clasifiacion de los numeros
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1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
3º 1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS
3º Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay
infinitos.
Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.
3º Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ...,
-11, -
10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les
designa
con la letra Z.
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Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es
múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:
Fracciones propias : Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)
Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)
Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal
Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234
Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales
que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234
Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales
que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4
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Los números racionales incluyen
los números enteros y los
fraccionarios. Alconjunto de todos ellos se les
designa con la letra Q.
3º Los números irracionales son
aquellos que no son racionales:
, 2 ,1’01001.... (Números decimales
no periódicos)
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La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
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CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
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Números imaginariosUn número imaginario se denota por bi, donde :b es un número reali es la unidad imaginaria:
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
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CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
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1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división delnumerador entre el denominador.
3º Ejemplos:
48 = 2 Natural
2,25
4
9 Decimal exacto
1,333333.... 1,334
Decimal periódico puro
1,166666.... 1,16
67
Decimal periódico mixto
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Decimales exactos:
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en
entero.
100N = 238 Despejar N
N =
100
238
Simplificar la fracción, si es posible N =
50
119
3º Decimales periódicos puros:
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro
número con el
mismo periodo.
100N = 238,38 Restarlos
99N = 236 Despejar N
N =
99
236
Simplificar la fracción, si es posible N =
99
236
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Decimales periódicos mixto:N = 2,38
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para
convertirlo en periódico
puro
10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10
adecuada obtener otro número con el
mismo periodo.
100N = 238,8 Restarlos
90N = 215 Despejar N
N =
90
215
Simplificar la fracción, si es posible N =
18
43
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CONTROL DEL ERROR COMETIDO
3º Cuando damos una medida aproximada, estamos
cometiendo un error.
3º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real
y el Valor de Medición,
en valor absoluto (en positivo)
Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición |
4º Pero no es lo mismo cometer un error de un
centímetro al medir una tiza que
una pizarra, por tanto definimos:
El Error Relativo como es el cociente entre el error
absoluto y el valor real
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N - NÚMEROS NATURALES
Un número natural es cualquiera de los números 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar elementos o cosas
Z - NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son del tipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567,
etc., es decir, LOS NATURALES Y sus opuestos (negativos).
Q - NÚMEROS RACIONALES
número racional es todo aquel número que puede ser
expresado como resultado de la división de dos números
enteros. Comúnmente es a lo que se les llama números
decimales, tanto en fracción como expresado con comas.
Cualquier numero puede representarse como una fracción
de denominador 1 (ejem. 4/1) o como numero decimal
(ejem. 4,0), por lo tanto los NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
SON RACIONALES.
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I - NÚMEROS IRRACIONALES
LOS NÚMEROS IRRACIONALES no pueden representarse en
forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún
patrón repetitivo.
Debido a ello, los más celebres números irracionales son
identificados mediante símbolos. El más conocido es:
(Pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su
diámetro.
R - NÚMEROS REALES
Como su propio nombre indica, son todos los números,
RACIONALES E IRRACIONALES
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REGLAS DE DIVISIBILIDAD, MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número es divisible
por otro sin necesidad de realizar la división.
Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado es una división exacta con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30:5=6.
Las reglas:
Un número es divisible por 2, 3 ó 5 si:
2 si termina en 0 o en cifra par Ejemplos 50; 192; 24456
3 si la suma de sus cifras es múltiplo de tres Ejemplos: 333 (dado que 3+3+3 =9); 9 es un múltiplo de 3; (3x3=9)
5 si termina en 0 o en 5 Ejemplos 35; 70; 1115;
Más ejemplos de la Regla del 3 -> (la suma de los cifras debe ser un múltiplo de 3).
663---> 6+6+3= 15 ----> 3 x 5 = 15 12123---> 1+2+1+2+3= 9 ----> 3 x 3 =9;
Estas reglas son importantes dado que te facilitan el cálculo de las descomposición de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones, hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
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Un número real puede ser un número racional o un
número irracional. Los números racionales son aquellos
que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, −21/3, 5, 0, 1/2, mientras
que los irracionales son todos los demás Los números
racionales también pueden describirse como aquellos
cuya representación decimal es eventualmente
periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 =
0,250000… ES un número racional puesto que es
periódico a partir del tercer numero decimal. 5/7 =
0,7142857142857142857…. ES racional y tiene un período
de longitud 6 (repite 714285).(3√7 + 1)/2 = 1.456465591386194…
Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un
número por otro. En una fracción tal como a/b el
número a que es dividido se llama numerador y el
número b que divide, divisor o denominador.
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
4º 1.4.1 INTRODUCCIÓN
4º Los números siguientes están puestos en notación
científica:
2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la
coma)
7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la
coma al 7)
4º La notación científica tiene sobre la usual la
siguiente ventaja: las cifras se nos
dan contadas, con lo que el orden de magnitud del
número es evidente. Esta
notación es útil, sobre todo, para expresar números
muy grandes o muy
pequeños.
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1.4.2 DEFINICIÓN
4º Un número puesto en notación científica consta de
:
- Una parte entera formada por una sola cifra que no
es el cero(la de las unidades)
- El resto de las cifras significativas puestas como
parte decimal.
- Una potencia de base 10 que da el orden de
magnitud del número.
N = a , bcd...... x 10n
a = Parte entera (sólo una cifra)
bcd..... = Parte decimal
10n = Potencia entera de base 10
4º Si n es positivo, el número N es “grande”
Si n es negativo, el número N es “pequeño”
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Aquí te proponemos una forma nemotécnica sencilla para aprender a
sumar y restar mediante dos reglas muy fáciles de recordar:
· Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman
(entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo.
Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si
fuera...
-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta
vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en
realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.
· Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan
(entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el
menor) y se deja el signo de la magnitud mayor.
Ej: 5 – 3 = 2
-5 + 3 = -2
En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número
naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3. la regla dice
que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero
como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda
negativo –2.
Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el
bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma
nemotécnica para que aprendas a sumar y restar.
SUMA Y RESTA DE REALES
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Mira estos otros ejemplos:
-7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3
7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3
-4-2-5-10= -21
4+2+5+10= 21
-4+5-10-20+15-7+9
Para estos ejercicios largos es buena idea agrupar por signos, así:
-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29
Y luego restar:
-41+29 = -12
Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se
volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el
resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41.
SUMA Y RESTA DE REALES
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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de
multiplicación y además saber que:
+ x + = +
- x - = +
+ x - = -
- x + = -
Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:
-5*-3 = 15
-5*3 = -15
5*3 = 15
5*-3 = -15
15÷5 = 3
-15÷5 = -3
15÷-5 = -3
-15÷5 = -3
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0
5. , 0
16. , 0
7. 1, 0
mm n
n
n
n
aa a
a
a aa
a a
1.
2.
3. ( )
4. , 0
m n m n
nm mn
n n n
n n
n
a a a
a a
ab a b
a ab
b b
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1 22 1 2
1 2 2 14
7 7 5 25
5 7 75
3 3 6 632 2
1 1 1 1
1 x xx x
2
2 2
2 2
1 1 4 4 16
3 3 3 9344
1 1 13 1/3 1/23 6 4
3 3 21/3 6 4
93
3
a b ca b c
a b c
10 3 17 3 9 23a b c
Ejemplo 1
1 22
4
7
5
Ejemplo 23
2x
Ejemplo 3
23
4
Ejemplo 43 1/ 3 1 2
1 3 6 4
9
3
a b c
a b c
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m m nn a a
Los radicales se rigen por las leyes de los
exponentes, porque:
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1 3 1 31 31 3 1 3 1 33 1 1 1z z z
1 9
1 9
11 z
z
1 12 11 2
5 3 5 3 5 2 3 2 2 1 2 1 1 22 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3
1 222 3 2 3 12 6
232 32 33 2 3 23
3 3 3 3 13
8 8 2 2 2 4
64 4 4 4 4
Ejemplo 5 3 64
Ejemplo 6 864
Ejemplo 7 3 1 3z
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1 32 2
3 3 6 4 3 3 6 4
32 2
3 4 3 4
2 10 2 10 2 10 2 10
2 10 2 10
1 312 10
1 36 18 2 6
6 8
2 102 10 2 10 0.000004
2 10
1 32 3 3 33 33 24 24 2 3 2 3 2 3
1 31 3 66 1 3 2 2
1 33 1 33
88 8 2
27 27 327
aa a a
b b bb
xx x x
y y yy
Ejemplo 86
33
8
27
a
b
x
y
Ejemplo 9
2
32
0.008 0.0064
80000
Ejemplo 10 3 576
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Ejemplo 11 Si 1 ,2a 2 ,2 2a 3 ,2 2 2a 4 ,2 2 2 2a
exprese como potencia fraccionaria de 2 cada
uno de los términos de la sucesión anterior, y
obtenga en la misma forma el término an de la
sucesión, en donde n es un número entero positivo.
Solución Nótese
que:2 1
1 2 21 2 2 ,a
2
2 2
2 11 2
1 2 3 2 22 2 2 2 2 2 2a
3
3 3
2 11 21 2
1 2 7 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2a
4
4 4
1 2 15 2 11 21 2
1 22 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a
Entonces:
2 1
22
n
n
na
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Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y
tiene un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el
más pequeño es Plutón con un diámetro aproximado
de
3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?
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Solución Sea el volumen de Júpiter y sea el volumen de
Plutón, entonces:
JV PV
3 33 33 8 8
3 6 6
4 3 1.4288 10 1.4288 10
4 3 3.5 10 3.5 10
J
P
V R R
V r r
38 24
6 4
6 18
10 100.0680315 0.0680315 0.0680315 10 6.80315 10
10 10
Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en
Júpiter.
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Podemos decir que la exponenciación es una operación que se define en
lo que es un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de
Banach. Lo importante de esto es que se generaliza la función
exponencial de los números reales.
Cuando por ejemplo a y b corresponden a dos números enteros la
operación puede definirse en términos algebraicos elementales. Pero
ciertos números de problemas físicos llevaron a tratar de generalizar la
fórmula anterior a valores de b no siendo enteros. Cuando b = 1/2 la
operación es equivalente a lo que llamamos una raíz cuadrada.
De modo que la exponenciación trata de generalizar una operación
como:
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Habitualmente dicha operación puede ser reducida al cálculo de la
siguiente operación:
Se generaliza entonces este tipo de operación a casos donde el exponente no
es precisamente un número real.
Para que sea mas sencillo entender lo que es una exponenciación y saber a
que nos referimos cuando hablamos de exponente, prestemos mucha
atención a lo siguiente. Tomemos como ejemplo una expresión matemática
que tenga incluidos dos términos, los cuales se denominan base a y exponente
n. Un exponente se utiliza para indicar la multiplicación repetida, elevando una
base a n. El proceso de elevar una base a un exponente se llama
potenciación. Entonces si a es un número real y n un número real se definirá
como:
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Entonces:Esto varía según el conjunto numérico
al cual pertenezca dicho exponente.
Si a es un número real no nulo, se
define entonces como:
De lo anterior podemos deducir cuales
serían las reglas que habitualmente se
utilizan en la exponenciación, veamos
cuales serían:
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La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en
que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un
tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite.
Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un
número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Radicando = (Raíz exacta)2
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera)2 + Resto
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Algoritmo de la raíz cuadrada
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos
de dos empezando por la derecha.
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de
cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos
cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada
del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla
correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que
aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando,
separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
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5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz ,
multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad
operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta
encontrar un valor inferior.
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos
anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz
8Prueba de la raíz cuadrada.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera)2 + Resto
89 225= 2982 + 421
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Números imaginarios
Definición
Un número que cuando se eleva al
cuadrado (se multiplica por sí mismo)
da un resultado negativo.
Intentos Vamos a probar a elevar algunos
números al cuadrado a ver si podemos
sacar un resultado negativo:
2 × 2 = 4
(-2) × (-2) = 4 (porque negativo por
negativo da positivo)
0 × 0 = 0
0.1 × 0.1 = 0.01
¡No hay suerte! Siempre positivo, o
cero.
Eso es porque estamos calculando el
cuadrado de números reales.
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Pero imagina que hay un número (vamos a llamarlo i de imaginario) que
cumpliera esto:
i × i = -1
¿Sería útil, qué podríamos hacer con él?
Bueno, haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor
para la raíz cuadrada de -1:
Y eso es muy útil... simplemente
aceptando que exista i podemos
resolver muchos problemas donde nos
hace falta la raíz cuadrada de un
número negativo.Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?
Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-1) = 3i
Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para recordarnos que hay que
multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para
llegar a la solución.
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Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de
los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad
imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con
esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada
lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no
confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.
Representación binomial
Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a + ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se
expresa así:
a = Re (z)
b = Im (z)
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Plano de los números complejos
Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total
de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los
números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones
que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división
entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó
(Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el
cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo
de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma
un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden
ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser
convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
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Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
Propiedades de la Suma de Números ComplejosLa suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· ConmutativaDados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:
(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
Ejemplo:
(2 − 3i ) + (−3 + i ) = (2 − 3) + i (−3 + 1) = −1 − 2i
(−3 + i ) + (2 − 3i ) = (−3 + 2) + i (1 − 3) = −1 − 2i
· AsociativaDados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 − 4i )] + (−9 + 8i ) = (8 − 2i ) + (−9 + 8i ) = −1 + 6i
(5 + 2i ) + [(3 − 4i ) + (−9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (−6 + 4i ) = −1 + 6i
· Elemento neutroEl elemento neutro es 0 + 0i , puesto que
(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétricoEl elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (− a − bi ):
(a + bi ) + (−a − bi) = 0 + 0i = 0
Ejemplo:
El simétrico de 2 − 3i es −2 + 3i pues (2 − 3i ) + (−2 + 3i ) = 0
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Suma y resta de números complejos.
1.− ( 3+5i ) − ( 5−3i ) = −2+8i
2.− ( 9+7i ) − ( −9+7i )+( −18+i ) = ( 9+9−18 )+( 7−7+1 )i = i
Multiplicación de números complejos.
2 2
1.− ( 3+5i ) ( 5+3i ) ( 2−i ) = 15+9i+6−3i+25i+15i +10i−5t = 34+64i
2 2
2.− ( 3−2i ) ( 2+i ) ( 1−i ) = ( 6+3i−4i−2i ) ( 1−i ) = ( 8−i ) = 8−8i−i+i = 7−9i
División de números complejos.
2
1.− 3 − i − ( 3 − i ) ( 3 − 2i ) − 9 − 6i − 3i + 2i − 7 − 9i − 7 − 9i − 7 − 9i
3 +2i −( 3 + 2i ) ( 3 − 2i )− 9 + 4 − 9 + 4 − 13 − 13 13
2 2
2.− ( 3 + 4i ) ( 1 − 2i ) −3 − 6i + 4i − 8i − ( 11 − 2i ) ( 1 − i )− 11 − 11i − 2i + 2i −
1 + i − 1 + i − ( 1 + i ) ( 1 + i ) − 1 + i −
− 9 − 13i − 9 − 13i
− 2 − 2 2
12
Operaciones fundamentales con números
complejos. Ejemplos
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