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1
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Come affrontare il progetto di un componente sollecitato contemporaneamente da un carico statico e da una sollecitazione ciclica?
2
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
È molto importante, quindi, valutare l’effetto sulla durata di una tensione costante sovrapposta ad una sollecitazione di fatica alterna simmetrica, per la quale sia disponibile la curva di Wöhler.
Le prove di fatica, come si è detto, vengono effettuate in genere con cicli a media nulla (R= –1).
Nella pratica costruttiva accade molto di frequente che le sollecitazioni cicliche siano caratterizzate da una tensione media, non nulla, di trazione o di compressione.
I dati riportati nella figura rappresentano una serie di prove effettuate con diversi valori della tensione media.
Come si vede la σadecresce all’aumentare della tensione media di trazione.
Quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σmprima di sentirne l’effetto e diminuire.
Tra i dati sono riportati solo quelli per i quali la rottura è avvenuta ad un particolare numero di cicli, uguale per tutti.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
a
m
N
N = costante
Relazione lineare di Goodman:
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
RR SS
1R
m
N
a
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
3
a
m
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
1S
m
N
a
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
N
N = costante
Relazione lineare di Soderberg:
RR SS
a
m
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
12
R
m
N
a
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
N
N = costante
Relazione parabolica di Gerber:
RR SS
4
a
m
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Si possono immaginare diversi modelli che riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.
122
R
m
N
a
Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.
N
N = costante
Relazione ellittica:
RR SS
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Dati sperimentali relativi a due diversi materiali sovrapposti ai modelli di Goodman e di Gerber.
Acciaio
Alluminio
Goodman
Gerber
Goodman
Gerber
5
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
Tra i modelli descritti, si utilizza quello lineare di Goodmanperché rappresenta in modo sufficientemente accurato la realtà ed è di semplice applicazione.
È anche utilizzato il modello lineare di Soderberg che ha il vantaggio di essere più conservativo rispetto a quello di Goodman.
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Area di sopravvivenza ad N cicli (Goodman)
In accordo con l’evidenza sperimentale
non c’è riduzione della σa in caso di tensione statica di compressione.
1
1
R
S
1
R
S
N
a
R
m
1R
m
N
a
1S
m
N
a
Area di sopravvivenza ad N cicli (Soderberg)
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
N cicli
σ
t
6
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
7
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
σmax
σmedio
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
σmax
σmedio
8
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
a
Nlog
N
N
Curva di Wöhler(R= –1)
Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σR
σR
σmax
σmedio
σmin
N cicli
σ
t
σmax
σmedio
σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
Costruzione del diagramma di Goodman Smith per un numero N di cicli.
N cicli
All’interno dell’area di sopravvivenza: vita superiore ad N cicli
Sulla linea di bordo:vita di N cicli
All’esterno dell’area:vita inferiore ad N cicli
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σmax
σmin
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σS
σS
-σS
-σS
Costruendo il diagramma per un numero maggiore di cicli N si avrà una tensione σN minore.
N cicliσR
σR
σN
-N
-σN
σN
σmin
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
σS
σS
-σS
-σS
Costruendo il diagramma per un numero minore di cicli N si avrà una tensione σN maggiore.
N cicliσR
σR
σN
-σN
σmax
σmedio
10
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
NSm SN
σmedio
zona a) SNmS
zona b) 0 mSN σmin
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
Nel punto indicato dal cerchio giallo il valore della tensione media vale:
quindi:
σmax
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
σmedio
zona a) S min
zona b) mN min
σmin
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
Nm min
Nelle zone a) e b), relative ad uno stato di compressione media, il valore della tensione minima di picco può essere espresso come segue:
Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.
σmax
σmedio
11
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
NR
NSRm
σmin
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
rNS
1
R
Nr
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto dall’equazione della retta passante per i punti:
RR
N
yx
yx
22
11 0
Sm yx ?
Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.
σmax
σmedio
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
σmin
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
zona c)r
NSm
10
zona d) SmNS
r
1
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto dall’equazione della retta passante per i punti:
Nelle zone c) e d) il campo di validità della tensione media è dato da:
Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.
σmax
σmedio
RR
N
yx
yx
22
11 0
Sm yx ?
12
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
A tale scopo conviene suddividerlo in
quattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.
N cicli
σmin
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
ab
c d
45°
σmedio
zona c)R
NRmN
max
zona d) S max
mN r 1max
Il valore della tensione massima di picco è dato da:
Il diagramma di Goodman Smith può espresso in forma analitica per un uso agevole nel calcolo a fatica.
σmax
σmedio
RR
N
yx
yx
22
11 0
Sm yx ?
Nel punto indicato dal cerchio giallo il
valore di σmedio può essere ottenuto dall’equazione della retta passante per i punti:
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
mN r 1max
S max
rNS
m
1
0
SmNS
r
1
SNmS
0 mSN
S min
Nm min
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della tensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Tensione massima / minima
2minmax
mRicordando la definizione di tensione media: è possibile riscrivere
le due prime relazioni in termini di tensione massima, invece che di tensione minima.
maxmin 2 m
13
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
mN r 1max
S max
rNS
m
1
0
SmNS
r
1
SNmS
0 mSN
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della tensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Tensione massima
Nm max
Sm 2max
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith
mN r 1max
S max
rNS
m
1
0
SmNS
r
1
SNmS
0 mSN
Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:
Campo di validità della tensione media
zona a)
zona b)
zona c)
zona d)
Condizione di danneggiamento:
Nm max
Sm 2max
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Effetto della tensione media sulla vita a fatica
I diagrammi Master (di Weyrauch e Kommerell)
Una diversa forma di presentazione dell’interazione tra resistenza ad una sollecitazione ciclica e ad un carico statico è quella dei cosiddetti “diagrammi Master”.
σm
ass
ima
σminima
R = 0R = -1 R = 1R = -0.5 R = 0.5A = 1 A = 0A = ∞
σR
σN1
σN2
N1 < N2
N1 N2
minmax minmax
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
15
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master
16
a
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
a
m
Il piano di Soderberg
1N
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
R
1N
1N
a
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
a
m
Il piano di Soderberg
1N
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
2N
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
R
2N
2N
1N
1N
17
a
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
a
m
Il piano di Soderberg
1N
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Haig o di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
2N
3N
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
R
2N
2N
1N
1N
3N
3N
a
m
Il piano di Soderberg
1N
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
m
a P
2N
3N
mR
NNa
Per un qualsiasi punto P sul segmento la si può esprimere come segue:
N Ra
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
S
S R
rNS
1
In modo analogo a quanto è stato fatto sul diagramma di Goodman Smith si evita di superare la tensione di snervamento del materiale.
La linea rossa rappresenta il limite elastico.
18
a
m
N
RSr
NS
1
m
a P
Limitando l’area con un segmento σN σS si restringe ulteriormente il campo di progetto, andando a favore della sicurezza, e la relazione precedente può essere modificata.
mS
NNa
Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il piano di Soderberg
Per un qualsiasi punto P sul segmento la si può esprimere come segue:
N Ra
mR
NNa
Nell’area verde il componente ha una vita superiore ad N
Sulla linea blu la vita è esattamente N
All’esterno della linea blu la vita è inferiore ad N
L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentata
anche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm
ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.
σmax
σmin
σmedio
σN
-σN
σS
σS
σR
σR
-σS
-σS
N cicli
Effetto della tensione media sulla vita a fatica
La stessa semplificazione può essere rappresentata sul diagramma di Goodmann Smith:
19
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
F
F
A
Fn
Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
F
F
A
Fn
Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.
F
F
Zona di concentrazione delle tensioni
nlocale k
k dipende dalla forma dell’intaglio
20
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale
Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dellìintaglio immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nella zona di intaglio nasce uno stato di tensione triassiale
Per capire meglio come si sviluppa lo stato triassiale lo stato di tensione nell’intorno dell’intaglio immaginiamo ora di rendere trasparente la lamiera.
Per l’effetto Poisson questa zona tenderebbe a contrarsi, ma non può farlo per congruenza con il materiale circostante.
La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
21
Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno dell’intaglio e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Nella vista dall’alto la contrazione laterale dei parallelepipedi appare evidente
Imponendo la congruenza
Prima dell’applicazione del carico
Dopo applicazione del carico
Per comprendere come nasce la triassialità si immagini ora di rimuovere la congruenza nell’intorno dell’intaglio e considerare il materiale come una serie di parallelepipedi contigui caricati da forze assiali.
22
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per effetto della contrazione laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.
Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.
La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
Il fattore di triassialità dello stato di tensione
Per effetto della contrazione laterale impedita nascono le componenti trasversali dello stato di tensione.
Il cilindro rappresenta la zona nella quale si manifesta la triassialità.
Effetto dell’intaglio sullo stato di tensione.
La curva rappresenta l’andamento dello stato di tensione nell’intorno dell’apice del difetto.
23
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Molti organi meccanici hanno, per motivi funzionali, una forma che provoca effetti locali di intaglio.
Naturalmente si cerca di ridurre al massimo la severità dell’intaglio con raggi di raccordo ampi, per quanto possibile.
Tuttavia, come mostrano gli schizzi in figura, spesso non è possibile evitare le brusche variazioni di forma e la tensione locale può raggiungere valori pari ad oltre 3÷4 volte la tensione nominale.
ntK
max
Fattore di intaglio teorico
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
x
y
x
y
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
Fattore di intaglio
yy
xTensione nominale
24
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.
ntK
max
Nel caso di foro circolare (di piccole dimensioni rispetto a quelle della piastra) il fattore di intaglio vale 3.
3
Fattore di intaglio
y
x
1
2
3
4
R
Tensione nominale
max
Nel caso più generale di lastra piana con un foro ellittico il massimo valore della tensione dipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.
b
an 21max
a
n 21max
Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è
a
b2
per cui si ha:
Il fattore di intaglio quindi vale:
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
a
Kt 21
Fattore di intaglio
25
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
E
EK s21
sE = modulo secante
Il comportamento plastico del materiale può ridurre il fattore di concentrazione della tensione.
Ne risulta, tuttavia, incrementato il fattore di concentrazione della deformazione.
E
EKK s
tP 11 (foro circolare)
Fattore di intaglio
sE
E
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
ntK
max
Nei casi più complessi si ricorre a diagrammi che forniscono il fattore di intaglio in base al tipo di carico applicato ed alle caratteristiche geometriche salienti.
Fattore di intaglio
26
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
14.0d
r
7.1tK
5.1d
D
ntK
max
Fattore di intaglio
5.1tK
16.0d
r
2.1d
D
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
ntK
max
2.1tK
16.0d
r
2.1d
D
27
Effe
tto d
elle
con
cent
razi
oni d
i ten
sion
e su
lla v
ita a
fatic
aFattori di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Torsione Flessione Torsione Flessione Torsione Flessione
1,3 1,6 1,3 1,3 1,6 2,01,6 2,0 1,6 1,6 2,4 3,0
Ricotto
Temprato
Incastrata AmericanaDrittaCondizione del
materiale dell'albero
Tipo di chiavetta o linguetta
Fattori di intaglio per un albero sede di una cava per chiavette o linguette
Torsione
1,4 1,7
Flessione
Fattori di intaglio per un alberosede di collegamento forzato
28
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Nel progetto di un componente che sarà sollecitato a fatica è necessario curare il disegno in modo tale che, pur assicurando la funzionalità, sia minimo il fattore di intaglio.
L’intensificazione locale della tensione è maggiore dove le linee isostatiche sono maggiormente addensate.
Fattore di intaglio
Miglioramento
Effe
tto d
elle
con
cent
razi
oni d
i ten
sion
e su
lla v
ita a
fatic
a
Curare il disegno per rendere
minimo il fattore di intaglio.
29
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Effetto dei fori ausiliari sul fattore di intaglio.
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
30
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglio
31
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.
Fattore di intaglioE
ffetto
del
le c
once
ntra
zion
i di t
ensi
one
sulla
vita
a fa
tica
Curare il disegno per rendere
minimo il fattore di intaglio.
32
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
La sensibilità all’intaglio.
1
1
t
e
K
Kq
I materiali metallici sono più o meno sensibili alla presenza di un intaglio.
Può essere definito un fattore di sensibilità all’intaglio, definito come segue:
dove Ke rappresenta il fattore effettivo di intaglio, mentre Kt indica, come sempre, il fattore teorico di intaglio.
r
q
1
1Il fattore q può essere calcolato come segue:
Dove è una caratteristica del materiale ed r è il raggio di raccordo
(Neuber)
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Andamento del parametro in funzione della tensione di rottura del materiale
33
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
r
q
1
1
Per elementi cilindrici a sezione circolare
dR
S 27.11108.5
3
valida in mm
dove d è il diametro del componente.
Il fattore q si trova in letteratura espresso anche da una relazione leggermente differente:
può essere dato dalla relazione:
br
aq
1
1
Un’altra espressione di q è quella di Haywood:
dove: a è una costante funzione del materiale
b dipende dal tipo di intaglio
b =1
M M
M M
b =0.35
b =0.26
M M
r è il raggio di raccordo
Tipo di materiale a (mm)^0.5
Acciai al C
Leghe di Magnesio
0,328
0,151
0,353
0,453
0,222
Acciai legati
Leghe di Rame
Leghe di Alluminio
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
34
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Valore di q in funzione del raggio di raccordo r
35
11 te KqK
Il fattore effettivo di intaglio può dunque essere espresso dalla relazione:
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.
Il fattore effettivo di intaglio è applicabile ai materiali duttili nel caso di sollecitazione ciclica
Per i materiali fragili si applicherà sempre il valore teorico del fattore di intaglio:
tK
Ciò equivale a considerare, per tali materiali la massima
sensibilità all’intaglio: q = 1
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica
Valore del fattore di intaglio applicabile
Materiali duttili
Materiali fragili
Sollecitazionestatica
Sollecitazioneciclica
1
Kt Kt
Ke
Fattore di intaglio
36
Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio
Nel caso di materiali duttili, il fattore di intaglio effettivo andrà applicato solo alla parte alterna della sollecitazione.
eaintaglioa K
1 mintagliom
Ke aa
t
mintagliom
Sollecitazione realeapplicata al componente con intaglio.
Sollecitazione amplificataapplicata ad un componente privo di intaglio.
aem K max
max
Effetto delle dimensioni sulla vita a fatica
σN reale= b1 * σN
Diametro (mm)
Fat
tore
di c
orre
zion
e b 1
D
37
Effetto della finitura superficiale sulla vita a fatica
a = lucidatura fine Ra ≈1 μmb = lucidatura media Ra ≈1.5÷2 μm c = rettifica fine Ra ≈2.5÷6 μm d = rettifica media Ra ≈6÷16 μm e = sgrossatura buona Ra ≈100÷160 μm f = sgrossatura normaleg = grezzo di laminazione h = con corrosione in acqua dolce i =con corrosione in acqua di mare
σN reale= b2 * σN
σN reale= b1* b2 * σN
Ni
irealeN σbσ
Considerando anche il coefficiente relativo alle dimensioni si ha:
In generale si può scrivere:
Fat
tore
di c
orre
zion
e b 2
Carico di rottura (kgf / mm2 )
Il coefficiente di sicurezza
a
mR
N
Si consideri il comportamento a fatica rappresentato sul piano di Soderberg:è possibile definire il limite di danneggiamento e la relativa area di sopravvivenza.
m
a P
mR
NNa
ma max
Limite N 1 N
R
m
Ricordando l’espressione della σa in funzione della σm :
N cicli
Si può calcolare la tensione massima di ciclo σmax :
mmR
NN
38
Il coefficiente di sicurezza
a
mR
N
m
a
Un qualsiasi punto P all’interno dell’area sottesa dal segmento N R
può giungere al limite tramite un incremento di moppure tramite un incremento di aoppure variando entrambi i valori.
che è rappresentato da una coppia di valori maN cicli
P
Il coefficiente di sicurezza
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
m
a
Per fare ciò possono essere definiti due coefficienti di sicurezza, XF per la parte ciclica e XS per la parte statica della sollecitazione che stabiliscano i rispettivi valori ammissibili per le sollecitazioni.
Stabilire un coefficiente di sicurezza, in questo caso, equivale a tracciare un secondo segmento, interno all’area di sopravvivenza, che stabilisca il confine “ammissibile”della sollecitazione a fatica con media non nulla.
P
Nel progetto di un organo meccanico si impone che il punto Psi trovi sul segmento individuato dalle tensioni ammissibili.
Nella verifica il punto P dovrà trovarsi all’interno dell’area in verde.
F
N
XF
0S
R
XS
0
ma P
N cicli
39
Il coefficiente di sicurezza
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
In base al valore limite della tensione massima di ciclo, calcolato prima:N cicli
Limite N 1 N
R
m
0 N
XF
1 NXS
XF R
m
è possibile definire il valore ammissibile della tensione massima di ciclo:
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
FS XX X
Il coefficiente di sicurezza
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
In base al valore limite della tensione massima di ciclo, calcolato prima:N cicli
Limite N 1 N
R
m
è possibile definire il valore ammissibile della tensione massima di ciclo:
0 N
XF
1 NXS
XF R
m
La tensione ammissibile può dunque essere riscritta: 0 N
X 1
N
R
m
Per semplicità di calcolo, si assume in genere lo stesso valore per i due coefficienti di sicurezza:
FS XX X
40
La relazione di progetto
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
N cicli
0 N
X 1
N
R
m 0
N
X 1 r m
R
Nr
Ricordando la definizione di r :
Per tenere conto delle reali condizioni del componente da progettare è necessario introdurre i vari coefficienti di riduzione delle prestazioni del materiale,
quali ad esempio b1 che tiene conto delle dimensioni
e b2 che tiene conto della finitura superficiale:
0 b1b2 LF
X 1 b1b2r m
0 b1b2 N
X 1
b1b2 N
R
m
Nel caso di progetto a vita infinita la relazione può essere riscritta come segue:
La relazione di progetto
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
N cicli
Nel caso in cui sia concentrazione di tensione, dovuta ad un intaglio, la tensione massima vale:
mR
NN bbX
bb
21
210 1
aem K max
Dal confronto tra la tensione massima applicata e la tensione ammissibile, ne deriva una semplice relazione di progetto:
m Ke a b N
X 1 b
N
R
m
Ke a brm b LF
X
La relazione di progetto può essere ulteriormente semplificata nel caso
di vita infinita (r = σLF / σR ) :
i
ibbdove si è indicato sinteticamente:
La tensione ammissibile vale:
41
La relazione di progetto
a
mR
N
F
N
X
S
R
X
N cicliLa relazione di progetto può essere scritta anche in base al modello di Soderberg, più conservativo, sostituendo
alla σR la σS :
m Ke a b N
X 1 b
N
R
m
m Ke a b N
X 1 b
N
S
m
S
S
S
X
La relazione di progetto
N cicliRappresentazione grafica della relazione di progetto (Soderberg)
ma f a
m
a
m S
S
S
X
F
N
X
N
Soluzione progettuale
m Ke a b N
X 1 b
N
S
m
X b N
Ke a b N
R
m
Progetto
Verifica
42
La relazione di progetto
Rappresentazione grafica di una procedura di calcolo della durata
N cicli
a
m
a
m R
S
R
X
N
Soluzione progettuale (d, F)
F
N
X
N
N
a
Nlog
Curva di Wöhler(R= –1)
Durata
N Ke a
bX b
m
R
Esempio di calcolo
B
H1H2
r
F
L1L2
Fmax = 6 kN
Fmin = -2 kN
Specifica:
Il supporto è soggetto ad un carico Fvariabile nel tempo ciclicamente.
Verifica della resistenza a fatica
Materiale: Acciaio C40
σR = 710 MPa σS = 500 MPa σLF = 280 MPa
Dimensioni: B = 20 mmH1 = 60 mmH2 = 72 mmL1 = 200 mmL2 = 50 mmr = 4.8 mm
Coefficiente di sicurezza minimo: XS = 1.4 Durata: illimitata
Condizione di finitura della superficie del supporto: rettifica media
F
t
Fmax
Fmin
43
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
Calcolo delle tensioni
B
H1H2
r
F
L1L2
ASezione di incastro A
f
ff W
M
22
216
HB
LLF
MPa
HB
LLFf 8.86
072.002.0
05.02.060006622
2
21maxmax
MPa
HB
LLFf 9.28
072.002.0
05.02.020006622
2
21minmin
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
Calcolo delle tensioni
B
H1H2
r
F
L1L2
ASezione B
B
44
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
H1H2
r
F
L1L2
AB
Calcolo delle tensioni
Sezione B
In questa vista è più evidente la posizione della Sezione B
Esempio di calcolo
Verifica della resistenza a fatica
Calcolo delle tensioni
B
H1H2
r
F
L1L2
ASezione B
B
f
ff W
M
21
16
HB
LF
MPaHB
LFf 100
06.002.0
2.060006622
1
1maxmax
MPaHB
LFf 3.33
06.002.0
2.020006622
1
1minmin
La sezione B è la più sollecitata, anche senza tenere conto del fattore di intaglio.
Quindi per la verifica sarà considerata solo la sezione B.
45
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
H1 = 60 mmH2 = 72 mmr = 4.8 mm
r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20
Determinazione del fattore di intaglio teorico:
K t = 1.8
Esempio di calcolo
0.08
r / H1 = 0.08
H2 / H1 = 1.20
46
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Determinazione del fattore di intaglio teorico:Verifica della resistenza a fatica
H1 = 60 mmH2 = 72 mmr = 4.8 mm
r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20
K t = 1.8
Fattore di sensibilità all’intaglio:
r
q
1
1
1
327.1
1108.5HR
S
1287.060
27.11
710
500108.5
3
86.0
8.41287.0
1
1
11 te KqKCalcolo del fattore di intaglio effettivo:
7.1688.118.186.01 eK
Questa relazione non è valida per le sezioni non circolari ma, in prima approssimazione, possiamo accettarla:
Esempio di calcolo
H1 = 60 mm
60
b1 = 0.74
Determinazione dei fattori b1(dimensioni) e b2 (finitura superficiale)
47
Esempio di calcolo
R = 710 MPa
710
finitura della superficie: rettifica media
curva d
b2 = 0.88
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
b2 = 0.88
b1 = 0.74
K e = 1.7
2minmax
a
σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
MPa7.66
2
3.33100
2minmax
m
MPa3.33
2
3.33100
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
È necessario ancora calcolare σa e σm :
48
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
X
bbrK LF
mae
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
b = b1· b2 = 0.74 ·0.88 = 0.6512
r = σLF / σR = 280 / 710 = 0.3944
σLF = 280 MPa
3.333944.06512.07.667.1
2806512.0
X 49.19.121
3.182
Essendo richiesto dalla specifica
XS ≥ 1.4il componente rispetta
la specifica
b2 = 0.88
b1 = 0.74
K e = 1.7 σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
σm = 33.3 MPa
σa = 66.7 MPa
dove:
mae
N
brK
bX
Esempio di calcolo
B
H1H2
rF
L1L2
Verifica della resistenza a fatica
X
bbrK LF
mae
A questo punto è possibile utilizzare la relazione
r = σLF / σS = 280 / 500 = 0.56
σLF = 280 MPa
b2 = 0.88
b1 = 0.74
K e = 1.7 σmax = 100 MPa
σmin = – 33.3 MPa
I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:
σm = 33.3 MPa
Se si utilizza la retta di Soderberg il
rapporto r sarà calcolato diversamente:
di conseguenza il coefficiente di sicurezza risulterà modificato.
3.3356.06512.07.667.1
2806512.0
X 45.15.125
3.182
Il componente è ancora in specifica
mae
N
brK
bX
σa = 66.7 MPa
49
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
mS
NN bX
b
10aem K max
2aem K
22 4 e
È molto frequente nelle costruzioni meccaniche che la sollecitazione di fatica si sviluppi in uno stato piano di tensione.
Ipotesi.
Componenti di tensione non nulle: σ e τ
Nel caso monoassiale la verifica di resistenza è data dal confronto tra le quantità:
Tensione massima di lavoro
Tensione ammissibile
Ammettendo valido il criterio di Tresca, la tensione equivalente, nel caso siano presenti solo le
componenti σ e τ del tensore tensione, assume la forma:
Nel caso di tensione piana la tensione di lavoro deve essere espressa da una quantità scalare equivalente, la quale possa essere confrontata con la tensione ammissibile monoassiale.
2aem K
Le componenti di tensione, essendo la sollecitazione di fatica, possono essere espresse in termini di valore medio ed alterno.
Inoltre deve essere considerato l’effetto del fattore di intaglio.
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
TL
L
SL
L
0
TL
L
SL
L
0
L’esperienza ha dimostrato che nel caso di sollecitazione di fatica il rapporto tra le
tensioni limite σL e τL è diverso da quello osservato nel caso statico.
2
TL
L
Il valore teorico di tale rapporto previsto dalla teoria di Tresca vale:
Nel caso della fatica il rapporto tra le tensioni limite può essere determinato sperimentalmente e risulta:
2
SL
L
Può essere introdotto un coefficiente in modo tale da porre l’eguaglianza:
σ0 che è noto come “coefficiente di Bach”può quindi essere definito come:
E se si considera applicabile il criterio di Tresca si ha:
SL
L
2
1
50
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
mSe
N
e
NL K
bK
b
1
mSe
N
e
NL K
bK
b
1 m
Se
N
e
N
mSe
N
e
N
Kb
K
b
Kb
K
b
1
1
2
10
202
max 4 aemaem KK
I valori sperimentali delle tensioni limite, ottenuti per un numero di cicli N oppure a vita infinita, se il materiale presenta limite di fatica, sono dati dalle seguenti espressioni:
quindi σ0 è calcolato dal rapporto
Può dunque essere calcolata la tensione equivalente, intesa come valore massimo di una tensione ciclica monoassiale la quale crea nel componente in esame lo stesso danno della sollecitazione reale, in un numero stabilito di cicli N.
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
2
02
max 4 aemaem KK
La relazione di progetto o di verifica a fatica nel caso di stato di tensione piano è la seguente
mS
NN bX
b
10
Tensione equivalente massima di lavoro Tensione ammissibile
mS
NNaemaem
b
X
bKK
14
2
02
Relazione di progetto
51
Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione
321
Come procedere nel caso più generale di stato triassiale di tensione?
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
aaaaaaaaaaeqv 31322123
22
21
Caso in cui le tensioni principali abbiano media nulla:
X
b N 0
Tensione equivalente alterna di lavoro Tensione alterna ammissibile
aeqv
1
2 xa
ya 2
ya za
2 za
xa 2
6 xya
2 yza
2 xza
2 Tensione equivalente alterna di lavoro
Metodo di Sines:
mmmeqv zyxm
Tensione equivalente media di lavoro
Le tensioni medie di taglio non influenzano la resistenza a fatica
Caso in cui lo stato di tensione non sia a media nulla:
2minmax xx
xa
52
aeqv
1
2 xa
ya 2
ya za
2 za
xa 2
6 xya
2 yza
2 xza
2 Tensione equivalente alterna di lavoro
Tensione equivalente media di lavoro
Metodo di von Mises:
Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione
meqv
1
2 xm
ym 2
ym z
m 2
zm x
m 2
6 xym
2 yzm
2 xzm
2
SEQA 2
13
4Q2 1
3
2Q2 cos2
9
16Q4
Metodo SEQA:
σ =Tensione normale alterna dovuta alla flessione
2Q τ =Tensione tangenziale alterna dovuta alla torsione
φ =angolo di fase tra i valori massimi di flessione e torsione