mot so dang bai tap khao sat ham so trong ki thi tsdt

8/2/2019 Mot So Dang Bai Tap Khao Sat Ham So Trong Ki Thi TSDT

http://slidepdf.com/reader/full/mot-so-dang-bai-tap-khao-sat-ham-so-trong-ki-thi-tsdt 1/49

2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬPKHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2ax y bx cx d * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2, x x khi đó 1 2, x x là 2 nghiệm của phương tr ình

y’=0* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phươngtrình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2, x x thì

1 2'( ) '( ) 0 f x f x

+ Phân tích '( ). ( ) ( ) y f x p x h x . Từ đó ta suy ra tại 1 2, x x thì 1 1 2 2( ); ( ) ( ) y h x y h x y h x

là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của h àm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu+ Giải điều kiện k=a

2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k=1

a

Ví dụ 1) Tìm m để 3 2 7 3 f x x mx x có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông

góc với đường thẳng y=3x-7.Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu 2'( ) 3 2 7 0 f x x mx có 2 nghiệm phân biệt

2 21 0 21m m . Thực hiện phép chia f(x) cho f ’(x) ta có:

21 1 2 7. 21 3

3 9 9 9

m f x x m f x m x

. Với 21m thì f ’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2

phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2.



3

Do 1

2

( ) 0

( ) 0

f x

f x

nên

21 1

22 2

2 7(21 ) 3

9 92 7

(21 ) 39 9

m f x m x

m f x m x

.

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phươ ng trình 22 7

: 21 39 9

m y m x

Ta có 2 2 2

21 21 213 7 2 3 45

21 .3 1 219 2 2

m m m

y xm m m

3 10

2m

3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua đ iểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu+ Giải điều kiện tank

Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23 mx x x y (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thịhàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

' 9 3 0 3m m 3 2 1 23 2 ( 1). ' ( 2) 2

3 3 3

m m y x x mx x y x

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương tr ình

32)2

3

2(

m x

m y

Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai

36;0,0;

)3(26 m B

mm A

Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB

6 6

2( 3) 3

9 36; ;

2 2

m m

m

m m m

Với m = 6 th ì O B A so với điều kiện ta nhận2

3m

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độtam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là9

( )2 2tan 45 1 2 1

33( )

2

m Lm

k

m TM



4

4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc

+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện tan1k a

ka

Ví dụ ) Tìm m để 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1) f x x m x m m x m m có đường thẳng đi qua

CĐ, CT tạo với1

54

y x

một góc 450.

Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra:

0

1 1 5 31

14 4 4 4 445 1 11 1 3 54 4

1 . 14

4 4 4 4

k k k k

k tg k

k k k k

3

55

3

k

k

Hàm số có CĐ, CT 2 2( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0 f x x m x m m có 2 nghiệm phân biệt

2 3 5 3 53( 3 1) 0

2 2m m m m

(*)

Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có 21 2( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1)

3 3 f x x m f x m m x m

với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tạix1,x2.

Do1

2

( ) 0

( ) 0

f x

f x

nên

21 1

22 2

2( 3 1) 1

32

3 1 13

f x m m x m

f x m m x m

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phươ ng trình 22: 3 1 1

3 y m m x m

Ta có tạo với 1

54

y x

góc 450 223 1 1

3m

m

kết hợp với điều kiện (*) ta có3 15

2m

5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao

cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y.

+ / 1

.2 MAB M ABS d AB

Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết



5

Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2 y x mx cắtđường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.Giải: Có: 2' 3 3 y x m có 2 nghiệm phân biệt khi 0m . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số là ;2 2 , ;2 2 M m m x N m m x

- Phương tr ình đường thẳng MN là: 2 2 0mx y - Đường thẳng MN cắt đường tr òn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ2. . .sin 1 IABS IA IB AIB ,

dấu bằng xảy ra khi 0ˆ 90 AIB , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng1

2

Do vậy ta có pt: 2

2 11 1 3 3, 1 ; 1

2 22 24 1

md I MN m m

m

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 3 2 y x mx Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diệntích bằng 18 , trong đó 1;1 I

Lời giải: Ta có 2 2' 3 3 3 y x m x m . Để hàm số có CĐ và CT 0m

Gọi A, B là 2 cực trị th ì ;2 2 ; ; 2 2 A m m m B m m m

PT đường thẳng đi qua AB là: 42 2 2 2

2

m m y m m x m y mx

m

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là 2

2 1;

4 1

md I AB

m

độ dài đoạn 34 16 AB m m

Mà diện tích tam giác IAB là 3

2

2 1118 4 16 18

2 4 1

mS m m

m

2 23 2

3 2 2

4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18

4 4 18 0 2 4 4 9 0 2

m m m m m m

m m m m m m m

6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương tr ình để tínhgiá trị 1 2; y y )+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB

7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương tr ình để tínhgiá trị 1 2; y y )

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đạicực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b



6

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3 f x x x m x m có CĐ và CT đối xứng nhau qua

1 5

:2 2

y x .

Giải: Hàm số có CĐ, CT 3 26 0 f x x x m có 2 nghiệm phân biệt 2 2

9 3 0 3 3m m m .

thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 2

21 2( ) 1 ( ) 3

3 3 3

m f x x f x m x m

với 3m thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2.

Do

1

2

0

0

f x

f x

nên

22

1 1 1

22

2 2 2

23

3 3

23

3 3

m y f x m x m

m y f x m x m

. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT

có phươ ng trình

222

: 33 3

m

d y m x m

Các điểm cực trị 1 1 2 2; , ; A x y B x y đối xứng nhau qua 1 5

:2 2

y x d và trung

điểm I của AB phải thuộc (d)

2

22

23 2; 1

030

( 1) 02 1 53 .1 .1

3 3 2 2

I m xm

mm mm

m m

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 23 2 m y x x mx C

Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số

cách đều đường thẳng : 1 0d x y Giải:Ta có 2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0 y x x m y x x m (1)Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương tr ình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m Giả sử 1 1 2 2; , ; A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (Cm), ( 1 2, x x là 2 nghiệm của (1)).

Vì1

'. 2 1 23 3 3 3

x m m y y x

và 1 2' ' 0 y x y x nên phương tr ình đường thẳng đi

qua A,B là 2 1 2 '3 3

m m y x d

. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2

trường hợp sau: TH1: (d’) cùng phương với (d)

92 1 1

3 2

m m

(không thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I của AB nằm tr ên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:



7

1 2

1 2

12

2

x x x

y y y m

. Vì I nằm tr ên (d) nên ta có 1 1 0 0m m (thỏa mãn).

Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu v à khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương tr ình để tínhgiá trị 1 2; y y )

+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phươ ng phápđạo hàm để tìm max, min

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 1

3 f x x mx x m có khoảng cách giữa các điểm CĐ,

CT là nhỏ nhất.Giải: Do 2 2 1 0 f x x mx có 2 1 0m nên f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và

hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là . 1 1 2 2; , ; A x y B x y

Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 21 2 2( ) . ( ) 1 1

3 3 3 f x x m f x m x m

Do 1

2

( ) 0

( ) 0

f x

f x

nên

21 1 1

22 2 2

2 2( ) 1 1

3 3

2 2( ) 1 1

3 3

y f x m x m

y f x m x m

Ta có 22 2 2 22 2

2 1 2 1 2 1 2 1

41

9 AB x x y y x x m x x

22 22 1 1 2

22 2

44 1 1

9

4 4 2 134 4 1 1 4 1

9 9 3

x x x x m

m m AB

Min AB=2 13

3xảy ra m=0

9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả m ãn một hệ thức cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( 1 2, x x là hai nghiệm của phương trình y’=0

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 1

3 f x x mx mx đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn

1 2 8 x x



8

Giải: Hàm số có CĐ, CT 2( ) 2 0 f x x mx m có 2 nghiệm phân biệt

2 0 0 1m m m m

với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 vớix1+x2=2m và x1x2=m.

Ta có BPT:

2

1 2 1 28 64 x x x x

2 2 21 2 1 24 4 4 64 16 0

1 65 1 65

2 2

x x x x m m m m

m m

thoả mãn điều kiện 0 1m m

Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23 mx x x y

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm )4

11;

2

1( I đến đường thẳng nối

điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhấtGiải: Ta có m x x y 63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

30' m (0,25 điểm)

- Chia đa thức y cho y’ ta có 13

)23

2()

3

1

3('

m x

m x y y . Lập luận suy ra đường thẳng đi

qua cực đại cực tiểu là 13

)23

2(

m x

m y . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường

thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2;2

1( A (0,25 điểm)

- Hệ số góc của đường thẳng IA là

4

3k . Hạ IH vuông góc với ta có

4

5 / IAd IH I

Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm)

- Suy ra3

412

3

2

k

m1 m (0,25 điểm)

Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) 4 1 y x mx m x m m (C)Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại OGiải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:

2 2 1' 3 6 3( 1) ' 9 0

1

x m y x mx m

x m

(0,25 điểm)

Ta có1 1

'( ) 2 3 13 3

y y x m x m Gọi A, B là 2 điểm cực trị th ì

( 1; 3); ( 1; 1) A m m B m m (0,25 điểm)

Suy ra 2 1( 1; 3); ( 1; 1) 2 2 4 0

2

mOA m m OB m m m m

m

(0, 25 điểm)

Kết luận: Có hai giá trị của m cần t ìm là m=-1 hoặc m=2



9

Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 21 1. 3

3 y x m x m x

2 có cực đại 1 x , cực

tiểu 2 x đồng thời 1 2; x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh

huyền bằng5

2

.

Giải:

Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2' 3; ' 0 3 0 y x mx m y x mx m

Hàm số có cực đại 1 x , cực tiểu 2 x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0 y có 2

nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 2

2

0 4 0 2 2

0 0 0 3 2

0 3 33 0

m m

S m m m

P m mm

(*)

Theo Viet ta có:

1 2

21 2 3

x x m

x x m

. Mà

22 2 2 21 2 1 2 1 2

5 142 4 5 2 4 3 5

2 2 x x x x x x m m m

Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị14

2m thỏa yêu cầu bài toán.

B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2ax y bx c .*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau

khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương tr ình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệtkhác không.VD: 4 22 2 2 y x mx thì 3 2' 4 4 ' 0 0 y x mx y x x m điều kiện là m<0

*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), 1 1 2 1( ; ); ( ; ) B x y C x y thì điều đặc biệt là tam giác

ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)*) Các câu hỏi thườ ng gặp trong phần này là:1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều + Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính

các véc tơ : , ,

AB AC BC

+ Tam giác ABC vuông cân . 0 AB AC

+ Tam giác ABC đều AB BC 2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính các véc tơ : , , AB AC BC



10

+ Kẻ đường cao AH.

+1

.2 ABC S AH BC

+ Giải điều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 42 2 x mx m m có CĐ, CT lập thành tam giác đều

Giải: f’(x)= 2 24 0 0 x x m x x m Hàm số có CĐ, CT f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt m>0Với m>0 thì f’(x)=0

4 21

42

4 23

; 2

0 0; 2

; 2

x m B m m m m

x A m m

x m C m m m m

Suy ra BBT của hàm số y=f(x)

ABC đều 2 2

2 2

00 mm

AB AC AB AC

AB BC AB BC

4 4 33

4

00

33 0

4

mm

m m m m mm m

m m m

Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 22 2 4 y x mx m , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.

Giải: Mxđ: D R . Có 3' 4 4 y x mx 3 2' 0 4 4 0 0 y x mx x x m . Hàm số có 3 cực trị 0m (*)

Gọi 2 2 20; 2 4 , ; 4 , ; 4 A m B m m C m m là 3 điểm cực trị

Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A

Kẻ AH BC có 21. 2 2 2 2 . 1

2 ABC B A BS AH BC y y x m m m . Đối chiếu

với điều kiện (*) có 1m là giá trị cần t ìm.

Ví dụ 3) Cho hàm số 4 2 22 1 1. y x m x m Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.

Giải: 3 2 2 2' 4 4 1 0 0, 1 y x x m x x m hàm số có 3 cực trị 1 1m . Khi đó tọa độ điểm cực đại là 0;1 A m , tọa độ hai điểm

cực tiểu là 2 2 2 21 ; 1 , 1 ; 1 B m m C m m

diện tích tam giác ABC là 221

; . 1 12 ABC S d A BC BC m . Dấu “=” xày ra khi 0m

ĐS: 0m



11

Ví dụ 4) Cho hàm số 4 22 2 y x mx có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua

5 5

3 9; D

Giải: Có 3

' 4 4 0 0; 0 y x mx x x m m . Vậy các điểm thuộc đường tr òn (P)ngoại tiếp các điểm cực trị là 2 2 3 9

0;2 , ; 2 , ; 2 , ;5 5

A B m m C m m D

.

Gọi ; I x y là tâm đường tr òn (P)

2 2

2 2

2 2 2 2 22 2

3 1 0

2 2 0; 1; 0( ), 1

2 2

x y IA ID

IB IC x y x m x y m L m

IB IA x m y m x y

Vậy1

m là giá trị cần t ìm.

Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận *) Xét hàm số ( ) y f x .Giả sử 0 0( ; ) M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( ) y f x x x y (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0 y theo

dạng 0( ) f x )

Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số 2 1

1

x y

x

khi đó điểm M có toạ độ là

00

0

2 1( ; )

1

x M x

x

*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là 0'( )k f x *) Đường thẳng bất kỳ có hệ số góc k đi qua 0 0( ; ) M x y có dạng 0 0( ) y k x x y . Điều kiện

để là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương tr ình sau có nghiệm

0 0( ) ( )

'( )

k x x y f x

k f x

Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm sốy=f(x)*) Mọi bài toán viết phương tr ình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phươngtrình theo (1)*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là1) Viết phương tr ình tiếp t uyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= ax+b:

+ Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( ) y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0'( )k f x a . Giải phương tr ình tìm 0 x

sau đó viết phương tr ình tiếp tuyến theo (1)



12

Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là'( ) '( ) A B

A B

f x f x

x x

Ví dụ 1) Cho hàm số2 1

1

x y

x

. Viết phương tr ình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến

cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)

Giải : Gọi 0 x là hoành độ tiếp điểm 0( 1) x , PTTT là

02

00 0

2 11

11

x y

x x x x

Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song vớiAB hoặc tr ùng với AB.

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB th ì ta có:

00 02

00

211 1 1

11

x x x

x x

Suy ra phương tr ình tiếp tuyến là14

5 y

4 x

Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc tr ùng với AB th ì tiếp tuyến có hệ số góc là

0

200

02 ( 4) 11 1

24 ( 2) 1

xk

x x

Với 0 0 x ta có PTTT là 1 y x ; với 0 2 x ta có PTTT là 5 y x

Vậy có 3 PTTT thỏa mãn 1 5 ; 1; 54

y x y x y x4

Ví dụ 2) Cho hàm số1

2

x y

x

Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho 8 AB , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và Bsong song với nhau.

Giải : Giả sử điểm cần t ìm là1 1

; , ;2 2

a b A a B b

a b

theo giả thiết ta có hệ:

22

' '4

1 18 1

1 81 12 4

a b f a f b

a b

a ba b

a ba bab a b



13

44

116 4 1 8 1

4

a ba b

ab abab

từ đó t ìm được A,B

Ví dụ 3) Cho hàm số2(3 1)

ym x m m

x m

(Cm)

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng(d): 1 y x Giải :

Ta có2

2

4'

( )

m y

x m

Giao điểm của (Cm) và trục Ox là2

( ;0)3 1

m m A

m

. Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với

22 13 1

1 ' 1 1 13 1 2 5

mm m m

y x y

m m m

Khi m=1. Phương tr ình tiếp tuyến là 1 y x (loại) v ì tiếp tuyến tr ùng với đường thẳng (d)

Khi1

5m . Phương tr ình tiếp tuyến là :

3

5 y x (TMĐK)

KL :1

5m

Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý: Kiểm tra điều kiện đủ khi t ìm ra giá trị tham số,Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán. Ví d

ụ 4)Cho hàm s

ố

3

3 2 y x x (C)

Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ sốgóc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: 5 0 x y Giải : Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân

biệt th ì phương tr ình 2' 3 3 y x k phải có hai nghiệm phân biệt 3k

Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ: 23

22

3 3 2 23 23

3 3 3 3

x y x x y x x

x k x k

2 2

2 2 2 2 2 23 3 3

3 3 3 3

kx k k

y x x y x

x k x k

phương tr ình đường thẳng AB: 2 23

k y x

. Để 2 1 9

3

k AB d k (thỏa mãn)



14

Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn: 3 3

2

3 2 3 22;4 , 2;0

23 3 9

y x x y x x A B

x x

Ví dụ 5) Cho hàm số 3 21 1 1 y x m x m x (1)

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các

tiếp tuyến tại B,C song song nhau.Giải: Xét phương tr ình 2 20 1 1 0( ) : 1 0 y x x mx gt pt x mx có 2 nghiệm phân

biệt khác 12

0

4 0

m

m

. Gọi , B C x x là nghiệm đó

B C x x và B C x x m .

Yêu cầu bài toán ' ' B C

y x y x

2 23 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0

2 12

3

B B C C B C B C

B C

x m x m x m x m x x x x m

m x x m m

Ví dụ 6) Cho hàm số 2 2 1

1 m

x m y C

x m

Cho A(1;2). Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị Cm tại haiđiểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau. Giải:

Ta có:

2

3'

1 y

x m

. Giả sử 1 1 2 2 1 2; , ;

m M x y N x y C x x . Tiếp tuyến tại M và N song

song

1 2 1 22 2

1 2

3 31 1 2 2

1 1 x m x m x x m

x m x m

(1)

Ta thu được 1 1 2 21 1 1 1 x x m x x m

và chú ý 1 2 1 2 1 21 ( 1) 1 1 2 x m x m x x x x . Cùng với (1) 0m

2) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= ax+b



+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên 0

1'( )k f x

a . Giải phương tr ình tìm

0 x sau đó viết phương tr ình tiếp tuyến theo (1) + Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:

'( ). '( ) 1 A B

A B

f x f x

x x

Ví dụ 1) Cho C(m): 3 2( ) 3 1 y f x x x mx a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E. b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.



15

Giải: a) Xét 1Cm y với phươ ng trình tìm hoành độ giao điểm

3 2 2

2

03 1 1 3 0 (0;1)

( ) 3 0

x x x mx x x x m C

g x x x m

Yêu cầu bài toán , D E x x là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x)=0

99 4 0 904

(0) 0 40

m mm

g mm

(*)

b) Đạo hàm: 2( ) 3 6 y x x x m .

Với điều kiện 9

04

m thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.

2 21 ( ). ( ) 3 6 3 6 D E D D E E

y x y x x x m x x m

2 2 2

3 3 2 3 3 2 3 2 3 2

9 6 4 9 6 . 3 4 4 9

D D E D D E

D E D E

g x x m g x x m x m x m

x x m x x m m m m m

2 9 654 9 1 0

8m m m

thoả mãn điều kiện (*)

Cho hàm số 3 22 51 3 2

3 3 y x m x m x có đồ thị (Cm), m là tham số.

Ví dụ 2) Tìm m để trên (Cm) có 2 điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2; , ; M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0 x x

và tiếp tuyến của (Cm) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0d x y

Giải: Ta có hệ số góc của : 3 1 0d x y là1

3d k . Do đó 1 2, x x là nghiệm của phương tr ình

y’=-3 Hay 2 2

2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1 x m x m x m x m (1)Yêu cầu bài toán phương tr ình (1) có hai nghiệm 1 2, x x thỏa mãn 1 2. x x >0

2 3' 1 2 3 1 0

13 1 1032

mm m

m m

Vậy kết quả bài toán là 3m và1

13

m .


22 33

x y x (C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)

Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3giao điểm đó cắt nhau tạo thành một tam giác vuông. Giải: Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là

3

2 22 3 3 6 3 03 3

x x x kx x x k

2

0

( ) 6 3 0

x

g x x x k

. Điều kiện là phương



16

trình 2( ) 6 3 0g x x x k có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

' 0 9 3 0 3

(0) 3 0 (0) 3 0 0

k k

g k g k k

Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác

vuông thì điều kiện là2

( ) 6 3 0g x x x k có 2 nghiệm 1 2; x x sao cho 1 2'( ). '( ) 1 f x f x 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4 1 4 ( ) 16 1 0 x x x x x x x x x x x x

Theo định lý Viets ta có 1 2

1 2

6

. 3

x x

x x k

Thay vào ta có: 2 2 4 159 72 48 1 0 9 24 1 0

3k k k k k k

Kết hợp điều kiện suy ra4 15

3k

3) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đ i qua ( ; ) M M M x y

+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua M . Phương tr ình của là ( ) M M y k x x y

+ Điều kiện để là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm ( ) ( )

'( ) M M k x x y f x

k f x

. Giải hệ

tìm x ta có hoành độ của các tiếp điểm sau đó viết phương tr ình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Viết phương tr ình tiếp tuyến đi qua19

;412

A

đến 3 2: ( ) 2 3 5C y f x x x

Giải: Đường thẳng đi qua19

;412 A

với hệ số góc k có phươ ng trình19

412 y k x

tiếp xúc

với : ( )C y f x

19( ) 4

12

( )

f x k x

f x k

có nghiệm

3 219 19( ) ( ) 4 2 3 5 6 1 4

12 12 f x f x x x x x x x

2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

19 171 2 1 6 1 1 4 1 0

12 2

191 : 4 412

192 : 4 12 15

12

1 19 21 19: 4 4

8 12 32 12

x x x x x x x x

x t y y x y

x t y y x y x

x t y y x y x

4)Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc



17



+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 00

0

'( ) tan'( ) tan

'( ) tan

f x f x

f x

Giải tìm 0 x sau

đó viết phương tr ình tiếp tuyến theo (1). Ví dụ 1) Cho (C):

3 2

1

x y

x

. Viết phương tr ình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc

450 Giải: Do tiếp tuyến của (C) tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn

045 1 1k tg k . Vì

2

1( ) 0 1

1 y x x

x

nên k=-1. hoành độ tiếp điểm là nghiệm

của phương tr ình

1 12

2 2

0 21( ) 1 1

2 41

x y y x

x y x

Phương tr ình tiếp tuyến tại x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2Phương tr ình tiếp tuyến tại x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.


2( 1)

x y

x

có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên

(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độGiải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OABvuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 450

Suy ra

0 0 020

4'( ) 1 0 à 2

4 1 f x x v x

x

Từ đó viết được 2 phương tr ình tiếp tuyến là3

2 y x và

5

2 y x

5) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y= ax+b một góc



+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc tan

1tan1

tan1

k a

k a ka

k aka

ka

(Với 0'( )k f x ) Giải tìm 0 x sau đó viết phương tr ình tiếp tuyến theo (1).

Ví dụ 1) Cho (C):4 3

1

x y

x

. Viết phương tr ình tiếp tuyến tạo với : y=3x góc 450.

Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với :y=3x góc 450 nên



18

0

23 1 33

45 1 13 1 31 .3

2

k k k k

tgk k k k

* Với k=-2, xét đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C)

4 321

x x m x

hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm kép

22

2

2 2 3 0 2 8 3 0

12 28 0 6 2 2

x m x m m m

m m m

* Với k=1

2

xét đường thẳng

1

2 y x m

tiếp xúc (C)

4 3 1

1 2

x x m

x

hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm kép

22 2 7 2 6 0 2 7 4 2 6 0 x x x m m m

2

4 36 73 0m m vô nghiệm.Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến 2 6 2 2 y x tạo với y=3x góc 450.

6) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác

OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước .+ Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng


+ Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giácvuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc 045 và tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ+ Viết phương tr ình tiếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốc

toạ độ + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các

giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức 1

.2OABS OA OB

Ví dụ 1) Viết phương tr ình tiếp tuyến của đồ thị hàm số2

2

x y

x

biết tiếp tuyến cắt

,Ox Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn: 2 AB OA . Giải: Cách 1: Gọi 0 0 0; , M x y x thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng:

0

020 0

2 4

2 2

x

y x x x x

.

Do tiếp tuyến cắt trục ,Ox Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có 2 AB OA nên tam giácOAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác y x hoặc y x

+TH1: d vuông góc với đường phân giác y x có:

0 020

41 0 4

2 x x

x



19

Với 0 0 : x d y x (loại)

Với 0 4 : 8 x d y x

+TH2: : d vuông góc với đường phân giác y x có:

20

41

2 x

PT vô nghiệm

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8d y x

Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: 1

sin sin42

OA ABO

AB

nên tam

giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại 0 0; M x y có dạng:

0

0200

24

22

x y x x

x x

. Dễ dàng tính được

20 ;02

x A

và

20

20

20;

2

x B

x

Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc t ìm 0 x là nghiệm của phương tr ình:

20

230

0 020

2

4 02 2

x x

x x x

Với 0 0 x ta có PTTT là: 0 y x

Với 0 4 x thì PTTT là: 4 y x

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 24 1(2 1) ( 2)

3 3 y x m x m x (Cm)

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng1

18

Ta có1

(0; )3

B tiếp tuyến tại B của (Cm) là1

( y m 2)3

x (d) . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại

1(3 6

;0) Am

Diện tích tam giác OAB là11 1 1 1 1

. . . 2 132 2 3 3 6 18

mS OAOB m

mm

7) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích cho trước hoặc tạo th ành một góc cho trước. + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( ) ( ) y f x x x f x .+ Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó căn cứ vào điều kiện để giảiquyết + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B mà tam giác IABvuông cân ( Với I là giao điểm 2 tiệm cận) thì ta quy về việc viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc 045 ) Chú ý rằng tiếp tuyến không được đi qua giaođiểm 2 đươ ng tiệm cận vì khi đó sẽ không hình thành một tam giác)



20

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB

có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức 1

.2OABS IA IB

+ Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính là góc tạobởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy

Ví dụ 1) Cho hà số 2 3mx y x m

. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. T ìm m để tiếp tuyến

bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x m và đườngtiệm cận ngang là 2 y m . Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: , 2 I m m

Gọi 00

0

2 3;

mx M x

x m

(với

0 x m ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.

PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là

2

002

00

2 32 3 mxm y x x

x m x m

Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại2

0

0

2 2 6;

mx m A m

x m

và cắt tiệm cận ngang tại

02 ;2 B x m m . Ta có2 2

00 0

0 0

2 2 6 4 62 ; 2 2

mx m m IA m IB x m m x m

x m x m

Nên diện tích tam giác IAB là 21. 4 6

2S IA IB m

Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương: 2 584 6 64

2m m

Ví dụ 2) Cho hàm số .1

x y x

Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2 2 2 .

Giải: Cách 1: Đường tiệm cận của đồ thị là 1, 1 x y . Gọi PTTT của (H) tại 0 0; M x y là:

0 02

00

1

11

x x x y

x x

Khi 0 0

0 0

1 11 1;

1 1

x x x y A

x x

. Khi 0 01 2 1 2 1;1 ; 1;1 y x x B x I



21

220 0

0 00 0

2 40 0 0

0

220 0

1 11 2 2 2 2 1 2 2 2

1 1

2 2 1 1 4 2 2 2 1

1 0

2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0

ABC

x xP IA IB AB x x

x x

x x x

x L

x x

Cách 2: Phương tr ình tiệm cận đứng 1 x , phương tr ình tiệm cận ngang 1 y

Gọi ;1

a M a

a

, PTTT tại

2

1:

11

a M y x a

aa

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là1

1;1

a A

a

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là 2 1;1 B a

Chu vi tam giác IAB là

2

2

2 12 1 2 1 4 2 2

1 1C IA IB AB a a

a a

Dấu “=” xảy ra khi 1 1a tức 0; 2a a .

Với 0a y x Với 2 4a y x KL: ; 4 y x y x là 2 tiếp tuyến cần t ìm.

Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2

1

x y C

x

. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết

PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và Bthỏa mãn:5ˆcos26

BAI

Giải: Xét điểm 0 0 0; , 1 M x y x C là tiếp điểm của tiếp tuyến d.

PTTT tại d có dạng:

002

0 0

3 2 5

1 1

x y x x

x x

Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và IAB có5ˆcos26

BAI nên 22

1 1 1ˆ ˆ ˆtan 1 tan tan 5ˆ 25 5cos

BAI BAI ABI BAI

Lại có ˆtan ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà

0 20

5' 0

2 y x

x

nên

20 0 02

0

55 1 1 0 2

1 x x x

x

Với 0 0 x có PTTT d: 5 2 y x



22

Với 0 2 x có PTTT d: 5 2 y x

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên.

Ví dụ 4) Cho hàm số :2x 1

yx 1

có đồ thị là C .

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C .Tìm trên đồ thị C điểm M có hoành

độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả

mãn : 2 2 40 IA IB Giải:

TCĐ 1d : 1 x ,TCN 2 : 2d y 1;2 I .Gọi 00

0

2 1;

1

x M x

x

0, 0C x

Phương tr ình tiếp tuyến với C tại

002

00

2 13: :

11

x M y x x

x x

0

1 2 00

2 41; , 2 1;2

1

xd A d B x

x

2 4 2022 2 0 0

0

00

364 1 40 1 10 1 9 0

1400

0

x x x x IA IB

x x

0 x 2 0 y 1 2;1 M .

8) Viết phương tr ình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang tại A, B mà chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

*) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Tronghàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tamgiác IAB không đổi). Vận dụng kết quả này ta có

2 2 2 . 2 . (2 2) . IABC IA IA AB IA IB IA IB IA IB IA IB IA IB . Vì diện tích

tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khiIA=IB. Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương tr ình tiếp tuyến


1

x y

x

. Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B

sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng 1 x và tiệm cận ngang là đường

thẳng 1 y . Giao điểm hai đường tiệm cận 1;1 I . Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị

tại điểm có hoành độ 0 x , PTTT có dang:

002

00

23

11

x y x x

x x

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng 1 x tại điểm 0

0

51;

1

x A

x

và cắt tiệm cận đứng tại điểm



23

02 1;1 B x . Ta có: 00 0

0 0

5 61 ; 2 1 1 2 1

1 1

x IA IB x x

x x

Nên 00

6. .2 1 12

1 IA IB x

x

. Do vậy diện tích tam giác IAB là

1. 6

2S IA IB

Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, th ì bán kính đường tr òn nội tiếp tam giác này là 6Sr p p

Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất, mặt khác tam giác IAB vuông tại I nên:2 22 2 2 . 4 3 2 6 p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB

Dấu “=” xảy ra khi 2

0 1 3 1 3 IA IB x x

Với 1 3 x ta có tiếp tuyến 1 : 2 1 3d y x

Với 1 3 x ta có tiếp tuyến 2 : 2 1 3d y x

Ví dụ 2) Cho Hypebol (C):

2 1

1

x

y x

và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm củatiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

a) CMR: M là trung điểm của AB b) CMR: dt onst IAB c

c) Tìm M để chu vi IAB nhỏ nhất.

Giải:TCĐ: x=1TCN: y=2Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;2)

y =

2 1 1

21 1

x

x x

, 21

Gọi M1

mm

(c).

Tiếp tuyến tại M là (t): y = , y (m) (x-m) + y(m)

2

1 1( ) : ( ) 2

( 1) 1t y x m

m m

* (t) (TCĐ: x =1) = A2

1,21m

;(t) (TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)

Ta có :2

A B

M

x xm x

và A,M,B thẳng hàng nên M là trung điểm AB

* dt( IAB)=1

2IA . IB =

1

2 A I B I y y x x 1 2 1 2

2( 1) .2( 1) 22 1 2 1

m mm m

(đvdt)

Ta có IA . IB = 4 ;

Chu vi ( IAB) = IA + IB + AB= 2 2 2 . 2 . 2(2 2) IA IB IA IB IA IB IA IB



24

Dấu bằng xảy ra IA = IB = 2 1 1m 1

2

0 (0, 1)

2 (2,3)

m M

m M

9) Tìm đ iều kiện để qua đ iểm ; M M M x y cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ th ị y=f(x)

+ Xét đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M ( ) :PT ( ) M M y k x x y

+ Điều kiện để là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm( ) ( )

'( ) M M k x x y f x

k f x

(*)

+ Để qua điểm M kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị thì hệ (*) phải có n nghiệm thế phương tr ình(2) vào (1) dùng phươ ng pháp hàm số để tìm điều kiện + Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳngy=2x+1 thì M ( ; 2 1)a a , Điểm M thuộc đường thẳng y=2 ( ;2) M a ……

Ví dụ 1) Cho đồ thị hàm số (C): 4 2 1 y f x x x . Tìm các điểm A Oy kẻ được 3 tiếp

tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ A(0;a)(C). Đường thẳng đi qua A(0;a) với hệ số góc k có phương tr ình

y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C)( )

( )

f x kx a

f x k

có nghiệm (*)

Điều kiện cần: Để ý rằng ( ) ( ) ( ) f x f x x R f x là hàm chẵn đồ thị (C)nhận Oy làm trục đối xứng. Do A(0;a)trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêutiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến dến nhánh bên phảicủa (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k 0 luôn là 1 số chẵn. Vậy dể từ A(0;a) kẻđược 3 tiếp tuyến dến (C) thì điều kiện cần là hệ phương tr ình (*) có nghiệm k=0.

Thế k=0 vào hệ (*)4 2

23

0; 11 1

1 3;4 2 0

2 4

x a x x kx

x a x x

Điều kiện đủ:

Nếu a=1 thì (*)

4 2 34 2

3 3

2 2

22

4 21 1

4 2 4 2

0; 00; 03 1 0 1 2

;1 2; 3 3 32 1

3 31 2

;3 3 3

x x x x x x x kx

x x k x x k

x k x k x x

x k x x k k x x

x k

Vậy từ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)



25

Nếu 3

4a thì (*)

4 2 4 2 3

3 3

4 2 4 2

2 2

3 31 1 4 2

4 4

4 2 4 2

1 1 13 0

4 2 22 1 2 1 0

x x kx x x x x x

x x k k x x

x x x x

k x x k x x k

Vậy từ 3

0;4

A

chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).

Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ Đáp số: A(0;1)Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến

(C):3

1

x y

x

.

Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)y=2x+1. Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương

trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với 3 3

: 2 11 1

x x

C y k x a a x x

hay 2 1 1 3kx ak a x x có nghiệm kép

2 1 2 2 4 0kx a k a x ak a có nghiệm kép

0k và 2

1 2 4 2 4 0a k a k ak a

0k và 2 2 2 2( ) 1 . 4 4 . 4 0g k a k a a k a

Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ( ) 0 g k có đúng 1 nghiệm kép k 0

2 2

2 2

032 2 0; (0) 4 0

132 2 0; (0) 4 02

1 11 0 16 4 04

aa a g a

aa a g a

a

aa k k

vậy có 4 điểm 1 2 3 41; 1 , 0;1 , 1;3 , 2;5 A A A A nằm trên dường thẳng y=2x+1 và kẻ được

đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).Ví dụ 3) Cho hàm số 3 22 ( 1) 2 y x x m x m (Cm)Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)Giải: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương tr ình tiếp tuyến là(d) : ( 1) 2 y k x . Vì (d) là

tiếp tuyến nên hệ phương tr ình sau có nghiệm3 2

2

( 1) 2 2 ( 1) 2

3 4 ( 1)

y k x x x m x m

k x x m

3 22 5 4 3( 1) 0 x x x m

Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) th ì phương tr ình3 2( ) 2 5 4 3( 1) 0 f x x x x m (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có



26

2

1'( ) 6 10 4 '( ) 0 2

3

x

f x x x f x x

. Từ đó tính được hai điểm cực trị của hàm số là

2 109

1;4 3 , ; 3

3 27

A m B m

. Ta thấy phương tr ình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi một

trong hai điểm cực trị nằm tr ên trục hoành. Từ đó t ìm được4

3m hoặc

109

81m

Ví dụ 4) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3 3 2 y x x Giải: Lấy bất kỳ A(a;0) Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương tr ình

y=a(x-a) tiếp xúc với (C):y=f(x) Hệ phương tr ình ( )

( )

f x k x a

f x k

có nghiệm

3 2

2

( ) ( )

( ) ( ) 0 2 3ax 3 2 0

1 2 3 2 3 2 0 1 ( ) 0

f x f x x a

f x f x x a x a

x x a x a x g x

Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1)

23 2 3 6 02

1( 1) 6 1 03

aa a

ag a

Phần ba: Các bài toán về sự tươ ng giao của 2 đồ thị 1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ th ị + Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|f(x)| bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị của y=f(x) nằm trên

trục Ox; Lấy đối xứng của phần đồ thị y=f(x) nằm dưới trục Ox qua trục Ox.+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=f(|x|) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y=f(x) nằm bên phảitrục Oy, Lấy đối xứng của phần đồ thị bên phải Oy qua trục Oy( Chú ý y=f(|x|) là hàm chẵn nênnhận trục Oy làm trục đối xứng)+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|h(x)|.g(x) với h(x).g(x)=f(x) bằng cách.

+ Ta thấy ( ) ( ) 0

| ( ) | . ( )( ) ( ) 0

f x khih x y h x g x

f x khi x

Từ đó ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

| ( ) | . ( ) y h x g x như sau:Lấy phần đồ thị y=f(x) khi ( ) 0h x . Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị y=f(x) khi ( ) 0h x 2) Tìm đ iều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với y=g(x)

+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương tr ình sau có nghiệm ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm

( ) 0

'( ) 0

f x

f x



27

3) Điều kiện tươ ng giao của hàm số bậc 3: y=ax 3+bx

2+cx+d

* Khi giải các b ài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị h àm số y= ax 3

+bx 2

+cx+d

ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương tr ình tạo dạng tích:

0( ). ( ) 0 x x G x trong đó G(x) là ta m thức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0.

Tuy nhiên trong một số b ài toán ta không thể nhẩm được nghiệm. Khi đó ta cần sử dụng các

điều kiệ tương giao sau để giải toán.

+ Hàm số : y=ax 3

+bx 2

+cx+d cắt trục Ox tại đúng một đ iểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồng biến hoặc luôn ngh ịch biến hoặc hàm số có cực đại và cực tiểu cùng d ấu

Tức là '( )

'( ) 00

'( ) 0 f x

f x x

f x x

hoặc '( )1 2

1 2

0'( ) 0

. 0 ( ). ( ) 0

f x

CD CT

f x x x x x

f f f x f x

+ Hàm số : y=ax

3+bx

2+cx+d cắt trục Ox tại 2 đ iểm phân biệt khi và chỉ khi f’(x) có 2 nghiệm

phân biệ t 1 2; x x và

1 2( ) ( ) 0 f x f x

+ Hàm số : y=ax 3

+bx 2

+cx+d cắt trục Ox tại 3 đ iểm phân biệt khi hàm số có cực đại , cực tiểu

và giá tr ị cực đại , cực tiểu trái d ấu nhau

'( ) 0 f x có 2 nghiệm phân biệt 1 2; x x và 1 2( ). ( ) 0 f x f x

+ Trong trường hợp các nghiệm của phương tr ình kèm theo điều kiện khác thì ta cần phác họa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác.

Ví dụ 1) Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) ( 1) y x mx m x m (Cm)Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dươngGiải:Ta có 2 2' 3 6 3( 1) y x mx m Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương th ì điều kiện là hàm số có 2 điểm cực trịnằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 và xCĐ>0

Ta có:(1) 2 2' 0 9 9 9 0 9 0m m đúng với mọi m.

Khi đó 2

1

1' 0

1

x m y

x m

Ta có:

222

21

2 2 21 2

1 2 11 1' . 2 1 1

3 3 1 3

. 1 3 2 1

y m m m y f x x m x m m

y m m

y y m m m m

2 2

1 D

2 2

0 1 0 1 0

0 1

3 2 1 0(*)

C

f m m

x x m

m m m

Lập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện 1m

Suy ra tập hợp giá trị m thỏa mãn là 3 1 2m



28

Ví dụ 2) Chứng minh rằng phươ ng trình 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1 0 x m x m x m luôn cónghiệm duy nhất. Giải ;

Xem phương tr ình 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1 0 x m x m x m là phương tr ình hoành độ giao điểm

của

3 2 2 3

3( 1) 3( 1) 1 y x m x m x m

và trục hoành.Ta có 3 21 1

'. 23 3

m y y x mx m m

suy ra đường thẳng qua hai cực trị là

3 22 y mx m m

Để phương tr ình có nghiệm duy nhất th ì đồ thị hàm số 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1 y x m x m x m cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức là

3 2 3 2

18 8 0' 018 8 0' 0 (**)

. 0 2 2 0CD CT CD CT

m

m

y y mx m m x m m

Theo định lý viet:2

2( 1)

. 1

CD CT

CD CT

x x m

x x m

Thay vào (**) ta có

2 2 2 3

229922

99

4 ( 1) ( 1) (4 1) 0

mm

mm

m

m m m m m

Vậy với mọi m phương tr ình luôn có nghiêm duy nhất.

Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số 3 26 9 y x x x d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt1 2 3 x x x . Chứng minh 1 2 30 1 3 4 x x x

Giải: Phương tr ình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là : 3 26 9 0 x x x d (*)

Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số 3 26 9 y x x x Tại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện 4 0d

Đặt 3 2( ) 6 9 f x x x x d với 4 0d Ta có (0) 0; (1) 4 0; (3) 0; (4) 4 0 f d f d f d f d . Hàm số f(x) liên tục tr ên Rsuy ra điều phải chứng minh.


2 53

2 2

x y x có đồ thi (C) và điểm A C với

A

x a . Tìm các

giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,Ckhác A sao cho 3 AC AB (B nằm giữa A và C)Giải:

Cách 1: Xét4

2 5; 3

2 2

a A a a

thuộc đồ thị (C)



29

PTTT tại A: 4 4

2 3 2 25 3 53 2 6 2 3 3

2 2 4 2

a a y a a a x a y a a x a

Phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A:

4 422 2 2 2 25 3 5

3 2 3 3 2 3 6 02 2 2 2

x a x a a x a x a x ax a

2 22 3 6 0 1

x a

f x x ax a

Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A th ì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt

, B C x x khác a

2 2

2

' 3 6 0 3 3 3(*)

16 6 0

a a

a f a a

Do 3 3 3 2C B AB AC AB AC x x a

(2)

Theo Viet có

2

2 3

3 6 4

B C

B C

x x a

x x a

Từ (2) và (3) 0C x và 2C x a thế vào (4) có: 23 6 0 2a a (thỏa (*))

Kiểm tra:

+ Với 2a có3 5 21

2; , 0; , 2 2; 32 2 2

A B C AC AB

+ Với 2a có3 5 21

2; , 0; , 2 2; 32 2 2

A B C AC AB

Vậy 2a là các giá trị cần t ìm của a.

Cách 2: Phương tr ình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với A x a

là:

4

3 2 52 6 3

2 2

a y a a x a a

Phương tr ình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):

4 4

22 3 2 2 25 53 2 6 3 2 3 6 0

2 2 2 2

x a x a a x a x x a x ax a

Để có 3 giao điểm A,B,C th ì phương tr ình: 2 22 3 6 0 x ax a (*) có 2 nghiệm phân biệt

khác a3 3

1

a

a

Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của PT(*) nên22

3 6

B C

B C

x x a

x x a

Mặt khác AC=3AB (B nằm giữa A và C) 3 3 2C B AC AB x x a



30

Ta có hệ2 2

3 2 0

2 2 2

. 3 6 3 6 0

C B B

B C C

B C

x x a x

x x a x a a

x x a a

thỏa mãn điều kiện

Vậy giá trị cần t ìm của m là: 2a

Ví dụ 5) Viết phương tr ình đường thẳng d cắt đồ thị 3: 3 2C x x tại 3 điểm phân biệt

A,B,C sao cho 2 A x và 2 2 BC Giải: Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương tr ình:

3 2 24 6 1 1 4 6 1 0 x mx x x x mx .

Để PT có 3 nghiệm phân biệt th ì 24 6 1 0 x mx có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2

' 9 4 0 ;3 3

m m m

Gọi 1 1 2 2; 1 , ; 1 B x x C x x . Để B và C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất

thì: 1 2 1 21 2

1 2 2 1

1 3 21 1

1 2 3

x y x x x x m m

y x x x

So sánh với ĐK, thấy không t ìm được m thỏa mãn.Ví dụ 6) Cho hàm số 3 23 4 y x x

Gọik

d là đường thẳng đi qua điểm 1;0 A với hệ số góc k k . Tìm k để đường

thẳng k d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm , B C ( B và C khác A ) cùng

với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.Giải:

:k d y kx k (hay 0kx y k ). Pt hoành độ giao điểm của

k d và (C):

23 23 4 1 2 0 1 x x kx k x x k x

hoặc

22 x k

k d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt0

9

k

k

(d) cắt (C)

tại 1;0 , 2 ;3 , 2 ;3 A B k k k k C k k k k .

2

22 1 , , ,

1k

k BC k k d O BC d O d

k

2 3

21 . .2 . 1 1 1 1 12 1

OBC

k S k k k k k k k

Ví dụ 7) Cho hàm số 3 22 3( 1) 2 y x mx m x (1), m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2 y x tại 3 điểm phân biệt (0;2) A ; B; C

sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1). M Giải:



31

Phương tr ình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) là: 3 22 3( 1) 2 2 x mx m x x

2

0 2

( ) 2 3 2 0(2)

x y

g x x mx m

Đường thẳng ( ) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C

Phương tr ình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

2' 0 3 2 0 1(0) 0 3 2 0 2

3

m

m m m

g mm

Gọi 1 1; B x y và 2 2;C x y , trong đó 1 2, x x là nghiệm của (2); 1 1 2 y x và 1 2 2 y x

Ta có 3 1 2

;( )2

h d M

2 2.2 2

42

MBC BC S

h

Mà 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 2 ( ) 4 BC x x y y x x x x

= 28( 3 2)m m

Suy ra 28( 3 2)m m =16 0m (thoả mãn) hoặc 3m (thoả mãn)

4) Điều kiện để hàm số bậ c 3 có 3 nghiệm l ập thành cấp số cộng Xét phương tr ình 3 2ax 0bx cx d . Giả sử phương tr ình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là 1 2 3; ; x x x khi đó:

3 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x

Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên 1 3 2 223

b x x x x

a là nghiệm. Thế vào phương

trình ta suy ra điều kiện cần tìm.Ví dụ 1) Cho 3 2 2: 3 2 4 9C m y f x x mx m m x m m . Tìm m để C(m) cắt Ox tại

3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Giải: Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là 1 2 3, , x x x .

Khi đó: 3 2 23 2 4 9 0 x mx m m x m m có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, , x x x

3 2 21 2 33 2 4 9 x mx m m x m m x x x x x x x

3 2 2 3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 33 2 4 9 x mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x x

Suy ra 1 2 3 1 3 2 2 23 3m x x x x x x x x m

Thế 2 x m vào 2( ) 0 0 0 f x m m m hoặc 1m

Điều kiện đủ: Với m=0 thì 31 2 3( ) 0 0 f x x x x x (loại)

Với m=1 thì 3 2( ) 3 6 8 0 f x x x x 21 2 31 2 8 0 2; 1; 4 x x x x x x

K ết luận: Đáp số m=1.

5) Điều kiện hàm bậc 3 có 3 nghiệm l ập thành cấp số nhân



32

Xét phương tr ình 3 2ax 0bx cx d . Giả sử phương tr ình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là 1 2 3; ; x x x khi đó:

3 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x

Vì 3 nghiệm lập thành cấp số nhân nên 2 3 31 3 2 1 2 3 2 2ax

d x x x d x x x x

a

thay vào

phương tr ình ta suy ra điều kiện cần t ìmVí dụ 1) Cho 3 2: 3 1 5 4 8.Cm y f x x m x m x Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3

điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân. Giải: Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 1 2 3, , x x x

Khi đó: 3 23 1 5 4 8 0 x x x x x có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, , x x x

3 21 2 33 1 5 4 8 x x x m x x x x x x x x

3 2 3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 33 1 5 4 8 x x x m x x x x x x x x x x x x x x x x

Suy ra: 31 2 3 2 28 2 x x x x x Thế 2 2 x vào 0 4 2 0 2 f x m m

Điều kiện đủ: Với m=2 thì

3 21 2 37 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4 f x x x x x x x x x x

K ết luận: Đáp số m=2.

6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm l ập thành cấp số cộng Xét phương tr ình 4 2ax 0bx c (1) Đặt 2 ( 0)t x t để phương tr ình (1)có 4 nghiệm lập

thành cấp số cộng thì phương tr ình 2 0at bt c (2) phải có 2 nghiệm dươ ng phân biệt 1 2,t t .

Giả sử ( 1 2 )t t khi đó 4 nghiệm của (1) là 2 1 1 2, , ,t t t t vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

nên 2 1 1 1 2 19t t t t t t . Áp dụng định lý viét cho phương tr ình (2) ta có

1 2

1 2

1 29

bt t

a

ct t

a

t t

Giải điều kiện theo hệ phương tr ình.

Ví dụ 1) Cho

4 2: 2 1 2 1.C m y x m x m Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt

lập thành 1 cấp số cộng. Giải: Xét phương tr ình: 4 22 1 2 1 0(1) x m x m

Đặt 2 2; 2 1 2 1 0(2)t x f t t m t m

Yêu cầu bài toán 0 f t có 2 nghiệm 2 1 0t t sao cho (1) có sơ đồ nghiệm



33

Ta có 4 3 3 2 2 1 4 3 3 2 x x x x x x x x x x

2 1 1 1 2 1 2 13 9 0t t t t t t t t

Yêu cầu bài toán

22 1

2 11 2 2 12 211 2

1

1 10, 9 0 2 2

9. 2 1 0 99 2 12 1 0 1

9 2 15 1 5

m mm t t

t t t t m t t

t mt t m mm

t m

2 1

2

142

9 4

99 32 16 0

mm

t t m

m m

Ví dụ 2) (Bài toán tương giao hàm bậc 4) Tìm m sao cho đồ thị hàm số 4 24 y x x m cắttrục hoành tại 4 điể phân biệt sao cho diện tích h ình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành cóphần trên bằng phần dưới Giải:

Phương tr ình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và 4 2: 4 0Ox x x m (1)

Đặt 2 0t x . Lúc đó có PT: 2 4 0t t m (2)Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân

biệt

' 4 0

0 4 0 4

0

m

t S m i

P m

Gọi 1 2 1 2, 0t t t t là 2 nghiệm của pt(2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng

dần là: 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ; x t x t x t x t

Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:

3 4

3

454 2 4 2 4 2344 4 4

0

44 4 0 3 20 15 05 3

x x

x

x x x x m dx x x m dx mx x x m

Từ đó có 4 x là nghiệm của hệ

4 24 4

4 24 4

4 0 3

3 20 15 0 4

x x m

x x m

1 x

2t

2 x 3 x 4 x

1t 1t 2t



34

Lấy (3).(4)-(4) 24

3

2

m x thay 2

43

2

m x vào (3) có:

29 205 0 0

4 9

mm m m

Đối chiếu với điều kiện (i) có20

9m là giá trị cần t ìm.

7) Điều kiện tương giao của đồ thị h àm số ax b

ycx d

(H) và đường thẳng y mx n

Phương tr ình hoành độ giao điểmax b

mx ncx d

. Biến đổi về dạng 2( ) 0g x Ax bx c . Số

giao điểm tùy thuộc số nghiệm khác d

c của phương tr ình ( ) 0g x

TH 1: 0 Hoặc

0

0d

g

c

đường thẳng không cắt đồ thị (H)

TH 2:

0

0d

gc

hoặc

0

0d

gc

đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm

TH 3:

0

0d

gc

đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có

1 1 2 2( ; ); ( ; ) A x mx n B x mx n với x1; x2 là hai nghiệm của g(x)=0

Ví dụ 1) Cho hàm số

3

2

x

y x

có đồ thị (H). T ìm m để đường thẳng : 1d y x m

tạihai điểm phân biệt A,B sao cho ˆ AOB nhọn. Giải:

Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của PT 231 2 2 5 0

2

x x m x m x m

x

Để pt tr ên có 2 nghiệm phân biệt th ì 0; 2 x

2

2

4 16 0?

2 2 2 2 5 0

m mm

m m

Gọi 1 1 2 2; 1 , ; 1 A x x m B x x m là hai giao điểm của (H) và d.

Để ˆ AOB nhọn th ì:

2 2 22 2 22 1 1 2

21 2 1 2

2 1 1

2 1 1 0 3

AB OA AB x x x m x m

x x m x x m m

Kết hợp với đk ban đầu ta suy ra được giá trị của m.



35


1

x m y

mx

(1). Chứng minh với mọi 0m đồ thị hàm số (1) cắt

: 2 2d y x m tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng

(d) cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm M,N. T ìm m để 3OAB OMN S S

Giải: Phương tr ình hoành độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d): 2 22 1

2 2 2 2 0,1

x m x m mx m x m x

mx m

(2)

Do 0m nên (2) 2 12 2 1 0, f x x mx x

m

(*)

Để tồn tại 2 điểm A,B th ì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt: 2

2

' 2 01

, 01 21 0

A B

m

x x mm f

m m

Mặt khác có 1. 2 A B x x nên A,B luôn thuộc một đường (Hipebol) cố định

Kẻ ,

2

5O d

mOH AB OH d

. Lại có 2 2 ; 2 2 A A B B AB d y x m y x m

Theo Viet ta có: 12

A B

A B

x x m

x x

Có 2 2 2 2 25 5 20 5 10 A B A B A B A B A B AB x x y y x x x x x x AB m

Vì M,N là giao điểm của d với ,Ox Oy nên ;0 , 0; 2 M m N m

Theo giả thiết 223 . 3 . . 5 10 3

5OAB OMN M N

mS S OH AB OM ON m x y

2 2 2 22 1. 5 10 3 2 2 3 2 9

25

mm m m m m m m m

Vậy với1

2m là các giá trị cần t ìm.

Ví dụ 3) Tìm trên (H):1

2

x y

x

các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và

đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x

Giải: Do : : AB d y x ptAB y x m Phương tr ình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:

213 2 1 0 2

2

x x m g x x m x m x

x

(1)

Để tồn tại 2 điểm A,B th ì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt , A B x x và khác 2



36

22

2

0 3 4 2 1 01 4 0;

2 0 4 3 2 2 1 0

g x m mm m

g m m

Theo Viet ta có:3

2 1

A B

A B

x x m

x x m

. Lại có ; A A B B y x y x m

Mà:

2 2 22

2 2 2

4 16 16 8

4 8 3 4 2 1 0 2 3 0 1 3

B A B A B A

B A A B

AB AB x x y y x x

x x x x m m m m m m

+ Với 3m thay vào pt (1) có: 2 6 7 0 3 2 2 x x x y . Lúc này tọa độ 2 điểm

A,B là: 3 2; 2 , 3 2; 2 A B hoặc 3 2; 2 , 3 2; 2 B A .

+ Với 1m thay vào pt (1) có: 2 2 1 0 1 2 2 2 x x x y . Lúc này tọa độ 2

điểm A,B là 1 2; 2 2 , 1 2; 2 2 A B hoặc 1 2; 2 2 , 1 2; 2 2 B A

Vậy A,B là các điểm như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.


2

x y

x

có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d: 2 3 y x m cắt

(H) tại hai điểm phân biệt sao cho . 4OAOB

với O là gốc tọa độ

Giải: Xét pt: 232 3 2 3 1 6 3 0

2

x x m x m x m

x

(1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-2)

Khi 29 30 33 0m m điều này xảy ra với mọi m. Gọi 2 nghiệm của pt (1) là 1 2, x x thì 1 1 2 2;2 3 , ;2 3 A x x m B x x m

Có 1 2 1 212 15 7

. 4 . 2 3 2 3 4 42 12

mOAOB x x x m x m m

Ví dụ 5) Cho hàm số2 1

1

x y

x

có đồ thị (C). T ìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A,B, sao cho 2 2 AB Giải: Phương tr ình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

22 11 1 0

1

x x m f x x m x m

x

(1) 1 x

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B th ì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt , 1 A B x x

21 4 1 0

1 1 1 1 0

m m

f m m

(*) Theo Viet ta

có:

221 1

; , ; 1 4( 1) 41 7

A B A A B B

A B

x x m m A B d y x m y x m AB m m

x x m m



37

Ví dụ 6) Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k. T ìm k để D cắt đồ thị2

1

x y

x

tại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM=2AN

Giải: Do D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k nên pt D: 1 y k x

Phương tr ình hoành độ giao điểm của D và đồ thị hàm số đã cho là:

22 1 2 1 2 0 11

xk x kx k x x

x

(1)

Đặt 1 1t x x t . Lúc đó pt (1) thành:

2 21 2 1 1 2 0 3 0k t k t k kt t (2)

Để D cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị th ì pt(1)phải có 2 nghiệm 1 2, x x thỏa 1 21 (2) x x pt có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa

1 20 3 0 0(*)t t k k

Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và 1 22 2 2 3 AM AN AM AN x x

(3)

Theo Viet ta có:

1 2

1 2

2 14

25

k x x k

k x x

k

. Từ (3) và (4) 2 11 2

;k k

x xk k

Thay 1 2, x x vào pt (5) có:

2

2 1 2 23 2 0

3

k k k k k

k k

Đối chiếu ĐK (*) có2

3k là giá trị cần t ìm.

Phần bốn: Các bài toán về khoảng cách Để giaỉ quyết tốt các d ạng bài tập trong phần này học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau:

*) Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ); ( ; ) M M N N M x y N x y là

2 2

N M N M MN x x y y

*) Khoảng cách từ điểm 0 0( ; ) M x y đến đường thẳng :ax+by+c=0 là 0 0 / 2 2

ax M

by cd

a b

Các trường hợp đặc biệt:+ Nếu là đường thẳng x=a th ì / 0 M d x a

+ Nếu là đường thẳng y=b th ì / 0 M d y b

+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy là d= 0 0 x y *) Khoảng cách giữa đường thẳng và đường congCho đường thẳng và đường cong ( C) . Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường cong ( C) và điểm Nthuộc đường thẳng Khi đó ( /( )) minC d MN . Từ đó ta có cách tính khoảng cách từ đường

thẳng :ax+by+c=0 đến đường cong ( C) y=f(x) như sau:



38

+ Cách 1: Lấy điểm M 0 0; x y bất kỳ thuộc ( C) 0 0( ; ( )) M x f x . Ta có 0 0 / 2 2

ax M

by cd

a b

Sau đó t ìm min d theo x0 + Cách 2: Viết phương tr ình tiếp tuyến t của đường cong ( C) và tiếp tuyến đó song song với .Sau đó tìm tiếp điểm M

0 0; x y của tiếp tuyến và đường cong. Khi đó khoảng cách giữa đường

thẳng và đường cong ( C) cũng bằng khoảng cách giữa M và đường thẳng là

0 0 / 2 2

ax M

by cd

a b

Ví dụ 1) Cho đồ thị 2 1

:1

xC y

x

và điểm A(-2;5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2

điểm B, C sao cho ABC đều.

Giải: 2 1

1

x y

x

: 1

: 2

TCD x

TCN y

phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận (1): 3 y x

2

30

1 y

x

hàm số nghịch biến

đồ thị (C) có dạng như hình vẽ.Do A(-2;5) (1) : 3 y x là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải vuônggóc với (1) và (D) có phương tr ình: y=x+m.

Xét phương tr ình: 22 13 1 0

1

x x m g x x m x m

x

Ta có 2 2

3 4 1 1 12 0g m m m nên (D) luôn cắt (C) tại B, C phân biệt và do

tính đối xứng ABC cân tại A.

Giả sử (1) D 2

23 3 7; 2

2 2 2

m m m I I AI

Gọi

2 21 1 1 1 21 2 1 2 1 2

2 22 2

,2 2 4

,

B x y y x m BC x x x x x x

y x mC x y

22 22 3 4 1 2 2 13 BC m m m m

Ta có ABC đều 22 2 24

3 2 13 7 BC AI m m m3

12

2

: 11

4 5 0 5 : 5

D y xm

m m m D y x

Ví dụ 2) Cho 3 5

:2

x H y

x

. Tìm M(H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của

(H) là nhỏ nhất.Giải:Ta có TCĐ: x=2

TCN: y=3



39

3 5 13

2 2

x y

x x

Lấy

1;3

2 M m H

m

Tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm

cận là1

2 3 2 22 M M M d x y m

m

( Theo bất đẳng thức Cauchy)

1 (1;2)1min 2 23 (3;4)2

m M d mm M m

Ví dụ 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 4 9

:3

xC y

x

các điểm cách M1,M2 để độ dài

1 2, M M là nhỏ nhất.

Giải: : 34 3 34 9 3

4: 43 3 3

TCD x x x y

TCN y x x x

Gọi

1 1 1

2 2 2

,,

M x y M x y

(M1 thuộc nhánh trái của (C); M2 thuộc nhánh phải của (C))

Đặt 1 1

2

2

33 43

34, 0

x y

x

y

2 22

1 2 2 1 2 1 M M x x y y

=

222 2

2

93 3

cos22

2 2

9 9 91 2 1 4

i

Mà

cos9 9

4 4 2 . 24i

1 2

0

min 24 2 6 39 M M

toạ độ 1 23 3; 4 3 , 3 3;4 3 M M

Ví dụ 4) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số2 1

( )1

x y H

x

sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng ( ): 4 8 0 x y là nhỏ nhất Giải:

Ta có

2

1'

1 y

x

. Xét đường thẳng d là tiếp tuyến của (H) và d song song với ( )



40

Từ đó viết được 2 phương tr ình tiếp tuyến là 1

5:

4 4

xd y và 2

13:

4 4

xd y

Hai tiếp điểm tươ ng ứng là 1 2

3 51; ; 3;

2 2 M M

Dễ dàng tính được 1 2 / / d M d M 1 M là điểm cần tìm

Chú ý: Ngoài cách lập luận như trên ta có thể giải bài toán theo cách khác giả sử 2 1

( ; )1

x M x

x

Sau đó tính khoảng cách từ M đến . Và tìm min theo phương pháp hàm số với biến x

Cho hàm số1

x y

x

và điểm A(-1;1)

Ví dụ 5) Tìm m để đường thẳng 1 y mx m cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho2 2 AM AN đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Xét phương tr ình tương giao:2

2 1 0mx mx m . Để cắt tại hai điểm th ì phương tr ình phải có2 nghiệm phân biệt khác 1.

2

2 1 00

' 1 0

m m mm

m m m m

Để ý thấy trung điểm MN là I và I(1;-1) cố định.

Sử dụng chèn điểm ta có: 2 2 2 2 22 AM AN AI IM IN (do 0 IM IN

)Ta có IA cố định, IM=IN. Ta thấy biểu thức đó min khi và chỉ khi MN minTính MN:

2 2 22 21 2 1 2 1 2

41 4 . 1 4 NM x x m x x x x m m

m

Do m<0 nên đặt ; 0t m t

.

2 4

4 8 MN t t

. Vậy m=-1

Ví dụ 6) Tìm m để đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C)2

1

x y

x

tại 2 điểm phân biệt A,B sao

cho độ dài AB nhỏ nhất.Giải:

Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương tr ình2

21

xmx m

x

có 2

nghiệm phân biệt khác 1. 2( ) 2 2 0g x mx mx m có 2 nghiệm phân biệt khác 1

0

0

(1) 0

m

g

0m . Ta có

1 1 2 2( ; 2); ( ; 2 A x mx m B x mx m ) 2 2 22 1 2 1 2 1; ( ) ( ) (1 ) AB x x m x x AB x x m

22 21 2 1 24 ( 1) AB x x x x m Vì x1;x2 là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có

1 2 1 2

22;

m x x x x

m

2 1

8( ) 16 min 4 1 AB m AB mm



41

Phần năm: Các bài tập về KSHS

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088

Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ

Câu 1) Cho hàm số 13

1 23 m xmx x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là

nhỏ nhất


1 23 mxmx x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 21; x x thoả mãn 821 x x

Câu 3) Cho hàm số 3723 xmx x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8b) Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường

thẳng y=3x-7

Câu 4) Cho hàm số )1()232()1(3 223 mm xmm xm x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với

đường thẳng 541

x y một góc 450

Câu 5) Cho hàm số m xm x x y 223 3a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0

5b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng

22

1 x y

Câu 6) Cho hàm số 13)1(33 2223 m xm x x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.

Câu 7) Cho hàm số 12 224 xm x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân

Câu 8) Cho hàm số 11292 223 xmmx x y



42

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời CT CD x x 2

Câu 9) Cho hàm số 424 22 mmmx x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu lập thành một tam giác đều

Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Câu 1) Cho hàm số 13 mmx x y (Cm)a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam

giác có diện tích bằng 8

Câu 2) Cho hàm số 13 23 mx x x y (Cm)a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0

b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau.

Câu 3) Cho hàm số x x y 33 (C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C ) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường

thẳng (d) cắt (C ) tại 3 điểm A,M,N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau\

Câu 4) Cho hàm số )(1

23 H

x

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương tr ình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 c) Viết phương tr ình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ độ một tam giác

când) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M bất kỳ thuộc (H) cắt 2 tiệm cận tại

A,B. Chứng minh M là trung điểm ABe) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi f) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất


Hm x

m x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều

(A,B là các tiếp điểm)


Hmm x

mx y

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 2) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam

giác có diện tích bằng 8



43


12 H

x

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương tr ình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm )5;2( A tạo

thành tam giác đều


2 H

x

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã chob) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam

giác OAB có diện tích bằng 4

1

Câu 9) Cho hàm số )(

1

12 H

x

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốb) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H)

tại M vuông góc với đường thẳng IM.


2 H

x

x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương tr ình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số

(H) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Câu 11) Cho hàm số )(123 23 C x x x y a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốb) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau và

độ dài AB nhỏ nhất

Câu 12) Viết các phương tr ình tiếp tuyến kẻ từ điểm

4;

12

19 A đến đồ thị hàm số

532 23 x x y

Câu 13) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 23 23 x x y mà qua đó chỉ kẻ được một tiếp

tuyến đến đồ thị

Câu 14) Tìm những điểm thuộc đường thẳng y=2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồthị hs 23 3 x x y

Câu 15) Tìm những điểm thuộc trục tung qua đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs12 24 x x y



44

Câu 16) Tìm những điểm thuộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs x x y 33

Câu 17) Tìm những điểm thuộc trục Oy qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị hs

11

x x y

Câu 18) Cho hàm số1

x

m x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 b) Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=2x+1 tại 2 điểm phân biệt sao cho

các tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó song song với nhau.

Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠ NG GIAO 2 ĐỒ THỊ

Câu 1) Cho hàm số 2223 4)14(2 m xmmx y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox

Câu 2) Cho hàm số 2324 2 mmmx x y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 điểm phân biệt


53

22

4

x x

y

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm để phương tr ình sau có 8 nghiệm phân biệt mm x x 256 224

Câu 4) Cho hàm số mxmx x y 63 23

a)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1/4

b) Biện luận số nghiệm 04634 23 a x x x

Câu 5) Cho hàm số x x y 34 3 (C )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )



46

Câu 2) Tìm M thuộc (H) :1

1

x

x y để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất

Câu 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số (H):3

94

x

x y các điểm M1, M2 để 21 M M nhỏ

nhất

Câu 4) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số 1

522

x

x x y các điểm M, N để độ dài MN

nhỏ nhất

Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số 1

222

x

x x y điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm

2 đường tiệm cận

Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số 2

12

x

x y tại 2 điểm A,B mà độ dài AB

nhỏ nhất

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC

Câu 1) Cho hàm số 4 22 1 y x mx m (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m .2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành

một tam giác có diện tích bằng 4 2 .Câu 2) Cho hàm số 4 22 1 y x mx m (1) , với m là tham số thực.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m .2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thịtạo thành một tam giác có bán kính đường tr òn ngoại tiếp bằng 1.Câu 3) Cho hàm số 4 2 22 y x mx m m (1) , với m là tham số thực.

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m .2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thànhmột tam giác có góc bằng 120 .Câu 4) Cho hàm số 4 22 y x mx (1), với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m .2)Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và

đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. Câu 5) Cho hàm số 4 2 22 2 5 5 y f x x m x m m

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 12/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞhµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giácvuông cân.

Câu 6) Cho hàm số 3 212 3

3 y x x x (1)



47

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) . 2)Gọi , A B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). T ìm điểm M thuộc trụchoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.Câu 7) Cho hàm số 3 26 9 4 y x x x (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2)Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi haitiếp điểm là 1 2, M M . Viết phương tr ình đường thẳng qua 1 M và 2 M theo k .

Câu 8) Cho hàm số 3 23 4 y x x (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Giả sử , , A B C là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , , A B C tương

ứng cắt lại (C) tại ' ' ', , A B C . Chứng minh rằng ba điểm ' ' ', , A B C thẳng hàng.

Câu 9) Cho hàm số 3 3 1 y x x (1)1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Đường thẳng ( ): 1 y mx cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0

trong ba điểm nói ở tr ên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). T ìm m để góc ADB là góc vuông.Câu 10) Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1 y x x m x m (1), với m là tham số thực.

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m .2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng vớigốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O .


2 2 1 y x x (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2.Tìm m để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y mx . Giả sử , M N là cáctiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định (khi m

biến thiên)

Câu 12) Cho hàm số 3 23 4 y x x (1)1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Gọi

k d là đường thẳng đi qua điểm 1;0 A với hệ số góc k k R . Tìm k để đường thẳng

k d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm , B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ

độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.Câu 13) Cho hàm số 3 23 4 y x x (1)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Cho điểm 1;0 I . Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng :d y mx m cắt đồ

thị (C) tại ba điểm phân biệt , , I A B sao cho 2 2 AB .

Câu 14) Cho hàm số: 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1) y x m x m m x m 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0 2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị 1 2; x x thoả mãn :

1 21 2

1 1 1( )

2x x

x x

Câu 15) Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1.



48

2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT.

Câu 16Cho hàm số 3 2y (m 2)x 3x mx 5 , m là tham số1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0 2)Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là

các số dương.

Câu 17) Cho hàm số2 1

2

x y

x

(1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số (1) .

2.Chứng minh rằng đồ thị H có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng

nối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 18) Cho hàm số x

x x f

1

12( H )

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H ) của hàm số

2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H ). Hãy tìm trên (H ) những điểm có hoànhđộ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất.


m x y

x

(Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng3

8


2

x y

x

. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt

hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I làgiao điểm của hai đường tiệm cận

Câu 21) Tìm m để hàm số3

2 y x mx cắt Ox tại một điểm duy nhất Câu 22) Cho hàm số

2 1

2

x y

x

(C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N

song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất


1

x y

x

(H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1;1). Tìm k

để d cắt (H) tại A, B mà 3 10 AB

Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 y x mx m cắt trục Ox tại một điểm duy nhất

Câu 25) Cho hàm số:2

1

x y

x

(C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tươngứng nằm về 2 phía của trục hoànhCâu 26) Cho hàm số 3 3 2 y x x (C)1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6 MN



49


( )m x

y H x m

và A(0;1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . T ìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tamgiác IAB vuông cân tại A.

Câu 28) Cho hàm số 4 22 y x x (C)1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.T ìm điều kiện a và b để tiếp tuyếntại A và B song song với nhau.


2 2

x y

x

(H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H). 2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

2 2 37

2OA OB

Câu 30) Cho hàm số y

3 2

2 (1 ) y x x m x m (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3; ; x x x thoả

mãn điều kiện 2 2 21 2 3 4 x x x


1

x y

x

Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3


23

x

x y (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương tr ình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, Bsao cho 32 AB .

Câu 33) Cho hàm số 3 23 3(1 ) 1 3 y x x m x m (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại cựctiểu đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4

Câu 34) Cho hàm số 3 1

( )1

x y H

x

và đường thẳng ( 1) 2 y m x m (d) Tìm m để đường

thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3

2


( )

1

x y H

x

. Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục

toạ độ là nhỏ nhất.

Câu 36) Cho hàm số y =1

2

x

x(H)Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ

thị ( H ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.


12

x

x y viết phươ ng trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2

trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8

mot so dang bai tap khao sat ham so trong ki thi tsdt

Documents