- 1 -

Chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên và phân phốiBài 1. Đại lượng ngẫu nhiênBài 2. Các đặc trưng của Đại lượng ngẫu nhiênBài 3. Các đại lượng ngẫu nhiên quan trọngBài 4. Luật số lớn và Định lý giới hạn

- 2 -

Bài 1. Đại lượng ngẫu nhiên1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên1.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc1.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục1.4 Hàm phân phối xác suất1.5 Hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập1.6 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

- 3 -

1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

Ω là k.g.mẫu của phép thử , cho X là một hàm số xác định trên Ω

đ.g.là một đại lượng ngẫu nhiên trên Ωi) Mỗi w trong Ω tương ứng với một số X(w)ii) X(Ω) gọi là tập giá trị của ĐLNN X

: ( )X

X

- 4 -

Ví dụ 1Chọn ngẫu nhiên 1 SV trong ĐH Phương Đông

Ω = toàn bộ sinh viên trường Phương Đôngi) Gọi X là chiều cao của SV, khi đó X là mộtĐLNN trên Ω.

X(Ω) = (0,+∞)ii) Gọi Y là giá trị giới tính của SV,

Y(nam) = 1, Y (nữ) = 0.Ta thấy Y là một đại lượng ngẫu nhiên trên Ω.

X(Ω) = 0,1

- 5 -

Ví dụ 2Trong khu phố K, chọn n.n 1 gia đình, X là số thành viên trong gia đình. Khi đó, X là một ĐLNN và có tập giá trị là

X(Ω) = 1,2,3,…Y là thu nhập của gia đình trong tháng 7. Khi đó, Y là một ĐLNN có tập giá trị

X(Ω) = (0,+∞)

- 6 -

1.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạca) Khái niệmX là ĐLNN rời rạc nếu tập giá trị X(Ω) là rời rạcTức là X(Ω) là

hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.

Mô tảX(Ω) = x1,x2,…,xnX(Ω) = x1,x2,…,xn,…

Quay lại Ví dụ 1 và 2 ở trên.

- 7 -

b) Phân phối xác suấtGiả sử X(Ω) = x1,x2,…,xn và xixj. Mỗi xiX(Ω)xác định một biến cố

( ) | ( )i iX x X x

Khi đó: pi=P(X=xi), i=1,2,..,n đ.g.là phân phối xác suất của X.

- 8 -

Ví dụ 1.Tung con xúc xắc cân đối đồng chất, X là số chấm xuất hiện

X(Ω) = 1,2,3,4,5,6p1 = P(X=1)=1/6; … ; p6=P(X=6)=1/6

Ví dụ 2. Tung 2 xúc xắc cân đối và đồng chất, X là tổngsố chấm xuất hiện.

i) Hãy tìm X(Ω) = ?ii) Hãy tìm P(X=2), P(x=3), P(X=4)

- 9 -

Tính chất.

1n

i ip

là một phân phối xác suất khi và chỉ khi

11

n

ii

p

Bảng phân phối xác suất

X 1x 2x … nx

( )iP X x 1p 2p … np

- 10 -

Ví dụ 1Gieo đồng thời 2 đồng tiền cân đối và đồng chất,X là số lần mặt sấp xuất hiện.i) X có phải là một đại lượng ngẫu nhiêu?ii) Hãy viết bảng phân phối xác suất của X.Ví dụ 2. Lô hàng có 6 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm lấy được.

Viết phân phối xác suất của ĐLNN X.

- 11 -

Câu hỏi: Hãy trình bày lại các khái niệm khiX(Ω) = x1,x2,…,xn,…

Ví dụ.Cho X là ĐLNN có X(Ω) = 0,1,2,3,… và

!

kkP X k e p

k

Hỏi pk có là một phân phối xác suất?

- 12 -

1.3 Đại lượng ngẫu nhiên liên tụcX đ.g.là ĐLNN liên tục nếu tập X(Ω) là liên tục,

tức làX(Ω) có thể chứa được một tập con nào đó (a,b)

( , )a b

Ví dụi) Cho X là ĐLNN chỉ tỷ lệ người bị nhiễm viêm gan B của mỗi tỉnh. X là ĐLNN liên tục.ii) Gọi Y là nhiệt độ tức thời đo được tại đài khí tượng ở các địa phương. Y là ĐLNN liên tục.

- 13 -

Hàm mật độ xác suấtCho X là một ĐLNN liên tục, hàm số p(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của X nếu thoả mãn

) ( ) 0,

) ( ) 1

i p x x

ii p x dx

và quan hệ

) ( ) ( )b

a

iii P a X b p x dx

- 14 -

Ví dụ 1. p(x) có là hàm phân phối?

1 ,( )

,0

x a bp x b a

x a b

- 15 -

Ví dụ 2. p(x) có là hàm phân phối?

0( )

00

x xep x

x

- 16 -

Ví dụ 3. Tuổi thọ của một loại kiến là một ĐLNN X (tính theo tháng) với hàm mật độ p(x)

2(4 ) 0,4( )0 0,4

ax x xp xx

i) Tìm aii) Tính x.suất để loại kiến đó chết trước 2 tháng

- 17 -

1.4 Hàm phân phối xác suấta) Khái niệm

b) Tính chấtc) Các ví dụ

- 18 -

Cho X là một ĐLNN, hàm phân phối xác suất của X được ký hiệu và xác định

( ) : ( ) F x P X x

Nếu X rời rạc

:

( ) ( )

i

ii x x

F x P X x p

Nếu X liên tục

( ) ( ) ( )

x

F x P X x p t dt

- 19 -

Ví dụ 1Tìm hàm phân phối và vẽ đồ thị đối với

ĐLNN rời rạc X

X 0 1 2

( )iP X x 1/4 2/4 1/4

- 20 -

Ví dụ 2Tìm hàm phân phối và vẽ đồ thị của ĐLNN liên tục X biết hàm mật độ p(x)

2 0,1( )

0 0,1

x xp x

x

- 21 -

Ví dụ 3

0( )

00

x xep x

x 01

( )00

x xeF x

x

- 22 -

b) Tính chấtHàm phân phối xác suất F(x) có các tính chất

i) F(x) xác định với mọi x thuộc Rii) 0≤F(x)≤1iii) F(-∞) =lim F(x)= 0 (x -> -∞)

F(+∞) =lim F(x)= 1 (x -> +∞)iv) F(x) là hàm đơn điệu giảmv) F(x) là hàm liên tục tráivi) Nếu p(x) liên tục thì F’(x)=p(x)

- 23 -

1.5 Hai đại lượng ngẫu nhiên độc lậpa) Phân phối đồng thời

b) Hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập

- 24 -

a) Phân phối đồng thờiCho X, Y là 2 ĐLNN rời rạc có phân phối

đgl phân phối đồng thời của X và Y nếu

( ) ( )i j ijP X x Y y p và 1 11

m n

iji j

p

- 25 -

Ta có các phân phối riêng như sau

1 1( ) ( , )

m mi i i j ij

j jp P X x P X x Y y p

1 1( ) ( , )

n nj j i j ij

i ip P Y y P X x Y y p

- 26 -

Ví dụĐLNN rời rạc X và Y có bảng p.phối

i) Bảng dưới có là phân phối đồng thời?ii) Tìm các phân phối riêng của X, Y

- 27 -

b) Hai đại lượng ngẫu nhiên độc lậpHai ĐLNN rời rạc X, Y là độc lập nếu

( ) ( ) ( ). ( )i j i jP X x Y y P X x P Y y

P(AB)=P(A).P(B)Kiểm tra tính độc lập của X,Y trong ví dụ trước

- 28 -

1.6 Hàm của các đại lượng ngẫu nhiêna) Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

b) Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

- 29 -

a) Hàm của một đại lượng ngẫu nhiênX là ĐLNN, f(x) là hàm số với đối số x, khi đóf(X) cũng là một ĐLNN, gọi là hàm của ĐLNN XVí dụCho X là ĐLNN, Y=X^2+1 có phân phối

Tìm phân phối của Y.

- 30 -

b) Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiênX,Y là 2 ĐLNN, f(x,y) là một hàm số 2 biến với đối số x,y. Khi đóf(X,Y) cũng là một ĐLNN, gọi là hàm của 2 ĐLNN X và YVí dụ.Tìm phân phối của Z=X+Y biết X, Y độc lập vàX 0 1 2 Y -1 0 1P 0,2 0,3 0,5 P 0,3 0,4 0,3