chương 1 hàm một biến số · 2010. 12. 1. · giới hạn hàm số 4. giới hạn một...
TRANSCRIPT
![Page 1: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/1.jpg)
Chương 1
Hàm một biến số
Bổ túc hàm số
Giới hạn hàm số
Hàm số liên tục
Vô cùng bé, vô cùng lớn
![Page 2: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/2.jpg)
Bổ túc hàm số
1. Định nghĩa hàm số
Cho ∅ ≠ 𝑋, 𝑌 ⊂ 𝑅. Quy tắc 𝑓 làm tương ứng mỗi số 𝑥 ∈ 𝑋 với một và chỉ một số 𝑦 ∈ 𝑌 được gọi là một hàm số.
Ta gọi: • 𝑦 là giá trị của 𝑓 tại 𝑥 và viết 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; • 𝑋 là miền xác định của 𝑓, ký hiệu 𝐷𝑓;
• 𝑓(𝑋) là tập các giá trị của 𝑓 𝑥 khi 𝑥 thay đổi trong 𝐷𝑓, miền giá trị của 𝑓, ký hiệu 𝑅𝑓;
• 𝑥 là biến độc lập; 𝑦 là biến phụ thuộc.
![Page 3: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/3.jpg)
Bổ túc hàm số 2. Một số tính chất • Hàm 𝑓 được gọi là hàm 1 − 1 nếu 𝑥1 ≠ 𝑥2
thì 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2). Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥3, 𝑔 𝑥 = 𝑥2
• Hàm 𝑓 được gọi là hàm chẵn nếu 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 thuộc miền xác định của 𝑓. (Đồ thị hàm chẵn?)
Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 là hàm chẵn
• Hàm 𝑓 được gọi là hàm lẻ nếu 𝑓 −𝑥 =− 𝑓(𝑥) với mọi 𝑥 thuộc miền xác định của 𝑓. (Đồ thị hàm lẻ?) Ví dụ 𝑓 𝑥 = 𝑥3 là hàm lẻ.
![Page 4: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/4.jpg)
Bổ túc hàm số 3. Hàm hợp • Giả sử có hai hàm số 𝑓, 𝑔 sao cho 𝑅𝑓 ⊂ 𝐷𝑔.
Khi đó hàm xác định như sau
𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 ,
được gọi là hàm hợp của 𝑔 và 𝑓. • Ký hiệu: = 𝑔 ∘ 𝑓.
𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))
Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, 𝑔 𝑥 = sin 𝑥. Xác định 𝑔 ∘ 𝑓 và 𝑓 ∘ 𝑔. So sánh hai kết quả tìm được.
![Page 5: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/5.jpg)
Bổ túc hàm số 4. Hàm ngược • Cho hàm 𝑓 là hàm 1 − 1. Khi ấy, với mỗi 𝑦
trong 𝑅𝑓 có một và chỉ một 𝑥 trong 𝐷𝑓 sao
cho 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Quy tắc làm tương ứng 𝑦 với 𝑥 như thế được gọi là hàm số ngược của 𝑓 và được ký hiệu là 𝑓−1. Vậy
𝑓−1 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
• Đổi ký hiệu, ta thu được 𝑓−1 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑓(𝑦)
• Hãy tìm hiểu liên hệ giữa đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) và đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
![Page 6: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/6.jpg)
Bổ túc hàm số 5. Hàm lượng giác ngược
• Xét hàm 𝑦 = sin 𝑥 trên −𝜋
2;𝜋
2, có miền
giá trị là ,−1; 1-, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arcsin 𝑥.
• Xét hàm 𝑦 = cos 𝑥 trên 0; 𝜋 , có miền giá trị là ,−1; 1-, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arccos 𝑥.
Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = sin 𝑥 trên −𝜋
2;𝜋
2 và đồ thị của hàm
𝑦 = arcsin 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦
Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = cos 𝑥 trên 0; 𝜋 và đồ thị của hàm 𝑦 = arccos 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦
![Page 7: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/7.jpg)
Bổ túc hàm số 5. Hàm lượng giác ngược
• Xét hàm 𝑦 = cot 𝑥 trên (0; 𝜋), có miền giá trị là 𝑅, và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arccot 𝑥.
• Xét hàm 𝑦 = tan 𝑥 trên −𝜋
2;𝜋
2, có miền
giá trị là (−∞;∞), và là hàm 1 − 1 nên có hàm ngược là 𝑦 = arctan 𝑥.
Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = tan𝑥 trên −𝜋
2;𝜋
2và đồ thị của hàm
𝑦 = arctan 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦
Hãy vẽ đồ thị của hàm 𝑦 = cot 𝑥 trên 0; 𝜋 và đồ thị của hàm 𝑦 = arccot 𝑥 trên cùng mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦
![Page 8: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/8.jpg)
Bổ túc hàm số 6. Các phép toán trên hàm số
Cho hàm số 𝑓 có miền xác định là 𝐷𝑓, hàm 𝑔
có miền xác định là 𝐷𝑔. Ta định nghĩa các hàm
𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔,𝑓
𝑔 như sau:
• 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
• 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
• 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
• 𝑓
𝑔𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔, 𝑔 𝑥 ≠ 0
![Page 9: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/9.jpg)
Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa
Số 𝐿 được gọi là giới hạn của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần 𝑎. Khi ấy ta viết
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Ngôn ngữ 𝜖 − 𝛿: 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ ∀𝝐 > 𝟎, ∃𝜹 > 𝟎, 𝟎 < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹 ⇒ 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝝐
Ví dụ: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1, 𝑎 = 1.
Ngôn ngữ dãy 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 ⇔ ∀ 𝒙𝒏 ⊂ 𝑫𝒇\*𝒂+, 𝒙𝒏 → 𝒂 ⇒ 𝒇(𝒙𝒏) → 𝑳
![Page 10: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/10.jpg)
Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa
Ví dụ: Chứng tỏ giới hạn không tồn tại giới
hạn của 𝑓 𝑥 = sin1
𝑥 khi 𝑥 → 0.
Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi dự đoán giới hạn
lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi dự đoán giới hạn lim𝑥→0
sin 𝑥
![Page 11: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/11.jpg)
Giới hạn hàm số 2. Quy tắc tính giới hạn
Giả sử tồn tại hai giới hạn lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 , lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
và 𝑐 là một hằng số. Khi ấy ta có
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑐. 𝑓 𝑥 = 𝑐. lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
1.
2.
3.
4.
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥), với điều kiện lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥) ≠ 0 5.
![Page 12: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/12.jpg)
Giới hạn hàm số 2. Quy tắc tính giới hạn
Ví dụ: Cho lim𝑥→1
𝑓 𝑥 = 2, lim𝑥→1
𝑔(𝑥) = 3
Tính các giới hạn
lim𝑥→1
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
lim𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
lim𝑥→1
−2. 𝑓 𝑥
lim𝑥→1
2𝑓 𝑥 − 3𝑔(𝑥)
1.
2.
3.
4.
lim𝑥→1
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 5.
![Page 13: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/13.jpg)
Giới hạn hàm số 3. Giới hạn vô cùng
Trong định nghĩa giới hạn, nếu 𝑎 là +∞ hoặc −∞ thì ta có giới hạn của 𝑓(𝑥) tại vô cùng. Khi ấy ta viết
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
Trong định nghĩa giới hạn, nếu 𝐿 là +∞ hoặc −∞ thì ta có giới hạn của 𝑓(𝑥) tại 𝑎 bằng vô cùng. Khi ấy ta viết
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞, lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = +∞
Ví dụ: lim𝑥→−∞
1
𝑥2= 0, lim
𝑥→+∞𝑒−𝑥 = 0
Ví dụ: lim𝑥→0
1
𝑥2= +∞, lim
𝑥→+∞𝑒𝑥 = +∞
![Page 14: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/14.jpg)
Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía
Định nghĩa: Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên trái của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần về phía bên trái của 𝑎. Khi ấy ta viết
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Số 𝐿 được gọi là giới hạn bên phải của hàm 𝑓(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu 𝑓(𝑥) có thể lấy giá trị gần 𝐿 một cách tùy ý, miễn là 𝑥 đủ gần về phía bên trái của 𝑎. Khi ấy ta viết
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
![Page 15: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/15.jpg)
Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía
Định lý:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ lim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
lim𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝐿
Ví dụ: Tìm 𝑎, 𝑏 để hàm số sau có giới hạn tại 0:
𝑓 𝑥 = 𝑎.2 sin 𝑥
𝑥, 𝑥 > 0
𝑥 + 𝑎2 + 𝑏2 + 1, 𝑥 ≤ 0
![Page 16: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/16.jpg)
Giới hạn hàm số 5. Tính chất bánh kẹp thịt
Định lý: Giả sử 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ (𝑥) trong một khoảng chứa 𝑎, có thể không đúng tại 𝑎, và lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎(𝑥) = 𝐿. Thế thì
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿
Ví dụ: Chứng tỏ lim𝑥→0
𝑥2 sin1
𝑥= 0.
Ví dụ: Chứng tỏ lim𝑥→0
sin 𝑥 = 0
Và lim𝑥→𝑎
sin 𝑥 = sin 𝑎
![Page 17: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/17.jpg)
Giới hạn hàm số
7. Hai giới hạn quan trọng
2. lim𝑥→±∞
1 +1
𝑥
𝑥= 𝑒.
Ví dụ: Tính lim𝑥→0
tan 𝑥
𝑥 và
lim𝑥→0
sin 2𝑥
3𝑥
1. lim𝑥→0
sin 𝑥
𝑥= 1.
6. Giới hạn của hàm hợp
Định lý: Cho hai hàm 𝑓 và 𝑔 có 𝑅𝑓 ⊂ 𝐷𝑔.
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏
lim𝑦→𝑏
𝑔(𝑦) = 𝑐⟹ lim
𝑥→𝑎𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑐
Ví dụ: Tính lim𝑥→1
sin(𝑥2 − 3𝑥 + 2)
![Page 18: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/18.jpg)
Hàm số liên tục
Định nghĩa: Hàm 𝑓 được gọi là liên tục tại 𝑎 nếu
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Ví dụ: Hàm sin 𝑥 liên tục tại mọi 𝑎 ∈ 𝑅.
Ví dụ: Người ta chứng minh được rằng lim𝑥→𝛼
𝑎𝑥 = 𝑎𝛼, 𝛼 ∈ 𝑅
Vậy hàm 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 liên tục tại mọi 𝛼 ∈ 𝑅.
1. Liên tục tại một số
![Page 19: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/19.jpg)
Hàm số liên tục 2. Liên tục một phía, liên tục trên khoảng
Định nghĩa: Hàm 𝑓 được gọi là liên tục phải tại 𝑎 nếu
lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Hàm 𝑓 được gọi là liên tục trái tại 𝑎 nếu lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Định lý: Hàm 𝑓 liên tục tại 𝑎 khi và chỉ khi 𝑓 liên tục trái và 𝑓 liên tục phải tại 𝑎.
Định nghĩa: Hàm 𝑓 liên tục trên (𝑎; 𝑏) nếu …
Định nghĩa: Hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏- nếu …
![Page 20: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/20.jpg)
Hàm số liên tục 2. Tính chất
Định lý: Cho hàm 𝑓 và hàm 𝑔 liên tục tại 𝑎. Khi ấy, các hàm 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 liên tục tại
𝑎. Hơn nữa, nếu 𝑔 𝑎 ≠ 0 thì 𝑓
𝑔 liên tục tại 𝑎.
Định lý: Nếu hàm 𝑓 liên tục tại 𝑎 hàm 𝑔 liên tục tại 𝑓(𝑎) thì 𝑔 ∘ 𝑓 liên tục tại 𝑎. Định lý: Giả sử hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏- và 𝑚 là một số nằm giữa 𝑓(𝑎) và 𝑓(𝑏) thì tồn tại 𝑐 trong (𝑎; 𝑏) sao cho 𝑓 𝑐 = 𝑚. Định lý: Giả sử hàm 𝑓 liên tục trên ,𝑎; 𝑏-. Khi ấy 𝑓 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ,𝑎; 𝑏-.
![Page 21: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/21.jpg)
Hàm số liên tục 3. Tính liên tục của các hàm cơ bản
Định lý: Các hàm lũy thừa, hàm lượng giác, lượng giác ngược, hàm mũ và hàm logarit liên tục tại những số mà chúng xác định.
Định nghĩa: Hàm sơ cấp là hàm được tạo nên từ các hàm cơ bản bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và phép hợp nối hàm số
Định lý: Các hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà chúng xác định.
![Page 22: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/22.jpg)
Hàm số liên tục 4. Một số giới hạn thường gặp
lim𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
𝑥= 1
lim𝑥→0
(1 + 𝑥)1𝑥 = 𝑒
lim𝑥→0
ln(1 + 𝑥)
𝑥= 1
lim𝑥→0
(1 + 𝑥)𝛼−1
𝑥= 𝛼
![Page 23: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/23.jpg)
Vô cùng bé 1. Khái niệm hàm tương đương
Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là tương đương với hàm 𝑔(𝑥) khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 1
Khi ấy ta ký hiệu 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 𝑘𝑖 𝑥 → 𝑎.
Ví dụ: Khi 𝑥 → 0 thì sin 𝑥 ~𝑥, 𝑒𝑥 − 1~𝑥,… Khi 𝑥 → ∞ thì 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 + 1~𝑥3
Sinh viên cho ví dụ, bằng cách sử dụng các giới hạn thường gặp!
![Page 24: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/24.jpg)
Vô cùng bé 2. Tính chất hàm tương đương
Xét 𝑥 → 𝑎.
𝑓(𝑥)~𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔(𝑥)~𝑓(𝑥)
𝑓1(𝑥)~𝑔1(𝑥)𝑓2(𝑥)~𝑔2(𝑥)
⟹
𝑓1 𝑥 . 𝑓2 𝑥 ~𝑔1 𝑥 . 𝑔2(𝑥)𝑓1(𝑥)
𝑓2(𝑥)~𝑔1(𝑥)
𝑔2(𝑥)
𝑓 𝑥 ~𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥)𝑛
~ 𝑔(𝑥)𝑛
Định lý: Giả sử khi 𝑥 → 𝑎, 𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥) và 𝑔(𝑥) có giới hạn là 𝐿. Khi ấy, lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿.
![Page 25: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/25.jpg)
Vô cùng bé (VCB) 2. Khái niệm vô cùng bé
Hàm 𝑓(𝑥) được gọi là vô cùng bé khi 𝑥 tiến về 𝑎 nếu
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0
Ví dụ: Khi 𝑥 → 0 thì 𝑥2, sin 𝑥, tan 𝑥, ln(1 + 𝑥) là các vô cùng bé.
Khi 𝑥 → +∞ thì 1
𝑥2, 𝑒−𝑥,
𝑥
𝑥2+1 là các VCB.
Chú ý: Hàm 𝑓(𝑥) là VCB khi 𝑥 → 𝑎 nhưng 𝑓(𝑥) không là VCB khi 𝑥 → 𝑏. Ví dụ?
![Page 26: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/26.jpg)
Vô cùng bé (VCB) 3. So sánh hai vô cùng bé
Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai VCB khi 𝑥 tiến về 𝑎. Giả sử tồn tại giới hạn (có thể vô hạn)
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝐾
• 𝐾 = 0: 𝑓(𝑥) là VCB cấp cao so với 𝑔(𝑥). Ký
hiệu 𝑓 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 ;
• 𝐾 = ∞: 𝑔 𝑥 = 0 𝑓 𝑥
• 𝐾 ∈ 𝑅\ 0 : 𝑓(𝑥) cùng cấp với 𝑔(𝑥)
Ví dụ:
![Page 27: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/27.jpg)
Vô cùng bé (VCB) 4. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
• Nếu 𝑔 𝑥 = 0(𝑓(𝑥)) thì 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ~𝑓 𝑥 , 𝑥 → 𝑎.
Ví dụ:
• Nếu 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) cùng cấp nhưng không tương đương và 𝑓 𝑥 ~𝑓1 𝑥 , 𝑔(𝑥)~𝑔1(𝑥) thì
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ~𝑓1 𝑥 − 𝑔1 𝑥 , 𝑥 → 𝑎.
Bổ đề: Cho 𝑓(𝑥) và 𝑔(𝑥) là hai VCB khi 𝑥 tiến về 𝑎.
![Page 28: Chương 1 Hàm một biến số · 2010. 12. 1. · Giới hạn hàm số 4. Giới hạn một phía Định nghĩa: Số được gọi là giới hạn bên trái của hàm](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060812/6090f427ad79bd33194db704/html5/thumbnails/28.jpg)
Vô cùng bé (VCB) 4. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑓1(𝑥)
𝑔 𝑥 + 𝑔1(𝑥)= lim
𝑥→𝑎
𝑓1(𝑥)
𝑔1(𝑥)
Ví dụ: Tính
Định lý: Giả sử 𝒇 𝒙 = 𝟎(𝒇𝟏(𝒙)) và 𝒈 𝒙 =𝟎(𝒈𝟏(𝒙)) khi 𝑥 tiến về 𝑎. Khi ấy, ta có
lim𝑥→0
𝑥 + 3sin2𝑥
5𝑥 + tan3𝑥
lim𝑥→0
ln (1 + tan 𝑥)
𝑥 + sin3𝑥