gi…i tÍch phÙc - wordpress.com€¦ · chương i: sŁ phøc và m°t phﬂng phøc chương...

Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng PhứcChương II: Hàm Biến Phức

Chương III: Các Hàm Phức Cơ BảnChương IV: Tích Phân PhứcChương V: Thuyết Thặng Số

Chương VI: Các phép biến đổi tích phân

GIẢI TÍCH PHỨC

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt GIẢI TÍCH PHỨC




Thời lượng và mục tiêu môn học

Thời lượng:

45 tiết = 30 tiết lý thuyết + 15 tiết bài tập

Mục tiêu:1 Nắm vững các kiến thức trọng yếu về giải tích phức.2 Vận dụng thành thạo cách tính tích phân của hàm biến

phức.3 Ứng dụng các phép biến đổi để giải các phương trình vi

phân.

E-mail:[email protected]@gmail.com





Kiến thức cần thiết

Đại cương về số phức (Toán Đại Số A1).Giải tích thực.





Tài liệu tham khảo

1 Complex Analysis - Terence Tao.2 Methods of Theoretical Physics (Chapter 4) - Philip M.

Morse, Herman Feshbach.3 Phương Pháp Toán Cho Vật Lý (tập II) - Lê Văn Trực,

Nguyễn Văn Thỏa, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

Liên hệ:

Trương Xuân NhựtBộ môn Vật lý Lý thuyết

[email protected]





Nội dung chính

1 Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức3 tiết lý thuyết (1 buổi).

2 Chương II: Hàm Biến Phức3 tiết lý thuyết (1 buổi).

3 Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản3 tiết lý thuyết (1 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).

4 Chương IV: Tích Phân Phức6 tiết lý thuyết (2 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).

5 Chương V: Thuyết Thặng Số6 tiết lý thuyết (2 buổi)+3 tiết bài tập (1 buổi).

6 Chương VI: Các Phép Biến Đổi Tích Phân9 tiết lý thuyết (3 buổi)+6 tiết bài tập (2 buổi).





Số phứcBiểu diễn hình học của số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức

Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức

Số phức và các dạng biểu diễn số phứcMặt phẳng phứcCác phép toánTập con trong mặt phẳng phức

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương I: Số Phức và Mặt Phẳng Phức





I.1. Số phức

Tập số nguyên dương (số tự nhiên) N : 0, 1, 2, 3, ...20 + x = 12⇒ x = −8. Tập N được mở rộng thành tập sốnguyên Z, bao gồm các số nguyên âm:...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...4x = 6⇒ x = 3

2 . Tập Z được mở rộng thành tập số hữu tỉQ, bao gồm các số không nguyên có thể được biểu diễndưới dạng một tỉ số giữa hai số nguyên.x2 = 2⇒ x =

√2. Tập Q được mở rộng thành tập số thực

R, bao gồm các số vô tỉ (nghĩa là các số không nguyên vàkhông thể được biểu diễn dưới dạng một tỉ số giữa hai sốnguyên.)x2 = −1⇒ x = i. Tập R được mở rộng thành tập số phứcC.






Dạng Decartes của số phức

Trong hệ tọa độ Decartes, mỗi số phức z có thể được viết dướidạng z = a+ ib, trong đó:

1 a được gọi là phần thực (real part) của số phức z. Ký hiệu:a = Re(z).

2 b được gọi là phần ảo (imaginary part) của số phức z. Kýhiệu: b = Im(z).

3 i được gọi là đơn vị ảo. Tính chất: i2 = −1.Dạng z = a+ ib được gọi là dạng Decartes của số phức. Trongdạng này, độ lớn (môđun [modulus], giá trị tuyệt đối) của sốphức z được định nghĩa là:

|z| =√a2 + b2






Dạng mũ của số phức

Trong hệ tọa độ cực, số phức có dạng mũ:

z = reiθ,

với:r = |z| ∈ R+: modulus của z.θ = arg (z) ∈ R: argument (pha [phase]) của z.

Trong tài liệu của Terence Tao, dạng mũ được gọi là "polarform" (dạng trong tọa độ cực).






Mối liên hệ giữa dạng Decartes và dạng mũ

Mối liên hệ này được xác định bởi công thức Euler:

eiθ = cos θ + i sin θ. (1)

Cho trước số phức ở dạng mũ, ta tìm được số phức ở dạngDecartes:

z = reiθ = r cos θ + ir sin θ, (2)

so sánh biểu thức này với z = a+ ib, ta có:

a = r cos θ, (3)

b = r sin θ. (4)







Ngược lại, nếu cho trước số phức ở dạng Decartes, ta tìm đượcsố phức ở dạng mũ. Từ (3) và (4) ta có:

r = |z| =√a2 + b2, (5)

vàtan θ =

b

a. (6)







Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.







Ví dụ: Cho z = 1 + i. Hãy biểu diễn z dưới dạng mũ.Từ (5), ta có:

r = |z| =√

12 + 12 =√

2.

Từ (6), ta có:

tan θ =11

= 1⇒ θ =π

4+ 2kπ.

Vậyz = reiθ =

√2ei(

π4

+2kπ).

Lưu ý quan trọng: Có vô số khả năng chọn argument θ cho mộtsố phức. Người ta quy ước chọn θ ∈ (−π,+π] làm argumentchuẩn, ký hiệu là Arg(z).






Mặt phẳng phức (mặt phẳng Argand)

Mặt phẳng phức (những tên gọi khác: mặt phẳng Argand, mặtphẳng z) là mặt phẳng được xác định bởi hai trục tọa độDecartes vuông góc với nhau:

Trục x là trục thực, biểu diễn phần thực của số phức z.Trục y là trục ảo, biểu diễn phần ảo của số phức z.






Một ví dụ về cách sử dụng mặt phẳng phức






Các phép toán đại số trên C

Phép cộng/trừ, nhân, chia trên C tuân theo các luật đại sốthông thường với lưu ý i2 = −1.

Phép cộng/trừ:

(a+ bi)± (c+ di) = (a± c) + (b± d)i. (7)

Phép nhân:

(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i. (8)

Phép chia:

(a+ bi)/(c+ di) =ac+ bd

c2 + d2+bc− adc2 + d2

i. (9)

Chú ý: phép chia cho 0 không xác định (vì không đượcđịnh nghĩa).






Các phép toán đại số trên C

Đối với các phép nhân/chia, sẽ tiện lợi hơn nếu viết số phứcdưới dạng mũ:

Phép nhân:(reiθ)(seiα) = rsei(θ+α). (10)

Phép chia:(reiθ)/(seiα) = (r/s)ei(θ−α). (11)

Chú ý: dạng mũ rất tiện lợi trong đa số các tính toán có liênquan đến số phức.






Lũy thừa và căn số

Ví dụ: Tính (1 + i)20.







Ví dụ: Tính (1 + i)20.Ta viết z = 1 + i dưới dạng mũ:

z = reiθ =√

2ei(π4

+2kπ).

Khi đó:

(1 + i)20 = (√

2eiπ4

+ik2π)20 = 210eiπ = −1024.







Ví dụ: Tính (1 + i)1/2







Ví dụ: Tính (1 + i)1/2

(1 + i)1/2 = (√

2ei(π4

+2kπ))1/2

= 21/4ei(π8

+kπ)

= 21/4eπi/8 hoặc 21/4e9πi/8.

Tổng quát: Căn bậc n của một số phức khác 0 có đúng n giá trị.Thật vậy, xét z = reiφ:

n√z = n√rei

φ+k2πn ; k = 0, 1, 2, ..., n− 1.






Các phép toán trên modulus

|zw| = |z||w|.|z/w| = |z|/|w|.|zn| = |z|n.Bất đẳng thức tam giác:

|z + w| ≤ |z|+ |w|.

Tổng quát:

||z| − |w|| ≤ |z ± w| ≤ |z|+ |w|.






Liên hiệp phức

Liên hiệp phức của số phức z = x+ iy là một số phức đượcký hiệu là z̄ hoặc z∗ và được định nghĩa:

z̄ = x− iy






Liên hiệp phức

Dưới dạng mũ:

reiϕ = re−iϕ. (12)(z + weiϕ)(w − ize−iϕ) = (z̄ + w̄e−iϕ)(w̄ + iz̄eiϕ). (13)






Một số hệ thức quan trọng

Gọi z và w là các số phức. Ta có các hệ thức:

zz̄ = |z|2 (14)

ezew = ez+w (15)

Bài tập: hãy chứng minh hai hệ thức trên bằng cách viết sốphức dưới dạng mũ.






Tập con trong mặt phẳng phức

Vùng lân cận: cho z0 là một điểm trong C, tập V gồm cácphần tử:

z : |z − z0| < ε,

trong đó ε ∈ R+, được gọi là vùng lân cận điểm z0. Ví dụ:{z : |z − 2| < 1}, {z : z + i| < 2}, {z : |z| < 8} lần lượt là lâncận của các điểm 2,−i, 0.Phần trong (interior) - Cho S là một tập con trong C.Điểm z0 được gọi là thuộc "phần trong" của S khi và chỉ khi:

∀ε > 0, {z : |z − z0| < ε} ⊂ S.Tập mở - Tập đóng - Nếu mọi điểm trong tập S đều thuộcphần trong của S, khi đó S được gọi là tập mở. Ngược lại,S là tập đóng.







Đường cong - Một đường (hay đường cong) trong mặtphẳng phức là một ánh xạ:

γ : [a, b]→ C.

(từ đoạn [a, b] của đường thẳng thực vào C.)Đường cong γ gọi là liên tục nếu x và y liên tục.Tập liên thông - Tập con S của C được gọi là liên thôngtheo nghĩa nếu hai điểm bất kỳ trong S đều nối được vớinhau bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trongS.







Ví dụ về các tập con trong C:{z : |z| < 1}: hình tròn mở đơn vị.{z : |z| ≤ 1}: hình tròn đóng đơn vị.

{z : Im(z) > 0}: nửa mặt phẳng trên.

{z : Re(z) < 0}: nửa mặt phẳng trái.{z : 0 ≤ Re(z) ≤ 1, 0 ≤ Im(z) ≤ 1}: hình vuông đơn vị.

Qui ước: tập rỗng ∅ và C là các tập mở.

�





Chương II: Hàm Biến Phức

Khái niệm hàm biến phứcĐiều kiện Cauchy - RiemannKhái niệm hàm giải tích

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức




II.1. Khái niệm hàm biến phức

Định nghĩa 1. Cho D và G là các tập con trong C. Một hàmbiến phức f xác định trên tập D là một qui luật cho tươngứng mỗi phần tử z ∈ D với một số phức xác định w ∈ G. Taviết:

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z ≡ (x, y) ∈ D,

trong đó u(x, y) = Ref(z) và v(x, y) = Imf(z).Định nghĩa 2. Một hàm f : D → G được gọi là đơn trị một -một hay đơn diệp nếu các ảnh của những điểm khác nhaucủa D là khác nhau. Nói cách khác, f(z) là đơn diệp nếu:

∀z1, z2 ∈ D, z1 6= z2 =⇒ f(z1) 6= f(z2).






Tính liên tục của hàm biến phứcĐịnh nghĩa 3. Cho hàm f(z) xác định trên D, và điểmz0 ∈ D. Ta nói hàm f(z) có giới hạn là L khi z tiến tới z0nếu:

∀ε > 0,∃δ > 0,∀z ∈ D : |z − z0| < δ =⇒ |f(z)− L| < ε.

Khi đó ta viết:limz→z0

f(z) = L.

Định nghĩa 4. Cho hàm f(z) xác định trên D, và điểmz0 ∈ D. Ta nói hàm f(z) liên tục tại điểm z0 nếu:

limz→z0

f(z) = f(z0).






Định lýNếu f và g xác định trên tập D, liên tục tại z0 ∈ D thì cáchàm f ± g, f.g, fg (g(z) 6= 0) cũng liên tục tại z0.Nếu hàm f liên tục tại z0 và g liên tục tại w = f(z0) thì hàmhợp g.f (xác định bởi (g.f)(z) = g[f(z)]) cũng liên tục tại z0.Nếu f liên tục tại z0 thì |f | cũng liên tục tại z0 (chú ý rằng|f |(z) = |f(z)|).





II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann I

Định nghĩa - đạo hàm. Cho f(z) xác định trên D, vàz0 ∈ D. Đạo hàm phức f

′hoặc df/dz được định nghĩa như

sau:dfdz

(z0) = limz→z0

f(z)− f(z0)z − z0

.

Nếu giới hạn trên tồn tại, ta nói hàm f(z) khả vi tại z0.





II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann II

Điều kiện Cauchy - Riemann:Nếu u(x, y) và v(x, y) là các hàm thực đơn trị có các

đạo hàm riêng cấp liên tục thì điều kiện cần và đủ để hàmf(z) = u+ iv có đạo hàm là:

∂u

∂x=∂v

∂yvà

∂u

∂y= −∂v

∂x.

Khi đó: f′(z) = ∂f

∂x = ∂u∂x + i ∂v∂x .





II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann III

Chứng minh:

Ta có:∆f∆z

=∂f∂x .∆x+ ∂f

∂y .∆y

∆x+ i∆y

=∂f

∂x.∆x.

1 + ∂f/∂yi∂f/∂x i

∆y∆x

∆x(1 + i∆y∆x)

=∂f

∂x.1 + ∂f/∂y

i∂f/∂x i∆y∆x

1 + i∆y∆x





II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann IV

Điều kiện cần:

∂f

∂y= i

∂f

∂x⇔ ∂u

∂y+ i

∂v

∂y= i(

∂u

∂x+ i

∂v

∂x)

=⇒

{∂u∂x = ∂v

∂y∂u∂y = − ∂v

∂x

Điều kiện đủ:Khi có điều kiện cần, ta suy ra:

∆f∆z

=∂f

∂xVõ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức




II.2. Điều kiện Cauchy - Riemann V

=⇒ lim∆z→0

∆f∂z

=∂f

∂x

=⇒ f′(z) =

∂f

∂x.





II.3. Khái niệm hàm giải tích

Các định nghĩa về hàm giải tích:Nếu hàm f(z) có đạo hàm tại mọi điểm trong miền D thì tanói f(z) giải tích trong D.Nếu hàm f(z) giải tích trên toàn mặt phẳng phức được gọilà hàm nguyên.Ta nói hàm f(z) giải tích tại điểm z0 nếu có thể tìm đượcmột miền lân cận quanh z0 theo đó hàm f(z) có đạo hàmtại mọi điểm trong vùng lân cận đó.Các điểm tại đó hàm f(z) không giải tích được gọi là cácđiểm dị thường của hàm f(z).






Ví dụ:

Cho hàm w = f(z) = a+ ib,

khi đó u+ iv = a+ ib

⇒ u = u(x, y) = a; v = v(x, y) = b.

⇒

{∂u∂x = 0 = ∂v

∂y ∀(x, y)∂u∂y = 0 = − ∂v

∂x ∀(x, y)

⇒ điều kiện Cauchy - Riemann thỏa với mọi z ⇒ f là hàmnguyên.Chứng minh: f(z) = z là hàm nguyên!






Tính chất:

Tổng, tích, thương (nếu mẫu số khác 0) của hai hàm giảitích là hàm giải tích.

Hàm giải tích theo hàm giải tích là hàm giải tích.

Hàm giải tích f(z) được diễn đạt hoàn toàn theo một biến z.





II.3. Khái niệm hàm giải tích I

Chứng minh tính chất 3:

Ta có: w = u+ vi = u(x, y) + iv(x, y),ta viết: x = z+z̄

2 ; y = z−z̄2i .





II.3. Khái niệm hàm giải tích II

Hàm w được biểu diễn thông qua 2 biến mới z và z′.

∂w

∂z̄=

∂w

∂x.∂x

∂z̄+∂w

∂y.∂y

∂z̄

=12.∂w

∂x+

12.∂w

∂yi

=12

(∂u

∂x+ i

∂v

∂x) +

12

(∂u

∂y+ i

∂v

∂y)i

=12.∂u

∂x+

12.i∂v

∂x+

12.i∂u

∂y− 1

2.∂v

∂y

= 0. (theo điều kiện Cauchy - Riemann)

⇒ hàm w được biểu diễn thông qua một biến z duy nhất.Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương II: Hàm Biến Phức




Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản

Đa thứcHàm mũHàm lượng giácHàm hyperbolHàm lượng giác ngượcHàm lũy thừa

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương III: Các Hàm Phức Cơ Bản




Chương IV: Tích Phân Phức

Các khái niệm cơ bảnCác định lý CauchyCông thức tính tích phân Cauchy

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương IV: Tích Phân Phức




IV.1. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa tích phân và cách tínhCác tính chất của tích phânNguyên hàm và công thức Newton - Leibnitz





IV.2. Các định lý Cauchy

Định lý Cauchy cho miền đơn liênĐịnh lý Cauchy cho miền đa liên





IV.3. Công thức tích phân Cauchy

Công thức tính tích phân CauchyTích phân loại Cauchy





Chương V: Thuyết Thặng Số

Phân loại điểm dị thường cô lậpThặng sốỨng dụng tính tích phân thực

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương V: Thuyết Thặng Số




V.1. Phân loại điểm dị thường cô lập

Định nghĩaPhân loại điểm dị thường





V.2. Thặng số

Định nghĩaCông thức tínhCác định lý cơ bản về thặng số





V.3. Ứng dụng tính tích phân thực

Các bổ đề về hàm liên tục và bổ đề JordanCác dạng tích phân

Dạng I: I =∫ 2π

0f(sin θ, cos θ)dθ

Dạng II: I =∫ +∞−∞ f(x)dx

Dạng III: I =∫ +∞−∞ f(x)eimxdx (m > 0)






Phép biến đổi FourrierPhép biến đổi Laplace

Võ Thành Văn - Trương Xuân Nhựt Chương VI: Các phép biến đổi tích phân




VI.1. Phép biến đổi Fourrier

Khái niệm hàm điều hòaKhai triển FourrierTích phân FourrierTính chấtỨng dụng





VI.2. Phép biến đổi Laplace

Từ Fourrier sang LaplaceẢnh Laplace của các hàm thông dụngTính chấtỨng dụng


gi…i tÍch phÙc - wordpress.com€¦ · chương i: sŁ phøc và m°t phﬂng phøc chương...

Documents