Cociente de un polinomio entre un Cociente de un polinomio entre un monomiomonomioPara dividir un polinomio entre un monomio,

dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ej:

2245 32796)( xentrexxxxP

222425

2245

3 :273:93:6

3:)2796(

xxxxxx

xxxx

xentrexyyxxQ 257)( 3

x

xy

x

yxxxyyx

2

5

2

72:)57(

33

932 23 xx

yyx2

5

2

7 2

Cociente de polinomiosCociente de polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomio, seguiremos los siguientes pasos:

1º) Ordenamos los términos del dividendo (si falta algún término, se deja el hueco) y del divisor y los dispondremos como una división normal.

xxxxxP 3011202)( 243 23)( 2 xxxQ

32x4x 211x x30 20 2x x3 2

Cociente de polinomios (II)Cociente de polinomios (II)

2º) Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor, así se obtiene el primer término del cociente.

32x4x 211x x30 20 2x x3 22x

3º) Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto pasa restando al dividendo.

2x4x

234

2

2

23

23

xxx

x

xx

22x33x4x

Cociente de polinomios (III)Cociente de polinomios (III)

32x4x 211x x30 20 2x x3 24º) Se suman algebraicamente.

5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre el primer término del divisor, así obtenemos el segundo término del divisor. Este segundo término se multiplica por el divisor y se pasa restando al dividendo.

2x234 23 xxx 29x

x5

xxx

x

xx

10155

5

23

23

2

x10

2030 x35x35x 215x

Cociente de polinomios (IV)Cociente de polinomios (IV)6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del polinomio resto sea menor que el grado del polinomio divisor. 32x4x 211x x30 20 2x x3 2

2x234 23 xxx

203095 23 xxxx5

xxx 10155 23 x20

6

128

26x x18x2

2026x

Cociente de polinomios Cociente de polinomios

32x4x 211x x30 20 2x x3 22x x5 6

82 x

Polinomio dividendo)(xD

32x4x 211x x30 20 2x x3 2

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

)(xd

)(xc

)(xr

2x x5 6

82 x

Cociente de polinomios Cociente de polinomios

32x4x 211x x30 20

)(xD)23( 2 xx

)(xd )(xc )(xr)65( 2 xx )82( x

Prueba de la división:Prueba de la división:

Si el resto de la división es 0 (polinomio nulo), la división se llama exacta y se dice que:

El polinomio D(x) es divisible por d(x), o múltiplo de d(x).

El polinomio d(x) es factor por D(x), o divisor de D(x).

82121021815365 223234 xxxxxxxxx

9

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4

Realiza la siguiente división:

-6x3 + 8x2 2x2

- 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

- 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

Cociente de polinomios Cociente de polinomios

Regla de RuffiniRegla de Ruffini

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a.

1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.

532)( 23 xxxxD

1)( xxd

Regla de Ruffini (II)Regla de Ruffini (II)

532)( 23 xxxxD 1)( xxd

2º) Se colocan los coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0.

2 1 3 5

3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado.

1

4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman .

2

23

Regla de Ruffini (III)Regla de Ruffini (III)

5º) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso.

2 1 3 51

223

30

05

El último número (recuadro rojo) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

xxxc 32)( 2 5)( xr

532)( 23 xxxxD 1)( xxd

Realiza las siguientes divisiones, indicando el cociente y el resto obtenido:

Regla de Ruffini (III)Regla de Ruffini (III)

)3(:)113052() 23 xxxxa

2 -5 -30 11 -3

2 -6 -11

33

3 -9 2

3112: 2 xxCociente

Resto: 2

)2(:)223() 4 xxxb

-1 0 0 -3 22 2

-1 -2 -2

-4 -4

-8

-11

-22

0

1142: 23 xxxCociente

Resto: 0

NOTA: El polinomio cociente es de un grado menor que el dividendo

Teorema del restoTeorema del resto

Teorema del resto: El resto R de dividir un polinomio P(x) entre x - a , es igual al valor numérico del polinomio para x=a.

R = P(a)

Esto se deduce de la definición de división, cuando el divisor d(x)=x-a:

RxCaxxP )()()(

Cuando x=a: RaCaaaP )()()(RaCaP )(0)(

P(a)= R

Teorema del restoTeorema del resto

Sin efectuar la división, calcula el resto:

)3(:)113052() 23 xxxxa

11)3(30)3(5)3(2)3( 23 PR

11)3(3095)27(2 R

11904554 R = 2)2(:)223() 4 xxxb

22232)2( 4 PR

22616 R = 0

El resto de dividir el polinomio P(x)=x3-x2+kx+2 entre x-1 es 6. Halla el valor de k:

Aplicación del Teorema del Aplicación del Teorema del restoresto

62111)1( 23 kPR

Aplicando el teorema del resto: R=P(1)=6

6211 k

4k

P(x)=x3-x2+4x+2

Teorema del factorTeorema del factor

Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x - a , si el valor numérico del polinomio para x=a es 0.

Este resultado también proviene de la definición de división, cuando el divisor d(x)=x-a:

RxCaxxP )()()(

Si el resto R=0:

)()()( xCaxxP

Esta relación indica que (x-a) es un factor o divisor del polinomio P(x).

Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9.

Aplicación del Teorema del Aplicación del Teorema del factorfactor

Aplicando el teorema del factor, si R=P(-3)=0, entonces x+3 será un factor de P(x):

9)3(6)3(2)3()3( 23 PR

9181827)3( PR

03636)3( PR

Entonces x+3 es un factor de P(x) x3+2x2-6x-9 porque el resto es 0.

Comprobar si x+3 es un factor del polinomio P(x)=x3+2x2-6x-9, aplicando Ruffini:

1 2 -6 -9

-3

1

-3

-1

3

-3

9

0

)3()3( 2 xxx 962 23 xxx

)(xD )(xd )(xc )(xr

Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir,las soluciones de la ecuación P(x)= 0.

Un polinomio de grado n, tiene como máximo,n raíces reales.

Si un polinomio tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente .

Raíces enteras de un Raíces enteras de un polinomiopolinomioPara hallar las raíces enteras de un polinomio, aplicaremos el

teorema del resto a los divisores del término independiente.

Si el resto es 0, diremos que ese número es raíz del polinomio. EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio:

33)( 23 xxxxP 3,1)3( Div

31131)1( 23P

Las posibles raíces enteras serán:

0 1 sí es raíz

3)1()1(3)1()1( 23P 0 -1 sí es raíz

33333)3( 23P 04862727 3 NO es raíz

3)3()3(3)3()3( 23P 0 -3 sí es raíz

Las raíces enteras de P(x) son 1, -1 y -3.

Raíces enteras de un Raíces enteras de un polinomiopolinomioCuando un polinomio no tiene término independiente,

se debe extraer factor común de x, x2, x3....

La raíz de ese monomio extraído siempre será 0.

EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio: 24)( xxxP

1)1( Div 11)1( 2Q

Las posibles raíces enteras serán:

1 sí es raíz

1)1()1( 2Q0

Las raíces enteras de P(x) son 0, 1 y -1.

)1()( 22 xxxP 0 sí es raíz doble

0 -1 sí es raíz

)(xQ

Raíces enteras de un Raíces enteras de un polinomiopolinomioExisten polinomios que no tienen raíces enteras.

EJ: Calcula las raíces enteras del siguiente polinomio:

2)( 2 xxP 2,1)2( Div

21)1( 2 P

Las posibles raíces enteras serán:

0 1 NO es raíz

2)1()1( 2 P 0 -1 NO es raíz

22)2( 2 P 0 2 NO es raíz

2)2()2( 2 P 0 -2 NO es raíz

P(x) no tiene raíces enteras.

Se llaman polinomios irreducibles.

Factorización de polinomiosFactorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en 2 o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado.

EJ: Factoriza el siguiente polinomio:

5117)( 23 xxxxP

Se busca una raíz mediante la Regla de Ruffini, entre las posibles raíces enteras: 5,1)5( Div

1 7 11 5 1

1 1 8

8 19

19 24

1 NO es raíz

1 7 11 5 -1

1 -1 6

-6 5

-5 0

-1 sí es raíz

)1()( xxP )56( 2 xx

5117)( 23 xxxxP

Es necesario volver a probar si -1 es raíz

-1

1

-1

5

-5

0 -1 sí es raíz

)1()( xxP )1( x )5( x

No existe un método único para factorizar un polinomio. Lo habitual es buscar una raíz a y expresarlo como x-a multiplicado por el cociente.

PASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIOPASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

Factorización de polinomiosFactorización de polinomios

1.-Sacar factor común, si se puede.

2.- Buscar las raíces enteras, poco a poco, y vamos descomponiendo el polinomo, hasta llegar a un polinomio de 2º grado.

3.- Observar el polinomio de 2º grado y puede pasar:a) Que sea una identidad notable. Lo factorizo usándola.b) Que no lo sea. Resuelvo la ecuación de 2º grado que sale al igualar a cero el polinomio.

4. Escribo la factorización del polinomio, multiplicando por el coeficiente de mayor grado si es distinto de 1.