Cálculocon Geometría analítica

C. H. EDWARDS , Jr.Tbe [Jlliversity o/ Georgia, Athens

DAVID E. PENNEYTbe [Jlliversity o/Georgia, Atbens

TriJd U4-ción:

R~r'isióll rfc llica:

6SO\R ALFREDO PALMAS VELASeOFacultad de Ciencias, UNAM

VíCTOR HUGO IBARRA MERCADOLicenciado en física y Matemáticas

ESFM , IPNEscuela de Actuaría, Universidad Anáhu ac

PRENTle E HALL HISPANOAMERICANA, S.A.MÉXICO . NUEVA YORK . BOGOTÁ . LONDRES ' SYDNEY

PARÍS ' MUNlCH . TORONTO· NUEVA DEWI • TOKIOSINGAPUR. RÍo DE JANElRO • ZURICH

EmClóN EN ESrAÑOL:

P RES IDENTE DIV ISi ÓN LATINO AM ÉRI CADE SIMON AN D SCH USTE R:DIRECT OR GE NERA L:GERENTE DIV ISi Ó N UNIVERSITARIA:GERE NTE ED ITORIAL :EDITOR:GERE NTE DE PROOUCCI ÓN:GERE NTE DE IMPRESiÓNSUP ERVISO R DE TRADUCCiÓN :SU PERVISO R DE PRO DUCCi ÓN:

EDICIÓN EN INGL'::S:

Acquisi non Editor: Georgc LobellEditor ine /Jief: Tim BozikDevelop rncnr Editor: Ka ren K arlinPro ducti on Edi tor: Edward ThomasMarkeliug Manager: Melissa AcuñaSnpplemer us Editor: Mal)' Ilombyproduct Manager: Trudy PisciouiDesign Director: Florcnce Dara Silven nanTcx t Dcsi g ncr: Andrew Zuti sPage layout: Andrcw Z utis, Kareu NoferiCover Designen Patricia Mcrf owa nCo ver Photo: Mi chael Pon landPho to Editor: Lorinda Mcrris-NantzPhoto Resea rch : MiraScbac tmcEditorial Assisrance: Jo armc Wemldk cllText Co mposuio n: lntc ractive Co mposit ion CorporationArt Studio: Nctwork GraphicsCclPY Edilor: LindaThompson

CALCULO CON GEOMETRíA ANA LíTICA 4/Ed.

RAYM UNDO CRUZ ADO GO NZÁ LEZMO ISÉS I'ÉREZ ZA VAL AENRIQUE IVÁN G ARCIA HERN ÁN D EZJO SÉ TOMÁS PÉREZ BON ILLALUIS G ERA RDO CEDEÑO PLA SCEN CIAJULlÁN ESCAM ILL A LlQUIDANOALBERTO SIERRA OCHOAJOR GE BONILLA TALAVERAENRIQUE G ARCi A CARMONA

o-PROGRA.w.s ED\.!CATlVOSCAl.I CJi.IJlACANO"'o 65LOCAL"COL ASTURIAS. OELtG ClJ.WHID.lOC. oFce osee

Tr aducido del ingles de la obra: CA. LCULa S WITH ANALYT1CGEOMETRY. FOURTH EDlTI01 N

AJI Rights Rescrved . Authorized tra nslat ion from En glisb languagc cduionpublishcd by Prentice Hall Inc.

Todos los derechos reser ....ados. Traducción autoriza da de la edición en inglespublicada por Prenticc Halll nc.

AIl riglas rese rved . No pan of this boo k may he reprodu ced o, traus mitt ed inany fcrm 0 1'any mean s. electronic or mecba nical, including photocopyng,recording or by any inforrnation storage rctrieval sysrem, witbout pcrmis sioninwri ring from the publisber.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualq uier medio ométodo sin au ton zstcioJl por escr ito del edit or .

Derechos reservados lO 1996 respecto a la tercera edición en español publicada porPRENTI CE HALL HISPANOAMER ICANA. S.A.Enrique Jacob 2D. Col. El Conde53500 Naucalpan de Juárez. Edo. de México

ISDN 96 8-880·596-.1

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg. Núm. 1524

Original English Lan guage Ediriol1 Publisbcd by Prcnti ce Halllnc.

Copyright O 1994

Al! Rights Reserved

ISnN 0-13·457912·7

Impreso en México I Printcd in M éxico

..,O

,.,O

ÁLGE BRA

Fórmula ce adnlnca

Las soluciones de 13 ecuaci ón cuadráticam.2 , ~ bx + e = Oestán dó1das por

- h % { h' - -lac.l " 2J1

:".otaclón factori a l

I'ar~' cada entero positivo n,,, ! .II(1l - I )(IJ - 2) ··· ) ·2·1;

por definición. O! = 1.

Radicales

'r;;;, .. ("r; )"' .. x"" n

Exponentes(111, )' .. (I'/J' {/ 'a\ .. u' '' '

~_ tl' -3u'

( -11 .. ..!.. x"

Fórmula binomial(x + y) ' • xl + 2xy + }.2

(x + y)' • r' + 3xly + 3xy2 + }J

(x + y)4 .. x 4+ 4x3y + 6x 2y2 + 4x)""' + y4

En genera l, (x + yf .. .e" + (~)x" -1)' + (;)XII- 2)'2

+ o • • + (~)xn - .l:y .l + 0'- + (n~ 1)xy lJ - 1 + y".

donde el coefic iente binomial (n) es el entere 'en! ), .m nI.n - m .

Factorización

Si n es un entero pos itivo, entonces

X" _ yl'l _ (x - y)(x" -l + x" - 2y + x" - Jy 2 + .. .+ x " - .l: -I y k + o •• + xy n - 2 + )' '' -1 ).

Si n es un ente ro positivo impar, entoncesXII + yll .(X + y)(x" -l _ x"-2y +x" - ::y~ _ O "

%X,,-*-Iy.l:+: .. . _ xy,,-2 + y"- I).

h

Área del circu lo:

A _ 1tr 2

Círcunfercncia:e - mr

Áreadcl rectángulo :~hA -M ~

b

volumen del cilindro: __-::C;7"",___V _ 7V2h

Área de lasuperficie lateral:

A - 2.irh

• brArca del b'apecio:~

A.bl;

b2h~b,

Área dCllri:lngUI~

A . lhh L~_""":--_."""""'"2 h

Vohuncn de1,1 esfe ra:

, 3V - J"Jtr

Área de la superficie:A _ 41U2

x

)

GF.O~IETRíA

d- Iu-hl

Ecuación pendiente-ordenadaal origen:

y . ",x + h

Ecuación punto-pendiente:

y - ." 1 - m {.\"- '"1)

Fúrrnulas para la distanciaDistancia en la recta numérica real:

>----d-----<, t

a h

OiSI;Jl1cb en el plano coOrdenadO~:

,l . {(x , - x,)' + (.v, - y,)' ~(X" y,)

(x ,.y ,)Ecu aciones de rectas y círc ulos

Circuto cou centro (h.k)

y radio r:(x -h)::! + (y -k )=- " :!

x

Volumen del cono:

V "" ~ JrrhÁreade la

superficie latera l:

A. " ,{, ' + h'

cos2A _ 1 + cos 2A2

T HIGONOJ\IETn íA:

sen2A + cus:!:A 111 1 (la identidad jifltdolllentaf)lan1¡\ + 1 111 scc~A

cos 2A =: Ct~2 A - sen2A = 1-2 scn2A = 2 cos' A - 1sen 2A = 2 sen.¡ cos a

cosCA + B) = cos A cos B - sen A sen Bco~(A - B) = cos A cos B + sen A sen Bsen(A + B) = sen A ces B + ros A sen B

scn(A- B) = sen A ces B - ces A sen B

sen2 A • J - ros 2A2

Véruse los apéndices para rnás fórmulas de referencia.

PROYECTOSLos siguientes proyectos usan varias tecnologías y son la base para el estudio individual o para las tareas en laboratorio.

CAPÍTULO 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

:11

12

13

14¡l ,

15

"."

1.11.3l A

2.12.2204

3.13.53.63.9

4044.54.6

5045.85.9

6.26.3604

7.17.27.3704

8.38.5

9.29.59.8

10.210.3

11.311.411.511.811.9

12.112.2

13.413.7

14.214.514.914.10

15.115.515.715.8

16.5

Jy'Soluci ón de ecuaciones por medio del método de tabulac ión (pág . 13) 'Soluciónde ecuaciones pormediodel método de aproximaciones sucesivas (pág. 31)Más acercade lasolución de ecuaciones mediante aproximaciones (pág. 42)

Aproximacióngráfica de pendientes de curvas (pág. 59)Estudio numérico de los limites (pág. 70)Aplicaciones de las ecuaciones cúbicas y cuárticas (pág. 91)

Estudio gráfi co del creci miento de poblaciones (pág. 10(,)Extremos medianteaproximación a los ceros de derivadas (pág. 139)Soluci ón gráfica de problemas de aplicac ión de máximos y mínimos (pág . 154)Implantación en calculadora/computadora del métodode Newton (pág. 183)

Solución gráfica de problemas de cajas no estándar (pág. 218)Gráficas y soluciones de ecuaciones polinomiales (pág. 226)Búsqueda de puntos críticos y puntos de inflexión en gráficas exóticas (pag. 241)

Calculo numérico de sumas de Riemann (pág. 287)Cálculo automático de áreas (pág. 322)Búsqueda de In 2 y Ir mediante integración numérica (pág. 335)

Aproximación numérica de volúmenes de revoluci6n (rág.~59)

Integrales de volumen y joyería de diseñado personalizado (pág. 367)Aproximaciónnumérica de la longitud de arco(pág. 375).Aproximación del número e mediante el cálculo de pendientes (pág. 407)Aproximacióndel número e mediante integración numérica (pág. 4 17)Aproximación del númeroe mediante cuadrados sucesivos (pág. 424)Paseo gráfico por donde nadie ha paseado (pág. 430)

Estudio gráfico de los limites de formas indeterminadas (pág. 463)M ate máticas del arco de Snn Luis (pág. 477 )

¿Cuándo son equivalentes dos respuestas ( integrales)? (pág'.484)Crecimiento acotado de poblaciones y la ecuación logística(pág. 507)Aproximación numérica de integrales impropias (pág. 527)

Gráficas en coordenadas polares generadas por calc ulado ra/computado ra (p ág. 546)Aproximación numérica de áreas en coordenadas polares (pág. 551)

Suma numérica de series infinitas (pág. 593)Gráficas de polinomios (pág. 608)Uso de las series p para aproximara Ir (pág. 614)Aprox imacióngráficamediante polinomios de Taylor(pág. 638)Uso de series de potencias para evaluarfo rmas indeterminadas (pág. 644)

Gráficas de curvas pararnétricas (pág. 657)Aproximación numérica de longitud de arco paramétriea (pág. 664)

Estudio de la curva de una pichada de beisbol (pág. 7 17)Construcción grá fica de objetos de piel (pág. 744)

Graflcaclón porcomputadora de superficies tridimensionales (pág. 758)Estudio gráfico de los valores extremos en un disco (pág. 782)s ohi ción porcomputadora de problemas de multiplicadores de Lagrange (pág. 816)Clasificación numérica de puntos criticos (pág. 825)

Aproximación numérica de integrales dobles (pág. 835)Diseño de ruedasóptimaspara autos de carrerascolina ab-v0 (pág. 866)Momento de inercia y el interior de la Tierra (pág. 881)Graficaci ón por computadorade superficies paramétricas (pág. 888)

Graficación porcomputadorade superfic ies con tul solo lado (pág. 938)

•

Contenido

Sobre los auto res

Prcíacin

xii

xii

CAP iTU LO 1 Fun ciones y ~r:íficas

1.1 Funciones y números reales 2PROY ECTOS 13

1.2 El plano coordenado y las líneas rectas 141.3 Gráficas de ecuaciones y funciones 23

PROYECTOS 3 1lA Un breve catálogo dc funciones 33

PROYECTOS 421.5 Una vista preliminar: ¿Qué es el cálculo? 42

REPASO: DEFINICIONeS. CONCEPTOS. RES ULTAOOS 46

CA I' iTU L O 2 Preludio al cálcu lo

2.1 Rectas tangentes y la derivada : Un primer vistazo 50PRO YECTO 59

2.2 El co ncepto de limite 59PROY ECTO 70

2.3 Más acerco de los limites 7 12A El co ncepto de continuidad 81

PROYECTOS 9 1REPASO: DEFINICIONES. CONCEPTOS. RESULTADO 92

49

vii

CAI' ÍTULO 3 La derivad a

3.J La derivada y las razones de cambio 95PROYECTO 106

3.2 Regla s básicas de der ivación 1073.3 La regla de la cadena J183.4 Derivadas de funciones algebraicas 1253.5 M áximos y mínimos de funcion es en interva los cerrados 131

PROYECTO 1393.6 Problemas de aplicación de m áximos y mínimos 140

PROYECTOS 1543.7 Derivada s de las funciones trigonométricas 155J.8 Derivación implícita y razones relacionadas 1643.9 Aprox imac iones sucesivas y el melado dc Newton 173

PRO YECTO S 183REPA SO , FÓRMULAS. CONCEPTOS. DE FINICIONES 185

94

190

198

CAllíTlJLO 4 Ap ticacionos adi cion ales de la derivada

4.1 Introdncci ón \9 14.2 Increm entos. di ferencia les y aproxima ción líneal 1914.3 Funciones crecientes y decrecientes y e l teorema del v310r medio4.4 El criteri o de la prim era derivada 209

PROYECTO 2184.5 Graficaci ón sencilla de curvas 2 19

PROY ECTOS 2264.6 Derivadas de orden su perior y concavidad 227

PRO YECTO S 2414.7 Trazo de curvas y asínt otas 242

REPASO, DEFtN1CIONES.CONCEPTOS. RESULTADOS 250

x

asbuota

(l . S)Mínimo local

y ,,,II,I,,,II 'I '

Máxim o local . i-"on k nada al origen ,,/ ...~

X : r > 1: asíntota vertical, I/ I

(D. J)

CAI'iTUL0 5 La integral 254

5.1 Introducción 2555.2 Antideri vadas primitivas y problemas con condiciones iniciales 2555.3 C álculo de áreas elementales 2685.4 Sumas de Riemarm y la integral 279

PRO YECTOS 287s.s Eva luación de integra les 2895.6 Valores promedio y el teorema fundamental del cálculo 2965.7 Integración por sustitución 3065.8 Áreas de regiones p lanas 3 13

PROYECTOS 3225.9 Integrac ión num érica 323

PRO YECTOS 335REPASO , DEFtN1CIONES.CONCEPTOS. RESULTADOS 336

viii Contenido

CAI)íTULO 6 A plicacíonc s de la integral

6.1 Construcci ón dc fó rmulas integrales 3416.2 Vol úmenes por med io del método de secc iones tra nsversoles 348

PROYECTO 3596.3 Volúmenes por med io del método de capas cilíndricas 360

PRO YE CTO 3676.4 Longitud de arco y arca de superfic ies de revolu ción 36 7

PROY ECTO 3756.5 Ecuaciones diferencia les se parables 3766.6 Fuerza y trabajo 3R3

RE PASO; D EFINICIONES. CONCEPTOS. RESULTADOS 393

340

397CAI'ITULO 7 Funciones exponenciales y logarítmicas

7.1 Exponenciales, logaritmos y func ione s inversas 398PROYECTO 407

7.2 El logaritm o natural 408PROYECTO 4 17

7.3 La funci ón expo nenci al 4 18PROYECTO 424

7.4 Funciones exponenciales y logarítmicas ge nerales 425PROYE CTO 430

7.5 Crec im iento y decaim iento naturales 431* 7.6 Ecuaciones di ferenciales lineal es de primer orden y aplicaciones 439

REPASO; DEFINtCIONES,CONCEPTOS.RESULTADOS 445

CAt' ÍTULO 8 M ás acerca del cálculo de las funcíoncs trascendentes 448

8.1 Int rodu cción 4498.2 Funciones tri gonom étricas inversas 4498.3 Formas indeterm inadas y reg la de I'H6 pital 458

PRO YE CTO 4638.4 Forma s indeterminada s ad iciona les 4648.5 Func iones hiperból icas y funciones hiperb ólicas inversa s 468

PROYECTO 477tn

REPASO: DEfiNICIONES y FÓRMULAS 478(J·S

lO. I)I

: ""''''11\", ~'-./ '-./

I

,. \(1

... (

Contenido ix

y

J .\' = senaan xl - lan (scnt)

-3

CAPíTULO 9 Técnicas dc integración9.1 Introducción 4819.2 Tablas de integrales y sustituciones simples 48 I

PROYE CTO 4849.3 Integra les trig onométricas 4859.4 Integración por part es 4929.5 Funciones racionales y fracciones parc iales 499

PROYECTO 5079.6 Sustitución trigonom étr ica 5089.7 Int egrales qu e contienen polinomios cuadráticos 5149.8 Integrales impropi as 5 19

PROYE CTO 52 7RESUMEN 528

CAPíTULO 10 C oordenad as polares y seccion es c ónic as

10.1 Georn etria analítica y las secciones cónicas 53410.2 Coordenadas po lares 539

PROYE CTOS 54610.3 Cálculo de áreas en coordenadas polares 547

PROYECTO 54710.4 La parábola 55210.5 La elipse 55610.6 La hipérbol a 56 110.7 Rotación de ejes y curvas de segundo grado 567

REPASO: PROPIEDADES DE LAS SECCIONES CÓNICAS 572

CAI)íT OLO 11 Series infinitas

11.1 Introducción 57611.2 Sucesiones infinitas 57611.3 Series infi nitas y converge ncia 584

PROYECTOS 59311.4 Series de Taylor y polinomios de Taylor 59 5

PROY ECTO 60811.5 El criterio de la integral 608

PROYECTO 6 1411.6 Criter ios de comparac i ón para senes con t érminos posit ivos 61511.7 Series alternantes y conve rgencia absoluta 62011.8 Series de potencias 628

PROYECTO 63811.9 C álculo de se ries de potencias 639

PROYECTO 644REPASO: DEFINICIONES. CONCEPTOS. RESULTADOS 646

480

533

575

x Contenido

CAPiTULO J2 Curvas paramétricas y vectores cn el plano12.1 Curvas paramétricas 650

PROYECTOS 65712.2 Cá lculo de integrales con curvas paramétricas 659

PROYECTOS 66412.3 Vectores en el plano 66412.4 Movimiento y funciones vectoriales 672

*12.5 Órbit as de planetas y satélites 680REPASO: DEFINICIONES y CONCEPTOS 686

649

749

Contenido

CAPiTULO J3 Vectores, curvas y superficies cn cl espacio 688

13.1 Coordenadas rectangu lares y vectores tridimensionales 68913.2 El producto vectorial de dos vectore s 69713.3 Rectas y planos en el espacio 70613.4 Curvas y movimiento en el espacio 7 12

PROYECTO 7 1713.5 Curva tura y ace leración 7 I813.6 Cilindros y superficies cuadráticas 72913.7 Coo rdenadas cilíndricas y esféricas 738

PROYECTO 744REPASO, DEFINICIONES. CONCEPTOS. RESULTADOS 745

CAPÍTULO 14 Derivación parcial

14.1 Introducción 75014.2 Funciones de varias variables 750

PRO YECTO 75814.3 Límites y continuidad 75914.4 Derivadas parciales 76414.5 Máximo s y mínimos de funciones de varias variables 772

PROYECTO 78214.6 Incrementos y diferenciales 78414.7 La regla de la cadena 79014.8 Derivadas direccionales y el vector grad iente 79814.9 Multiplicadores de Lagrange y problemas de máximos y mínimos con

restricciones 807PROYECTOS 8 16

14.10 El criterio de la segunda deri vada para funcio nes de dos var iables 8 18PRO YECTOS 825

REPASO: DEFINICIONES.CONCEPTOS. RESULTADQS 826

xi

z

x

'-'

CAPíTULO 15 In teg ra les mú lt ip les

15.1 Integrales dob les 830PROYECTO 835

y " 4 15.2 Integrales dobles sobre regione s más gener ales 83615.3 Área y vo lume n med iante integración dob le 84215.4 Integrales dob les en coo rdenadas polares 84815.5 Apli caciones de las integral es dobles 856

PROY ECTO 86615.6 Integra les tripl es 86715.7 Integración en coordenadas cilíndr icas y es féricas 874

PROYECTO 88 115.8 Área de una superficie 882

PROYECTOS 888· 15.9 Cambio de variab les en integrales múlt iples 889REP ASO: DEFINICIONES. CONCEPTOS. RESUl.TADOS 897

CAl' íTlfLO 16 Amil is is vectorial

16.1 Ca mpos vectoria les 90 J16.2 In tegrales de linea 90616.3 Independencia de la trayectoria 91516.4 Teorema de Green 92216.5 Integrales de superfic ie 930

PROYECTOS 93816.6 El teorema de la divergencia 94016.7 Teorema de Stokes 947

REPA SO : DEFINICIONES. CONCEPTOS. Rrsut,TADOS 954

829

900

xii

Apé nd ices A·I

A Repaso de trigonometría A- III Demo stración de las propiedades del limit e A-7C La compl etitud del sistema de núm eros reales A-1 2D Demostración de la regla de la cadena A-17E Existencia de la integral A- 18F Aproximaciones y sumas de Riemann A-24G Regla de l'H ópital y teorema del valor medío de Cauchy A-28H Demostración de la fórmula de Taylor A-3D1 Unidades de medida y factores de convers ión A-3 1J F órmulas de álgebra, geometría y trigonometrí a A-32K El alfa beto griego A-34

Contenido

Contenido

Respuesta a los problemas impares

Bibliografía para estudio posterior

Índice

A-35

A-70

'\-71

xiii

xiv

Sobre los autores

C. Henry Edwa rds, Un ivers ity ofGeorg ia, recibi ó su Ph. D. de la Unive rsity ofTennessee en 1960 . Despu és impartió clases en la University of Wi scon sin portres años y un año en el lnstitut for Advan ced Studies (Princeton), co mo Al fred P.Slo an Research Fellow. El profesor Edw ards acaba de cumpl ir su año 35 en laenseñanza (incluyendo la enseñanza del cálculo casi todos los años) y ha recibidopremios de enseñanza de numerosas uni ver sidades. Su carrera ha ido de lainvestigación y dirección de tesis en topología e historia de las matemáticas a lasmatemáticas aplicadas, a las computadoras y la tecnología en matemáticas (supu nto de atención en los últimos años). Ad emás de sus textos de cálculo, c álculoavanzado. álgebra lineal y ecuaciones diferenciales, es bien conocido por losmae stros de cálculo como el autor de The Historical Development ofthe Calculus(Springer-Ve rlag, 1979). Ha trabajado co mo investi gador prineipal en tres pro ­yectos recient es apoyados por la NSF; ( 1) Un proyecto para introducir teenologíaen todo el cur ric ulum de matem átic as en dos sistemas de esc ue las públicas delnoreste de Geo rgia (incluyendo Mop /e para estud iantes de los pr imeros cursos deálgeb ra); (2) un program a piloto Caiculus with Muthematica en la Univers ity o fGeo rgia; y (3) un proyecto de laboratorio de computac ión bas ado en MATLABpara estudiantes de últimos niveles de an álisis numérico y m atem áticas ap licadas.

David E. Pcn ney, Univc rsity of Geo rgia, term in ósu Ph. D. en Tulane Unive rsityen 1965, a la vez que impartía clases en la Un iversit y o f New Orleans. Ant erior ­mente hab ía trabajado en biofí s ica experi mental en Tulane University y en elVe teran's Adm inistration Hospital de Nueva Orleans . En reali dad , comenz ó aimp artir elases de c álculo en 1957 y desde entonces ha imp artido dicho curso cadaperiodo. Se unió al departamento de matemáticas en Gcorgia en 1966 y desdeentonces ha recibido premios de enseñanza en varias universidades. Él es autordevarios artículos de investigación en teorí a de números y topología y es autor ocoautorde libros de álgebra lineal. ecuaciones diferenciales y c álculo .

Co ntenido

Prefacio

El papel y la práctica de las matemáticas a nivel globa l y mundial está sufriendouna revolución , con la in fluencia principal de la tecnología de cómputo. Lascalculadoras y los sistemas de cómputo proporcionan a estudiantes y maestros lafuerza matemática que ninguna generación anterior podría haber imaginado.Incluso Icemos en los periódicos eventos impresionantes, como el reciente an unc iode la demostración del último teorema de Ferrnat. En t érminos de las matem áticas,[seguramente ésta es la época más excitante en toda la historia! Así, al prepara resta nu eva edición de CALCULO con geometría analítica, deseam os llevar a losestudiantes que lo utilicen algo de esta excitación .

También notamos que el curso de cálculo es la puerta prin cipal para lascarreras técnicas y profesionales para un número cada vez mayor de estudiantesen un rango cada vez mayor de curricula. Adonde vo lteemos (en las empresas, elgobierno , la ciencia y la tecn ología) , casi todo aspecto dcl trabajo profesional estárelacionado co n las matemáticas. Por tanto, hem os repensado el objetivo deproporcionar a los es tudiantes de cálculo la base sólida para su trabajo posteriorque deben obtener de su texto de cálculo.

Po r primera vez desde que la versión original de este libro se pub licó en 1982,es ta cuarta edición ha sido revisada desde el pri ncipi o hasta el fin. Los análisis yexplicaciones han sido reescritos en un lenguaje que los estudiantes verán másvivo y accesible . Los temas qu e rara vez se tocan han sid o recortados, par aadec ua rlos a un curso de cálculo más acces ible . Hemos ag regado notas históricasy biográfi cas para mostrar a los estudiantes el lado humano del cálculo, as i comoproyectos con cal culadoras grá ficas y laboratorios de có mputo (co n opciones paraDerive, Maple y Mathematica) para las secciones funda mentales del texto. Dehecho, en esta edición se perci be un espíritu y un enfoque nuevos que refl ej an elinterés preva leciente en las ca lculadoras grá ficas y los sistemas de cómpu to. Enforma con sistente co n el énfasis grá fico del movimient o ac tua l de reform a delcá lculo, hemos cas i dupli cado el número de figuras en el texto, donde gran partedel nu evo material grá fico es generado por computadora. Mu chas de estas figurasadiciona les sirve n para ilustrar un en foque de más deliberación y explorac ión a lasolución de problemas. Nuestra propia ex perienc ia en la ense ñanza sugiere que eluso de la tecnología contem poránea puede hacer qu e el cá lculo sea más concretoy acces ible a los estudiantes.

Características de lacuarta edición

Al pre parar es la ed ición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos comen­tarios y sugerencias de los usuarios de las primeras tres ediciones. Esta revisiónha sido tan completa que las modificaciones son demasiadascomo para enurne­rarse aquí. Sin emba rgo, los párrafos siguientes resumen las mod ificac iones demayor interés.

xv

XVI

Problemas adicionales El número de problemas ha crecido poco a poco desdela primera edici ón y ahora suman casi 6000. En la tercera y cuarta ediciones hemosinsertado muchos ejercicios de práct ica adicionales al principio de los conjuntosde prob lemas, para gara ntiza r que los estudian tes obtengan la confian za y habili­dad de cómputo suficiente antes de pasar a los prob lemas más co nceptuales quecon stituycn el objetivo real del cá lculo. En es ta ed ición hemos agregado tambiénproblemas basados en gráfi cos que en fatice n la comprensi ón conceptual y acos­tumbren a los estudiantes a utilizar las calc uladoras gráfi cas.

Nuevos ejemplos y detalles de computo En muchas de las secciones de estaedic ión, hemos insertado un primer ejemplo más sencillo o reemplaza do ejemplosya existentes porotroscuyo cómputo es más sencillo .Además, insertadounalíneao dos más de deta lles de cómputo en muchos de los ejemplos resueltos para facil itarsu seguimiento al estudiante. Realizamos estos cambios de modo que los cómputosno sean una barrera contra la comprensión con ceptua l,

Material p royecto Hemos insertado proyectos complementarios (un total de 48)en todo el libro. Cada proyecto utili za algún aspecto dc la tecnología actual decómputo para ilustrar las ideas princ ipales de la secc ión que lo precede, y cadauno contiene por lo genera l problemas adiciona les cuya solución pretende usaruna calculadora gráfica o una computadora. Las figuras y los datos ilustran el usode ca lculadoras grá ficas y sistemas de cóm puto como Derive, Maple y Mathema­tica. Este material proyecto es adecuado parasu uso en un laboratorio de compu­tadoras o calculadoras conducido en relación con un curso estándar de cálculo, talvez con lU13 reunión a la semana. También se puede utilizar como base para lastareas con calculadoras gráficas o computadorasque los estudiantes deben realizarfuera de clase o para su estudio individual.

Gráficos por computadora Ahora que las calculadoras gráficas y las computa­doras han llegado para queda rse, es posible y recomend able el creciente énfasisen la visualizaci ón gráfica, junto con el trabajo numérico y simbólico. Cerca de250 figuras nuevas generadas con MATLAB ilustran el tipo de figu ras que losestudiantes pueden producir por si mi smos con las calculadoras gráficas. Muchasde éstas se incluyen con material nuevo para problemas gráficos. Incluimos cercade 100 grá ficos a color generados con Mathemutica para resaltar todas lassecciones relacionadas con el material tridimensional.

Material hist óricoy biográfico Hemos insertado material histórico y biográficoal principio de cada cap ítulo para dar a los es tudiantes una idea del desarrol lo denuestra materia por seres humanos reales, vivos. Ambos autores se basan en lahistori a de las mismas y creen que puede influir de manera favorab le en laenseñanza.de las matemáticas. Por esta razón, también aparecen en el texto varioscomentarios históricos.

Cap ítulos introductorios Hemos insertado los capítulos 1 y 2 para un inicio másclaro y rápido del cálculo. El cap itulo I se centra en las funcio nes y las gráficas.Incluye ahora una secci ón que cataloga las func iones elementales del cá lculo yprop orciona una base para un énfa sis tem prano en las funciones trascendentes. Elcap itulo 1 concluye ahora con un a sección dedicada a la pregunta "¿Qué es elcálculo?" El capítulo 2, de límites, comienza con tina sección relativa a las rectastangentes para motivar la introducción oficial de los limites en la sección 2.2. En

Prefacio

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contraste con la tercera edición, esta edición trata los límites trigonométricos entodo el capítulo 2. para apoyar una introducció n más rica y más visualdel conceptode limite.

Capítulos de derivacion La secuencia de los temas en los capitulas 3 y 4 varíaUIl poco con respecto del orden tradicional. Intentamos dar confianza al estudiantepresentando los temas en orden creciente de dificultad. L1 regla de la cadenaaparece un poco temprano (en lo sección 3.3) y tratamos los técnicos b ásicas dederivación de funciones algebraicas antes de analizar los máximos y mínimos enlas secciones 3.6 y 3.6. La aparición de las fu nciones inversas se difiere ahora hastael capítulo 7. La secció n 3.7 trata ahora de las derivadas de las seis funcionestrigonométricas, La derivación implícita y las razones relacionadas con ésta secombinan en una sola sección (Sección 3,8) . El teorema del valor med io y susaplicac iones se difieren hasta el capítulo 4. Las secciones 4 .4 acerca del criteriode lo pr imera derivada y 4.6 acerco de las derivadas de orden superior y loconcavidad se han simplific ado y adecuado al flujo del texto, Se ha agregado grancantidad de material grá fi co en las seccio nes de trazo de curvas con las queconcluye el capítulo 4.

Capitulo...' (le integraci ún Se han insert ado nuevos ejemp los más sencillos en loscapítulos 5 y 6. Las pri mitivas (anterio r mente al final del capítulo 4) abren ahorael capítulo 5. La sección 5.4 (sumas de Riemann) se ha simp lificado en granmedida, eliminando las sumas superiores e inferiores, enfat izado en vez de ellaslas sumas con puntos medios o con extremos, Muchos maestros piensan ahora quelas primeras aplicaciones de la integral no deben confi narse al est ándar de c álculode áreas y volúmenes; la sección 6,5 cs una sección opcional que presenta lasecuaciones diferenciales separables. Para el iminar la redundancia, el material decentroidcs y el tco rema de Papp us se pasa al capitulo 15 (Integrales múltiples),donde se puede cstudinr en un contexto más natural.

Opciones tempranas para las funcio nes trascenden tes Se dispone de dosvers iones "tempranas de funciones trascen dentes": una que incluye cl c álculode varias variables y una que sólo trato el c álcu lo de una var iab le. En la versión" reg ular" , la flexib le orga nización del capí tulo 7 comienza con cl "enfoque delbachillera to" de las funciones exponencia les, seguido de la idea de un Iogarit­111 0 como la pote ncia a la que debernos elevar la base (1 para obtener el n úmero.v. Sobre es ta base. la secc ión 7, I hace un repaso scnci 110 de las leyes de losexpon entes y de los logaritmos e inve stiga de manera informal la derivaciónde las funciones exponencial y logarítm ica. Esta secc ión acerca del c álc u lo

d iferencial c lcnic ntal de las exponenciales y los logaritmos se puede estudiaren cualquier mom ento. despu és de la secc ión 3.3 (regla de la cade na), Si estose hace , entonces se puede estudiar la sección 7.2 (basada en la defi nic ión dellogaritmo como 1I1l<1 integral) en cualquier momento, después de definir laintegral en el capítulo 5 (junto con gran parte del resto del capítulo 7, comodesee el maestro) . De esta forma, el texto se puede adecuar a un curso m ássencillo que incluya de manera temprana las funciones exponencia les en elcálc ulo difer encial y/o de manera tempran a las func iones loga rítmicas en elcálc ulo integral.

Las dem ás funciones trascendentes (funciones trigonométricas inversas ehiperbólicas) se estudian ahora en el capítulo 8. Este capítulo recién reorganizadoincluyc ahora las formas indeterminadas y In regla de l' Hópital (más temprano queen la tercera edici ón),

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Manten imiento de lafuerza tradicional

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Técnicas de integra ción modernizadas El capítulo 9 está organizado para ade ­cuarse a los maestro s que piensan que los mé tod os de integración formal necesitanaho ra un menor énfasis, en vista de las técn icas modernas para la integrac iónnumérica y simbólica. Es de suponer que todos deseen tratar las primeras cuatrosecciones del capítulo (hasta la integración por partes en la sección 9.4). El métodode fracciones par ciales apa rece en la sección 9.5 y las sustituciones trigonométri­cas y las integrales co n polinom ios cuadráticos aparecen desp ués , en las secc iones9.6 y 9.7. Las integrales impropias aparecen ahora en la sección 9.8 y lassustituciones de racionalización más particu lares han sido desp lazadas a losproblemas del capitulo 9. Este rcordenamien to del capitulo 9 lo hace más conve­níente para det enerse cuando eJ maestro Jo desee .

S eries infinitas Despu és de la int roducción usua l a la conve rgencia de lassucesiones y series infi nitas (en las secciones 11.2 y 11.3), en la sección 11.4apa rece un tratamiento conjunto de los polinomio s y se ries de Ta ylor, Esto permiteque un maestro experimente con un tratamiento más breve de las series infinitaspero con una exposición de las series. de Taylor, tan importantes parJ. las aplica­ciones.

Ecuacion es diferenciales Mucho s maestros de cálcu lo piensan ahora que lasecuaciones diferenciales deben estudiarse de la forma más temprana y frecuenteposible. Las ecuaciones diferenciales más sencillas, de la formav' =/ (x), aparecenen una subsecci ón al final de la sección 52. La secc ión 6.5 ilustra las aplicacionesde la inte gra l a la solución de ecuacion es diferenciales separab les. L, secc ión 9.5incluye aplicaciones del m étodo de fracciones parciales" problemas de poblacióny a la ecuación logíst ica . De esta forma, hem os distribuido algo del espíritu y elsabor de las ecuac iones diferenciales en el texto, de modo que parecia claroeliminar el últillio capitulo de nuestra tercera edición. dedicado exclusivamente alas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, los que así lo deseen pueden comuni­curse con Prentice Hall para solicitar las secciones adecuadas para el uso comple­mentario de Edwards y Pcnncy, Ecuaciones difer enciales elementalesyproblemasCO I/ condiciones en tafrnntvra, tercera edición.

Aunque se han agregado muchas características nuevas. siguen presentes cincoobjetivos relacionados entre sí: con crct cz, )cgihilitl:ul , motfvnci ón, aplicabili­dad y precisión .

Concrete; La fuerza del cál culo es impresiona nte por sus respuestas precisas apregun tas Yproblemas rea les . En el necesario desarro llo concept ual del c álculo,mantenemos siempre 1" pregunta central: ¿Cómo calcularlo realmente? Enfatiza­1110S de man era pa¡1iculM los ejemplos, aplicaciones y problemas concretos quesirven para resaltar el desarrollo de la teoría y demostrar la admirublc versatilidadde) cálculo en el estudio de importantes cuestiones cicmi ficas.

Ll'J.:ihilidtlt/ Las dificultades en el aprendizaje de las matem áti cas se complicancon frecuencia por las diIicultades en el lenguaje. Nuestro estilo de escritura partede la creencia de que In exposición llana. intuitiva y precisa. hace más accesibleslas matem áticas (y por tanto más fác iles de aprender) sin pérdida de rigor. En estaedición hemos intentado hacer que nuestro lenguaje sea claro y atractivo para loscstud iamcs. de modo que ellos puedan y quieran leerlo, permitiendo entonces a

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Agradecimientos

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los maestros concentrar el tiempo de la clase en los aspectos menos rutinarios dela enseñanza del cálculo.

Motivac i á« Nues tro exposic ión se cen tra en los ejemp los del empleo delc álculo para resolver problemas reales de interés para las personas reales . Alse lecc ionar tales problemas para los ejemplos y ejerc icios, hemos utilizado elpunto de vista de que el interés est imulante y el estudio e ficaz motivante van dela mano. Intentamos aclarar a los estudiantes la forma en que el conocimientoobtenido co n elida concepto o técnica valdrá el es fuerzo. En los anális is teóricos,en part icular, intentamos proporcionar una imagen intuitiva del objetivo antesde perseguirl o.

Aplicaciones Las diversas aplicaciones del cálculo son lo que atrae a muchoses tudiantes hacia la materia. y las aplicaciones realistas propo rcionan unavalioso motivaci ón y refuerzo para todos e1lns. Nuestro lib ro es bie n co noci dopo r el amplio rango de aplicaciones inc luidas , pero no es necesario ni recom en­doble que codo curso ab arque todos los aplicac iones en el mi smo . Cado seccióno subsecci ón que se pueda omitir sin pérdida de continuidad se marca co n unasterisco . Esto pro porcio no flexibilidad para que un maest ro determine supropio énfasis,

Prec isi án Nuestro tratamiento del cálc ulo es comp leto (aunque esperamos quesea menos que enciclopédico). Más que sus antecesores, esta edició n fue sujeta aun proceso amplio de revisión para ayudar a garantizar su precisión. Por ejemp lo,ese ncialmente todas las respuestas a problemas en la sección de respuestas al fin alde esta edición ha sido verificada co n Mathematica. Co n respecto a la se lecc ióny sec uencia de los temas matemáticos, nuestro enfoque es tradicional. Sin embar­go, un exa men cercano del tratamiento de los temas es tándar puede de latar nuestrapropio participaci ón en el movim iento actual por revitali zar lo enseñanza delcá lculo. Co ntinuamos en favor de un enfoque intuit ivo que en fatice la comprens iónco ncep tual y el cuidado en la formulación de las definiciones y conceptos funda­mentoles del cá lculo, Algunos de las dem ostraciones que se pueden omitir ocriterio del maestro aparecen al final de las secciones , mientras que otras se difierenél los apéndices. De es ta forma, damos amplio margen para la variac ión en labúsqueda del equilibrio adecuado entre el rigor y la intui ción.

Todos los autores experimentados conocen el valor de lo revisión críti co dur antela preparación y rev isión de un manuscrito . En nuestro trabajo con varias edicion esde es te libro, nos hemos benefi ciado en gron medido con el co nsejo de lossiguientes revisores, exc epcionalmente hábiles:

Leon E, Am old, De laware County Community Co llege

H. L. Bentl ey, University of To ledo

Michael L. Berry, West Virg inia Weslcyan Co llege

William Blair , No rthern Illinois University

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George Ca in, Georgia lnstitute of Technology

Wil Clarke, Atlantic Union Co llege

Pete r Co lwe ll, lo wa Sta te University

W illiam B. Franci s. Michi gan Technological University

D ianne H. Haber, Westfield Sta te Co llege

John C. Higgins, Brigh arn Yo ung Unive rsi ty

W . Ca ry Huffman, Loyola Universi ty ofC hicago

Ca lvi n Jongsm a, Do rdt Co llege

Morri s Kalk a, T ulane Unive rsi ty

Lou ise E. Knouse, Le Touroeau Co llcgc

Catherine Lilly, Wcs tfic ld State Co llcge

Joyce Lon grnan, Vlllanova University

E. D. McCune, Stephen F. Aus tin State University

Arthur L. Moser, lllinois Centra l Co llege

Barbara Ma ses. Bowling G reen Universi ty

Barbara L. Osofsky, Rut gers Un ivc rsity at New Brunswi ck

John Perro, Wes tern Mi chigan Univcrsity

Jam es P. Qualey, Jr .. University o fColorado

Thornas Roe. South Dakol a Srate Un iversity

Lawrcn ce Runynn, Shorcline Community Co llcg e

Wi lliam L. Sicgmann , Rc nssclacr Polytcchnic Inst itute

Jo hn Spcllman, Southwest Texas State University

Virginia Tay lor, Universi ty 01" Lowell

Sarnuel A. Tru itr, JI'.. Mid dle Ten ncssce Sta te University

Robert Urbanski, Middlcscx County Co llege

Robert Wh itin g , Villanova University

Ca th leen M. Zueco. Le Moyne Co llegc

Muchas de las mejoras realizadas a esta obra deben acreditarse a nuestrosco legas y los usuarios de las primeras tres ediciones en Estados Unidos. Canad áy otros paises. Estamos ag rad eci dos con aq ue llos que nos han esc rito. particular­mente los estudiantes, y esperamos que continúen haci éndoln. Agradecemos aBetty Miller de West Virg in ia University su dilige nte reso lución de los problemasy a Terr i Bi ttne r, qu ien j unto con su eq uipo en Laure l Tut oring (San Carlos,Ca liforn ia) verificaron la precisión de Inda solució n a los eje mp los y los ejerciciosimpares. También pensamos que la calidad del lib ro termi nado es un testimonioadecuad o de la capacidad , dil igencia y tal ent o de un equipo exc e pciona l enPr enti ce lI al l. Dam os las grac ias pa rticularmente a George Lobell y Priscil laMcGech on, edi to res de matcnuuicas: Karen Kar lin, edi tor de desarr oll o, EdThomas, editor de producción; y Andy Zutis, diseñador. Porúltimo, no podemosagradecer lo suficiente a Alice Fitzgcrald Edwards y Carol \Vilson Pcnncy suapoyo. ánimo y paciencia continuos.

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C. H. E.. .1rhe dwards@math.uga.edll

A thc ns, Georgia

D E. P.dpenney@m alh .uga.edll

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