codigos algebraicos

Lima, Perú

Códigos AlgebraicosY la Informática

Lic. Moisés Toledo (el [email protected])

05/10/2010

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ft«Una Invitación a la Teoría de la Información»

05/10/2010 Página 2/Departamento de Matemática UNFV Códigos Algebraicos

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ftIntroducción 3

Ejemplo Principal 4

Ejemplo de redundancia 1 7

Ejemplo de redundancia 2 8

Regresando al Ejemplo Principal 9

Resumen 13

Antecedentes Algebraicos 14

Pendiente de aprendizaje 17

Índice


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ftEn esta presentación, proporcionamos una introducción a losaspectos matemáticos de la teoría de los códigos correctoresde errores. Esta teoría es aplicada en muchas situaciones lascuales tienen como característica común que la informaciónprocedente de alguna fuente se transmita por un canal decomunicación ruidoso a un receptor.

Ejemplos de esto son:• Conversaciones telefónicas.• Dispositivos de almacenamiento como unidades de cintamagnética que se alimentan de la información almacenadaen la computadora.• etc

Introducción


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ft• Conocemos de las excelentes fotografías que fueron toma-das de Marte, Saturno y otros planetas por satélites (Ma-riners, Voyagers).• Con la finalidad de transmitir las fotografías tomadas a latierra, una fina cuadrícula es ubicada sobre ella y para cadacelda de la cuadrícula el grado de oscuridad es medido, enuna escala de 0 a 63.• Estos números son expresados en el sistema binario, estoes cada celda produce una cadena de seis 0s y 1s.• Los 0s y 1s son transmitidos como dos señales diferentesa la estación receptora en la tierra (el laboratorio de pro-pulsión a chorro del Instituto Tecnológico de California enPasadena).

Ejemplo Principal


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ftIlustramos las cuadrículas que son ubicadas sobre la imagen,donde las celdas definirán el grado de oscuridad de la zona:


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ft• Al llegar la señal es muy débil y esta debe amplificarse.Debido al efecto del ruido térmico sucede ocasionalmenteque la señal que fue transmitida como un 0 es interpretadopor el receptor como un 1, y viceversa.• Si la 6-tupla de 0s y 1s son transmitidos como tal, entonceslos errores producidos por el receptor tendrán gran efectosobre las fotografías.• Con la finalidad de prevenir esto, una redundancia es cons-truida en la señal, esto es la secuencia transmitida consistede más información que la necesaria (cadenas largas).


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ft• Nosotros estamos familiarizados con el principio de redun-dancia del lenguaje cotidiano.• Las palabras de nuestro lenguaje forman una pequeña par-te de todas las cadenas posibles de letras.• Por tanto un “error” de imprenta en una palabra larga esreconocido, pues la palabra es cambiada por otra que seasemeja a la palabra correcta más que la semejanza concualquier otra palabra conocida.• De esta manera el lector corrige el “error de imprenta”.

Ejemplo de redundancia 1


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ftEl sistema utilizado para la interfaz en serie entre un terminaly una computadora o entre una PC y el teclado.

• Con la finalidad de representar 128 símbolos distintos ,cadenas de 0s y 1s (esto es los enteros de 0 a 127 en binario)son usados.• En la práctica un bit de redundancia es añadido a la 7-tupla, así la 8-tupla resultante tiene un número par de 1s.• Esto se hace por ejemplo en el código de caracteres ASCII.• Una falla en esta interfaz ocurre muy raramente pero estoes posible que ocurra con un bit incorrecto.• Esto resulta en una incorrecta paridad de la 8-tupla (estoes teniendo un número impar de 1s) en este caso, la 8-tuplano es aceptada.

Ejemplo de redundancia 2


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ft• En el ejemplo principal mencionamos que la 6-tupla de 0s y1s en la transmisión de fotografías (por ejemplo el Mariner1969) son reemplazadas por cadenas largas (en adelanteestas serán denominadas palabras).• En el caso del Mariner 1969 las palabras consistían de 32símbolos.• A este punto, se entiende que un dispositivo tiene que cam-biar las 64 posibles cadenas de información (6-tuplas de 0sy 1s) en 64 posibles palabras códigos (32-tuplas de 0s y1s).• Dicho dispositivo es denominado el codificador.

Regresando al Ejemplo Principal


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ft• Las palabras códigos son transmitidas, considerando el rui-do aleatorio, esto es los errores como algo que se añade almensaje (se añaden módulo 2).• En el extremo receptor, un dispositivo llamado el decodifi-cador cambia una 32-tupla recibida, si esta no es una de las64 palabras códigos admisibles, en la palabra código másprobable y entonces determina la correspondiente 6-tupla(esta representa la oscuridad de una celda de la cuadrículaque cubre la imagen).• Este código tiene la propiedad de que si no más de 7 símbo-los (el total es 32) son incorrectos, entonces el decodificadorhace la decisión correcta.


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ft• Por supuesto hay que considerar que hemos pagado unapenalidad para obtener esta posibilidad de corrección deerrores.• Dicha penalidad es que el tiempo disponible para la trans-misión de cada bit es sólo 1/5 de lo que estarían disponiblessin la codificación, lo que lleva a una mayor probabilidadde error.• En la practica, la situación es más complicada, pues no esel tiempo de transmisión el que cambia, si no la energíadisponible para transmitir un bit.• Una aplicación notable de la teoría de códigos correctoresde errores es el Disco Compacto de Audio Digital, inven-tado por Philips (Holanda), esta hace uso de los códigosReed Solomon.


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ftPresentamos un esquema, el cual indica las distintas etapasdescritas en los ejemplos anteriores:

Esquema de Transmisión


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ft• Si deseamos enviar un mensaje por un canal de comunica-ción (cuyas características dependen de la naturaleza delmensaje a ser enviado: sonido, imagen o datos) por lo ge-neral hay que hacer una “traducción” entre el mensaje ori-ginal (mensaje fuente) y el tipo de mensaje que el canalestá capacitado para enviar, este proceso es denominadocodificación.• Una vez codificado el mensaje lo enviamos a través del ca-nal (el cual puede ser un canal de radiofrecuencia, canal demicro-ondas, circuito integrado digital, disco de almacena-miento, etc ) donde el usuario recibe un mensaje codificadoposiblemente erróneo (debido a interferencias) el mensajerecibido es “traducido” nuevamente a términos originales,este proceso es denominado decodificación.

Resumen


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ft• La Teoría de Códigos Correctores tuvo su inicio en las in-vestigaciones de los matemáticos (Golay, Hamming y Shan-non’s) de Bell Laboratory en la década de 1940, desde susinicios este tema ha sido siempre un problema de ingenieríacon aplicación tanto en la transmisión de información (in-geniería de telecomunicaciones) como en el almacenamien-to de la misma en soporte digital (ingeniería informática),siendo su finalidad el preservar la calidad de la informa-ción y las comunicaciones contra la amaneza del ruido, ladistorsión o el deterioro del medio de transmisión.

Antecedentes Algebraicos


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ft• El desarrollo de esta teoría se debe a la utilización de téc-nicas matemáticas cada vez más sofisticadas, dichas técni-cas recorren múltiples áreas de la matemática como teoríade probabilidades, el cálculo combinatorio, álgebra lineal,teoría de cuerpos y geometría algebraica. Son estas dosultimas las que dan origen a los Códigos Algebraico Geo-métricos presentados por Valery Denisovich Goppa en unartículo de la Sociedad Matemática Soviética titulado Co-des on Algebraic Curves en 1977.• En dicho artículo muestra como la teoría de curvas alge-braicas sobre cuerpos finitos puede ser usado para construircódigos con buenos parámetros (la calidad de estos códigosdepende del número de puntos racionales de la curva utili-zada) vinculando así la Geometría Algebraica y la Teoríade Códigos Correctores.


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ft• Fue a finales de los años 80, en la que los sucesivos tra-bajos de Justensen, Larsen, Jensen, Havemose y H∅hold,Skorobogatov y Vladut, Porter, Shen y Pellikaan, brinda-ron algoritmos eficientes de decodificación para los Códi-gos Algebraico Geométricos. Sin embargo algunos de esosmétodos requerían condiciones restrictivas o reducían sucapacidad correctora, unos años después surgieron nuevosmétodos que resolvieron ese problema de forma efectivacomo el caso de Ehrhard y Duursma.• En la actualidad se desarrollan algoritmos más rápidos yeficientes (con el coste de perder algo de generalidad) ba-sados en el esquema de decodificación mayoritaria de Fengy Rao, que utilizan o bien relaciones de recurrencia lineal(como Sakata) o bien Bases de Gröbner (como Saints yHeegard).


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ftEn el siguiente diagrama mostramos los diferentes conceptosque necesitamos para el desarrollo algebraico de la teoría decódigos:

Pendiente de aprendizaje

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