1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

------------------------------

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HUỲNH HỮU DINH Email: hhdinh19@gmail.com

TP HỒ CHÍ MINH 9/2012

2

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Bài 1. MỞ ĐẦU

Trong mục này, ta tìm hiểu những phương pháp giải một số phương trình đại số và siêu việt dạng: 0f x (*), với f x là một hàm phi tuyến. Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, có công thức giải đúng, còn nói chung không có công thức giải đúng (các công trình của nhà Toán học Abel đã khẳng định điều đó). Ở khía cạnh khác, các hệ số của f x trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúng hoặc nghiệm của f x là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình (*) cũng không thật sự

cần thiết. Do đó, chúng ta cần quan tâm đến những phương pháp giải gần đúng, nhất là những phương pháp có thể dùng máy tính hỗ trợ. Để giải gần đúng phương trình (*), ta tiến hành các bước sau: . Thứ nhất là tách nghiệm, nghĩa là tìm một khoảng ;a b đủ nhỏ sao cho phương trình (*) có

nghiệm duy nhất * ;x a b .

. Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến độ chính xác cần thiết. Cơ sở để tách nghiệm là những kết quả mà bạn có thể bắt gặp ở bất kì cuốn sách Giải tích nào.

Định lí 1.1.1. Giả sử f x liên tục trên ;a b và 0f a f b . Khi đó phương trình

0f x tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng ;a b .

Định lí 1.1.2. Nếu f x liên tục trên ;a b và 0f a f b , hơn nữa, hàm số f x có đạo

hàm f x liên tục trên đoạn ;a b và f x không đổi dấu trên ;a b thì nghiệm nói trên là duy

nhất.

Hình 1.1.1 Hình 1.1.2

3

Các hình 1.1.1 và 1.1.2 cho ta một cách nhìn trực giác về tính đúng đắn của định lí 1.1.2 Bước tách (li) nghiệm thường được tiến hành nhờ phương pháp chia đôi hoặc phương pháp đồ

thị. Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau: Xác định 0f a f b , sau đó chia đôi đoạn ;a b và gọi 1 1;a b là một trong hai nữa ở trên

sao cho 1 1 0f a f b . Lại chia đôi đoạn 1 1;a b và gọi 2 2;a b là một trong hai đoạn con mà

2 2 0f a f b ; quá trình cứ thế tiếp tục, (nếu tại ia mà 0if a hoặc ib mà 0if b thì ta nói

giá trị đó là nghiệm đúng của phương trình 0f x )

Nguyên tắc của phương pháp đồ thị như sau: Nghiệm của phương trình 0f x là hoành độ

giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành; hoặc ta biến đổi 0f x về dạng x x . Khi đó nghiệm của phương trình 0f x là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

y x và y x . Sau đây là một số ví dụ cho phương pháp đồ thị (được hỗ trợ bằng Maple) Ví dụ 1.1.1: Xét phương trình 3 10 0x x . Ta vẽ đồ thị hàm số 3 10y x x theo hình vẽ dưới đây

(hình 1.1.3) Từ hình vẽ ta nhận thấy phương trình trên có một

khoảng li nghiệm là khoảng 2,2;2, 4

Hình 1.1.3

Ví dụ 1.1.2: Xét phương trình 2 cosx x . Ta vẽ

đồ thị của hai hàm số 2y x và cosy x . Từ hình vẽ

ta nhận thấy phương trình 2 cosx x có hai khoảng li

nghiệm là 0;1 và 1;0 .

Hình 1.1.4

3 10y x x

2y x

cosy x

4

Ví dụ 1.1.3: Tìm các khoảng li nghiệm của phương trình 2 2arctan 2 0x x x bằng phương pháp đồ thị

Giải

Phương trình đã cho tương đương với 2 2arctan 2x x x

Ta vẽ đồ thị hai hàm số 2arctan 2y x (đường màu đỏ) và 2y x x (đường màu

xanh). Từ hình vẽ ta tìm được hai khoảng li nghiệm của phương trình là 1; 0,5 và 1,5;2 .

Hình 1.1.5

Sau khi đã tách được nghiệm thì công việc tiếp theo là chính xác hóa nghiệm đến độ chính xác cần thiết. Để thực hiện bước này, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: phương pháp lặp, phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến, phương pháp Muller,…Tất cả phương pháp được nêu chúng ta đều có thể lập trình bằng ngôn ngữ Maple.

2y x x

2arctan 2y x

5

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

Xét phương trình 0f x (1)

có khoảng li nghiệm là ;a b .

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương: x x (2)

Với xấp xỉ ban đầu 0x thuộc khoảng ;a b đã cho, ta xây dựng dãy 0,n nx

nhờ vào hệ thức:

1 , 0n nx x n .

Nếu dãy 0,n nx

có giới hạn lim *nn

x x

thì *x chính là nghiệm đúng của phương trình

(2) và cũng là nghiệm của (1) Tiếp theo, ta tìm hiểu một số điều kiện để dãy 0,n n

x

hội tụ.

Định lí 1.2.1. Giả sử hàm số y x khả vi liên tục trên ;a b và với mọi ;x a b thì

;x a b . Khi đó, nếu ta có 1x L với mọi ;x a b thì dãy số 0,n nx

được xây

dựng bởi hệ thức 1 , 0n nx x n hội tụ đến nghiệm *x của phương trình 0f x và ta có

các ước lượng sai số

1 1*1n n n

Lx x x x

L

1

1 1 0*1

n

n

Lx x x x

L

Ta mô phỏng phương pháp lặp bằng hình vẽ như sau

Hình 1.2.1 Nhận xét 1.2.1: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước

tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy 0,n nx

vẫn hội tụ đến *x , tất nhiên chỉ một vài

bước sai và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn.

y x

y x

6

Ta mô phỏng nhận xét này bằng hình vẽ như sau

Hình 1.2.2 Nhận xét 1.2.2: Một tính chất đặc biệt của phương pháp lặp là có thể đánh giá ngay từ đầu số

bước lặp mà ta cần phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu. Thật vậy, từ biểu thức

0 1*1

n

n

Lx x x x

L

nếu ta muốn có nghiệm gần đúng với sai số thì ta sẽ dừng lại ở bước lặp thứ n sao cho:

0 11

nLx x

L

Từ đây ta có đánh giá cho n

1 0

1ln

ln

Lx x

nL

kí hiệu chỉ phần nguyên trên của số . Ví dụ 2, 6 3; 4,1 5; 2,1 2 .

Nhận xét 1.2.3: Trên đây ta nhắc đến việc chuyển từ (*) sang dạng tương đương (**) sao cho

điều kiện 1, ;x L x a b được thỏa mãn. Về vấn đề này có mấy nhận xét sau:

. Giả sử 0 m f x M (với trường hợp 0M f x m ta làm tương tự). .

. Ta có thể chuyển từ (*) sang dạng tương đương sau:

x x f x x với 1M

(***)

. Ta thấy rằng

1 1 1 1, ;f x m

x f x x a bM M

. Do đó phép lặp được xây dựng trên (***) sẽ hội tụ đến nghiệm cần tìm.

y x

y x

7

Tóm tắt thuật toán tìm nghiệm gần đúng phương trình (1) với khoảng li nghiệm ;a b

bằng phương pháp lặp

Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng x x với 1x L với mọi ;x a b .

Bước 2: Xây dựng dãy 0,n nx

thông qua các hệ thức

. 0 ;x a b (thông thường ta lấy 0x là trung điểm của đoạn ;a b )

. 1 0 2 1 3 2 1; ; ;...; n nx x x x x x x x

Bước 3: Đánh giá sai số nghiệm gần đúng dựa vào công thức 1 1*1n n n

Lx x x x

L

.

Ví dụ 1.2.1: Giải phương trình ln 1 10 0x x bằng phương pháp lặp (lặp bốn bước,

đánh giá sai số ở bước 4), biết phương trình có khoảng li nghiệm là 13;14

Giải Biến đổi phương trình đã cho về dạng

ln 1 10x x

Đặt ln 1 10x x . Ta thấy rằng

1 1

12;131 13

x L xx

Chọn 0 12,5x . Ta xây dựng dãy lặp theo công thức

1 ln 1 10, 0n n nx x x n

Từ đây ta tính được

1

2

3

4

12,602690

12.610268

12.610824

12.610865

x

x

x

x

Ta tiến hành đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 4x . Ta có

64 4 3* 3.10

1L

x x x xL

Ví dụ 1.2.2: Giải phương trình 3 0xx e bằng phương pháp lặp với sai số của nghiệm gần

đúng không vượt quá 410 biết khoảng li nghiệm là 1;1

2

Giải

Biến đổi phương trình về dạng 3

xex

Đặt 3

xex . Ta thấy rằng 0,906094

3 3

xe ex L

8

Chọn 0 0,75x . Ta xây dựng dãy lặp theo công thức 1 3

nx

n n

ex x .

Từ hệ thức trên ta được

1

2

19

20

0, 705667

0,675065

...

0, 619079

0, 619072

x

x

x

x

Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 20x . Ta có

5 420 20 19* 6, 6.10 10

1L

x x x xL

Vậy ta lấy 20* 0,619072x x .

Ví dụ 1.2.3: Giải phương trình 22 cos2 2 0x x x bằng phương pháp lặp (lặp 3 bước,

đánh giá sai số ở bước 3) biết khoảng li nghiệm là 3, 4;4 .

Giải Việc tìm hàm x của bài toán này khá khó khăn. Ở đây ta sẽ áp dụng các kết quả trong mục

nhận xét 1.2.3

Đặt 22 cos2 2f x x x x

Ta có 2 cos2 4 sin 2 2 2f x x x x x . Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

số y f x . Có nhiều phương pháp để tìm các giá trị này, ở đây ta dùng phương pháp đồ thị với sự

hỗ trợ của Maple

Dựa vào đồ thị trên ta nhận được M f x m với 4 20,120732M f và

3, 4 6, 941147m f

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng

9

22 cos2 220,120731

x x xx x

Đặt 22 cos2 2

20,120731x x x

x x

. Ta có

6,941147

1 1 0, 65502520,120732 20,120732

f xx L

Chọn 0 3,7x . Ta xây dựng dãy lặp theo công thức

2

1

2 cos2 2

20,120732n n n

n n n

x x xx x x

Từ đây ta tính được

1

2

3

3,717656

3,721257

3,721950

x

x

x

Ta đánh giá nghiệm gần đúng 3x . Ta có

3 3 2* 0, 0013161

Lx x x x

L

Để tìm max và min của hàm số f x ta còn thêm một phương pháp nữa là đánh giá tính đơn

điệu của hàm số y f x . Thật vậy, ta có

8 sin 2 8 cos2 2f x x x x

Nhận xét rằng 33,4 ; ; 4 ;

8 4 8

. Từ đây ta suy ra

8 sin 2 8 cos2 2 8sin 6,8 32 cos 8 2 1,296906 0f x x x x

Vậy hàm số y f x là hàm đơn điệu giảm. Bước tiếp theo ta làm giống như cách trên.

10

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN)

Trong mục này, ta xét lại phương trình 0f x .

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng ;a b , đồng

thời ,f x f x liên tục và không đổi dấu trên đoạn ;a b . Khi đó, với 0x là xấp xỉ ban đầu được

chọn, ta xây dựng dãy 0,n nx

theo công thức

1 , 0nn n

n

f xx x n

f x

.

Ta có thể chứng minh được, với một số điều kiện thích hợp phương pháp Newton hội tụ, chẳng hạn với điều kiện sau

Định lí 1.3.1. Nếu phương trình 0f x có ;a b là khoảng li nghiệm, đồng thời

,f x f x liên tục và không đổi đấu trên đoạn ;a b , với 0 ;x a b sao cho 0 0 0f x f x

( 0x ,được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một trong hai đầu mút a hoặc b). Khi đó dãy

0,n nx

xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm *x của phương trình 0f x và ta có ước lượng

21 1*2n n n

Mx x x x

m

với ,m M là hai hằng số thỏa mãn

0 , ;m f x x a b

, ;f x M x a b

Nhận xét 1.3.1: Về mặt hình học, để xác định phần tử 1nx , xuất phát từ điểm nằm trên đồ thị

hàm số y f x có hoành độ nx , ta kẻ tiếp tuyến với đường cong. Hoành độ giao điểm của tiếp

tuyến với trục hoành sẽ là 1nx .

Hình 1.3.1

Tóm tắt thuật toán tìm nghiệm gần đúng phương trình 0f x với khoảng li nghiệm

;a b bằng phương pháp tiếp tuyến

0A

1A

2A

y f x

11

Bước 1: Chứng tỏ ,f x f x không đổi dấu trên ;a b .

Bước 2: Xây dựng dãy 0,n nx

như sau

. Nếu . 0f a f a thì chọn 0x a , ngược lại chọn 0x b

. Các số hạng còn lại xác định bởi hệ thức 1 , 0n

n nn

f xx x n

f x

Bước 3: Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng dựa vào công thức

2

1 1*2n n n

Mx x x x

m

với ,m M là hai hằng số thỏa mãn

0 , ;m f x x a b

, ;f x M x a b

Thông thường ta lấy

; ;

min ; maxx a b x a b

m f x M f x

Ví dụ 1.3.1: Dùng phương pháp Newton giải phương trình 3 2 10 0x x với độ chính xác 1010 , biết khoảng li nghiệm là 2; 3 .

Giải Đặt 3 2 10f x x x . Khi đó ta có:

23 2 0, 2;3

6 0 , 2;3

f x x x

f x x x

Ta thấy rằng 2 2 0f f nên ta chọn 0 3x .

Ta xây dựng dãy 0,n nx

như sau:

3

1 2

2 10, 0

3 2n n n

n n nn n

f x x xx x x n

f x x

Từ đây ta tính được

1

2

3

4

2, 560000

2, 466164

2, 462053

2, 462045

x

x

x

x

Tiếp theo ta đánh giá sai số của nghiệm gần đúng 4x . Ta có

2

4 4 3*2M

x x x xm

với

12

2

2;3 2;3

2;3 2;3

min min 3 2 10

max max 6 18

x x

x x

m f x x

M f x x

Vậy 12 104 * 7,2.10 10x x

Ta lấy 4* 2, 462045x x

Ví dụ 1.3.2: Giả sử bạn vay một người bạn 100 (triệu VND) với thỏa thuận là sẽ trả cho anh ta trong 5 năm, mỗi năm một lần, các khoản tiền 21,22,23,24,25 . Lợi suất R của dòng tiền tệ này

là nghiệm thực (duy nhất) của phương trình

52 3 4

21 22 23 24 25100

1 11 1 1R RR R R

(1)

Biết phương trình (1) có khoảng li nghiệm là 0;1 , giải phương trình bằng phương pháp

Newton (lặp 7 bước, đánh giá sai số ở bước 7). Giải Đặt 1x R , phương trình (1) trở thành

2 3 4 5

5 4 3 2

21 22 23 24 25100

100 21 22 23 24 25 0 2x x x x x

x x x x x

Phương trình (2) có khoảng li nghiệm là 1;2 . Gọi f x là vế trái của phương trình (2). Ta có

4 3 2

3 2

2

500 84 66 46 24

2000 252 132 46

6000 504 132

f x x x x x

f x x x x

f x x x

Ta thấy rằng 6000 504 2 132 4860 0f x

Vậy f x là một hàm tăng trên 1;2 . Ta suy ra

3 22000 1 252 1 132 46 1570 0f x

Từ đây ta cũng khẳng định f x là một hàm tăng trên 1;2 . Do đó

500 84 66 46 24 280 0f x

Ta thấy rằng 1 1 0f f nên ta chọn 0 2x

Ta xây dựng dãy 0,n nx

như sau

5 4 3 2

1 4 3 2

100 21 22 23 24 25, 0

500 84 66 46 24n n n n n n

n n nn n n n n

f x x x x x xx x x n

f x x x x x

Từ đây ta tính được 1 1,636874x

13

2

3

4

5

6

7

1, 364560

1,178500

1, 078697

1, 049367

1, 047044

1, 047030

x

x

x

x

x

x

Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng 7x . Ta có

2

7 7 6*2M

x x x xm

với

1;2

1;2

max 2 14682

min 1 280

x

x

M f x f

m f x f

Vậy 97 * 5,2.10x x .

Ta lấy 71 1, 047030 0, 047030R x R

Ví dụ 1.3.3: Xây dựng một thuật toán tính gần đúng số a , với sai số tùy ý cho trước, trong đó a không là bình phương của một số hữu tỉ nào. Giải Ta xây dựng thuật toán cho trường hợp 2a , trường hợp tổng quát làm tương tự.

Ta thấy 2 là nghiệm dương duy nhất của phương trình 2 2 0x

Phương trình trên có khoảng li nghiệm là 1;2 chứa nghiệm 2 .

2 0, 1;2

2 0, 1;2

f x x x

f x x

Ta có 1 1 0f f nên ta chọn 0 2x .

Ta xây dựng dãy 0,n nx

như sau

2 2

1

2 22 2

n n nn n n

n n n

f x x xx x x

f x x x

Từ đây ta tính được

1

2

3

4

1, 500000

1, 416667

1, 414216

1, 414214

x

x

x

x

14

Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng 4x . Ta có 2 124 4 3* 2.10

2M

x x x xm

Nhận xét 1.3.2: Theo định lí 1.3.1, xấp xỉ ban đầu 0 ;x a b phải thỏa mãn 0 0 0f x f x

thì dãy 0,n nx

xây dựng theo hệ thức

1 , 0nn n

n

f xx x n

f x

sẽ hội tụ về nghiệm đúng *x .

Cõ lẽ chúng ta cũng sẽ tự hỏi nếu 0 0 0f x f x thì dãy 0,n nx

là hội tụ hay phân kì. Câu trả

lời là dãy 0,n nx

có thể hội tụ hoặc phân kì. Chúng ta xem hai hình vẽ minh họa sau

Hình 1.3.2 Hình 1.3.3

Hình 1.3.2 cho ta biết dãy 0,n nx

phân kì, trong khí đó dãy 0,n n

x

trong hình 1.3.3 là

hội tụ.

y f x

y f x

15

Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 2.1.1. Chuẩn trong k và kM

Định nghĩa Trước hết ta tìm hiểu lại các ký hiệu k và kM

1

2

1 2: , ,...,...k

k

k

x

xx x x x

x

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...: , , 1,... ... ... ...

...

k

k

k ij

k k kk

a a a

a a aM A a i j k

a a a

Trong k người ta thường xét hai chuẩn quen thuộc sau

1

1

1

max ii k

k

ii

x x

x x

Với ma trận vuông ij kkA a M ta sẽ có các chuẩn tương ứng

11

1 11

max

max

k

iji kj

k

ijj ki

A a

A a

Tính chất Trong phần này ta chỉ đưa ra những tính chất cho chuẩn , đối với chuẩn 1 ta có các tính chất tương tự. Sau đây ta nêu một số tính chất cơ bản của chuẩn (trong k và kM )

1. 0, kx x . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 kx .

2. , ,kx x x .

3. , , kx y x y x y .

4. 0, kA A M . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0kA .

5. , ,kA A A M .

16

6. , , kA B A B A B M .

7. , , kAB A B A B M

8. , , kkAx A x A M x

2.1.2. Phương pháp lặp đơn Xét hệ phương trình Ax b (*) Để giải hệ phương trình Ax b bằng phương pháp lặp đơn, ta biến đổi hệ phương trình về dạng x Bx g (2.1.1)

Sau đó với 0 kx , ta thiết lập dãy 0,

n

nx

như sau

1 , 0n nx Bx g n (2.1.2) Với một số điều kiện về ma trận B , dãy sẽ hội tụ đến nghiệm đúng *x của hệ (*). Phương

pháp lặp xác định theo hệ thức (2.1.2) để giải hệ phương trình (*) được gọi là phương pháp lặp đơn (phương pháp Jacobi).

Sau đây ta xét một số điều kiện của ma trận B để dãy 0,

n

nx

hội tụ đến nghiệm đúng *x

của hệ (*).

Định lí 2.1.1. Nếu 1B thì với mọi 0 kx , dãy 0,

n

nx

xác định bởi (2.1.1) hội tụ

đến nghiệm duy nhất *x của hệ (*), hơn nữa ta có các ước lượng

1 * 1

1n n nB

x x x xB

* 1 0

1

nn B

x x x xB

Nhận xét 2.1.1: Trong định lí 2.1.1 nếu ta thay chuẩn bằng chuẩn 1 thì kết quả vẫn không thay đổi

Vấn đề đưa hệ phương trình (*) về dạng (2.1.1) với ma trận B thỏa mãn điều kiện 1B (

hoặc 1 1B ) là không tầm thường. Nói chung, với mỗi ma trận A cụ thể phải có một kĩ thuật

tương ứng kèm theo. Kết quả dưới đây cho ta vài trường hợp điển hình.

Định lí 2.1.2. Giả sử ma trận ij kA a thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

a.

1

, 1,k

ij iii jj

a a i k

b.

1

, 1,k

ij jjj ii

a a j k

17

Khi đó luôn có thể đưa về hệ phương trình (1) về dạng (2) với điều kiện 1B (với điều

kiện a.) hoặc 1 1B (với điều kiện b.)

Chứng minh Trường hợp 1: Điều kiện a. được thỏa. Ta viết lại hệ (*) ở dạng:

1

, 1,k

ii i ij j ii jj

a x a x b i k

Do đó ta có

1

, 1,k

ij ii j

i j ii iij

a bx x i k

a a

Ta suy ra

112 1

1111 11

21 2 2

22 22 22

1 2

0

0,

0

k

k

k k k

kk kk kk

ba aaa a

a a ba a aB g

a a ba a a

Từ điều kiện a. ta rút ra kết luận

1

1

max 1k

ij

i ki j iij

aB

a

Trường hợp 2: Điều kiện b. được thỏa. Ta viết lại phương trình (*) dưới dạng

1

, 1,k

ii i ij j ii jj

a x a x b i k

Đặt , 1,i ii iz a x i k thì được hệ

1

, 1,k

iji j i

i j iij

az z b i k

a

Vậy ta nhận được hệ phương trình z Bz g , ở đó:

18

12 1

22 1

21 22

11

1 2

11 22

0

0,

0

k

kk

k

kk

kk k

a aa a b

a ab

a aB g

ba aa a

Từ điều kiện b., ta có:

1 1

1

max 1k

ij

j kj i iii

aB

a

.

Nhận xét 2.1.2:

Nếu 1 2* *, *,..., *kz z z z là nghiệm của hệ z Bz g thì 1 2

11 22

* * ** , ,..., k

kk

z z zx

a a a

là

nghiệm của hệ phương trình (*). Ví dụ 2.1.1: Cho hệ phương trình

5 7

10 12

20 22

x y z

x y z

x y z

a. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với yêu cầu sai số không quá 35.10 . b. Tìm số bước lặp nhỏ nhât để nghiệm gần đúng có sai số không quá 610 Giải a. Hệ phương trình này thỏa mãn điều kiện a. trong định lí 2.3.2 . Ta đưa hệ về dạng:

0 0,2 0,2 1, 4

0,1 0 0,1 1,2

0, 05 0, 05 0 1,1

x x y z

y x y z

z x y z

Ta thấy

0 0,2 0,2 1, 4

0,1 0 0,1 , 1,2

0, 05 0, 05 0 1,1

B g

Ta xét điều kiện hội tụ 0, 4 1B

19

Đặt 0

1, 4

1,2

1,1

x g

. Xét dãy 0,

n

nx

được thiết lập như sau 1 , 0n nx Bx g n .

Từ đây ta suy ra 1 2 3 4

0, 940000 1, 016000 0, 997100 1, 000680

0, 950000 ; 1, 009000 ; 0, 997850 ; 1, 000415

0, 970000 1, 005500 0, 998750 1, 000253

x x x x

Ta đánh giá sai số nghiệm 4x . Ta có

4 4 3 3* 0, 002387 5.101

Bx x x x

B

Vậy ta lấy 4

1, 000680

1, 000415

1, 000253

x x

b. Gọi n là số bước lặp nhỏ nhất thỏa 6* 10nx x

Áp dụng công thức ước lượng sai số ta có

1 0*1

nn B

x x x xB

Ta xét bất đẳng thức

1 0 6

6

1 0

101

1 10ln

15ln

nBx x

B

B

x xn

B

20

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP SEIDEL

Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu cách giải gần đúng hệ phương trình Ax b (*). Giả sử (*) được đưa về dạng x Bx g (2.2.1).

Giả sử rằng đã có các xấp xỉ 0 1, ,..., nx x x thì lúc đó 1 1 1 11 2, ,...,n n n n

kx x x x được

xác định bởi:

11 1 1

1

11 1

1

, 2,

kn n

j jj

i kn n n

i ij j ij j ij j i

x b x g

x b x b x g i k

(2.2.2)

Dãy 0,

n

nx

được xây dựng theo thuật toán trên được gọi là dãy xấp xỉ xây dựng theo thuật

toán Seidel (hoặc phương pháp Seidel). Ta sẽ xem xét điều kiện của ma trận B để dãy trên hội tụ về nghiệm duy nhất *x của hệ phương trình (*).

Định lí 2.4.1. Nếu 1

1

max 1k

iji kj

B b

thì dãy

0,

n

nx

hội tụ đến nghiệm duy nhất

*x của hệ phương trình (*), đồng thời ta có ước lượng sai số

1 * 1

1n n nU

x x x xB

với mọi 0n và

11 12 1

22 2

...

0 ...

... ... ... ...

0 0 ...

k

k

kk

b b b

b bU

b

Vấn đề đưa hệ phương trình (*) về dạng (2.2.1) với ma trận B thỏa mãn điều kiện 1B

ta đã xem xét trong phương pháp lặp đơn. Ở đây, ta sẽ nhắc lại kết quả này.

Định lí 2.4.2. Giả sử ma trận ij kA a thỏa mãn điều kiện

1

, 1,k

ij iii jj

a a i k

. Khi đó

luôn có thể đưa được hệ (*) về dạng (2.2.1) với điều kiện 1B và 0, 1,iib i k .

Ví dụ 2.2.1: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Seidel qua ba bước (đánh giá sai số ở bước ba)

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

x y z

x y z

x y z

Giải Ta đưa hệ về dạng

21

0 0,1 0,1 1,2

0,1 0 0,1 1,2

0,1 0,1 0 1,2

x x y z

y x y z

z x y z

Từ đây ta được

0 0,1 0,1 1,2

0,1 0 0,1 , 1,2

0,1 0,1 0 1,2

B g

Ta xét điều kiện hội tụ 0,2 1B

Đặt 0

0

0

0

x

. Xét dãy 0,

n

nx

được thiết lập như sau

1

1 1

1 1 1

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

n n n

n n n

n n n

x y z

y x z

z x y

trong đó , 0n

nn

n

x

x y n

z

.

Từ đó ta suy ra 1 2 3 4

1,200000 0,994800 0, 999649 0,999995

1, 080000 ; 1, 003320 ; 1, 000016 ; 0,999997

0, 972000 1, 000188 1, 000033 1, 000001

x x x x

Ta đánh giá sai số của 4x . Ta có

4 4 3 0,2* .0, 000301 0, 000075

1 1 0,2

Ux x x x

B

trong đó

0 0,1 0,1

0 0 0,1

0 0 0

U

.

22

Chương 3. ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 1. MỞ ĐẦU

Thông thường, một hàm số có hai cách biểu diễn. Dạng thứ nhất bằng biểu thức giải tích với các kết hợp khác nhau của hàm sơ cấp. Dạng thứ hai thì hàm số được cho như một bảng số. Ta chú ý đến dạng thứ hai. Giả sử ta có hàm một biến y f x mà f x không thể cho dưới dạng biểu thức

giải tích, nhưng bằng cách nào khác ta có thể nhận được các giá trị của y tại các giá trị khác nhau của x (chẳng hạn bằng đo đạc hay quan trắc hoặc ghi chép thống kê) và ta lập được bảng số dạng

x 0x 1x nx y 0y 1y ny

Ta luôn có thể đánh số lại cho thích hợp nên có thể viết 0 1 ... nx x x . Các điểm

0 1, ,..., nx x x được gọi là các mốc.

Một vấn đề thực tiễn thường nảy sinh là nếu có ta có hàm số ở dạng bảng thì bằng cách nào ta có thể xác định giá trị của y tại một giá trị x nào đó không trùng với một giá trị nào trong các giá trị

0 1, ,..., nx x x . Thuật toán tìm giá trị y như vậy được gọi là phép nội suy (nếu 0; nx x x ) hoặc ngoại

suy (nếu 0; nx x x ). Vì vậy có thể gọi phép nội suy là phép “chèn” hay phép liên tục hóa các giá trị

của hàm số cho dưới dạng bảng tại các giá trị của biến số không trùng với các mốc. Trên đây chúng ta nói về phép nội suy và ngoại suy cho hàm một biến số. Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể mở rộng cho hàm số nhiều biến, nghĩa là ta có thể nội suy hoặc ngoại suy đối với bảng nhiều chiều, chẳng hạn với độ nhớt của chất lỏng theo hai biến áp suất và nhiệt độ. Chúng ta không chỉ cần tính giá trị của hàm số y f x tại các giá trị trung gian của biến số

mà đôi khi cần phải tính đạo hàm của hàm số f x ở bậc bất kì nào đó hoặc tính tích phân của nó trên một khoảng xác định. Những phép phân tích như vậy giúp chúng ta phát hiện ra các qui luật tổng quát chi phối mối quan hệ của các yếu tố tham gia xác định một quá trình hay hiện tượng vật lý. Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm cho trước bằng một hàm số khác nhằm mục đích đơn giản hóa cách tính giá trị của hàm đã cho. Ta hình dung trường hợp sau: trong một thuật toán nào đó ta phải tính nhiều lần giá trị của một hàm số với một biểu thức rất phức tạp ở nhiều giá trị khác nhau của biến số. Để tiết kiệm thời gian tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác đã đặt ra, ta sẽ chủ động chia miền biến đổi của biến số bằng 1n mốc kể cả các điểm biên và tiến hành tính các giá trị của hàm số tại các mốc đó để có được một bảng số. Khi đó để tính giá trị của hàm đã cho tại các giá trị khác nhau của biến số ta sẽ sử dụng phép nội suy với số phép tính ít hơn nhiều lần so với cách tính trực tiếp mà độ chính xác vẫn đảm bảo.

23

Trên đây chúng ta nói đến hai ứng dụng chủ yếu của phép nội suy và ngoại suy. Trong trường hợp thứ nhất thì hàm số được cho ở dạng rời rạc hóa vì không biết biểu thức giải tích của nó, còn trong trường hợp thứ hai thì hàm được cho ở dạng giải tích nhưng rất phức tạp cho việc tính toán nên ta phải rời rạc hóa nó trước khi dung phép nội suy. Sau đây chúng ta sẽ đi vào một số phép nội suy thông dụng

24

Bài 2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Đa thức là một lớp hàm “đẹp”, có đạo hàm ở mọi bậc, cách tính giá trị của nó cũng như tính đạo hàm, tích phân rất đơn giản. Ngoài ra, các công trình của nhà toán học Weirstrass cho thấy, nếu hàm số f x liên tục trên đoạn ;a b thì với mọi số dương tùy ý có thể tìm được một đa thức P x

bậc n (phụ thuộc vào ) sao cho , ;f x P x x a b .

Những lí do trên là cơ sở tốt để người ta chọn đa thức làm hàm xấp xỉ của phép nội suy. Định lý Weirstrass cũng cho thấy, bậc đa thức càng cao thì độ chính xác của xấp xỉ càng tăng. Tuy nhiên, với ý nghĩa ứng dụng thực tế thì điều đó không phải là như vậy, vì đa thức bậc cao cũng mất rất nhiều thời gian tính toán.

3.2.1. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì Xét hàm số y f x với ;x a b .

Cho ; , 0,ix a b i n thỏa i jx x nếu i j và 0 ; nx a x b . Đặt , 0,i iy f x i n ,

ta sẽ tiến hành xây dựng một đa thức nL x thỏa mãn hai điều kiện sau

deg

, 0,

n

n i i i

L x n

L x f x y i n

(3.2.1)

Trước tiên ta xét đa thức phụ

0 1 1 1

0 1 1 1

... ..., 0,

... ...i i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x x x xx i n

x x x x x x x x x x

Ta suy ra được deg i x n và 0, ,

1, .i j ij

i jx

i j

Đặt

0

n

n i ii

L x y x

. Ta thấy nL x thỏa cả hai điều kiện trong (3.2.1).

Đa thức nL x xây dựng như trên được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

Hình 3.2.1

y f x

ny L x

25

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng sự tồn tại của đa thức nL x là duy nhất. Giả sử còn có đa thức

Q x thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Đặt nx L x Q x , ta suy ra deg x n và

0, 0,ix i n . Điều này chứng tỏ x là một đa thức có bậc nhỏ hơn n đồng thời có ít

nhất 1n nghiệm, ta suy ra 0x hay nL x Q x (đpcm).

Đồ thị của các đa thức i x (trường hợp 4n và , 0, 4ix i i )

Hình 3.2.2

Ví dụ 3.2.1: Cho hàm số y f x có bảng giá trị

x 0 1 2 4 y 1 0 2 1

a. Hãy xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y f x cho bởi bảng trên.

b. Tính gần đúng 3f .

Giải a. Ta có

3 0 0 1 1 2 2 3 3

3 2

1 2 4 0 2 41. 0.

0 1 0 2 0 4 1 0 1 2 1 4

0 1 4 0 1 22. 1.

2 0 2 1 2 4 4 0 4 1 4 21

7 39 44 12 .12

L x y x y x y x y x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

b. Áp dụng kết quả câu a ta có

26

3

73 3

2f L

Ví dụ 3.2.2: Xét hàm số

1

sinx

tf x dt

t . Bảng số sau đây cho ta biết được giá trị của hàm

số y f x tại những điểm đặc biệt

x 1,0 1,2 1,4 1,6 y 0 0,161964 0,310144 0,443097

a. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số f x cho bởi bảng trên.

b. Tính gần đúng 1, 3 ; 1, 5f f .

Giải a. Ta có

3 0 0 1 1 2 2 3 3

1,2 1, 4 1, 6 .0 1 1, 4 1, 6 0,1619641 1,2 1 1, 4 1 1,6 1,2 1 1,2 1, 4 1,2 1, 6

1 1,2 1, 6 0, 310144 1 1,2 1, 4 0, 4430971, 4 1 1, 4 1,2 1, 4 1, 6 1,6 1 1,6 1,2 1, 6 1, 4

L x y x y x y x y x

x x x x x x

x x x x x x

b. Từ kết quả câu a ta suy ra

1,3 0.237867

1,5 0.378614

f

f

Ước lượng sai số Bây giờ ta cần đánh giá sai số của phép nội suy theo Lagrange ở giá trị x bất kì.

Xét hiệu số nf x L x

Đặt 0 1 ... nx x x x x x x và

nz f z L z k z với

nf x L xk

x

Ta thấy rằng 0 1 ... 0nx x x . Áp dụng liên tiếp định lý Roll, ta chứng tỏ

được tồn tại ít nhất một điểm ;a b sao cho 1 0n . Suy ra

1

1 !

nfk

n

. Từ đây ta nhận

được hệ thức

1

1 !

n

n

ff x L x x

n

. Do đó

1 !n

Mf x L x x

n

trong đó

1

;max n

x a bM f x

27

Ví dụ 3.2.3: Cho hàm số sin 2y x có bảng giá trị

x 18

16

14

12

y 0,247404 0,327195 0,479426 0,841471 a. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số f x .

b. Tính gần đúng 2sin

7

, đánh giá sai số kết quả vừa tìm được.

Giải a. Ta có

3 0 0 1 1 2 2 3 3

1 1 1 1 1 10,247404 0,327195

6 4 2 8 4 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 18 6 8 4 8 2 6 8 6 4 6 2

L x y x y x y x y x

x x x x x x

1 1 1 1 1 1

0,479426 0,8414718 6 2 8 6 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 8 4 6 4 2 2 8 2 6 2 4

x x x x x x

b. Áp dụng kết quả câu a ta được

3

2 1 1sin 0.281848

7 7 7f L

Ta tiến hành đánh giá sai số kết quả trên. Ta có

3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 7 4! 7 8 7 6 7 4 7 2

Mf L

với 4

1 1 1 1; ;

8 2 8 2

max max 16 sin 2 13, 841471x x

M f x x

Ta suy ra

63

1 19.10

7 7f L

3.2.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều Bây giờ ta thêm giả thiết là các mốc 0 1, ,..., nx x x cách đều trong ;a b , tức là

0

1 0 2 1 1

0

;

...

, 0,

n

n n

i

x a x b

b ax x x x x x h

nx x hi i n

28

Ta thực hiện phép đổi biến 0x x ht . Khi đó ta được

0

11 ... 1 1 ... .

! !

1 ... 1 1 ... 1! ! !

n i

i i

n i n i in

t x th t t t i t i t ni n i

t t t n t t t n Ct i i n i n t i

Từ đó ta thu được

0 0

1 ...1

!

in nn i n

n i i i ni i

t t t n CL x y t y N t

n t i

(3.2.2)

Ví dụ 3.2.4: Cho hàm số y f x có bảng giá trị

x 1 2 3 4 y 1 5 21 55

a. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều của hàm số f x .

b. Tính 3, 5f .

Giải a. Theo công thức (3.2.2), bằng cách đổi biến 0 1x x ht t ta có

33 3

3 30

1 2 31

6

1 2 3 5 2 36 2

21 1 3 55 1 22 6

ii

ii

t t t t CL x N t y

t i

t t t t t t

t t t t t t

b. Ta có 33, 5 3,5 2,5 35, 375f L N .

Ước lượng sai số Theo phần ước lượng sai số của đa thức nội suy Lagrange ta có

1 !n

Mf x L x x

n

với

1

;max n

x a bM f x

.

Tới đây ta đặt 0x x ht . Khi đó

10 1 ... 1 ...n

nx x x x x x x h t t t n

Từ đây ta được hệ thức

1

1 ...1 !

n

n

Mhf x L x t t t n

n

với

1

;max n

x a bM f x

.

Ví dụ 3.2.5: Xét hàm số 2

0

xty f x e dt . Bảng sau đây cho ta biết một vài giá trị của hàm

số tại một số mốc đặc biệt

29

x 0,25 0,50 0,75 1,00 y 0,255307 0,544987 0,917916 1,462652

a. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều của hàm số f x cho bởi bảng trên

b. Tính 0, 7f , đánh giá sai số kết quả trên.

Giải a. Đổi biến 0,25 0,25x t . Khi đó ta có

33 3

3 30

1 2 31

6

1 2 3 0,255307 2 3 0, 5449876 2

1 3 0,917916 1 2 1, 4626522 6

ii

ii

t t t t CL x N t y

t i

t t t t t t

t t t t t t

b. Áp dụng kết quả câu a ta được 3 30, 7 0, 7 1, 8 0.832419f L N

Ta tiến hành đánh giá sai số kết quả trên

4

3

0,250, 7 0,7 1, 8 1, 8 1 1, 8 2 1, 8 3

4 !M

f L

với

24 4 2

0,25;1 0,25;1max max 16 48 12 206,589419x

x xM f x e x x

Ta suy ra

4

3

0,250, 7 0,7 1, 8 1, 8 1 1, 8 2 1, 8 3 0, 011621

4!M

f L .

30

Bài 3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

3.3.1. Đa thức nội suy Newton với mốc bất kì 3.3.1.1. Tỷ sai phân Định nghĩa Xét hàm số y f x với ;x a b .

Cho ; , 0,ix a b i n thỏa i jx x nếu i j và 0 ; nx a x b . Đặt , 0,i iy f x i n .

Tỷ số 1

1

i i

i i

y y

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y f x tại các mốc 1,i ix x với

0, 1i n và được kí hiệu là 1;i if x x

Tỷ số 1 2 1

2

; ;i i i i

i i

f x x f x x

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của hàm số y f x tại các

mốc 1 2, ,i i ix x x với 0, 2i n và được kí hiệu là 1 2; ;i i if x x x .

Tổng quát, tỷ số 1 2 2 1; ;...; ; ;...;i i i k i i i k

i k i

f x x x f x x x

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp k của

hàm số y f x tại các mốc 1, ,...,i i i kx x x với 0,i n k và được kí hiệu là 1; ;...;i i i kf x x x .

Ta qui ước các giá trị , 0,iy i n là các tỷ sai phân cấp 0.

Ví dụ 3.3.1: Cho hàm số y f x có bảng giá trị

x 1 2 3 4 y 0 5 22 57

Tính các tỷ sai phân của hàm số y f x dựa vào các mốc ở bảng trên

Giải Ta lập bảng

x y TSP1 TSP2 TSP3 1 0

5 2 5 6 17 1

3 22 9 35

4 57

Từ bảng trên ta có thể suy ra 0 1 1 2 3; 5; ; ; 9f x x f x x x

31

Tính chất Tỷ sai phân cấp 1n của đa thức bậc n là đồng nhất không. Chứng minh Giả sử P x là đa thức có bậc n và

0,;i i n

x a b

là 1n số thực đôi một khác nhau, ta sẽ

chứng minh rằng 0 1; ; ;...; 0nP x x x x với 0,; \ i i n

x a b x

.

Ta có 0

00

;P x P x

P x xx x

là một đa thức có bậc 1n .

Từ đó ta có 0 0 10 1

1

; ;; ;

P x x P x xP x x x

x x

là một đa thức bậc 2n .

Bằng phép qui nạp ta chứng tỏ được 0 1 0 10 1

; ;...; ; ;...;; ; ;...; k k

kk

P x x x P x x xP x x x x

x x

là

một đa thức có bậc 1n k . Ta suy ra 0 1 1; ; ;...; nP x x x x là một đa thức bậc 0 hay là một hằng số

với 0,; \ i i n

x a b x

, từ đó

0 1 0 10 1

; ;...; ; ;...;; ; ;...; 0n n

nn

P x x x P x x xP x x x x

x x

.

3.3.1.2. Biểu thức đa thức nội suy Newton với mốc bất kì Xét hàm số y f x với ;x a b .

Cho ; , 0,ix a b i n thỏa i jx x nếu i j và 0 ; nx a x b . Đặt , 0,i iy f x i n .

Gọi nL x là đa thức nội suy Lagrange của hàm số y f x với các mốc , 0,ix i n . Khi

đó, ta thấy 0 0 1 0; , ; ; ,..., ; ;...;n n n nL x x L x x x L x x x là các tỷ sai phân của nL x tại x . Theo định

nghĩa ta có

0 0

00 0

; n n nn

L x L x L x yL x x

x x x x

Ta suy ra 0 0 0;nL x y L x x x x

Mặt khác 0 0 10 1

1

; ;; ; n n

n

L x x L x xL x x x

x x

. Từ đó rút ra

0 0 1 0 1 1; ; ; ;n n nL x x L x x L x x x x x

Do đó 0 0 1 0 0 1 0 1; ; ;n n nL x y L x x x x L x x x x x x x

Bằng cách lập luận tương tự ta có

32

0 1 1 0 1 0 1; ; ;...; ; ;...; ; ; ;...;n i n i n i iL x x x x L x x x L x x x x x x

Theo tính chất của tỷ sai phân ta có 0 1; ; ;...; 0n nL x x x x

Từ đó rút ra

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 0 1 1

; ; ; ...

; ; ;...; ...

n n n

n n n

L x y L x x x x L x x x x x x x

L x x x x x x x x x x

Để ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n , ta suy ra

0 1 2 0 1 2; ; ;...; ; ; ;...; , 1,n k kL x x x x f x x x x k n

Vì thế ta có thể viết lại đa thức nL x như sau:

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 0 1 1

; ; ; ...

; ; ;...; ...

n

n n

L x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

(3.3.1)

Đa thức nL x cho bởi (3.3.1) được gọi là đa thức nội suy Newton với mốc bất kì.

Ví dụ 3.3.2: Xét hàm số y f x cho bởi bảng:

x 0 1 2 4 y 0 1 8 64

Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton của hàm số y f x cho bởi bảng trên

Giải Ta lập bảng tỷ sai phân

x y TSP1 TSP2 TSP3 0 0

1 1 1 3 7 1

2 8 7 28

4 64

Từ đây ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên là 3

3 0 1 0 3 0 1 1 0 1 2L x x x x x x x x .

Ví dụ 3.3.3: Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y -5 2 5 10 30

33

Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton của hàm số trên và tính gần đúng 2,5f .

Giải Ta lập bảng tỷ sai phân

x y TSP1 TSP2 TSP3 TSP4 0 -5

7 1 2 -2 3 1

2 5 1 0,2917 5 2,16667

3 10 7,5 20

4 30

Từ đây ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên là

4 5 7 2 1 1 2

0,2917 1 2 3

L x x x x x x x

x x x x

Ước lượng sai số Dựa vào kết quả vừa tìm được ta thấy đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton chỉ khác nhau về cách thức xây dựng, còn biểu thức cuối cùng thì như nhau nên ta có thể lấy phần ước lượng sai số của đa thức nội suy Lagrange cho đa thức nội suy Newton. Tức ở đây ta có

1 !n

Mf x L x x

n

trong đó

1

;max n

x a bM f x

3.3.2. Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều Bây giờ ta thêm giả thiết là các mốc 0 1, ,..., nx x x cách đều trong ;a b , tức là

0

1 0 2 1 1

0

;

...

, 0,

n

n n

i

x a x b

b ax x x x x x h

nx x hi i n

3.3.2.1. Sai phân Định nghĩa

Xét hàm số y f x với ;x a b . Đặt , 0,i iy f x i n .

34

Hiệu số 1i iy y được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số y f x tại mốc ix với 0, 1i n

và được kí hiệu là iy .

Hiệu số 1i iy y được gọi là sai phân cấp 2 của hàm số y f x tại mốc ix với

0, 2i n và được kí hiệu là 2iy .

Tổng quát, hiệu số 1 11

k ki iy y được gọi là sai phân cấp k của hàm số y f x tại mốc

ix với 0,i n k và được kí hiệu là kiy .

Ví dụ 3.3.4: Xét hàm số y f x có bảng giá trị

x 0 1 2 3 4 y 1 -2 9 70 241

Tính các sai phân của hàm số y f x

Giải Ta lập bảng sai phân

y SP1 SP2 SP3 SP4 1 -3

-2 14 11 36

9 50 24 61 60

70 110 171

241 Tính chất

1 0n P x nếu P x là một đa thức bậc n . Chứng minh Chúng ta lập luận tương tự như trong tính chất của tỷ sai phân, xin dành cho bạn đọc.

3.3.2.2. Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều Đa thức nội suy ở đầu bảng (dạng tiến): Giả sử 0 1 ... nx x x và 1i ix x h với

mọi 0, 1i n . Ta tìm đa thức nội suy nL x ở dạng:

0 1 0 2 0 1

0 1 1

...

...

n

n n

L x a a x x a x x x x

a x x x x x x

35

Cho x lần lượt bằng 0 1, ,..., nx x x và chú ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n ta thu được các

hệ thức 0 0 00 0 1, ,..., ,...,

! !

i n

i ni n

y y ya y a a a

h i h n h

. Từ đó ta có

20 0

0 0 0 12

00 1 1

...2 !

...!

n

n

nn

y yL x y x x x x x x

h hy

x x x x x xn h

Nếu đổi biến 0x x th thì ta có

20 0

0 0

0

1 ...1! 2 !

1 ... 1!

n n

n

y yN t L x th y t t t

yt t t n

n

Ví dụ 3.3.5: Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y 4 8 13 16 20

Hãy tìm đa thức nội suy Newton ở đầu bảng của hàm số cho bởi bảng trên Giải

Ta lập bảng sai phân

y SP1 SP2 SP3 SP4 4 4

8 1 5 -3

13 -2 6 3 3

16 1 4

20 Ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên có dạng

2 3 4

0 0 0 04 0 1 1 2 1 2 3

1! 2 ! 3 ! 4 !y y y y

N t y t t t t t t t t t t

1 1 1

4 4 1 1 2 1 2 32 2 4

t t t t t t t t t t .

Đa thức nội suy ở cuối bảng (dạng lùi): Giả sử 0 1 ... nx x x và 1i ix x h với mọi

0, 1i n . Ta tìm đa thức nội suy nL x ở dạng

36

0 1 2 1

1 1

...

...

n n n n

n n n

L x a a x x a x x x x

a x x x x x x

Cho x lần lượt bằng 1 0, ,...,n nx x x và chú ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n ta thu được

các hệ thức 1 00 1, ,..., ,...,

! !

i nn n i

n i ni n

y y ya y a a a

h i h n h

. Từ đó ta thu được:

21 2

12

01 1

...2 !

...!

n nn n n n n

n

n nn

y yL x y x x x x x x

h hy

x x x x x xn h

Nếu ta đổi biến 0x x th thì

21 2

0

0

1 ...1! 2 !

1 ... 1!

n nn n n

n

y yN t L x th y t t t

yt t t n

n

Ví dụ 3.3.6: Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y 4 8 13 16 20

Hãy tìm đa thức nội suy Newton ở cuối bảng của hàm số cho bởi bảng trên. Giải

Ta lập bảng sai phân y SP1 SP2 SP3 SP4 4 4

8 1 5 -3

13 -2 6 3 3

16 1 4

20

2 3 4

3 2 1 04 1 1 2 1 2 3

1! 2 ! 3 ! 3 !n

y y y yN t y t t t t t t t t t t

1 1

20 4 1 1 2 1 2 32 2

t t t t t t t t t t .

37

Bài 4. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Giả sử chúng ta có hai đại lượng x và y với các giá trị thực nghiệm (do quan sát hoặc làm thí nghiệm) thu được dưới dạng bảng như sau

x 1x 2x nx y 1y 2y ny

Chúng ta muốn xây dựng công thức cho hàm số y f x dựa trên giá trị thực nghiệm này. Rõ ràng, ta có thể sử dụng đa thức nội suy Lagrange hoặc Newton. Điều này xem ra không phải lúc nào cũng hợp lí, ít nhất là do hai nguyên nhân sau. Nguyên nhân thứ nhất là, khi các mốc nội suy khá lớn, các điểm nút lại quá sát nhau (đây là một đặc trưng tiêu biểu cho các bảng số nhận được bằng cách phép đo lặp lại nhiều lần) thì việc sử dụng đa thức bậc cao hoặc bậc nhỏ để nội suy từng khúc cũng trở nên rất phức tạp, số lượng tính toán rất lớn cho việc ứng dụng thực tế, nhất là các ứng dụng mang tính chất tổng hợp. Nguyên nhân thứ hai, quan trọng hơn, nằm ở chỗ các số liệu cho trong bảng số không phải lúc nào cũng chính xác, đặc biệt trong trường hợp đo đạc trong phòng thí nghiệm hay quan trắc ngoại hiện trường. Chẳng hạn khi ta đo đạc độ ẩm của không khí tại một địa điểm cố định nào đó theo thời gian trong năm để tìm ra qui luật biến động của độ ẩm theo tháng hay theo mùa thì các số đo không phải tuyệt đối chính xác, nhất là chúng không phải như nhau trong các năm khác nhau. Ngoài ra, trong nhiều phép đo, không chỉ yếu tố phụ thuộc có sai số mà yếu tố độc lập (biến số) cũng chịu sai số. Chẳng hạn khi đo độ nhớt của một chất lỏng ở cùng nhiệt độ nhưng dưới áp suất khác nhau thì không chỉ riêng gì độ nhớt có sai số mà cả nhiệt độ lẫn áp suất đều có sai số. Do đó, yêu cầu hàm xấp xỉ phải nhận đúng giá trị đã cho tại các mốc nội suy trở nên vô nghĩa Để khắc phục khó khăn trên, người ta đưa ra khái niệm xấp xỉ bình phương bé nhất. Phương pháp bình phương bé nhất khác với phương pháp nội suy truyền thống ở chỗ phương pháp bình phương bé nhất không yêu cầu hàm xấp xỉ (thường là đa thức) phải đi qua các mốc nội suy một cách chính xác và hàm mà nó dùng để xấp xỉ là một và chỉ một cho cả miền cần xấp xỉ, cho dù miền đó có lớn đến đâu chăng nữa. Nội dung phương pháp Trong mặt phẳng Oxy xét tập hợp các điểm

1,;i i i i n

A x y

với ,i ix y được cho trong bảng giá

trị trên. Thay vì xây dựng một hàm đi qua các điểm đã cho, chúng ta sẽ tìm một hàm f x “ càng

đơn giản càng tốt” sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của tập hợp điểm 1,

;i i i i nA x y

mà không

nhất thiết đi qua các điểm đó. Có nhiều phương pháp giải quyết vấn đề này, và một trong những

38

1A 2A

3A

2nA

1nA

nA

y f x

phương pháp như vậy là phương pháp bình phương bé nhất. Nội dung của phương pháp là tìm cực tiểu phiếm hàm

2

1

minn

i ii

H f f x y

Hình 3.4.1 Các dạng hàm số f x thường gặp trong thực tế là

1. y ax b

2. 2y ax bx c

3. bxy ae

4. by ax

3.4.1. Trường hợp y ax b

Vì các cặp số ;i ix y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác

định nghiệm đúng của phương trình y ax b .

Sai số tại ;i ix y là i i iy ax b .

Do vậy, 22

1 1

n n

i i ii i

S y ax b

là tổng bình phương các sai số.

Vấn đề đặt ra là ta cố gắng làm cho S nhỏ đến mức có thể. Rõ ràng, S là một hàm số theo hai biến ,a b . Chúng ta sẽ tìm ,a b để cực tiểu hàm S . Như vậy, ,a b cần phải thỏa hệ phương trình

1

1

2 0

2 0

n

i i iin

i ii

Sy b ax x

aS

y b axb

hệ trên tương đương với

39

2

1 1 1

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

x a x b x y

x a nb y

Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ phương trình trên luôn luôn có nghiệm duy nhất. Thật vậy, ta có:

22

21 1 2

1 1

1

0

n n

i i n n ni i

i i i jni i i j

ii

x x

D n x x x x

x n

Vậy hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất.

Hình 3.4.2

Ví dụ 3.4.1: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ y ax b và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 3 4 7 9 12 y 0 2 5 10 12 16

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 10y .

Giải Ta lập bảng sau:

x y 2x xy

1 0 1 0 3 2 9 6 4 5 16 20 7 10 49 70 9 12 81 108

12 16 144 192

36 45 300 396

1A

2A

3A 2nA

nA

1nA

y ax b

40

Từ hệ bảng trên ta được hệ phương trình sau: 300 36 396

36 6 45

a b

a b

Giải hệ ta được 1,5

1, 5

a

b

Vậy hàm số y f x có dạng 1,5 1, 5y x

Khi đó ta nhận được 10 1,5.10 1,5 13, 5y .

3.4.2. Trường hợp 0bxy ae a

Bằng cách logarit hai vế của đẳng thức bxy ae ta được

ln ln ln ln lnbx bxy ae a e a bx

Đặt ln ,Y y A b và lnB a thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng Y Ax B

Vậy bài toán xác định các hệ số ,a b của hàm số bxy ae được chuyển về bài toán xác định

các hệ số ,A B của hàm số Y Ax B .

Cho ,x y có quan hệ bxy ae với bảng giá trị

x 1x 2x nx y 1y 2y ny

Ta lập bảng mới

x 1x 2x nx

lnY y 1lny 2lny ln ny

Từ bảng trên, bằng phương pháp trong mục 3.5.1, ta tìm được A và B . Từ đó, ta xác định được a và b dựa vào đẳng thức Ba e và b A .

Hinh 3.4.3

1A

2A

3A

2nA 1nA

nA

bxy ae

41

Ví dụ 3.4.2: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ bxy ae và bảng số liệu thực nghiệm

sau: x 1,1 3,2 5,1 7,7 9,6 12,2 y 3,1 29,9 65,7 100,4 195,7 300, 4

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 10,2y .

Giải Ta lập bảng:

x y lnY y 2x xY 1,1 3,1 1,1314 1,21 1,2445 3,2 29,9 3,3978 10,24 10,8730 5,1 65,7 4,1851 26,01 21,3440 7,7 100,4 4,6092 59,29 35,4908 9,6 195,7 5,2766 92,16 50,6554 12,2 300,4 5,7051 148,84 69,6022

38,9 24,3052 337,75 189,2099

Từ bảng trên ta được hệ phương trình

337,75 38,9 189,2099

38,9 6 24,3052

A B

A B

Giải hệ ta được 0, 36970, 3697

5.22681,6538

bA

aB

Vậy hàm số y f x có dạng 0,36975.2268 xy e

Ta tính được 0,3697.10,210,2 5.2268 226,6569y e

3.4.3. Trường hợp 0by ax a

Logarit hai vế của đẳng thức by ax ta được:

ln ln ln ln ln lnb by ax a x a b x

Đặt ln , ln ,Y y X x A b và lnB a thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng

Y AX B Vậy bài toán xác định hệ số ,a b của hàm số by ax có thể chuyển về bài toán xác định hệ số

,A B của hàm số Y AX B

Cho ,x y có quan hệ by ax với bảng giá trị:

42

1A

2A3A

2nA

1nA

nA by ax

x 1x 2x nx y 1y 2y ny

Ta lập bảng:

Từ bảng trên, ta tìm được A và B . Từ đó, ta xác định được a và b dựa vào đẳng thức Ba e và b A .

Hình 3.4.4

Ví dụ 3.4.3: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ by ax và bảng số liệu thực nghiệm sau

x 1,1 3,2 5,1 7,7 9,6 12,2 y 3,1 29,9 65,7 100,4 195,7 300, 4

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 11, 4y .

Giải Ta lập bảng:

x y lnX x lnY y 2X XY 1,1 3,1 0,0953 1,1314 0,0091 0,1078 3,2 29,9 1,1632 3,3979 1,3530 3,9524 5,1 65,7 1,6292 4,1851 2,6543 6,8184 7,7 100,4 2,0412 4,6092 4,1665 9,4083 9,6 195,7 2,2618 5,2766 5,1157 11,9346 12,2 300,4 2,5014 5,7051 6,2570 14,2707

9,6921 24,3053 19,5556 46,4922

lnX x 1lnx 2lnx ln nx

lnY y 1lny 2lny ln ny

43

Từ bảng trên ta được hệ phương trình 19,5556 9, 6921 46, 4922

9,6921 6 24, 3053

A B

A B

Giải hệ phương trình ta được 1, 8542621, 854262

2,8736991,055600

bA

aB

Vậy hàm số y f x có dạng 1,8542622, 873699y x

Từ hệ thức trên ta tính được 11, 4 261,950831f .

3.4.4. Trường hợp 2y ax bx c

Vì các cặp số ;i ix y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác

định nghiệm đúng của phương trình 2y ax bx c .

Sai số tại mỗi điểm ;i ix y là 2i i i iy c bx ax .

Do vậy, tổng bình phương các sai số là 22 2

1 1

n n

i i i ii i

S y c bx cx

.

Vấn đề đặt ra là ta cố gắng làm cho S nhỏ đến mức có thể. Rõ ràng, S là một hàm số theo ba biến , ,a b c . Chúng ta sẽ tìm , ,a b c để cực tiểu hàm S . Như vậy, , ,a b c cần phải thỏa hệ phương trình:

2 2

1

2

1

2

1

2 0

2 0

2 0

n

i i i iin

i i i iin

i i ii

Sy c bx ax x

aS

y c bx ax xbS

y c bx axc

Hệ phương trình trên tương đương với

4 3 2 2

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1 1

n n n n

i i i i ii i i i

n n n n

i i i i ii i i i

n n n

i i ii i i

x a x b x c x y

x a x b x c x y

x a x b nc y

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được , ,a b c

44

1A

2A 3A

2nA

1nA

nA2y ax bx c

Hình 3.4.5

Ví dụ 3.4.4: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2y ax bx c và bảng số liệu thực

nghiệm sau: x 1 2 4 8 11 13 y 0 2 11 13 30 50

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 12y .

Giải Ta lập bảng:

x y 2x 3x 4x xy 2x y

1 0 1 1 1 0 0 2 1 4 8 16 2 4 4 11 16 64 256 44 176 8 13 64 512 4096 104 832

11 30 121 1331 14641 330 3630 13 50 169 2197 28561 650 8450

39 105 375 4113 47571 1130 13092

Từ bảng trên ta được hệ phương trình

Giải hệ ta được

47571 4113 375 13092

4113 375 39 1130

375 39 6 105

a b c

a b c

a b c

45

0, 348607

1,124207

3, 019404

a

b

c

Vậy hàm số y f x có dạng 20, 348607 1,124207 3, 019404y x x

Ta tính được 12 39, 728328y .

Nhận xét 3.4.1: Ta có thể mở rộng lên trường hợp 11 1 0...m m

m my a x a x a x a với

m n . Cách làm hoàn toàn tương tự, xin nhường cho bạn đọc. Sau đây ta xét một số hàm số dạng khác cũng hay gặp trong bài toán bình phương bé nhất tuy ít phổ biến hơn các dạng trên

3.4.5. Trường hợp cos siny a b x c x

Sai số tại mỗi điểm ;i ix y là cos sini i i iy a b x c x .

Do vậy, tổng bình phương các sai số là 22

1 1

cos sinn n

i i i ii i

S y a b x c x

.

Ta thấy S là một hàm số theo ba biến , ,a b c . Chúng ta sẽ tìm , ,a b c để cực tiểu hàm S . Như

vậy, , ,a b c cần phải thỏa hệ phương trình:

1

1

1

2 cos sin 0

2 cos sin cos 0

2 cos sin sin 0

n

i i iin

i i i iin

i i i ii

Sy a b x c x

aS

y a b x c x xbS

y a b x c x xc

Hệ phương trình trên tương đương với

1 1 1

2

1 1 1 1

2

1 1

cos sin

cos cos cos sin cos

sin cos sin sin

n n n

i i ii i i

n n n n

i i i i i ii i i i

n n

i i i ii i

na x b x c y

x a x b x x c y x

x a x x b x

1 1

sinn n

i ii i

c y x

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được , ,a b c .

46

cos siny a b x c x

Hình 3.4.6 Ví dụ 3.4.5: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ cos siny a b x c x và bảng số

liệu thực nghiệm sau: x 1 2 4 8 11 13 y 0 2 5 4 6 2

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất.

Giải Ta lập bảng:

x y cosx sinx 2cos x 2sin x cos sinx x cosy x siny x

1 0 0,5403 0,8415 0,2919 0,7081 0,4547 0 0 2 2 -0,4161 0,9093 0,1732 0,8268 -0,3783 -0,8322 1,8186 4 5 0,6536 0,7568 0,4272 0,5728 0,4946 3,2680 3,7840 8 4 -0,1455 0,9894 0,0212 0,9788 -0,1440 0,5820 3,9576

10 6 -0,8391 -0,5440 0,7041 0,2959 0,4565 -5,0346 -3,2640 13 2 0,9074 0,4202 0,8234 0,1766 0,3813 1,8148 0,8404

19 1,5328 3,3732 2,4410 3,5590 1,2648 -0,2022 7,1366

Từ bảng trên ta có hệ

6 1,5328 3, 3732 19

1,5328 2, 4410 1,2648 -0,2022

3,3732 1,2648 3,5590 7,1366

a b c

a b c

a b c

Giải hệ phương trình trên ta được

47

4, 621716

2,150223

1,611062

a

b

c

Vậy hàm số y f x có dạng 4,621716 2,150223 cos 1, 611062 siny x x

3.4.6. Trường hợp y ag x bh x với ,g x h x là các hàm số liên tục cho trước.

Vì các cặp số ;i ix y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác

định nghiệm đúng của phương trình y ag x bh x .

Sai số tại ;i ix y là i i i iy ag x bh x .

Do vậy, 21

n

i i ii

S y ag x bh x

là tổng bình phương các sai số.

Ta thấy S là một hàm số theo hai biến ,a b . Chúng ta sẽ tìm ,a b để cực tiểu hàm S . Như vậy,

,a b cần phải thỏa hệ phương trình

1

1

2 0

2 0

n

i i i iin

i i i ii

Sy ag x bh x g x

aS

y ag x bh x h xb

Hệ trên tương đương với

2

1 1 1

2

1 1 1

n n n

i i i i ii i i

n n n

i i i i ii i i

g x a g x h x b g x y

g x h x a h x b h x y

Giải hệ trên ta tìm được các hệ số ;a b .

Ví dụ 3.4.6: Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 1 ln 1xy a e b x và bảng

số liệu thực nghiệm sau: x 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 y 0 2 4 6 8

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất.

Giải Đặt 1; ln 1xg x e h x x

Ta lập bảng

48

x y g x h x 2g x 2h x g x h x g x y h x y

1,1 0 2,004 0,742 4,017 0,550 1,487 0,000 0,000 1,3 2 2,669 0,833 7,125 0,694 2,223 5,338 1,666 1,5 4 3,482 0,916 12,122 0,840 3,190 13,928 3,664 1,7 6 4,474 0,993 20,016 0,987 4,444 26,844 5,958 1,9 8 5,686 1,065 32,329 1,134 6,054 45,488 8,520

75,609 4,205 17,398 91,598 19,808

Từ bảng trên ta được hệ phương trình

75,609 17,398 91,598

17, 398 4,205 19,808

a b

a b

Giải hệ phương trình trên ta được

2,660

6,294

a

b

Vậy hàm số y f x có dạng 2,66 1 6,294 ln 1xy e x

49

Chương 4. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

Bài 1. CÔNG THỨC NEWTON – COTES

Rất nhiều vấn đề về khoa học, kĩ thuật dẫn đến việc tính tích phân

b

a

f x dx với f x là một

hàm phức tạp hoặc f x là một hàm mà nguyên hàm của nó không thể biểu diễn qua các hàm đơn

giản đã biết (chẳng hạn 4

3 1

1 0 1

sin, , ,...

ex xx

dx e dx x dxx ) hoặc hàm f x chỉ được cho bằng bảng. Vì

thế vấn đề tính gần đúng tích phân

b

a

f x dx được đặt ra là tự nhiên.

Một trong những phương pháp thường được sử dụng để tính gần đúng tích phân

b

a

f x dx là

sử dụng công thức Newton – Cotes. Nội dung của phương pháp Newton – Cotes là xấp xỉ hàm f x trên đoạn ;a b bởi đa thức

nội suy Lagrange. Xét một phép phân hoạch đều trên đoạn ;a b bởi các mốc , 0,ix i n . Khi đó ta

có các kết quả sau

0

1 0 2 1 1

0

,

...

, 0,

n

n n

i

x a x b

b ax x x x x x h

nx x ih i n

Từ đây ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều nL x . Ta xấp xỉ hàm số

f x bằng đa thức nL x trên đoạn ;a b . Khi đó *

b b

n

a a

I f x dx I L x dx .

Hình 4.1.1

y f x

ny L x

50

Dùng phép đổi biến 0x x th ta thu được

0

*b n

n i iia

I L x dx b a H y

(*)

với , 0,i iy f x i n và

0

1 1 ..., 0,

. !

nn i in

i

C t t t nH dt i n

n n t i

Công thức (*) được gọi là công thức Newton – Cotes, các hệ số iH được gọi là các hệ số

Cotes. Các hệ số Cotes không phụ thuộc vào hàm số y f x hoặc độ dài bước h , vì vậy thường

được tính sẵn. Dưới đây là bảng hệ số Cotes, ứng với 1,2, 3, 4, 5, 6n .

n 0H 1H 2H 3H 4H 5H 6H

1 0,5000 0,5000 2 0,1667 0,6667 0,1667 3 0,1250 0,3750 0,3750 0,1250 4 0,0778 0,3556 0,1333 0,3556 0,0778 5 0,0660 0,2604 0,1736 0,1736 0,2604 0,0660 6 0,0488 0,2571 0,0321 0,3238 0,0321 0,2571 0,0488

Ví dụ 4.1.1: Tính tích phân 1

3

0

11

I dxx

theo công thức Newton – Cotes với 4n .

Giải Ta lập bảng

i ix iy iH i iH y

0 0,00 1,000 0,0778 0,0778

1 0,25 0,9846 0,3556 0,3501

2 0,50 0, 8889 0,1333 0,1185

3 0,75 0,7033 0,3556 0,2501

4 1,00 0,500 0,0778 0,0389

Áp dụng (*) ta được

1 4

300

11 0 0, 8354

1 i ii

I dx y Hx

.

Ví dụ 4.1.2: Tính tích phân 1,5 2 1

20,3

xe xI dx

x x

bằng công thức Newton – Cotes với 6n .

51

Giải Ta lập bảng

i ix iy iH i iH y

0 0,3 13,4693 0,0488 0,6573 1 0,5 10,5187 0,2571 2,7044 2 0,7 9,8514 0,0321 0,3162 3 0,9 10,1431 0,3238 3,2843 4 1,1 11,0963 0,0321 0,3562 5 1,3 12,6750 0,2571 3,2587 6 1,5 14,9595 0,0488 0,7300

Khi đó ta được

6

0

1,5 0, 3 13,5685i ii

I y H

Ước lượng sai số của công thức Newton – Cotes

Cho hàm số f x thuộc lớp 1;na bC (lớp các hàm số có đạo hàm cấp 1n liên tục trên ;a b ).

Theo kết quả chương 3 ta có

0 1 ... , ;1 ! 1 !n n

M Mf x L x x x x x x x x x a b

n n

với

1

;max n

x a bM f x

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra

0 1 ...1 !

b b

n n

a a

Mf x L x dx x x x x x x dx

n

Ta đã biết

*b b

n n

a a

f x L x dx f x L x dx I I

20 1

0

... 1 2 ...b n

nn

a

x x x x x x dx h t t t t n dt

Từ đây, ta có đánh giá

2

0

* 1 ...1 !

nnMhI I t t t n dt

n

.

52

Ví dụ 4.1.3: Tính tích phân 1,2 3

0,21

xI dx

x

bằng công thức Newton – Cotes với 5n .

Đánh giá sai số kết quả đó. Giải Ta lập bảng

i ix iy iH i iH y

0 0,2 0,0067 0,0660 0,0004 1 0,4 0,0457 0,2604 0,0119 2 0,6 0,1350 0,1736 0,0234 3 0,8 0,2844 0,1736 0,0494 4 1,0 0,5000 0,2604 0,1302 5 1,2 0,7855 0,0660 0,0518

Sử dụng kết quả của bảng trên ta đươc

5

0

1,2 0,2 0,2671i ii

I y H

Ước lượng sai số

57

0

* 1 2 3 4 56!

MhI I t t t t t t dt

Trong đó,

670,2;1,2

6!0,2; max 200,9388

1,2xh M f x

và

5

0

24591 2 3 4 5

84t t t t t t dt

Từ đây ta suy ra * 0, 000105I I

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt của công thức Newton – Cotes

53

Bài 2. CÔNG THỨC HÌNH THANG 4.2.1. Công thức hình thang

Xét tích phân

b

a

I f x dx . Áp dụng công thức Newton – Cotes với 1n ta được

1

0 10 0 1 1

0 2

b

i iia

y yI f x dx b a y H b a y H y H h

(4.2.1)

Công thức (4.2.1) được gọi công thức hình thang

Hình 4.2.1 Ước lượng sai số Từ công thức ước lượng sai số của công thức Newton – Cotes ta suy ra

13 3

0

* 12 12

Mh MhI I t t dt với

;maxx a b

M f x

Ví dụ 4.2.1: Tính tích phân 1,6 2

3 2

1,3

ln 1x

x xI dx

e x

bằng công thức hình thang (không đánh

giá sai số) Giải

Đặt 2

3 2

ln 1x

x xf x

e x

và 0, 3h b a . Áp dụng công thức hình thang ta được

0 1 1, 3 1, 6 0, 049379 0, 0283350, 3 0, 3 0, 011657

2 2 2f fy y

I h

.

y f x

0A

1A

h

54

Nhận xét 4.2.1: Trong thực tế công thức (4.2.1) ít khi được sử dụng trực tiếp vì sai số khá lớn. Ở đây người ta thường chia đoạn ;a b thành các đoạn nhỏ, sau đó áp dụng công thức hình thang trên

mỗi đoạn nhỏ đó. Phương pháp tính tích phân như thế được gọi là phương pháp hình thang mở rộng.

4.2.2. Công thức hình thang mở rộng

Để tính tích phân

b

a

f x dx ta chia đoạn ;a b thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia:

0 1 2 1... n na x x x x x b . Khi đó ta có các kết quả

0

1 0 2 1 1

0

,

...

, 0,

n

n n

i

x a x b

b ax x x x x x h

nx x ih i n

Từ đây ta thu được

1

10 1 1

0 0

2 ...2 2

i

i

xb n ni i

n ni ia x

y y hI f x dx f x dx h y y y y

Công thức trên được gọi là công thức hình thang mở rộng

Hình 4.2.2

Ví dụ 4.2.2: Tính tích phân 1,2 2

20,2

1sin 1

xI dx

x

bằng công thức hình thang mở rộng với

10n . Giải

0A

1A

1nA nA

h

y f x

55

Đặt

2

2

1sin 1

xf x

x

và 0,1h . Ta lập bảng

i x y f x

0 0,2 1,000510 1 0,3 1,002454 2 0,4 1,007253 3 0,5 1,016385 4 0,6 1,031224 5 0,7 1,052991 6 0,8 1,082794 7 0,9 1,121715 8 1,0 1,170910 9 1,1 1,231712

10 1,2 1,305723

Áp dụng công thức hình thang mở rộng ta được

0 10 1 2 92 ... 1, 0870552h

I y y y y y .

Ví dụ 4.2.3: Cho hàm số y f x liên tục và có bảng giá trị sau

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 f x 1,2345 1,4578 1,6717 1,8009 1,6789 1,4767 1,3223 1,2347

Tính gần đúng tích phân

0,7

0

I f x dx

Giải Ta sẽ áp dụng công thức hình thang mở rộng với 7n để tính I . Ta có

0,7

0 1 6 7

0

2 ... 1, 0642902h

I f x dx y y y y

Ước lượng sai số

Ta đặt * 10 1 12 ... ; , 0, 1

2 2i i

ht n n i

y yhI y y y y I h i n

Nhận thấy rằng 1

*

0

n

ht ii

I I

Khi đó ta có

56

11*

0

i

i

xn

ht ii x

I I f x dx I

Theo phần ước lượng sai số công thức hình thang ta có

1 3* , 0, 1

12

i

i

x

ii

x

M hf x dx I i n

với 1;

maxi i

i x x xM f x

Ta suy ra

23 31

0 12 12 12

ni

hti

b a MhM h nMhI I

với

;maxx a b

M f x

Nhận xét 4.2.2: Dựa vào công thức đánh giá sai số ta có thể tìm ra số đoạn cần phải chia để khi áp dụng công thức hình thang mở rộng sai số không vượt quá số cho trước. Thật vậy, ta cho

2

3

12

12

ht

b a MhI I

b a Mn

Ví dụ 4.2.4: Xét tích phân 2

2

1

xI e dx

a. Tính gần đúng I bằng công thức hình thang mở rộng với 8n (đánh giá sai số) b. Phải chia đoạn 1; 3 thành ít nhất bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi dùng công thức hình

thang mở rộng sai số không vượt quá 610 . Giải

a. Đặt 2xf x e và 2 1

0,1258

h

. Ta lập bảng

i x y f x

0 1,000 2,718282 1 1,125 3,545308 2 1,250 4,770733 3 1,375 6,623507 4 1,500 9,487736 5 1,625 14,021965 6 1,750 21,380943 7 1,875 33,636944 8 2,000 54,598150

Áp dụng công thức hình thang mở rộng ta được

57

0 1 7 82 ... 15,2656692h

I y y y y

Tiếp theo ta đánh giá sai số của kết quả vừa tìm được. Ta có

2

2 2 22 2

2

2 4 2 1 2

x

x x x

f x xe

f x e x e e x

Ta suy ra

1;2

max 2 982,767x

M f x f

. Do đó

2 22 1 .982,767.0,1251,279645

12 12ht

b a MhI I

b. Gọi n là số đoạn ít nhất cần phải chia. Theo công thức ước lượng sai số ta có

2 222 1 .982,767.

81, 89725012 12ht

b a Mh hI I h

Ta cho 2 6

6

2

6

81, 897250 10

1 1081, 897250

81, 8972509050

10

h

n

n

Ta lấy 9050n thì yêu cầu đề bài được thỏa.

58

Bài 3. CÔNG THỨC SIMSON MỘT PHẦN BA

4.3.1. Công thức Simson một phần ba

Xét tích phân

b

a

I f x dx . Áp dụng công thức Newton – Cotes với 2n ta được

2

0 0 1 1 2 20

i ii

I b a y H b a y H y H y H

Ta đã biết 0 2 1

1 2;

6 3H H H và

2b a

h

. Ta suy ra

0 1 2* 43h

I I y y y (4.3.1)

Công thức (4.3.1) được gọi là công thức Simson một phần ba

Hình 4.3.1

Ví dụ 4.3.1: Tính tích phân 1,5 2 2

21

sin 2

tan 3

x xI dx

x

bằng công thức Simson một phần ba.

Giải

Ta đặt 2 2

2

sin 2

tan 3

x xf x

x

và 0,25

2b a

h

.

Áp dụng công thức Simson một phần ba ta được

0 1 2

0,254 0, 351911 4.0,130963 0,006304 0,073506

3 3h

I y y y

Ước lượng sai số Từ công thức ước lượng sai số của công thức Newton – Cotes ta suy ra

0A

1A

2A

h

59

24 4

0

* 1 26 12

Mh MhI I t t t dt với

3

;maxx a b

M f x

(4.3.2)

Trong thực tế để đánh giá sai số của công thức Simson một phần ba, người ta dùng công thức sau đây do nhà toán học Simson tìm ra

5

*90

MhI I với

4

;maxx a b

M f x

(4.3.3)

Công thức (4.3.3) đánh giá sai số tốt hơn công thức (4.3.2) rất nhiều.

Ví dụ 4.3.2: Tính tích phân 1 2

0,61

xI dx

x

bằng công thức Simson một phần ba (có đánh giá

sai số). Giải

Ta đặt

2

1x

f xx

và 1 0, 60,2

2h

.

Áp dụng công thức Simson một phần ba ta được

0 1 2

0,24 0,225 4.0, 355556 0,5 0,143148

3 3h

I y y y

Ta tiến hành đánh giá sai số kết quả trên.

5

*90

MhI I với

4

0,6;10,2; max 2,289

xh M f x

Ta suy ra

55 2,289. 0,2* 0, 000008

90 90Mh

I I .

4.3.2. Công thức Simson một phần ba mở rộng

Để tính tích phân

b

a

f x dx ta chia đoạn ;a b thành 2n m đoạn bằng nhau bởi các điểm

chia 0 1 2 2 1 2... m ma x x x x x b . Khi đó ta có các kết quả

0 2

1 0 2 1 2 2 1

0

,

...2

, 0,2

m

m m

i

x a x b

b ax x x x x x h

mx x ih i m

Từ đây ta thu được

2 2

2

1 1

2 2 1 2 20 0

0 2 4 2 2 1 3 2 1 2

43

2 ... 4 ...3

i

i

xb m m

i i ii ia x

m m m

hI f x dx f x dx y y y

hy y y y y y y y

(4.3.4)

60

Công thức (4.3.4) được gọi là công thức Simson một phần ba mở rộng

Hình 4.3.2 Ước lượng sai số

Ta đặt 1 0 0 1 23

2 43 m

hI y y với

1 1

0 2 1 2 10 0

;m m

i ii i

x x

Nhận thấy rằng 1

*1

03

m

ii

I I

với *2 2 1 2 24 , 0, 1

3i i i i

hI y y y i m

Khi đó ta có

2 2

2

1*

103

i

i

xm

ii x

I I f x dx I

Theo phần ước lượng sai số công thức Simson một phần ba ta có

2 2

2

5* , 0, 1

90

i

i

x

ii

x

M hf x dx I i m

với 2 2 2

4

;max

i ii x x x

M f x

Ta suy ra

45 51

103 90 90 180

mi

i

b a MhM h mMhI I

với

4

;maxx a b

M f x

Ví dụ 4.3.3: Tính tích phân 2

1

ln 2 1I x dx bằng công thức Simson một phần ba mở

rộng với 10n , có đánh giá sai số. Giải

Đặt ln 2 1f x x và 0,1b a

hn

. Ta lâp bảng

1A1A

0A

2A

3A 4A

2nA

1nA nA

1A

61

i x y f x

0 1,0 1,098612 1 1,1 1,163151 2 1,2 1,223775 3 1,3 1,280934 4 1,4 1,335001 5 1,5 1,386294 6 1,6 1,435085 7 1,7 1,481605 8 1,8 1,526056 9 1,9 1,568616

10 2,0 1,609438

Áp dụng công thức Simson một phần ba mở rộng ta được

0 0 1 102 4 1, 3756763h

I y y

Ta tiến hành đánh giá sai số kết quả trên

4

13 180

b a MhI I

với

4

1;21; 0,1; max 1,580247

xb a h M f x

Ta suy ra

46

13

10180

b a MhI I

62

Bài 4. CÔNG THỨC SIMSON BA PHẦN TÁM

4.4.1. Công thức Simson một ba phần tám

Xét tích phân

b

a

I f x dx . Áp dụng công thức Newton – Cotes với 3n ta được

3

0 0 1 1 2 2 3 30

i ii

I b a y H b a y H y H y H y H

Ta đã biết 0 3 1 2

1 3;

8 8H H H H và

3b a

h

. Ta suy ra

0 1 2 3

3* 3 3

8h

I I y y y y (4.4.1)

Công thức (4.4.1) được gọi là công thức Simson ba phần tám

Hình 4.4.1

Ví dụ 4.4.1: Tính tích phân 0,6

20,3

1

x

x

e xI dx

e

bằng công thức Simson ba phần tám

Giải

Đặt 2 1

x

x

e xf x

e

và 0, 6 0, 30,1

3h

. Ta lập bảng

i x y f x

0 0,3 0,584617 1 0,4 0,586514 2 0,5 0,577880 3 0,6 0,560660

0A

1A2A

3A

h

63

Áp dụng công thức Simson ba phần tám ta được

0 1 2 3

33 3 0,173942

8h

I y y y y

Ước lượng sai số Từ công thức ước lượng sai số của công thức Newton – Cotes ta suy ra

35 5

0

49* 1 2 3

24 720Mh Mh

I I t t t t dt với

4

;maxx a b

M f x

Trong thực tế để đánh giá sai số của công thức Simson ba phần tám người ta dùng công thức sau (đánh giá tốt hơn công thức trên)

53

*80Mh

I I

Ví dụ 4.4.2: Tính tích phân 1,8

1,2

13 2x

I dxx

bằng công thức Simson ba phần tám, có đánh

giá sai số. Giải

Đặt 1

3 2x

f xx

và 0,2h . Ta lập bảng

i x y f x

0 1,2 0,392857 1 1,4 0,387097 2 1,6 0,382353 3 1,8 0,378378

Áp dụng công thức Simson ba phần tám ta được

0 1 2 3

33 3 0,230969

8h

I y y y y

Ta tiến hành đánh giá sai số. Ta có

53

*80Mh

I I với

4

1,2;1,80,2; max 0,117662

xh M f x

Ta suy ra 6* 10I I

4.4.2. Công thức Simson ba phần tám mở rộng

64

Để tính tích phân

b

a

f x dx ta chia đoạn ;a b thành 3n m đoạn bằng nhau bởi các điểm

chia 0 1 2 3 1 3... m ma x x x x x b . Khi đó ta có các kết quả

0 3

1 0 2 1 3 3 1

0

,

...3

, 0, 3

m

m m

i

x a x b

b ax x x x x x h

mx x ih i m

Từ đây ta thu được

3 3

3

1 1

3 3 1 3 2 3 30 0

0 0 1 3

33 3

8

32 3

8

i

i

xb m m

i i i ii ia x

m

hI f x dx f x dx y y y y

hy y

(4.4.2)

với 1 1

0 3 1 3 1 3 21 0

;m m

i i ii i

y y y

Công thức (4.4.2) được gọi là công thức Simson ba phần tám mở rộng

Hình 4.4.2 Ước lượng sai số

Ta đặt 3 0 0 1 38

32 3

8 m

hI y y với

1 1

0 3 1 3 1 3 21 0

;m m

i i ii i

x x x

Nhận thấy rằng 1

*3

08

m

ii

I I

với *3 3 1 3 2 3 3

33 3 , 0, 1

8i i i i i

hI y y y y i m

0A

1A2A

3A

3nA

2nA

nA

1nA

h

65

Khi đó ta có

3 3

3

1*

308

i

i

xm

ii x

I I f x dx I

Theo phần ước lượng sai số công thức Simson ba phần tám ta có

3 3

3

5* 3

, 0, 180

i

i

x

ii

x

M hf x dx I i m

với 3 3 3

4

;max

i ii x x x

M f x

Ta suy ra

45 51

308

3 380 80 80

mi

i

b a MhM h m MhI I

với

4

;maxx a b

M f x

Ví dụ 4.4.3: Tính tích phân 2,2

21

2 33 2

xI dx

x x

bằng công thức Simson ba phần tám mở

rộng với 6n , có đánh giá sai số Giải

Đặt 2

2 33 2

xf x

x x

và 2,2 10,2

6h

. Ta lập bảng

i x y f x

0 1,0 0,833333 1 1,2 0,767045 2 1,4 0,710784 3 1,6 0,662393 4 1,8 0,620301 5 2,0 0,583333 6 2,2 0,550595

Áp dụng công thức Simson ba phần tám mở rộng ta được

0 0 1 6

32 3 0,806830

8h

I y y

Ta tiến hành đánh giá sai số

4

38 80

b a MhI I

với 1,2; 0,2; 0, 849b a h M

Ta suy ra

38

0, 000020I I

66

Chương 5. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Bài 1. MỞ ĐẦU

Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân thường (chẳng hạn như bài toán tính vận tốc của một vật thể khi biết độ dài quãng đường trong những khoảng thời gian khác nhau, bài toán tính toán cường độ dòng điện theo điện lượng). Có nhiều trường hợp nghiệm đúng của phương trình vi phân không thể tìm ra được.

Bởi vậy để tìm nghiệm của chúng phải áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau. Các phương pháp có thể chia làm hai nhóm: Nhóm thứ nhất được gọi là phương pháp giải tích,

nhóm thứ hai được gọi là phương pháp số. Các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng một biểu thức giải tích Các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng. Dưới đây, ta chỉ giới thiệu một phương pháp giải tích thường dùng gọi là phương pháp lặp

đơn, và một số phương pháp số (bao gồm phương pháp Euler, Euler cải tiến, Rung - Kutta).

67

Bài 1. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

0 0

,dy

y f x ydx

y x y

(*)

Giả sử ,f x y là hàm liên tục trên 0 0 0 0, ,D x a x a y b y b

Khi đó bài toán giá trị ban đầu ở trên tương đương với phương trình tích phân

0

0 ,x

x

y x y f s y s ds

Ta thiết lập dãy

0

0 0

1 0 , , 0x

k k

x

y x y

y x y f s y s ds k

(**)

Sau đây, ta xem xét một số điều kiện để dãy trên hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trình vi phân (*)

Định lí 5.1.1: Giả sử hàm số ,f x y liên tục trong D và trên đó thỏa mãn điều kiện Lipschitz

theo biến thứ hai, tức là

1 2 1 2 1 2 0 0 0 0, , , , , , ,f x y f x y L y y y y y b y b x x a x a

ngoài ra, giả sử

,

max , , min ,x y D

bM f x y h a

M

.

Khi đó dãy các xấp xỉ (**) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất của phương trình (*) trên 0 0,x h x h .

Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức

1* 0 , 0

1 !

kk

k

x xy x y x L M k

k

với *y x là nghiệm đúng của (*)

Ví dụ 5.1.1: Giải phương trình vi phân 4y x y bằng phương pháp lặp đơn với 0 0y .

Giải Hàm 4,f x y x y liên tục trên toàn mặt phẳng nên ,a b có thể chọn tùy ý.

Chọn 0 0y x thì xấp xỉ đầu tiên xác định

68

5

41 0 0

0 0

,5

x xx

y x y f s y s ds s ds

Tương tự

5 5 64

2 0 1

0 0

5 6 5 6 74

3 0 2

0 0

5 6 7 5 6 7 84

4 0 3

0 0

,5 5 30

,5 30 5 30 210

,5 30 210 5 30 210 1680

x x

x x

x x

s x xy x y f s y s ds s ds

s s x x xy x y f s y s ds s ds

s s s x x x xy x y f s y s ds s ds

Chúng ta sẽ ước lượng sai số của 4y x

Chọn 0,5a b . Ta có:

4

, ,

'

,

max , max 0,5625

max , 1

0, 5min , min 0, 5, 0, 5

0, 5625

x y G x y G

yx y G

M f x y x y

L f x y

bh a

M

với 0,5; 0, 5 0, 5;0,5G

Do vậy trên đoạn 0, 5;0, 5 ta có

5 5*

4

0 0, 50, 5625. 0, 000146

5! 5 !n x

y x y x L M

.

69

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 5.2.1. Phương pháp Euler

Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

0 0

,dy

y f x ydx

y x y

(*)

Giả sử hàm số hai biến ,f x y có đạo hàm riêng bậc m liên tục theo hai biến ,x y trên

0 0 0 0, , ; ; , 0D x x a y b y b m a b .

Lấy đạo hàm (*) theo biến x ta có

2

, ,

, 2 , , ,

x y

xx xy yy y

y x f x y f x y y x

y x f x y f x y y x f x y y x f x y y x

Thay 0 0,x x y y ta nhận được dãy 0 0 0, , ,...y x y x y x

Với x đủ gần 0x chúng ta có thể tính giá trị gần đúng của nghiệm bài toán (*) theo công thức:

00

0 !

imi

i

y xy x x x

i

Trong trường hợp x ở xa 0x , chúng ta chia đoạn 0 0,x x a thành n đoạn bằng nhau

1, , 0, 1j jx x j n . Ta dễ dàng suy ra 1 , 0,j jx x h j n với a

hn

.

Giả sử ta tính được j jy x y

Ta đặt |j

i ij j j y yy y x

Sử dụng công thức

0 !

imij

j ji

yy x z x x x

i

(**)

với 1,j jx x x , thì 1jy sẽ được tính bởi 1 1j j jy z x

Chọn 1m thì (**) sẽ trở thành

1

1

,

, 0, 1

j j j j

j j

y y hf x y

h x x j n

(***)

Phương pháp số tính nghiệm gần đúng của (*) theo công thức (***) gọi là phương pháp Euler. Bây giờ ta xét sai số của phương pháp Euler.

70

Ta có 0

h

y x h y x y x s ds (1)

Dùng khai triển Taylor ta thấy rằng 2

0

h

y x s ds hy x O h thay vào (1) ta được

2

2,

y x h y x hy x O h

y x hf x y O h

Từ đây ta suy ra

21j jy y O h

5.2.2. Phương pháp Euler cải tiến: Để có được phương pháp số giải (*) với độ chính xác cao hơn phương pháp Euler, chúng ta cần xấp xỉ tích phân ở vế phải của (1) tốt hơn. Từ (1) sử dụng công thức hình thang ta được

3

02

hh

y x s ds y x y x h O h

Từ đây ta suy ra

3

02

hh

y x h y x y x s ds y x y x y x h O h

Thay 1,j jx x x h x ta có

1 1 1, ,2j j j j j j

hy y f x y f x y

(****)

Công thức (****) chính xác hơn công thức (***). Tuy nhiên vì vế phải của (****) có chứa

1jy do vậy tính được 1jy thì giải phương trình (****). Việc này khá khó khăn. Để giải quyết việc

đó, người ta thay 1jy ở vế phải của (****) bằng biểu thức

1 ,j j j jy y hf x y

Và dẫn đến việc tính 1jy theo các bước lặp

01

11 1 1

, 2

, , 32

0, 1; 1,2,...

j j j j

m mj i j j j j

y y hf x y

hy y f x y f x y

j n m

Như vậy để tính 1iy đầu tiên ta tính 1iy theo công thức (2) sau đó hiệu chỉnh theo công thức

(3). Quá trình lặp trong (3) sẽ dừng lại khi hai giá trị 1

kjy và 1

1k

jy gần nhau đến mức cần thiết, nghĩa

là 11 1

k kj jy y

71

Các công thức (2) và (3) được gọi là các công thức Euler cải tiến. Ví dụ 5.2.1:

Cho phương trình vi phân 0 1

y x y

y

với 0; 0, 5x .

Tính 0,25y với sai số không quá 310 .

Giải Với 0,25h ta có: 1 0 0,25x x h

Áp dụng công thức Euler cải tiến ta được

01 0 0 0

1 01 0 0 0 1 1

2 11 0 0 0 1 1

3 21 0 0 0 1 1

, 1 0,25 0 1 1,250000

, , 1, 3125002

, , 1, 3203132

, , 1, 3212892

y y hf x y

hy y f x y f x y

hy y f x y f x y

hy y f x y f x y

Ta thấy 3 2 4 31 1 9, 76.10 10y y

Chính vì thế, ta lấy 31 1 1, 321289y y .

72

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP RUNG-KUTTA

Nội dung cơ bản của phương pháp Rung-Kutta là để tăng độ chính xác của 1jy ta cần thêm

các điểm trung gian giữa jx và 1jx . Rung và Kutta đã đặt vấn đề như sau (để tiện cho việc viết, ta

cho 0j )

Đặt 1 0 0y y y và biểu diễn phần số gia ở dạng:

0 1 1 2 2 ... r ry c k h c k h c k h

với ic là các hằng số (sẽ xác định sau), ik h là các hàm số được xác định như sau:

0 0 1 1 1 1, ; ; ... , 1,i i i i i i i i i ik h hf x h y k k i r

trong đó i và ij là các hằng số xác định sau. Tiếp theo, ta lập hàm số biểu diễn sai số địa phương

ở dang:

* *0 1 0 0 0r h y x h y y x h y y

Bây giờ ta yêu cầu sai số địa phương có bậc là 1s , nghĩa là ta cần có:

10 0 ... 0 0; 0 0s sr r r r (*)

Từ đây ta suy ra 1 1s sr h O h

Vấn đề đặt ra là tìm các số , ,i i ijc để có s càng lớn càng tốt. Hệ phương trình để xác định

các hệ số đó được thu nhận từ điều kiện (*). Ta có: *

1

0 0 0r

m m mr i i

i

y c k

Từ đây và từ (*) ta nhận được hệ các đẳng thức:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

0 0 ... 0 0

0 0 ... 0 0

0 0 ... 0 0

r r

r r

s s s sr r

c k c k c k

c k c k c k y

c k c k c k y

(**)

Có tất cả 2 3 2

2r r ẩn số gồm các số , ,i i ijc . Ta hãy xem (**) tạo được bao nhiêu

phương trình. Dòng thứ nhất của (**) là một đẳng thức nên hiển nhiên nó không tạo ra phương trình nào. Dòng thứ hai, khi lấy 0h , cả hai vế chỉ chứa đại lượng 0 0,f x y nên nó tạo ra được một

phương trình. Dòng thứ ba, với 0h , hai vế đều chứa đại lượng 0 0,xf x y và 0 0 0 0, ,yf x y f x y

nên nó tạo ra được hai phương trình. Tương tự, ta có thể thấy dòng thứ 1 1m m s của (**)

73

có 1m phương trình. Do đó, số phương trình xác định hệ số trên có tất cả là 12

s s . So sánh số

ẩn và số phương trình, nếu ta lấy s r thì số phương trình nhiều hơn số ẩn và khi đó phương trình có thể vô nghiệm. Do mong muốn s càng lớn càng tốt nên khi đã cố định r , ta có thể lấy tối đa s r . Khi đó số ẩn sẽ nhiều hơn số phương trình là 1r . Vì thế, hệ phương trình (*) nói chung là có nghiệm, và không chỉ một nghiệm. 5.3.1. Công thức Rung-Kutta bậc hai: Xét trường hợp 2r , ta có:

1 0 0

2 0 2 0 21 1

0 1 1 2 2

,

,

k hf x y

k hf x h y k

y c k c k

Ta có bốn hệ số cần xác định là 1 2 2 21, , ,c c . Ta có một số kết quả như sau:

1 2

1 0 0 1

2 0 0

2 2 0 0 21 0 0 0 0

0 0 0

0 , ; 0 0

0 ,

0 2 , 2 , ,x y

k k

k f x y k

k f x y

k f x y f x y f x y

Từ (**) và các kết quả được tính bên trên ta được hệ phương trình

1 0 0 2 0 0 0 0

2 2 0 0 2 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 , 2 , ,

2 , 2 , , , , ,x y x y

c f x y c f x y f x y

c f x y c f x y f x y f x y f x y f x y

Rút gọn hệ trên ta nhận được

1 2

2 2

2 21

1

2 1

2 1

c c

c

c

Ba phương trình dùng để xác định bốn hệ số nên có nhiều hơn một bộ lời giải. Nếu ta lấy

1 0c thì ta sẽ có 2 2 21

11,

2c . Khi đó sơ đồ Rung-Kutta tương ứng như sau:

1 0 0

2 0 0 1

31 0 1 2

,

,

12

k hf x y

k hf x h y k

y y k k O h

5.3.2. Công thức Rung-Kutta bậc ba:

74

Bằng cách tương tự như trên, ta được sơ đồ Rung – Kutta bậc ba

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 1 2

41 0 1 2 3

,

1 1,

2 2, 2

14

6

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k k

y y k k k O h

5.3.3. Công thức Rung-Kutta bậc bốn: Có nhiều sơ đồ Rung – Kutta bậc bốn, nhưng sơ đồ sau đây thường được dùng nhất

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 2

4 0 0 3

51 0 1 2 3 4

,

1 1,

2 21 1

,2 2,

12 2

6

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k

k hf x h y k

y y k k k k O h

Ví dụ 5.3.1:

Cho phương trình vi phân 0 1

y x y

y

với 0;0, 5x .

Tính 0,25y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn

Giải Ta có: 1 0 0, 0,25 0 1 0,25k hf x y

2 0 0 1

1 1 0,25 1, 0,25 0 1 0,25 0, 3125

2 2 2 2k hf x h y k

3 0 0 2

1 1 0,25 0, 3125, 0,25 1 0, 320312

2 2 2 2k hf x h y k

4 0 0 3, 0,25 0,25 1 0, 320312 0, 392578k hf x h y k

1 0 1 2 3 4

12 2

61

1 0,25 2 0, 3125 2 0, 320312 0, 392578 1, 3180376

y y k k k k

75

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT 1. Giải các phương trình sau bằng phương pháp lặp với sai số không quá 410 a. 4 23 3 0x x có đoạn li nghiệm là 1,5;2,5 .

b. 3 1 0x x có đoạn li nghiệm là 1;2 .

c. 2 3 2 0xe x x có đoạn li nghiệm là 0,2; 0, 5 .

d. 2cos 2 3 1 0x x x x có đoạn li nghiệm là 1,2;1, 8 .

e.

6

4

1 16

1x x x

x

có đoạn li nghiệm 1;2 .

f. 3arctan 3 0x x có đoạn li nghiệm là 1;2 .

g. 2 3ln 1 cos 0x x x có đoạn li nghiệm là 1;1,2 .

h. 22

12 0

1x x

x

có đoạn li nghiệm là 1;2 .

2. Giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton với sai số không quá 410 a. 2 2 cos 6 0x xe x có đoạn li nghiệm là 1;2 .

b. ln 1 cos 1 0x x có đoạn li nghiệm là 1,3;2 .

c. 22 ln 0x x có đoạn li nghiệm là 1;2 và 2, 8; 4 .

d. sin 0xx e có đoạn li nghiệm là 0;1 , 3, 4 và 6;7 .

e. 2 3 4

1 2 3 45

1 1 1 1x x x x

có đoạn li nghiệm là 0;1 .

f. 5 22 3 4 0x x có đoạn li nghiệm là 1;2 .

g. 3ln 2 3 2 0x x x có đoạn li nghiệm là 1,5;2 .

h. 5 5 0x có đoạn li nghiệm là 1;2 , từ đó suy ra giá trị gần đúng của 5 5 .

j. 2 3arctan 1 0x x x có đoạn li nghiệm là 2;2,5

3. Cho phương trình 3 2 6 0x x có đoạn li nghiệm 2; 3

a. Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp (lặp 3 bước, đánh giá sai số ở bước 3) b. Tìm số bước lặp nhỏ nhất để nghiệm gần đúng có sai số không quá 1010 . 4. Cho phương trình 3 23 2 cos 10x x x có khoảng li nghiệm là 1, 3;2 .

a. Giải phương trình trên bằng phương pháp Newton (lặp 3 bước, đánh giá sai số ở bước 3) b. Tìm số bước lặp nhỏ nhất để chắc chắn nghiệm gần đúng có sai số không quá 1010 . Chương 2. GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

76

1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn (lặp 3 bước, đánh giá sai số ở bước 3)

a.

5 2 5

3 8 8

3 10 10

x y z

x y z

x y z

b.

10 10

2 20 21

3 16 18

x y z

x y z

x y z

c.

0, 5 0, 01 0,2 0, 4

0,2 0, 8 0,1 0, 98

0,2 2 3,2

x y z

x y z

x y z

d.

1,2 0,2 0, 3 2,1

4 2,1 2,2

0,2 0, 3 1, 6 1, 8

x y z

x y z

x y z

e.

10 2 3

2 30 5 4

4 20 19

5 3 25 24

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

f.

1,5 0 0,1 0,1 1,5

1 4,5 0,2 0, 3 4,5

0, 4 0, 5 6 2 6

0 2,5 1 8 8

x

y

z

t

g.

8 2 3

2 7 2

3 4 10

90

82

120

x y z

x y z

x y z

h.

9 2 3

2 15 3

2 4 21 8

3 2 10

149

590

908

1002

x y z t

x y zt

x y z t

xy z t

2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp Seidel (lặp 3 bước, đánh giá sai số ở bước 3)

a.

10 2 15

10 28

10 10

x y z

x y z

x y z

b.

20 10

5 25 2 41

2 3 20 35

x y z

x y z

x y z

c.

1,5 0,1 0, 3 1,2

0, 02 0,15 3, 5

0,1 0, 3 2 4,1

x y z

x y z

x y z

d.

4 0,2 0, 3 4,2

8 2,1 6,2

1,2 0, 3 6 3, 7

x y z

x y z

x y z

e.

20 2 8

2 10 5 9

2 4 20 21

3 3 20 14

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

f.

15 0 5 0,1 10

2 25 2 3,2 10

0, 4 5 16 2 8

0 2, 5 1 8 8

x

y

z

t

77

g.

20 2 6

8 25 2

2 16

190

882

320

x y z

x y z

xy z

h.

9 2 3

2 15 3

2 4 21 8

3 2 10

149

590

908

1002

x y z t

x y zt

x y z t

xy z t

3. Cho hệ phương trình

10 18

20 21

2 4 20 28

x y z

x y z

x y z

a. Giải hệ trên bằng phương pháp lặp đơn với sai số không quá 310 . b. Phải lặp ít nhất bao nhiêu bước thì sai số nghiệm gần đúng không quá 610 . 4. Cho hệ phương trình

25 1 2 5 1 24

1 10 1 3 1 8

1 1 10 1 2 10

5 3 1 20 3 7

1 1 2 3 16 4

x

y

z

t

u

Phải lặp ít nhất bao nhiêu bước thì sai số nghiệm gần đúng không quá 610 . 5. Cho hệ phương trình

20 1 2 3 1

2 25 1 2 3

1 4 20 1 19

1 2 1 10 11

x

y

z

t

a. Giải hệ trên bằng phương pháp lặp Seidel với sai số không quá 310 . b. Phải lặp ít nhất bao nhiêu bước thì sai số nghiệm gần đúng không quá 610 . Chương 3. ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số y f x cho bởi bảng sau a.

x 1 4 5 7 y 3 5 10 15

Tính 6f

b.

x 0 2 6 8

78

Tính 3f

c. Tính 3, 5f

d.

Tính gần đúng 1,5y

e.

Tính 5,5f

f. 2. Xây dựng đa thức nội suy Newton (đầu bảng và cuối bảng) của các hàm số cho bởi bảng: a.

x 0 2 4 6 y 1 8 12 16

Tính gần đúng 3y

b.

x 1,0 1,3 1,6 1,9 y 2,2 8,1 12,2 17,4

y 2 7 11 20

x 0 1 2 3 4 y 1 5 10 16 20

x 1 1,2 1,4 1,6 1,8 y 2 5 7 11 16

x -1 1 2 3 4 5 y -2 3 8 15 20 30

x 2,1 2,5 2,9 3,3 3,7 4 y 1 4 9 15 25 35

79

Tính gần đúng 1, 4f

c.

x 0 3 6 9 12 y -1 2 8 17 42

Tính gần đúng 12,5y

d.

Tính gần đúng 2, 8y

e. x -0,1 0,2 0,5 0,8 1,1 1,4 y 0,1 1,12 1,74 1,91 2,1 2,91

Tính gần đúng 0, 4f

f.

Tính gần đúng 3f

4. Tìm ,a b để hàm số y ax b là xấp xỉ tốt nhất của các bảng số liệu sau a.

x 1 2 3 6 7 10 y 0 1 2 4 8 12

b.

c.

5. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ bxy ae và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 2,0 2,3 2,6 2,9 3,2 y 2 7 15 20 37

x 0 2 4 6 8 10 y 1,3 2,6 3,8 4,9 5,7 7,2

x 1 3 4 6 8 9 11 y 3 4 6 8 9 11 13

x 1,1 3,2 5,2 6,3 7,2 8,4 9,4 y 2,1 4,1 6,4 8,3 9,5 11,5 13,5

80

x 1 2 3 6 7 10 y 2,1 4,8 21,1 112,1 400,1 1000,12

Xác định ,a b từ đó hãy tính 9,2y .

Nếu thay bằng quan hệ 2bxy ae thì ,a b được xác định như thế nào ?

6. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ by ax và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 3,1 3,5 3,6 3,7 3,8 4,0 y 9,1 12,4 17,3 21,1 25,1 32,6

Xác định ,a b từ đó hãy tính 3, 92y .

Nếu thay bằng quan hê 2 1b

y a x thì ,a b được xác định như thế nào

7. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2y ax bx c và bảng số liệu thực nghiệm

sau: x 1 2 3 6 7 8 y 2,9 1,2 0,145 7,3 16,1 19,1

Xác định , ,a b c từ đó hãy tính 7,2y .

9. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ cos siny a b x c x và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 0 1 2 4 5 6 y 0 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 5,5y .

10. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ ln 1 siny a x b x và bảng số liệu thực

nghiệm sau: x 0 1 2 4 5 6 y 0 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 4, 5y .

11. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2 2ln 1 1xy a x b e và bảng số liệu

thực nghiệm sau: x 0 1 2 4 5 6 y 0 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1

81

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 4, 5y

12. Hãy xây dựng hệ phương trình mà từ đó xác định được các hệ số , ,a b c để hàm số y af x bg x c là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu đã cho Áp dụng

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2 4 2y a x b x c và bảng số liệu thực

nghiệm sau: x 1 2 3 4 5 6 y 3 6 12 20 32 40

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 4,5y

13. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2x xy a xe b xe c và bảng số liệu

thực nghiệm sau: x 1 2 3 4 5 6 y 3 6 12 20 32 40

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 4,5y

14. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2cos cosy a x x b x x c và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 2 3 4 5 6 y 3 6 12 20 32 40

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất, từ đó hãy tính 4,5y .

Chương 4. TÍCH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 1. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang suy rộng (không đánh giá sai

số)

a.

1,2 2 3

0,2

ln 5

ln 2 1

x xdx

x x

với 8n b. 1,4 4

20,4

1

4 5

x xdx

x

với 10n

c. 2

30,4

1ln 2

1x x dx

x

với 8n d.

2,32

1,3

2ln 1

xx dx

x

với 10n

e. 2

2,22 3

1,4

x xe dx với 8n f. 2

2

1

xx dx với 10n

2. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang suy rộng (có đánh giá sai số)

82

a. 1

4

0

x dx với 10n b. 3,1 3

2,11

xdx

x với 8n

c. 2

1

0

xe dx với 10n d. 3 2

11

x

x

edx

e với 10n

e. 4

1

2 xdx với 10n f.

4 6

4

3

1 11

x x xdx

x

với 10n

g. 2

1

sin 2xdx

x với 8n h. 2,5

2

3 13

xdx

x với 10n

3. Tính các tích phân sau bằng công thức Simson một phần ba (không đánh giá sai số)

a.

1,2 2 2

2

0,2

sin 5

3

x xdx

x x

với 8n b. 1,4

30,4

tan 3 4

4

x xdx

x

với 10n

c. 3

2,4

30,4

1x x

xe dxx

với 8n d.

2,3 23

1,3

2, 3ln 1

x xx dx

x

với 10n

e. 2,2 2

31,4

sin 5x x xdx

x x

với 8n f.

2sin

1

2 xx dx với 10n

4. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức Simson một phần ba (có đánh giá sai số)

a. 2

14

0

xe dx với 10n . b. 41

2

0

x

e dx với 10n .

c. 4

1

1dx

x x với 10n d. 4

1

ln xdx với 10n

e. 1

ln1

ex

dxx với 12n f. 4

1

lne

x xdx với 10n

g. 2

2

0

sin xdx

với 10n . h. 2,4 4

1,41

xdx

x với 10n

5. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức Simson ba phần tám (có đánh giá sai số)

a. 1,8

0

xe dx với 9n . b. 3

0,9

0

xe dx với 9n .

c. 4,5 2

11

xdx

x với 9n d. 2

1

lne

xdx với 9n

e. 1

ln1

ex

dxx với 9n f.

22

0

cos xdx

với 9n .

83

6. Xét tích phân 2 2

1

4 12 1x

I dxx

a. Tính tích phân I bằng công thức hình thang với 10n và đánh giá sai số kết quả trên. b. Phải chia 1;2 thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi áp dụng công thức hình thang trên số

đoạn đó thì sai số không quá 1010 .

7. Xét tích phân 3 3

21

x xI dx

x

a. Tính tích phân I bằng công thức Simson một phần ba với 10n và đánh giá sai số kết quả trên. b. Phải chia 2;3 thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi áp dụng công thức Simson một phần

ba trên số đoạn đó thì sai số không quá 1010 .

8. Xét tích phân 3,4 4

2,21

x xI dx

x

a. Tính tích phân I bằng công thức Simson ba phần tám với 12n và đánh giá sai số kết quả trên. b. Phải chia 2,2;3, 4 thành bao nhiêu đoạn bằng nhau để khi áp dụng công thức Simson một

phần ba trên số đoạn đó thì sai số không quá 1010 . Chương V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến

a. 0 1

y x y

y

với 0; 0, 5x ,

trong đó bước 0,25h và sai số không quá 510 .

b.

2 1

0 1

y x xy y

y

với 0;0, 4x ,

trong đó bước 0,2h và sai số không quá 510 .

c.

2 2ln 2 1

0, 5 1

y x x y

y

với 0,5; 0, 9x ,

trong đó bước 0,2h và sai số không quá 510 .

d.

2 21

0 1

x yy

xyy

với 0;0,2x ,

84

trong đó bước 0,1h và sai số không quá 510 .

e.

2 2cos

0,1 1

y xy x y

y

với 0,1;0, 3x ,

trong đó bước 0,1h và sai số không quá 510 .

f.

2

1

0 1

xy

yy

với 0;1x ,

trong đó bước 0,5h với sai số không quá 510 . 2. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge – Kutta bậc bốn

a.

25

0 1

yy x

y

với 0;0, 5x và 0,25h

b.

2

ln 2 1

0, 3 1

x yy

x

y

với 0,3; 0, 9x và 0,3h

c.

4

2 1

0 1

x xyy

xy

y

với 0;0, 3x và 0,15h

3. Cho phương trình vi phân

2

0, 5 1

yy xy

xy

với 0,5;1x

Tính 0, 75y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn

4. Cho phương trình vi phân

sin 2

0 1

y x x y

y

với 0,1x

Tính 0, 08y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn

5. Cho phương trình vi phân

cos 2

0 1

y x x y

y

với 0,1x

Tính 0,08y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn.

6. Cho phương trình vi phân

ln 2 1

0 1

y x y

y

với 0; 0, 4x .

Tính 0,2y bằng phương pháp Euler cải tiến với sai số 410 .

85

7. Cho phương trình vi phân

25 ln 2 1

0 1

y x y

y

với 0; 0, 4x .

Tính 0,2y bằng phương pháp Runge – Kutta bậc bốn.

8. Cho phương trình vi phân

2 ln 2 2

0 1

y x yx

y

với 0; 0, 4x .

Tính 0,2y bằng phương pháp Euler cải tiến với sai số 410 .

9. Cho phương trình vi phân

2ln 2 1

0 1

y x y x

y

với 0; 0, 4x .

Tính 0,2y bằng phương pháp Runge – Kutta bậc bốn.

10. Cho phương trình vi phân

ln

0 1

y x y x y

y

với 0;0, 5x .

Tính 0,25y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn

86

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Minh Chương, Giải tích số, Nhà xuất bản giáo dục, 2009. 2. Doãn Tam Hòe, Toán học tính toán, Nhà xuất bản giáo dục, 2008. 3. Lê Thái Thanh, Lê Ngọc Lăng, Nguyễn Quốc Lân, Giáo trình Phương pháp tính, nhà xuất

bản Đại học quốc gia TP.HCM, 2003. 4. Trần Văn Trản, Phương pháp số thực hành, Nhà xuất bản Khoa học và Công Nghệ, 2009. 5. BULIRSCH, STOER, Introduction to numerical analysis, Third Edition, Springer 2002.