giỚi hẠn mỘt bÊn cỦa hÀm sỐ - hoc360.net
TRANSCRIPT
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Giới hạn hữu hạn
a. Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ( )0 0; ,x b x R . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là
số thực L khi dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x )nếu với mọi dãy số bất kì ( )nx những số thuộc khoảng
( )0;x b mà 0lim nx x= ta đều có ( )lim nf x L= . Khi đó ta viết
( )0
limx x
f x L+→
= hoặc ( )f x L→ khi 0x x +→ .
b. Định nghĩa 2
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ( )0 0; ,a x x R . Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số
thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy bất kì ( )nx những số thuộc khoảng
( )0;a x mà 0lim nx x= ta đều có ( )lim nf x L= Khi đó ta viết
( )0
limx x
f x L−→
= hoặc ( )f x L→ khi 0x x −→ .
Chú ý:
a) ( ) ( ) ( )0 0 0
lim lim limx x x x x x
f x L f x f x L− +→ → →
= = = .
b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay 0x x→ bởi 0x x −→ hoặc 0x x +→ .
2. Giới hạn vô cực
a) Các định nghĩa ( )0
limx x
f x−→
= + , ( )0
limx x
f x−→
= − , ( )0
limx x
f x+→
= + và ( )0
limx x
f x+→
= − được phát
biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi + hoặc − .
B. PHƯƠNG PHÁP
1. Bấm máy tính
- Nhập hàm số ( )f x .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
11
11
0 0 11
0 0 11
0 0 11
10
10
1
10
1
10
1
10
x CALC x
x CALC x
x x CALC x x
x x CALC x x
x x CALC x x
+
−
→+ =
→ − = −
→ =
→ = +
→ = −
CÁCH ĐỌC KẾT QUẢ:
...
...
...
.....10 0
.....10
.....10
KQ
KQ
KQ
−
+
+
→ =
+ → = +
− → = −
2. Giải tự luận
- Sử dụng các định lý và phương pháp tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
- Lưu ý:
( )0
0
0 0; , 0
x xx x
x x x
+
→ +
( )0
0
0 0; , 0
x xx x
x x x
−
→ −
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Dang 1: Tìm giới hạn 1 bên của các hàm đa thức, phân thức, căn thức, … và hàm trên từng khoảng.
Câu 1. Tính3
3lim
5 15x
x
x−→
−
−
A. 1
5 B.
1
5
− C. 0 D. −
Lời giải
Chọn B.
3 3 3
3 3 1lim lim lim
5 15 5 15 5x x x
x x
x x− − −→ → →
− − + −= =
− −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 2. Tính0
2limx
x x
x x+→
+
−
A.+ . B. − . C.1. D. 1− .
Lời giải
Chọn D.
( )( )0 0 0
2 12 2 1 1lim lim lim 1
111x x x
x xx x x
x x xx x+ + +→ → →
++ + −= = = = −
− −−
Câu 3. Tính( )
2
3 21
4 3lim
x
x x
x x+
→ −
+ +
+.
A.+ . B. 1− . C.1. D. 0 .
Lời giải
Chọn D.
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )2
3 2 2 21 1 1
1 3 1 34 3 0lim lim lim 0.
11x x x
x x x xx x
x x x x x+ + +
→ − → − → −
+ + + ++ += = = =
+ +
Câu 4. Cho hàm số ( )4 2
3
5 6 1
3 1
x x x xf x
x x x
− − =
− + . Tính ( )
1lim .x
f x−→
A. không tồn tại. B. 2 . C. 2− . D. 0 .
Lời giải
Chọn B.
( ) ( )3
1 1lim lim 3 1 3 2x x
f x x x− −→ →
= − + = − + = .
Câu 5. Tính
2
2
3 2lim
2x
x x
x→
− +
−.
A. không tồn tại. B. 1. C. 1− . D.+ .
Lời giải
Chọn A.
( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 1 2 1lim lim lim 1 1
2 2x x x
x x x xx
x x+ + +→ → →
− − − −= = − =
− −.
( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 1 2 1lim lim lim 1 1
2 2x x x
x x x xx
x x− + +→ → →
− − − − −= = − = −
− −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )( ) ( )( )2 2
2 1 2 1lim lim
2 2x x
x x x x
x x− +→ →
− − − −
− −
Câu 6. Tính 2
2lim 4x
x+→
− .
A.+ . B. 0 . C. 2 . D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn D.
Tập xác định của hàm số là 2;2− , hàm số không xác định trên ( )2, , 2b b nên không tồn tại
2
2lim 4x
x+→
− .
Câu 7. Tính ( ) 21
5lim 1
2 3x
xx
x x+→
+−
+ −.
A.+ . B. − . C. 0 . D. 1− .
Lời giải
Chọn C.
Với mọi 1x ta có : ( ) ( )2 2
5 51 1
2 3 2 3
x xx x
x x x x
+ +− = − −
+ − + −
( ) ( )
( )( )
( )( )2
1 5 1 5
1 3 3
x x x x
x x x
− + − += − = −
− + +.
Vậy ( )( )( )
21 1
1 55lim 1 lim 0
2 3 3x x
x xxx
x x x+ +→ →
− ++− = − =
+ − +.
Câu 8. Tính2
2
1 1lim
2 4x x x−→
−
− − .
A.+ . B. − . C. 0 . D. 1− .
Lời giải
Chọn B.
22
1 1lim
2 4xL
x x−→
= −
− −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2
1 1 2 1 1lim lim lim
2 2 2 2 2 2 2x x x
x x
x x x x x x x− − −→ → →
+ − += − = = − − + − + − +
Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 0 lim 2 0 , lim 1 3 , lim 2 4x x x
x x x x x x− − −
− −
→ → →→ − − = + = + = .
Kết luận L = − .
Câu 9. Tính ( )1
limx
f x→
với ( )2
3, 1
13, 1
1 7 2, 1
x khi x
f x x khi x
x khi x
−
= = − =− +
.
A. 13− . B. 2− . C. 4− . D. 1− .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( )
( ) ( )1 1
2
1 1
lim lim( 3) 2
lim lim 1 7 2 2
x x
x x
f x x
f x x
− −
+ +
→ →
→ →
= − = −
= − + = −
Vậy ta có
( ) ( ) ( )11 1
lim lim 2 lim 2xx x
f x f x f x− + →→ →
= = − = −
.
Câu 10. Tính ( )
2
23
2 5 3lim
3x
x x
x+→−
+ −
+.
A.+ . B. − . C. 0 . D. 7− .
Lời giải
Chọn B.
( )
( )( )
( )
2
2 23 3 3
2 1 32 5 3 2 1lim lim lim
33 3x x x
x xx x xL
xx x+ + +→− →− →−
− ++ − −= = =
++ +
Ta có ( )3
3 3 3 0 lim 3 0x
x x x x+
+ +
→−→− − + + = , và ( )
3lim 2 1 7.
xx
+→−− = −
Kết luận L = − .
Câu 11. Tính ( )
( )2
limx
f x−
→ −
với ( )
22 3 2
5 2
3 1 2
x x
f x x
x x
−
= =
−
.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
A. không tồn tại. B. − . C.5 . D. 7− .
Lời giải
Chọn D.
( ) ( )( 2) ( 2)
lim lim 3 1 7x x
f x x− −→ − → −
= − = − .
Câu 12. Tính ( )
( )2
limx
f x+
→ −
với ( )
22 3 2
5 2
3 1 2
x x
f x x
x x
−
= =
−
.
A. không tồn tại. B. − . C.5 . D. 7− .
Lời giải
Chọn C.
( )( )
( )( )2
2 2
lim lim 2 3 5.x x
f x x+ +
→ − → −
= − = .
Câu 13. Tính ( )2lim 2 1x
x x→−
+ + .
A. 0 . B. − . C.+ . D. 7− .
Lời giải
Chọn C.
( )2 2
2 2
1 1lim 2 1 lim 2 lim 2 1x x x
x x x x xx x→− →− →−
+ + = + + = − + + = +
Vì
2
lim
1lim 2 1 1 2 0
x
x
x
x
→−
→−
= −
− + + = −
Câu 14. Tính 2
2 3lim
5x
x
x x→−
+
+ +.
A. 0 . B. − . C. 2 . D. 2− .
Lời giải
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Chọn C.
2
2 2
322 3 2 3
lim lim lim 21 5 1 55
1 1x x x
x x x
x xx
x x x x
→− →− →−
− ++ − += = =
+ +− + + − + +
Câu 15. Tính 6
3
2lim
3 1x
x
x→−
+
−.
A. 1
3− . B. − . C.
1
3. D.+ .
Lời giải
Chọn A.
6 36 36 3
33 3
33 3
2 221 112 1
lim lim lim lim11 13 1 3
33 3x x x x
x xx xx x
xx x
xx x
→− →− →− →−
+ − +− +
+ − = = = =
− −− −
Câu 16. Tính ( )2lim 4x
x x x→+
− −
A. 2− . B. − . C. 0 . D.+ .
Lời giải
Chọn A.
( )2 2
2
22
4 4 4 4lim 4 lim lim lim lim 2
4 1 141 1 1 1 1
x x x x x
x x x x xx x x
x x xx x x
x x x
→+ →+ →+ →+ →+
− − − − −− − = = = = = −
− + − + − + − +
Câu 17. Cho hàm số ( )
2 11
1
2 2 1
xkhi x
f x x
x khi x
+
= − −
. Khi đó ( )1
limx
f x−→
bằng:
A. 0 B. 2 C. − D. +
Lời giải
Chọn D.
( )2
1 1
1lim lim
1x x
xf x
x− −→ →
+= = +
−.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 18. Tính 3 2
1lim
1 1x
x x
x x+→
−
− + −.
A. 1− . B. 0 . C. 1. D. + .
Lời giải
Chọn C.
( )
( ) ( ) ( )
23 2
21 1 1 1
1 1lim lim lim lim 1
1 1 1 1 1 1 11 1x x x x
x xx x x x x
x x x x xx x+ + + +→ → → →
−− −= = = =
− + − − − − − −− − −
.
Câu 19. Chọn kết quả đúng của 2 3
0
1 2limx x x−→
−
.
A. − . B. 0 . C. + . D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn C.
2 3 30 0
1 2 2lim limx x
x
x x x− −→ →
− − =
( )0
lim 2 2 0x
x−→
− = −
Khi
30 0 0x x x−→
Vậy
30
2limx
x
x−→
− = +
.
Câu 20. Cho ( )
2
2
4 2 2
42
2
x x
f x xx
x
− −
= −
−
. Tính ( )2
limx
f x+→−
.
A. 0 . B. 4 . C. + . D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn A.
( ) 2
2 2lim lim 4 0
x xf x x
+ +→− →−= − = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước
Câu 1. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2
0
1 0
x m khi xf x
x khi x
+ =
+ có giới
hạn tại 0x = .
A. 1m = − . B. 2a = . C. 2a = − . D. 1m = .
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
( ) ( )0 0
lim limx x
f x x m m− −→ →
= + = ; ( ) ( )2
0 0lim lim 1 1x x
f x x+ +→ →
= + = .
Hàm số có giới hạn tại 0x = ( ) ( )0 0
lim lim 1x x
f x f x m− +→ →
= = .
Câu 2. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )2 3 2
1 2
x khi xf x
ax khi x
− + =
− để
tồn tại ( )2
limx
f x→
.
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
( ) ( )2 2
lim lim 1 2 1x x
f x ax a− −→ →
= − = − ; ( ) ( )2 2
lim lim 2 3 3x x
f x x+ +→ →
= − + = .
Hàm số có giới hạn tại 2x = ( ) ( )2 2
lim lim 2 1 3 2x x
f x f x a a− +→ →
= − = = .
Câu 3. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2
3 1
2 13 1
1 7 2 1
m khi x
f x m khi x
x khi x
−
= − =− +
để
tồn tại ( )1
limx
f x→
.
A. 1m = − . B. 1m = . C. 5m = . D.11
2m = .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )1 1
2
1 1
lim lim 3 3
lim lim 1 7 2 2
x x
x x
f x m m
f x x
− −
+ +
→ →
→ →
= − = −
= − + = −
Vậy ta có ( ) ( )1 1
lim lim 3 2 1x x
f x f x m m− +→ →
= − = − =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 4. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số ( )
2
3
13
6
3 3
xx
f x x x
b x
+
= − +
+
có giới
hạn tại 3x = .
A. 3 . B. 3− . C. 2 3
3. D.
2 3
3− .
Lời giải
ChọnD.
( )2
33 3
1 1lim lim
6 3x x
xf x
x x+ +→ →
+= =
− +.
( )3
lim 3x
f x b−→
= + .
Hàm số có giới hạn tại 3x =1
33
b + =1 2
33 3
b−
= − + = .
Câu 5. [1D4-2] Biếthàm số ( )3 , 1
, 1
x b khi xy f x
x a khi x
+ −= =
+ −có giới hạn tại 1x = − . Giá trị của a b−
bằng
A. 1− . B. 2− . C. 2 . D.1.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tại điểm 1x = − ta có:
( )( )
1
limx
f x−
→ − ( )( )
1
lim 3x
x b−
→ −
= + 3 b= − + ( )1f= − .
( )( )
( )( )
1 1
lim lim 1x x
f x x a a+ +
→ − → −
= + = − + .
Hàm số có giới hạn tại 1x = − khi và chỉ khi ( )
( )( )
( )1 1
lim limx x
f x f x− +
→ − → −
=
Điều này tương đương với 3 1 2b a a b− + = − + − = − .
Vậy khi hàm số liên tục trên thì 2a b− = − .
Câu 6. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )
3
2 2
1 1
1
1
xkhi x
h x x
mx x m khi x
+ −
= + − + −
để
hàm số có giới hạn tại 1x = − .
A. 1m = − ; 2m = . B. 1m = − ; 2m = − . C. 1m = ; 2m = − . D. 1m = ; 2m = .
Lời giải
Chọn C.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( ) ( )
( ) ( )
32
1 1 1
2 2 2
1 1
1lim lim lim 1 3
1
lim lim 1
x x x
x x
xh x x x
x
h x mx x m m m
− − −
+ +
→− →− →−
→− →−
+= = − + =
+ = − + = + +
Hàm số có giới hạn tại 1x = − khi và chỉ khi ( ) ( )1 1
lim limx x
h x h x− +→− →−
=
2 21
3 1 2 02
mm m m m
m
== + + + − =
= −.
Câu 7. [1D4-2]Cho hàm số ( )
2 3 2 2
2
2
x xx
f x x
a x
− +
= −
. Với giá trị nào của a thì hàm số đã
cho có giới hạn tại điểm 2x = ?
A. 1a = − . B. 2a = . C. 2a = − . D. 1a = .
Lời giải
Chọn D.
Ta có ( )( )( )
( )2
2 2 2 2
1 23 2lim lim lim lim 1 1
2 2x x x x
x xx xf x x
x x+ + + +→ → → →
− −− += = = − =
− −.
( )2
limx
f x a−→
=
Hàm có giới hạn tại 2x = khi và chỉ khi ( ) ( )2 2
lim lim 1x x
f x f x a+ −→ →
= =
Câu 8. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )3
31 2
3
xx
f x x
m x
−
= + −
nÕu
nÕu
để
tồn tại ( )3
limx
f x→
.
A. 1m = − . B. 4m = . C. 4m = − . D. 1m = .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( )
( )
3 3
3 3
lim lim
3lim lim 4
1 2
x x
x x
f x m m
xf x
x
− −
+ +
→ →
→ →
= = −
= = −+ −
Vậy ta có ( ) ( )3 3
lim lim 4x x
f x f x m− +→ →
= = − .
Câu 9. [1D4-3]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )
3 3 2 2khi 2
2
1khi 2
4
xx
xf x
ax x
+ − −=
+
để
tồn tại ( )2
limx
f x→
.
A. 0a = . B. 3a = . C. 2a = . D. 1a = .
Lời giải
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Chọn A.
Ta có
( )( )
( )
3
22 2 2 33
2 2
3 2 2 3 1lim lim lim
2 43 2 2 3 2 4
1 1lim lim 2
4 4
x x x
x x
xf x
x x x
f x ax a
+ + +
− −
→ → →
→ →
+ −= = =
− + + + +
= + = +
.
Hàm số có giới hạn tại 2x = ( ) ( )2 2
1 1lim lim 2 0
4 4x xf x f x a a
+ −→ → = + = = .
Câu 10. [1D4-3] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số
( )( )
2 2
2
; 2
2 ; 2
a x xf x
a x x
=
−
có giới hạn tại 2x = . Tổng các giá trị của S là
A. 3 . B. 0 . C.1. D. –1.
Lời giải
Chọn D.
( )( )
( )( ) ( )2
2 2
lim lim 2 2 2x x
f x a x a+ +
→ →
= − = − ; ( )
( )( )
2 2 2
2 2
lim lim 2x x
f x a x a− −
→ →
= = .
Để hàm số có giới hạn tại 2x =( )
( )( )
( )2 2
lim limx x
f x f x+ −
→ →
= ( )22 2 2a a = − 2 2 0a a + − =
1
2
a
a
=
= −.
Vậy 1; 2S = − .
Câu 11. [1D4-3]Cho hàm số ( )
1 3
3 5
7 5
x
f x ax b x
x
= +
. Xác định a , b để hàm số có giới hạn tại
3x = và 5x = .
A. 3a = , 8b = − . B. 3a = − , 8b = . C. 3a = − , 8b = − . D. 3a = − , 8b = .
Lời giải
Chọn A.
+ Tại 3x = :
Ta có ( )3 3
lim lim1 1x x
f x− −→ →
= = và ( ) ( )3 3
lim lim 3x x
f x ax b a b+ +→ →
= + = + .
Do đó hàm số có giới hạn tại 3x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )3 3
lim lim 3 1 1x x
f x f x a b− +→ →
= + = .
+ Tại 5x =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( )5
lim 5x
f x a b−→
= + và ( )5
lim 7x
f x+→
= .
Do đó hàm số có giới hạn tại 5x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )5 5
lim lim 5 7 2x x
f x f x a b− +→ →
= + = .
Từ ( )1 và ( )2 suy ra:3 1 3
5 7 8
a b a
a b b
+ = =
+ = = − .
Câu 12. [1D4-3]Cho hàm số ( )
3 2
khi 11
khi 1
1 khi 1
x xx
x
f x n x
mx x
−
−= = +
. Biết hàm số ( )f x liên tục tại 1x = . Giá
trị của m , n là
A. 1n = − và 0m = . B. 1n m= = . C. 0n = và 1m = . D. 1n = và 0m = .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có ( ) ( )1 1
lim lim 1 1x x
f x mx m− −→ →
= + = + .
( )( ) 23 2
2
1 1 1 1
1lim lim lim lim 1
1 1x x x x
x xx xf x x
x x+ + + +→ → → →
−−= = = =
− −.
( )1f n= .
Để hàm số liên tục tại 1x = thì ( ) ( ) ( )1 1
lim lim 1x x
f x f x f− +→ →
= = . Ta chọn 1n = và 0m = .
Câu 13. [1D4-4]Cho hàm số ( )
2 2
2 6
4 6
x x
f x ax b x
x x
−
= + +
. Biết hàm số ( )f x có giới hạn tại 3x =
và 5x = . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 2 0a b− = . B. 2 0a b+ = . C. 2 0a b− = . D. 2 0a b+ = .
Lời giải
Chọn B.
+ Tại 2x = :
( )2
lim 2 1 0x
f x−→
= − = ; ( )2
lim 2x
f x a b+→
= + .
Hàm số có giới hạn tại 2x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )2 2
lim lim 2 0 1x x
f x f x a b− +→ →
= + = .
+ Tại 6x = :
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )6
lim 6 4 10x
f x+→
= + = ; ( )6
lim 6x
f x a b−→
= + .
Hàm số có giới hạn tại 6x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )6 6
lim lim 6 10 2x x
f x f x a b− +→ →
= + = .
Từ ( )1 và ( )2 suy ra:
52 0
26 10
5.
a b a
a bb
+ = =
+ = = −
Câu 14. [1D4-4] Biết hàm số ( )
sin2
sin2 2
2 cos2
x x
f x a x b x
x x
−
= + −
+
có giới hạn tại 2
x
= − và
2x
= . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A.3 0a b− = . B.3 0a b+ = . C. 3 0a b− = . D. 3 0a b+ = .
Lời giải
Chọn C.
+ Tại 2
x
= − ta có:
( )2 2
lim lim sin 1x x
f x x
− −
→ − → −
= = − ; ( ) ( )2 2
lim lim sinx x
f x a x b a b
+ +
→ − → −
= + = − + .
Hàm số có giới hạn tại 2
x
= − ( ) ( ) ( )2 2
lim lim 1 1x x
f x f x a b
+ −
→ − → −
= − + = − .
+ Tại 2
x
= ta có:
( ) ( )2 2
lim lim 2 cos 2x x
f x x
+ +
→ →
= + = ; ( ) ( )2 2
lim lim sinx x
f x a x b a b
− −
→ →
= + = + .
Hàm số có giới hạn tại 2
x
= ( ) ( ) ( )2 2
lim lim 2 2x x
f x f x a b
+ −
→ →
= + = .
Từ ( )1 và ( )2 suy ra:
1
1 2
2 3
2
ba b
a ba
=− + = −
+ = =
.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 15. [1D4-4] Cho hàm số ( )
3
2
2 1 8 0
1 2 0
42
2
x xx
x
f x ax b x
xx
x
+ − −
= + − −
− − +
. Tìm a , b để hàm số cùng
có giới hạn tại 2x = − và 0x = .
A.61
24a = ,
25
12b = . B.
37
24a = ,
1
12b = . C.
61
24a = ,
1
12b = . D.
85
24a = ,
25
12b = .
Lời giải
Chọn A.
Tại 0x = ta có
( ) ( )0 0
lim lim 1 1.x x
f x ax b b− −→ →
• = + − = −
( )3 3
0 0 0
2 1 8 2 1 2 2 8lim lim limx x x
x x x xf x
x x+ + +→ → →
+ − − + − + − −• = =
Mà ( )
( )0 0 0
2 1 12 1 2 2lim lim lim 1.
1 11 1x x x
xx
x xx x+ + +→ → →
+ −+ −= = =
+ ++ +
Và
( )
3
20 0 3 3
2 8 8 8lim lim
4 2 8 8x x
x x
x x x x+ +→ →
− − − +=
+ − + −
( )20 3 3
1lim
4 2 8 8x
x x+→
=
+ − + −
1
12= .
Nên ( )3
0 0
2 1 8 1 13lim lim 1 .
12 12x x
x xf x
x+ +→ →
+ − −= = + =
Do đó hàm số có giới hạn tại 0x = khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )0 0
13 25lim lim 1 . 1
12 12x xf x f x b b
− +→ →= − = =
Tại 2x = − :
( )( )
( )( )
2 2
lim lim 1 2 1x x
f x ax b a b+ +
→ − → −
= + − = − + − .
( )( )
( ) ( )( )
2
2 2 2
4lim lim lim 2 2 2 4
2x x x
xf x x
x− − −→ − → − → −
−= = − = − − = −
+.
Do đó hàm số có giới hạn tại 2x = − khi và chỉ khi
( )( )
( )( ) ( )
2 2
lim lim 2 1 4 2x x
f x f x a b− +
→ − → −
= − + − = −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Từ ( )1 và ( )2 suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại 0x = và 2x = − khi và chỉ khi
2525
1212
612 1 4 .
24
bb
a b a
= =
− + − = − =
Vậy với 61
24a = ,
25
12b = thì hàm số cùng có giới hạn tại 0x = và 2x = − .