2

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida, Bucureşti, sector 2 Director: Petrescu Viorica Director adjunct: Ivaşcu Liana Colectiv de redacţie Andreiana Florica-profesor Plesnilă Rodica-profesor Dinescu Luminiţa-profesor Răduinea Cecilia- profesor Giuclea Adina-profesor Ştirbu AnneMarie-elevă Mihăilescu Nicoleta-elevă Tănase Doina- profesor Redacţie : Redactor-şef : Giuclea Adina- profesor Redactori Principali:Plesnilă Rodica-profesor

Dinescu Luminiţa-profesor Răduinea Cecilia- profesor Tănase Doina- profesor

Contact: Bd. Basarabia nr. 47, sector 2, Bucureşti www. leonida.ro www.wix.com/matestiinte/leonida tel/fax 0213243295/ 0213246902 I.S.S.N. 2069-3451 Răspunderea privind conţinutul articolelor revine autorilor.

3

CUPRINS CITATE ..................................................................................pag.4 ARTICOLE ŞTINŢIFICE ŞI METODICE

Aplicaţii ale matematicii în economie, lector dr. Giuclea Marius...........................................................................................pag.5

Ecuaţii matriceale, prof. Mihaela Barabas..............................pag.7 Aurorele polare, prof. Lăcrămioara Cazangiu, prof. Victor

Cazangiu.....................................................................................pag.14 Banda lui Mobius, elevi Sandu Ana Maria, Ispas Cristian,

clasaXIA.....................................................................................pag.18 Pătrate magice, Lică Mariana, David Alina, clasa XI C......pag.22 Generalizarea în matematică, partea a II-a, prof. Răduinea

Cecilia.........................................................................................pag.27 Drogul electronic, prof. Andreiana Florica..........................pag.31 Mari matematicieni, Rizescu Bogdan, clasa XI A................pag.34 Arhimede, prof. Ţopană Monica..........................................pag.38 Despre pietrele preţioase, prof. Doina Tănase .....................pag.41 Combustibili alternativi, Grădinariu Cătălin, Costache Simona

clasaXIIA....................................................................................pag.50 Alfabetul grecesc..................................................................pag.54

PREGĂTIREPENTRU BACALAUREAT.........................pag.55 PROBLEME REZOLVATE................................................pag.63 PROBLEME PROPUSE.......................................................pag.69 PROVOCĂRI.........................................................................pag.73

4

Citate din Albert Einstein

(1879 – 1955)

Nu tot ceea ce poate fi numărat contează şi nu tot ceea ce contează poate fi numărat.

Doar două lucruri sunt infinite, universul şi prostia umană, însă nu sunt sigur despre primul.

Este mai uşor să dezintegrezi un atom decât o prejudecată. Relativitatea se aplică la fizică, nu la etică. Nu poţi acuza gravitaţia când dragostea te doboară. Ce faci pentru tine, dispare odată cu tine, ce faci pentru

alţii, rămâne pentru eternitate. Să nu te opreşti niciodată din a-ţi pune întrebări,

curiozitatea stă la baza existenţei. Dacă cineva nu a greşit niciodată, înseamnă că nu a

încercat să facă nimic nou. Încearcă nu să fii un om de succes, ci un om de valoare. Idealurile care mi-au luminat calea şi din când în când mi-

au dat curaj reînnoit de a întâmpina viaţa cu voioşie, au fost Bunătatea, Frumuseţea şi Adevărul. Banalele subiecte ale eforturilor umane, posesiilor, succesului exterior, luxului mi s-au părut întotdeauna demne de dispreţ.

Există lucruri care ştim că sunt imposibil de realizat, până când vine cineva care nu ştie acest lucru şi le realizează.

Nu înţelegi un lucru pe deplin decât dacă poţi să i-l explici bunicii.

5

APLICAŢIILE MATEMATICII ÎN ECONOMIE

Lector dr. Giuclea Marius Academia de Studii Economice Bucureşti

Articolul îşi propune să arate o aplicaţie în economie a noţiunii de derivată parţială. Definiţie Fie o mulţime A R2, f: AR şi (a, b) un punct interior al lui A.

Dacă x a

f x, b f a, blim

x a

există şi este finită spunem că f

admite derivată parţială în raport cu x în punctul (a, b) şi scriem:

x x a

f x, b f a, bf ' a, b lim

x a

(sau f a, b

x

).

In acelaşi mod definim derivata parţială în raport cu y în punctul (a, b)

y

y b

f a, y f a, bf ' a, b lim

y b

(sau f a, b

y

).

Fie o mulţime ARn şi o funcţie f: AR care admite derivate parţiale de ordinul întâi pe A,

ixf ' : AR, i=1,n . Se definesc

noţiunile: Valoare marginală (viteza de variaţie) a lui f în raport cu xi în

punctul (x1, x2, …, xn) prin

if ,xVM = 1ix nf ' ( x ,...,x )

Ritmul de variaţie a lui f în raport cu xi în punctul (x1, x2, …, xn) prin

6

if ,xR = 1

1

ix n

n

f ' ( x ,...,x )f ( x ,...,x )

Elasticitatea lui f în raport cu xi prin

if ,xE = 1

1

ix n

n

i

f ' ( x ,...,x )f ( x ,...,x )

x

.

Aplicaţii în economie Exemple 1) Presupunem că într-o piaţă concurenţială se vând n produse X1, …, Xn cu preţurile p1, …, pn. În acest caz, cererea de produs Xi, notată yi, este o funcţie depinzând de preţurile p1, …, pn:

yi=fi (p1, …, pn), i=1,n .

Presupunem că i=1,n , fi admite derivate parţiale de ordinul întâi în

raport cu toate variabilele pj, j= 1,n ( 1ji p nf ' ( p ,..., p )i, j=

1,n ).

În aceste condiţii, valoare marginală i jf ,xVM = 1ji p nf ' ( p ,..., p )

arată viteza variaţiei cererii yi în raport cu variaţia preţului pj când celelalte preţuri rămân constante. De exemplu, în mod normal 1ii p nf ' ( p ,..., p )<0, adică odată cu creşterea preţului pi, când

celelalte preţuri sunt constante, este determinată o scădere a cererii produsului Xi. O informaţie mai relevantă în această direcţie o oferă elasticitatea parţială

if ,xE , care indică viteza variaţiei relative a cererii yi în

raport cu variaţia preţului pj când celelalte preţuri rămân constante. Mai departe, considerăm doi indici i, j= 1,n , ij şi valorile marginale

1ji p nf ' ( p ,..., p ) şi 1ij p nf ' ( p ,..., p ) . Dacă 1ji p nf ' ( p ,..., p ) >0,

7

1ij p nf ' ( p ,..., p )>0, atunci produsele Xi şi Xj se numesc

concurente (cererea produsului Xi creşte când preţul produsului Xj, adică pj, creşte, şi invers). Dacă 1ji p nf ' ( p ,..., p ) <0,

1ij p nf ' ( p ,..., p )<0, atunci produsele Xi şi Xj se numesc

complementare (cererea pentru unul din produse scade când creşte preţul celuilalt). 2) Fie două produse X1, X2 şi cererea produsului X1 modelată de funcţia:

1 1 2 1 2100 2 0 1Q p , p ,y p p , y

unde 1p şi 2p sunt, respectiv preţurile produselor X1, X2 iar y este

venitul mediu. Dacă se consideră 1 10p , 2 20p şi 1000y , atunci să se determine: a) elasticitatea proprie a produsului X1,

1 1Q , pE ;

b) elasticitatea încrucişată a lui X1, 1 2Q , pE ;

c) elasticitatea lui X1 în raport cu venitul, 1Q ,yE ;

Soluţie

a) Avem formula elasticităţii 1 1 1 2Q , pE p , p ,y =

11 1 2

1 1 2

1

pQ ' p , p ,yQ p , p ,y

p

.

Este uşor de observat că:

11 1 2pQ ' ( p , p , y ) =-2 iar pentru 1 10p , 2 20p , 1000y

1 10 20 1000 200Q , , . Astfel că 1 1

210 20 1000 0 120010

Q ,pE , , , .

8

b) În mod analog cu punctul a) avem

1 2

110 20 1000 0 120020

Q ,pE , , , .

c) Ca şi la punctele precedente obţinem

1

0 110 20 1000 0 52001000

Q ,y,E , , , .

Bibliografie: 1) Matematici aplicate în economie, Editura Didactică şi

Pedagogică, R. A., Bucureşti, coord. Prof. Octavian Popescu 2) 20 Metode fundamentale de matematică cu aplicaţii în

economie, M. Giuclea, C. Popescu, Eeditura ASE.

9

ECUAŢII MATRICEALE prof. Mihaela Barabas

Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida

Scopul acestui articol este de a prezenta rezolvarea unor ecuaţii elementare din M2(C). Astfel de probleme apar frecvent în subiectele de examen, de bacalaureat sau de admitere la facultăţi.

Rezolvările ecuaţiilor care vor fi prezentate se bazează pe relaţia Hamilton-Cayley:

(1) dacă A=

dcba

..

..2M ( ), atunci

AAtrA )(222)det( OIA , unde

tr(A) = a+d şi det (A) = ad – bc. Se pot folosi relaţiile, :),(, 2 CCMBA a) tr (A+B) = tr(A) + tr(B) b) tr( )() AtrA c) det(AB) = det(A)det(B). În continuare prezint rezolvarea unor ecuaţii de forma Xn

= A, unde A este o matrice pătratică de ordin 2, iar .2, nNn

Se notează cu Sn(A) = AXCMX n /)(2 . a) fie ecuaţia binomă Xn = A, cu det (A) = 0. Fie X ).(ASn Cum 0 = det (Xn) = detn(X), rezultă det

(X) = 0, deci X2 = tr (X)X. Atunci Xn = trn-1(X)X şi, ţinând cont de faptul că trn-1(X)X = A, se deduce că trn(A) = tr(A).

Dacă tr(A) = 0, atunci tr (X)=0, deci X2 = O2, de unde se

obţine că Xn = O2. Deci, dacă A 2O , atunci Sn(A) = , iar dacă A = O2,

atunci Sn(A) =

.0/.......

0)()det(/)( 22

bcaacba

XtrXCMX

10

Dacă tr(A) 0 , atunci tr(X) = cu )(,* AtrC n şi X =

.)(

11 A

AtrAn

Reciproc, dacă AAtr

X )(

cu ),(Atrn atunci

,)()(

1)(

11 AAAtr

AtrA

AtrX n

nn

n

nn

deci

Sn(A) =

)(,/)(

AtrCAAtr

n .

Se observă că, în acest caz, ecuaţia are n soluţii în M2(C).

a) fie ecuaţia binomă Xn = ,......

abba

cu 0,, bCba .

Fie A =

abba

...

...şi B = )(

......

AStyyx

n

.

Cum AX = Xm X = X mX = XA, iar 0b , se deduce cu

uşurinţă că tx şi zy . Cum X = ,......

xyyx

se arată cu uşurinţă,

prin inducţie, că

nnnn

nnnnn

yxyxyxyx

yxyxyxyxX

...

...21 .

Din sistemul

,2

2

byxyx

ayxyxnn

nn

se obţine

,

bayx

bayxn

n

deci ,

yxyx

cu

baba

n

n

.

Rezultă că

...

...21X , cu

babaC nn ,,, . (*)

11

Reciproc, dacă X este o matrice de forma (*), atunci

nnnnnn

nnnnnn

nnX

2...22...2

21

1 =

abba

abba

...

...2...22...2

21 , deci

babaCAS nnn

,,,/......

21)( .

Se observă că ecuaţia are n2 soluţii în M2(C).

b) fie ecuaţia binomă Xn = cuabba

,....

.......

a,b

)(,0, 2 MXb .

Fie X 2M o solutie a acestei ecuaţii şi A = .....

.......

ab

ba

Cum AX = XA şi 0b ,

se deduce cu uşurinţă că .0,,,..........

yyxxyyx

X Cum a2+b2 =

det (A) = det (Xn) = det n(X) = (x2 + y2)n, rezultă că ,2222 n bayx deci

X = ....

...

2222

22222 22

yxx

yxy

yxy

yxx

ban

Dacă z = x + yi = sincos22 iyx cu ,2,0 atunci

X = ,cos.......sin

sin......cos..2 22

n ba deci Xn =

.cos....sinsin....cos..22

nnnn

ba

12

Cum Xn = A, rezultă ,sin

cos

22

22

babn

baan

deci

,2)arg(n

kbia cu k Z . Cum ,2.0 rezultă că

,2)arg(n

kbia cu 1,0 nk .

Reciproc, dacă X =

cos....sinsin....cos..2 22n ba cu

,2)arg(n

kbia k Z , atunci

Xn = ,.....

........

...

...

2222

222222 A

abba

baa

bab

bab

baa

ba

deci

mulţimea soluţiior ecuaţiei este : .1,0,2arg/

cos....sinsin....cos..2 22

nkn

kbiaban

Se observă că ecuaţia are n soluţii în M2(C).

d) fie ecuaţia ecuaţia binomă Xn =

b

a...0

0... cu .0,, bCba

13

Fie A =

b

a...0

0... şi X = ).(

...

...AS

tzyx

n

Cum AX = XA şi ,ba se

deduce cu uşurinţă că y = z = 0. Cum X = ,...0

0...

t

x atunci

,....0

0...

n

nn

tx

X deci xn = a, tn = b.

Reciproc, dacă ,...0

0...

X cu ba nn , , atunci

,......

...

...

abba

Xnn

nn

deci

baCAS nn

n

,,,/

...00...

.

Se observă că ecuaţia are n2 soluţii. Aplicaţii propuse:

1. X2 + 4X + 3I2 = )(,0...17...1..

2 CMX

.

2. X2 =

1...14...3

,

3. X2 =

4..116....4.

.

14

AURORELE POLARE

prof. Lăcrămioara Cazangiu , Liceul bilingv „DECEBAL” prof. Victor Cazangiu , Colegiul Tehnic „DIMITRIE LEONIDA”

Aurorele polare sunt, probabil, unele dintre cele mai interesante spectacole ale naturii. Misterul formării lor i-a intrigat permanent pe oamenii de ştiinţă şi, chiar dacă astăzi el a fost descifrat în ceea mai mare parte a sa, nu puţini sunt cei care cred că acest fenomen reprezintă o manifestare a unor forţe aflate dincolo de capacitatea de înţelegere a oamenilor.

Fridtjof Nansen, celebrul explorator si om de ştiinţă norvegian, în cartea sa „Prin noapte şi gheaţă”, descrie magnific acest fenomen optic: „…o imensă draperie ce acoperă cerul, desfăşurându-şi vălurile de argint sclipitor ce devin, pe neaşteptate, când galbene, când verzi, când roşii, se lungesc, se strâng neîncetat, pentru ca apoi să se desfacă în mulţime de panglici de argint sclipitor, fluturânde, pe deasupra cărora ţâşnesc jerbe de raze scânteietoare”.

Apariţia unor astfel de fenomene inexplicabile, dar de o rară frumuseţe, nu putea fi privită de oamenii din trecut decât ca un semn al divinităţii. Astfel fiecare cultură a ţesut propriile legende legate de acest fenomen.

Populaţiile antice din Scandinavia considerau că aurorele erau opera zeilor războiului sau pur şi simplu fantome ale fecioarelor, care trebuiau să fie salutate fluturand o panză albă. La celălalt capăt al lumii, populaţia Maori din Noua Zeelandă credea că aurorele reprezentau semnele de avertizare trimise de navigatorii polinezieni care se aventuraseră prea mult spre sud.

Numele fenomenului „aurora” a fost pentru prima dată folosit de astronomul Pierre Gassendi, după numele zeiţei „Aurora”, care, în mitologia romană, reprezenta zeiţa dimineţii.

Galileo Galilei a încercat să explice fenomenul presupunând că acesta apare ca urmare a reflexiei luminii solare pe vaporii de apă din atmosferă.

15

Marele om de știință francez Rene Decartes presupune că

reflexia are loc pe cristalele de gheaţă. Edmond Halley, se apropie mai mult de adevăr, fiind primul care face legătura între aurorele polare şi câmpul magnetic al Pământului. Totuşi, o explicaţie completă avea să vină abia 350 de ani mai târziu.

În anul 1959, fizicianul Eugene Newman Parker, prezice pentru prima dată faptul că Soarele emite permanent, în toate direcţiile, un flux de particule încărcate electric. Trei ani mai târziu, fenomenul este efectiv detectat de sonda spaţială Mariner 2. Această emisie omnidirecţională de particule cu sarcină electrică este cunoscută sub numele de vânt solar. Viteza de deplasare a acestuia este cuprinsă între 400 şi 700 de kilometri pe secundă. Vântul solar bombardează planetele întregului sistem solar. În cazul planetelor care prezintă un câmp magnetic propriu, cum este Pământul, particulele electrizate sunt deviate către polii magnetici, înfăşurându-se în jurul liniilor de câmp magnetic.

Ajunse în atmosfera superioară a Pămantului la altitudini cuprinse între 100 şi 400 de kilometri, aceste particule produc excitări şi ionizări ale gazelor aflate aici.

16

Atomii excitaţi revin spontan în starea fundamentală,

emiţând radiaţii electromagnetice, în particular lumină. Lumina emisă se constituie în ceea ce numim aurore polare. Sunt observate în mod normal în intervalele septembrie-

octombrie şi martie-aprilie. În emisfera nordică se numesc aurore boreale iar emisfera sudică, fenomenul poartă numele de auroră australă, după James Cook, o referință directă la faptul că apare în sud.

Regiunile din lume în care aurorele pot fi observate cel mai bine sunt: Norvegia, Suedia, Finlanda, nordul Rusiei, nordul S.U.A., Siberia, Alaska şi Canada.

În timpul furtunilor solare puternice, acestea pot fi vizibile până în centrul Europei, aurorele putând avea loc la orice oră din zi sau din noapte. Luminile sunt în continuă “mişcare” datorită acestor interacţiuni dintre vântul solar şi câmpul magnetic terestru . Vântul solar generează de obicei o putere electrica până la 1000000 MW într-un astfel de spectacol şi acest lucru poate cauza fenomenelor de interferenţă cu câmpurile electrice si magnetice produse de liniile electrice de înaltă tensiune, transmisiile radio-TV şi comunicaţiile prin satelit.

17

Dincolo de aceste explicaţii, aurorele polare rămân totuşi un

spectacol unic, grandios, pe care tehnica modernă îl face observabil nu numai de către locuitorii latitudinilor mari, ci de toţi cei pentru care natura încă nu şi-a dezvăluit toate misterele.

Prin studiul aurorelor polare, cercetătorii pot afla multe despre vântul solar, cum afectează acesta atmosfera şi cum poate fi folosită această energie degajată în folosul omenirii. Aşa cum s-a menționat mai sus, fenomenul nu este exclusiv terestru, fiind observat şi pe alte planete din sistemul solar, care au un câmp magnetic propriu, precum Jupiter, Saturn, Marte, şi Venus. Totodată, fenomenul este de origine naturală, deşi poate fi reprodus artificial prin explozii nucleare sau în laborator. Bibliografie: 1. http://www.didactic.ro 2.http://ro.wikipedia.org/wiki/Fridtjof_Nansen, 3.http://www.google.ro/images?hl=ro&xhr=t&q=aurorele +polare, 4. http://www.scritube.com/diverse/meteorologie/AURORELE -POLARE2412413218.php.

18

Banda lui Möbius

Elevi Sandu Ana Maria şi Ispas Cristian, clasa XIA

Banda lui Möbius( dupa numele lui August Möbius,care a publicat construcţia ei în anul 1865) este cea mai expresivă formă de manifestare a nţtiunii de paradox printr-un obiect palpabil Cum constrium o banda a lui Möbius? Se ia o banda de hartie si se aseaza pe masa, se notează colturile ca in figura de mai jos. (stanga-sus si dreapta-jos cu A, dreapta sus si stanga jos cu B). Incolaciti apoi banda astfel incat colturile cu aceeasi litera sa se atinga, rasucind-o o data, lipiti apoi marginile care se ating.

Proprietati ale benzii lui Möbius: Cate fete are? Doua puncte se zice ca sunt pe aceeasi fata daca se pot uni printr-o linie curba care sa nu sara vreo margine. Trasati o linie pe mijlocul benzii, fara a ridica creionul de pe banda. Nu va opriti pana nu ajungeti din nou in punctul din care ati pornit. (nu va faceti griji ca linia nu a iesit perfect dreapta, ideea principala este sa nu sara marginea)

19

Constatati că linia este trasă pe ambele

părţi, şi ca din orice punct al benzii se poate ajunge la linie. Aşadar,

ca să unim două puncte oarecare ale suprafeţei benzii, A si B,

pornind din A, este suficient să unim A cu linia, să mergem pe linie

pâna în dreptul lui B, apoi să unim linia cu B. Deci suprafaţa are O

SINGURA FATA.

Câte muchii are? Cu o carioca coloraţi punctele de margine, fără să ridicaţi carioca de pe muchie, pâna când ajungeţi în punctul din care aţi plecat.

Constataţi că toate punctele de margine ale benzii sunt colorate. Deci, suprafaţa are O SINGURA MUCHIE. Aşadar, banda lui Möbius este o suprafaţă cu o singură faţă şi o singură muchie, simplu răsucită. Secţionarea benzii lui Möbius Ce se întamplă cu o foaie de hartie dacă o taiaţi pe jumătate? Se împarte în două jumătăţi de două ori mai înguste. Ce se întampla cu banda lui Möbius dacă o tăiaţi pe jumătate?

20

Taiaţi banda după linia de pe mijlocul ei.( de-a lungul benzii, nu de-a latul.)

Constataţi că obţineţi o singură bandă, de două ori mai lungă. Câte feţe are? Trasaţi cu creionul o linie pe mijlocul benzii, până când ajungeţi din nou de unde aţi plecat. Constataţi că linia este trasă doar pe o parte, ceea ca înseamnă că s-a obţinut o suprafaţă cu DOUĂ FEŢE. Câte muchii are? Ca şi mai înainte, coloraţi cu o carioca punctele de margine, fără a ridica carioca de pe foaie. Constataţi că a rămas o margine necolorată, adică s-a obţinut o suprafaţă cu DOUĂ MARGINI. Câte răsuciri are? DOUĂ. Aşadar, prin tăierea de-a lungul a benzii lui Möbius se obţine o suprafaţă cu două feţe şi două margini, dublu răsucită. Ce se obţine prin secţionarea acestei benzi de-a lungul ei? Această nouă bandă respectă toate proprietăţile suprafeţelor cu două feţe (de exemplu, ale benzii de hârtie din care s-a construit banda lui Möbius): tăiată pe jumatate, se obţin 2 benzi de acceeaşi lungime, cu două feţe, cu două muchii, dublu răsucite, dar de două ori mai înguste (de 4 ori mai înguste decât banda lui Möbius). Doar că sunt legate ca zalele unui lanţ. Şi fiecare dintre ele, tăiată de-a lungul, se desparte în două benzi de aceeaşi lungime, cu două feţe, cu două

21

muchii, dublu răsucite, dar de două ori mai înguste decât banda din care s-au obţinut. Trisecţionarea benzii lui Möbius Creaţi o altă bandă a lui Möbius. Alegeţi un punct care să nu fie pe mijlocul benzii (de exemplu, cam la o treime din lăţimea benzii) şi trasaţi o linie paralelă cu marginile (de-a lungul benzii). Câte benzi obtineţi dacă tăiaţi acum banda după linia pe care aţi trasat-o? Tăiaţi banda după linia trasata. Constatati ca s-au obtinut DOUA benzi. Verificaţi-le proprietatile.

Cea obţinută în mijloc este tot o bandă a lui Möbius, adică o suprafaţă cu 2 feţe, 2 muchii, simplu rasucită, dar de lăţime mai mică decât banda iniţială. Cealaltă, obţinută ,,pe margine", este o suprafaţă cu 2 feţe, 2 muchii, dublu răsucita si de doua ori mai lunga. *** Ce se intamplă dacă, atunci când creaţi banda lui Möbius, în loc de o singură răsucire, aţi fi incercat o triplă răsucire? S-ar fi obţinut tot o suprafaţă cu o singură faţă şi o singură muchie. Încercaţi scum secţionarea acestei benzi de-a lungul ei. Ce obţineti? Ce proprietăţi regăsiţi? *** Banda lui Möbius este cea mai simplă dintre structurile cu o singură faţă. Luaţi o bandă de hârtie mai lungă şi coloraţi colţurile opuse ale unei feţe cu aceeaşi culoare. Puteţi acum înnoda această bandă oricum vreţi, dar dacă aveţi grijă să suprapuneţi culorile, veţi obţine o suprafaţă cu o singură faţă şi o singură muchie.

22

Pătrate magice David Alina, Lică Marina

Profesor îndrumător Giuclea Adina Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida

Pătratul magic( sau pătratul aritmetic) este pătratul în care

suma numerelor de pe oricare linie este egală cu suma numerelor de pe fiecare coloană şi de pe ambele diagonale.( Sigur aţi întâlnit deja prin diverse reviste!).De exemplu, pătratul următor, care este un pătrat de ordinul 3, numit aşa după numărul de linii şi coloane:

3

8

7

10

6

2

5

4

9

Un pătrat magic de ordinul n are n2 numere, aşezate pe cele n

linii şi coloane( ca într-o matrice pătratică de ordinul n). Ele se numesc magice întrucât în vechime erau considerate de către astrologii din Orientul Îndepărtat ca având proprietăţi magice şi chiar erau pictate ca amulete. Ele au atras deopotrivă atât pe matematicienii de origine arabă, cât şi pe cei din Europa Occidentală. S-a descoperit o lucrare despre aceste pătrate magice scrisă de către matematicianul bizantin Manuel Moscopoulos încă de secolul XIV. El a cercetat metoda de formare a acestor pătrate şi a dedus că nu există o metodă generală de a le forma.

Matematicianul Pierre Fermat spunea: ,,Nu cunosc nimic mai frumos în aritmetică decât aceste numere pe care unii le numesc magice.”

23

Printre pătratele magice celebre de-a lungul timpului sunt cel al lui Euler( care cuprinde primele 25 de numere naturale):

8

20 2 21 14

16

3 15 9 22

25

7 19 13 1

4

11 23 17 10

12

24 6 5 18

şi cel al lui Albrecht Dürer:

16

3 2 13

5

10 11 8

9

6 7 12

4

15 14 1

Acest pătrat apare şi în gravura ,,Melancolia”,din anul 1514,aparţinând acestuia.

24

25

Un pătrat magic apare şi pe faţada bisericii Sagrada Familia din Barcelona, aparţinând sculptorului Josef Subirachs.

Evident, se pot observa câteva proprietăţi ale pătratelor magice: Dacă se măreşte sau se micşorează fiecare număr din pătrat cu acelaşi număr, se obţine tot un pătrat magic. Tot un nou pătrat magic se obţine şi dacă înmulţim fiecare din numerele conţinute în pătrat cu acelaşi număr. Vă lăsăm acum plăcerea descoperirii altor proprietăţi ale pătratelor magice, precum şi completarea următoarelor pătrate magice:

4

7 2

8

26

1

14 15 4

12

6

11

3 16

Bibliografie: 1) Matematică. Teme pentru activităţi opţionale., Artur Bălăucă, Alexandru Negrescu, Gheorghe Gându, Cezar Chirilă, Lenuţa Pârlog, Lucian Gloambeş, Editura Taida

27

Generalizarea în matematică Partea a II-a

Prof. Răduinea Cecilia Colegiul Tehnic Dimitrie Leonida

În primul număr al revistei, v-am propus câteva probleme şi soluţiile lor, pentru generalizare. În urma răspunsurilor trimise pe adresa redacţiei, am selectat o parte din acestea precum şi soluţiile lor, acolo unde am considerat necesar. Problema 1. Dacă Rdcba ,,, , să se demonstreze egalitatea

( ) ( )( ) ( )( ) ( )b c d b c d

a a b a b a b c a b c a b c d a a b c d

ştiind că sunt îndeplinite condiţiile de existenţă. Generalizare Dacă Raaa n ,...,, 21 , să se demonstreze egalitatea

2 3

1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2

2 3

1 1 2

...( ) ( )( ) ( ... )( ... )

... , , 3( ... )

n

n n

n

n

a a aa a a a a a a a a a a a a a

a a a n na a a a

ştiind că sunt îndeplinite condiţiile de existenţă . Observaţie: demonstraţia se face prin metoda inducţiei matematice. Problema 2. I. Dacă , 0,a b atunci 2 .1 1 2

a bab

a b

II. Dacă , , 0a b c , atunci 331 1 1 3

a b cabc

a b c

.

(inegalitatea mediilor armonică, geometrică şi respectiv aritmetică) Generalizare III. Dacă 1 2, ,..., 0( , 2)na a a n n , atunci

1 21 2

1 2

......1 1 1...nn

n

n

n a a aa a an

a a a

28

Demonstraţia pentru I. este destul de simplă, partea a II-a se poate demonstra astfel:

2 2 23 3 33 3 3 3

3 3 3

2 2 23 3 33 3 3 3

3 2 23 3 33 3

2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3

3 ( )(

)1 ( )( 22

2 2 )1 ( )[( ) ( ) ( ) ] 0.2

a b c abc a b c a b c

ab bc ac

a b c a ab b b

bc c a ac c

a b c a b b c a c

Celelalte inegalităţi rezultă din aceasta. Egalitatea are loc pentru .a b c

III. Se poate arăta că 1 21 2

......n

nn

a a aa a an

, ceea ce este

echivalentă cu inegalitatea mediilor. Fie 1 2 ... ns a a a (1) şi ...s s ss

n n n (n termeni) (2).

Arătăm că dacă termenii 1 2, ,..., na a a nu sunt egali între ei, atunci produsul lor este mai mic decât al celor din relaţia (2), adică

1 21 2

...... ...n n

nn

s s s s a a aa a an n n n n

Să presupunem că 1 2 ... .na a a Dacă 1

san

, atunci n

san

. Fie

diferenţele

1 , ns sa an n

şi să presupunem că 1 .n

s st a an n

Înlocuim în

(1) pe 1a cu 1a t şi pe na cu .nsa tn

Suma termenilor este de

asemenea egală cu s, adică

29

1 2 1( ) ... ,nss a t a an dar conform (1) produsul termenilor

creşte. Astfel am ajuns la un termen (ultimul) egal cu sn

. Continâund

procedeul deducem că toţi termenii trebuie să fie egali cu sn

.

Problema 3. Să se demonstreze că, dacă , , ,a b c a b c sunt numere raţionale, atunci , ,a b c sunt , de asemenea, numere raţionale. Generalizare Dacă 1 2 1 2, ,..., , ...n na a a a a a ,

atunci 1 2, ,..., na a a , ( , 2)n n .

Problema 4. Să se calculeze lim1x

x x x xx

Generalizare

Să se calculeze ...lim

1x

x x x xx

(la numărător se află n

radicali de ordin doi, 2n ). Demonstraţia este analoagă cazului particular, rezultatul fiind egal tot cu 1. Problema 5. Fie ,I a b un interval închis şi mărginit şi

:f I I o funcţie continuă. Atunci f posedă cel puţin un punct fix. Generalizare Fie , : , ,f g a b a b două funcţii continue cu proprietatea că f sau g este surjectivă. Atunci există 0 ,x a b astfel încât

0 0( ) ( ).f x g x Soluţie: , ,h f g I a b . Dacă ( ) 0,( ) 0h x x I h sau

0h .

30

Presupunem f surjectivă. Există atunci 1 2,x x I astfel încât

1 2( ) , ( ) .f x a f x b Dacă 0h , atunci 1 1 1( ) ( ) 0 ( )a g x h x g x a , absurd. Dacă 0h , atunci 2 2 2( ) ( ) 0 ( )b g x h x g x b , absurd. Prin urmare există 0x I astfel încât 0( ) 0h x , adică

0 0( ) ( )f x g x .

31

Drogul electronic

Prof. Andreiana Florica

Sigur că aparitia internetului a produs schimbări importante în viaţa noastră...Reuşim să comunicăm cu persoane aflate peste mări şi ţări, să aflăm tot felul de informaţii în doar câteva minute, fie că este vorba despre o stradă, un medic, o piesă de teatru, un animal, un job sau orice altceva.

Motoarele de căutare "muncesc" pentru noi dându-ne în câteva secunde pagini întregi cu adrese unde putem găsi ceea ce căutăm şi, chiar, ce nu cautăm sau nici nu ştiam că există! În plus camera web, alte accesorii şi programele care permit comunicarea în direct în timp real (chat, comunicare verbală, vînzari online) au dus la transformări ale relaţiilor noastre cu ceilalţi. Azi ne putem vedea prietena care locuieşte la 5000 km, putem să-i auzim glasul, putem cumpăra orice de oriunde, putem vorbi deoadată cu oameni aflaţi la mii de km distanţă unii de alţii...

Un fenomen extrem de îngrijorator a luat amploare în rândul adolescenţilor, dar şi al copiilor cu vârste din ce în ce mai mici. Dependenţa de calculator a devenit un adevărat drog, de care numai cu mare greutate copiii pot

32

fi scapaţi.

Cuprinşi de drogul electronic, de posibilitatea de comunicare electronică, de întrecerile şi de doborârea propriilor recorduri la jocurile de ultimă generaţie, copiii au devenit extrem de vulnerabili, ajungând să îşi petreacă în faţa monitorului chiar şi zece ore pe zi.

Cu greu părinţii sau bunicii mai reuşesc să intervină, iar orice încercare de pedepsire sau impunere a unor noi reguli nu face decât să înrăutăţească situaţia. Micuţii dependenţi de calculator ajung rapid la izolare, la imposibilitatea de a socializa şi chiar la eşecuri şcolare sau vicii extrem de periculoase.

Cum se ajunge la dependenţă? La fel ca şi în cazul substanţelor sau anumitor comportamente (fumat, jocuri de noroc, bulimie, cumpărături). La început e o curiozitate, o "distracţie", o ieşire din monotonie, "ceva nou", plăcut, incitant. Cu timpul ne "fură", ne "prinde", azi puţin, mâine mai mult, plăcerea creşte dar odată cu ea şi nevoia de mai mult. Intrarea în această lume presupune, fireşte, ieşirea din lumea obişnuită, abandonarea vechilor activităţi, persoane din viaţa noastră. Noua "pasiune" las în urmă prietenii, rudele, munca, şcoala, sportul, plăcerile, interesele şi distracţiile de odinioară.

Lipsa internetului poate avea simptome asemănătoare cu sevrajul fumătorilor, conform unui studiu

Cercetătorii de la 12 universităţi din lume au ales mai mulţi voluntari care nu au primit acces la internet timp de 24 de ore. Ei nu au avut voie să folosească computere, telefoane mobile, iPod-uri, televizoare sau radio. Pentru a comunica şi a se distra, voluntarii au folosit telefonia fixă şi au citit cărţi.

33

După o zi voluntarii au raportat simptome asemănătoare cu cele ale fumătorilor care încearcă să renunţe la viciu: anxietate, nervozitate, ba chiar ei au întins mâna după telefoanele mobile deşi nu se aflau acolo, aşa cum fumătorii caută ţigările inexistente.

"Majoritatea s-a chinuit la început cu aceste simptome, însă apoi au dezvoltat mecanisme care i-au ajutat să treacă peste aceste probleme", a declarat Dr Roman Gerodimos, din cadrul Universităţii Bournemouth.

Este un avertisment cât se poate de serios din partea specialiştilor americani şi chinezi. Ei compară obsesia pentru jocuri sau cumpărături online cu vicii ca drogurile sau alcoolul.

Internetul este o reţea globală, prin care accesul la informaţii se face rapid şi gratuit. Scopul principal este ca oamenii să ştie ce se întâmplă în jurul lor. Există scene de sex, bătăi, gesturi vulgare în şcoli sau alte locuri publice: filmul evenimentelor apare online, utilizatorii îl vad şi reacţionează. Dacă acestea ar fi ascunse sub preş, nu ar însemna că încetează să mai existe.

Să-l interzicem şi să dam foc calculatoarelor în Piaţă? Sau să învăţăm o dată pentru totdeauna ce înseamnă responsabilitatea online?

Bibliografie:

http://www.agenda.ro/news/news/5925/calculatorul-benefic-sau-malefic.html

34

Mari matematicieni

Elev Rizescu Bogdan, clasa XI A

Euclid

Euclid din Alexandria ( Euclides), originar din Damasc (cca. 325 î.Hr. - 265 î.Hr.) a fost un matematician grec care a trăit şi predat în Alexandria din Egipt în timpul domniei lui Ptolemeu I (323 î.Hr. – 283 î.Hr.). Despre viaţa lui Euclid nu s-au păstrat nici un fel de date, de aceea se spune că viaţa lui se confundă cu opera. Dar nici aceasta nu s-a păstrat în întregime. În afara de cartea Stihia, în traducere românească Elementele, tradusă în peste 300 de limbi, în care Euclid pune bazele aritmeticii şi ale geometriei plane şi spaţiale, s-au mai păstrat câteva cărţi dintre care: Datele, lucrare ce cuprinde teoreme şi probleme care completează Elementele, precum şi Optica, privită ca o geometrie a "razei vizuale". A iniţiat tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin expresia latină: Quod erat demonstrandum sau Q.E. D., în traducere: Ceea ce era de demonstrat.

Într-o anecdotă, scrisă după 800 de ani de la moartea sa, se povesteşte că Ptolemeu I l-ar fi rugat pe Euclid să-i arate o cale mai uşoară ca să înţeleagă geometria, iar Euclid ar fi răspuns: „În geometrie nu există drumuri speciale pentru regi”.

35

Euclid a expus cercetările în domeniul opticii în tratatele Optica şi Catoptrica. În cel dintâi a prezentat noţiunea de rază de lumină şi a formulat, pentru prima dată, legea propagării rectilinii a luminii: „Razele... se propagă în linie dreaptă şi se duc la infinit”. În continuare Euclid a analizat probleme geometrice de aplicare a acestei legi: formarea umbrei, obţinerea imaginilor cu ajutorul orificiilor mici, problema dimensiunilor aparente ale corpurilor şi determinarea distanţelor până la ele. În Catoptrica Euclid a menţionat că: „tot ce este vizibil se vede în direcţie rectilinie”. În tratatul menţionat a fost cercetată propagarea luminii de către corpuri.

Deşi multe din rezultatele din Elemente au fost descoperite de matematicienii de dinainte, una dintre realizările lui Euclid a fost să le prezinte într-un singur cadru, logic si coerent, pentru a putea fi uşor folosite. A fost inclus şi un sistem riguros de dovezi matematice ce constituie baza matematicii încă si astăzi, 23 de secole mai tarziu.

Pitagora

Pitagora (n. cca. 580 î.Hr. - d. cca. 500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. A fost şi conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiţia îi

36

atribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele. Ideile şi descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi.

Pitagora a fost un mare educator şi învăţător al spiritului grecesc i se spune că a fost şi un atlet puternic, aşa cum stătea bine atunci poeţilor, filosofilor (de exemplu, Platon însuşi) şi comandanţilor militari etc.

Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud, unde a întemeiat şcoala ce-i poartă numele, cea dintîi şcoală italică a Greciei antice.

Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuşi destul de bine cunoscută din lucrările lui Aristotel şi Sextus Empiricus, precum şi din lucrări ale pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuşi, nu se poate stabili cu precizie ce aparţine lui Pitagora şi ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte "pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora şi Legile morale şi politice ale lui Pitagora, existente şi în traduceri româneşti, aparţin unei epoci ulterioare.

Menelau

Menelau sau Menelaos (greaca veche: Μενελαος) a fost fiul lui Atreu - regele cetăţii Micene - şi al Aeropei şi fratele lui Agamemnon.

Teorema lui Menelaus este una din teoremele clasice ale geometriei afine: ,,Dacă punctele D,E şi F unt situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ale triunghiului ,(cel puţin unul în exteriorul laturii) rezultă că ele sunt coliniare dacă şi numai dacă are loc relaţia:

Teorema reciprocă:

37

Dacă A' aparţine lui BC, B' aparţine lui CA, C' aparţine lui AB şi dacă A', B', C' sunt situate două pe laturi şi unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor şi dacă

atunci punctele A',B',C' sunt coliniare.

38

ARHIMEDE (287-212 IHR.) Prof. Ţopană Monica,

Grup Şcolar Sf. Pantelimon

Savantul grec Arhimede (în greacă Αρχιμήδης Arhimedes; n. aprox. 287 î.Hr. în Siracusa, atunci colonie grecească, d. 212 î.Hr.) a fost unul dintre cei mai de seamă învăţaţi ai lumii antice. Realizările sale se înscriu în numeroase domenii ştiinţifice: matematică, fizică, astronomie, inginerie şi filozofie. Contributiile sale in geometrie au fost revolutionare iar metodele sale au anticipat calculul integral cu aproape 2000 de ani inainte de Newton si Leibniz. În anul 269 îHr, Arhimede se afla in Egipt, in Alexandria, pentru a studia în cel mai mare oras al vremii. Alexandria era un oraş al matematicienilor, dar şi al tuturor oamenilor de cultură. Arhimede şi-a făcut o mulţime de prieteni matematicieni, preţuindu-l în mod special pe Conon din Samos. Tot în Alexandria a trăit şi Euclid, un simbol al matematicii. În acea perioadă Euclid a scris unul din cele mai importante tratate ale vremii ,,Elementele”, tratat care l-a inspirat pe Arhimede in scrierile lui.

39

Încă din tinereţe, Arhimede a dat dovadă de preocupări tehnice ieşite din comun. El a inventat şurubul (melcul) lui Arhimede (sau şurubul fără sfârşit). Acesta a devenit foarte repede popular, fiind folosit pentru ridicarea apei din adâncimi sau pentru irigarea terenurilor. Se păstrează pâna azi o frescă descoperită la Pompei, în care mişcarea de rotaţie e imprimată prin intermediul unui cilindru, de un sclav, cu picioarele. Mai apoi a inventat multe dispzitive care au fost utilizate ca maşinării de război. Acestea chiar au fost folosite în momentul apărării Siracuzei, aunci când cetatea a fost atacată de oştile romane. E vorba în principal despre aplicaţii ale scripeţilor şi pârghiilor, despre enormele oglinzi plasate pe zidurile cetăţilor care în timpul unui asediu au fost întoarse astfel incât să reflecte razele soarelui asupra corăbiilor flotei romane. Căldura a fost atât de mare, încat unele nave au fost cuprinse de flăcări. O altă invenţie a lui Arhimede a fost catapulta. Altă maşină aruncă de pe fortificaţiile insulei grinzi mari de lemn care le găureau navele inamicilor. O altă maşinărie folosea carlige mari de fier, care apucau navele de prora, le ridicau în aer şi apoi le dădeau drumul în adâncurile mării. Datorită maşinăriilor inventate de Arhimede, romanii au încercat să cucerească Siracuza timp de doi ani. După o mulţime de încercări nereuşite, au găsit varianta de a le înconjura oraşul şi a împiedica aprovizionarea. În final, romanii au profitat de o porţiune mai puţin păzita a zidurilor oraşului şi l-au invadat. O altă invenţie a lui Arhimede au fost scripeţii compusi.Arhimede i-a spus regelui că dacă ar mai avea un alt glob pamântesc, ar putea să-l mişte pe acesta de aici, sprijinindu-se pe celălalt. Cu toate invenţiile lui mecanice, Arhimede iubea cu mult mai mult matematica pură. Arhimede a murit după ce Siracuza a fost asediată de romani. El nu a lasat nimic scris în ceea ce priveşte mecanismele inventate pentru a ţine romanii la distanţă. Ca şi matematician a avut contribuţii importante in geometrie. Cea mai importantă descoperire a sa a fost cea a relaţiei dintre suprafaţa şi volumul unei sfere şi cilindrul circumscris ei. Ideea de bază a lucrării “Despre sfera si cilindru”este că suprafaţa oricărei

40

sfere cu raza r este de patru ori cât a celui mai mare cerc al său şi că volumul unei sfere reprezintă două treimi din cel al cilindrului în care este inscrisă. Măsurarea cercului este un fragment dintr-o lucrare mai lungă, în care pi, raportul proporţie al circumferinţei la diametrul unui cerc este prezentat ca fiind între limitele 3*10/71 si 3*1/7.Aceasta lucrare contine,de asemenea, aproximari corecte ale rădăcinilor pătrate ale numărului 3 şi a altor numere mari. În “Despre echilibrul planurilor” a fost preocupat de stabilirea centrelor de gravitaţie ale diferitelor figuri plane rectilinii şi segmente ale parabolei si paraboloidului. Prima carte a sa avea drept scop să stabilească “legea parghiei”; datorită acestui tratat ,Arhimede a fost considerat fondatorul mecanicii teoretice.

Sunt cunoscute multe legende despre Arhimede. Ca şi marii matematicieni de mai târziu (Newton în special), când Arhimede era preocupat de o problemă de matematică, uita unde se află; chiar mai mult, uita să şi mănânce. Aşa, de pildă, într-o zi pe când făcea baie în apa mării îsi dădu seama că a descoperit celebra sa lege de hidrostatică: un corp scufundat în apă suferă din partea acesteia o presiune din toate părtile, care contrabalansează exact greutatea volumului de apă dezlocuit. Cel mai mare impact al lui Arhimede asupra matematicienilor de mai târziu a venit în secolele XVI,XVII odată cu tipărirea textelor traduse din greacă. Traducerea în latină a operelor complete facută în 1615 a avut o mare influenţă asupra unora din cei mai mari matematicieni din secolul XVII, iîn special a lui Rene Descartes şi a lui Pierre Fermat. Fără fundalul matematicienilor antici, dezvoltarea matematici este de neconceput.

41

DESPRE PIETRELE PREŢIOASE Prof. Doina Tănase

Culoarea pietrelor preţioase variază de la mereu popularul

roşu rubiniu pana la culoarea cameleonică a alexandritului. Cu toate acestea, fiecare piatră are propriile caracteristici în privinţa culorii, preţului, durabilităţii şi a calităţii. Pentru cele mai multe pietre preţioase preţul este dat de intensitatea culorii. - Pietre preţioase (Diamant, Rubin, Safir, Smarald, după unii inclusiv Alexandrit şi Opal Negru) - Pietre fine (Acvamarin, Opal, Alexandrit, Topaz, Granat, Zircon, Rodocrozit, Cuarţ fumuriu, Ametist, Citrin, Ametrin, Tanzanit, Brazilianit, Hiddenit, Kunzit, Cordierit, Epidot) - Pietre ornamentale (Jaderit, Nefrit, Turcoaz, Lapislazuli, Sodalit, Calcedonie, Agat, Jasp, Lemn silicifiat, Azurit, Malachit, Dioptazul, Charroit, Crizocol, Chiastolit, Fluorinaul, Fenacit, Serpentin) - Materii organice preţioase (Perle, Sidef, Coral, Chihlimbar, Fildes,Odontolit,Baga) Termenul generic pentru desemnarea tuturor acestora este acela de gema. Acesta mai desemneză cameele (pietre gravate în pozitiv) şi intaliile (pietre gravate în negativ).

DIAMANTUL

• Nici o altă piatră nu a exercitat o mai

mare putere de atracţie precum diamantul. • Numele provine din limba greacă

unde "adamas" înseamnă "invincibil". În lumea antică diamantul era o piatra rezervată zeilor şi regilor, şi se credea despre ea că dă tărie şi curaj în luptă, sau că

apără împotriva vrăjilor şi a nebuniei. Şi totuşi există o altă piatră cu o valoare mai mare decât a clasicului diamant, şi cu o şi mai mare putere de seducţie: diamantul pigmentat.

42

• Gama de culori include vişiniu violaceu, negru, cenuşiu pal, roz, galben, albastru şi verde. Cu cât mai intensă culoarea, cu atât mai mare valoarea. Un diamant care straluceşte în culori este atât de rar că valoarea sa poate fi mult mai mare decât a unui diamant incolor. Se estimează că doar unul la 10.000 de diamante naturale este colorat.

SAFIR

Descriere: varietate de corindon

(din aceeaşi clasă cu rubinul) Sinonim: în popor i se spune "zanfir" Culori: orice culoare cu excepţia roşului (care este rubinul) - bleu, roz, violet, alb,

galben, portocaliu, verde etc. Cel mai frecvent: bleu. Safirul alb (leucosafir) poate fi confundat cu diamantul sau cu turmalina. Safirul galben este numit topaz-safir sau topaz oriental. Compoziţia chimică: Oxid de Aluminiu-Al2O3 Luciu: sticlos, adamantin Duritate: 9 (din 10)

Safirul, varietatea albastră de corindon, era socotită piatra destinului, reprezentând înţelepciunea, curăţenia şi castitatea. Se credea ca are puterea de a atrage spiritele bune şi de a ocroti de mânia divină. Persanii credeau că pământul se află aşezat pe un safir imens a cărui reflecţie colorează cerul în albastru. . Safirele care conţin imperfecţiuni minore sunt tăiate sub formă de stea.

RUBINUL

Latinii îl numeau "ruber" (roşu ca

sângele) şi îl credeau capabil de a vindeca orice boală. De o culoare roşu intens care stârneşte pasiuni, rubinul simbolizează iubirea. Rubinul ascute simţurile, aprinde imaginaţia şi garantează sănătatea, înţelepciunea, bogăţia şi norocul in dragoste. Cu excepţia

43

diamantului, nu există piatră mai durabilă decăt rubinul. Valoarea unui rubin fără defecte o va depăşi pe cea a diamantului datorită rarităţii acestei pietre. Rubinul reprezintă zodia Racului

SMARALDUL

În greacă "smaragdos" înseamnă

verde, iar despre această piatră se credea că îi conferă purtătorului capacităţi de clar-viziune, că atrage norocul, menţine tinereţea şi simbolizează imortalitatea. Piatră a zeiţei Venus, în Evul Mediu simboliza virtutea şi se credea că dacă stăpânul cade în păcat, piatra

se sparge.

GRANATUL piatra lunii ianuarie

Etimologic, "granatum" înseamnă samanta, iar numele a fost dat datorită asemănării cu seminţele de rodii (grenadine). Granatul era folosit de către bijutierii egipteni

în anul 3100 î.C., iar spre sfârşitul secolului al IX-lea mai mult de jumătate din bijuteriile vândute în magazinele de specialitate constau în specii diferite de granat. Succesul său se poate datora şi varietăţii de culori pe care o prezintă, granatul apărând în orice culoare cu excepţia albastrului. Granatul simbolizează prietenia eternă şi încrederea şi este atribuit zodiei Vărsătorului.

AMETIST (CUARŢ VIOLET)

Nume: provine din grecescul "amethystus"

care are la bază cuvântul 'methy' = vin Descriere: Varietate violet de cuarţ, prezentând uneori striaţiuni ondulate sau concentrice, de culoare purpurie sau violet cu inserţii transparente sau albe.

44

Compozitie chimică: Dioxid de Siliciu cu inserţii de Mangan (SiO2 + Mn). Culoarea violet este dată de impurităţile de cupru şi mangan. Duritate: 7 (din 10). Luciu: sticlos. Culori: violet, mov, lila, culoarea de levanţică sau purpuriu, cu dungi albe sau transparente, în straturi succesive sau perfect transparent. Cea mai bună calitate o are ametistul complet transparent. Culoarea devine mai fadă în lumina solară intensă. Din istorie şi legendă: Se spunea că dacă se bea dintr-o cupă de ametist, se putea preveni intoxicarea şi vindeca beţia. Grecii credeau că această piatră aduce dragoste şi fericire şi protejează împotriva oricărui tip de intoxicaţie.

TOPAZUL GALBEN şi CITRINUL

pietrele lunii noiembrie

Topazul, piatra zodiacală a Sagetătorului, se credea că era aducătoare de noroc dacă era montată în aur. Era considerată piatră a prieteniei. Numele ei vine din sanscrita unde "tapas" înseamnă foc.

TOPAZUL ALBASTRU, TURCOAZUL, ZIRCONUL,

LAZURITUL şi TANZANITUL - pietrele lunii decembrie Egiptenii o considerau o amuletă împotriva rănirilor de orice

fel, deoarece se credea că a fost creată de însuşi Ra, zeul soarelui. Şi romanii aveau credinţe similare, deoarece asociau topazul cu Jupiter, de asemenea zeul soarelui. Legenda spune că avea puterea de a desface farmecele şi a îmbunătăţi vederea. Grecii credeau că are puterea de a te face nevăzut în caz de nevoie, că îşi schimbă culoarea în prezenţa mâncărurilor otrăvite, şi că vindecă insomnia, astmul şi hemoragiile.

Turcoazul, piatra zodiei Capricornului, era

piatra poeţilor, a scriitorilor şi a cavalerilor, aducea

45

noroc, ferea posesorul de accidente şi otrăvuri şi îşi schimbă culoarea în faţa unei primejdii. În realitate turcoazul îşi schimbă culoarea în contact cu epiderma şi săpunul, se decolorează la soare şi se repigmentează cu ajutorul amoniacului.

ONIX SI

ONIX DE PAKISTAN (ARAGONIT) Descriere: Varietate de agat fin, adesea cu striaţii de diferite

culori (albe, roşii, cenuşii). Cel mai frecvent: onixul alb şi negru. Varietăţi: onix negru, onix de marmură (alb), onix-carneol (alb cu roşu), onix arab (alb cu negru), onix mexican sau de Pakistan (aragonit), calcedonix (negru cu gri, albastru, alb), sardonix (negru cu roşu brun sau alb cu roşu brun)

Compoziţia chimică: Oxid de Siliciu (cuarţ)

Duritate: 7 (din 10) Luciu: sticlos Numele: provine din grecescul "onux" =

unghie Culori: alb, gri, maroniu, negru, gri, maro-roşcat, roşu-alb

CRISTAL DE STÂNCĂ [Sinonim: cuarţ transparent, diamant de Alaska, diamant

cehesc, cleştar] Descriere: Bioxid natural de siliciu

care se găseşte în roci în stare neconsolidată (ca nisip) sau în formă de cristale hexagonale transparente şi incolore (în stare pură) sau diferit colorate (când conţine şi substanţe străine). Este una

dintre cele mai răspândite minerale din lume, bine cunoscutele "flori de mină" au la bază cristale de cuarţ. Nisipul are o mare compoziţie de cuarţ, ca şi praful din aer. Cea mai cunoscută formă de cuarţ este cristalul, găsit oriunde în lume. Poate avea inserţii metalice.

Culoare: incolor transparent, cu inserţii albe sau metalice.

46

Numele: provine din grecescul 'krustallos' care înseamnă gheaţă.

Compoziţie chimică: SiO2. Duritate: 7 (din 10). Luciu: sticlos. Fapt divers: Cel mai mare cuarţ găsit vreodată avea 10 metri

lungime, de aproape 48 de tone. Globurile de cristal cu puteri magice sunt realizate din cristal de stâncă perfect transparent.

Varietăţi de cuarţ: există foarte multe tipuri de cuarţ, sub acest nume fiind clasată o întreagă categorie de cristale.

MALAHIT / MALACHIT

Descriere: mineral din aceeaşi clasă cu azuritul. Este găsit în minele de cupru, împreună cu azuritul.

Numele: provine din grecescul "malachos" însemnând "moale, fin" sau "molochitis" însemnând "de culoarea nalbei".

Culori: nuanţe de verde închis. Duritate: 3,5 - 4 (din 10). Formula chimica: Cu2CO3(OH)2. Luciu: sticlos, mătăsos, uneori sidefat sau adamantin Istorie: in Grecia antica, malachitul era talisman pentru copii.

In Evul Mediu era purtat ca protectie impotriva magiei negre si vrajitoriei

AGAT

Definiţie: Varietate de calcedonie fin stratificată, alcatuită din pături succesive divers colorate

Descriere: Varietate obişnuita de cuartz. Conţine minunate modele, în diverse culori, aşezate în dungi, datorate cristalelor microscopice formate în depozite colorate ca soluţii bogate în

siliciu, filtrate prin porii rocilor.

47

Varietati: agat de muşchi/agat muşchiform, agat de copac, agat de foc, lemn pietrificat, agat-carneol, agat - piele de tigru, agat dendritic, agat negru, agat nebulos, agat stelat

Notă: Poate fi confundat cu onixul sau jaspul.

Compozitia chimica: Dioxid de Siliciu (cuart)

Duritate: 6,5 - 7 (din 10) Luciu: sticlos

Culori: toate, dar cele mai frecvente sunt agatele albastre şi verzi.

Fapt divers: din agat se creau bijuteriile de camee. În vechime, agatei i se acordau calităţi magice. Se spunea că apără oamenii de pericol.

AMBRA / CHIHLIMBAR

Numele: provine din arăbeşte "al anbar" însemnand auriu. Descriere: Răşina fosilă divers colorată (mai ales în nuanţe de galben), provenită din mai multe specii de pini; fosilizată în urmă cu 50-60 milioane de ani. Este de natură organică la fel ca perla, coralul si jaisul.

Duritate: foarte mică - 1 - 2,5 (din 10) Formula chimica: C10H16O Luciu: sticlos Culori: galben ca mierea, transparent

sau opac, pur sau cu inserţii rosiatice, până la portocaliu. Uneori conţine bule de aer, cetină de brad, spori de muşchi, nuanţe precum violet, negru, albastru, roşu, verde, sau chiar insecte. Chihlimbarul verde este o varietate de chihlimbar galben supus unor tratamente termice.

Fapt divers: este numit AURUL NORDULUI. În vechime era purtat de samani şi vrăjitori, pentru că se spunea că are proprietăţi magice. Cea mai mare bucată de chilhlimbar descoperită vreodată cântărea 9 kg. Pudra de chihlimbar, arsa, emite un parfum uşor de pin, uneori este folosită în aromoterapie. Creştinii spuneau că dacă

48

găseşti o bucată de chihlimbar, primeşti dovada protecţiei lui Dumnezeu asupra ta.

Avertisment: este o piatra moale, deci nu purtaţi inele cu chihlimbar la curăţenie, spălat etc. A se evita contactul cu detergenţi, cosmetice. Este solubil în alcool, benzină şi eter.

CORAL

Descriere: Piatră provenită din

scheletul coloniilor de corali de pe fundul mărilor calde. Este deă organică la fel ca perla,

chihlimbarul şi jaisul. Compoziţia chimică: carbonat de calciu Ca CO3 Duritate: 2,5-3 (din 10) Luciu: poros Culoare: corai (portocaliu intens), alb, roşu, portocaliu,

negru, auriu. Varietăţi: coral alb, roşu, negru, roz. Coralul negru este

numit - regele coralilor Legendă: În vechile timpuri, era considerat purtător de puteri

talismanice, chiar fără adăugarea inscripiţiilor sau semnelor simbolice caracteristice talismanelor. Era folosit pentru vrăji împotriva focului şi naufragiului.

ALTELE: Piatra ţionala a Marocului

Perlele Criteriile de apreciere sunt: luciul,

netezimea, rotunjimea, mărimea şi culoarea. Suprafeţele lucioase reflectă lumina, iar o perlă cu un grad ridicat de strălucire va atrage privirile asemenea unui

diamant. Suprafaţa unei perle nu este perfect netedă. Mărimea, numărul şi amplasarea imperfecţiunilor nu

afectează doar frumuseţea perlei, ci şi preţul acesteia; cu cât perla prezintă mai multe imperfecţiuni, cu atât preţul ei scade. De-a lungul timpului perlele albe cu irizaţii roz au fost considerate cele mai

49

valoroase. Însă la achiziţionarea unei perle trebuie ţinut cont de culoarea tenului, a ochilor şi a părului celei care o va purta.

Forma unei perle se va evidenţia şi in preţul acesteia. Cel mai mare preţ este plătit pentru perlele de cultură rotunde. Perlele mari sunt mai rare, deci mai scumpe.

Bibliografie: -Editura GRUP EDITORIAL ART- Chimia pietrelor şi a metalelor preţioase - Luminiţa Irinel Doicin, Teodora Negrilă, Gina Vasile

50

COMBUSTIBILI ALTERNATIVI Elevii:Grădinariu Catalin-cls.XIIA

Costache Simona-cls.XIIA Profesor Coordonator: Doina Tănase Hidrogenul combustibilul viitorului

Combustibil pentru rachete În tehnica spaţială hidrogenul lichid este un combustibil

obişnuit pentru motoarele criogenice ale rachetelor, şi este stocat de exemplu în rezervorul de combustibil al rachetei de lansare (SSME) a navetelor spaţiale americane. În aceste motoare hidrogenul lichid este folosit întâi la răcirea ajutajului şi a altor părţi ale motorului, înainte de a fi amestecat cu oxidantul, de obicei oxigenul lichid (LOX), şi apoi ars. Din ardere rezultă apă, ozon şi apă oxigenată.

Combustibil pentru motoare cu combustie internă Cu mici modificări, motoarele cu

ardere internă pot fi adaptate pentru a utiliza hidrogen lichid drept combustibil. BMW H2R ("Hydrogen Record Car") cu o putere de 210kW (232CP) a atins 300km/h. Hydrogen 7 al aceleiaşi firme este construit cu un motor de 260 kW, 229 km/h şi 0 - 100km/h în 9.5 sec. Cu posibilitate dublă de alimentare benzină şi hidrogen. Acest lucru s-a realizat prin montarea unui rezervor de hidrogen lichid ceea ce a redus capacitatea compartimentului de bagaje de la 500 la 250 l. Hidrogenul înmagazinat permite o autonomie de 200km.

Introducere În UE transportul contribuie cu o

valoare estimată de 21% din totalul emisilor de gaze cu efect de seră.

Petrolul fosil este principala sursă de energie care asigură în proporţie de 98% necesarul de combustibili pentru transport.

Şoferii pot reduce considerabil aceste impacturi: Alegând vehicule mai nepoluante

51

Conducând mai eficient în majoritatea cazurilor aceste măsuri pot duce la:

Economii financiare, beneficii de mediu Ce sunt Biocombustibilii?

Biocombustibili (Biodiesel, Bioetanol, Biogaz )

Biocombustibilii sunt combustibili derivaţi din diverse ale biomasei, plante material, uleiuri vegetale reciclate sau deşeuri

Biodiesel/bioetanol Pot înlocui complet combustibilul diesel/petrol convenţional

respectiv Utilizarea Biocombustibililor

• Pot fi utilizaţi în amestec cu combustibilul diesel/petrol în diferite proporţii:

• Motoare care nu solicită modificări pentru a utiliza amestecuri de 5%

• Bioetanolul poate fi utilizat ca: • E85 (85% etanol, 15% petrol) pentru Vehicule pe

Combustibil Flexibil • Pentru a promova utilizarea biocombustibililor, numeroase

state membre contează pe scutiri de taxe pe combustibil. De ce să promovăm Biocombustibilii?

Pentru a promova utilizarea biocombustibililor, numeroase state membre contează pe scutiri de taxe pe combustibil.

Obţinerea Biocombustibililor în Europa: – Grăsime animală – Ulei alimentar rezidual – Floarea soarelui Există o varietate largă de tipuri de materii prime ce pot fi

folosite pentru producerea biodieşelului. Deoarece tipul de materie primă influenteaza considerabil caracteristicile combustibilului, sunt uzuale diferenţe în ce priveşte calitatea şi emisiile.

52

Biocombustibili: Bioetanol, Biodisel Puncte tari:

• pret redus, scutiri de taxe • costuri reduse sau adaptarea staţiilor de

alimentare • opţiuni în ce priveşte amestecurile

Puncte slabe: • Oferta limitate de vehicule OEM • Insuficienta staţiilor de alimentare

Este gazul natural un combustibil alternativ? • Gazul natural • Gazul natural ca şi combustibil

alternativ:calităţile produsului de ardere nepoluantă

• Trebuie depozitat în stare comprimată(CNG) sau lichefiată(LNG)

• Gaz natural comprimat(CNG) • Gaz natural lichefiat(LNG)

Metanul:Gaz natural,Biogaz Puncte tari: • Cost redus, scutiri de taxe • Emisii reduse • Resurse domestice Puncte slabe: • Cost ridicat al staţiilor de realimentare • Ofertă limitată de vehicule OEM • Insuficienţa statiilor de alimentare • Cost iniţial mai ridicat al vehiculelor

Ce sunt HEV? • Vehicule hibride electrice(HEV) • Automobilul hibrid:motor,baterie şi

motor cu combustie interna. • Hibridele se vând ca premium,comparativ cu echivalentele

lor non hibride, dar pot aduce mari economii de combustibili în operare.

53

Bibliografie

-www.wikipedia.ro -www.didactic.ro

54

Alfabetul grec a fost creat după modelul alfabetului fenician. Acesta este folosit în limba greacă.

Alfabetul grec stă la originea unor alfabete ce au devenit celebre : etrusc, care a dat naştere alfabetului latin ; chirilic ; gotic. Cuvântul român alfabet provine de la primele două litere ale alfabetului grec : alpha (α) şi bêta (β) care la rândul lor provin de la primele două litere ale alfabetului ebraic, alef şi bet.

Alfa

Beta Gama Delta Epsilon Tzeta Eta

Teta Iota

Kapa Lambda Miu Niu Csi

Omicron Pi Ro Sigma Tau u ipsilon Fi Hi

Psi

Omega

55

PREGĂTIRE PENTRU BACALAUREAT

CÂTEVA ASPECTE PRIVIND CAPITOLUL POLINOAME CU

COEFICIENŢI REALI Împărţirea polinoamelor Teorema de împărţire cu rest: , [ ]f g C X g 0, ][, XCrq astfel încât rqgf , cu gradggradr . Polinomul f se numeşte deîmpărţit, g împărţitor, q cât, iar r rest. Exemplu: Fie polinoamele 1852 345 XXXXf şi 32 Xg . Să determinăm câtul şi restul împărţirii lui f la g.

1852 345 XXXX 32 X

52X 36X 32 23 XXX 1834 XXX q 4X 23X 183 23 XXX 3X X3 153 2 XX 23X 9 105 X r

Deci câtul este 32 23 XXXq , iar restul 105 Xr . Formula împărţirii cu rest se scrie,în acest caz astfel: 5 4 3 2 3 22 5 8 1 ( 3)(2 3)

( 5 10).X X X X X X X X

X

56

Pentru cazul particular când g este de gradul I, se pot folosi şi teorema restului şi schema lui Horner. Exemplu: Utilizând schema lui Horner, să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului 1852 34 XXXf şi binomul 2X . Deci câtul şi restul împărţirii sunt 1222 23 XXXq şi

23r . Algoritmul lui Euclid

Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun al polinoamelor: 442 234 XXXXf şi 323 XXXg . Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărţim pe f la g.

XXXXXXXX

3442

234

234

323 XXX

X 43 2 XX

Pentru a evita coeficienţii fracţionari, vom înmulţi în prealabil pe g cu 3 şi restul împărţirii cu –1. împărţim acum împărţitorul la rest:

XXX

XXX43

933323

23

43 2 XX

X 972 2 XX X

2

4X 5

3

X

0

2X 8

X

1

0X

2 5 2 21

0 2( 1)2

8 2( 2)12

1 2( 12)23

3b 2b 1b 0b r

57

Acum, pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari, vom înmulţi pe 43 2 XX cu 2 şi continuăm operaţia.

27216

8262

2

XXXX 972 2 XX

3 1919 X Am obţinut restul 1919 X . Pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari, vom împărţi restul cu –19 şi împărţim împărţitorul la rest.

XX

XX22

9722

2

1X

92 X

99

99

X

X

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul 1X şi deci 1),( Xgf .

Relaţiile lui Francois Viete Fie 01

11 ... aXaXaXaf n

nn

n , un polinom de grad n.

Dacă nxxx ,...,, 21 sunt rădăcinile lui f, atunci:

58

11 1 2

22 1 2 1 3 1 1 2

1 2 1 2 1 1 1 2

...( 1)

... ...( 1)

.................................................................................

... ... ... ...

nn

n

nn n n

n

k k k k n k n k

aS x x xa

aS x x x x x x x xa

S x x x x x x x a a a

01 2

( 1).................................................................................

...( 1)

n kn k

n

n nn

aa

aP x x xa

Teoremă Fie ][XQf . Atunci dacă bax 1 este rădăcină pentru f, cu ,a Q b R Q , atunci bax 2 este rădăcină pentru f şi x1 şi x2 au aceeaşi multiplicitate. Exemplu: 264 234 XXXXf

2121 21 xx este rădăcină.

)12(

))(()21)(21(2

21212

XXfxxXxxXfXXf

31)22)(12( 4,3

22 xXXXXf

Fie ][XZf şi ecuaţia 0)( xf 0... 01

11 aXaXaXa n

nn

n

59

Teoremă Dacă f admite o rădăcină de forma qpx 1 , Zqp , ,

atunci 0/ ap şi naq / . Dacă 1na , atunci px 1 . Exemplu: Fie 04852 234 XXXXf admite soluţia

1/,4/1 qpqpx . Deci }4;2;1{1 x

Împărţind succesiv polinomul la posibilele radacini, obţinem: )12)(2)(2( 2 XXXXf

QRxxx 21;2;2 4,321 Probleme rezolvate 1. Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia 022234 XmXXX ştiind că admite rădăcina i1 . Soluţie: Dacă )1)(1(0)1(0)1( iXiXfifif

)22()11( 22 XXfiiXiXiXXXf

234

234

222

XXXnXmXXX

222 XX

XXXnXmXX

222)2(

23

23

mXX 2

mmXmXnmX

222

2

nmmX 22

00

022nm

nmmX

Dacă ixxxXXxqm 1;1;01,0)(0 43

2 .

60

2. Să se arate că polinomul 3424144 dcba XXXX , cu

),,,( Ndcba este divizibil prin 123 XXX Soluţie: ))()(1(123 iXiXXXXX

01111)1()1()1()1()1( 3424144 dcbaf

011()()()()(1)()()()()( 2443424144

iiiiiiiiiiiif cbdcba

011)( 3424144 iiiiiiif dcba Dacă

)1(0)1(

0)(0)(

233424144

XXXXXXXf

ifif

dcba

3. Restul împărţirii polnomului

4332 45212223 XXXXXf la 12 X este: ) 0a ; )b X ; ) 7 7c X ; ) 149 135d X .

Soluţie: )1)(1(12 XXX

rxQXXXXXX )()1(4332 245212223 Fie o rădăcină a ecuaţiei 012 X 101 22

23 22 21 5 4 2 11 2 11 2 10

2 2

( ) 2 3 3 4 ( ) 2( ) 3( )( ) 4 2 3 3 1 4 7 7

r f

Deci restul împărţirii lui f la 12 X este 77 X . R:c). 4. Fie 19921 ,...,, xxx rădăcinile ecuaţiei 0510199 XX . Atunci

suma 199199

1992

1991 ... xxxS are valoarea: a. 1000S ; b. 995S ; c. 0S ; d. 50S .

Soluţie:

61

Dacă 19921 ,...,, xxx sunt rădăcini, atunci fiecare din ele verifică ecuaţia:

0510

05100510

199199199

21992

11991

xx

xxxx

199 199 1991 2 199 1 2 199... 10( ... ) 5 199

10 0 995 995x x x x x x

Deci răspunsul este b). Probleme propuse

1. Fie 33 XXf cu rădăcinile 321 ,, xxx şi 12 XXg cu rădăcinile 21 , yy .

)()( 21 yfyf este: a. 5; b. 7; c. 9; d. 1.

2. )()()( 321 xgxgxg este: a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.

3. Să se determine Rm , ştiind că ecuaţia 0323 XmXX are rădăcinile în progresie aritmetică.

4. Polinomul ][XQf are gradul 5 şi

1)21()1()0( fiff . Atunci suma rădăcinilor lui f este: a. 0; b. –1; c. 3; d. 4.

5. Se consideră funcţia RRf : , 9)( 2 XXxf . Suma )50(...)2()1( fff este:

a. 89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000. 6. Se consideră funcţia RRf : ,

2)1()1()( 2 mXmXmxf cu 1\Rm . Soluţiile 1x şi

2x ale ecuaţiei 1)( xf , pentru m=2 verifică relaţia 2004

220041 xx . Atunci este:

62

a. 1; b. i; c. 2; d. 1-i. 7. Se consideră polinoamele 33 XXf , cu rădăcinile

321 ,, xxx şi 12 XXg , cu răd. 21 , yy . Restul împărţirii lui )23( Xg la 2X este:

a. 7; b. 5; c. 1; d. –1. 8. Rădăcina reală a lui f este situată în intervalul: a. )1,0( ; b. )1,2( c. )1,1( ; d. )3,1( .

63

Probleme rezolvate

Clasa a IX-A Rezolvarea problemei P.2 din nr. 1/decembrie 2010 Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia

4x2+y2-4x+4y-5=0 Soluţie: Scriem sub forma 4x2-4x+1+y2+4y+4=10, de unde prin restrângere

avem că

(2x-1)2+(y+2)2=10. Singurele cazuri posibile sunt :

I. (2x-1)2=9 şi (y+2)2=1, de unde reiese că 2x-1= 3 şi y+2= 1,

deci în acest caz avem soluţiile :

21

xy

,

11

xy

,

23

xy

şi

13

xy

.

II. (2x-1)2=1 şi (y+2)2=9, de unde reiese că 2x-1= 1 şi y2= 3. Prin

urmare mai obţinem soluţiile :

11

xy

,

15

xy

,

05

xy

şi

01

xy

.

Muscalu Constantin, cls. IX C

Clasa a X-a Rezolvarea problemei P.13 din nr. 1/decembrie 2010 Să se rezolve ecuaţia:

228

107

2

CC xx

Soluţie: Ecuaţia are sens dacă:

xx 7100 2 , adică xx 0102 şi 01072 xx

5;2;2

;9;4 21212

xx

abxxacb

64

Deci 5,4,3,2,5,2 xxx Folosind formula combinărilor complementare

knn

kn CC , observăm că :

2628

228 CC deci 287 x şi

26102 x , adică 5,4,3,24x

Soluţia ecuaţiei este .4x Lixandru Mihai, cls. XII A

Clasa aXI-a Rezolvarea problemei P.15 din nr. 1/decembrie 2010

Demonstraţi că şirul de numere reale (an)n 1, unde an=

n

k k1 21 este

monoton şi mărginit. Soluţie:

Se observă că prin majorare avem an=

n

k k1 21 < an=1+

2

11

n

k k( k ) =

1+ 2

1 11

n

k( )

k k

=1+1- 1

n=2- 1

n<2. Şirul este mărinit inferior de 0

şi superior de 2.

Pentru a studia monotonia lui calculăm an-an+1= - 211( n )

,0, deci

şirul este strict crescător. Ştirbu AnneMarie, cls. XI A

Clasa a XII-a Rezolvarea problemei P.23 din nr. 1/decembrie 2010 Fie ( C, + ) grupul aditiv al numerelor complexe. Să se arate că

:f C C unde ( )f z z este automorfism de grupuri. Soluţie:

zzfCCf ,,,: este automorfism de grupuri dacă: 1) f este bijectivă

65

2) f este morfism de grupuri: Czzzfzfzzf 212121 ,)(,

1) demonstrăm f bijectivă. i) f injectivă dacă 212121 ,, zzzfzfCzz Fie 1 2,z a bi C z c di C

21

21

22

11

zzdc

cadbca

dicbiazfzfdiczzf

biazzf

ii) f surjectivă dacă CzCy , a.î. yzf

yzyzyzzzf Deci yzCz ,

2) 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f z z z z z z f z f z Nicolae Ştefan, clasa a XII-a A

Rezolvarea problemei P.20 din nr. 1/decembrie 2010 Fie mulţimea şi aplicaţia

A) Arătaţi că B) Arătaţi că „*” este lege de compoziţie pe M. C) Studiaţi proprietăţile legii de compoziţie „*” pe mulţimea M. Soluţie:

66

A)

B) „*” este lege de compoziţie pe M dacă :

Fie , adică

Atunci deci

Adunând cu ambii membri, obţinem ,

adică , deci ,

C) I. „*” este ascociativă pe M dacă :

„*” este asociativă pe mulţimea M deoarece adunarea şi înmulţirea

numerelor reale din M sunt comutative

67

II. „*” este comutativă pe M dacă :

„*” este comutativă pe M deoarece adunarea şi înmulţirea numerelor reale din mulţimea M sunt comutative.

III. „*” admite element neutru pe mulţimea M daca:

astfel încât .

„*” este comutativă

este elementul neutru

IV. M are elemente simetrizabile în raport cu legea „*”.

astfel încât , unde

„*” este comutativă

68

pentru că

Deci toate elementele sunt simetrizabile în raport cu legea „*”. Prin urmare, putem spune că este grup abelian.

Târzioriu George Gabriel, clasa a XII-a A

69

,2,2,,42

xmxxxx

Probleme propuse

Clasa a IX-a P.24 Fie ecuaţia ax2-(2ª-1)x+a+2=0, unde a este un parametru real. Determinaţi valoarea sa astfel încât ecuaţia să admită două solutii reale strict mai mari decât 1. P. 25 Fie (an)n

*N o progresie arimetică şi (bn) n*N o progresie

geometrică de raţie q. Calculaţi în funcţie de a1, b1, r şi q valoarea

sumei S=

n

i i

i

ba

1

.

P. 26 Demonstraţi că parabolele asociate familiei de funcţii de gradul al doilea fm(x)=(m-1)x2+(2m-1)x-3m+6=0 trec printr-un punct fix. P.27 Rezolvaţi ecuaţia (x+1)+(x+2)+...+(x+99)=5148 P. 28 Măsurile unghiurilor unui triunghi dreptunghic sunt în progresie aritmetică. Dacă ipotenuza are lungimea a aflaţi perimetrul şi aria triunghiului. P. 29 Suma a trei numere în progresie geometrică crescătoare este 26. Dacă la aceste numere se adaugă 1, 6 respectiv 3 se obţine o progresie aritmetică. Să se afle numerele.

Clasa a X-a

P.30 Fie f: R R, f(x)= Determinaţi m R astfel încât funcţia să fie bijectivă. P.31 Fie funcţia 2)(),,0[,0: xxff şi funcţia

xxgg )(,,0,0: Compuneţi cele două funcţii.

70

Ce se observă? Mai puteţi da exemple şi de alte funcţii asemănătoare? P.32 Arătaţi că funcţia xxxf 3)( 3 este strict descrescătoare pe (-1,1). P.33 Fie 2: , ( )f R R f x x , demonstraţi că funcţia este convexă. Verificaţi convexitatea studiind graficul funcţiei. P.34 Folosind graficul funcţiei : (0, ), ( ) 2xf R f x trasaţi graficul funcţiei | |

1 1: (0, ), ( ) 2 xf R f x . P.35 Calculaţi x, y R , astfel încât: a) (3x+i)(-2+yi) =1-2i b) (x+iy)(y+xi)=i P.36 Calculaţi: a) 32 ni b) niiiiz ........1 32 c) niiiz .......1 2 P.37 Fie iz 211 , iz 22 , iz 543 . Calculaţi:

a) 12

21

zzzz

b)

1

3

2

1

zz

zz

c) 12

21

zzzz

P.38 Calculaţi:

a) 2

212

ii b)

4

331

ii c)

nn

ii

ii

11

11

P.39 Demonstraţi că dacă 2121 ,, zzCzz , atunci numărul

21213 zzzzz este imaginar.

Clasa a XI-a

P.40 Dacă AM3(R) astfel încât A At, atunci demonstraţi că rang(A-At) =2. P.41 Calculaţi determinantul matricei adjuncte A*, ştiind că matricea AMn(R) are determinantul egal cu d, unde d R*.

71

P.42 Calculaţi determinantul cba

cba2cos2cos2cos

coscoscos111

.

P.43 Dterminaţi numerele reale a, b astfel încât

0)bax2x2x1xx(lim 22x

.

P.44 Pentru calculul limitei xxxx

x cossinlim

se poate folosi teorema

lui L’Hospital? Aflaţi valoarea limitei.

P.45 Calculaţi x

xx 2

1]3[lim

.

P.46 Calculaţi 0a,)(lim ina....aa

0xtgx1tgx

ntgx

2tgx

1

Clasa a XII-a

P.47 Fie Rf ,0: , 91852)( 2

2

xx

xxxf

a) Determinaţi Rcba ,, astfel încât 9

)( 2

x

cbxxaxf ,

b) Calculaţi dxxf )( P.48 Calculaţi integralele :

a) 1

20

123 1

x dxx , b)

2

2 21

8(2 2)

x dxx , c)

1

20101

sinln( 1)

x dxx

P.49 Să se calculeze

dxxf

xfxfxf2

2

)()(')()('' pentru funcţiile

Rf ,0: , următoare: a) 2

1)(x

xf , b) )ln()( 3xxf

P.50 Se dau polinoamele baXXXXf 234 54 , 22 Xg XRgf , . Să se determine a, b astfel încât restul

împărţirii polinomului f la g să fie 13 Xr

72

P.51 Fie 2,2G şi xyyxyx

4

)(4 .

a) Să se rezolve ecuaţia: 54

111

xx

b) Găsiţi QGba , , astfel încât Qba P.52 Fie 19921 ,...,, xxx rădăcinile ecuaţiei 0510199 XX .

Calculaţi suma 199199

1992

1991 ... xxxS .

P.53 Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia 022234 XmXXX ştiind că admite rădăcina i1 . P.54 Fără a calcula integrala, să se arate că:

a) 0)3(3

0

2 dxexx x ;

b) 1

0

1

0

1 1222

edxedxee xx .

P.55 Arătaţi că funcţia f:[-2,2]→R, f(x)=

]2,1(,1]1,2[,12

xxxx

este

continuă pe [-2,2] şi calculaţi

2

2

)( dxxf .

P.56 Să se calculeze 2

45

1

( )1lim

n

n n

xdxnx

.

73

Ochiul ne păcăleşte

Prof. Rodica Plesnilă În imaginea de mai jos, „şmecheria” cu lupa e de efect, dar

are două greşeli de logică (şi, cumva, şi de fizică), le-aţi observat? Aştept răspunsurile voastre!

74

TERMODINAMICĂ 1 2 3 4 5 6 7 8 1

2

3

4

5

6

7

8

Orizontal: 1) Incălzire fără dilatare. 2) 10%. 3) Mod de examinare - Acoperă o cutie. 4) Excesiv de caldă. 5) Dispozitiv de ridicare cu motorul oprit. 6) Grade Réaumur şi Fahrenheit! - Nu duce lipsă. 7) Robert ... are o relaţie - Unitate de timp. 8) Puterea transformării adiabatice. Vertical: 1) Curbe de egală temperatură. 2) Temperatura absolută minimă - Trimite documente. 3) Vorbă lipsită de caldură - Young Poe. 4) Servesc la deplasare - Di Caprio, pentru prieteni. 5) Inventator al motoarelor – Dacă, renunţ la vocale! - În numele lui Carnot! 6) A repune în funcţiune un motor defect. 7) Stat exportator de materie primă pentru benzină şi motorină. 8) Exprimă randamentul.

75

Rebus matematic (propus de Sandu Ana Maria, cls. a XI-a A)

1. Un tablou cu m linii şi n coloane 2. Matematician 580-506 inainte de Hristos 3.Unghi cu măsura de 90 de grade 4.Triunghi cu toate laturile egale 5. Noţiune primară a matematicii desemnând o colecţie de obiecte,numite elemente 6. Trei sau mai multe puncte situate pe aceiaşi dreaptă se numesc puncte…. 7. Se numeşte şi număr raţional 8. Semnul matematic care indică operaţia de extragere a rădăcinii de ordinul n dintr-un număr dat 9. Este semidreapta care pleacă din vârful unui triunghi şi împarte unghiul în părţi egale 10. Distanţa de la centru la un punct de pe cerc se numeste….

76