Colégio Geração Valparaíso - GV

Professor de Matemática: Engº. Gustavo H. R. Salesse

POTENCIAÇÃO

OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS

POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL

Um produto de fatores iguais pode escrever-se de forma abreviada.

2x2x2x2 = 24

4 fatores

A isto chamamos POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL

24

POTÊNCIA

2 é a BASE (indica o fator que se repete)

4 é o EXPOENTE (indica o número de vezes que o fator se repete)

ATENÇÃO!!

24 é diferente de 2x4

2x4 = 8

24 = 2x2x2x2=16

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM A MESMA BASE

DÁ-SE A MESMA BASE E ADICIONAM-SE OS EXPOENTES

Exemplo73x72 = (7x7x7) x (7x7)

= 7x7x7x7x7= 75

=73+2

ENTÃO, 73x72 = 73+2 = 75

POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS

DÁ-SE A MESMA BASE E MULTIPLICAM-SE OS EXPOENTES

(52)3 = 52 x 52 x 52

= 52+2+2

= 53x2 = 56

ENTÃO, (52)3 = 52x3

Exemplo

VAMOS PRATICAR UM BOCADO...

A 105 x 103

105x103 = ___

B 1015

D 10x5 + 10x3C 108

108

A 168

164x16x163 = ___

B 1612

D nenhumaC 164x163

168

A 20 x 25

54x25 = ___

B 58

D 56C 54x53 = 57

56

PotenciaçãoAri vai começar o programa de condicionamento físico para as competições escolares municipais.O programa consiste numa corrida em volta do campo. O número de voltas deve dobrar a cada semana.

Período Nº de voltas1ª semana 22ª semana 2 . 2 = 43ª semana 2 . 2 . 2 = 84ª semana 2 . 2 . 2 . 2 =

16

Para determinar o número de voltas na 3ª semana, devemos fazer:

2 x 2 x 2 3 fatores iguaisPara determinar o número de voltas na 4ª semana, devemos fazer:

2 x 2 x 2 x 2 4 fatores iguais

Para determinar o número de voltas na 2ª semana, devemos fazer:

2 x 2 2 fatores iguais

Representamos essas multiplicações abreviadamente por:

2 x 2 x 2 x 2 = 24

2 fatores

3 fatores

4 fatores

2 x 2 = 22

2 x 2 x 2 = 23 A essa operação chamamos de POTENCIAÇÃO

Potenciação - Indica uma multiplicação de fatores iguais.

53 = 5 . 5 . 5 = 125

53 = ?

Base = FATOR QUE SE REPETE

Potência = resultado da operação.

Expoente = fala para base quantas vezes ela vai se multiplicar.

Leitura de Potências

Expoente 2: (lê-se: ao quadrado) - 72 - sete elevado ao quadrado.

Expoente 3: (lê-se: ao cubo) - 53 – cinco elevado ao cubo.

Expoente 4: (lê-se: quarta potência) - 34 – três elevado a quarta potência.

Expoente 5: (lê-se: quinta potência) - 25 – dois elevado a quinta potência.

Expoente 8: (lê-se: a oitava potência) - 48 – quatro elevado a oitava potência.

Propriedades Básicas da Potenciação

Todo número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.

Todo número elevado a expoente 0 é igual a 1.

1 elevado a qualquer expoente é igual a 1.

a0 = 1

a1 = a

1n = 1

30 = 1; 50050 = 1; (1/5)0 = 1; (0,25)0 = 1

41 = 4; 19881 = 1988; (1/8)1 = 1/8; (0,25)1 = 0,25

14 = 1; 11875 = 1; 1(1/5) = 1; 1(0,25) = 1OBS: Quando um número não tiver expoente escrito, por convenção, o número esta elevado ao expoente 1.

Propriedades Operatórias da Potenciação

am.am=am+

nRepetimos a base e somamos os

expoentes.

1. Produto de potência de mesma base.

85 . 87 = 85 + 7 = 812; 12 . 12 = 12 1 + 1 = 122; 52 . 53 = 52 + 3 = 55

am:m=am-

nRepetimos a base e subtraimos os

expoentes.

47 : 45 = 47 - 5 = 42; 113 : 11 = 113 - 1 = 112; 43 : 44 = 4 3 - 4 = 4- 1

2. Divisão de potência de mesma base.

Propriedades Operatórias da Potenciação

3. Potência de potência.

(am)n=am.n

Repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(35)7 = 35 . 7 = 335; (102)3 = 10 2 . 3 = 106

4. Potência de um produto ou de um quociente.(a.b)n=an.

bn

(a/b)n=an/bn

Elevamos cada fator ao expoente.

Elevamos numerador e denominador ao expoente.

(2 . 3)7 = 27 . 37; (12 : 5)3 = 123 : 53

Exercícios

1. Em 72 = 49, responda:a) Quem é a base?b) Quem é o expoente?c) Quem é a potência?

2. Em 25 = 32, responda:a) Quem é a base?b) Quem é o expoente?c) Quem é a potência?

a) base: 7b) expoente: 2

c) potência: 49

a) base: 2

b) expoente: 5

c) potência: 32

Exercícios

4. Calcule as potências:

5. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do produto de potências de mesma base:

3. Escreva na forma de potência:

b) 5 . 5 . 5 . 5 =

a) 4 . 4 =

c) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = d) 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =

42 54

15 86

a) 1300 =

b) 122 = c) 2850 =

d) 25 =

e) 03 =

f) 1081 =

1 12 . 12 = 144 1

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 0 1

b) 4- 2 . 46 =

a) 25 . 23 =

d) 33 . 36 . 3-1 =

c) 83 . 8-1 =25 + 3 = 28

4-2 + 6 = 44

83 + (- 1) = 82

33 + 6 - 1 = 38

Exercícios

7. Reduza a uma só potências, aplicando a propriedade da potência de potência:

8. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade potências de um produto ou quociente:

6. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base:

a) (2 . 5)3 =

c) (4 : 7)2 = b) (4 . 6)5

= d) (3 . 9)4 =

23 . 53

45 . 65 42 : 72 34 . 94

a) (32)3 =

b) (22)5 =

c) (65)x =

d) (5-2)3 =

b) 55 : 53 =

a) 49 : 46 =

c) 6 : 65 =

d) 108 : 103 =

49-6 = 43

55-3 = 52

61-5 = 6- 4 108-3 = 105

32.3 = 26 22.5 = 210

65x 5(- 2).3 = 5- 6

NÚMEROS RACIONAIS FRAÇÕES

A Joana e o André parecem terem voltado ao tempo da pré-primária! Toda a tarde fazem figurinhas, pintam, contam … que giro!

Afinal, já estão no 6º Ano! Estão trabalhando com números racionais, frações … sei lá … nomes esquisitos ! ! !

Anda ! Vamos olhar!eh..eh!!?

Escreve para cada caso a fração que representa a porção pintada.

32

41

88

33

23

34

45

44

63

Ah!...Muito bem! Afinal tu também gostas destas brincadeiras…

Então, agora, responde-me :De todas aquelas frações, quais as que representam números menores que 1?

Parabéns! Está correto.

32

41

63

Concluímos que: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração representa um número menor que 1. Chamam-se FRAÇÕES PRÓPRIAS.

Números menores que a unidade?

E quais daquelas frações representam números maiores que 1?

23

34

45

Parabéns, outra vez!

Concluímos que: quando o numerador é maior que o denominador, a fração representa um número maior que 1. Chamam-se FRAÇÕES IMPRÓPRIAS.

Números maiores que a unidade?

E quais representam o número 1?

44

88

33

Parabéns, pela 3ª vez!

Concluímos que: Uma fração representa o número 1 (a unidade) quando o numerador é igual ao denominador.

Representam a unidade?

Agora eu vou brincar contigo!

21

1005 10

25

43

10008 10

96

100312

100012

Descubra as duas frações que são “diferentes” neste grupo.

Pois é… também acertou. As diferentes são:

21

e

43

As outras são: FRAÇÕES DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é 10, 100, 1000… (potência de base 10).

Considera as frações:

Mais um desafio para você:

Escreva sob a forma de numeral decimal, o número representado por cada uma das frações decimais.

1025

100

5

1000

12 100312

1096

Frações com igual denominador….

Na festa de aniversário da Joana, todos os bolos estavam cortados em doze fatias iguais. O gráfico refere-se ao número de fatias de cada bolo, que se comeu durante a festa.

Amêndoa

Chocolate

Noz

0

2

4

6

8

10

12

Nº d

e fa

tias

com

idas

128

Escreve a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.

Amêndoas Chocolate Noz124

1211

124

128

1211

Conclusão: Frações com igual denominador, representa um número maior a que tiver maior numerador.

Frações com igual numerador…

A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?

Quando são só duas crianças.

41

31

21

Concorda com o André?

Conclusão: Frações com igual numerador, é maior a que tiver menor denominador.

21

31

41

O André pensou, fez um esquema e depois respondeu.

E se as frações tiverem diferentes numeradores e diferentes denominadores? Como fazer?

42

51

é maior ou menor que ?

É fácil !!!

5,04:242 2,05:1

51

2,05,0

Logo51

42

Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados.

FRACÕES EQUIVALENTES

A Educadora deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.O Zezinho pintou da folha, o Pedrinho e o Joãozinho . Qual deles pintou mais?

21

42

84

Zezinho Pedrinho Joãozinho21

84

42

5,084

42

21

Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são frações que representam o mesmo número.

84

42

21

84

42

21

Repara:

x 2

x 4

x 2

x 4

: 2

: 4

: 2

: 4

ou

Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma fração pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.

Faz você:

Por exemplo:

x 3

x 3

: 5

: 5

x 2

x 2

54

1512

3015

63

91

182

Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores.

Então, simplifica até ao máximo a fração:

ou

: 2 : 2

: 2 : 2

: 12

: 12

32 não se pode simplificar mais. Chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.

3624

1812

96

32

3624

32

: 3

: 3

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Exercícios

Apostila de Matemática

Página 22

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07-

a) A fração 4/18, a partir da fração 2/9:

R: 2/9 = 4/18 (x 2)

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07-

b) A fração 4/15, a partir da fração 12/15:

R: 12/15 = 4/5 (: 3)

Colégio Geração Valparaíso - GV07- . Agora, converse com o seu professor e colegas e elaborem uma regra para encontrar uma fração equivalente a outra:

R: Para encontrar uma fração equivalente a outra, devemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma das frações (ao mesmo tempo) por um mesmo número diferente de zero.

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08-

a) 6/8 = 42/56b) 44/121 = 4/11c) 20/200 = 2/20d) 12/100 = 3/25e) 3/25 = 15/125f) 20/25 = 4/5

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09-

a) 3/8

b) 8/8

c) 8/8 + 2/8 = 10/8

R: 2/9 = 4/18 (x 2)

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09- d)

. Número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais; número fracionário.

. Em matemática, essa palavra também pode significar uma porção maior que o todo, tomado como referência.

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10-

A – 18/6 18/6 = 3

C – 7/6 7/6 = 1 1/6

D – 18/7 18/7 = 2 4/7

G – 14/9 14/9 = 1 5/9