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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA CALCULO DIFERENCIAL

ACTIVIDAD 6 - TRABAJO COLABORATIVO 1 - GRUPO 100410_68

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

ACTIVIDAD 6 – TRABAJO COLABORATIVO 1

CÁLCULO DIFERENCIAL

TUTOR

JORGE RONDÓN

GRUPO 100410_68

ALIRIO LIBARBO CARRILLO 79471041

DANIEL GERARDO TRONCOSO NIEVES 79392307

FEDERICO ARIOSTO VEGA GALINDO 79431560

FRANKY JOSÉ BARBOSA 79556465

RODOLFO ALBADAN M 79544363

ABRIL DE 2013



INTRODUCCIÓN

La presente actividad enfoca al estudiante al desarrollo en forma de ejercicios prácticos de

las temáticas vistas en la primera unidad del módulo correspondiente al curso de Cálculo

Diferencial, en especial los temas correspondientes a Sucesiones, y Progresiones.



ACTIVIDADES

Cada pregunta se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se

utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el

procedimiento utilizado.

FASE 1

A. Halle los términos generales de las sucesiones:

1. Cn={3,1 ,−1 ,−3 ,−5………}

a1= 3

a2= 1

a3= -1

a4= -3

a5= -5

Vemos que es una progresión aritmética por que la diferencia es -2 ya que

an – an-1 = d que es constante

a2 – a1 = 1 – 3 = – 2

a3 – a2 = – 1 – 1= – 2

a4 – a3 = – 3 – (– 1) = – 2

a5 – a4 = – 5 – (– 3) = – 2

La fórmula del término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n– 1) d

Reemplazamos:

an = 3 + (n– 1) (– 2)

an = 3 – 2n+ 2

Rta/ el término general de esta sucesión es:

an = 5– 2n



Demostración :

U n={5−2n }n≥ 1

U n=1= {5−2(1)}= {3 }

U n=2= {5−2(2)}= {1 }

U n=3= {5−2(3)}={−1 }

U n=4={5−2(4 )}={−3 }

U n=5= {5−2(5)}={−5 }

U n=6={5−2(6)}={−7 }

2. Cn={1 ,3 ,9 ,27,81 }

a1= 1

a2= 3

a3= 9

a4= 27

a5= 81

Vemos que es una progresión geométrica por que la razón es 3

a2 = a3 = a4

a1 a2 a3

a2 = 3 = 3

a1 1

a3 = 9 = 3

a2 3

a4 = 27 = 3



a3 9

a5 = 81 = 3

a4 27

La fórmula del término general de una progresión geometrica

an = a1 . rn-1

Rta/ Reemplazando el término general de esta sucesión es:

an = 1 . 3 n-1

Demostración:

U n={3n−1 }n≥1

U n=1={31−1}= {1 }

U n=2= {32−1 }= {3 }

U n=3= {33−1 }= {9 }

U n= 4={34−1 }= {27 }

U n=5= {35−1 }= {81 }

U n=6={36−1 }= {243 }

3. Cn={12,34,1 ,

54,32,…}

La diferencia entre el segundo y el primer término es 34−1

2=1

4 y la diferencia entre

el tercer y el segundo término es 1−34=1

4 de donde se deduce que se trata de una

sucesión aritmética con a1=12

y d=14

.



Siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética

an=a1+(n−1)d

Si el término inicial n se toma como 1, reemplazando obtenemos:

an=12+(n−1) 1

4es el término general de Cn={1

2,34,1 ,

54,32,…}

n≥1./R

Por otro lado, siendo la fórmula del término general de una progresión aritmética

an=a1+nd

Si el término inicial n se toma como 0, reemplazando obtenemos:

an=12+n 1

4es el término general de Cn={1

2,34,1 ,

54,32,…}

n≥ 0./R

Demostración:

U n={n+14 }

n≥ 1

U n=1={1+14 }={2

4 }={12 }

U n=2={2+14 }={3

4 }U n=3={3+1

4 }={44 }= {1 }

U n=4={4+14 }={5

4 }U n=5={5+1

4 }={64 }={3

2 }U n=6={6+1

4 }={74 }



4. Demostrar que la sucesión On = 2nn+1

es estrictamente creciente.

Un +1 –Un > 0

¿2 (n+1 )

(n+1 )+1− 2nn+1

¿(2n+2 ) (n+1 )−2n (n+2 )

(n+2 ) (n+1 )

¿2n2+4n+2−(2n2+4 n )

(n+2 ) (n+1 )

¿ 2n2+4n+2−2n2−4n(n+2 ) (n+1 )

¿ 2(n+2 ) (n+1 )

Evaluamos.

n=1:2

(1+2 ) (1+1 )=2

6=0,33

n=2:2

(2+2 ) (2+1 )= 2

12=0,16

n=3 :2

(3+2 ) (3+1 )= 2

24=0,08

Concluimos que la anterior sucesión es creciente, pues la función resultante

siempre nos arrojara resultados positivos.

5. Demostrar que la sucesión On = 1n

es estrictamente decreciente.

Un +1 –Un < 0



1n+1

−1n

¿n−(n+1 )n (n+1 )

¿ n−n−1

n2+n

¿ −1

n2+n

Evaluamos. :

n=1:−1

12+1=−1

2 = -0,5

n=2:−1

22+2=−1

6 = -0,16

n=3 :−1

32+3=−1

12 = -0,083

Esta sucesión es estrictamente decreciente por que la función resultante nos da

como resultado siempre un número negativo.

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar,

con ellas, si son o no crecientes.

6.

OC= 3n2+1

6n2+2n+1

OC= 3(1)2+1

6(1)2+2(1)+1 =

46+2+1

= 49

= 0,4444



OC= 3(2)2+1

6(2)2+2(2)+1 =

1324+4+1

= 1329

= 0,4482

OC= 3(3)2+1

6(3)2+2(3)+1 =

2854+6+1

= 2861

= 0,4590

OC= 3 (4)2+1

6(4)2+2(4)+1 =

4996+8+1

= 49

105 = 0,4666

OC= 3(10)2+1

6(10)2+2(10)+1 =

301600+20+1

= 301621

= 0,4847

OC= 3(1000)2+1

6(1000)2+2(1000)+1 =

30000016000000+2000+1

= 30000016002001

= 0,4998

Para n = 1, 2, 3, 4,… 10,… 1000,… la sucesión es creciente y tiende a 0,5 se puede

decir que tiene como cota superior (0,5)

Gráficamente se puede observar así:



7. OC= 5n+1

n2

OC= 5(1)+1

12 = 61

= 6

OC= 5(2)+1

22 = 114

= 2,75

OC= 5(3)+1

32 = 169

= 1,78

OC= 5(4)+1

42 = 2116

= 1,31

OC= 5(5)+1

52 = 2625

= 1,04

OC= 5(6)+1

62 = 3136

= 0,86

OC= 5(1000)+1

10002 = 5001

1000000 = 0,005

Para n = 1, 2, 3, 4,… la sucesión es decreciente y tiende a “0” se puede decir que

tiene como cota superior (6) y máxima cota inferior “0”

Gráficamente se puede observar así:



8. Qué término de una progresión aritmética es 21 si su primer término es -

6 y la diferencia común es 3?

Planteamiento del Problema

U n={21 }

U a={−6 }

d=3

n=?

El termino general de una progresión aritmética es :

U n=U a+(n−a )∗d

Reemplazando valores en la formula tenemos :

21=(−6)+(n−1 )∗3

21= (−6 )+3n−3

21=3n−9

21+9=3n

30=3n

n=10

Demostración



U 1=−6

U 2=−6+3=−3

U 3=−3+3=0

U 4=0+3=3

U 5=3+3=6

U 6=6+3=9

U 7=9+3=12

U 8=12+3=15

U 9=15+3=18

U 10=18+3=21

9. Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el

pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro

adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en

total se pagaron $193.738.560?

Este es un problema de progresiones geométricas. En este tipo de series cada

término se forma multiplicando el precedente por una cantidad fija llamada razón

común que indicamos con “r”. Ha de tenerse en cuenta que el índice n empieza en

0 en este problema.

Sn≥0

n=ar0+ar1+ar2+…arn−1+arn (A )

r Sn≥0

n=ar1+ar2+…arn−1+ar n+arn+1 (B )

Restamos (A) de (B), conseguimos:

r Sn≥0

n− Sn≥ 0

n=arn+1−ar0

Sn≥0

n(r−1)=arn+1−ar 0

Sn≥0

n=arn+1−ar0

(r−1)



Sn≥0

n=arn+1−a(r−1)

Sn≥0

n=a(r¿¿n+1−1)

(r−1)¿

La fórmula obtenida sirve para hallar la suma de n términos de la progresión

geométrica. Ahora, si se desea saber qué término corresponde a un determinado

valor de suma, se procede así:

Sn≥0

n=a(r¿¿n+1−1)

(r−1)¿

Invertimos:

a(r¿¿n+1−1)

(r−1)= Sn≥0

n ¿

a (r¿¿n+1−1)= Sn≥ 0

n(r−1)¿

rn+1−1=Sn≥0

n(r−1)

a

rn+1=Sn≥ 0

n(r−1)

a+1

log r(rn+1)=logr( Sn≥0

n(r−1)

a+1)

Ahora, considerando que:

log n x=ln xln n

Aplicando lo anterior tenemos:

ln(r n+1)ln r

=ln( Sn≥ 0

n(r−1)

a+1)

ln (r )

n+1=ln( Sn≥0

n(r−1)

a+1)

ln (r )



n=ln( Sn≥0

n(r−1)

a+1)

ln (r )−1

Así obtenemos el índice n (tomando en cuenta el valor inicial de n=0) a partir del

valor inicial de la progresión a, la suma de la misma Sn≥0

ny el valor de la razón

común r. De acuerdo al problema el valor de r es, a partir del n-ésimo término:

ar n= an≥0

n

Donde n=1, a1=a×20 %+a y a =15000000

ar1=a1

15000000 r1=15000000×20 %+15000000

15000000 r1=3000000+15000000

15000000 r1=18 000000

r1=18 00000015000000

r=65=1,2

Una vez hallado r, y tomando los siguientes valores

Sn≥0

n=193738560,r=65, a=15000000

Procedemos a reemplazar en:

n=ln( Sn≥0

n(r−1)

a+1)

ln (r )−1

n=ln( 193738560( 6

5−1)

15000000+1)

ln(1,2)−1



n=ln( 193738560( 1

5)

15000000+1)

ln (1,2)−1n

n=ln( 193738560

515000000

+1)ln(1,2)

−1

n=ln( 193738560

75000000+1)

ln(1,2)−1

n=ln( 193738560+75000000

75000000 )ln(1,2)

−1

n=ln( 268738560

75000000 )ln(1,2)

−1

n=ln (3,5831808 )

ln(1,2)−1

n=1,2762508975576820,182321556793955

−1

n=7−1

n=6

Ahora:

metro excavado=n+1

metro excavado=6+1

metro excavado=7 / .R

Si el primer metro excavado corresponde a n=0, n=6 corresponderá al metro 7 de

excavación cuando en total se pagaron $193.738.560 y en donde por el primer

metro excavado se pagó $15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el

20% más que el inmediatamente anterior.



10. Entre Bogotá e Ibagué hay aproximadamente 165 kilómetros. Dos caminantes

parten cada uno de una ciudad hacia la otra. ¿A los cuántos días se

encuentran si el que va de Ibagué a Bogotá camina 1 km el primer día, 2 km el

segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido

contrario, es decir Bogotá – Ibagué, camina 20 km el primer día, 18 km el

segundo día, 16 km el tercer día y así sucesivamente?

¿Cuántos kilómetros recorre cada uno?

Planteamiento del Problema

Bogotá Ibagué

165 Kms

U n={20,18,16… .. } U n={1,2,3 ,…}

Las llamaremos

U bn= {20,18,16….. } U ¿={1,2,3 ,…}

Podemos platear que los dos caminantes se encuentran cuando la suma de sus

recorridos de 165, o sea, que la sumatoria de los n términos de las dos sucesiones

da 165.

Sb+Si=165

Para hallar el enésimo término en cada sucesión reemplazamos

independientemente así:

U n=U a+(n−a )∗d

U bn=20+ (n−1 )∗(−2)

U bn=20−2n+2

U bn=22−2n

U ¿=1+(n−1 )∗(1)

U ¿=1+n−1

U ¿=n



Para hallar la suma de los n primeros términos en cada sucesión reemplazamos

independientemente así:

S=n∗(U a+U n)

2

Sb=n∗(U a+U bn)

2

Sb=n∗(20+(22−2n))

2

Sb=n∗(42−2n)

2

Sb=42n−2n2

2

Si=n∗(U a+U ¿)

2

Si=n∗(1+(n))

2

Si=n∗(1+n)

2

Si=n+n2

2

Reemplazando estos términos en el planteamiento inicial tenemos:

Sb+Si=165

42n−2n2

2+ n+n

2

2=165

42n−2n2+n+n2=165∗2

43 n−n2=330

0=n2−43n+330

Factorizando el trinomio de la forma ax2+bx+c tenemos:

0=(n−10 ) (n−33 )

Para que la igualdad prevalezca entonces n puede tener dos valores 10 y 33,

pero descartamos 33 porque….U bn=22−2n



U b33=22−2(33)

U b33=22−66

U b33=−44

….. El caminante que parte de Bogotá tiene una sucesión decreciente y su término

33 es igual a -44, quiere decir que recorre -44 kilómetros. Y la distancia es una

magnitud por ello solo puede tener números Positivos.

Respuesta n=10

Demostración:

Reemplazamos n=10 en cada una de las sucesiones así:

U bn=22−2n

U b10=22−2(10)

U b10=22−20

U b10=2

U ¿=n

U i10=10

Sb=n∗(U a+U bn)

2

Sb=10∗(20+2)

2

Sb=10∗(22)

2

Si=n∗(U a+U ¿)

2

Si=10∗(1+10)

2

Si=10∗(11)

2



Sb=220

2

Sb=110

Si=110

2

Si=55

Sb+Si=165

110+ 55 = 165

165 = 165

Los dos caminantes se encuentran a los diez días de iniciar la caminata, el

que inició de Bogotá recorre 110 kilómetros y el que inició en Ibagué

recorrió 55 kilómetros.

colaborativo_1 (1).docx

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