cilamce2005-2

Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 2005Brazilian Assoc. for Comp. Mechanics & Latin American Assoc. of Comp. Methods in EngineeringGuarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th21st October 2005

Paper CIL0440

Mtodos de Elementos Finitos Contnuo e Descontnuo Combinados Aplicado aProblemas de Conveco-Difuso

Philippe R. B. DevlooTiago [email protected]@labmec.fec.unicamp.brFaculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo, Universidade Estadual de CampinasAv. Albert Einstein, 951 - CP 6021, 13083-852, Campinas - SP - Brasil

Sonia M. [email protected] de Matematica, Estatistica e Computacao Cientifica, Universidade Estadual deCampinas, Praca Sergio Buarque de Holanda, 651, 13083-859, Campinas - SP - Brasil

Abstract. Este trabalho foi desenvolvido no LabMeC utilizando-se o ambiente orientadoa objetos PZ. O trabalho consiste de implementao de um mtodo hp adaptativo quepermite combinar elementos finitos contnuo e descontnuo em uma mesma simulao.O ambiente PZ permite simulaes uni, bi e tridimensionais. O mtodo de Galerkin de-scontnuo (MGD) combina a vantagem de estabilidade do mtodo de volumes finitos ea preciso do mtodo de elementos finitos contnuo (MEF). O MGD particularmentevantajoso onde a soluo apresenta fortes gradientes ou descontinuidades, como prob-lemas de camada limite e problemas de choque. A desvantagem do MGD o seu altocusto computacional quando comparado com o mtodo de elementos finitos contnuo, de-vido ao seu maior nmero de graus de liberdade. Combinando-se o MEF com o MGDreduz-se o nmero de graus de liberdade e consequentemente o custo computacional.Adotam-se elementos contnuos nas regies em que a soluo detectada como suavee elementos descontnuos na vizinhaa de regies em que a soluo detectada comodescontnua. So apresentados exemplos para problemas de conveco-difuso com ca-mada limite. Devido a filosofia de programao orientada a objetos adotada no ambientePZ, a introduo de outras formulaes razoavelmente simples. As funcionalidadeshp adaptativas previamente existentes no PZ so disponveis para a implementao deelementos contnuos e descontnuos combinados.

Keywords: finite element method, discontinuous Galerkin, convection-diffusion, bound-ary layers

CILAMCE 2005 ABMEC & AMC, Guarapari, Esprito Santo, Brazil, 19th 21st October 2005

1. INTRODUOA abordagem de problemas de conveco enquadra-se na teoria das leis de conser-

vao LeVeque (1990). Tais problemas resultam em uma equao diferencial parcialhiperblica. Para problemas de interesse nas aplicaes, a formulao no apresentasoluo analtica, devendo portanto buscarem-se aproximaes da soluo.

Segundo Calle et al. (2002), existem vrios enfoques para resolver numericamenteequaes diferenciais parciais. Para leis de conservao so muito utilizados os mtodosde diferenas finitas e o mtodo de resduo ponderado Oden et al. (1981).

O mtodo de diferenas finitas baseia-se na substituio dos operadores diferenciaispor operadores em diferenas. Calle et al. (2002) explica que esse mtodo aplica-se emdomnios de geometria simples atingindo at segunda ordem de aproximao quando asoluo suave. O mtodo de diferenas finitas tem sido analisado e aplicado s leis deconservao durante dcadas, com muito esforo na obteno de esquemas com maiorordem de aproximao no clculo dos fluxos numricos.

Um enfoque mais abrangente o do mtodo do resduo ponderado. O princpio fun-damental o de aproximar a soluo da equao diferencial por uma funo pertencentea um espao aproximante de dimenso finita. O mtodo utiliza o conceito de projeoortogonal do resduo da equao diferencial sobre um espao expandido por funes testeadequadas. Isso significa que o mtodo de resduo ponderado fica caracterizado pela es-colha de dois espaos de funes, o espao de funes aproximantes (funo tentativa)e o espao de funes teste (ou funes peso), explica Calle et al. (2002). Denomina-se mtodo de Galerkin quando o espao de funes aproximantes e de funes peso soiguais. A aplicao direta do mtodo de Galerkin em problemas de fluidos tem mostradoser altamente instvel.

De acordo com Calle et al. (2002), o nome de mtodo de elementos finitos est as-sociado ao mtodo de Galerkin com funes aproximantes contnuas e polinomiais porpartes. O grande sucesso do mtodo de elementos finitos deve-se s propriedades deconvergncia para problema elpticos, de continuidade e diferenciabilidade e definiosimples das funes polinomiais por partes.

Oden et al. (1981) introduzem o mtodo de elementos finitos como uma tcnica geralpara construo de solues aproximadas para problemas de valor de contorno. "A gen-eralidade e a riqueza dos conceitos so razes para o seu notrio sucesso em uma vastagama de problemas em, virtualmente, todas as reas da engenharia."

O mtodo de elementos finitos foi originalmente desenvolvido para anlise estruturalde avies, na dcada de 1950. Seus fundamentos tericos foram estabelecidos nas dcadasde 1960 e 1970. Posteriormente, foi aplicado, tambm com sucesso, em problemas noestruturais, como em aproximao de escoamento de fluidos.

O mtodo de resduo ponderado combinado com espaos de funes descontnuasgera esquemas numricos muito eficientes para resoluo de problemas de fluidos. Nocaso em que as funes aproximantes (funo tentativa) e peso (funo teste) so con-stantes sobre os elementos da discretizao, o mtodo conhecido como mtodo de vol-umes finitos ou volumes de controle.

O mtodo de Galerkin descontnuo, foco deste trabalho, pode ser considerado comouma generalizao do mtodo de volumes finitos em que as funes aproximantes e peso


so funes polinomiais sobre os elementos, sem restries de continuidade sobre a fron-teira entre elementos.

Para aproximao de problemas elpticos, como a difuso, de uso corrente o mtodode elementos finitos. Entetanto, para os problemas hiperblicos, como a conveco, omtodo de elementos finitos apresenta deficincias que motivam o uso do mtodo deGalerkin descontnuo. Assim, para problemas de conveco-difuso, faz-se necessria abusca de mtodos que sejam consistentes com as duas formulaes (hiperblicas e elpti-cas). Para tal, adota-se o mtodo de Galerkin descontnuo para toda a formulao.

Baumann (1997), em sua tese de doutorado, prope uma formulao variacional deGalerkin descontnuo para o problema elptico, a partir de uma formulao variacionalhbrida. Segundo Baumann (1997), o desenvolvimento de mtodos de elementos finitosdescontnuos para problemas elpticos data dos anos 1960 com os trabalhos sobre mto-dos hbridos de Pian e seus colaboradores. A anlise matemtica dos mtodos hbridosfoi feita por Babuska, Oden e Lee nos anos 1970. O princpio dos mtodos hbridos aimposio de certas restries de espao, em especial a continuidade das funes aprox-imantes e suas derivadas, atravs de multiplicadores de Lagrange. Em 1971, Nietscheintroduziu o conceito de substituio dos multiplicadores de Lagrange no contorno porfluxos normais e adicionou termos de estabilizao para obter taxas timas de convergn-cia.

Em 1979, Delves e Hall desenvolveram o chamado Global Element Method - GEM.O GEM consiste essencialmente na formulao hbrida clssica para o problema de Pois-son, em que o mulitplicador de Lagrange substitudo pela mdia do fluxo atravs dafronteira entre elementos. Baumann (1997) argumentam que a maior desvantagem doGEM que a matriz associada indefinida e no pode ser utilizada em problemas var-iveis no tempo.

Arnold (1982) utilizou a formulao do GEM adicionando um termo de penalidade nafornteira entre elementos. Baumann (1997) avalia que as desvantagens desse mtodo in-cluem a dependncia da estabilidade do mtodo em relao ao parmetro de penalizao,a perda da propriedade de conservao elemento a elemento e o mau condicionamentodas matrizes.

Baumann (1997) e Oden et al. (1998) apresentam uma variante do GEM que livredas deficincias do GEM e pode ser utilizado em problemas variveis no tempo. Adesvantagem da formulao de Baumann a no simetria de suas matrizes. Entretantoisso no de fato um defeito, visto que para problemas de conveco-difuso, que soas aplicaes de interesse, as matrizes j no so simtricas por causa da conveco. Aformulao conservativa globalmente e elemento a elemento.

2. EQUAO DE CONVECO-DIFUSOO problema de conveco-difuso enunciado como: encontrar u que seja soluo

do problema linear

(Au) + div(u) = S em u = f em D

(Au) n = g em N

(1)


em que: o domnio com fronteira Lipschitz;A a matriz difuso; o vetor de direo da velocidade de conveco;n a normal externa a ;S, f e g so funes conhecidas;D a parte do contorno com condies Dirichlet;N a parte do contorno com condies Neumann;D

N =

e D

N = .A formulao variacional do problema 1 ser construda por partes. Em primeiro, a

formulao variacional do termo elptico (Au) e em seguida o termo convectivodiv(u).

Antes, porm, interessante definir o espao de interpolao sobre o qual serodefinidas as funes teste e tentativa.

Seja Ph = e uma partio de de forma que =nele=1

e, em que e

f = para

e 6= f e nel o nmero de elementos da partio Ph. Em outras palavras, os elementosso definidos com fronteiras abertas, sem interseces entre elementos. Se dois elementostiverem fronteira comum, define-se nf = ne se e > f , em que ne a normal externa dafronteira e.

- Espao de Aproximao Seja o seguinte espao:

H1(Ph) ={v L2() : v | e H

1(e) e Ph}

Adota-se a notao Ph = D N int, em que D e N so as fronteiras de tipoDirichlet e Neumann e int a unio de todas as fronteiras entre dois elementos internosao domnio.

Define-se, ainda, os operadores [ ] e como sendo:

[] = | eT

ef | fT

ef , e > f

< >= 12

( | e

Tef | f

Tef

)em que ef se refere lateral comun aos elementos e e f .

2.1 EQUAO ELPTICAO problema elptico pode ser enunciado como abaixo.Encontrar u que seja soluo do problema linear e de segunda ordem

(Au) = S em u = f em Du = f em D

(2)


em que , A, n, S, f , g, D e N so os definidos no problema 1.A formulao variacional, base para o desenvolvimento da formulao do mtodo de

Galerkin descontnuo, proposta por Baumann em sua tese de doutorado Baumann (1997)pode ser interpretada como uma formulao hbrida em que o multiplicador de Lagrangep eliminado em termos da funo tentativa p = (Au) n. O problema variacional enunciado: determinar u H1(Ph) tal que

BH(u, v) = FH(v) v H1(Ph) (3)

BH(u, v) =Nelem

e=1

(

e

v (Au)dx) +

D

(u (Av) n v (Au) n)ds +

int

((Av) n [u] (Au) n [v])ds

LH(v) =Nelem

e=1

(

e

vSdx) +

D

f (Av) nds +

N

vgds.

2.2 EQUAO HIPERBLICA LINEARO problema hiperblico linear pode ser enunciado como: encontrar u que seja soluo

do problema linear

div(u) = S em u = f em

_

(4)

em que , S e f so os definidos no problema 1. o vetor de direo da velocidadede conveco,

_

= {x | ( n)(x) < 0} e + = _.Uma formulao fraca para o problema 4 pode ser obtida multiplicando-se a equao

por uma funo teste v H1(Ph), integrando-se no domnio e fazendo-se uma inte-grao por partes:

(v )u d +

(uv) n ds =

S v d,

ou, ainda, a forma sobre os elementos ( nel ) do domnio

nele=1

{e

(v )u d +

e

(uv) n ds

}=

nele=1

{e

S v d

}. (5)

O termo sobre o contorno da equao 5 ser substitudo por um fluxo numricoFN

(uv) n ds do tipo UpWind (ver LeVeque (1990)). O fluxo numrico serdefinido como


F eN =

e

+

v u( ne) ds +

e

_

v f ( ne) ds

em que e_

= e

_

e e+ = e e_

e

u = lim0+

u(x (.n ).n ), x e.

A figura 1 esquematiza o significado de u:

Figure 1: Ilustrao de u e u+

O problema variacional enunciado como: encontrar u H 1(PH) tal que

BC(u, v) = LC(v) v H1(Ph) (6)

BC(u, v) =nele=1

{e

(v )u d +

e

+

v u( ne) ds

}

LC(v) =

nele=1

{e

S v d

e

_

v f ( ne) ds

}.

2.3 FORMULAO FRACA DE CONVECO-DIFUSOA partir das formulaes fracas elpticas e hiperblica linear, pode-se construir a

formulao fraca de conveco-difuso: encontrar u H 1(PH) tal que

BDG(u, v) = LDG(v) v H1(Ph)

BDG(u, v) = BC(u, v) + BH(u, v)LDG(v) = LC(v) + LH(v).

(7)

B e L so as formas bilineares e lineares definidas anteriormente em que:

BC a forma bilinear da formulao de conveco;

BH da formulao de difuso;

e L suas respectivas forma lineares.


Difuso Artificial SUPG Segundo Santos et al. (2004), o mtodo de Galerkin sabida-mente instvel espacialmente quando aplicado a leis de conservao. Santos et al. (2004)e Calle et al. (2002) utilizaram difuso artificial sobre o mtodo de Galerkin descontnuode forma a previnir ou diminuir as oscilaes decorrentes de descontinuidades da solu-o capturadas no interior dos elementos. A difuso artificial tratada neste trabalho sera SUPG - Streamline Upwind Petrov-Galerkin Calle et al. (2002); Santos et al. (2004);Calle et al. (2004), posteriormente chamada de SD - Streamline Diffusion.

importante ressaltar que o SUPG no uma dissipao artificial. Denomina-sedissipao artificial a um termo adicionado formulao variacional que modifica o pro-blema para dar maior estabilidade. O SUPG construdo pela modificao do espao defunes teste da formulao variacional. Desse modo, o problema ganha estabilidade pormeio de uma difuso artificial, mas sem ser modificado, visto que ainda existe equivaln-cia entre a formulao variacional e a formulao forte do problema.

Considerando-se que o interesse deste trabalho o de estudar problemas de conveco-difuso em que a conveco dominante, utilizou-se o SUPG apenas no termo convec-tivo. A ausncia do termo SUPG no operador difuso modifica o problema e a formu-lao variacional no mais equivalente formulao forte. A escolha de no aplicar otermo SUPG no operador difuso influenciou negativamente nos resultados numricos.Acrescentaram-se os seguintes termos de SUPG equao 7:

BSUPG(u, v) =nele=1

h

2 ||||

e

(u.) (v.) de (8)

LSUPG(v) =

nele=1

h

2 ||||

e

S v. de

em que h a medida do elemento.Adicionando-se a equao 8 formulao variacional original do problema (equao

7), obtm-se a formulaao do mtodo de Galerkin descontnuo para conveco-difusocom SUPG.

3. IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL3.1 GEOMETRIA E ESPAOS DE INTERPOLAO

O ambiente PZ possui uma distino muito forte entre geometria e interpolao. Paraa definio da topologia da malha existem elementos geomtricos (TPZGeoEL) associ-ados a malhas geomtricas (TPZGeoMesh). Os elementos geomtrios compem a vizi-nhana de cada elemento e o mapeamento do elementro mestre (ou de referncia) para oelemento deformado na malha, bem como o clculo das restries de funes de formaentre elementos de malhas no conformes (com hangingnodes), para simulaes do m-todo de elementos finitos clssico.

O espao de interpolao implementado pelos elementos computacionais, deriva-dos da classe base TPZCompEl. O mtodo de elementos finitos contnuo implemen-tado pelo objeto (classe) TPZInterpolatedElement derivado de TPZCompEl. O mtodo


de Galerkin descontnuo implementado pelos objetos TPZCompElDisc e TPZInterfa-ceElement, ambos derivados do TPZCompEl. O objeto TPZCompElDisc responsvelpela interpolao no interior dos elementos descontnuos e o objeto TPZInterfaceElement responsvel pelos clculos na interface entre elementos. A derivao dos elementos deGalerkin descontnuo (TPZCompElDisc e TPZInterfaceElement) da classe TPZCompElpermitiu que todas as funcionalidades do PZ disponveis para elementos finitos tambmestejam disponveis para o mtodo de Galerkin descontnuo.

Uma estratgia adotada neste trabalho a de combinar elementos descontnuos econtnuos em uma mesma simulao. A abordagem relativamente simples. Em umaregio do domnio, descreve-se o problema com elementos finitos e, em outra regio, comGalerkin descontnuo. Na fronteira entre essas duas regies so utilizados elementos deinterface entre elementos contnuos e descontnuos.

So necessrios elementos de interface entre elementos descontnuos e entre um ele-mento contnuo e outro descontnuo. Entretanto, poder-se-iam utilizar elementos de in-terface entre elementos contnuos. Isso, de fato, em nada modificaria o problema. Ascontribuies da interface sua esquerda e sua direita ocorreriam sobre os mesmosgraus de liberdade, anulando-se.

Foi necessria uma modificao na classe TPZInterfaceElement para permitir a suaincluso entre elementos contnuo e descontnuo. O elemento descontnuo define as fun-es de base sobre o elemento real. J o elemento contnuo, no PZ, define as funesutilizando-se mapeamento entre o elemento mestre e o elemento deformado real. Para oclculo da contribuio de interface, solicita-se ao elemento contnuo o valor de suas fun-es e derivadas restritas interface, a partir de um ponto de integrao em coordenadasparamtricas. As coordenadas paramtricas so mapeadas para coordenadas reais e essenovo ponto fornecido ao elemento descontnuo para o clculo de suas funes e deri-vadas restritas interface. De mo das funes e derivadas de seus vizinhos, a interfacecalcula a contribuio de seus termos para a matriz de rigidez e vetor de carga.

3.2 FORMULAO VARIACIONALA formulao variacional implementada em objetos derivados da classe TPZMate-

rial. A classe TPZMaterial implementa as interfaces para as suas classes derivadas. Sode especial importncia os mtodos Contribute e ContributeBC. O mtodo Contributecalcula a matriz de rigidez e o vetor de carga do elemento em um ponto de integrao. Omtodo ContributeBC calcula a matriz de rigidez e o vetor de carga do elemento tipo con-dio de contorno em um ponto de integrao. O PZ trabalha com condies de contornotipo Dirichlet, Neumann e mista.

A classe TPZDiscontinuousGalerkin derivada da classe TPZMaterial. A funoda classe TPZDiscontinuousGalerkin definir as interfaces necessrias para o mtodode Galerkin descontnuo. So de especial importncia o mtodo Contribute, j definidona classe TPZMaterial, e os mtodos ContributeInterface e ContributeBCInterface, res-ponsveis pelo clculo da matriz de rigidez e vetor de carga do elemento de interfacee interface de contorno, respectivamente, em um ponto de integrao. Os elementos deGalerkin descontnuo no utilizam o mtodo ContributeBC e sim o mtodo ContributeB-CInterface, em que a condio Dirichlet imposta de forma fraca.


4. PROBLEMA DE CONVECO-DIFUSONesse exemplo apresentado um problema com descontinuidade no meio do dom-

nio. O problema dado por:

(Au) + div(u) = 0 em (1, 1)2, = {1, 1}T , A = 1.e 6

e as condies de contorno so Dirichlet, com valores como na figura 2.

Figura 2: Condies de contorno do problema 4.

O mtodo de Galerkin descontnuo mostra-se bastante estvel e a utilizao de dissi-pao artificial colabora com a estabilidade. Nota-se ainda que, no mtodo de Galerkindescontnuo, as oscilaes em um elemento no se propagam para os elementos vizinhos,o que uma vantagem do mtodo com relao a elementos finitos contnuo.

Figura 3: Evoluo da soluo para refinamento uniforme e p = 2 constante

Mtodo de Galerkin descontnuo de Baumann sem SUPG



Mtodo de Galerkin descontnuo de Baumann com SUPG


Mtodo de elementos finitos contnuo sem SUPG


Mtodo de elementos finitos contnuo com SUPG

5. PROBLEMA DE CONVECO-DIFUSO - CAMADA LIMITEEste problema de camada limite foi extrado do artigo de Houston et al. (2002). A

equao diferencial a ser resolvida dada por

(Au) + div(u) = S em = (0, 1)2


S = 2 +(1 x)2 (1 x) (1 y) + (1 y)2

A (1 e1/A) e(1x) (1y)/A x y

A = 0.01, = {1, 1}T

u|D =

0 para x = 10 para y = 1

(1 + ey/A + y e1/Ay

) (1 + e1/A

)1

para x = 0

(1 + ex/A) + x e1/Ax

) (1 + e1/A

)1

para y = 0

A soluo analtica u(x, y) = x+ y (1x)+ (e1/A e(1x) (1y)/A) (1 e1/A)1 mostrada na figura 7. Neste problema, foram comparadas a soluo de Galerkin des-contnuo de Baumann e a de elementos finitos contnuo. Prope-se utilizar elementoscontnuos e descontnuos na mesma simulao. Na regio da camada limite utiliza-seGalerkin descontnuo, buscando-se a estabilidade da soluo. E na regio do domnio emque a soluo suave utiliza-se elementos finitos contnuo. Utilizou-se malha da figura 7.A partir dessa malha procedeu-se o refinamento uniforme para construir as demais malhasutilizadas. Os resultados com e sem SUPG so mostrados nas figuras 8, 9 e 10.

00.2

0.40.6

0.81 0

0.2

0.4

0.6

0.81

00.20.40.60.8

00.2

0.40.6

0.81

Figura 7: Soluo exata e malha para camada limite

Com SUPG, as taxas de convergncia ficaram em torno de 1.0 para os trs casostestados (elementos finitos, Galerkin descontnuo e contnuo-descontnuo). Essa taxa deconvergncia muito baixa se comparada com as taxas obtidas sem SUPG. Isso podeter ocorrido em consequncia do esquema SUPG ter sido aplicado apenas no termo con-vectivo. Embora o termo SUPG tenha estabilizado a soluo, a formulao variacionalno equivalente formulao forte do problema, influenciando negativamente a taxa deconvergncia.

As figuras 11, 12, 13, 14, 15 e 16 apresentam o valor das taxas de convergncia hpara norma L2 e seminorma de H1 das solues sem SUPG. Pode-se notar o crescimentoda taxa de convergncia em direo s taxas analticas esperadas.


Figura 8: Soluo camada limite - Elementos finitos contnuo

a) Com SUPG b) Sem SUPG - p = 2, 16 elementos - 81 equaes

Figura 9: Soluo camada limite - Galerkin descontnuo de Baumann


Os resultados indicam que a taxa de convergncia vai em direo das taxas analticasdadas em Baumann (1997) e Prudhomme et al. (2000). O mtodo de elementos finitosdeve convergir a uma taxa p+1 para norma L2 e p para seminorma de H1. J a formulaodescontnua de Baumann deve convergir a uma taxa p para p par (sub-tima) e p + 1 parap mpar (tima) em norma L2. Em seminorma de H1 deve convergir a uma taxa p, comoelementos finitos. Nota-se que a combinao de elementos contnuos e descontnuos tima em seminorma de H1 e sub-tima para p par em norma L2, tal como Galerkindescontnuo. Entretanto, os valores so melhores que esse ltimo.

6. CONCLUSESO mtodo de Galerkin descontnuo mostrou-se bastante adequado para problemas de

conveco-difuso. Nos problemas testados, o mtodo dispensa o uso de termos de dis-sipao artificial (SUPG), necessrios para elementos finitos contnuo. Com elementosfinitos, as oscilaes esto presentes em uma grande regio do domnio, isso , as os-cilaes se propagam alm da regio de forte gradiente. J com Galerkin descontnuo,as oscilaes so restritas regio de forte gradiente, no se propagando pelo resto dodomnio. Alm disso, alinhando-se as interfaces entre elementos com a descontinuidade,nenhuma oscilao seria apresentada. Uma desvantagem do mtodo de Galerkin des-contnuo (MGD) o nmero de graus de liberdade do problema, muito maior que o de


Figura 10: Soluo camada limite - Elementos finitos contnuo e descontnuo


Figura 11: Taxa de convergncia h em norma L2 - MEF sem SUPG

elementos finitos (MEF). Foi adotada a estratgia de combinar MGD e MEF para somara vantagem de cada um deles. Dessa forma, utiliza-se o MGD nas regies de forte gra-diente ou solues descontnuas buscando-se a estabilidade da soluo. E nas regies desoluo suave opta-se por utilizar o MEF, de modo a ter menos graus de liberdade. Essaabordagem mostrou-se adequada e a combinao dos mtodos mostrou-se consistente.

AGRADECIMENTOSOs autores agradecem Capes/Cnpq, Fapesp, Embraer e ao Cenapad-SP.

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Figura 12: Taxa de convergncia h em seminorma H1 - MEF sem SUPG

Figura 13: Taxa de convergncia h em norma L2 - MGD de Baumann sem SUPG

Calle, J. L. D., Devloo, P. R. B., & Gomes, S. M., 2004. Stabilized discontinuous galerkinmethod for hyperbolic equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi-neering.

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LeVeque, R. J., 1990. Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhuser Verlag.Oden, J. T., Babuska, I., & Baumann, C. E., 1998. A discontinuous hp finite element

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volume Vol. 1. Prentice Hall Inc., New Jersey - USA.

Prudhomme, S., Pascal, F., Oden, J. T., & Romkes, A., 2000. Review of a priori errorestimation for discontinuous galerhin methods. Technical report, Texas Institute forComputational and Applied Mathematics.

Santos, E. S. R., Devloo, P., & Gomes, S., 2004. Desenvolvimento de mtodo implc-ito para simulador numrico tri-dimensional de escoamentos compressveis. Mastersthesis, FEC - Unicamp.


Figura 14: Taxa de convergncia h em seminorma H1 - MGD de Baumann sem SUPG

Figura 15: Taxa de convergncia h em norma L2 - MEF e MGD combinados sem SUPG

Figura 16: Convergncia h em seminorma H1 - MEF e MGD combinados sem SUPG

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