chuyen de giao_diem_cua_ham_so_phan_thuc

Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC ax b

ycx d

+=+

Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.

Phương pháp giải:

1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: dcx

baxnmx

++=+ ⇔

−≠=++

cdx

CBxAx

/

(*)02

2. Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Xảy ra các khả năng:

* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c .

* d cắt (C) tại một điểm ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c

- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c .

* d không cắt (C) ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) vô nghiệm.

- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c .

Bài tập giải mẫu:

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.

Phương trình hoành độ giao điểm: 2

23

++=+

x

xmx ⇔

−≠=−+−+

2

022)1(2

x

mxmx.

(C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ 022)1(2 =−+−+ mxmx có hai nghiệm phân biệt khác -2.

⇔

≠−+−−>−−−=∆022)1(24

0)1(8)1( 2

mm

mm⇔ 09102 >+− mm ⇔ m∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ).

Vậy m∈ (- ∞ ; 1) ∪ ( 9; + ∞ ).

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số 2

23

++=

x

xy (C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai điểm

phân biệt.

Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d: 02 =+− myx luôn cắt đồ thị hàm số 1

1

−+=

x

xy (C)

tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.


Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A( ), 11 yx , B( ), 22 yx

* A, B cùng nhánh ⇔ cdxx /21 −<< hoặc 21/ xxcd <<−

⇔ 0))(( 21 >−−c

dx

c

dx ⇔ 0)( 2

21212 >++− dxxcdxxc

* A, B khác nhánh ⇔ 21 / xcdx <−<

⇔ 0))(( 21 <−−c

dx

c

dx ⇔ 0)( 2

21212 <++− dxxcdxxc

Lời giải: TXĐ: R\{1}.

Phương trình hoành độ giao điểm:

1

12

−+=+

x

xmx ⇔

≠=−−−+

1

01)3(2 2

x

mxmx(1)

016)1(172 22 >++=++=∆ mmm với mọi m

⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B.

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 = -2

1+m, x1 + x2 = -

2

3−m

Xét = - 2

1+m +

2

3−m + 1 = - 1 < 0 ⇔ x1 < 1 < x2

Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.

Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình: 02 =++ cbxax , a ≠ 0

* Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔

>>≥∆

0

0

0

P

S

* Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔

><≥∆

0

0

0

P

S

* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.


Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y = x

x 1− luôn cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) tại

2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ dương.




x

xxm

1)2(

−=− ⇔

≠=++−

0

01)12(2

x

xmmx (1)

do m khác 0, 014 2 >+=∆ m với mọi m ⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 . x2 = 1/m

Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0. Suy ra x1 , x2 dương

Nếu m < 0: x1.x2 < 0 ⇒ x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số dương.

Lời giải: TXĐ: R\{-2}.

Hai điểm A( ), 11 yx , B( ), 22 yx thỏa mãn:

=+−=+−

0

0

22

11

myx

myx thì A, B thuộc đường thẳng

d: x - y + m = 0 ⇔ y = x + m. Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm trên giao điểm của (C) và d.

Khi đó phương trình : 2

2

+−=+

x

xmx có hai nghiệm phân biệt

⇔ 2 ( 1) 2 2 0x m x m+ + + + = có hai nghiệm phân biệt khác -2.

⇔2 6 7 0

4 2 2 2 2 0

m m

m m

∆ = − − >

− − + + ≠ ⇔ 1m < − hoặc 7m >

A, B cùng nhánh khi (x1 + 2)( x2 + 2) >0 ⇔ x1.x2 + 2( x1 + x2) + 4 > 0

⇔ 2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng

Vậy 1m < − hoặc 7m > .


Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số 2

2

+−=

x

xy (C) có hai điểm phân biệt A( ), 11 yx , B(

thuộc cùng một nhánh của (C) sao cho:

=+−=+−

0

0

22

11

myx

myx.


Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.


1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*).

Khi đó AB = 212

2212 )()( xxmxx −+− = ]4))[(1( 12

212

2 xxxxm −++

3. Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số

⇒ khoảng cách AB biểu thị theo tham số.

4. Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

* Định lý Viet: Nếu 21 , xx là nghiệm của phương trình , 02 =++ cbxax a ≠ 0 thì:

a

bxx −=+ 21 ,

a

cxx =21.

* 212

2122

21 2)( xxxxxx −+=+ , 21

221

221 4)()( xxxxxx −+=−




1

2

−−=+−

x

xmx ⇔

≠=−+−

1

022

x

mmxx (1)


Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số 1

2

−−=

x

xy (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho:

1. độ dài đoạn AB bằng 4.

2. độ dài đoạn AB nhỏ nhất.


(C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình: 022 =−+− mmxx có hai nghiệm phân biệt

khác 1 ⇔

≠−+−>−−=∆

021

0)2(42

mm

mm luôn đúng.

Gọi giao điểm là A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 là nghiệm của (1)

Khi đó AB = 212

212 )()( xxxx +−+− = ]4)[(2 12

212 xxxx −+

do x1 + x2 = m, x1.x2 = m - 2 nên AB = 1682 2 +− mm

1. AB = 4 ⇔ 1682 2 +− mm = 4 ⇔ m = 0, m = 4.

2. AB = 228)2(2 2 ≥+−m . Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.


S = 2

1d(O, ∆).AB. Ta có d(O, ∆) =

2

1 . Do đó: S = 2 ⇔ AB = 4.

Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4.


Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2) ⇒ AB = 23 .

ABCD là hình bình hành ⇔ AB//CD và AB = CD.

* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y = mx + ⇔ m ≠ 0.

* CD = AB ⇒ CD = 23 :



Bài 2: Tìm m để đường thẳng ∆: y = - x + 1 cắt đồ thị 4

2

++−=

x

mxy (C) tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 .

Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số 2

23

++=

x

xy (1) tại hai điểm A và B. Xác

định m để đường thẳng d: y = mx + cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD

là hình bình hành.


2

23

++=+

x

xmx ⇔

−≠=−+−+

2

022)1(2

x

mxmx

(1) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ 022 =−+− mmxx có hai nghiệm phân biệt khác - 2 ⇔

≠−++−>+−=∆

022224

09102

mm

mm ⇔ m < 1 hoặc m > 9.

Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m). Khi đó AB = ]4)[(2 122

12 xxxx −+

do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD = 18202 2 +− mm

CD = 23 ⇔ 18202 2 +− mm = 23 ⇔ m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).

Vậy m = 10.

Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.


Cho hai điểm A( ), 11 yx , B( ), 22 yx

* A, B đối xứng nhau qua điểm I( ), 00 yx ⇔

=+=+

021

021

2

2

yyy

xxx.

* A, B cách đều điểm M ⇔ MA = MB



A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ d đi qua O ⇒ b = 2.

Khi đó d: y = ax. Phương trình hoành độ giao điểm:

2

23

++=

x

xax ⇔

−≠=−−+

2

02)32(2

x

xaax (1)


Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = 42 −+ bax cắt đồ thị hàm số 2

23

++=

x

xy (C) tại

hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.


d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔

≠−+−>+−=∆

≠

02644

08)32(

02

aa

aa

a

: luôn đúng

Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )

A, B đối xứng nhau qua O ⇔ O là trung điểm của AB ⇔ 1 2

1 2

0

0

x x

ax ax

+ = + =

⇔ x1+ x2 = 0 ⇔ a = 3/2.



1

122

−+=−+

x

xmmx ⇔

≠=−+−

1

0322

x

mmxmx(1)


≠−+−>−−=∆

≠

032

0)3('

02

mmm

mmm

m

⇔ m > 0.

Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của (1).

Tam giác ABM cân tại M ⇔ MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.

* A, B, M không thẳng hàng: M∉ d: 1 ≠ 2m + 2 - m ⇔ m ≠ -1.

* MA = MB ⇔ 22

22

21

21 )1()2()1()2( mmxxmmxx −++−=−++−

⇔ 04)1(2))(1( 212 =−−+++ mxxm thay 21 xx + = 2

⇔ 04)1(22)1( 2 =−−++ mm nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn

Vậy m = 2.


Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số 1

12

−+=

x

xy tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1).


Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường thẳng.


1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆⇔ thỏa mãn cả hai điều kiện:

* AB ∆⊥ .

* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆.

2) A, B cách đều đường thẳng d ⇔ thỏa mãn một trong hai điều kiện:

* AB ∆// .

* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆.




Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = bax + cắt đồ thị hàm số 2+

=x

xy (C) tại hai

điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng 042: =+−∆ yx .


22

1: +=∆ xy . A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d ⊥ ∆. Suy ra a = -2.

Khi đó d: y = -2x + b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

2

2+

=+−x

xbx ⇔

−≠=−−−

2

02)5(2 2

x

bxbx(1). Ta có:

≠−−+>+−=∆

02)5(24

08)5( 2

bb

bb với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I( bxxxx

+−−+

2121 ;

2) = (

2

5;

4

5 +− bb).

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ I thuộc ∆ ⇔ b = -3.

Vậy a = -2, b = -3.


Phương trình hoành độ giao điểm: 1

22

−+=+

x

mxmx ⇔

≠=−−−

1

022

x

mmxmx.

d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C ⇔

≠−−−>++=∆

≠

02

0)2(4

02

mmm

mmm

m

⇔

>

−<

05

8

m

m

Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) ⇒ trung điểm AB: I(2

4)(;

22121 +++ xxmxx

)

1. A, C cách đều Ox khi:

TH1: d//Ox ⇔ m = 0: không thỏa mãn (*)


Bài 2: Cho hàm số 1

2

−+=

x

mxy và đường thẳng d: y = mx + 2.

1. Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, C sao cho khoảng cách từ

A, C đến trục hoành bằng nhau.

2. Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện và các cạnh song song với các

trục tọa độ. Xác định m để diện tích hình chữ nhật bằng 20.


TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: 04)( 21 =++ xxm ⇔ m = - 4: thỏa mãn (*)

2. B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2)

AB = 21 xx − , AD = m 21 xx −

S = m 221 )( xx − = m

m

m 85 +.

S = 20 khi:

* m > 0: 5m + 8 = 20 ⇔ m = 12/5

* m < 0: 5m + 8 = -20 ⇔ m = -28/5

y

B A

O

C D

Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc

1. Góc AOB tù khi: OA2 + OB2 < AB2 hoặc 0. <→→

OBOA .

2. Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc 0. =→→

OBOA .

3. Góc AOB nhọn khi: OA2 + OB2 > AB2 hoặc 0. >→→

OBOA .



Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số 2

12

−+=

x

xy tại hai

điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O.


Tam giác OMN vuông tại O khi 0. =→→

ONOM .


2

123

−+=+

x

xmx ⇔

≠=−−−

2

07)12(2

x

xmmx

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔

≠−−>+−=∆

≠

0544

028)12(

02

mm

mm

m

(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2, mx2 + 3).

0. =→→

ONOM ⇔ x1x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = 0.

⇔ (1 + m2) x1x2 + 3m(x1 + x2 ) + 9 = 0,

thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + 7 = 0 ⇔ m = 23 ± : tm (*)


Góc AOB nhọn khi 0. >→→

OBOA . Phương trình hoành độ giao điểm:

2

31

−+=++−

x

xmx ⇔

≠=+++−

2

052)2(2

x

mxmx.

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔ 01642 >−− mm .(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1).

0. >→→

OBOA ⇔ x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.

⇔ 2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > 0.

thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.

Kết hợp (*) có -3 < m < 32 − hoặc m > 32 + .



3

−+=

x

xy có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d: y = - x + m +1 cắt

đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn.

Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số 1

2

−+=

x

xy tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho đường tròn đường kính AB đi qua gốc tọa độ O.



Đường tròn đường kính AB đi qua O ⇔ góc AOB vuông ⇔ 0. =→→

OBOA .

Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 022 =++− mmxx , x ≠ 1. (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ 0842 >−− mm .(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 + m).

0. =→→

OBOA ⇔ x1x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = 0.

⇔ 2 x1x2 - m(x1 + x2 ) + m2 = 0.

thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện

Vậy m = - 2.

Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm


* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

* Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)

* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)

* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

Chú ý:

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2).

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau ⇔ thì y'(x1) . y'(x2) = - 1.






1

12

−+=+

x

xmx ⇔

≠=−−−+

1

01)3(2 2

x

mxmx


≠−−−+>++−=∆

0132

0)1(8)3( 2

mm

mm: luôn đúng

Khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x1) = 21 )1(

2

−−

x .

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x2) = 22 )1(

2

−−

x .

Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2) ⇔

22

21 )1()1( −=− xx ⇔ 221 =+ xx ⇔ 2

2

3 =−− m ⇔ m = - 1.

Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn.

Vậy m = - 1.

Lời giải: TXĐ: R\{1/2}


Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = mx +2 cắt đồ thị hàm số 1

1

−+=

x


A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = mx + luôn cắt đồ thị hàm số

12

1

−+−=

x

xy tại 2 điểm A, B. Gọi 21 , kk lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A,

B. Tìm m để 21 kk + đạt giá trị lớn nhất.


Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 0122 2 =−−+ mmxx , x ≠ 1/2 (1)


≠−−+>++=∆012/1

0222

mm

mm: luôn đúng

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1. x2 = - (m + 1)/2

khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k1 = 21 )12(

1

−−

x .

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k2 = 22 )12(

1

−−

x .

k1 + k2 = 21 )12(

1

−−

x + 22 )12(

1

−−

x = 22121

21212

21

]1)(24[

2)(48)(4

++−++−−+−

xxxx

xxxxxx

= 684 2 −−− mm = 22)1(4 2 −≤−+− m .

Vậy k1 + k2 lớn nhất khi m = -1.

Bài toán 7: Một vài bài toán khác



2

+−=

mx

mxy ( ≠m 0) có đồ thị (C) và đường thẳng ∆: y = 2x -2m. ∆ cắt

(C) tại 2 điểm phân biệt A, B. ∆ cắt Ox, Oy tại C, D.

Tìm m để diện tích tam giác OAB gấp 3 lần diện tích tam giác OCD.


Lời giải:

SOAB = 2

1d(O, ∆).AB với d(O, ∆) =

5

2 m.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) ⇔ 0122 2 =−− mxx , x ≠ -1/m. (1)

ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)

AB = ]4)[(5 122

12 xxxx −+ = )2(5 2 +m ⇒ SOAB = 22 +mm

∆ cắt Ox tại C(m; 0), ∆ cắt Oy tại D(0; -2m) ⇒ SOCD = m2

SOAB = 3SOCD ⇔ 22 +mm = 3 m2 ⇔ m = 1/2 và m = -1/2

Lời giải:

Phương trình ∆: y = k(x - 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của ∆và (C) ⇔ 2 (2 1) 2 0kx k x k− + + − = , x ≠ 1. (1)

∆cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ k > -1/12, k 0≠ . Khi đó M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k).

* M và N khác nhánh ⇔ k > 0: ta có 2AM AN→ →

= − ⇔ 1 2

1 2

1 2( 1)

2( )

x x

kx k kx k

− = − − − = − −

Theo ĐL Viét: 1 2

2 1kx x

k

++ = ⇒ x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k,

Thay vào 1 2

2kx x

k

−= có k = 2/3: thoả mãn. < M(4; 2). N(-1/2; -1)>

* M và N cùng nhánh ⇔ -1/12 <k < 0: ta có 2AM AN→ →

= ⇔ 1 2

1 2

1 2( 1)

2( )

x x

kx k kx k

− = − − = −

Theo ĐL Viét: 1 2

2 1kx x

k

++ = ⇒ x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,

Thay vào 1 2

2kx x

k

−= có k = -2/27: thoả mãn. < M(-8; 2/3). N(-7/2; 1/3)>

Vậy k = 2/3 và k = -2/27

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài toán 1: Biện luận



2

−+=

x

xy có đồ thị (C) và đường thẳng ∆đi qua A(1; 0) và có hệ số góc

k. Tìm k để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN.


Bài 1: Xác định m để:

a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số 1−

=x

xy tại 2 điểm phân biệt.

b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số 2

12

++=

x

xy

Bài 2: Tìm m để đường thẳng y = m x + 3 không cắt đồ thị hàm số 1

43

−+=

x

xy .

Bài toán 2: Khoảng cách

Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số 2

12

++=

x

xy tại 2 điểm phân biệt A, B

sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2

1x - m cắt đồ thị hàm số

2

3

++=

x


phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số 1

1

−+=

x

xy tại 2 điểm phân

biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là nhỏ nhất.

Bài 4: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số 2

2

−=

x


biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.

Bài 5: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số 2

12

++=

x


biệt M, N sao cho MN nhỏ nhất.

Bài 6: Xác định m sao cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ thị hàm số x

xy

−+=

1

42 tại hai

điểm phân biệt M, N sao cho MN = 103 .


2

−−=

x

xy có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua giao điểm hai tiệm cận

và có hệ số góc k. Tìm k sao cho đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho AB = 22 .

Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số 1

22

+−=

x


sao cho AB = 22 . (ĐS: m = - 1, m = 7)

Bài 9: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số 1−

=x


biệt M, N sao cho MN = 10 .




22

+−=

x


sao cho AB = 5 .


3

++=

x


sao cho AB = 5.

Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số 1

12

−+=

x


sao cho AB = 6.

Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ thị hàm số 2+

−=x

xmy tại 2

điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8

3.

Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số 1

12

++=

x


phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 . (B2010)

Bài 15: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số 2

32

−+=

x


biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 32 .

Bài toán 3: Vị trí đối với 1 điểm

Bài toán 4: Vị trí đối với 1 đường thẳng

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y = bax + cắt đồ thị hàm số 1

1

+−=

x

xy tại 2 điểm A, B sao

cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng

Bài 2: Xác định m để đường thẳng y = mx +2

1cắt đồ thị hàm số

1

2

−=

x

xy tại 2 điểm A, B sao

cho A, B cách đều đường thẳng 042: =−+∆ yx

Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số 1

12

++=

x


phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011)

Bài toán 5: Góc


3

++=

x

xy có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường thẳng d:



y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc 4. −=→→

OBOA .

Bài toán 6: Tiếp tuyến


22

+−=

x

xy tại 2 điểm phân biệt A,

B sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau.

Bài toán 7: Dạng khác


2

−+=

x

xy (C) .Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại 2 điểm phân

biệt A, B sao cho 2

3722 =+ OBOA .

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: 2mx - 2y + m +1 cắt 12

1

++=

x

xy (C) tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho biểu thức P = 22 OBOA + đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm m sao cho đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị hàm số 1

42

++=

x


biệt A, B. Khi đó hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.


chuyen de giao_diem_cua_ham_so_phan_thuc

Documents