clase 4 numeros reales ii

MATEMATICA APLICADA

NUMEROS REALES II

2015 22014

TRAIDO POR

UNIMED

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Forma General:

Teorema de Cardamo Viete

Sean: , las n raices de la

ecuacion polinomica.

1. Suma de raices :

2. Producto de raices:

METODO DE LOS VALORES CRITICOS INECUACIONES POLINMICAS

P(x) = + 1

1 + + 22 + 1 + 0 > 0 ( > 0)

El mtodo que facilita la solucin es el mtodo de los valores crticos.

Entonces podemos seguir los siguientes pasos:

Se factoriza el polinomio P(x)=

y se iguala a cero cada factor, siendo estos los valores crticos.

x - 1 = 0 x - 2= 0 x - 3= 0.. x - = 0

x = r1 x = 2 x = 3 .x =

Se ubica estos valores crticos en la recta y Se determinan los signos de

los intervalos de variacin

+ + + +

r1 2 3 1

La solucin ser la unin de los intervalos :

P(x) > 0; se consideran los intervalos positivas en su solucin.

P(x) < 0; se considera los intervalos negativos en su solucin.

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

PRIMER CASO: Cuando las races de la ecuacin polinmicas P(x) = 0 , son reales y

diferentes , es decir:

i. P(x) > 0

La solucin en este caso es la reunin de los intervalos con signo positivo.

Ejemplo: Sea P(x) = 3 + 22 11 12 > 0, hallar el conjunto solucin.

factorizando: 3+22 11 12 > 0

(x + 4) (x + 1) (x 3) > 0 ;

PC = {- 4, - 1, 3}

+ +

CS: < - 4; - 1 > U < 3; >

3 -1 - 4


ii. Si P(x) < 0 La solucin en este caso es la reunin de los intervalos con signo negativo.

Ejemplo:

Sea P(x) = 124 563 + 892 56 + 12 < 0 , hallar el conjunto solucin. factorizando:

12 - 56 89 - 56 12 PCR =1, 2, 3, 4, 6,12

1,2, 3, 4, 6,12

3/2 18 - 57 48 - 12 12 - 38 32 - 8 0 2/3 8 - 20 8

12 - 30 12 0

( 2x 3 )( 3x 2 ) ( 2x 1 ) ( x 2 ) < 0

Puntos crticos: x = 3/2 x = 2/3 x = x = 2

CS: < 1/2; 2/3> U < 3/2; 2>

+ _ + _ +

1/2 2/3 3/2 2

v


SEGUNDO CASO: Si alguna de las races del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad

mayor que (1), se tiene:

Suponiendo que el factor (x - r ) es el factor que se repite m veces, entonces :

i. Si m es par, los signos de los intervalos de variacin donde figura son iguales, es

decir no son alterados.

Ejemplo: Sea P(x) = 5 + 44 73 + 102 10 + 4 0 , hallar el conjunto solucin.

Solucin: 5 + 4473 + 102 10 + 4 0

x 1 2 2 x2 + 2 0

Puntos Crticos: x = 1 multiplicidad par ; x = 2 ; x2 + 2 < 0

1 2

CS: ; 2

+


ii. Si m es impar, los intervalos de variacin contiguos al valor crtico tienen

signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjunto

Solucin:

factorizando:

(x + 2) (x 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}

- 2 1 3

x < 1 , 3 >

+ _ + _


TERCER CASO: Cuando alguna de las races del polinomio P(x) = 0 no son reales,

en este caso a estas races no se consideran en la determinacin de los

intervalos y para dar la solucin, se sigue el mismo procedimiento de los casos

anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = 2 + + 1 2 2 + 7 2 + 3 + 5 > 0 ;hallar el conjunto solucin.

Solucin:

P(x) = 2 + + 1 2 2 + 7 2 + 3 + 5 > 0

< 0 < 0 < 0

( + ) ( + ) ( + )

CS: R

+

INECUACIONES POLINOMICAS

Hallar el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

1) 433 3 32 4 < 0

Solucin

+ 1 4 2 + 1 < 0

PC= { - 1; 4 } ( 2+1 > 0 ; < 0)

+ - +

-1 4 CS: < -1; 4 >


2) 5 + 84 + 123 2 8 12 > 0

1 8 12 - 1 - 8 - 12

1 1 9 21 20 12

1 9 21 20 12 0

- 2 - 2 - 14 - 14 - 12

1 7 7 6 0

- 6 - 6 - 6 - 6

1 1 1 0

Factores: 1 + 2 + 6 2 + + 1

PC: { - 6; - 2; 1} y ( 2+ + 1 > 0 ; < 0 )

- -

- 6 - 2 1

CS: < - 6; - 2 > U < 1; >

+ +


3) 24 93 + 102 + 2 0

PCR =1;2

1;2

2 - 9 10 1 - 2

2 4 - 10 0 2

2 - 5 0 1 0

1 - 2 - 1

2 - 4 - 2 0

Factores: ( x 2) ( 2x 1) ( 2- 2x 1)

PC: 1 2;1 + 2; 1

2; 2

-1- 2 -1+ 2 2

CS: < - ;1 2 U [ -1 + 2 ; ] U [ 2; >

+ + +

INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS

Inecuaciones Fraccionarias Son inecuaciones de la forma

Donde Q(x) 0

Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta

que los valores crticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.

NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores est afectado a un

exponente par, el valor crtico que le corresponde no se toma en cuenta, este

mismo criterio se aplica si el valor crtico es un nmero imaginario.

( con )

METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:

65

24 0

Solucin.

Multiplicacin por (-1) al numerador: 56

24 0

Entonces: 56

2 +2 0

PC: { - 2; 6/5; 2}

+ +

- 2 6/5 2

CS: < - ; -2 > U [ 6/5; 2 >

2. Resolver : +4

3< 2

Solucin:

+4

3 2 < 0

+4 2+6

3< 0

+10

3< 0

10

3> 0

PC: { 3 ; 10 }

+ - +

3 10

CS: < - ; 3> U < 10; >

INECUACIONES RACIONALES


3. Resolver: +2

3

21

2+1

Solucin

+2

3

21

2+1 0

+2 2+1 21 3

3 2+1 0

1213 2+1

0

PC: { - ; 1/12; 3 }

- 1/12 3

CS: < - ; 1/12 ] U < 3; >

+ +


4) Resolver: 12 22

3 2 0

Solucin

2+1 2+2

3 2 0

+1 5

2+

1+ 5

21 +2

3 2 0

PC: 2; 1 5

2;1+ 5

2; 1; 2; 3

- 2 1 5

2

1+ 5

2 1 2 3

CS: < - ; -2] U [1 5

2;

1+ 5

2 ] U [ 1; 2 > U

+ + + +


5) Resolver: 124563+89256+12

5+84+1232812 0

Solucin

Factorizando: 23 32 21 2

1 +2 +6 2++1 0

PC: { -6; -2; ; 2/3; 1; 3/2; 2}

-6 -2 2/3 1 3/2 2

CS: < - ; - 6> U < -2 ; 1/2] U [ 2/3; 1> U [ 3/2; 2]

+ + + +

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o mas

variables o incgnitas, que se verifican en forma simultanea solo para

un determinado conjunto de valores que toman dichas variables ,

denominadas conjunto solucin ( C.S.)

Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:

a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solucin nica.

b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas

soluciones.

c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite solucion.

Mtodos de Solucin :

a) Mtodo de igualacin.

b) Mtodo de sustitucin .

c) Mtodo de reduccin.


1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ( 1 )

3x - 2y = 18..( 2 )

Solucin

Por el mtodo de la sustitucin:

De ( 1 ) : 4x = 1 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y

x = x

=

3 15y = 72 + 8y

y = - 3 .( 3)

Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 )

x = 4

CS. { ( 4, -3 )

SISTEMA DE ECUACIONES 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

7 x + 5y = 9 ( 1 )

- 2 x + 11 y = - 15 .( 2 )

Solucin

Por el mtodo de sustitucin:

De ( 1 ) .. ..( 3 )

Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ):

- 2 x + 11 ( ) = - 15

- 10 x + 99 77x = - 75

174 = 87 x

x = 2( 4)

Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 )

y = - 1

CS. { ( 2, -1) }


3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x + 3 y = 10( 1 )

8 x + 11y = 38( 2)

Solucin

Por el reduccin: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 )

8 x + 11y = 38

- 8 x - 12 y = - 40

8 x + 11 y = 38

- y = - 2

y = 2 .( 3 )

Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ):

x = 2

CS . { ( 2 , 2 ) }


EJERCICIOS Hallar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones:

1. 4 x + 3 y = 26

3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1

x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41

3 x + 4 y + 6 z = 52

5 x - 5 y + 3 z = 5

INECUACIONES

Ejercicios:

Hallar la solucin del siguiente sistema inecuaciones:

1. Rpta:

2. Rpta:

3. Rpta:

4. Rpta: < -3, 1>

5. Rpta:

6. Rpta:

VALOR ABSOLUTO

El Valor absoluto de un nmero real x, denotado por , se define as:

Ejemplo:

d = 4 d= 4

- 4 0 4

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES

1. x = 0

2.

3.

4.

5.

6.

7.

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

Para la resolucin de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los

siguientes teoremas:

i. Si: x = y x = - y

ii. Si: y 0 ( x = y x = - y )

Para la resolucin de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los

siguientes Teoremas:

iii.

iv.

v.

vi.

0;

VALOR ABSOLUTO

1. Demostrar que si :

solucin

Sabemos que: ;

De la condicin: , aplicamos la propiedad y obtenemos:

Sumamos : 4 - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo invertimos

Obtenemos: ; sumamos 1

Obtenemos:

Entonces:

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO Ejemplos:

2) Resolver: 2 +1

2= 3 1

Aplicamos el teorema:

( x = y x = - y )

3x 1 0 { 2 +1

2 = 3x 1 +

1

2 = - 3x + 1 }

x 1/3 { x = 3/2 x = 1/10 }

CS: { 3/2}

1/10 1/3 3/2

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos:

3) Resolver: 8 7 = 17

Aplicamos el teorema:

( x = y x = - y )

8 7 = 17 17 0 ( 8x 7= 17 8x 7 = - 17 )

x = 3 x = - 5/ 4

CS: { - 5/4 ; 3 }


4) Resolver :

Solucin

Sabemos que: , entonces se cumple:

1 - = 2 1 - = - 2

1 2 = 1 + 2 =

- 1 = 3 =

x = - 3 x = 3

solucin : { - 3 , 3 }

CS = { - 3 , 3 }


5. Resolver:

Solucin

races imaginarias races imaginarias

no reales no reales

CS :


6. Resolver: 2 1

2

2

3 + 1

Solucin

Como se cumple: 2

3 + 1 0 x

3

2

- 2

3 1 2

1

2

2

3 + 1

- 2

3

1

2 2x

2

3 +

3

2

1

2

8

3

4

3

3

2

3

16

9

8

3

2

3

16

9

8

CS: [3

16;

9

8 ]


7) Resolver: 2 2 3

2 1

Solucin:

2 2 3

2 1

( 2 2x - ( 3

2 - 1)) ( 2 2x

3

2 1)

2 x x 6

7

6

7 2

CS: < ; 6

7 ] u [ 2; >

VALOR ABSOLUTO 8. Resolver:

Solucin:

Sabemos que:

( )

( )

( )

[ 0 ( x + 2 ) ( x 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ]

PC : {-2 , 1, 2, -1 }

-2 -1 1 2

CS: < - , - 2 ] [ 2, >

+ _ +

+ + _

VALOR ABSOLUTO

9. Resolver:

Solucin

PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }

-2 - 2/3

CS. < - , - 2 ] [ , ]

+ + _

VALOR ABSOLUTO

10. Hallar el conjunto solucin de:

Solucin

Factorizando: )

( ) ( )

( ) R ( )

( ) R

( ) R

x < - 3 x > 9

- 3 9

CS: < - , - 3 > < 9 , >

+ +

VALOR ABSOLUTO 11. Resolver: |x + 5/ x| 6

Solucin

- 6 x + 5/x 6

Esto es equivalente a escribir como sigue:

- 6 x + 5/x ^ x + 5/x 6

0 ( x + 6x +5)/x ^ (x - 6x +5)/x 0

0 ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x 0

PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5

-

-5 -1 1 5

+ + +

_ +

VALOR ABSOLUTO 12. Resolver :

Solucin

^

0 < + 4 ^ - 4 < 0

^

-6 -1 - 2/7

CS: < - , -6 > U < - 2/7 , >

+ +

+ +

clase 4 numeros reales ii

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