clases

SEMANA 1

TEMA : INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS REALES

NúmeroEs la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numerus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos como por ejemplo los naturales, enteros, racionales, irracionales, reales.

Los números son entes abstractos desarrollados por el hombre como modelo que permite contar y medir.

Clasificación:Números Naturales Representación: N

El conjunto de los números naturales contiene clases simbolizadas por cifras que expresan el

número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 4

representa a un conjunto formado por cuatro elementos.

El conjunto de los números naturales se denota por N = {1, 2, 3, 4...} y se representan en una semirrecta.

En sentido estricto, este conjunto no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el

conjunto, se denota por N* = {0, 1, 2, 3, 4 ...}(llamados también enteros no negativos)

Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos. Por tanto, este conjunto puede interpretarse intuitivamente como aquel que sirve para contar. En él pueden definirse

1MATEMÁTICA I - ADMINISTRACIÓN

OBJETIVOS:

Familiarizarse con los conjuntos, la clasificación de los números reales y la recta de los números reales.

Nombrar, ilustrar y relacionar las propiedades de los números reales en términos de sus operaciones.

operaciones de suma, resta, multiplicación y división, así como relaciones de orden (mayor que, menor que).

Números enteros Representación: ZSurge de la resta de números y de la necesidad de expresar cantidades negativas; como por ejemplo temperatura bajo cero (puede ser -4°C).

De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros es el formado por los

elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}. Este conjunto se denota por Z, e incluye

como subconjunto al de los números naturales; es decir: N Z.

Representación gráfica del conjunto Z.

LOS NÚMEROS RACIONALES Representación: Q

El concepto de fracción surge intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del

mismo tamaño (por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es una

parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los números enteros y los

fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más general, llamado de los números racionales.

Números fraccionarios

Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de números enteros (a, b), siendo a,

b ∈

Z, que se expresa también como , tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de

ser distinto de cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:

Fracciones propias, cuando el numerador es menor que el denominador.Por ejemplo:

etcétera.

Fracciones impropias, en caso contrario.Por ejemplo, etcétera.


Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos, constituidos por la suma de

un entero y una fracción propia. Por ejemplo, puede escribirse también como la suma de 1 y

, que corresponde al número mixto 1 .

Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador es el dividendo (D) y el

denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto que la representa tendrá la forma genérica:

, siendo c el cociente y r el resto de la división.

Representación gráfica del conjunto Q

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

Enteros:

−62=−3

Decimal exacto:

72=3,5

Decimal infinito periódico.

Periódico puro:

13=0 ,333333333·····0 ,3

Periódico mixto:

8930 = 2,96666666·······2,9 6

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

Entero:−3=−3

1

Decimal exacto:2 ,18=218

100 luego se ha de simplificar. Decimal infinito periódico:

Periódico puro: x = 1 ,35


100 x = 135,353535·········· x = 1,353535··········

99 x = 135 – 1 9 x = 134 x=134

991 ,35=134

99

Periódico mixto: x = 1,3 18

1000 x = 1318,181818········· 10 x = 13,181818·········

990 x = 1318 – 13990 x = 1305

x=1305990

1,3 18=1305990

Números irracionalesRepresentación: I (QI)

En la resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros o fraccionarios (racionales) aparecen continuamente soluciones que no son números racionales, como las raíces de 2, 3, 5, etcétera. Estos números, llamados irracionales, que no pueden ser representados por fraccionesLa expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como:√ 2 ; √ 3 ; √ 5 ;.....; = 3,14159········, e = 2.71828·······

e=límx→∞(1+ 1

x )x

;

φ=1+√ 52

=1,6180 ········

Números reales: Representación R

La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los números reales. Así, este conjunto engloba como subconjuntos a los de los números racionales e irracionales. R=QUQI


Representación gráfica del conjunto R.El conjunto R de los números reales se representa sobre una línea llamada recta real. Los números reales llenan completamente esta recta.

En el conjunto R de los números reales se definen corrientemente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto, con respecto a las cuales verifica las propiedades expresadas en la siguiente tabla.

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.



Asociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.


Identidad Suma

Multiplicación

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.


Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero.

El producto de recíprocos es 1.



Distributiva Suma respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

Ejemplos:

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2 14 + ( -14 ) = 0 3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

Aplica la propiedad indicada:

5(x + 8) ; (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación) (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva) 12(x + y) ; (distributiva) 9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación) (x + y) + z ; (asociativa de suma)

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número.

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número


real.

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0.

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

Recuerda

Operación Definición Que dice Ejemplo

Resta a – b = a + ( -b) La resta es la suma del opuesto del sustraendo.

División La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definiciones:

Expresión algebraica: 8

MATEMÁTICA I - ADMINISTRACIÓN

OBJETIVOS:

Identificar y denotar expresiones algebraicas. Determinar el grado y el valor numérico de las expresiones algebraicas. Reconocer y clasificar los polinomios.

Es una combinación de números y letras vinculados entre si por las 6 operaciones basicas, un número limitado de veces.

Ejemplo:

Término algebraico:

Es una combinación de números y letras unidos entre sí sin las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo:

Polinomio:

Un pol inomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + . . . + a 1 x 1 + a 0

Siendo a n , a n - 1 . . . a 1 , a o números, llamados coef ic ientes .n un número natura l .x la var iab le o indeterminada.a n es e l coef ic iente pr inc ipa l .a o es e l término independiente.

Grado de un pol inomio

El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la var iab le x.

Ejemplo: Q(x) = 5x 3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio


Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

E jemplo: P (x ) = 2x 3 + 5x − 3 ; x = 1

Suma de Pol inomios :Ejemplo: Dado P (x ) = 2x 3 + 5x − 3 y Q(x ) = 4x − 3x 2 + 2x 3 .

Ha l lar P (x )+Q(x)

Resta de Pol inomios :

Ejemplo: Dado P (x ) = 2x 3 + 5x − 3 y Q(x ) = 4x − 3x 2 + 2x 3 .

Ha l lar P (x ) -Q(x)

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otropol inomio que tiene degrado elmismodel polinomio y comocoef ic ientes elproducto de los coef ic ientes de l po l inomio por e l número .

Ejemplo: 3 · (2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2 )


Multiplicación de un monomio por un polinomioSemult ip l i ca e l monomio por todosycadauno de losmonomios que forman e l po l inomio .

Ejemplo: 3x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2 ) =

Multiplicación de polinomios

Hallar P(x) · Q(x) dado P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x Se mult ip l i ca cada monomio de l pr imer pol inomio por todos los e lementos segundo pol inomio.So luc ión:

P(x) · Q(x ) =

Ejercicios:

I ) Sean los po l inomios :

P(x ) = 4x 2 − 1

Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2

R(x ) = 6x 2 + x + 1

S(x ) = 1/2x 2 + 4

T (x ) = 3/2x 2 + 5


U(x) = x 2 + 2

Ca lcu lar :

1 . P(x ) + Q (x ) =

2 . P (x ) − U (x ) =

3 . P (x ) + R (x ) =

4 . 2P(x ) − R (x ) =

5 . S (x ) + T (x ) + U(x ) =

6 . S (x ) − T (x ) + U(x ) =

I I ) Dados los po l inomios :

P(x ) = x 4 − 2x 2 − 6x − 1

Q(x ) = x 3 − 6x 2 + 4

R(x ) = 2x 4 − 2x − 2

Ca lcu lar :

a ) P (x ) + Q(x ) − R(x ) =

b) P (x ) + 2 Q(x ) − R(x ) =

c ) Q(x ) + R(x ) − P (x )=

I I I Mult ip l i car :12

MATEMÁTICA I - ADMINISTRACIÓN

1. (x 4 − 2x 2 + 2 ) · ( x 2 − 2x + 3 ) =

2 . (3x 2 − 5x ) · (2x 3 + 4x 2 − x + 2 ) =

3 . (2x 2 − 5x + 6 ) · (3x 4 − 5x 3 − 6x 2 + 4x − 3 )

IV. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.Simplifique: (2 x2−3x+2¿(3 x2 y+4 x−4)

2. Simplifique: (−3 x3 y−4 x+5 )−(4 y x3+12x−3)

3. Simplifique: 3¿

4. Encuentre el producto: (4 x−3 y ) (3x4+2xy−3x ) DIVISIÓN ALGEBRAICA

1. Dividir:

2x4+5 x3+3 x2−9x+2

2. Dividir: 8 x4+10 x3−5x+1

4 x−3

3. Dividir: 2x3+3 x2+72 x−1

4. Dividir: 6 x4−23 x2−19 x+8

2 x2−4 x−1

5. Calcular “m+n+p” si la división:

8 x5+4 x3+mx2+nx+ p2 x3+ x2+3


Deja como resto: R(x)≡ (5 x+2 )(2 x+3)

6. Calcular: “n+k” si la división:

15x4+41 x3+71 x2+nx+2k3x2+4 x+5

7. Si Q(x) es el cociente de dividir:

x5+(a+1 ) x4+ (a+b ) x3+(b+1 ) x2+ax+bx2+ax+b

Calcular: Q(3)

8. Calcular “a-b”. Si R ( x )≡6−3 x, es el residuo de dividir.

10x4+16x3−17 x2−ax−b5 x2−2x+3

9. Calcular ”m” si la división:

21x4−41 x3−23 x2+mx−163x−5

Deja como resto 4.

10. A partir de la división:

6 x3+5 x+11x−1

Calcular la suma de los coeficientes de su cociente.


SEMANA 2 Y 3:TEMA : ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una proposición que indica que el valor numérico de dos expresiones algebraicas son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “=”.

Toda ecuación lineal con una incógnita se puede llevar a la forma: ax + b = 0, con a ≠ 0. Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha proposición, la

solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por el valor: x = −b

a

Ecuaciones Lineales Básicas:

Ejemplo 1: 2 ( x+4 )=7 x+2Ejemplo 2:

x3−4= x

5

Ejercicios: Resolver:

1. 2 ( x−1 )−3 ( x−4 )=4 x

2.

x3−4= x

5

3.

7 x+32−9 x−8

4=6


Objetivos:

Identificar si un valor es o no solución de una ecuación. Resolver una ecuación de primer grado con una variable. Resolver una ecuación lineal, Ecuaciones con literales. Ecuaciones que conducen a

ecuaciones lineales, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones con radicales.

4.

x+23−2−x

6=x−2

5.

2 y−73

+ 8 y−914

=3 y−521

Ecuaciones con Literales despejando las variables Literales:

Resolver las siguientes ecuaciones con literales despejando la variable indicada:

Ejemplo 1:

a= x−xr2

1−r; x=?

Ejemplo 2:

S=P+Pr t ; P=?

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones con literales despejando la variable indicada:

1.a= x−xr

2

1−r; x=?

2.r= 2mI

B (n+1 ); m=?

3.

1p+ 1q=1f; q=?

4.S=

R [ (1+i )n−1 ]i

; R=?

5.S= u

au+c; u=?

6. p=8q−1 ; q=?

7. S=p (1+rt ) ; r=?

8.S=n

2 (a1+an) ; a1=?

9.r= d

1−dt; t=?

10.r= 2ml

B (n+1 ); n=?

Ecuaciones fraccionarias o racionales:


Ejemplo1 :1x+11

10=2x−2

5

Ejemplo 2:

y−6y− 6y= y+6y−6

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

1.

1x−3

− 3x−2

= 41−2x

2.

3.

xx−2

+ 2x+2

= x2−1x2−4

4.

x+3x− x+4x+6

=13

x2+6 x

5.

3x+4x+2

−3 x−5x−4

=12

x2−2 x−8

6.

x2+17 x+3

+ x+87=4 x+11

14

7.

x+1x− x+4x+5

= 3 x+5

x2+5 x

8.

xx+2

= x2−2x2−4

9.

2

x2−2 x−8+ 1

x2−x−12=13

x2+5 x+6

10.

x−2

x2+2x−3− x+1

x2−9= 4

x2−4 x+3

Ejemplo :

2x−1= 9x

x+4


Ejercicios:

1)3x+1

x3+ x+1

x=1+ 2x+3

x2 3)2(x+1)x−2

+ 5x−4

= 36x2+2x−8

2)x+1x−1

+ 3x+1

= x−2

x2−1 4)

8x+6

+ 12−xx−6

=1

Ecuaciones con radicales

Ejemplo 1:

6−√2x+5=0

Ejemplo 2:

√ y2−9=9− y

Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:


1. √5+2 x=√4 x−2

2. √ x−√ x+1=1

3. √ x+2−√ x+7=1

4. √5 x−14=2√x−1

5.√5 x−6−16=0

6. √ x2 +1=23

7. √4 x−6−√x=0

8. √ x2+33−x=3

9. √5−x+√ x+3=010. √5 x+19−√5x=−1


PERIODO LECTIVO 2011-I

EJERCICIOS DE REPASO:

1.5( x−1 )+ 1

2=x+2

2.2( x+3)+3 ( x−2)=1

2( x+3 )

3.

x+83+2( x+1 )=3( x−1

2)

4.2( x+1

5)+x=4 (x+ 1

2)

5.

a+xb− x−b

a=2

6. 3( a+4 x )+7 (2x−a )−5(3 x+2a)+a=0

7.

x+3bx+b

= x−2x−5

8.4 ( x−3 )+ 3

4=2( x+5 )

9.

x−4x+6

= x+4x+22

10.3(2x−7

5)−1

4(2x−7 )+

5( x+2)3

=5

11. √ x+7−√x+14=−1

12. √ x−2+5=√x+53

13. √√X+16+√X=2

14. √2x−1−6=−√ x+4

15. √ x+6+√ x−4=0

MATEMÁTICA I-ADMINISTRACIÓN


SEMANA 4

TEMA : APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN DE ECUACIONES DE 1ER GRADO

Pasos a Seguir en la Resolución de Problemas

En los problemas de Aplicación o modelación es recomendable organizar el desarrollo de la solución usando los siguientes puntos para no olvidar ningún detalle:

Comprensión del problema

- Leer todo el enunciado atentamente.- Trazar un esquema que ilustre el enunciado, si todo es posible.- Identificar las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.- Elegir una variable para la cantidad desconocida y escribir exactamente lo que

representa. Para esto es muy útil fijarse en la pregunta del enunciado.

Planteamiento Establecer relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichas relaciones provienen de:

- Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones ( interpretación de textos)- Reglas externas al problema.

ResoluciónLa parte operativa ya debe ser sencilla después de todo lo trabajado y no podemos fallar en esta. El trabajo debe hacerse cuidadosamente.

ComprobaciónEs siempre bueno asegurarnos que el proceso de cálculo esté correcto

Respuesta completa y escritaEsta parte es importante, se debe escribir una respuesta completa para dar claramente solución a la pregunta propuesta. No olvidar colocar las unidades y reflexionar sobre el sentido de los números que hemos obtenido con respecto al contexto del problema.

Ejemplo 1.


OBJETIVO:

Modelar situaciones que se describen por medio de ecuaciones lineales.


Pedro y Juan guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un año tiene en total 8000 soles pero Juan le corresponde el triple de dinero que a Pedro. ¿Cuánto posee cada uno?

Variable ¿Cuánto posee cada uno de ellos?

Incógnita(s):

Planteamiento Tiene en total 8000 soles

A Juan le corresponde el triple de dinero que a Pedro.

Resolución

Respuesta

Ejemplo 2: En el mes de diciembre un comerciante gana cada semana $ 600 más que la semana anterior. Si consideramos que el mes tiene 4 semanas y que en la cuarta semana gana siete veces lo que gana en la primera semana, ¿Cuánto gana en cada semana?



Variable ¿Cuánto gana en cada semana? Incógnita(s):

Planteamiento Gana cada semana 600 más que en la semana anterior

1era semana

2era semana

3era semana

4era semana

En la cuarta semana gana siete veces lo que gana en la primera

Resolución

Respuesta

Ejemplo 3:

Un administrador de un minimarket compra una cierta cantidad de tomates a 2 soles el kilo. Se le echan a perder 4 kilos y el resto los vende a 5 soles el kilo ¿Qué cantidad ha comprado si la ganancia es de 40 soles?



Ejemplo 4:

Si una tienda rebaja sus artículos un 24%, ¿Cuál sería el precio inicial de una prenda cuyo precio rebajado es de 38 soles?

EJERCICIOS

1) Hay que repartir 60000 entre cierto número de trabajadores presentes en una reunión de manera exacta entre ellos, uno de los trabajadores nota que si hubiera 2 trabajadores menos a cada uno le tocaría 2500 más ¿ Cuánto son los trabajadores y cuanto le toca a cada uno?

2) La diferencia de dos números es 9, y la suma de ocho veces el primero y tres veces el segundo resulta 6. Hallar los números.

3) La suma de las edades de A, B, C es 69 años. La edad de A, B, y C es 69 años. La edad de A es el doble que la de B y 6 años mayor que la de C. Hallar las edades correspondientes.

4) Dentro de 65 años tendré 6 veces la edad que tenía hace 10 años ¿Cuantos años me faltan para cumplir 49 años?

5) Hugo debe pagar $205 con 28 billetes de 5 y 10 soles ¿Cuántos billetes de S10 empleará?

6) Ana y Carla tienen entre las dos 10 vestidos de fiesta; si la mitad de vestidos que tiene Ana multiplicado por la tercera parte de vestidos de Carla es 4, indicar cuantos vestidos tiene cada uno.

7) El doble del cuadrado de un número natural disminuido en tres unidades es igual al quíntuple del mismo. ¿Cuál es dicho número?

8) En un examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8.Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos ¿Cuántas preguntas ha acertado Juan? ¿Cuántas ha fallado?

9) Un comerciante aumenta cada año su fortuna el tercio de su valor, y al fin de cada año retira 1000 dólares para los gastos; habiéndose duplicado la fortuna al fin del tercer año, se pregunta cuánto tenía al principio.

10) Un revendedor vende la mitad de las naranjas, más la mitad de una naranja; una segunda vez, vende la mitad del resto, mas media naranja, y así sucesivamente; después de tres ventas no queda ninguna ¿Cuantas naranjas tenía?

11) Un concierto produjo 60000 por la venta de 8000 boletos. Si los boletos se vendieron a 6 y 10 dólares cada uno. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?



12) Quince personas, entre hombres y mujeres, comen en restaurant; los hombres gastan 36 soles y las mujeres también lo mismo. Hallar el número de hombres y gastos individual, sabiendo que cada mujer ha pagado 2 soles menos que un hombre.

13) Un administrador de una Hacienda compra carneros en 750 soles; los cría 3 meses y pierde 5 por enfermedad y vende cada uno de los otros a 6 soles más de lo que le costaron. En esta operación pierde 30 soles. Halle el número de carneros y el precio de compra.

14) Un teatro vendió 242 entradas en $1096. Las entradas de los adultos se vendieron a $5.30 cada una y los de niños a $2.0. Cuantas entradas de cada clase se vendieron?

15) Juan lee 30 páginas de su libro, si al día siguiente; lee el doble de lo que le queda disminuido en 100; si todavía le falta 10 páginas por leer. Cuantas páginas tiene su libro?16) La edad de Miguel es la mitad de la edad de su padre aumentado en 4 años. Si ambas edades suman 64 años. cuál es la edad de cada uno de ellos?

17) Hace 8 años la edad de Juan era el triple de Carlos y dentro de 4 años la edad de Carlos será los 5/9 de la edad de Juan. Hallar las edades actuales de estas personas?

18) Una empresa dedicada a la crianza de aves y ganado vacuno tiene actualmente 320 mil animales. Si un empleado cuenta el número de patas llega a 840 mil. Cuál es el numero de aves que tiene la empresa?

19) Un mendigo da 3 golpes de bastón cada vez que ve a un hombre y 2 golpes cada vez que ve a una mujer. Si llega observar a 26 personas, dando 60 golpes. Calcular la diferencia entre el número de mujeres y hombres?

20) El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de x niños está dado por I=450x y sus costos mensuales totales están dados por C=380x +3500 ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos?



SEMANA 5

TEMA : ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)

Forma general:

Donde: x= incógnita, asume dos valores a ,b , c∈R /a≠0

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores positivos, nulos o negativos que satisfagan la ecuación. Dichos valores se llaman raíces o soluciones de la ecuación.

Resolución de la ecuación:

1. Por factorización:

Resolver la ecuación:x2−x−6=0 Resolver la ecuación: 4 x2−9=0

2. Por la fórmula de Carnot:

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2+bx+c=0; a≠0 estas se obtienen a partir de la

relación:


Objetivos:

Identificar si un valor es o no solución de una ecuación. Resolver una ecuación de segundo grado con una variable.


Resolver la ecuación: 3 x2−2x−4=0 Resolver la ecuación: 2 x2−5x+1=0

DISCRIMINANTE (∆):

Dada la ecuación cuadrática en x: ax2+bx+c=0; a≠0

Se denomina discriminante al operador denotado por y definido de la manera siguiente:

∆=b2−4 ac

Propiedad del Discriminante:

Dada la ecuación cuadrática en x: ax2+bx+c=0; a≠0

1. Si ∆>0 , laecuacióntienera í cesrealesydiferentes .

2. Si∆=0 , laecuació ntienerelaeseiguales .

3. Si∆<0 , laecuacióntienera í cesimaginariasyconjugadas .

Ejemplo:

Para la ecuación: 2 x2−5x+1=0

Su discriminante es:

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x 2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es :



Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

Ejemplo 1: x2−2 x−2=0

Ejemplo 2: 4 x2−3x−2=0

Confirmen su conocimiento

1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 4)6 x2=27



Método Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:

Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:

Ejemplo 1: 2 x2+5 x−12=0

Confirmen su conocimiento

1) x2 + 8x + 6 = 0MATEMÁTICA I-ADMINISTRACIÓN


2) 9x2 + 6x + 1 = 0

3) 5x2 - 4x + 1 = 0

4)x2+165x+6624=0

5)x2=−3 x+8

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

Importante: La cantidad b2−4 ac ,que aparece dentro del signo radical en la formula cuadrática que es el discriminante, el cual se utiliza para determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, la ecuación tiene una raíz doble, y si es negativo, la ecuación no tiene raíces reales.

Valor de:

Tipo de solución

positivo dos soluciones realescero una solución realnegativo dos soluciones imaginarias

Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

Ejemplo1:

x2−7 x+4=0

Ejemplo 2:

2 x2−3x+4=0



Confirme su aprendizaje

1)x2−6 x+5=0 2) 2m2+5m+3=0 3)3 y2−4 y+5=0

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:

1) x2 - x - 20 = 0 (por factorización)

2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)

3) x2 - 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)

4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)

5) Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

a) 4 x212x+9=0 b)2 p2+5 p+6=0

EJERCICIOS

A. Resuelva las ecuaciones mediante factorización, si es necesario.

1)( x+3 ) ( x−2 )

2)x2−4=0

3)x2+ x−12=0

4)4 t2+2 t−2=0

5)(3 x−4 ) ( x+1 )=−2

B. Resuelva completando cuadrados



1) x2+2x−8=02) 6 x2−12=33) m2−3=−m4) 3 x−4=−2x2

5) 4 x2−13=0

C. Resuelva mediante formulas cuadráticas1) 2 x2−x−6=02) m2=4m−13) 8 x+3=8x2

4) 4 x=−2 x2+35) 2.1 x2−4.7 x−6.2=0

D. Utilizar el discriminante para determinar el número de soluciones reales de cada ecuación:

1)2m2+5m+3=0

2)2 p2+5 p+6=0

3)25 x2−80 x+64=0

4)6

k2+ 1k−2=0

E. Resuelva por el método que desee:

1)x2-4x-21=0

2) x+1

x−3=5

3)(2 x−3)2=8 x

4)2x−1x+1

= x+1x−2

5) 8x+6

+ 12−xx−6

=1



6). Para qué valor del parámetro “m” las raíces de la cuadrática en x:

x2+2 (m+2 ) x+9m=0 Son iguales.

7) Resolver: (x+4 )3−(x−3)3

(x+4)2+(x−3)2=7

8) Resolver: 3x+1

+ 4x− 12x+2

=0

9) Resolver: y+1y+3

+ y+5y−2

=7 (2 y+1)y2+ y−6

10) Resolver: 1

x6+ 9

x3+8=0

11) Resolver: 4 x2−17 x+15=0


PERIODO LECTIVO 2011-IEJERCICIOS:

I. RESUELVA POR FACTORIZACIÓN

1. x2−4 x+4=0

2.t 2−8 t+15=0

3.x (x+4 ) ( x−1 )=0

4.( x−3 ) (x2−4 )=0

5.p( p−3)2−4 ( p−3)3=0

6.5(x¿¿2+x−12) (x−8 )=0¿

7.x4−3x2+2=0

II. ENCUENTRE TODAS LAS RAÍCES REALES CON EL USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

1.x2−2 x−24=0

2. 4 x2−12x+9=0

3.q2−5q=0

4. −2 x2−6 x+5=0

5. 0.02w2−0.3w=20

III. RESUELVA POR CUALQUIER MÉTODO

1. x2= x+3

2

2. 3

x−4+ x−3

x=2

3. 2

2x+1− 6x−1

=5

4. 6(w+1)

2−w+ ww−1

=3

5. 2

r−2− r+1r+4

=0

6. 2x−32x+5

+ 2 x3 x+1

=1

7. t+1t+2

+ t+3t+4

= t+5

t2+6 t+8

8. 2

x2−1− 1x (x−1)

= 2

x2

9. 5−3(x+3)x2+3x

=1−xx

10. x+√4 x−5=0

MATEMÁTICA I-ADMINISTRACIÓN Página 34


SEMANA 6

Aplicaciones de Ecuaciones de Segundo Grado

Ejemplo 1

¿Cuántos metros de paño se compraran con 240 soles, sabiendo que si el metro hubiese costado 3 soles menos se hubieran tenido 4 metros más?

Ejemplo 2

Una pieza de género ha sido vendida en 1800 soles ; el comprador , al recibirla , averigua que , por equivocación , le han entregado una pieza que vale 2,5 soles, menos por metro, pero que compensación contiene 15 metros más que lo que esperaba .Se decide a guardarla , y se pregunta cuántos metros contenía esta pieza , y cuál era el precio del metro.

Ejemplo 3:

Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $20 mensuales se quedarán dos oficinas vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. Si la compañía quiere obtener un total de $20 240 mensuales de rentas del edificio. ¿Cuál es la renta que debe cobrarse por cada oficina?

Ejercicios

1) Un fabricante de pequeños aparatos domésticos determina que la utilidad P en dólares generada por la producción de x hornos microondas por semana está dada por la formula



P= 110

x (300−x) siempre y cuando 0≤ x≤200 ¿Cuántos hornos deben ser fabricados en

una semana para obtener una utilidad de 1250 dólares?2) q unidades de un producto pueden venderse semanalmente a un precio p cada uno , en donde P=1000-q

Cuantas unidades deben venderse para obtener ingresos semanales igual a 240000?

3) Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 soles. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 sol en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

4) La temperatura, T, , a la cual hierve el agua, se relaciona con la altitud, h, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula

Valida entre . La elevación aproximada del Monte Everest es de 8 840, ¿cuál será la temperatura a la cual hierve el agua en la cima de esa montaña?

5) Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)

6) Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será de 100Öq. Si el costo variable por unidad es de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:

Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)

7) Un proveedor de instrumentos quirúrgicos vende artículos a 10500 soles la unidad, para pedidos menores de 100. Si el pedido es de más de 100 hasta un máximo de 250, el precio se reduce en 15 soles por el numero pedido ¿Cuántos artículos se pueden comprar con 1404000 soles ¿Cuál es el precio unitario?

8) Una compañía de bienes raíces es propietario del conjunto de departamentos, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La compañía quiere recibir $54 600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada departamento

9) Hace 6 meses, una compañía de inversionistas tenía una cartera de $3 100 000, que consistía en acciones de primera y acciones atractivas. Desde entonces, el valor de la inversión en acciones de primera aumentó en 1/10, mientras que el valor de las acciones atractivas


PERIODO LECTIVO 2011-Idisminuyó en 1/10. El valor actual de la cartera es $3 240 000. ¿Cuál es el valor actual de la inversión en acciones de primera?

10) Un malabarista lanza una pelota imprimiéndole una velocidad de 4m/s después de haber sido lanzada ,la función que describe su altura (medida en metros ) según el tiempo es h(t)01.2+4t+2t2 .Calcula la altura máxima que alcanzó la pelota y el tiempo en que alcanzó la máxima altura.

SEMANA 6 Y 7

TEMA : DESIGUALDADES

René Descartes

Definición:

Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales mediante los signos de relación ¿ ;<;≥ó ≤.

Siendo a y b números reales:

AXIOMAS DE LA DESIGUALDAD:


a>bamayor queb .

a<bamenor queb .

a≥bamayor o igualque b .

a≤bamenor o igualque b .

OBJETIVOS:

Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación de intervalos. Identificar y efectuar operaciones con intervalos. Resolver desigualdades lineales con una variable e introducir la notación de intervalos

PERIODO LECTIVO 2011-I1. Ley de Tricotomía: ∀a˄b∈ R :a>b˅a<b˅a=b

2. Ley de Transitividad: ∀a ,b˄c∈R /a>b˄b>c→a>c

3. Ley aditiva:∀a ,b˄c∈R /a>b→a+c>b+c

4. Ley Multiplicativa: ∀a ,b∈R˄c∈R+¿/a>b→ac>bc¿

∀a ,b∈R˄c∈R−¿/a>b→ac<bc¿

EQUIVALENCIAS USUALES:

Siendo a, b y c números reales:

1. a≥b↔a>b˅a=b2. a<b<c↔a<b˄b<c

TEOREMAS DE LA DESIGUALDAD:

1. ∀a∈R : a2≥0

2.a>0→1a>0

a<0→1a<0

3. a ,b , c ˄d∈R :

a>b˄c>d→a+c>b+d

4. a ,b , c ˄d∈R+¿ :¿

a>b˄c>d→a.c>b .d

5. a ,b , c ˄d∈R+¿ óa , b ,c ˄d ∈R−¿:¿ ¿

a<b<c→ 1c< 1b< 1a

6. a ,b , c ˄d∈R ,n∈Z+¿¿:

a<b<c→a2n+1<b2n+1<c2n+1

7. a ,b , c ˄d∈R+¿ ,n∈ Z+¿¿ ¿:

a<b<c→a2n<b2n<c2n

8.a ,b , c ˄d∈R−¿ , n∈ Z+¿ ¿¿:

a<b<c→c2n<b2n<a2n

PROPIEDAD DE LA DESIGUALDAD:

1. a<0 , c>0˄c2>a2 2.a<b<c→0≤b2<c2

Expresa cada uno de los intervalos en términos de desigualdades y grafícalos en la recta numérica:a . ]−8 ;3 [b . ]−2;9 [

c .]5 ;12[

d . ]20 ;+∞[

e . (−∞ ,7 ]

Confirmen sus conocimientos

I) Expresa cada uno de los intervalos en términos de desigualdades y grafícalos en la recta numérica:


PERIODO LECTIVO 2011-Ia) (3,6) b) [-1,4) c) (0,∞) d) (-∞,5] e) (-2,5]

II) Represéntelo en forma geométrica sobre la recta de los números reales, el intervalo(s) resultante de la operación dada.

a)x [ -3;5] [2;6] d)x ]- ; 2] [1;+ [

b) x [2;4] [3;10[ e)x [2; 8] – {3; 7}

c)x [2;5[ [5; 8[ f)x [ 1;5] - [3; 7]

TEMA : INECUACIONES:

Definición: Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, la cual se representa en función de intervalos.

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO (LINEAL):

La inecuación se puede escribir de la forma: Ejemplos:ax+b<0 ;a≠0

ax+b≤0 ;a≠0

ax+b>0 ;a≠0

ax+b≥0 ;a≠0

Ejemplos:

Resolver las siguientes inecuaciones:

1. 3 x−2<7

2. 5 x−14>2x−(10+3 x−5−x)

3.2x5+ 3 x

4< 3 x−2

20


ax+b<0 ;a˄b∈ R/a≠0

OBJETIVO:

Resolver inecuaciones lineales, racionales en forma analítica, utilizando los conceptos básicos del álgebra.


4.5x3−4 x≤3 x+2

5. x+1>4 ox+2<−1

6. x+3>1 yx−2<1

7. . 3x−2 < 5 x+2 ∧ 2( x + 2 ) ≥ 3x+4

EJERCICIOS:

I. De su respuesta en notación de intervalo y representación en forma geométrica sobre la recta de los números reales.



1. 4+9 x≥−2+7 x

2. 5−3x<13+3 x

3.4 x−1

3≤2x+ 3

4

4.−5 x+ 2

3>−1

2x−1

5. −14≤4 x−2≤14

6.

35x+1

2≤2

3−5

6x

7.

15< 2−x

2< 2

3

8. 5 x−3<18−2x≤7 x+9

9.

2−x3< 2 x−3

5<1+3 x

2

10. 3 x+5≤12≤4−5 x

11. 2x+1

5− x+1

2> 3x−1

10

12. x+1x−2

>2

13.3x−1x−3

>2

14. Si: 4 x+1

5≥

3x−23

El mayor valor entero de “x” que cumple es:

15. x+3 (x+4)

4>2(x+1)

16. Hallar x:

Si: x+1

3≤x+2 … (I)

x+32

≤x …(II)

x< 2x+194

…(III)

17. 2 x+6≥3 x+6 ∨ 7 x−4<5x+8

18.4 x<1− x−2

2∧ 2 x< 3 x

−2



SEMANA 8

TEMA 08 :APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE INECUACIONES LINEALES

RECORDAR:

APLICACIONES:

1. Un fabricante hizo un cierto número de anillos de compromiso, vende 60 y le quedan por

vender más de la mitad. Después hace 8 anillos más y vende 30. Cuántos anillos hizo en total

el fabricante si le quedan por vender menos de 40?

2. Una constructora trata de decidir cuál de dos modelos de grúa comprar. El modelo A cuesta

$50 000 y necesita $4 000 anuales por mantenimiento. El modelo B cuesta $40 000 y sus

costos anuales de mantenimiento son $5 500. ¿Durante cuántos años debe usarse el modelo B

para que sea más económico que el A?

3. Una empresa fábrica un número determinado de computadoras; si duplica su producción y

vende 60 le quedan más de 26. Pero si bajara su producción a la tercera parte y vendiera 5,

entonces tendría menos de 10 computadoras ¿Cuántas computadoras se fabricaron?


OBJETIVO:

Modelar situaciones reales en términos de desigualdades.

UTILIDAD= INGRESO TOTAL-COSTO TOTAL

OBTENER GANANCIA:

UTILIDAD > 0 → INGRESO TOTAL - COSTO TOTAL > 0

NO OBTENER PÉRDIDA:

UTILIDAD ≥ 0 → INGRESO TOTAL - COSTO TOTAL ≥ 0

PERIODO LECTIVO 2011-I4. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de

obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un

periodo dado, sin importar la producción) son $70 000. Si el precio de venta de un calentador

es $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

5. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de 10q+2 por

unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben venderse para que el

ingreso sea mayor que s/. 130?

6. Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obras y material

es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la

producción) son de $60 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuántos deben

venderse para que la compañía obtenga utilidades?

7. Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el

pago mensual sería de $600 (con base en un año), y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería

de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $4000, y los costos

por operación y mantenimiento serían de $80 por cada día que la máquina sea utilizada. ¿Cuál es

el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en

lugar de la compra?

8. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo

unitario de $15. Si los costos fijos son de $600 000. Determine el número mínimo de unidades que

deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.

9. Una fábrica de camisetas produce N camisetas a un costo de mano de obra total de $1.2N y un

costo total por material de $0.3N, los gastos generales para la planta son $6 000. Si cada camiseta

se vende en $3, ¿cuánta camisetas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?

10. Un comerciante adquirió cierto número de artículos de los que vendió 70 y le quedaron más

de la mitad, al día siguiente le devolvieron seis, pero logró vender 36 después de lo cual le

quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos adquirió el comerciante?

11. Ricardo, se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de s/. 1,50

cada uno. Si el costo unitario de s/. 0,80 y los costos fijos de s/. 20 determine el número de

sándwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tenga pérdidas.

12. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es s/.

4. El próximo mes el precio por unidad se incrementará en s/. 0,50. El fabricante quiere que el


PERIODO LECTIVO 2011-Iingreso total recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que s/. 10 750, ¿cuál es el

número máximo de unidades que pueden venderse al mes?


PERIODO LECTIVO 2011-ITEMA: INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición:

Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, la cual se representa en función de intervalos

I. Inecuación de Segundo Grado (Cuadrática):

Propiedades:

1) Trinomio siempre positivoSi: a x2+bx+c>0 ;∀ x∈REntonces: a>0˄b2−4 ac<0

2) Trinomio siempre negativoSi: a x2+bx+c<0 ;∀ x∈REntonces: a<0˄b2−4 ac<0

II. Inecuación Fraccionaria:

En forma general, multiplicando a ambos miembros por Q2 ( x ) y tener en cuenta que Q ( x )≠0, es decir:

Q2 ( x )( P ( x )Q ( x ) )>0 (Q2 ( x ) )

RESOLUCIÓN DE INECUACIÓN

1. Se trasladan todos los términos al primer miembro obteniendo siempre una expresión de coeficiente principal positivo.

2. Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.


a x2+bx+c>0 ;a ,b˄c∈R /a≠0

P(x )Q(x)

>0 ; [Q ]0≥1

Q ( x ) . P (x )>0˄Q (x )≠0

OBJETIVO: Resolver inecuaciones racionales; cuadráticas, fraccionarias en forma analítica, utilizando los conceptos básicos del álgebra.

PERIODO LECTIVO 2011-I3. Se calculan los puntos de corte, son los valores reales de “x” obtenidos al igualar cada

factor primo a cero.4. Se ubican ordenadamente todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan en

la recta dos o más zonas.5. Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos (+) y (-).6. Si el signo de relación es ¿ó≥, el conjunto solución estará conformado por todas las

zonas positivas, pero si el signo de relación es ¿ó≤, el conjunto solución lo conformarán todas las zonas negativas.

Ejemplos:

1. Resolver la inecuación:x2+ x>6

2. Resolver: −4 x2+4 x+3>0

3. Resolver: x2−5x+6x2+x−42

≥0 4. Resolver: x−5x−7

≤0

5. Resolver: 5x−2x

−4<0 6. Resolver: x−2x+3

< x+1x

EJERCICIOS: RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES

1. Resolver: x2−5 x−6≥02. Resolver: x2<253. Resolver: x2>25

4. Resolver: x−5x−7

≤0

5. Resolver: x2−11 x+28>0


Observación:En una inecuación fraccionaria si el signo de relación es ≥ó≤ solo cerraremos los extremos que provienen del numerador.

PERIODO LECTIVO 2011-I6. Resolver: (2 x+1)2>0

7. Resolver: (2 x+1)2≥0

8. Resolver: (2 x+1)2<0

9. Resolver: (2 x+1)2≤0

10. Señalar (V) o (F).Justificar.I) x2>16→C .S . :<4 ;∞>¿II) x2≤4 x→C .S . :<−∞; 4>¿III) ( x−3 ) ( x−5 )<0→C. S .:<3 ;5>¿

11. Resolver: 3x−1x−3

>2

12. Resolver: x+1x−2

>2

13. Resolver: 3x+52x+1

≤3

14. Resolver: 9 x+10x+2

<2

15. Resolver: x2−5

x2−x−12≥1

16. Resolver: 3 x2+1x2−x−2

≥3

17. Resolver: x3+x2≤4 x+4

18. Resolver: x

1−x≤x−32−x

19. Resolver: (x2−1 ) ( x+3 )(x−2)

( x−5 )(x+7)>0

20. Resolver: x

x−1+ x−1

x< 2 xx+1



SEMANA 9

TEMA 09: APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN DE LAS INECUACIONES CUADRÁTICAS

EJERCICIOS

1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dado por la expresión G ( x )=−x2+582x−76 donde ( x en miles ) es el número de unidades producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de la menos S/. 14 000?

2. Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están por p=200−3 x. El costo de producir x unidades al mes del artículo es C=650+5 x dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dólares?

3. Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $ 8 por corte de cabello. Por cada incremento del 75% en el precio, la peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

4. Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado con p=500−5 x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $ 12 500?

5. El costo de producir x lámparas esta dado por C=300+70 x+x2. Si estas se pueden vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades semanales de la menos 900 soles?


OBJETIVO:

Modelar situaciones reales en términos de desigualdades.


6. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de 60 soles cada artículo. Gasta 40 dólares en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de 3000 dólares a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos 1000 dólares a la semana.

7. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios el costo combinado de mano de obra y material es de 21 por calentador. Los costos Fijos son 70,000. Si el precio de venta de un calentador es 35 ¿Cuánto debe vender para que la compañía genere utilidades?8. El ingreso mensual obtenido por la venta de x cajas de dulces esta dado por x (5-0.5x)soles. El costo al por mayor de cada caja es 1.50 soles ¿Cuántas cajas deben venderse cada mes para obtener una ganancia de al menos 60 soles?

9. Si el precio p de cierto artículo depende de la cantidad demandada q y está dado por p=120−2q, y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cada unidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de la menos $900?

10. UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45 unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19 500?


Cuadrante I (+,+)

Cuadrante IV (+,-)

Cuadrante III (-,-)

Cuadrante II (+,-)

PERIODO LECTIVO 2011-ISEMANA10 TEMA : RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES:Definiciones previas:

Sistema de coordenadas Rectangulares El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto 0. La horizontal se denomina eje x, la vertical , eje y , ambas constituyen los ejes de coordenadas. El punto o se llama origen del sistema. La distancia de un punto al eje Y se llama abscisa. La distancia de un punto al eje X es la ordenada y ambas constituyen las coordenadas de dicho punto y se representa por el símbolo (x, y). Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje “Y” y negativas en caso contrario. Las ordenadas son positivas cuando el punto está encima del eje x , y negativa en caso contrario.

PAR ORDENADO

Es un ente matemático que consta de dos elementos reales, donde es importante el orden de los elementos, se representa:

“a”: primera componente (x)“b”: segunda componente (y)


PROPIEDADES

1.-

2.- Igualdad de pares ordenados

Objetivos:

Identificar funciones de relaciones. Determinar dominio y rango de funciones.

PERIODO LECTIVO 2011-IEjemplos: Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares, indique el cuadrante al que pertenece cada punto.

a) (−2,6 ) ( 1 ,−1 ) ( 5,7 ) (−6 ,−2 ) b) ( 1 ,−8 ) (−2,0 ) ( 0 , −11 ) ( −2, 9 )

c) (− 1 ,0 ) (2 ,−2 )( 12, −4 ) ( 0 , 9 )

PRODUCTO CARTESIANODados dos conjuntos no vacíos A y B se define el producto cartesiano de A con B y se denota

( AxB )como el conjunto de pares ordenados (a; b) tal que: a∈ A y b∈B , es decir:

Donde: A= Conjunto de partidaB= Conjunto de llegada

Propiedades1.-Si A y B son dos conjuntos diferentes: AxB ≠ BxA

2.-Si: A=B⇒ AxB=BxA

3.-Si A y B son dos conjuntos finitos

n( AxB )=n( A ).n(B ): Cardinal de A

(Número de elementos de A)

: Cardinal de B (Número de elementos de B)

Ejemplo: Se tienen los conjuntos

A={1,2,3} y B={5,7}, calcular: AxB

Resolución:

AxB= {(1 ;5 ) , (1;7 ) , (2 ;5 ) , (2 ;7 ) , (3 ;5 ) , (3 ;7 ) }

RELACIÓN BINARIA

I. Definición: Dados dos conjuntos no vacíos AyB, se dice que R es una relación de A en B (en ese orden) si y solo si R es un subconjunto de AxB, es decir R⊂AxB

R={(a ;b )/a∈ A˄b∈B˄aRb }Donde: aRb indica la relación que existe entre los componentes a y bEjemplo: Dados los conjuntos

A={1,2,4 }˄B= {2,3 }Determinar la relación R de AenB definida de la manera siguiente:


PERIODO LECTIVO 2011-IR={(a ;b )/a∈ A˄b∈B˄a<b }

Resolución: Hallemos el producto cartesiano de A por BAxB= {1,2,4 }x {2,3 }

II. Relación en A: Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A si y solamente si R⊂AxA

FUNCIONESUna función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento o mecanismo) que nos transporta de un conjunto a otro de manera que asociamos a cada elemento de A un único elemento de B.

Dominio: conjunto de todos los valores de entrada (son los valores del eje x)

Rango: Conjunto de todos los valores de salida. (son los valores del eje y)

La notación de la función y=f (x ) se lee:

y es igual a f de x ;donde x eslavariableindependientee y la variable dependiente

Formas de representar una Función:

Se puede usar:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras)

Ejemplo:

b) Algebraicamente ( por medio de una fórmula explícita)Ejemplo:

c) Visual (con una Grafica)Ejemplo:

d) Numéricos ( a través de una tabla de valores)Ejemplo:



e) Diagrama SagitalEjemplo:

f : es una función y sus pares ordenados son:

f = { ( 1; 1) ; ( 3 ; 9 ) ; ( 6 ; 36 ) } también:

f (1) = 1; f ( 3) = 9; f ( 6 ) = 36

f) Conjunto de pares ordenadosEjemplo:

Notación funcional

f : A→B ó A→fB

Se lee: función de f de A en B

Propiedades:fesunafunci ónsiverifica :i ¿ f ⊆AxB

ii¿ (a ,b )є f (a ,c)є f⟶b=cEsto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

Observación: Si el par (a ,b )є f escribiremos b=f (a )

y=f ( x )↔ ( x , y ) є fEjemplo 1:

¿Cuál de las siguientes relaciones son funciones?

R1= {(2;1 ) , (9 ;3 ) , (−1,7 ) }R2= {(3 ;0 ) , (4 ;0 ) , (5 ;1 ) }MATEMÁTICA I-ADMINISTRACIÓN Página 53

PERIODO LECTIVO 2011-IR3= {(5 ;1 ) , (4 ;−1 ) , (4 ;2 ) }

Resolución: De acuerdo con la definición se observa que:R1 esfunció n

R2 esfunci ón

R3noesfunci ón ; porque (4 ;−1 ) y (4 ;2 )∈a R3 siendoparesordenadosdistintos .

Ejemplo 2: Aprobar el curso de Matemática I depende de las calificaciones que obtenga el alumno. Las calificaciones dependerán del tiempo que dedique el alumno al estudio. La demanda de un producto dependerá de su precio y de los precios de la competencia.

Ejemplo 3:Mario es vendedor de una empresa de productos químicos en el contrato firmado por Mario se indica que su sueldo depende del número de unidades que vende a la semana. Si la ecuación para determinar su sueldo semanal esta dado por y=f ( x )=5 x+18. Si Mario vende a la semana 70 unidades ¿Cuánto será su ingreso?Resolución:

Ejemplo 4:Función de demanda

Suponga que la ecuación p=100q

describe la relación entre el precio por unidad p de cierto

producto, y el número de unidades q que los consumidores comprarán (demanda) por semana a ese precio. Esta ecuación se llama ecuación de demanda para el producto. Si q es un número de entrada, entonces para cada valor de q se asigna exactamente un número de salida p:

q→100q=p

Por ejemplo: 20→10020=5

Esto es, cuando q es 20, entonces p es 5. Así, el precio p es una función de la cantidad demandada, q. Esta función se llama función demanda. La variable independiente es q, y la variable dependiente es p. Como q no puede ser 0 y no puede ser negativa, entonces el domino consiste en todos los valores de q>0

Ejemplo 5: Programa de ofertaLa tabla muestra un programa de oferta. Indica una correspondencia entre el precio p de cierto producto y la cantidad q que los fabricantes surtirán por semana a ese precio. A cada precio le corresponde exactamente una cantidad y viceversa.

PROGRAMA DE OFERTA


PERIODO LECTIVO 2011-Ip :Precioporunidadendó lares q :Cantidadofrecidaporsemana

500 11600 14700 17800 20

Si p es la variable independiente, entonces q es una función de p, es decir q=f ( p), y f (55 )=11; f (600 )=14 ; f (700 )=17 ; f (800 )=20

Observar que cuando el precio por unidad se incrementa, los fabricantes están dispuestos a surtir más unidades por semana.Por otra parte, si q es la variable independiente, entonces p es una función de q, es decir p=f (q), y

g (11)=500 ; g (14 )=600 ; g (17 )=700 ; g (20 )=800

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION:1. Dominio de f=Dom (f ) denominado también pre-imagen: es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida.2. Rango de f=Dom ( f ) denominado también imagen, recorrido o contra recorrido: es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada.EJEMPLO: En la función

F={(2 ;6);(3 ;9 ) ;(4 ;12 ); (5 ;15)}Dom (F) =

Ran (F) =

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Dada una función f: A B

Si A y B son subconjuntos de los reales (R), entonces f esta definida en R, es decir:

Una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y su regla de correspondencia que permita conocer la imagen (y) para cada elemento (x) del dominio.

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Dada la función F: A B / y = F ( x )

Evaluar la función F significa obtener el valor de “y” (imágenes), mediante la regla de correspondencia, luego de asignarle un cierto valor de “x” que pertenece al dominio.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL


x

y

( 1 )

x

( 2 )

y

x

y

( 3 )

x

y

( 4 )x

y

( 5 )x

y

( 6 )

PERIODO LECTIVO 2011-IEs la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función en el plano coordenado cartesiano.

En el plano cartesiano una curva corresponde a la gráfica de una función si y solo si cualquier recta perpendicular al eje x corta al gráfico en un solo punto.

Ejercicio:

1. De los siguientes gráficos: determinar cuáles son funciones y cuáles no lo son?



SEMANA 11TEMA DOMINIO DE FUNCIONES ESPECIALES

CRITERIOS PARA DETERMINAR EL DOMINIO Y RANGO 1. Para el dominio se despeja la variable y, para analizar la existencia de su equivalente.2. Para el rango se despeja la variable x. para luego analizar la existencia de su equivalente, a veces se determina a partir del dominio.

OBSERVACION: Frecuentemente para determinar dominios y rangos necesarios y reconocer la

existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales.

AB=∈ IR↔B≠0

√A=∈ IR↔A≥0

Ejemplos: 1. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

F: IR IR / ⟶ y=f ( x )=2x+1x−3

2. Determinar el dominio de:g ( t )=√2t−1

3. Determinar el dominio de : f ( x )=x

x2−x−2

Ejercicios:I. Obtenga el dominio de cada función:

1. f ( x )=8x

2. h ( x )=√ x−3

3. f ( z )=3 z2+2 z−4

4. f ( x )=9 x−92 x+7

5. h ( s)= 4−s2

2 s2−7 s−4

6. g ( x )= x5

7. k ( x )= 1

√ z−1

8. g (r )= 2

r2+19. f ( x )=√4 x+3

10. f ( x )= 4 x2−12 x+1

II. Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

1. f ( x )= 4 x2−12 x+1

2. f ( x )= x+2x−5

3. f ( x )=√x2−1


PERIODO LECTIVO 2011-I4. f ( x )=√x2−9

5. f ( x )=16−x2

6. f ( x )=2x−3 ; x є<5;10¿



FUNCIONES ESPECIALES

I. FUNCION LINEAL:

Df=IR; Rf=IR

ayb∈ IR

Grafica:

Ejemplos:

1. y=F ( x )=5 x+13

2. El departamento de policía de una ciudad pequeña estudia la compra de un patrullero.

Los analistas de la policía estiman que el costo del carro, completamente equipado es $ 18

000. Han estimado también un costo promedio de operaciones de $ 0.40 por milla. Determinar

la función matemática que representa el costo total.

II. FUNCION IDENTIDAD:

Df=IR

Rf=IR

Grafica:


PERIODO LECTIVO 2011-IIII. FUNCION CONSTANTE:

Df=IR; Rf= {k } ; k∈ IR

Grafica:

IV. FUNCION CUADRÁTICA SIMPLE:

Df=IR

Rf=¿

Grafica:

FUNCION CUADRÁTICA:

FORMULA GENERAL:

a≠0 , a , byc∈ IR


PERIODO LECTIVO 2011-IV. FUNCION VALOR ABSOLUTO:

Df=IR ; Rf=¿

Grafica:

VI FUNCION RAÍZ CUADRADA:

Df=¿ ; Rf=¿

Grafica:

VII FUNCIONES POLINOMIALES

Cada una de las funciones anteriores constituye un ejemplo de una función polinomial. Una función polinomial de n grados tiene la forma general.

y=f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+. . .. .+a1 x+a0

Donde an , an−1 , a1 , a0 ;son reales ;an≠0

El exponente de cada x debe ser un entero no negativo y el grado del polinomio es la potencia (exponente más alta en la función).

Ejemplo: f ( x )=5 x5+7 x4−3 x+5 , esunafunciónpolinomial


Y= f(x)=|x|

PERIODO LECTIVO 2011-IVI. FUNCIÓN RACIONAL

Es cuando un función polinomial divide a otra función polinomial.

Forma General:

Donde g y h son funciones polinomial.

Las funciones racionales se llaman así por su estructura de razón.

Ejemplo:

f ( x )= x2+5x−17x2−5 x+6

, es una función racional ; Dom (f ): IR−{2,3 }

EJEMPLO

FUNCIÓN A TROZOS O PEDAZOS

Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio.

Forma:

f ( x )=¿ { f 1 (x ) , x∈Dom f 1 ¿ {f 2( x ) , x∈Dom f 2 ¿ ¿¿¿ su dominio es:

Domf=Dom f 1∪Dom f 2¿Dom f 3 .

EJEMPLO:


y=f ( x )=g( x )h( x )

11

9 8

6

4 1 6 9 10

10

6

3 1. 5 8 8

9

6 5

1 3 6 8

10

7 6

4

1 2 58 5 9


EJERCICIOS

I. En cada caso, hallar el dominio y el rango de cada función representada en los gráficos siguientes:

II. Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. f ( x )=9

2. f ( x )=9

x

3. f ( x )=x2−2 x

4. f ( x )=√8 x−1

5.f ( x )=√5−2x

6. f ( x )=x2−4 x+2

7. f ( x )=5√57

8. f (k )=k−9

9.

g( y )=6 y−2

√ y−3

10. f ( x )= x2−4 x+2

x

11. f ( x )= 1

√8x−10

12.f ( x )= 3 x

x2−2 x+1

13. f ( x )=x5

14. f ( x )=−√2 x

15. f ( x)=√ x4−x2



16. f ( x)=√ 2 x2−x−1

x2+3x

17. f ( x)=√ x2−3x+2+ 1

√3+2x−x2

18. f ( x)=√ x−2x+2

+√ 1−x1+x

f ( x)=√ x−1+2√1− x+√x2+1

Determine el dominio y rango de cada función:

1. 2. f ( x )=¿ { x+1 , si x<2 ¿¿¿¿

3. 4. f ( x )=¿ { 3 x−2 , si −4≤x≤4 ¿ ¿¿¿

IV. Determinar el valor de la función, para cada una de las siguientes funciones:

1.f ( x )=9 , f (4 ) ; f (h ) ; f (−5)

2. ,

3. ,

4. f ( x )=2 x2−x+4 ,

5. f ( x )=√3 x2+6 x−1 ,

f ( 13) ; f (11) ; f (1 )


.2

.1

.3

.1

.3

.5

f

. 3

.1

.2

. 5

.2

.3

g

PERIODO LECTIVO 2011-IV. En los siguientes ejercicios determine: f(1), f(-2), f(a+b)

1. f ( x )=−3x2+10 x+1

2. f ( x )=4 x2−x+5

3. f ( x )=3 x2−1

4. f (t )=−t 3+2 t2

5. f ( x )=mx+b

VI Dadas las funciones:

Calcular: K=f (1 )+g (3)

f (g (1 ) )+ f (g (2 ))

MATEMÁTICA I - ADMINISTRACIÓN Página 65


SEMANA 12

TEMA : FUNCIÓN CRECIENTE Y FUNCIÓN DECRECIENTE

FUNCIÓN CRECIENTEUna función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 de dicho intervalo tales que x1 sea menor x2 se verifica que f(x1) es menor que f(x2)

Ejemplo:

1. La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2

2.

3.


∀ x1∧x2∈Df : x1< x2→ f ( x1 )<f (x2 )


FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 de dicho intervalo tales que x1 sea menor x2 se verifica que f(x1) es mayor que f(x2). Fig2

Ejemplo:

1.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-5 0 5

2.


∀ x1∧x2∈Df : x1< x2→ f ( x1 )>f (x2 )

http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:Funcion4.png

PERIODO LECTIVO 2011-I3.

Ejemplos:

1. Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo . La

siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

a. Creciente en los intervalos

b. Decreciente en los intervalos

2. La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito.


http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Imagen:Funcion5.png

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Fab.gif


0

5

10

15

20

-5 0 5

Pasos para determinar si es creciente o decreciente

Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces

1) f(x) es CRECIENTE en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.

2) f(x) es DECRECIENTE en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f(x) es CONSTANTE en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I.

Ejemplo 1:

La función f ( x )=(x+1)2 , xϵ [0,5 ] ¿Es creciente?

Ejemplos:

1) La función f(x) = 2x + 4 es una Función creciente en los números reales.

2) La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.


Y Y

1) 2) 8

4


Ejemplo 3: La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

Ejemplo 4: Analizar las funciones cuyas gráficas se muestra a continuación



Dominio

Rango

Creciente

Decreciente

Debes recordar el signo de las x y las y en cada cuadrante del plano cartesiano. Las y son positivas en el cuadrante I y II, pero son negativas en los cuadrante III y IV. Se interesa saber donde f (x) > 0 (positiva) y donde f (x) < 0 (negativa). Esto es, donde y > 0, donde y < 0.

y


PERIODO LECTIVO 2011-I Como f (x) es la variable dependiente (la y) de la función, entonces la función f (x) es positiva para todos los valores de la gráfica que se encuentran sobre el eje de x (cuadrantes I y II).

La función f (x) es negativa para todos los valores de la gráfica que se encuentran bajo el eje de x (cuadrantes III y IV).

Ejemplo: Usar la siguiente gráfica y contestar:

1- ¿Será la gráfica de una función? Explica.

2- ¿Para cuales x, f(x) > 0?

3- ¿Para qué valores de x, la función es negativa?

4- ¿Es f (-2) positivo o negativo?

5- ¿Es f (1) positivo o negativo?



SEMANA 13

TEMA 13: RECTAS, PENDIENTE DE UNA RECTA, ECUACIONES DE LA RECTA: GENERAL Y PUNTO PENDIENTE. CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.

Inclinación y Pendiente de una Recta

a) Inclinación: La inclinación de una recta L ( que no sea paralela al eje X) es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x a la recta L, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Mientras no se advierta otra cosa, se considera que el sentido positivo de L es hacia arriba. Si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero.

b) Pendiente : Denominada por m

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

La pendiente mm, de una recta que pasa por los puntos (x1 , y1 )y (x2 , y2 ) es:

m=y2− y1

x2−x1

con x2≠ x1

Si la recta es paralela al ejex, la pendiente es 0

Si la recta es paralela al eje y , la pendiente no está definida.


OBJETIVO:

Desarrollar la noción de pendiente y formas diferentes de las ecuaciones de rectas.


Ejemplo 1: Sea l la recta que pasa por los puntos P(2,3) y P(4,7). Encontrar la pendiente. Trazar gráficamente la recta y los puntos.

Ejemplo 2: Hallar la pendiente de la recta determinada por los puntos P1 y P2 cuyas

coordenadas son:

a) (2,3 )y (4,7 )

b) (−2,3 )y (1 ,−5 )

c) (a ,3 )y (b ,3 )

Ejemplo 3: Determinar la pendiente de cada una de las rectas dadas por:

a) y=x+2

b) 2 y=x−2

c) -2x+3y+5=0

d) y=px+3

e)xa

+yb=0

f)ax+by+c=0


PERIODO LECTIVO 2011-III

Ejemplo 4: Trazar la línea recta que pasa por los puntos (-2,5) y tiene pendiente −43

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

a) Punto Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y2) y cuya pendiente sea m es:

Ejemplo: Determine una ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1, -3)

b) Pendiente- Ordenadas en el Origen .- La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0, b), siendo b la ordenada en el origen , es :

Ejemplo: Encuentre una ecuación de la recta con pendiente 3 e intersección y igual a -4

76

Y- Y1 =m (X-X1)

Y = mx +b


c) Cartesiana .- La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2 (x2,y2) es:

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y P(4,7).

d)Abscisa y Ordenada en el Origen

La ecuación de la recta que corta a los ejes coordenados X e Y en los puntos (a,0), siendo a la abscisa en el origen , y (0,b) ; siendo b la ordenada en el origen , respectivamente es :

Ejemplo: la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (2,0) y P(0,7).

77

Y-Y1= Y1- Y2

X –X1 X1-X2

X + Y =1

a b


d) Genera l.-Una ecuación lineal o de primer grado en las variables X e Y es de la forma Ax+By+C=0 en donde A, B, y C son constantes arbitrarias.

La pendiente es : m=−AB

y su ordenada en origen b=−CB

Ejemplo: Encuentre una forma lineal general de la recta cuya forma pendiente-intersección es

y=−23x+4

Formas de Ecuaciones de rectas

Forma punto pendiente y-y1=(x-x1)

Forma pendiente-intersección y=x+b

Forma lineal general x+y+ c =0

78


Recta vertical x=a

Recta horizontal y=b

Intersección de rectas

En la intersección de rectas se obtiene un punto cuyas coordenadas los podemos obtener desarrollando el sistema de ecuaciones entre rectas.

Ejemplo:

L1: 2x-3y-5=0

L2: x+2y-13=0

Rectas Paralelas

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales o si son verticales.

Ejemplo:

Sea L1 una recta que pasa por los puntos (-2,9) y (1,3) y sea L2 la recta que pasa por los puntos (-4,10) y (3,-4). Determinar si L1 y L2 son paralelas.

79


Rectas PerpendicularesSi dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es llamado m 1 a la pendiente de L1 y m2 a la de L2 si tiene m1= -1/m2 o bien m1m2= -1

Ejemplo:

Determinar una ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y es perpendicular a la recta 2x-y+1=0

Ejercicios

1. Represente gráficamente, halle la pendiente y la intersección con el eje Y

a. y = -3x

b. y = 0.5x

c. y = -3

d. x= 2

80


f. 2x - y+3 = 0

g.2x+3y-6=0

h. 3x - 5y = 15

i. 0.4x + 0.5y = 2

2. Encuentre la ecuación de la recta de:

a. Si la pendiente es -3 y pasa por el punto (1,-2)

b. Si la pendiente es 5 y pasa por el punto (-2,3)

c. Si la pendiente es 1/2 y pasa por el punto (0,3)

d. Si la pendiente es -1 y pasa por el punto (0,-2)

e. Si la pendiente es 2 y pasa por el punto (1,0)

f. Si la pendiente es -5 y pasa por el punto (-3,2)

g. Si pasa por los puntos (2,-2) y (4,5)

h. Si pasa por los puntos (-3,5) y (6,-2)

i. .Si pasa por los puntos (2/3;-1/2) y (-1/3;3/5)

3. Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares o de ninguno de estos tipos

a. 2x +3y =6 y 3x - 2y = 6

b. y - 2x +3 = 0 y x + y =1

c. y =2x +3 y x = 2y +3

d. 4x +2y = 1 y y = 2 - 2x

e. x=- 2- 3y y 2x + 6y =5

f. 3x + 4y =1 y 3x - 4y =1

g. y- 3 =0 y x +5 =0

81


h. 2x – 5 = 0 y 3 – x = 0

f. L1: y=2x−1 y L2:2 y=3−x

g. L1: y=−3 x+1 y L2:− y=5 x+3

h. L1:3 y+x=0 y L2: 3x+4− y=0

i. L1: ax+by+c=0 y L2:bx−ay+c=0

4. Si una recta L tiene como pendiente p+qr+s

¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular

a L ?

5. Hallar el valor de t para que la rectas L1:73x+ 5

3 y L2: (t−3 ) x+2= (2t−2 ) y

a) Sean paralelos b) Sean perpendiculares

6. Calcular la pendiente de la recta L perpendicular a la recta L, si sabemos que L1 pasa por

los puntos (3,5 )y (−4,2 )7. Hallar la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto (2 ,−3 ) y que es perpendicular a la

recta L2 cuya ecuación es 5 x+2 y−1=¿0

8. Una recta con pendiente 3 pasa por el punto (3,2 ). Un punto sobre la recta tiene ordenada 4, hallar la abscisa de dicho punto.

9. Determinar los puntos donde la recta 3 x−2 y+1=0interseca al eje X y al eje Y .10. Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos (3 ,−1 ) y (−2 ,−3 ).11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (b ,2b ) y (2b ,b ).12. En la ecuación de la recta √2 y−√2x+√3=0determinar:a) Pendiente b) Intercepto con el eje X , Y . c) Intercepto con el eje Y .13. Comprobar que la recta que pasa por los puntos (−1 ,−2 ) y (−2 ,−4 ) y la recta por (1,0 ) y

(0 ,−2 ) son paralelas.14. Hallar la ecuación de la recta de pendiente −3 y cuyo intercepto con el eje Y es −2.15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,1 ) y es paralela a la recta que pasa por (−1,1 )

y (3,4 ).16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3 ) y es paralela al eje Y .

82


SEMANA 14

TEMA 14: FUNCIÓN LINEAL YAPLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES ; ECUACIÓN DE LA RECTA; OFERTA, DEMANDA, PUNTO DE EQUILIBRIO

FUNCIÓN LINEAL

A la función f, le llamaremos función lineal, si su regla de correspondencia es:

Donde a ,b son constantes y a≠0

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f ( x )=ax+b

OBJETIVO:

Introducir las funciones lineales y desarrollar la noción de oferta y demanda.


Referencia:

Función de costo Total: C(x)=costo de fabricación de x unidades del producto

Función de Ingreso : R(x)= Ingreso totales obtenidos por la venta de x unidades del producto.

Función de ganancia: P(X)= Ganancia total obtenida por la fabricación y venta de x unidades del producto.

APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES ; ECUACIÓN DE LA RECTA; OFERTA, DEMANDA, PUNTO DE EQUILIBRIO

Ejemplo 1.

1) Cuando el precio es de 80 soles se vende 10 relojes y vende 20 cuando el precio es de 60 soles ¿Cuál es la ecuación de la demanda?

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2) Cuando el precio es 50 soles hay disponible 50 cámaras de un tipo dado para el mercado; cuando el precio es 75 soles hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

3) Hallar el punto de equilibrio de las siguientes ecuaciones de oferta y demanda. Graficary=10−2 x

y=32x+1

4) Referencia: Costo total=costos variables + costos fijos

El costo variable de fabricar una mesa es de 7 dólares y los costos fijos son de 150 dólares al día. Determinar el costo total de fabricar xmeses al día. ¿Cuál es el costo de fabricar 100 mesas al día. Representar gráficamente.

5)( Modelo de Costo Lineal) A una compañía le cuesta 75 producir 10 unidades de cierto articulo y 120 producir 25 unidades del mismo artículos al día. Determine: a) La ecuación de costo.b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?c) Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículos?

6) (Modelo de Ingreso Lineal)

Suponga que el precio de venta de un artículo es 380 soles

a) Escriba la función ingreso y grafique.b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 2000 artículos?

7) (Modelo de Utilidad Lineal)

Una empresa tiene costos fijos de 18600 soles y por artículos que produce tiene un gasto de 150. Además, la empresa vende cada artículo en 380 soles.

a) Escriba la función de costos.

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b) Escriba la función de ingresoc) Determine la función de utilidad y grafíquela.

8) (Modelo de Depreciación Lineal)

Un método común de calcular el monto de la depreciación es : Reducir el valor cada año en una cantidad constante de forma tal que el valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del equipo

Así tenemos:

T=Vi−Vfn

T= tasa de depreciación anual

Vi=Valor Inicial

Vf=Valor final o de desecho

n = tiempo de vida en años.

Si t=0 entonces Vi=V

Si t=n entonces V=Vf

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En matemática viene a ser la pendiente


Entonces, V es el valor del equipo para un tiempo cualquiera.

Con estos dos puntos podemos aplicar la ecuación punto pendiente.

V−Vi=Vf−Vin−0

( t−0 ) entocesV ( t )=Vi−(Vi−Vfn ) t

La Grafica:

Ejemplo 1: (depreciación)

Una empresa compra maquinaria por 150000 soles. Se espera que el tiempo de vida útil de la maquinaria sea 12 años con un valor de desecho de cero. Determinar el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor depreciado después de X años.


Una impresora tiene un valor original de 100 dólares y se deprecia en forma lineal durante cinco años, con el valor de desecho de 30 soles:

a) Determinar una expresión que de un valor contable al final del año t. (grafique)b) ¿Cuál será el valor contable de la maquinaría al final del segundo año?c) Cuál es la tasa de depreciación de la Impresora?


Juan compro un automóvil por 10,000 dólares ¿Cuál es el valor V del automóvil después de t años, suponiendo que se deprecia linealmente cada año a una tasa del 12% de su costo original? ¿Cuál es el valor del automóvil después de 5 años?

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Ejercicios

1. Determinación de una función lineal: Suponer que f es una función lineal con pendiente 2 y f (4 )=8. Hallar f ( x )

2. Determinación de una función lineal: Si y=f ( x ) es una función lineal tal que f (−2 )=6 y f (1 )=−3 . Hallar f ( x )

3. Dieta para gallinas: En pruebas de una dieta experimental para gallinas, se determino que el peso promedio w (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función lineal del número de días d después de que se inicio la dieta, donde 0≤d≤50. Suponer que el peso promedio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 días después fue de 675 gramos. a. Determinar w como una función lineal de d. b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando d=104. En los problemas a−h determinar f ( x ) cuando f es una función lineal que tiene las propiedades dadas.

a. pendiente=4 , f (3 )=8b. f (0 )=3 , f (4 )=−5c. f (1 )=2 , f (−2 )=8d. pendiente=−6 , f ( 12 )=−2

e. pendiente=−12, f (−1

2 )=4

f. f (1 )=1 , f (2 )=2g. f (−2 )=−1 , f (−4 )=−3h. pendiente=0.01 , f (0.1 )=0.01

5. Suponga que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de 40 por unidad y de 300 unidades. A un precio de 35 por unidad. Hallar la ecuación de la demanda, si dicha ecuación es lineal.

6. Un fabricante de detergente encuentra que las ventas son de 100000 paquetes a la semana cuando el precio es de 1.2 por paquete. Pero, las ventas se incrementan a 12000 cuando el precio se reduce a 1.10 por paquete. Determine la relación de demanda, suponiendo que es lineal.

7. Cuando el precio por unidad de un producto sea 10 dólares la oferta será de 80 unidades diarias, mientras que será de 90 unidades a un precio unitario de 10.50 dólares. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que es lineal.

8. No existe demanda para una nueva marca de cámaras de video si el precio por cámara es de $1700 o más. Por cada disminución de $100 en el precio, la demanda se incrementa en

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200 unidades. El fabricante no es esta dispuesta a considerar un precio unitario $500 o menos y ofrecerá 1400 cámaras de video al precio de $850 cada una. Determiné las ecuaciones de oferta y demanda, suponiendo que son lineales ¿Cuál es el precio y la cantidad de equilibrio?

9. La compañía Para ti fabrica sus productos con un costo de 4soles por unidad y los vende a 10 soles la unidad .Si los costos fijos de la empresa son de 12000 soles al mes, determinar el punto de equilibrio de la empresa.

10. La gerencia de la compañía de controles debe decidir entre dos procesos de producción de su termostato electrónico modelo C. El costo mensual del primer proceso esta dado por C1 ( x )=20 x+10000dolares; donde x es la cantidad de termostatos producidos, y el costo mensual del segundo proceso está dado por C2 ( x )=10 x+30000dolares. Si las ventas proyectadas son de 800 termostatos a un precio unitario de 40 dólares a) ¿Cuál proceso debe elegir la gerencia para maximizar las ganancias? b) Cual proceso debe elegir la gerencia si las ventas proyectadas son de 1500 unidades?

11. Un fabricante tiene costos fijos mensuales de 60000 soles y un costo de producción unitario de 10 dólares. El producto se vende por $15 la unidad.

a. ¿Cuál es la función de costos?b. ¿Cuál es la función de ganancia?c. ¿Cuál es la función de ganancia?d. Calcule la ganancia (o perdida) correspondiente a los niveles de producción de

10000 y 14000 unidades.12. Determinar una función lineal si y=f (x ) es una función lineal tal que f (−2 )=6 y

f (1 )=−3 encuentre f (x)13. Cuando se termino en 2000, un edificio de oficinas tenía un valor de $1 millón y se

deprecia linealmente durante 50 años ¿Cuál será el valor contable del edificio en 2005 y 2010? (suponga que el desecho es $0).

14. Suponga que el costo para producir 5 unidades de un producto es 20 y el costo para 10 unidades es de 35. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, q , determine :

a. El costo de producir 25 unidadesb. La ecuación de ingreso y utilidad, si el precio de venta de de dicho artículo es de 2.

15. Ecuación de costo: Suponga que el costo para un producir unidades de un producto es de $ 40 y el de 20 unidades es de $ 70. Si el costo c está relacionado linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione c con q. Encuentre el costo de producir 35 unidades.

16. Depreciación: Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $ 8000. Encuentre una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria después de t años de compra, donde 0≤ t ≤10. Bosqueje la ecuación, seleccione t como el eje horizontal y v como el eje vertical. ¿Cuál es la pendiente de la recta resultante?. Este método de considerar el valor del equipo es llamado depreciación lineal.

17. Dieta para gallinas: En pruebas de una dieta experimental para gallinas, se determinó que el peso promedio en gramos w (en gramos) de una gallina fue, según las estadísticas, una función

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lineal del número de días d después de que se inició la dieta, donde 0≤d≤50. Suponer que le precio promedio de una gallina al inicio de la dieta fue de 40 gramos y 25 días después fue de 675 gramos.a. Determinar w como una función lineal de d.

b. Determinar el peso promedio de una gallina cuando d=10

SEMANA 15

TEMA 15 : FUNCIONES DE OFERTA, DEMANDA Y PUNTO DE EQUILIBRIO

1. Sea la ecuación de oferta p=1

300q+8 y la ecuación de demanda p=

−1180

q+12 , halle el

precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y demandaron

2. Las funciones de oferta y demanda de cierto artículo son p=14q−50 yp=−1

3q+160

respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades que se ofrecieron y demandaron y dibuje las curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.

3. Las funciones de oferta y demanda de cierto artículo son

p=q+10 yp=5600q

respectivamente.

a. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y demandadas.

b. Dibuje la curva de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.c.¿Dónde corta la curva de oferta al eje q? Explique la interpretación económica de este punto.

5. Sea p=8

100q+50 la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y la ecuación de la

demanda es p=−7100

q+65

90

OBJETIVOS:

Aplicar la ecuación de la recta para resolver problemas de fenómenos con comportamiento lineal.

Interpretar las distintas situaciones del precio y demanda lineales a través del las gráficas.


a. Si se carga un impuesto de $1.50 por unidad al fabricante, ¿cómo será afectado el precio de equilibrio original si la demanda permanece igual?

b. Determine el ingreso total obtenido por el fabricante en el punto de equilibrio antes y después del impuesto.

TEMA: ECUACIONES LINEALES DE INGRESO, COSTO Y UTILIDAD

1. Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $1 800, Además, cuesta 50 centavos producir cada bolsa de fritura. Una bolsa de fritura se vende a $ 1,20 a. Encuentre el costo diario total de producir x bolsas de frituras.b. Encuentre el ingreso diario por vender x bolsas de frituras.c. Encuentre la ganancia diaria por vender x bolsas de frituras.

2. El gráfico mostrado representa la ecuación costo total de la producción de un determinado artículo, si dicho artículo se vende a $ 8,00 cada uno:

a. Determine la ecuación del

costo total.

b. Determine y grafique

la ecuación del ingreso.

c. Determine y grafique

la ecuación de la utilidad.

d. Determine el Volumen

mínimo de producción.

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q(cientos unid.)

C(miles $)

Unidades de millarq

- 12

C= 4q + 12000

U= 6q + k , k: cte

( en miles de dólares)


3. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es $40 y el costo para 20 unidades es $ 70. Si el costo, C, está relacionado de manera lineal con la producción, q, determine:

a. El costo de producir 35 unidades.b. Las ecuaciones de ingreso y utilidad, si el precio de venta de dicho artículo es $5 c. Grafique en un mismo plano cartesianos las ecuaciones de Costo, Ingresoy Utilidad

indicando el volumen mínimo de producción.

4. Si la siguiente gráfica corresponde al costo (C) y a la utilidad (U) de un producto para q unidades. Determine el ingreso y su gráfica respectiva en el sistema de coordenadas, señalando el punto de equilibrio.

5. Un productor asume un costo variable por unidad de $5 y un costo fijo de $100 semanales. Si el precio del bien producido es igual a $10, responda:

a. Escriba las ecuaciones que representan el ingreso, el costo y la utilidad del productor; grafíquelas en el sistema de coordenadas y obtenga el punto de equilibrio del productor.

b. Si el costo fijo se incrementa en $50, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio? Muestre el gráfico.

6. Una PYME está interesada en producir un nuevo producto, dispone de la siguiente gráfica e información, referida a ella. El gerente del departamento de cotos y análisis desea saber cuántas unidades debe producir para recuperar la inversión.

Pendiente de la recta C: 3

92

q (und)

$

VMP: 80

Utilidad

Ingreso

Costo

-400

600


Pendiente de la recta I: 5

Determine:

a. Las ecuaciones de costo e ingreso. b. Las unidades que desea hallar el gerente de costos. c. El intercepto de U con el eje y.

7. Una compañía de artefactos eléctricos, vende cada licuadora en $ 270 ganando el 35% sobre el costo unitario, si sus costos fijos mensuales ascienden a $ 18 000.

a. Demuestre que el costo unitario es $ 200. b. Determine las ecuaciones de: Ingreso y Costo total, si estas ecuaciones mantienen un

comportamiento lineal. c. Grafique la las tres ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

8. Una compañía dedicada a la producción de artículos de limpieza indica que el costo unitario es de $15. Además, el costo fijo es de 840 dólares. Si cuando se producen 150 unidades la utilidad (ingreso excede al costo total) es de 210 dólares:

a. Demuestre que el precio de venta es 22 dólaresb. Determine las ecuaciones del Costo total, Ingreso y Utilidad, sabiendo que siguen un

comportamiento lineal.c. Determine el volumen mínimo de producciónd. Grafique las tres ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

9. Dadas las graficas de las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad ¿Cuál es el valor del costo unitario?

93


10. Un fabricante de juguetes para niños alcanzará el equilibrio en un volumen de ventas de $200 000. Los costos fijos son de $40 000 y cada unidad de producción se vende a $5.

a) Determine el costo total si tiene un comportamiento lineal.

b) Grafique en un mismo plano las funciones Costo Total, Ingreso y Utilidad, asumiendo un comportamiento lineal de ellas.

Semana 16

TEMA 16: FUNCIÓN CUADRÁTICA

Función cuadrática

Forma General:

y=ax2+bx+c donde a ,b , c , son reales ;a≠0

Representación gráfica de una función cuadrática:

Su grafica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical x=h , llamada eje de simetría y con vértice V(h,k)

Si a>0, y=ax2+bx+c

La parábola se abre hacia arriba

Si a<0; y=ax2+bx+c

La parábola se abre hacia abajo.

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Propiedades de la función cuadrática

f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

1) El domino de f es el conjunto de todos los números reales2) Si a>0, la parábola abre hacia arriba, y si a<0, hacia abajo

3) El vértice de la parábola es (−b2a

, f (−b2a )) o V(h,k)=(−b2a

, f (−b2a ))4) El eje de simetría de la parábola es x=

−b2a

5) Las intersecciones con el eje x (si existen ) se determinan resolviendo f(x)=0.La Intersección con el eje y es f(0)=c

Ejemplo1:

Dada la función cuadrática: f(x)= -2x2+5x-2

a) Determinar el vértice de la parábola b) Determinar las intersecciones del eje x con la parábola (si existen)c) Bosquejar la Parábola. d) Determinar el dominio y rango.

Practiquen:

Dada la función cuadrática: f(x)= 2x2-4x+1

95


a) Determinar el vértice de la parábola b) Determinar las intersecciones del eje x con la parábola (si existen)c) Bosquejar la Parábola. d) Determinar el dominio y rango.

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Ejemplo Real:

(Función de demanda)

Nota: La función de demanda es una relación matemáticamente que expresa la forma en que cantidad de demanda de un producto varía según el precio en que se vende.

La función de demanda de un producto determinado es q (d )=f ( p )

q (d )=p2−70 p+1225 donde q (d) es el número de unidades demandadas y p el precio en dólares.

Ejemplo1:

La ganancia trimestral de la empresa DDD( en miles de dólares) está dada por:

P( x )=−13x2+7 x+30

donde (0≤x≤50 ) donde x( en miles de soles) es la cantidad de dinero que DDD gasta en publicidad cada trimestre . Determine la cantidad que DDD debería invertir en publicidad para obtener una ganancia trimestral máxima. ¿Cuál es la máxima ganancia trimestral que puede lograr DDD?

Ref: − b

2a

97


Ejemplo 2:

La función de demanda de cierta marca de celulares está dada por:

p=d(x)= -0.01x2-0.2x+8 y la función de oferta correspondiente está dada por p=s(x)= 0.01x2+0.1x+3 donde p se expresa en soles y x se mide en unidades de millar. Determinar la cantidad y el precio de equilibrio.

Ejemplo 3:

El ingreso total por la venta de un producto particular depende del precio por unidad. En concreto, la función de ingreso es

R=f ( p )=1500 p−50 p2

Donde R es el ingreso total en dólares y p indica el precio, también en dólares.

a) Qué clase de función es ésta?b) Cuál es el ingreso total esperado si el precio es de 10 dólares?c) Qué precio o precios darán un ingreso total de cero?

98


Ejercicios

1) Dada la función cuadrática f(x)=2x2-3x-3 .a) Determinar el vértice de la parábola.b) Encuentre las intersecciones del eje x con la parábola, si estas existen.c) Grafique la Parábola.d) Determine dominio y el rango.

2) Dada la función cuadrática f(x)=2x2-5x+3 .a) Grafique la Parábola.b) Determine dominio y el rango. 3) Dada la función cuadrática f(x)=2-4x-3x2

a) Grafique la Parábola.

b) Determine dominio y el rango

4) Las ganancias mensuales estimada obtenidas por la empresa Cannon al producir y vender x unidades de cámaras modelo M1 es P(x)= -0.04x2+240x-10000 dólares. Encuentre cuantas cámaras debe producir cada mes para maximizar sus ganancias.

5) Una función de oferta indica el número de unidades de un artículo que los proveedores están dispuestos a colocar en el mercado en función del precio que los consumidores están dispuestos a pagar. La siguiente es una función de este tipo:

q=0.5 p2−200

Donde q es el número de unidades de la oferta (expresada en miles) y p indica el precio de venta.a) ¿Qué clase de función es ésta?b) ¿Qué cantidad debería ofrecerse si el precio de mercado es de 30 dólares?c) ¿Qué precio haría que el mercado se llevaran 0 unidades?

6) El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función I=−24 t 2+288 t−64 , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medio en años.

En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuanto será? Grafique.7) Una compañía produce cantidades x y y de dos tejidos diferentes mediante el mismo proceso de producción. La curva de transformación del producto para la materia prima utilizada

está dada por y=20− x2

5. ¿Cuáles son las mayores cantidades x y y que se pueden producir?

8) La función de oferta para cierta marca de Videos está dada porp=s ( x )=0.01x2+0.1 x+3 donde p es el precio unitario al mayoreo, en dólares y x representa la cantidad que el proveedor pondrá en el mercado (medidas en unidades de millar). Trace la curva

99


de oferta correspondiente. ¿Cuál es el precio mínimo para el cual el proveedor colocara los v ideos en el mercado?

9) La funciones de oferta y demanda semanales de las tiendas de HHH están dadas porp=−0.1x2−x+40

p=0.1x2+2x+20

Respectivamente, donde p se mide en dólares y x en unidades de centena. Determinar la cantidad y el precio de equilibrio.

10.Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto , f (n ) miles de familias lo usarán, en donde

f (n )=109n (12−n ) ,0≤n≤12. Estime el número máximo de familias que usaran el producto y

graficar la función.

11. En los problemas a- f grafique cada función. Obtenga el vértice y las intercepciones y establezca el rango.

Ejemplo 5:


Ejemplo 5:


a) y=f ( x )=x2−6 x+5b) y=f ( x )=−3 x2

c) y=g ( x )=−2 x2−6 xd) y=f ( x )=x2−1

100


e) s=h ( t )=t2+2 t+1f) s=h (t )=2t 2+3 t−2

12. Ingreso: la función de demanda para el fabricante del producto es p=f (q )=1200−3q ,donde p es el precio por unidad q unidades son demandadas (por semana). Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso.

13. la función de demanda para un producto es p=−2q+100, donde p es el precio por unidad cuando q unidades son demandadas por semana por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximizará el ingreso total del producto y determinar ese ingreso.

14. Laura atiende y es dueña de una pastelería. Contrato un consultor para analizar las operaciones del negocio. Él consultor dice que sus ganancias U de la venta de X unidades de pasteles, están dadas por:

U=120x−x2

a) Trace la grafica de Ub) ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias? c) ¿Cuál es la ganancia máxima?

15. La gerencia de un restaurante de comida rápida desea maximizar el número de bolsas vendidas. Suponga que un modelo matemático que conecta G, la ganancia por día de la venta de papas fritas y X el precio por bolsa es:

G=−2x2+24 x−8

a) Encuentre el precio por bolsa que conduce la ganancia máxima b) ¿Cuál es la ganancia máxima?c) Trace la grafica de G

16. la función demanda para le fabricante de un producto es p=−3q+1200, donde p es el precio por unidad donde q unidades son demandadas. Encontrar el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso.

17. Una pequeña empresa se dedica a la compra y venta de lapiceros. La empresa los compra a 4 soles cada uno. Si los vende a 10 soles podría vender 1000 lapiceros y por cada incremento a 1 sol en el precio vendería 100 lapiceros menos. Determine el numero de incrementos necesarios para obtener la mayor utilidad.

101


18. Función ingreso: el costo de producir cierto producto está dada por la función es C (q)=70q+500, obteniendo una utilidad U (q )=−q2+30q−500.

a) Determine la función ingresob) Determine la función demandac) ¿Qué cantidad produce el ingreso máximo y cuál es el ingreso máximo?d) Graficar la función ingreso

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. La función de demanda para un producto es p = 1000 – 2q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total de productor, y determine este ingreso.

2. La función de demanda para el fabricante de un producto es p=f (q)=200 –5qdonde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

3. La función de demanda para la línea de lap-tops de una compañía de electrónica es p=2400−6q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

4. La función de demanda para una línea de camisetas es P= 1600 – 4q, donde “P” es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan “q” unidades (semanales). Determine el nivel de producción que maximizara el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

5. La utilidad diaria de la venta de zapatillas para el departamento de calzado de un almacén, esta dado por P(x) = −x2+ 22x + 104; donde x es el numero de zapatillas vendidas. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función y haga la grafica de la función.

6. La función de demanda para el fabricante de un producto es P= F(x) = 1800−6q, donde P es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

7. La función de demanda para una línea de lápices de una compañía de artículos escolares es P = 0.5 – 0,0002q, en donde P es el pecio (en dólares) por unidad cuando los consumidores

102


demandan q unidades (diarias).Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

8. Una compañía de investigación de mercados estima que “N” meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usaran, en donde

F(n )=83n (18−n ) 0≤n≤18 ;

103

clases

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