , ta tìm được các điểm tới hạn 0,0 , (1,1), và -1,-1

2

2 2 2 212 , 4, 12 , , 144 16xx xy yy xx yy xyf x f f y D x y f f f x y

+ 0,0 16 0D f không có cực đại và cực tiểu địa phương tại

0,0 và 0,0 là một điểm yên ngựa.

+ 1,1 128 0 và 1,1 12 0xxD f : 1,1 1f là giá trị cực tiểu

địa phương của f

+ 1, 1 128 0 và 1, 1 12 0xxD f : 1, 1 1f là giá trị cực tiểu địa phương của f.

Tìm cực trị địa phƣơng có điều kiện

Bài toán tìm cực trị địa phương của hàm hai biến z = f (x,y) với điều kiện g(x,y)=0 gọi là bài toán

tìm cực trị có điều kiện (hay cực trị ràng buộc).

+ Trƣờng hợp 1: Nếu từ điều kiện g(x,y)=0 có thể giải tìm được y = y(x) thì khi thế vào hàm z ta

được z chỉ còn là hàm theo biến x. Bài toán trở thành tìm cực trị của hàm một biến z.

Ví dụ 4: Tìm các giá trị cực trị của hàm số 2, 2 2z f x y x xy y với điều kiện 1x y .

Giải: Với điều kiện 1 1x y y x , như vậy y xác định với mọi x.

Do đó 2 22 1 2 1 3 4 2z x x x x x x xác định với mọi x.

TIÊU CHUẨN ĐẠO HÀM CẤP 2 (SECOND DERIVATIVES TEST): Giả sử các đạo hàm

riêng cấp 2 của f liên tục trên đĩa tâm ,a b , và giả sử rằng , 0 , 0x yf a b và f a b . Đặt

2

, , , ,xx yy xyD D a b f a b f a b f a b

(a) Nếu 0 , 0xxD và f a b thì ,f a b là cực tiểu địa phương.

(b) Nếu 0 , 0xxD và f a b thì ,f a b là cực đại địa phương.

(c) Nếu 0D thì ,f a b không phải là cực đại hay cực tiểu địa phương.


Ta có: 6 4xz x , 2

03

xz x và 6 0xxz

Vậy, 2 2

3 3z

là giá trị cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho.

+ Trƣờng hợp 2: Nếu từ điều kiện g(x,y)=0 ta không thể giải tìm được y theo x (hay x theo y), khi

đó ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier method) như sau:

Ví dụ 5: Tìm giá trị cực trị địa phương của hàm số

2 2, 2 2 10 4 107z f x y x xy y x y

với điều kiện 2 5x y .

Giải: Hàm Lagrange: 2 2, , 2 2 10 4 107 2 5F x y x xy y x y x y

12

50 4 2 10 2 01

0 2 2 4 05

2 5 00 2

5

x

y

x

F x y

F x y y

x yF

4, 2, 2, 2, 1xx xy yy x yF F F g g

2 212 1, 4.1 2.2 2.2.2.1 20 0

5 5D

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại có điều kiện tại 12 1

,5 5

, giá trị cực đại có điều kiện là

12 1 598,

5 5 5f

.

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI VÀ CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM HAI BIẾN

TRÊN MỘT TẬP ĐÓNG BỊ CHẶN

Tập đóng (closed set) trong 2 là tập chứa tất cả các điểm biên của nó, chẳng hạn đĩa

2 2, / 1D x y x y .

Tìm giá trị cực trị tuyệt đối của hàm số z = f (x,y) với điều kiện g(x,y) = 0:

1. Viết hàm Lagrange: ( , , ) , ( , )F x y f x y g x y với hằng số chưa xác định

2. Tìm các điểm dừng của F , tức các điểm , ,x y thỏa 0, 0, 0,x yF F F

giả sử (a,b) là điểm dừng ứng với giá trị 0 .

3. Tính 2 2 2xx y yy x xy x yD F g F g F g g tại (a,b)

4. Kết luận

(a) Nếu 0D thì ,f a b là giá trị cực tiểu có điều kiện.

(b) Nếu 0D thì ,f a b là giá trị cực đại có điều kiện.


Tập bị chặn (bounded set) trong 2 là tập chứa được trong một đĩa nào đó. Trong 2 , mọi tập

đóng đều bị chặn.

Phương pháp tìm giá trị cực đại tuyệt đối và giá trị cực tiểu tuyệt đối của một hàm hai biến f:

Ví dụ 6: Tìm giá trị cực đại tuyệt đối và giá trị cực tiểu tuyệt đối của hàm số

2, 2 2f x y x xy y trên hình chữ nhật , / 0 3,0 2D x y x y .

Giải: Trước tiên ta tìm các điểm tới hạn của hàm số, ta có:

2 2 2 2x yf x y f x

Cho các đạo hàm riêng bằng không ta tìm được điểm tới hạn là 1,1 thuộc D. Ta có 1,1 1f .

Biên của D gồm bốn đoạn thẳng 1 2 3 4, , , L L L và L

Trên 1L , ta có 0y và 2,0 , 0 3f x x x : đây là hàm

tăng nên giá trị nhỏ nhất là 0,0 0f và giá trị lớn nhất là

3,0 9f .

Trên 2L , ta có 3x và 3, 9 4 , 0 2f y y y : giá trị lớn

nhất là 3,0 9f và giá trị nhỏ nhất là 3,2 1f

Trên 3L ta có 2y và 2 2,2 4 4 ( 2) , 0 3f x x x x x : giá trị nhỏ nhất là 2,2 0f

và giá trị lớn nhất 0,2 4f .

Và cuối cùng trên 4L ta có 0x và 0, 2 , 0 2f y y y : giá trị lớn nhất là 0,2 4f và giá

trị nhỏ nhất là 0,0 0f .

Do đó, trên biên D, giá trị lớn nhất là 9, giá trị bé nhất là 0. Vậy giá trị cực đại tuyệt đối của f trên

D là 3,0 9f , và giá trị cực tiểu tuyệt đối của f trên D là 0,0 2,2 0f f .

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 2,f x y x y trên hình tròn

2 2 4x y .

Tìm giá trị cực đại và cực tiểu tuyệt đối của hàm số f liên tục trên một tập đóng và bị chặn D:

1. Tìm các giá trị của f tại các điểm tới hạn của f trong D.

2. Tìm các giá trị cực trị của f trên biên D.

3. Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hai bước trên là giá trị cực đại tuyệt đối/ cực tiểu tuyệt đối

của f trên D.

ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CHO HÀM HAI BIẾN (EXTREME VALUE THEOREM

FOR FUNCTIONS OF TWO VARIABLES): Nếu f liên tục trên một tập đóng 2D thì f

đạt được giá trị cực đại tuyệt đối và giá trị cực tiểu tuyệt đối trên D.


Giải: 2 , 2x yf x f y

Cho các đạo hàm riêng bằng không ta tìm được điểm tới hạn là (0,0) thuộc hình tròn 2 2 4x y .

Ta có 0,0 0f .

Biên của hình tròn có phương trình 2 2 2 24 4x y y x

Do đó trên biên của hình tròn thì 2 2 2, 4 2 4 2 2f x y x x x x : giá trị nhỏ nhất

là 0, 2 4f , giá trị lớn nhất là 2,0 4f

Vậy, hàm f có giá trị lớn nhất là 2,0 4f , giá trị nhỏ nhất là 0, 2 4f .

chƣơng 5: hÀm nhiỀu biẾn (functions of several … · 2019. 10. 5. · xác định tại...

Documents