chung minh bat dang thuc bang dao ham
TRANSCRIPT
Bµi 1: Chøng minh r»ng > víi Gi¶i
XÐt hµm sè = - - liªn tôc vµ kh¶ vi víi mäi = - , nÕu th× ®ång biÕn > - 1 - > 0 > (1) NÕu th× nghÞch biÕn
> -1- > 0 > (2) Tõ (1),(2) > víi ®pcm.Bµi 2 : ( §H KiÕn Tróc Hµ Néi )
Chøng minh r»ng bÊt ®¼ng
®óng víi mäi Gi¶i
Yªu cÇu bµi to¸n < 0
XÐt .Ta cã = ,
Do ®ã nghÞch biÕn trong < =0 víi
nghÞch biÕn trong <
<0 hay víi ®pcm.
Bµi 3: Chøng minh r»ng < víi
Gi¶i Ta híng dÉn cho häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc chøng minh víi Ta chøng minh víi XÐt = - , = <0 nghÞch biÕn
< víi - <o (1)
Ta chøng minh <
XÐt = =
víi mäi >0 ®ång biÕn > =0 víi hay >0 víi ®ång biÕn > =0 víi
< víi (2)
Tõ (1),(2) < víi ®pcm.
Bµi 4: Chøng minh r»ng víi
Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si: =
Yªu cÇu bµi to¸n ViÖc chøng minh
víi
xÐt hµm sè = víi ,
=
(v× víi )
®ång biÕn víi
=
hay víi
®pcm.Bµi 5: (§H Dîc )
Víi , chøng minh r»ng
Gi¶i
XÐt hµm sè víi
Ta cã
®ång biÕn
trong kho¶ng
. §¼ng thøc x¶y ra
Mµ
§¼ng thøc chØ x¶y ra
2
.Do ®ã víi
®pcm.
Bµi 6 Cho , Chøng minh r»ng
Gi¶i
XÐt hµm sè trªn ,
Ta cã <0 víi
gi¶m trªn ,
,
Hay ®pcm.
Bµi 7: Chøng minh r»ng víi th×
Gi¶i
XÐt hµm sè víi
Ta cã vµ
®ång biÕn víi
®pcm.
Bµi 8: ( §Ò thi thö §H Qu¶ng X¬ng I)
Cho
Chøng minh r»ng > Gi¶i
Yªu cÇu bµi to¸n >
XÐt hµm sè = víi 0<
,
(v× th× ) nªn do ®ã khi 0<
3
lµ hµm sè gi¶m trªn kho¶ng víi 0
> hay >
®pcm.
Bµi 9: Chøng minh r»ng Gi¶i
XÐt hµm sè víi
Ta cã ( v× ta ®· cã nÕu )
hµm sè lµ ®ång biÕn trªn
víi 5<6 th× < , tøc lµ
( 2)
chøng minh t¬ng tù ta còng cã (3)Nh©n tõng vÕ (2) vµ (3) ta suy ra ®pcm.
Bµi 10: Cho z>0 chøng minh
Gi¶i
BÊt ®¼ng thøc
®Æt u= , v = ta cã u
nªn bÊt ®¼ng thøc cã d¹ng (2)
NÕu v=1 th× (2) cã d¹ng tøc lµ (2) ®óngNÕu xÐt hµm sè víi Ta cã (do vµ ) lµ hµm sè ®ång biÕn khi nªn mäi ta cã mµ = >0 nªn 0 f (u) lµ hµm sè ®ång biÕn khi u 1 Tøc lµ 1 ta cã f(u) f(1) = v2 - 2v + 1 = (v- 1)2 > 0
4
VËy u3(1 - v) + u2v2 - u2v3 - uv (1 + v2) + v2 0 1 > v > 0
Hay víi ®pcm.
Bµi 11: Chøng minh víi mäi
Gi¶i
Ta chøng minh
XÐt = , =
Suy ra ®ång biÕn víi mäi
, víi mäi (1)
Ta chøng minh §Æt g víi ,
, khi
, khi , víi (2)
Tõ (1),(2) < ,víi mäi ®pcm.
Bµi 12 Chøng minh r»ng víi
Gi¶i
Do nªn ,
Híng dÉn häc sinh ®a vÒ chøng minh
Ta chøng minh
V× nªn (1)
Ta chøng minh
§Æt ,
, víi hµm sè ®ång biÕn víi
víi
5
VËy , ®pcm.
Bµi 13: Chøng minh r»ng : víi
Gi¶i
Yªu cÇu bµi to¸n
XÐt hµm sè = víi .
Ta cã =-2 víi
do c¸c vÕ ®Òu d¬ng
®Æt = ,
,
víi = 0 víi
®ång biÕn > ®ång biÕn
. > ®ång biÕn
víi
Do ®ã Hay
®pcm. Bµi 14: Cho a,b,c>0 vµ chøng minh r»ng
(1)
Gi¶iTõ gi¶ thiÕt , vµ
thay vµo (1) ta cã
6
( do a, b ,c ®Òu d¬ng )XÐt hµm sè ,
>0 vµ <0
0<
Do ®ã 0<
T¬ng tù
Do ®ã ®pcm.
.
Bµi 15: Cho vµ
chøng minh
Gi¶i
XÐt hµm sè víi ta cã khi
Nªn lµ hµm sè nghÞch biÕn Tõ gi¶ thiÕt ta cã
Tõ ®ã ta cã
………………….
Hay (1)
7
L¹i cã
………………
(2)
Tõ (1) vµ (2)
hay ®pcm.
Lo¹i 2: Dïng ®Þnh lý lagrange:
1.C¬ së ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò §Þnh lý lagrange: NÕu hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n vµ kh¶
vi th× tån t¹i mét sè c sao cho a<c<b khi ®ã
2.Bµi tËp
Bµi1: Chøng minh r»ng. víi 0<a<b
Gi¶i :
xÐt hµm sè : ,
Hµm sè tho· m·n c¸c yªu cÇu cña ®Þnh lý Larange trªn
ta cã:
Do a<c <b nªn
®pcm.
Bµi 2. Chøng minh r»ng víi mäi x;y R ta cã:
8
Gi¶i : XÐt hàm sè f , Hàm sè f liªn tôc vµ kh¶ vi trªn víi mäi x;y R tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange ta cã:
do
Bµi 3: Chøng minh r»ng: víi 0<a<b<
Gi¶i:XÐt hµm sè liªn tôc vµ kh¶ vi trªn
,
sao cho
.
Do a<c<b vµ nghÞch biÕn trªn nªn
víi 0<a<b<
Bµi 4: Cho vµ chøng minh r»ng
Gi¶i:
XÐt hµm sè víi ta cã
Theo ®Þnh lý lagrange th× tån t¹i tho¶ m·n
=
( v× )
bÊt ®¼ng thøc ®óng víi c> vµ - >0
hay víi vµ
®pcm.
Bµi 5 : Chøng minh r»ng: ln < mäi >0
9
Gi¶i XÐt hµm sè víi t theo ®Þnh lý lagrange
sao cho = ,
ln
hay ln < mäi >0 ®pcm.
Trêng hîp gÆp bµi to¸n cha thÓ vËn dông ®Þnh lý lagrange ®îc ngay viÖc chän hµm sè tho· m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý lagrange rÊt quan träng
Bµi 6: Cho chøng minh r»ng: (1)
Gi¶i:
§©y lµ d¹ng bµi to¸n cha thÓ vËn dông ®Ýnh lý lagr¨nge ®îc ngay.
Ta híng dÉn häc sinh ®a vÒ chøng minh
víi x>0
XÐt hµm sè f =
f (2)
XÐt hµm sè G trªn theo ®Þnh lý lagrange th× tån t¹i
c : sao cho G ln
V× c<x+ > >
- >0 f >0 ®ång biÕn
trªn >
hay víi x>0 ®pcm.
Bµi 7: Cho n chøng minh r»ng : < víi mäi
Gi¶i Híng dÉn häc sinh chøng minh bÊt ®¼ng thøc t¬ng t¬ng víi
chøng minh bÊt ®¼ng thøc <
10
< víi mäi
ta cã
.
tõ vµ ta sÏ chøng minh <
> ln >
XÐt hµm sè kh¶ vi trªn theo ®Þnh lý lagrang
®Ó .
Do nªn ln >
VËy < víi mäi vµ n ®pcm.
Bµi 8: Cho 0<a<b ,n>1 ,chøng minh r»ng -
Gi¶i: XÐt hµm sè: ( ) theo ®Þnh lý lagrage th× tån t¹i c tho· m·n
Nªn tõ (1) - ( v× ) BÊt ®¼ng thøc ®óng v× o<a<c<b vµ n-1>0 VËy ®· ®îc chøng minh.
II KÕt qu¶ thùc nghiÖm.+ Sau khi ®îc bæ sung thªm nh÷ng d¹ng bµi tËp to¸n,häc sinh ®· biÕt më réng ®Ó gi¶i quyÕt thªm c¸c d¹ng bµi tËp kh¸c khau nh gi¶i ph¬ng tr×nh ,gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt........+ Trong c¸c kú thi thö ®¹i häc §¹i häc, thi §¹i häc + Líp häc båi dìng ®· vËn dông t¬ng ®èi tèt chuyªn ®Ò ®¹o hµm vµ ®Þnh lý lagrange.
11
III KÕt luËn:
HiÖn nay s¸ch tµi liÖu, s¸ch tham kh¶o, n©ng cao rÊt nhiÒu ,nhÊt lµ m«n to¸n ,m«n häc ®îc nhiÒu ngêi yªu thÝch vµ ®· cã bÒ dµy truyÒn thèng Nªn viÖc hÖ thèng c¸c d¹ng bµi tËp cho häc sinh lµ rÊt quan träng.Trªn ®©y chØ lµ mét trong c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó gióp häc sinh gi¶i quyÕt nh÷ng bµi tËp thuéc d¹ng chøng minh bÊt ®¼ng thøc b»ng ph¬ng ph¸p ®¹o hµm vµ ®Þnh lý lagrange . ChÝnh v× suy nghÜ nh trªn nªn t«i ®· tr×nh bµy ®Ò tµi trªn ®©y cña m×nh coi ®ã lµ mét s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®Ó cïng ®ång nghiÖp trong viÖc d¹y vµ n©ng cao cho häc sinh «n thi ®¹i häc vµ thi häc sinh giái. Lµ gi¸o viªn h¬n 15 n¨m tuæi nghÒ ,víi nh÷ng kiÕn thøc ®· ®îc häc víi nh÷ng cè g¾ng næ lùc cña b¶n th©n céng víi sù häc hái cña ®ång nghiÖp t«i lu«n nghÜ r»ng ®iÒu quan träng nhÊt lµ truyÒn thô nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cho häc sinh nhng bªn c¹nh ®ã t«i rÊt coi träng sù t×m tßi ,ph¸t huy tÝnh s¸ng t¹o cña c¸c em ®Ó t¹o cho c¸c em høng thó say mª trong viÖc häc to¸n Trong ®Ò tµi cña m×nh t«i ®· ®a ra mét sè bµi to¸n nhá ,mÆc dï c¸c bµi to¸n cha phong phó vµ ®a d¹ng , nhng do thêi lîng cña ®Ò tµi , t«i xin ®îc t¹m dõng ë ®©y vµ sÏ tiÕp tôc híng dÉn cho häc sinh häc tËp cã kÕt qu¶ cao h¬n .Do ý muèn ®i s©u h¬n nghiªn cøu to¸n häc phæ th«ng t«i rÊt mong muèn ®îc sù gãp ý ,bæ sung cña c¸c thÇy, c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi cã t¸c dông vµo viÖc n©ng cao båi dìng trÝ tuÖ cho häc sinh trong viÖc häc tËp to¸n ë trêng THPT hiÖn t¹i vµ t¬ng lai.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !
Qu¶ng X¬ng, ngµy th¸ng 5 n¨m 2007 Ngêi viÕt s¸ng kiÕn
12