Číselné sústavy
DESCRIPTION
9415. 10. 8E. H. 752. 8. VII. Číselné sústavy. 10110010. 2. Základné pojmy. Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier) Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Číselné sústavy
VII
10110010
8EH
9415 10
2
7528
2
Základné pojmy
• Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier)
• Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic
• Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic
3
Delenie číselných sústav
• Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise
• Pozičné sústavy sú napr. desiatková, osmičková, dvojková, šestnástková
• Nepolyadické (nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise
• Nepozičné sústavy sú napr. rímska alebo „pivná“
• Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy
4
Prevody medzi číselnými sústavami
• V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej(oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej(binárnej)
• Preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel: • z desiatkovej sústavy do sústavy s iným základom • zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej
sústavy • medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2
(praktický význam majú prevody medzi dvojkovou, osmičkovou a šestnástkovou sústavou)
5
Prevod celých čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s iným
základom• Nech A je hľadané číslo a jeho jednotlivé cifry sú
ai (i=0, …, n)
• Nech Nc je celé číslo v desiatkovej sústave• Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme
prevádzať
• Potom ai = zvyšok po delení (Nci /z), kde Nci je celočíselný podiel Nci-1/z a Nc0=Nc
6
Príklad
Príklad: Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy.
Dané:Nc=Nc0=39z=2A=?
Vzťahy:ai = zvyšok po delení (Nci /z)
Nci je celočíselný podiel Nci-1/z
i Nci Nci+1 ai
0 39 39/2=19 39%2= 1
1 19 19/2=9 19%2= 1
2 9 9/2=4 9%2= 1
3 4 4/2=2 4%2= 0
4 2 2/2=1 2%2= 0
5 1 1/2=0 1%2= 1
VÝZNAM
(39)10 = (100111)2
7
Prevod desatinných čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s
iným základom• Nech A je desatinná časť čísla, ktorú hľadáme a
jej jednotlivé cifry sú a-i (i=1, …, m)
• Nech Nd je desatinná časť čísla v desiatkovej sústave
• Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme prevádzať
• Potom – a-i = celá časť súčinu (Ndi*z)
– Ndi+1 = (Ndi*z)- ai
– Nd1=Nd
8
Príklad
Príklad: Preveďte číslo 0,3 z desiatkovej do dvojkovej sústavy s presnosťou na 6 desatinných miest.
Dané:Nd=Nd1=0,3z=2A=?
Vzťahy:ai=celá časť súčinu (Ndi*z)
Ndi+1=(Ndi*z)- ai
i Ndi Ndi*z a-i Ndi+1
1 0,3 0,3*2=0,6 0 0,6-0=0,6
2 0,6 0,6*2=1,2 1 1,2-1= 0,2
3 0,2 0,2*2=0,4 0 0,4-0=0,4
4 0,4 0,4*2=0,8 0 0,8-0=0,8
5 0,8 0,8*2=1,6 1 1,6-1=0,6
6 0,6 0,6*2=1,2 1 1,2-1=0,2
(0,3)10 = (0,010011...)2
VÝZNAM
9
Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do
desiatkovej sústavy
• Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n,n-1,...0)
• Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať• Nech Nc je hľadané číslo• Potom
– Si = Si+1*z+ai
– Nc=S0
– Sn+1=0
• Alebo
n
i
ii zaNc
0
Hornerova schéma
10
Príklad
Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.
Dané:S6=0, z=2
a5=1,a4=0,a3=0,
a2=1,a1=1,a0=1
Nc=S0=?
Vzťahy:Si = Si+1*z+ai
i ai Si+1*z Si
5 1 0*2=0 0+1=1
4 0 1*2=2 2+0=2
3 0 2*2=4 4+0=4
2 1 4*2=8 8+1=9
1 1 9*2=18 18+1=19
0 1 19*2=38 38+1=39
(100111)2 = (39)10
11
Príklad
Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.
Dané:z=2a5=1,a4=0,a3=0,
a2=1,a1=1,a0=1
Nc=?
Vzťahy:
(100111)2 = (39)10
n
i
ii zaNc
0
Riešenie:
Nc = a5*25 + a4*24 + a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0*20
Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1Nc = 39
12
Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým
základom do desiatkovej sústavy
• Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1,-2,...-m)
• Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať• Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla• Potom
– S-i = S-i-1/z+a-i
– Nd=S-1/z
– S-m-1=0
• Alebo
m
i
ii zaNd
1
13
PríkladPríklad:
Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.
Dané:S-7=0, z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=S-1/z=?
Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i
i a-i S-i-1/z S-i
6 1 0/2=0 0+1=1
5 1 1/2=0,5 0,5+1=1,5
4 0 1,5/2=0,75 0,75+0=0,75
3 0 0,75/2=0,375 0,375+0=0,375
2 1 0,375/2=0,1875 0,1875+1=1,1875
1 0 1,1857/2=0,59375 0,59375+0=0,59375
S-1/z =0,296875
(0,010011)2 = (0,296875)10
14
Príklad
Príklad:
Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.
Dané:z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=?
Vzťahy:
(0,010011)2 = (0,296875)10
Riešenie:
Nd = a-6*2-6 + a-5*2-5 + a-4*2-4 + + a-3*2-3 + a-2*2-2 + a-1*2-1
Nd = 1*0,015625 + 1*0,03125 + 0*0,0625 + + 0*0,125 + 1*0,25 + 0*0,5
Nd = 0,015625 + 0,03125 + 0 + + 0 + 0,25 + 0
Nd = 0,296875
m
i
ii zaNd
1
15
Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2
• Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai
• Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi
• Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k
16
Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j=2 a k>2
• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m
• Postup:1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet
číslic bol násobkom k2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby
počet číslic bol násobkom k3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom
prevádzame na cifry pi
17
Príklad
Príklad:Preveďťe číslo 1110011.1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy
Riešenie:Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je8=23, teda k=3.
1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k.Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časťčísla bude mať 9 číslic => 001110011
2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k.
Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Tedadesatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100
18
Príklad
3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011.110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame.
001 | 110 | 011 . 110 | 100
1 6 3 . 6 4
(1110011,1101)2 = (163,64)8
19
Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j>2 a k=2
• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m
• Postup:1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice
20
PríkladPríklad:Preveďťe číslo 163.64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy
Riešenie:Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je2=21, teda k=1.
1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice
1 6 3 . 6 4
001 110 011 . 110 100
(1110011,1101)2 = (163,64)8
21
Prevod medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j>2
• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m
• Postup:1. Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy, podľa
postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j=2
2. Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i=2 a j>2