chuong 3- dai so tuyen tinh 2

Chương 3. Không gian Euclide

CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN EUCLIDE__________________________________Trong chương này đề cập đến khái niệm tích vô hướng, độ dài vector hay góc giữa hai

vector trên trường số thực.I. Một số khái niệm chung về tích vô hướng – Không gian Euclide.

1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường . Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau:

thỏa các điều kiện sau:

và

1.2 Định nghĩa: Không gian vector V trên trường số thực có trang bị trên nó một tích vô

hướng được gọi là không gian vector Euclide.

Ký hiệu: với tích vô hướng trên nó là . Nhận xét: Mọi không gian vector con của một không gian vector Euclide là một không gian vector

Euclide với tích vô hướng cảm sinh tự nhiên. Ví dụ:

1)

Ta định nghĩa . Đây là một tích vô hướng trên và là một không gian vector Euclide.

2) Cho là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó

là không gian vector Euclide với tích vô hướng là .3) Tập tất cả các dãy số thực vô hạn

lập thành không gian Euclide vô hạn chiều với tích vô

hướng được định nghĩa sau: .Chú ý: Trong toàn bộ chương này ta chỉ xét các không gian vector hữu hạn chiều trên

trường số thực .

Đại số Tuyến tính 2 55


1.3 Định nghĩa: Cho E là một không gian vector Euclide. Với mỗi , ta gọi độ dài của

x ký hiệu là ||x|| là một số thực không âm và có giá trị là .Nhận xét:

và Ví dụ:

1) Trong không gian vector Euclide thì với mọi thì

2) Trong không gian vector Euclide thì 1.4 Định lý: Cho E là không gian Euclide. Khi đó:

, Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh: - Nếu y = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.

- Nếu thì tam thức bậc hai

Do đó hay - Nếu y = 0 thì dấu bằng xảy ra đồng thời x và y phụ thuộc tuyến tính.

- Nếu thì

Điều này tương đương với x, y phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ:

Áp dụng bất đẳng thức trên cho các không gian Euclide và ta được các bất đẳng thức quen thuộc sau:

thì

|

thì 1.5 Định lý: Giả sử E là không gian vector Euclide. Khi đó:

Chứng minh:

Ta có:



Suy ra . (*)Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

II. Góc - Cơ sở trực giao – Khoảng cách: 2.1 Định nghĩa: Cho E là không gian vector Euclide. Ta gọi góc giữa hai vector khác

không là số thực được xác định bởi:

Ví dụ: Tính cosin của góc giữa hai vector

a) u = (-1, 2, -3) và v = (2, 1, 4) trong

b) u = (2, 3, 7) và v = (-2, 1, -4) trong .Giải

a) Gọi là góc giữa hai vector u và v. Trong áp dụng công thức .

Ta có: ; và

Suy ra, b) Sinh viên tự làm.

Nhận xét: Nếu là góc giữa hai vector u và v thì

(Sinh viên tự chứng minh nhận xét trên).2.2 Định nghĩa: Cho E là một không gian vector Euclide1. Hai vector

2. được gọi là trực giao với nhau, ký hiệu nếu .

Nếu thì khi và chỉ khi góc giữa chúng là .

3. Hệ vector được gọi là một hệ trực giao nếu chúng đôi một trực giao,

nghĩa là . Một cơ sở mà là hệ trực giao được gọi là cơ sở trực giao.

4. Vector gọi là trực giao với tập nếu x trực giao với mọi vector của A. Ký hiệu

5. Hệ vector được gọi là hệ trực chuẩn nếu chúng là một hệ trực giao và độ dài mỗi vector là 1.

Một cơ sở mà là hệ trực chuẩn được gọi là cơ sở trực chuẩn. Ví dụ:



- Trong không gian Euclide , xét cơ sở chính tắc

. Khi đó, với , thì . Do đó hệ

vector trên là hệ trực giao trong . Hơn nữa . Do đó đây là hệ trực chuẩn.

Nhận thấy tập hợp là một cơ sở trực giao của , nhưng đây không là cơ sở trực chuẩn.

- Họ là một họ trực giao trong không gian vector Euclide

2.3 Định lý: Một hệ trực giao không chứa vector 0 là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh:

Giả sử hệ là một hệ trực giao trong không gian vector Euclide E. Xét

với . Khi đó:

ta có: . Vì nên

. Do đó hệ là hệ độc lập tuyến tính.2.4 Định lý: Cho E là một không gian vector Euclide. Ta có:

thì Chứng minh:

Vì . Do đó,

Nhận xét: Ta có thể mở rộng định lý này cho n vector trực giao , tức là

(định lý pitago).

(Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ).2.5 Định lý: (Phương pháp trực giao hóa Schmidt).

Cho họ vector độc lập tuyến tính trong không gian vector Euclide. Khi đó

trong E tồn tại họ vector độc lập tuyến tính thỏa:

i) Họ biểu thị tuyến tính qua .

ii) Họ biểu thị tuyến tính qua .

iii) Họ là họ trực giao. Chứng minh: Quy nạp theo m.



Với m = 2. Chọn , khi đó

Chọn

Nhận thấy: (vì nếu ngược lại thì phụ thuộc tuyến tính).

Khi đó: biểu thị được qua (vì ) và ngược lại cũng biểu thị

được qua .

Ngoài ra, .Vậy với giá trị t được xác định như trên thì cả 3 điều kiện i, ii, iii của định lý đều thỏa. Giả sử định lý đúng với m = k. Ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng với m = k+1.

Thật vậy, xét họ độc lập tuyến tính . Theo giả thiết quy nạp, trong E có họ

độc lập tuyến tính thỏa các điều kiện i), ii), iii) ứng với họ vector .

Nếu ta tìm vector dưới dạng:

thì họ vector thỏa điều kiện i, và ii.

Mặt khác hệ là trực giao

Do đó với cách chọn ti như trên thì họ vector thỏa điều kiện i, và ii và iii.

Mặt khác nếu thì biểu thị tuyến tính qua nên sẽ biểu thị tuyến tính

qua (vô lý). Vậy hay họ độc lập tuyến tính.

Phương pháp xác định họ trực giao từ họ vector độc lập tuyến tính như trên được gọi là phương pháp trực giao hóa Schmidt. Ta có thể tóm tắt lại quá trình tìm bk bằng công thức sau:

Nhận xét: Nếu ngay từ đầu ta đã biết k-1 vector trực giao thì ta chỉ việc bắt đầu xây dựng từ

vector thứ k.



Ví dụ 1: Tìm cơ sở trực giao của không gian con sinh bởi các vector:

Giải:Áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt.

Đặt . Áp dụng công thức

Ta được với và

Suy ra,

Và

Ta có, và . Do đó,

.

Ví dụ 2: Hãy mở rộng hệ trực giao gồm hai vector thành một cơ

sở trực giao của .Giải

Ta bổ sung thêm hai vector để hệ là hệ độc lập tuyến tính.

Ta có thể chọn và .

Áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt như trên để tìm ra cơ sở trực giao của .(Sinh viên thực hành như là bài tập nhỏ). Tuy nhiên, việc tính toán của bài trên khá phức tạp. Người ta có một cách khác đôi khi hiệu

quả hơn phương pháp trực giao hóa Schmidt.

Nhận xét: Mọi vector vuông góc đối với cả hai vector thỏa hệ phương trình sau:

Xét ma trận . Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào hai tham số.



Chọn được .

Tọa độ vector phải thỏa hai phương trình ban đầu và phương trình (*) (để

đảm bảo cho trực giao với ). Xét hệ pt có ma trận hệ số như sau và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma

trận ta được Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số.

Chọn ta được

Kiểm tra lại được là cơ sở trực giao cần tìm. 2.6 Hệ quả: Trong không gian vector Euclide luôn tồn tại cơ sở trực chuẩn. Chứng minh:

Nếu là cơ sở của không gian Euclide E thì ta luôn tìm được cơ sở trực giao

của E. Khi đó, đặt , ta sẽ được một cơ sở trực chuẩn của E. Nhận xét:

Nếu là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide E thì

thì

2.7 Định lý: Nếu T là ma trận chuyển cơ sở giữa hai cơ sở trực chuẩn của không gian

vector Euclide E thì (với là ma trận chuyển vị của T). Chứng minh:



Giả sử T là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn

trong không gian vector Euclide E. Nếu và thì

và Mặt khác ta có:

thì

và .

Suy ra . Do đó, .

2.8 Định nghĩa: Một ma trận vuông A gọi là ma trận trực giao nếu . Ví dụ:Ma trận đơn vị là ma trận trực giao.

Ma trận là ma trận trực giao.

Ma trận và ma trận là hai ma trận trực giao. Nhận xét: Mọi ma trận trực giao đều có định thức bằng 1 hoặc bằng -1.

2.9 Định nghĩa: Cho hai không gian vector Euclide và . Ta nói

đẳng cấu với , ký hiệu , nếu có một đẳng cấu không gian vector thỏa

thì . Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương. 2.10 Định lý: Hai không gian vector Euclide có cùng số chiều thì đẳng cấu với nhau. Chứng minh: Giả sử E và F là hai không gian vector Euclide có cùng số chiều là n.

Gọi là một cơ sở trực chuẩn của E và là một cơ sở trực chuẩn của F.

Khi đó tồn tại một đẳng cấu không gian vector sao cho



Nhận thấy: thì

2.11 Định nghĩa:

Cho V là không gian con của không gian Euclide E và . Vector chiếu của x lên V là

vector sao cho x – v trực giao với V. Khi đó, ta gọi vector x – v là vector độ cao từ x đến V.

Nhận xét:

Nếu là một cơ sở trực chuẩn trong V thì vector chiếu v của x được xác định như sau:

Vector độ cao có độ dài ngắn nhất trong tất cả các vector nối x tới V. 2.12 Định lý:

Cho v là vector chiếu của vector x lên E. Khi đó với mọi ta có:

2.13 Định lý: E là không gian vector Euclide n chiều, L là một không gian con của E có số chiều là k < n. Khi đó:

sao cho Sinh viên tự chứng minh định lý trên như bài tập nhỏ. 2.14 Định nghĩa :

Định thức D được gọi là định thức Gram của hệ vector

Ký hiệu:

là ma trận Gram.

2.15 Định lý: Cho hệ vector . Khi đó,

i) Ma trận Gram là ma trận đối xứng.

ii) là hệ trực giao khi và chỉ khi ma trận Gram là ma trận đường

chéo. Hệ là hệ trực chuẩn khi và chỉ khi là ma trận đơn vị.

iii) . Dấu bằng xảy ra khi và chi khi hệ vector phụ thuộc tuyến tính.

Nhận xét:



Giả sử là tọa độ của vector với j = 1, …,m theo một cơ sở trực chuẩn của

không gian Euclide E và là ma trận có n dòng và m cột, khi đó ma trận Gram

III. Phần bù trực giao:3.1 Định nghĩa: Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide E. Khi đó tập

hợp là một không gian con của E và được gọi là không gian con bù trực giao (hay gọi tắt là phần bù trực giao) của không gian L.

Ví dụ:

Xét không gian các ma trận vuông cấp n, trên trường số thực với

đây là không gian vector Euclide. Trong đó, không gian con bù trực giao của các ma trận đường chéo là không gian con gồm các ma trận có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.

Không gian con bù trực giao của các ma trận đối xứng là không gian con gồm các ma trận phản đối xứng.

3.2 Định lý: Giả sử L, K là các không gian con của không gian vector Euclide E. Khi đó:

Sinh viên tự chứng minh định lý trên như bài tập nhỏ. Nhận xét: Nếu E là không gian Euclide hữu hạn chiều và là không gian con. Khi đó,

Sinh viên cho ví dụ minh họa nhận xét trên. IV. Phép biến đổi trực giao và ma trận trực giao

4.1 Định nghĩa: E là không gian vector Euclide. Một phép biến đổi tuyến tính của E được gọi là phép biến đổi trực giao (hay đẳng cự) nếu:

.Ví dụ:

- Ánh xạ đồng nhất là một phép biến đổi trực giao. - Hợp của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao.

- Nếu f là một phép biến đổi trực giao thì cũng là một phép biến đổi trực giao.

- Phép quay xung quanh gốc tọa độ một góc trên mặt phẳng được xác định như sau:

là một phép biến đổi trực giao.(Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ). Nhận xét:

- Mọi không gian Euclide hữu hạn chiều đều đẳng cự với không gian Euclide .



- Cho hai không gian vector Euclide E và F, ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ trực

giao nếu

4.2 Định nghĩa : Ma trận A được gọi là trực giao nếu Ví dụ: Ma trận đơn vị là ma trận trực giao

Ma trận là ma trận trực giao4.3 Tính chất:- Tích của hai ma trận trực giao là một ma trận trực giao.- Ma trận nghịch đảo của một ma trận trực giao là ma trận trực giao

- Định thức của ma trận trực giao bằng Sinh viên tự chứng minh những tính chất trên như bài tập nhỏ. 4.4 Định lý: Phép biến đổi trực giao là một song ánh. Ngoài ra, phép biến đổi trực giao

bảo toàn góc giữa hai vector. Chứng minh:

Giả sử là phép biến đổi trực giao trên không gian vector Euclide E. Khi đó,

.

Vậy là đơn ánh. Mặt khác nên cũng là toàn ánh. Vậy là một song ánh.

thì

Vậy phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai vector.

4.5 Định lý: Giả sử là một phép biến đổi tuyến tính của không gian Euclide E. Khi đó các khẳng định sau là tương đương.

1) là phép biến đổi trực giao,

2) bảo toàn độ dài vector,

3) biến cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn

4) Đối với cơ sở trực chuẩn, ma trận của là ma trận trực giao. Chứng minh:

) thì

Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của E. Nếu thì

và i, j = 1, …, n. Do đó là một cơ sở trực giao. Theo giả thiết 2) bảo toàn

độ dài vector, nên là một cơ sở trực chuẩn.



Nếu A là ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn , thì theo định nghĩa A

chính là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn

(theo giả thiết 3). Do đó ma trận A là ma trận trực giao.

Trong E xét cơ sở trực chuẩn . Gọi A là ma trận của đối với cơ sở trực

chuẩn theo giả thiết A là ma trận trực giao nên . Khi đó,

Đặt và . Khi đó ta có

Nhận xét:

Xét E là không gian Euclide và , nếu F là không gian con bất biến đối với toán tử trực giao f thì phần bù trực giao cũng là không gian con bất biến của toán tử f.

V. Phép biến đổi đối xứng và ma trận đối xứng

5.1 Định nghĩa: Giả sử E là không gian vector Euclide. Một phép biến đổi tuyến tính của

E được gọi là phép biến đổi đối xứng nếu

Ví dụ: Xét không gian với cơ sở trực chuẩn là là một phép biến đổi đối xứng được xác định như sau:

5.2 Định lý: Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi đối xứng khi và chỉ khi ma trận của nó đối với cơ sở trực chuẩn là một ma trận đối xứng.

Chứng minh:

Giả sử là một phép biến đổi tuyến tính của E mà ma trận đối với cơ sở trực chuẩn

và . Khi đó Khi đó,

thì

Và (2)

Giả sử là phép biến đổi đối xứng khi đó từ (1) và (2) suy ra: . Vậy A là ma trận đối xứng.

Ngược lại, giả sử A là ma trận đối xứng



So sánh (1) và (2) ta được, . Do đó

thì

Vậy là phép biến đổi đối xứng. 5.3 Định lý: Mọi nghiệm đặc trưng của phép biến đổi đối xứng đều là nghiệm thực. 5.4 Định lý: Phép biến đổi tuyến tính là đối xứng khi và chỉ khi ma trận của nó đối với một

cơ sở trực chuẩn thích hợp nào đó là ma trận chéo. Chứng minh:

Giả sử là phép biến đổi tuyến tính đối xứng của không gian vector Euclide E. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều của E.

Khi n = 1, ta có có nghiệm thực là nên có không gian con bất biến 1 chiều và do đó

không gian con này là E. Cơ sở trực chuẩn của E là vector riêng của nên ma trận của đối

với là ma trận chéo Giả sử định lý đúng với không gian vector Euclide n-1 chiều. Xét trường hợp dimE =n.

có nghiệm thực nên trong E có không gian bất biến một chiều của . Gọi là cơ sở trực chuẩn và E1 là không gian con bù trực giao của không gian con này.

Vì , suy ra . Do đó, là không gian con

bất biến của và có số chiều là n – 1. Suy ra, là một phép biến đổi tuyến tính đối xứng của

E1. Theo giả thiết quy nạp trong E1 tồn tại một cơ sở trực chuẩn mà ma trận của đối

với cơ sở này là ma trận chéo. Vậy là cơ sở trực chuẩn của E mà đối với nó ma trận

của là ma trận chéo. Ngược lại, nếu ma trận của phép biến đổi tuyến tính đối với một cơ sở trực chuẩn nào đó có

dạng chéo thì suy ra phép biến đổi đó là đối xứng. BÀI TẬP

1) Chứng tỏ rằng không gian vector với

là một không gian Euclide. Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó.

(HD: Kiểm tra các điều kiện của tích vô hướng. Sau đó, xét cơ sở chính tắc và bằng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm ra cơ sở trực chuẩn cần tìm).

2) Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vector với



là không gian Euclide. 3) Chứng minh rằng trong không gian Euclide E thì

4) là hai không gian con của không gian vector Euclide n chiều E với .

Chứng minh rằng trong luôn tồn tại ít nhất một vector khác 0 trực giao với .

5) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide .

a) b) c) 6) Áp dụng quá trình trực giao hóa, hãy xây dựng cơ sở trực giao của các không gian con

của không gian vector Euclide sinh bởi các vector sau:

a) b)

7) Ký hiệu là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide n chiều E. Chứng minh:

a) là không gian con của E.

b) dimL+ dim = n.

8) Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con với L được sinh bởi các vector

trong . 9) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với

a) và L là không gian con của sinh bởi các vector

b) và L là không gian con của sinh bởi các vector

c) và L là không gian con của sinh bởi các vector

d) và L là không gian con của sinh bởi các vector

e) và L là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:



10)Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector .

Ta gọi tập là một đa tạp tuyến tính của E. Ta gọi khoảng cách từ một

vector tới đa tạp P là số:

. Chứng minh rằng khoảng cách từ tới đa tạp P bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector

11)Tìm khoảng cách từ vector thuộc tới đa tạp P:

a) và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:

b) và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:

12)Ta gọi khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính và là số nhỏ nhất trong tất cả các

khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, một điểm thuộc và điểm còn lại thuộc .

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính và bằng độ

dài đường trực giao hạ từ vector xuống không gian con .13)Hãy tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau:

và

Trong đó:

14)Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu vuông góc v

(xuống L) của vector u tạo với u một góc nhỏ nhất. Hơn nữa, nếu có sao cho cos(u, v) =

cos(u, v’) thì v’=kv với k là số dương. Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector u và không

gian con L. 15) Tìm góc giữa vector u và L:

a) và L sinh bởi và

b) u = (1,0,3,0) và L sinh bởi 16) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide. Chứng minh rằng:

a) với khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0.

b) với khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng .

17) Cho E là không gian Euclide hữu hạn chiều. Cho là các vector trực chuẩn.

Giả sử rằng với mỗi ta đều có .



Chứng tỏ rằng lập thành cơ sở của E.

18)Cho là hai không gian con của không gian Euclide E, sao cho .

Chứng minh rằng trong ta có thể tìm được 1 vector khác 0 trực giao với . Cho ví dụ minh họa.

19) Không gian con V của được xác định bởi hệ phương trình

Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của

20)Cho và là không gian con của không gian Euclide. Giả sử là một cơ sở trực giao của V. Chứng minh rằng vector chiếu của x lên V có thể tính bằng công thức sau:

21)Trong không gian với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con

a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.

b) Với giá trị nào của m thì vectơ trực giao với không gian con F?

22) Trong không gian vectơ Euclide , cho không gian vectơ con

a) Tìm một cơ sở của

b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với

23) Trong không gian Euclide với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau:

a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong

b) Cho 3 vectơ .

Xác định a và b để 3 vectơ trên tạo thành một hệ trực giao của .

24) Trong không gian vectơ Euclide với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:



a) Chứng tỏ rằng hệ là hệ trực giao.

b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của .

25) rong không gian vectơ Euclide với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ

a) Chứng tỏ rằng hệ là một hệ trực giao.

b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao

26) Trong không gian vector Euclide , cho hai không gian con

a) Tìm một cơ sở và số chiều của .

b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?

27) Trong không gian vector Euclide , cho một tập con

a) Chứng tỏ là một không gian con của

b) Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của

28) Trong không gian vectơ , ta định nghĩa tích của hai vectơ như sau:

a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng.

b) Hãy trực giao hóa hệ vectơ trong không gian bằng phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt.


chuong 3- dai so tuyen tinh 2

Documents