Chương I: QHTT

Bài 2. BÀI TOÁN QHTT VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC

1. Dạng tổng quát của bài toán QHTT

Bài toán QHTT tổng quát có dạng sau đây.

Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm

1 1 2 2(1) ( ) .. min( ax)n nf x c x c x c x m

với các ràng buộc (2) và (3):

i1 1 i2 2 in 1

i1 1 i2 2 in 2

i1 1 i2 2 in 3

1 2 3

.. ;

(2) .. ;

.. ;

(3) 0 ; , 0 ; , ; .

n i

n i

n i

j j j

a x a x a x b i I

a x a x a x b i I

a x a x a x b i I

x j J x j J x j J

Trong đó rời nhau và

rời nhau và .

1 2 3, ,I I I 1 2 3 1,2,.., ;I I I m

1 2 3, ,J J J 1 2 3 1,2,..,J J J n

Ví dụ:1 2 3 4

1 2

1 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 3

2

4

(1) ( ) 4 min

2 1

4 2(2)

0

4 5 5 17

; 0

(3)

0.

f x x x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x

x

1 2 3 1 2 31,2 , 3 , 4 , 1,3 , 4 , 2I I I J J J

Ở đây btQhtt thuộc dạng tổng quát, và

2. Một số khái niệm của bài toán QHTT •Hàm mục tiêu:

1

( ) , min ( ax)n

j jj

f x c x c x m

•Phương án (PA) của bt qhtt là Véctơ :

1 2( , ,.., )nx x x xthỏa các ràng buộc (2), (3). •Tập phương án là: tập hợp tất cả các PA.

•Phương án tối ưu (PATƯ): là vectơ x thỏa mãn cả 3 ràng buộc: (1)(2)(3). Tập PATƯ là: tập hợp tất cả các PATƯ.

3. Dạng chính tắc của bài toán QHTT:

1 1 2 2

11 1 12 2 1n 1

21 1 22 2 2n 2

m1 1 m2 2 mn

(1) ( ) .. min (max)

..

..(2)

.........................................

..

(3) 0 1, .

n n

n

n

n m

j

f x c x c x c x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x j n

Hoặc

Hoặc dạng ma trận của btQHTT:

1

1

(1) ( ) min (max)

(2)

(3) 0, 1,

n

j jj

n

ij j jj

j

f x c x

a x b

x j n

1 21 2

(1) ( ) , min (max)

(2) ( .. )

(3) 0

nn

f x c x

Ax b x A x A x A b

x

Với11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn m n

a a a

a a aA

a a a

1

2 ,..

n

x

xx

x

1

2 ,..

m

b

bb

b

1

2

...

j

jj

mj

a

aA

a

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA BTTQ VỀ BTCT

Nhờ 4 phép chuyển đổi sau:

1 1( 0)1." " " "n nx vao VT bpt x 1 1( 0)2." " " "n nx vao VT bpt x

:3." 0" " 0"jdat x t

jx t

1 2 1 2:4. " " " 0, 0"j j jdat x x xj j jx x x

1 2 3 4

1 2

1 3 4

1 2 3

1 2 3 4

1 3

2

4

(1) ( ) 4 min

2 1 ( )

4 2 ( )(2)

0 ( )

4 5 5 17

; 0

(3) ( )

0 ( ).

f x x x x x

x x a

x x x b

x x x c

x x x x

x x

x d

x e

Ví dụ: đưa bttq sau đây về dạng chính tắc:

Giải:

+ Cộng thêm vào vế trái của (a) ta được:

+ Cộng thêm vào vế trái của (b):

+ Trừ vào vế trái của (c):

5 5( 0)x x 1 2 52 1x x x

1 3 4 64 2x x x x

1 2 3 7 0x x x x

6 6( 0)x x

7 7( 0)x x

+ Đặt

+ Đặt

ta nhận được bt qhtt dạng chính tắc sau đây:

4 0 :x 4 0x t t ' '' ' ''

2 2 2 2 2, , 0x x x x x 2 :x

' ''1 2 2 3

5 6 7

1 2 5

1 3 4 6

1 2 3 7

1 2 3 4

1 3 5 6 7

' ''2 2

(1) ( ) 4 ( )

0 0 0 min

2 1

4 2(2)

0

4 5 5 17

; , , , 0(3)

, 0; 0.

f x x x x x t

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x

x x t

4. Ý nghĩa hình học và phương pháp đồ thị

Xét btQhtt sau: 1 2

1 2

1 2

1 2

( ) 4 max

5

2 3 12

; 0.

f x x x

x x

x x

x x

Biểu diễn tập PA trên mp x0y ta được tứ giác OABC với O(0,0); A(0,4); B(3,2); C(5,0).

5 6

5

4

O

5 6

5

4

O●

Hàm mục tiêu có dạng của một đường thẳng: f=4x1 + x2.

Cho f=0 ta có đường thẳng đi qua gốc tọa độ

Tịnh tiến đường thằng (d) theo một hướng nào đó sẽ làm cho giá trị hàm mục tiêu tăng, ngược lại sẽ làm f(x) giảm. Ở bt này ta cần làm cho f(x) về max. Rõ ràng đi theo hướng mũi tên sẽ làm cho f(x) tăng.

( ) (0;0) 0; ( ) (0;4) 4;

( ) (3;2) 14; ( ) (5;0) 20

f O f f A f

f B f f C f

Hàm mục tiêu f(x) đạt max là 20 tại C(5;0).

Bài tập: 1. Đưa các bài toán sau đây về dạng chính tắc:

1 2 3 4( ) 3 3 5 minf x x x x x

1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

1 2

2 3 7

5 9

2 5 3 2 12

2 13

0, 1,4j

x x x x

x x x

x x x x

x x

x j

1 2 3( ) 5 3 maxf x x x x

1 2 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2

1 2 3 4

2 7

5 9

2 6

2 4

0, 0, ;

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x x

2. Bằng phương pháp hình học, giải bài toán sau

1 2( ) 4 3 minf x x x

1 2

1 2

1 2

6

2 3 6

2

0, 1,2j

x x

x x

x x

x j