chuong 2_dai so ma tran va phuong phap khu gauss [compatibility mode]

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN – FEM

(Finite Element Method)

Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM

Đường Công Truyền

Chương 2:

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bàitoán kỹ thuật thường liên quan đến mộtloạt các phép toán trên ma trận.

Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trậnvà phương pháp khử Gauss để giải hệphương trình tuyến tính sẽ là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này.

ĐẠI SỐ MA TRẬN

• Các công cụ cơ bản để giải hệ phương trìnhtuyến tính

(x1, x2, …, xn là các nghiệm cần tìm)

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++

=++

=++

L

LLLLLLLLLLL

L

L

2211

22222121

11212111

ĐẠI SỐ MA TRẬN

• Biểu diễn ở dạng ma trận:

Ax = b

(A là ma trận vuông có kích thước (n× n), và x và b là cácvéctơ (n×1))

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

=

nx

x

x

xM

2

1

=

nb

b

b

bM

2

1

Véc tơ

• Một ma trận có kích thước (1 × n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước (n × 1) được gọi là véctơ cột.

• Ví dụ một véctơ hàng (1 × 4):

• và véctơ cột (3 × 1):

{ }61222 −=r

=

34

2

11

c

Ma trận đơn vị

• Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1

• Ví dụ:

=

100

010

001

I

Phép cộng/trừ ma trận

• Cho 2 ma trận A và B cùng có kích thước là (m× n). Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B

và được định nghĩa:

cij = aij + bij

• Ví dụ:

−

−=

−−

−+

− 34

75

21

58

15

23

Cộng/trừ 2 ma trận là một ma trận

Nhân ma trận với hằng số

• Nhân 1 ma trận A với hằng số c được địnhnghĩa:

cA = [caij]

• Ví dụ:

−=

− 100500

200300

15

2310

2

Nhân 1 ma trận với hằng số bằng cách nhân hằng số vào trong tất cả các phần tử của ma trận đó

Nhân hai ma trận

• Tích của ma trận A kích thước (m× n) với ma trận B kích thước (n× p) là 1 ma trận C kíchthước (m× p):

A × B = C(m× n) (n× p) (m× p)

• Phần tử thứ (ij) của C là (cij) được tính:

∑=

=n

k

kjikij bac1

Tích của 2 ma trận là 1 ma trận

Nhân hai ma trận

• Ví dụ:

• Lưu ý:

– Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận A×B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.

– Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận A×B và B×A, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là A×B ≠ B×A.

=

×

3638

7054

46

52

54

413

582

Chuyển vị ma trận

• Chuyển vị của ma trận A = [aij] kích thước (m× n) là 1 ma trận, ký hiệu là AT có kích thước là (n× m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng củama trận A thành cột của ma trận AT.

(AT)T = A

• Chuyển vị của một tích các ma trận là tích cácchuyển vị của ma trận thành phần theo thứ tự đảongược:

(A×B×C)T=CT×BT× AT

Đạo hàm/tích phân ma trận

• Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng số, ví dụ:

• Trong các trường hợp đó, các ma trận có thể được đạo hàm hay tích phân.

+

+

−+

=

yxx

yx

xyxyx

A

46

2

522

Đạo hàm/tích phân ma trận

• Phép đạo hàm (tích phân) của 1 ma trận là lấy đạohàm (tích phân) đối với mỗi phần tử của ma trận

• Xét ma trận vuông A, kích thước (n× n) với các hệ sốhằng, véctơ cột x = {x1 x2 ... xn}T chứa các biến. Khiđó, đạo hàm của Ax theo 1 biến xp sẽ là:

=

dx

xdaxA

dx

d ij )()( [ ]∫ ∫= dxdyaAdxdy ij

p

p

aAxdx

d=)( (ap là véctơ cột và chính là cột

thứ p của ma trận A)

Định thức của ma trận

• Cho ma trận vuông A = [aij], kích thước (n× n). Định thức của ma trận A được định nghĩa:

• Aij là ma trận kích thước (n-1× n-1) thu được bằng cách loại đi hàng i cột j của ma trận A.

∑=

+

+

−=

−+−=

n

j

ijji

n

nijAa

nAaAaAaA

1

1

1

1211

)det()1(

)1

det()1...()12

det()11

det()det(


• Ví dụ định thức của ma trận (2 × 2)

• Định thức của ma trận (3 × 3)


• Và định thức của ma trận (n × n)

=⇒

=

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

L

LLLL

L

L

L

LLLL

L

L

32

33332

22322

11

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

LLLL

L

L

31

33331

22321

12

Nghịch đảo ma trận

• Cho ma trận vuông A, nếu det(A) ≠ 0, thì A cóma trận nghịch đảo và ký hiệu là A-1.

• Ma trận nghịch đảo thỏa mãn quan hệ sau:

A-1×A = A×A-1 = I

(I là ma trận đơn vị)

• Nếu det(A) = 0, A là ma trận suy biến và khôngtồn tại ma trận nghịch đảo.


• Nếu det(A) ≠ 0, ta gọi A là ma trận không suy biến. Khi đó, nghịch đảo của A được xác định:

• adjA là ma trận bù của A, có các phần tử Aji là ma trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j vàcột thứ i.

• Ví dụ 1: nghịch đảo của ma trận A kích thước (2× 2):

1

det

adjAA

A

−=

−

−=

=

−

−

1121

1222

1

2221

12111

det

1

aa

aa

Aaa

aaA


• Ví dụ 2: nghịch đảo ma trận kích thước 2× 2:

• Kiểm tra lại: A-1×A = A×A-1 = I


• Ví dụ 3: nghịch đảo ma trận kích thước 3× 3:

• Kiểm tra lại: A-1×A = A×A-1 = I

Ma trận đường chéo

• Một ma trận vuông có các phần tử bằng 0 ngoại trừ các phần tử trên đường chéo chínhđược gọi là ma trận đường chéo.

• Ví dụ:

=

500

030

002

D

Ma trận đối xứng

• Ma trận đối xứng là một ma trận vuông có cácphần tử thoả mãn điều kiện:

aij = aji hay A = AT

• Như vậy, ma trận đối xứng là ma trận có cácphần tử đối xứng qua đường chéo chính.

Ma trận tam giác

• Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có tấtcả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéochính bằng không.

• Ví dụ ma trận tam giác trên A và ma trận tam giácdưới B:

−

−

=

900

040

1132

A

−

−=

9011

043

002

B

PHÉP KHỬ GAUSS

• Xét hệ phương trình tuyến tính:

Ax = b

A là ma trận vuông kích thước (n× n)

• Nếu detA ≠ 0, nghiệm của hệ PT là x = A-1b

• Trong các bài toán kỹ thuật, kích thước của A thường là rấtlớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xácđịnh rất rộng; do đó, tính A-1 là rất phức tạp và dễ gặp phảisai số do việc làm tròn trong các phép tính.

⇒ Phương pháp khử Gauss là một công cụ rất hữu íchcho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

Mô tả phép khử Gauss

• Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khửGauss thông qua một ví dụ minh hoạ:

• Xét hệ phương trình:


• Bước 1: bằng các phép biến đổi tương đươngđể khử x1 trong các phương trình (2) và (3), ta được hệ:


• Bước 2: khử x2 trong phương trình (31), ta được hệ:


• Cuối cùng, ta được hệphương trình mà ma trậncác hệ số lập thành ma trận tam giác trên.

• Giải hệ phương trình ta được:

• Phương pháp tìm nghiệm khi ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương phápthế ngược.

3

8;

3

5;

3

1123

=−== xxx


• Các thao tác trên có thể được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn như sau:

• Bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

3

8;

3

5;

3

1123

=−== xxx

−⇒

−⇒

−−

−

92700

4710

1521

52010

4710

1521

41511

2352

1521

BÀI TẬP VỀ NHÀ(viết tay trên giấy A4, tuần sau nộp)

• Giải hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 17

4 11 25 101

3 9 23 90

x x x

x x x

x x x

+ + =

+ + = + + =

Giải thuật khử Gauss tổng quát

• Xét một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:

=

n

i

n

i

nnnjnnn

inijiii

nj

nj

nj

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

M

M

M

M

LL

MMMLMMM

LL

MLMLMMM

LL

LL

LL

3

2

1

3

2

1

321

321

33333231

22232221

11131211


• Bước 1. Sử dụng hàng 1 để loại x1 ra khỏi các phương trình còn lại nhờ phép biến đổi sau:

( )

( )

=−=

−=

njiba

abb

aa

aaa

iii

ji

ijij

,...,2,;1

11

11

1

11

11


• Bước 2. Sử dụng hàng 2 để loại x2 ra khỏi các phương trình còn lại.


• Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần tử. Một cách tổng quát, tại bước thứ k

ta có:


• Cuối cùng, sau n-1 bước như trên, ta được hệ:

=

−− )1(

)3(

4

)2(

3

)1(

2

1

4

3

2

1

)1(

)3(

4

)3(

44

)2(

3

)2(

34

)2(

33

)1(

2

)1(

24

)1(

23

)1(

22

114131211

0n

nn

n

nn

n

n

n

n

b

b

b

b

b

x

x

x

x

x

a

aa

aaa

aaaa

aaaaa

M

L

L

L

L


• Từ hệ này, bằng phương pháp thế ngược từ dưới lên ta nhận được các nghiệm của hệ phương trình như sau:

1211

,,n,ni;a

xab

x,;a

bx

ii

n

ij

jiji

i

nn

n

nKK −−=

−

==

∑+=

Xin chân thành cảm ơn!

chuong 2_dai so ma tran va phuong phap khu gauss [compatibility mode]

Documents