BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CHƯƠNG II

SAI SỐ

2.1. Tổng quan về phương pháp tính2.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối2.3. Cách biểu diễn số gần đúng2.4. Các quy tắc tính sai số

Các nội dung sẽ được nghiên cứu

Phương pháp tính (Computational method) ◦ Còn gọi là Toán học tính toán (Computational mathematics)

hoặc Giải tích số (Numerical analysis) - Là một lĩnh vực của khoa học toán học

◦ Chuyên nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số - Phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể

2.1 Tổng quan về phương pháp tính

Phương pháp tính quan tâm đến hai vấn đề◦ Phương pháp được dùng để giải bài toán

◦ Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay vấn đề sai số của lời giải có được

Các dạng sai số thường gặp◦ Sai số trong việc mô hình hóa bài toán

◦ Sai số phương pháp tính toán được áp dụng

◦ Sai số của số liệu vào

◦ Sai số của quá trình tính toán

2.1 Tổng quan về phương pháp tính

2.2.1 Sai số tuyệt đối ◦ Trong phương pháp tính ta chỉ làm việc với các giá trị gần đúng

của các đại lượng, cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là vần đề sai số.

◦ Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A ( hay a là số gần đúng của A) và ký hiệu a

A◦ Giá trị tuyệt đối A - a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần

đúng a so với A ? Xác định sai số tuyệt đối dễ hay khó ...◦ Trên thực tế sai số tuyệt đối không thể xác định được

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.2.1 Sai số tuyệt đối ◦ Phương pháp giải quyết Ước lượng sai số đó bằng một số dương a thoả mãn

A - a a

Giá trị a được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng a ( so với số đúng A )

◦ ? Sai số tuyệt đối giới hạn được xác định như thế nào ..

Trên thực tế sai số tuyệt đối giới hạn thường được ước lượng là giá trị a nhỏ nhất có thể tuỳ theo điều kiện cụ thể

Khi đó a cũng được gọi là sai số tuyệt đối của a

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.2.1 Sai số tuyệt đối

◦ Khi a là sai số tuyệt đối của a ta quy ước viết

A = a a

◦ Ví dụ Bán kính của một ống nước là R = 1000 mm 1 Khối lượng của một vật là M = 100 kg 0,25

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.2.1 Sai số tuyệt đối ◦ Ví dụ: Số vô tỷ - số siêu việt

100 chữ số thập phân đầu tiên của số  là 3,14159 26535 89793 23846 26433

83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280

34825 34211 70679

Giới hạn tìm ra số chữ số của số : Tháng 10 năm 2014, kỷ lục là

13.300.000.000.000 chữ số Nhưng trong thực thế tính toán ta có thể chọn

3 3,1 3,14

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.2.2 Sai số tương đối

◦ Tỷ số

được gọi là sai số tương đối giới hạn của số gần đúng a

◦ Khi đã chọn sai số tuyệt đối a thì hiển nhiên a cũng xác định

và được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a

◦ Hiển nhiên ta có quan hệ ngược lại là a = a a

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a aa

2.2.2 Sai số tương đối

◦ Ví dụ

Đo hai độ dài A, B được kết quả tương ứng làa = 10 m và a = 0,05 m a = 0,5 %

b = 2 m và b = 0,05 m b = 2,5 % Chất lượng của phép đo thứ nhất tốt hơn phép đo thứ hai Sai số tương đối phản ánh chất lượng của số gần đúng

2.2 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.3.1 Chữ số có nghĩa

◦ Một số thập phân có thể gồm nhiều chữ số

◦ Các chữ số khác không đầu tiên tính từ trái qua phải được quy

ước là các chữ số có nghĩa

◦ Ví dụ

Số 123,5678 có 7 chữ số có nghĩa Số 0,001234 có 4 chữ số có nghĩa

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.3.2 Chữ số đáng tin

◦ Giả sử biểu diễn thập phân của số a là

◦ Trong đó

an là các số nguyên sao cho 0 an 9

◦ Ví dụ

12,345 = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3

a1 = 1, a0 = 2, a-1 = 3, a-2 = 4, a-3 = 5

2.3. Biểu diễn số gần đúng

= 10nna a

2.3.2 Chữ số đáng tin

◦ Ký hiệu ak là chữ số đứng ở hàng thứ k trong biểu diễn thập phân của số a

Nếu a 0,5.10k thì ta nói chữ số ak là chữ số đáng tin, trái

lại chữ số ak gọi là chữ số không đáng tin

Nếu chữ số ak là chữ số đáng tin thì tất cả các chữ số có nghĩa đứng bên trái nó cũng là chữ số đáng tin

Nếu chữ số ak là chữ số không đáng tin thì tất cả các chữ số có nghĩa đứng bên phải nó cũng là chữ số không đáng tin

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.3.2 Chữ số đáng tin

◦ Ví dụ

12,3456 = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3 + 6.10-4

Cho a = 0,01 thì

a = 0,01 0,5.101 = 5 nên chữ số a1 = 1 là chữ số đáng tin

Tương tự, các chữ số a0 = 2, a-1 = 3 cũng là chữ số đáng tin

Nhưng chữ số a-2 = 4 kế tiếp thì 0,5.10-2= 0,005 < a nên là chữ số không đáng

tin và dĩ nhiên các chữ số kế tiếp bên phải là chữ số 5, 6 cũng là những chữ số

không đáng tin

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.3. 3 Biểu diễn số gần đúng

◦ Cách thứ nhất : Biểu diễn theo sai số tuyệt đối

Khi a là sai số tuyệt đối của a ta quy ước viếtA = a a

R = 125 mm 0,01

◦ Cách thứ hai : Biểu diễn theo nguyên tắc các chữ số có nghĩa

đều là chữ số đáng tin ( làm tròn số)

Điểm TBC học tập môn Toán của học sinh A là 7,8

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.3.4 Quy tắc làm tròn số

◦ ? Hãy cho biết người ta làm tròn số như thế nào

◦ Quy tắc làm tròn số

Khi có nhiều chữ số không đáng tin ta thường bỏ bớt một số chữ số cuối để biểu diễn cho gọn - gọi là làm tròn số

Sai số tuyệt đối sau khi làm tròn không lớn hơn một đơn vị của hàng cuối cùng giữ lại ( hay tương ứng 5 đơn vị của hàng bỏ đi đầu tiên )

Chữ số bỏ đi 5 thì thêm 1 đơn vị vào hàng cuối cùng giữ lại

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.3.4 Quy tắc làm tròn số

◦ Ví dụ

Với số ta có thể làm tròn với độ chính xác cao dần  = 3,14159 . . . số vô tỷ ( và là số siêu việt )

3,1

3,14

3,142

 = 3,1416

2.3. Biểu diễn số gần đúng

2.4.1 Bài toán tổng quát

◦ Cho hàm số u = f(x, y) - hàm của hai biến x, y. Cho biết sai số

của x và y, hãy xác định sai số cho u ?

◦ Ta sẽ xét cho các trường hợp cơ bản nhất

Sai số của một tổng u = x + y Sai số của một tích u = x.y Sai số của một thương u = x/y

2.4. Các quy tắc tính sai số

2.4.2 Sai số của một tổng

◦ Sai số tuyệt đối (giới hạn) của một tổng là tổng sai số tuyệt đối

(giới hạn) các hạng tử.

u = x + y

2.4. Các quy tắc tính sai số

2.4.3 Sai số của một tích

◦ Sai số tương đối (giới hạn) của một tích là tổng sai số tương đối

(giới hạn) các hạng tử.

u = x + y

2.4. Các quy tắc tính sai số

2.4.4 Sai số của một thương

◦ Sai số tương đối (giới hạn) của một thương là tổng sai số tương

đối (giới hạn) hai hạng tử.

u = x + y

2.4. Các quy tắc tính sai số

2.4.5 Công thức tổng quát

◦ Cho hàm u = f(x1,. . ., xn) thì

◦ Ví dụ

u = f(x, y) = 2x + y

u = 2.x + y

2.4. Các quy tắc tính sai số

1

= n

ii i

fu xx

Sai số tuyệt đối và sai số tương đối◦ Khái niệm, sự khác biệt ...

◦ Quan hệ giữa hai loại sai số, ý nghĩa ...Cách biểu diễn số gần đúng◦ Hai cách biểu diễn ...

◦ Phạm vi sử dụng ...

◦ Quy tắc làm tròn số ...Các quy tắc tính sai số◦ Quy tắc cộng, nhân, chia ...

◦ Quy tắc tổng quát ...

Tổng kết