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Sucesiones y series
CALCULO IPara todos los Grados en Ingenierıa
Domingo Pestana GalvanJose Manuel Rodrıguez Garcıa
—————Figuras realizadas con Arturo de Pablo Martınez
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
Capıtulo 3. Sucesiones y series3.1 Sucesiones de numeros3.2 Series de numeros3.3 Series de Taylor
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPreliminares
Una sucesion es la imagen de una aplicacion cuyo dominio esel conjunto de los numeros naturales.
f : N → Rn → an = f (n)
Los terminos de la sucesion se escriben a1, a2, a3, · · · (enocasiones se consideran tambien sucesiones comenzando pora0 o ak)El termino general es an = f (n). La sucesion se suele escribir{an}∞n=1.Tambien se pueden considerar sucesiones definidas en formarecurrente
an+1 = g(an), n ≥ 1, a1 dado.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPreliminares
Una sucesion es la imagen de una aplicacion cuyo dominio esel conjunto de los numeros naturales.
f : N → Rn → an = f (n)
Los terminos de la sucesion se escriben a1, a2, a3, · · · (enocasiones se consideran tambien sucesiones comenzando pora0 o ak)El termino general es an = f (n). La sucesion se suele escribir{an}∞n=1.Tambien se pueden considerar sucesiones definidas en formarecurrente
an+1 = g(an), n ≥ 1, a1 dado.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPreliminares
Una sucesion es la imagen de una aplicacion cuyo dominio esel conjunto de los numeros naturales.
f : N → Rn → an = f (n)
Los terminos de la sucesion se escriben a1, a2, a3, · · · (enocasiones se consideran tambien sucesiones comenzando pora0 o ak)El termino general es an = f (n). La sucesion se suele escribir{an}∞n=1.Tambien se pueden considerar sucesiones definidas en formarecurrente
an+1 = g(an), n ≥ 1, a1 dado.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPreliminares
Una sucesion es la imagen de una aplicacion cuyo dominio esel conjunto de los numeros naturales.
f : N → Rn → an = f (n)
Los terminos de la sucesion se escriben a1, a2, a3, · · · (enocasiones se consideran tambien sucesiones comenzando pora0 o ak)El termino general es an = f (n). La sucesion se suele escribir{an}∞n=1.Tambien se pueden considerar sucesiones definidas en formarecurrente
an+1 = g(an), n ≥ 1, a1 dado.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesConvergencia
Una sucesion {an}∞n=1 es monotona creciente si an+1 ≥ anpara todo n ∈ N. Analogamente para monotona decreciente.
Una sucesion {an}∞n=1 es acotada superiormente si an ≤ Cpara todo n ∈ N. Analogamente para acotada inferiormente.
Sucesion convergente
Se dice que una sucesion {an}∞n=1 es convergente, con limn→∞
an = `
si∀ ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |an − `| < ε ∀ n ≥ N0.
- Ejemplo: limn→∞
1
n= 0.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesConvergencia
Una sucesion {an}∞n=1 es monotona creciente si an+1 ≥ anpara todo n ∈ N. Analogamente para monotona decreciente.
Una sucesion {an}∞n=1 es acotada superiormente si an ≤ Cpara todo n ∈ N. Analogamente para acotada inferiormente.
Sucesion convergente
Se dice que una sucesion {an}∞n=1 es convergente, con limn→∞
an = `
si∀ ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |an − `| < ε ∀ n ≥ N0.
- Ejemplo: limn→∞
1
n= 0.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesConvergencia
Una sucesion {an}∞n=1 es monotona creciente si an+1 ≥ anpara todo n ∈ N. Analogamente para monotona decreciente.
Una sucesion {an}∞n=1 es acotada superiormente si an ≤ Cpara todo n ∈ N. Analogamente para acotada inferiormente.
Sucesion convergente
Se dice que una sucesion {an}∞n=1 es convergente, con limn→∞
an = `
si∀ ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |an − `| < ε ∀ n ≥ N0.
- Ejemplo: limn→∞
1
n= 0.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesConvergencia
Una sucesion {an}∞n=1 es monotona creciente si an+1 ≥ anpara todo n ∈ N. Analogamente para monotona decreciente.
Una sucesion {an}∞n=1 es acotada superiormente si an ≤ Cpara todo n ∈ N. Analogamente para acotada inferiormente.
Sucesion convergente
Se dice que una sucesion {an}∞n=1 es convergente, con limn→∞
an = `
si∀ ε > 0 ∃ N0 ∈ N : |an − `| < ε ∀ n ≥ N0.
- Ejemplo: limn→∞
1
n= 0.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Se dice que una sucesion no es convergente cuando el lımiteno existe (la sucesion es oscilante sin acercarse a ningun valor)o el lımite existe pero es infinito (o menos infinito). Ladefinicion de lımite infinito es la analoga sustituyendo laexpresion |an − `| < ε por an > M.
Ejemplos:an = (−1)n, an = 2n + 3 .
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Se dice que una sucesion no es convergente cuando el lımiteno existe (la sucesion es oscilante sin acercarse a ningun valor)o el lımite existe pero es infinito (o menos infinito). Ladefinicion de lımite infinito es la analoga sustituyendo laexpresion |an − `| < ε por an > M.
Ejemplos:an = (−1)n, an = 2n + 3 .
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPropiedades de los lımites
Cuando existan los lımites involucrados, se tienen las siguientespropiedades
Linealidad: el lımite de la suma es la suma de los lımites; lasconstantes multiplicativas conmutan con el lımite.
El lımite del producto es el producto de los lımites. Igual conel cociente si el denominador no es cero.
El lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, silimn→∞
an = ` y h es una funcion continua en `, entonces
limn→∞
h(an) = h( limn→∞
an) = h(`).
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPropiedades de los lımites
Cuando existan los lımites involucrados, se tienen las siguientespropiedades
Linealidad: el lımite de la suma es la suma de los lımites; lasconstantes multiplicativas conmutan con el lımite.
El lımite del producto es el producto de los lımites. Igual conel cociente si el denominador no es cero.
El lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, silimn→∞
an = ` y h es una funcion continua en `, entonces
limn→∞
h(an) = h( limn→∞
an) = h(`).
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesPropiedades de los lımites
Cuando existan los lımites involucrados, se tienen las siguientespropiedades
Linealidad: el lımite de la suma es la suma de los lımites; lasconstantes multiplicativas conmutan con el lımite.
El lımite del producto es el producto de los lımites. Igual conel cociente si el denominador no es cero.
El lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, silimn→∞
an = ` y h es una funcion continua en `, entonces
limn→∞
h(an) = h( limn→∞
an) = h(`).
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Para calcular lımites de sucesiones utilizaremos ademas alguna delas siguientes tecnicas:
Lema del sandwich.
Criterio de Stolz.
Formula de Stirling.
Concepto de lımites de funciones y calculo diferencial.
Sucesiones monotonas y acotadas.
Teorema del punto fijo.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Lema del sandwich
Si limn→∞
an = limn→∞
cn = ` y an ≤ bn ≤ cn para todo n ≥ k, para
algun k ∈ N, entonces limn→∞
bn = `.
- Ejemplo: limn→∞
sen n
n= 0 pues
−1
n≤ sen n
n≤ 1
n.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Criterio de Stolz
Si se verifica alguna de las dos propiedades- limn→∞
bn =∞ creciente, o
- limn→∞
an = limn→∞
bn = 0, decrecientes, entonces
limn→∞
anbn
= limn→∞
an+1 − annn+1 − bn
siempre que este ultimo lımite exista.
Es util cuando aparezcan sumas cuyo numero de sumandosdepende de n.
- Ejemplo: limn→∞
1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n
2n= lim
n→∞
2n+1
2n+1 − 2n= 2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Criterio de Stolz
Si se verifica alguna de las dos propiedades- limn→∞
bn =∞ creciente, o
- limn→∞
an = limn→∞
bn = 0, decrecientes, entonces
limn→∞
anbn
= limn→∞
an+1 − annn+1 − bn
siempre que este ultimo lımite exista.
Es util cuando aparezcan sumas cuyo numero de sumandosdepende de n.
- Ejemplo: limn→∞
1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n
2n= lim
n→∞
2n+1
2n+1 − 2n= 2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Formula de Stirling
El siguiente lımite es util para calcular lımites que involucrenfactoriales:
limn→∞
n!
(n/e)n√
2πn= 1 .
- Ejemplo: limn→∞
nn√
n!= lim
n→∞
en
n(2πn)1/2n= e.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Formula de Stirling
El siguiente lımite es util para calcular lımites que involucrenfactoriales:
limn→∞
n!
(n/e)n√
2πn= 1 .
- Ejemplo: limn→∞
nn√
n!= lim
n→∞
en
n(2πn)1/2n= e.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Si an = f (n), donde f es una funcion definida en todos losreales (o al menos en los positivos), entonces
limn→∞
an = limx→∞
f (x)
si este ultimo lımite existe. Para calcularlo se pueden utilizarlas tecnicas del calculo diferencial, como la regla de L’Hopitalo el Teorema de Taylor. Es especialmente util en la formaan = g(1/n), en cuyo caso
limn→∞
an = limx→0
g(x).
- Ejemplo: limn→∞
(cos(3/n)
)n2
= limx→0
(cos(3x)
)1/x2
=
exp[ limx→0
cos(3x)− 1
x2] = e−9/2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Si an = f (n), donde f es una funcion definida en todos losreales (o al menos en los positivos), entonces
limn→∞
an = limx→∞
f (x)
si este ultimo lımite existe. Para calcularlo se pueden utilizarlas tecnicas del calculo diferencial, como la regla de L’Hopitalo el Teorema de Taylor. Es especialmente util en la formaan = g(1/n), en cuyo caso
limn→∞
an = limx→0
g(x).
- Ejemplo: limn→∞
(cos(3/n)
)n2
= limx→0
(cos(3x)
)1/x2
=
exp[ limx→0
cos(3x)− 1
x2] = e−9/2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Si an = f (n), donde f es una funcion definida en todos losreales (o al menos en los positivos), entonces
limn→∞
an = limx→∞
f (x)
si este ultimo lımite existe. Para calcularlo se pueden utilizarlas tecnicas del calculo diferencial, como la regla de L’Hopitalo el Teorema de Taylor. Es especialmente util en la formaan = g(1/n), en cuyo caso
limn→∞
an = limx→0
g(x).
- Ejemplo: limn→∞
(cos(3/n)
)n2
= limx→0
(cos(3x)
)1/x2
=
exp[ limx→0
cos(3x)− 1
x2] = e−9/2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Sucesiones monotonas y acotadas
Toda sucesion monotona creciente y acotada superiormente esconvergente. Analogamente toda sucesion monotona decreciente yacotada inferiormente es convergente.
- Ejemplo: an =n + 1
n + 2es monotona creciente, pues
f ′(x) =1
(x + 2)2. Ademas an ≤ 1 para todo n. Por tanto es una
sucesion convergente. El lımite es facil de calcular
limn→∞
an = limx→0
1 + x
1 + 2x= 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesLımites
Sucesiones monotonas y acotadas
Toda sucesion monotona creciente y acotada superiormente esconvergente. Analogamente toda sucesion monotona decreciente yacotada inferiormente es convergente.
- Ejemplo: an =n + 1
n + 2es monotona creciente, pues
f ′(x) =1
(x + 2)2. Ademas an ≤ 1 para todo n. Por tanto es una
sucesion convergente. El lımite es facil de calcular
limn→∞
an = limx→0
1 + x
1 + 2x= 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesSucesiones recurrentes
Si an+1 = g(an), con g una funcion definida en R derivable,entonces la sucesion es monotona si g ′ ≥ 0 y oscilante sig ′ ≤ 0.
an+1−an = g(an)−g(an−1) = g ′(c)(an−an−1), para algun c .
Si la sucesion es convergente, el lımite ` = limn→∞
an debe
verificar ` = g(`).
- Ejemplo: an+1 =√
2an con a1 = 1 es monotona creciente, pues
g ′(x) =1√2x
y a2 − a1 =√
2− 1 > 0. Ademas es acotada (por
induccion) an ≤ 2. Por tanto es convergente y el lımite debeverificar ` =
√2`, es decir ` = 0 o ` = 2. Pero ` > a1 = 1, por lo
que limn→∞
an = 2.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesSucesiones recurrentes
Si an+1 = g(an), con g una funcion definida en R derivable,entonces la sucesion es monotona si g ′ ≥ 0 y oscilante sig ′ ≤ 0.
an+1−an = g(an)−g(an−1) = g ′(c)(an−an−1), para algun c .
Si la sucesion es convergente, el lımite ` = limn→∞
an debe
verificar ` = g(`).
- Ejemplo: an+1 =√
2an con a1 = 1 es monotona creciente, pues
g ′(x) =1√2x
y a2 − a1 =√
2− 1 > 0. Ademas es acotada (por
induccion) an ≤ 2. Por tanto es convergente y el lımite debeverificar ` =
√2`, es decir ` = 0 o ` = 2. Pero ` > a1 = 1, por lo
que limn→∞
an = 2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesSucesiones recurrentes
Si an+1 = g(an), con g una funcion definida en R derivable,entonces la sucesion es monotona si g ′ ≥ 0 y oscilante sig ′ ≤ 0.
an+1−an = g(an)−g(an−1) = g ′(c)(an−an−1), para algun c .
Si la sucesion es convergente, el lımite ` = limn→∞
an debe
verificar ` = g(`).
- Ejemplo: an+1 =√
2an con a1 = 1 es monotona creciente, pues
g ′(x) =1√2x
y a2 − a1 =√
2− 1 > 0. Ademas es acotada (por
induccion) an ≤ 2. Por tanto es convergente y el lımite debeverificar ` =
√2`, es decir ` = 0 o ` = 2. Pero ` > a1 = 1, por lo
que limn→∞
an = 2.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesSucesiones recurrentes
Teorema del punto fijo
Si an+1 = g(an), con g una funcion definida en R derivable, con|g ′(x)| ≤ λ < 1 en algun intervalo I ⊂ R, y se verifica ak ∈ I paraalgun k ∈ N, entonces {an}∞n=1 es una sucesion convergente y sulımite ` es el unico punto fijo ` = g(`) en I .
- Ejemplo: an+1 = 1− an2
, con a1 = 10, es una sucesion
convergente, pues |g ′(x)| =1
2(oscilante pues g ′ < 0) con lımite la
solucion de ` = 1− `
2, es decir, lim
n→∞an =
2
3.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesSucesiones recurrentes
Teorema del punto fijo
Si an+1 = g(an), con g una funcion definida en R derivable, con|g ′(x)| ≤ λ < 1 en algun intervalo I ⊂ R, y se verifica ak ∈ I paraalgun k ∈ N, entonces {an}∞n=1 es una sucesion convergente y sulımite ` es el unico punto fijo ` = g(`) en I .
- Ejemplo: an+1 = 1− an2
, con a1 = 10, es una sucesion
convergente, pues |g ′(x)| =1
2(oscilante pues g ′ < 0) con lımite la
solucion de ` = 1− `
2, es decir, lim
n→∞an =
2
3.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesDiagrama de la telarana
xn+1 =√
2xn, x1 =√
2 .
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SucesionesDiagrama de la telarana
xn+1 = 1− xn2, x1 = 0 .
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesPreliminares
Una serie (infinita) es la suma de todos los terminos de unasucesion.
Definicion
Se dice que una serie∞∑n=1
an es convergente si el lımite de las
sumas parciales existe
limN→∞
N∑n=1
an = L.
Se dice entonces que la suma de la serie es L.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesPreliminares
Una serie (infinita) es la suma de todos los terminos de unasucesion.
Definicion
Se dice que una serie∞∑n=1
an es convergente si el lımite de las
sumas parciales existe
limN→∞
N∑n=1
an = L.
Se dice entonces que la suma de la serie es L.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesConvergencia
Ejemplo:
∞∑n=1
rn = limN→∞
N∑n=1
rn = limN→∞
rN+1 − r
r − 1=
r
1− r
siempre que |r | < 1. Si r ≥ 1 el lımite es infinito; si r ≤ −1 ellımite ni siquiera existe.
Una condicion necesaria para la convergencia de una serie esque el termino general tienda a cero. Pero no es unacondicion suficiente. El ejemplo estandar es la serie armonica∞∑ 1
n, que diverge.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesConvergencia
Ejemplo:
∞∑n=1
rn = limN→∞
N∑n=1
rn = limN→∞
rN+1 − r
r − 1=
r
1− r
siempre que |r | < 1. Si r ≥ 1 el lımite es infinito; si r ≤ −1 ellımite ni siquiera existe.
Una condicion necesaria para la convergencia de una serie esque el termino general tienda a cero. Pero no es unacondicion suficiente. El ejemplo estandar es la serie armonica∞∑ 1
n, que diverge.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
En general, dada una serie concreta convergente, no se podradeterminar el valor exacto de la suma, pero es imprescindible poderconocer su convergencia para aplicar algun metodo numerico deaproximacion.Veremos pues criterios que determinen cuando una serie determinos positivos es convergente o no.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Criterio del cociente. Supongamos que existe limn→∞
an+1
an= `.
Entonces ` < 1 ⇒
∞∑an converge,
` > 1 ⇒∞∑
an diverge,
si ` = 1 el criterio no decide.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Criterio de la raız. Supongamos que existe limn→∞
n√
an = `.
Entonces ` < 1 ⇒
∞∑an converge,
` > 1 ⇒∞∑
an diverge,
si ` = 1 el criterio no decide.
(Si al intentar aplicar el criterio del cociente se obtiene ` = 1,no se debe aplicar el criterio de la raız pues el lımite sera elmismo).
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Criterio de la raız. Supongamos que existe limn→∞
n√
an = `.
Entonces ` < 1 ⇒
∞∑an converge,
` > 1 ⇒∞∑
an diverge,
si ` = 1 el criterio no decide.
(Si al intentar aplicar el criterio del cociente se obtiene ` = 1,no se debe aplicar el criterio de la raız pues el lımite sera elmismo).
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Criterio de comparacion directa. Supongamos que se verificaan ≤ bn para todo n ≥ k para algun k . Entonces
∞∑bn converge ⇒
∞∑an converge,
∞∑an diverge ⇒
∞∑bn converge.
Criterio de comparacion en el lımite. Supongamos que se
verifica limn→∞
anbn
= c , donde 0 < c <∞. Entonces ambas
series tienen el mismo caracter, es decir, ambas convergen oambas divergen.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Criterio de comparacion directa. Supongamos que se verificaan ≤ bn para todo n ≥ k para algun k . Entonces
∞∑bn converge ⇒
∞∑an converge,
∞∑an diverge ⇒
∞∑bn converge.
Criterio de comparacion en el lımite. Supongamos que se
verifica limn→∞
anbn
= c , donde 0 < c <∞. Entonces ambas
series tienen el mismo caracter, es decir, ambas convergen oambas divergen.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Serie geometrica. La serie∞∑
rn se denomina serie
geometrica de razon r . Se verifica r < 1 ⇒∞∑
rn converge,
r ≥ 1 ⇒∞∑
rn diverge.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesTerminos positivos
Serie p-armonica. La serie∞∑ 1
npse denomina serie
p-armonica, generalizacion de la serie armonica (p = 1). Severifica
p > 1 ⇒∞∑ 1
npconverge,
p ≤ 1 ⇒∞∑ 1
npdiverge.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries alternadas
Una serie alternada tiene la forma∞∑
(−1)nbn, donde bn ≥ 0.
Si la serie de terminos positivos∞∑
bn converge entonces la
serie alternada∞∑
(−1)nbn tambien converge, pero el
recıproco no es cierto. Ası pues se considera, para una serie de
terminos con signo cualquiera∞∑
an:
Se dice que converge absolutamente si la serie∞∑|an|
converge. En ese caso la serie dada tambien converge.Se dice que converge condicionalmente si converge pero noabsolutamente.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries alternadas
Una serie alternada tiene la forma∞∑
(−1)nbn, donde bn ≥ 0.
Si la serie de terminos positivos∞∑
bn converge entonces la
serie alternada∞∑
(−1)nbn tambien converge, pero el
recıproco no es cierto. Ası pues se considera, para una serie de
terminos con signo cualquiera∞∑
an:
Se dice que converge absolutamente si la serie∞∑|an|
converge. En ese caso la serie dada tambien converge.Se dice que converge condicionalmente si converge pero noabsolutamente.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries alternadas
Una serie alternada tiene la forma∞∑
(−1)nbn, donde bn ≥ 0.
Si la serie de terminos positivos∞∑
bn converge entonces la
serie alternada∞∑
(−1)nbn tambien converge, pero el
recıproco no es cierto. Ası pues se considera, para una serie de
terminos con signo cualquiera∞∑
an:
Se dice que converge absolutamente si la serie∞∑|an|
converge. En ese caso la serie dada tambien converge.Se dice que converge condicionalmente si converge pero noabsolutamente.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries alternadas
Criterio de Leibniz. Si la sucesion {bn} es decreciente con
limn→∞
bn = 0, entonces la serie alternada∞∑
(−1)nbn converge.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSuma de algunas series
Serie geometrica.
∞∑n=0
rn =1
1− r, si |r | < 1.
Serie aritmetico-geometrica.
∞∑n=1
nrn =r
(1− r)2, si |r | < 1.
Serie telescopica.
∞∑n=1
(bn+1 − bn) = limn→∞
bn − b1.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSuma de algunas series
Serie geometrica.
∞∑n=0
rn =1
1− r, si |r | < 1.
Serie aritmetico-geometrica.
∞∑n=1
nrn =r
(1− r)2, si |r | < 1.
Serie telescopica.
∞∑n=1
(bn+1 − bn) = limn→∞
bn − b1.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSuma de algunas series
Serie geometrica.
∞∑n=0
rn =1
1− r, si |r | < 1.
Serie aritmetico-geometrica.
∞∑n=1
nrn =r
(1− r)2, si |r | < 1.
Serie telescopica.
∞∑n=1
(bn+1 − bn) = limn→∞
bn − b1.
UC3M
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAproximacion de sumas
Serie alternada.
∞∑n=1
(−1)nbn =N∑
n=1
(−1)nbn + ε.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries de potencias
Una serie de potencias es una suma de la forma
S(x) =∞∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·
El conjunto de convergencia es el conjunto de puntos x ∈ Rpara los cuales la serie es convergente. Siempre es unintervalo simetrico (x0 − ρ, x0 + ρ), aunque puede incluir o nolos extremos. El numero ρ ∈ [0,∞] se denomina radio deconvergencia.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries de potencias
Una serie de potencias es una suma de la forma
S(x) =∞∑n=0
an(x − x0)n = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · ·
El conjunto de convergencia es el conjunto de puntos x ∈ Rpara los cuales la serie es convergente. Siempre es unintervalo simetrico (x0 − ρ, x0 + ρ), aunque puede incluir o nolos extremos. El numero ρ ∈ [0,∞] se denomina radio deconvergencia.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries de potencias
El radio de convergencia se calcula con la formula
1
ρ= lim
n→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→∞
n√|an| .
donde se utiliza la convencion 1/0 =∞, 1/∞ = 0.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesSeries de Taylor
Teorema
Si f admite todas las derivadas en un cierto intervalo I 3 x0, y elresto del polinomio de Taylor de f , Rn,x0f (x) tiende a cero cuandon→∞ para todo x ∈ I , entonces f coincide en I con su serie deTaylor
f (x) =∞∑n=0
f n)(x0)
n!(x − x0)n .
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAlgunas series de Taylor
ex =∞∑n=0
xn
n!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+ · · · , x ∈ R.
sen x =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!+ · · · , x ∈ R.
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!+ · · · , x ∈ R.
1
1− x=∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1.
log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n= x − x2
2+
x3
3+ · · · ,
−1 < x ≤ 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAlgunas series de Taylor
ex =∞∑n=0
xn
n!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+ · · · , x ∈ R.
sen x =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!+ · · · , x ∈ R.
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!+ · · · , x ∈ R.
1
1− x=∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1.
log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n= x − x2
2+
x3
3+ · · · ,
−1 < x ≤ 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAlgunas series de Taylor
ex =∞∑n=0
xn
n!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+ · · · , x ∈ R.
sen x =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!+ · · · , x ∈ R.
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!+ · · · , x ∈ R.
1
1− x=∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1.
log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n= x − x2
2+
x3
3+ · · · ,
−1 < x ≤ 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAlgunas series de Taylor
ex =∞∑n=0
xn
n!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+ · · · , x ∈ R.
sen x =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!+ · · · , x ∈ R.
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!+ · · · , x ∈ R.
1
1− x=∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1.
log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n= x − x2
2+
x3
3+ · · · ,
−1 < x ≤ 1.
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Sucesiones y seriesSucesiones de numerosSeries de numerosSeries de Taylor
SeriesAlgunas series de Taylor
ex =∞∑n=0
xn
n!= 1 + x +
x2
2!+
x3
3!+ · · · , x ∈ R.
sen x =∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1)!= x − x3
3!+
x5
5!+ · · · , x ∈ R.
cos x =∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!= 1− x2
2!+
x4
4!+ · · · , x ∈ R.
1
1− x=∞∑n=0
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · , −1 < x < 1.
log(1 + x) =∞∑n=1
(−1)n+1xn
n= x − x2
2+
x3
3+ · · · ,
−1 < x ≤ 1.
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