BAB IV. ESTIMASI

(PENAKSIRAN PARAMETER)

Salah satu statistik inferensial, untuk menarik kesimpulan mengenai suatu

populasi dengan memakai sampel-sampel yang diambil dari populasi tersebut adalah

dengan menggunakan estimasi (penaksiran)

Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ, maka θ yang tidak diketahui harganya

ditaksir oleh harga ^

θ , yang dinamakan dengan estimator (penaksir).

Ciri-ciri estimator yang baik :

1. Tak bias, jika rata-rata semua harga ^

θ yang mungkin sama dengan θ,

2. Efisien, jika harga ^

θ , memiliki varians yang minimun,

3. Konsisten, jika untuk θ dengan ukuran sampel n, semakin besar n

menyebabkan ^

θ mendekati θ.

Cara menaksir :

1. Titik taksiran (point estimation), jika θ harnya ditaksir oleh sebuah harga ^

θ

tertentu

2. Interval taksiran (interval estimation), menaksir harga parameter θ diantara

baas-batas 2 harga

Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisien kepercayaan dengan 0 < γ < 1. Untuk

menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien keprcayaan γ maka

sebuah sampel acak diambil, lalu dihitung nilai-nilai statistik yang diperlukan.

P (A < θ < B) = γ, dengan A dan B fungsi dari statistik

Arti P (A < θ < B) = γ, peluangnya adalah γ bahwa interval yang sifatnya acak yang

terbentang dari A ke B akan berisikan θ atau 100 γ % percaya bahwa parameter θ

akan berada dalam interval A dan B

4.1 Menaksir Rata-Rata µµµµ

a. Simpangan baku σ, diketahui, populasi berdistribusi normal

γ)n

σzxµ

n

σzx(P

γγ 21

21 =+<<−

−−

interval taksiran : n

σzxµ

n

σzx

γγ 21

21 +<<−

−− .........................................(1)

b. Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi berdistribusi normal

n

stxµ

n

stx pp +<<−

−− ...............................................(2)

dengan tp : nilai t diperoleh dari daftar distribusi student (distribusi t)

p : ½ (1 + γ )

dk : n – 1

jika n besar dengan N populasi maka :

(1) menjadi 1N

nN

n

σzxµ

1N

nN

n

σzx

γγ 21

21

−−+<<

−−−

−−

(2) menjadi 1N

nN

n

stxµ

1N

nN

n

stx pp −

−+<<−−−

−−

Contoh 4.1.1

Berat dari sebuah sampel acak yang terdiri dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh

sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan berat sebesar 0,824 Newton

dan simpangan baku 0,042 Newton. Tentukan batas interval bila koefisien

kepercayaan 95 % bagi berat rata-rata semua bola !

Penyelesaian :

½ γ = ½ x 0,95 = 0,475 sehingga z0,475 = 1.96, sesuai persamaan (1)

200

0,04296,1824,0µ

200

0,04296,1824,0 ×+<<×−

dengan percaya 95 % bahwa berat rata-rata semua bola berada pada interval

0,82 < µ < 0,83

4.2 Menaksir Proporsi ππππ

Interval taksiran : n

)nx(1n

xzn

xπn

)nx(1n

xzn

xγγ 2

12

1

−+<<

−− ........... (3)

Contoh : 4.2.1

Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 penggarap sawah, 60 orang penggarap

diatas teryata juga merupakan pemilik sendiri yang bersangkutan. Tentukan interval

kepercayaan 90 % guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sarah

pertanian.

Penyelesaian :

Untuk n = 100 dan x = 60

½ γ = ½ x 0,9 =0,45 sehingga z,45 = 1,64, menggunakan persamaan (3) :

100

)10060(1100

601,64100

60π100

)10060(1100

601,64100

60−

+<<−

−

dengan percaya 90 % proporsi populasi pada 0,52 < π < 0,68

4.3 Menaksir Selisih Rata-Rata

a. σ1 = σ2 = σ

interval taksiran :

21γ2121

21γ21 n

1n

1σz)xx(µµn1

n1σz)xx(

21

21 ++−<−<+−−

−−−−

b. σ1 = σ2, σ tidak diketahui

21p2121

21p21 n

1n

1st)xx(µµn1

n1st)xx( ++−<−<+−−

−−−−

dengan 2nn

1)s(n1)s(ns

21

222

211

−+−+−= , p = ½ (1 + γ ) dan dk = n1 + n2 -2

c. σ1 ≠ σ2

dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2

2

22

1

21

γ21212

22

1

21

γ21 ns

nsz)xx(µµn

sn

sz)xx(2

12

1 ++−<−<+−−−−−−

d. Observasi berpasangan

Variabel acak X dan Y diambil sampel yang berukuran sama n1 = n2 = n, sehingga

diperoleh beda rata-rata µB = µX – µY dan selisih tiap pasangan Bi = Xi - Yi, interval

taksiran : n

stBµ

n

stB B

pBB

p +<<−−−

Dengan : n

BB i∑=−

1)n(n

)B(Bns

2i

212

B −−

= ∑ ∑ serta p = ½ (1 + γ) dan dk = n – 1

4.4 Menaksir Selisih Proporsi

Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100% selisih (π1 – π2) adalah :

2

22

1

11γ2121

2

22

1

11γ21 n

qpn

qpz)p(pππnqp

nqpz)p(p

21

21 ++−<−<+−−

dengan q1 = 1 – p1 dan q2 = 1 – p2

4.5 Menaksir Simpangan Baku

Jika populasi berdistribusi normal dengan σ2 maka interval taksiran untuk 100%

interval kepercayaan adalah

2γ)-(1

22

2γ)(1

2

21

21 χ

1)s(nσ

χ

1)s(n −<<−

+

Contoh 4.5.1

Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi

normal dengan simpangan baku σ. Dihasilkan harga statistik s2 = 7,8 dengan

koefisien kepercayaan 0,95

Penyelesaian :

dk 29 diperoleh 74529750 ,, =χ dan 0162

0250 ,, =χ dengan demikian 95 %

percaya bahwa simpangan baku akan berada dalam interval 2,23 < σ < 3,75

4.6 Soal Latihan

1. Sebuah populasi yang berdistribusi normal terdiri dari 1000 buah data dengan

simpangan baku 5,75. Diambil sebuah sampel acak yang terdiri dari 80 data, rata-

ratanya 68,6. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata ke-1000 data di

atas. Bagaimana kalau koefisien kepercayaannya 0,98? Jelaskan artinya!

2. Dari sebuah populasi berdistribusi normal telah diambil sebuah sampel acak

dengan n = 112. Didapat hasil data : Σ xi = 875 dan Σ xi2 = 7.178

Tentukan :

a. Taksiran rata-rata untuk populasi di atas

b. Interval taksiran rata-rata dengan mengambil koefisien kepercayaan 0.99.

Jelaskan artinya !

3. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram) : 142, 157, 138, 175,

152, 149, 148, 200, 182, dan 164

Jika nerat buah tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan 95%

untuk rata-rata berat buah tomat?

4. Diberikan dua sampel dengan data :

Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45

Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63

Yang diambil dari dua buah populasi. Untuk menentukan batas-batas interval

kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang

diambil? Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih tersebut, jika :

a. Simpangan baku kedua populasi diketahui sema besar, yaitu 9,5

b. Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya

c. Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar

5. Diperlukan untuk menaksir ada berapa % anak-anak SD yang kesehatan gignya

baik. Dalam penaksiran ini dikehendaki kepercayaan 98% dengan perbedaan

antara persentase sebenarnya dan persentase hasil penaksiran tidak lebih dari 4%.

Berapa anak SD yang harus diperiksa?