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2º Simulado Comentado –
EEAR
Matemática
2º Simulado Comentado – EEAR Matemática
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Questões Resolvidas
Questão 49
Sabendo que Q é o ponto de encontro da reta 𝒔: 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟕 = 𝟎 com a reta r que é perpendicular à s e passa por P (1,1). Determine a distância entre os pontos P e Q.
a) 7√58
29
b) 5√58
29
c) 7√29
29
d) 5√29
29
Comentário:
𝑟: 𝑦 = −5
2𝑥 + 𝑐
Mas P (1,1) passa por r, então:
1 = −5
2+ 𝑐 ∴ 𝑐 =
7
2
Agora iremos determinar o ponto Q.
Basta encontrarmos o ponto de encontro de:
{2𝑥 − 5𝑦 + 7 = 02𝑦 + 5𝑥 − 7 = 0
Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 5, obtemos:
29x – 21 = 0 ∴ 𝑥 = 21
29
E assim, 5𝑦 = 42
29+ 7 ∴ 𝑦 =
49
29
Portanto, a distância entre os pontos é de:
𝑑 = √(21
29)2 + (
49
29)2 = 7
√58
29
Gabarito: A
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Questão 50
Considere o sistema a seguir:
{𝑎 = 𝑥3 − 3𝑦2𝑥
𝑏 = 3𝑥2𝑦 − 𝑦3
Determine, o valor de x+yi em função de “a” e de “b”.
a) √𝑎 − 𝑏𝑖
b) √𝑎 + 𝑏𝑖
c) √𝑎 − 𝑏𝑖3
d) √𝑎 + 𝑏𝑖3
Comentário:
Perceba que ao fazermos a operação: a + bi, obtemos:
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦𝑖 + 3𝑥(𝑦𝑖)2 + (𝑦𝑖)3
Ou seja, 𝑎 + 𝑏𝑖 = (𝑥 + 𝑦𝑖)3
Portanto, 𝑥 + 𝑦𝑖 = √𝑎 + 𝑏𝑖3
Gabarito: D
Questão 51
Seja a = log3 2 e b = log3 100. Determine o resultado da expressão: (log 2)+2
log 3 em função de “a” e “b”.
a) 𝑎 ∙ 𝑏
b) 𝑎 − 𝑏
c) 𝑎 + 𝑏
d) 𝑎+2
𝑏
Comentário:
Perceba que a expressão possui os logaritmos na base 10, então devemos mudar a base dos
logaritmos existentes em “a” e em “b”.
Assim,
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𝑎 = log 2
log 3 𝑒 𝑏 =
2
log 3
Portanto, a expressão vale: a + b.
Gabarito: C
Questão 52
Calcule o determinante da matriz abaixo:
(
1 2 4 81 3 9 271 4 16 641 5 25 125
)
a) 2
b) 3
c) 6
d) 12
Comentário:
Perceba que a matriz é uma matriz de vandermonde, cujo determinante é facilmente calculado
com a diferença entre os termos, dois a dois, da segunda coluna. Assim,
Det = (3-2)(4-2)(4-3)(5-2)(5-3)(5-4) = 12
Gabarito: D
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Questão 53
Determine o conjunto solução da inequação a seguir:
3𝑥2 − 21𝑥 + 30
𝑥2 − 11𝑥 + 28 ≤ 0
a) {[2,4[ ∪ [5,7[ }
b) {(2,5)}
c) {(2,4) ∪ (7, ∞)}
d) {(−∞, 2) ∪ (4,5)}
Comentário:
Devemos resolver separadamente os componentes da inequação e depois fazer a união das
condições.
Assim,
3𝑥2 − 21𝑥 + 30 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 2 𝑒 5.
𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 5 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 2 < 𝑥 < 5 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜.
𝐴𝑖𝑛𝑑𝑎, 𝑥2 − 11𝑥 + 28 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 4 𝑒 7.
𝐷𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 7 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 4 < 𝑥 < 7 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜.
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑎 𝑓𝑖𝑚 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑖ã𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠,
𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜: { [2,4[ } ∪ { [5,7] }
Gabarito: A
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Questão 54
Determine o valor do segmento BD, sabendo que o segmento AB vale 8 unidades de comprimento, o segmento AC vale 12 unidades de comprimento e o segmento BC vale 15 unidades de comprimento e que os ângulos assinalados em vermelho são iguais.
a) 4
b) 6
c) 9
d) 12
Comentário:
Utilizaremos o teorema da bissetriz interna. Assim,
Chame BD = x, então:
8
𝑥=
12
15 − 𝑥∴ 𝑥 = 6
Gabarito: B
Questão 55
Determine a quantidade de anagramas para a palavra REAÇÃO. Considere que o “ã” é diferente do “a”.
a) 120
b) 240
c) 360
d) 720
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Comentário:
Como há diferença entre o “ã” e o “a”, então devemos fazer a permutação como se todas as letras
fossem diferentes, então há 6! anagramas, ou seja, 720.
Gabarito: D
Questão 56
Determine o volume de um prisma hexagonal regular sabendo que sua altura é igual a raiz positiva da equação a seguir: 5𝑥2 − 13𝑥 − 6 = 0 e que o circulo inscrito ao hexágono da base possui diâmetro igual a 12.
a) 64√3
b) 90√3
c) 162√3
d) 256√3
Comentário:
A equação dada possui como raízes 3 e −2
5, assim o valor da altura do prisma é 3.
Como há um circulo inscrito ao hexágono da base, temos que o lado do hexágono é igual ao raio
da circunferência, pois os triângulos formados ligando os pontos do hexágono ao centro da
circunferência são todos equiláteros. Assim, o lado do hexágono é igual a 6.
Portanto, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura do prisma. A área da base pode
ser entendida como 6 triângulos equiláteros de lado igual a 6. De modo que:
𝑉 = 66∙6∙√3
4∙ 3 = 162√3
Gabarito: C
Questão 57
Sabendo que 𝑧3 = 1 e que 𝑧 ≠ 1. Determine o valor de: 𝑧 + 𝑧−1 + 𝑧2 + 𝑧−2.
a) 0
b) 1
c) -1
d) -2
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Comentário:
𝑧3 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧2 + 𝑧 + 1) = 0
Como 𝑧 ≠ 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0.
Assim, a expressão é dada por: 𝑧3+𝑧1+𝑧4+1
𝑧2=
2(𝑧+1)
𝑧2= 2
(−𝑧2)
𝑧2= −2
Gabarito: D
Questão 58
Seja um triângulo ABC tal que o segmento AB é igual a 12√3 unidades de comprimento e o segmento AC é igual a 12 unidades de comprimento, bem como o ângulo B é igual a 30°. Determine a área desse triângulo.
a) 144√3 𝑢. 𝑎.
b) 72√3 𝑢. 𝑎.
c) 48√3 𝑢. 𝑎.
d) 36√3 𝑢. 𝑎.
Comentário:
Seja BC = x
Aplicando lei dos cossenos temos que:
122 = (12√3)2 + 𝑥2 − 2𝑥 ∙ 12√3 cos 30°
Assim, obtemos:
𝑥2 − 36𝑥 + 288 = 0
De modo que, x = 24, pois x = 12 ocasionaria em um absurdo entre os ângulos e os lados do
triângulo.
Perceba então que temos um triângulo retângulo e que a área pode ser dada por:
𝑆 = 12 ∙ 12√3
2= 72√3
Gabarito: B
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Questão 59
Calcule o valor da expressão:
𝑆 = cos 10° ∙ cos 50° ∙ cos 70°
a) √3
8
b) 1
8
c) √2
8
d) √6
8
Comentário:
Perceba que temos um exemplo do resultado clássico:
cos 𝑥 cos(60 − 𝑥) cos(60 + 𝑥) =cos 3𝑥
4
É fácil perceber, pois:
cos(60 − 𝑥) = cos 60 cos 𝑥 + sin 60 sin 𝑥 = cos 𝑥
2+
√3 sin 𝑥
2
cos(60 + 𝑥) = cos 60 cos 𝑥 − sin 60 sin 𝑥 =cos 𝑥
2−
√3 sin 𝑥
2
Cujo produto tem como resultado: (cos 𝑥)2
4−
3(sin 𝑥)2
4=
(3−4 (cos 𝑥)2)
4
Ao multiplicar por cosx, obtemos no numerador exatamente o valor de cos3x.
Assim, o resultado esperado é: 𝑐𝑜𝑠30°
4=
√3
8
Gabarito: A
Questão 60
A respeito do sistema de equações a seguir, marque a alternativa correta.
{3𝑥 + 𝑎𝑦 = 5𝑥 + 2𝑦 = 𝑏
a) Se a = 6 e b = 5
2, então o sistema é impossível.
b) Se a = 6 e b = 5
2, então o sistema é possível e determinado.
c) Se a = 6 e b ≠5
2, então o sistema é possível e indeterminado.
d) Se a ≠ 6 e b ≠5
2, então o sistema é possível e determinado.
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Comentário:
A fim de analisar a classificação do sistema, devemos observar a matriz dos coeficientes:
D = (3 𝑎1 2
)
Se 𝑑𝑒𝑡𝐷 ≠ 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜.
Se detD = 0, temos um sistema impossível ou um sistema possível e indeterminado,
dependendo do valor de b.
Assim, para 𝑎 ≠ 6, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑆. 𝑃. 𝐷, o que torna a afirmativa D correta.
Gabarito: D
Questão 61
Seja tan (𝑥
2) =
1
3, defina o valor da expressão: sen²x –
16
25 tan²x:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 2
Comentário:
sen x = 2sen (𝑥
2)cos(
𝑥
2) = 2[
𝑠𝑒𝑛(𝑥
2)
cos(𝑥
2)]×[cos²(
𝑥
2)] =
[2𝑡𝑎𝑛(𝑥
2)]
1+tan²(𝑥
2)
Substituindo o valor de tan(𝑥
2) na fórmula anterior e na equação do arco duplo da tangente,
temos que sen x = 3
5 e tan x =
3
4.
Logo o valor da expressão é (3
5)² - (
16
25)∙ (
3
4)2 = 0.
Gabarito: C
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Questão 62
Na figura a seguir, A, B, C, D e E são pontos da circunferência, com o segmento PA tangente à circunferência. Sabe-se que P, E e C estão alinhados, bem como os pontos D, O e B. Determine o
valor da operação 𝑥
𝑦.
a) 3
2
b)3
c) 9
2
d) 9
Comentário:
Das propriedades das secantes e tangentes aos círculos, temos que:
PA² = PE × PC ↔ (2√6)² = 3 × (x+3) ↔ x = 5
Ainda por essas propriedades, temos:
EO × OC = DO × OB ↔ 5 × 3 = y × 27 ↔ y = 5
9
Portanto: 𝑥
𝑦=
55
9
= 9
Gabarito: D
Questão 63
Sendo f(x) = x² + 8x – 1 e g(x) = x - 3 funções definidas no conjunto dos reais, determine os valores de b e c, respectivamente, de modo que f(g(x)) = x²-bx +c.
a) -2 e -16
b) 2 e -16
c) -2 e 16
d) 2 e 16
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Comentário:
f(g(x)) = (x-3)² +8(x-3) – 1 ↔ f(g(x)) = x² + 2x -16 ; mas f(g(x)) = x² - bx + c.
Logo, por assimilação de coeficientes, temos que b = -2 e c = -16.
Gabarito: A
Questão 64
Em uma determinada urna, são inseridas 13 bolas numeradas de 1 a 13. Sabendo disso, determine qual dos casos a seguir apresenta maior probabilidade de ocorrência, quando uma das bolas é retirada da urna.
a) número primo par
b) número primo
c) múltiplo de 5
d) múltiplo de 3
Comentário:
a) números primos pares = {2} ↔ P(a) = 1
13
b) números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13} ↔ P(b) = 6
13 (Maior probabilidade)
c) múltiplos de 5 = {5, 10} ↔ P(c) = 2
13
d) múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12} ↔ P(d) = 4
13
Gabarito: B
Questão 65
Se 4𝑎 + 18, 30 𝑒 6𝑎 − 30 são as três medidas, em unidades de comprimento, dos lados de um triângulo, assinale a alternativa que apresenta intervalo com todos os valores que 𝑎 pode assumir:
a) ]15, 32[
b) ]42
10, 39[
c) ]9, 39[
d) ]9, 16[
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Comentários
Se essas são as medidas dos lados de um triângulo, então a desigualdade triangular nos garante que qualquer lado é menor que a soma dos outros dois:
4𝑎 + 18 < 30 + 6𝑎 − 30 ⇒ 6𝑎 − 4𝑎 > 18 ⇒ 2𝑎 > 18 ⇒ 𝑎 >18
2⇒ 𝑎 > 9
30 < 4𝑎 + 18 + 6𝑎 − 30 ⇒ 6𝑎 + 4𝑎 > 30 + 30 − 18 ⇒ 10𝑎 > 42 ⇒ 𝑎 >42
10⇒ 𝑎 > 4,2
6𝑎 − 30 < 30 + 4𝑎 + 18 ⇒ 6𝑎 − 4𝑎 < 30 + 30 + 18 ⇒ 2𝑎 < 78 ⇒ 𝑎 < 39
Assim, fazendo a interseção dos intervalos de 𝑎 emoldurados acima, o intervalo permitido de 𝑎 é:
9 < 𝑎 < 39 = ]9, 39[
Gabarito: C
Questão 66
Um triângulo isósceles de base 5cm e perímetro 18cm mede ______ cm² de área.
a) 15
b) 21
c) 18
d) 24
Comentários
O triângulo é isósceles de base 5, o que significa que os dois outros lados medem o mesmo valor, que iremos chamar de 𝑥. Portanto, pelo perímetro dado:
𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 18 = 5 + 2𝑥 ⇒ 2𝑥 = 18 − 5 = 13 ⇒ 𝑥 =13
2
Portanto, fazendo o desenho desse triângulo isósceles, e traçando a sua altura, sabemos que toca no ponto médio da base, por ser um triângulo simétrico, como mostra a figura:
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Portanto, podemos achar a altura 𝐵𝐻 relativa à base 𝐴𝐶 do triângulo usando o teorema de Pitágoras em 𝐴𝐵𝐻 (ou em 𝐵𝐻𝐶):
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐻2 + 𝐵𝐻2 ⇒ (13
2)
2
= (5
2)
2
+ 𝐴𝐻2
⇒ 𝐴𝐻2 =169
4−
25
4=
144
4⇒ 𝐴𝐻 = √
144
4=
12
2= 6
Portanto, a base mede 𝐴𝐶 = 5 e a altura mede 𝐵𝐻 = 6. Portanto, sua área é:
Á𝑟𝑒𝑎 =𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐻
2=
5 ⋅ 6
2= 15 𝑐𝑚²
Gabarito: A.
Questão 67
Seja um triângulo equilátero de apótema medindo 3√3 cm. A área do círculo cujo raio é igual ao lado desse triângulo é:
a) 144𝜋
b) 81𝜋
c) 324𝜋
d) 256𝜋
Comentários
Sabemos que o apótema é o segmento que parte do centro do triângulo equilátero e vai até o ponto médio de um lado do triângulo, sendo perpendicular a esse lado. O centro do triângulo é também incentro (encontro das bissetrizes) e, portanto, podemos construir a seguinte figura:
Veja que 𝑂𝐴 é bissetriz, por isso divide o ângulo interno ∠𝐵𝐴𝐶 = 60° em dois ângulos iguais a 30°. Sendo assim, no triângulo 𝑂𝐴𝐻:
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tan 30° =3√3
𝐿2
=6√3
𝐿⇒ tan 30° , =
6√3
𝐿
⇒ tan 30° =√3
3=
6√3
𝐿⇒ 𝐿 = 18
Assim, o lado do triângulo mede 18 cm. Assim a área do círculo de raio igual a 18 é:
Á𝑟𝑒𝑎𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋182 = 324𝜋
Gabarito: C
Questão 68
O conjunto solução em 𝑥 para a inequação:
1
4< sin2 𝑥 <
3
4
Para 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, é:
a) ]−√3
4, −
1
2[ ∪ ]
1
√2,
√3
2[
b) ]−√3
2, −
1
4[ ∪ ]
√2
2,
√3
2[
c) ]−√3
2, −
1
√2[ ∪ ]
1
2,
√3
4[
d) ]−√3
2, −
1
2[ ∪ ]
1
2,
√3
2[
Comentários
Resolvendo a inequação da esquerda:
𝑠𝑒𝑛2𝑥 >1
4⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
1
4> 0 ⇒ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
2) (𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
1
2) > 0 ⟺ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −
1
2 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥 >
1
2
Pois os termos do produto acima precisam ser ambos de mesmos sinais. Daí:
⇒ −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −1
2 𝑜𝑢
1
2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 1
Resolvendo a inequação da direita:
𝑠𝑒𝑛2𝑥 <3
4⇒ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
3
4< 0 ⇒ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
√3
2) (𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
√3
2) < 0
⇒ −√3
2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 <
√3
2
Pois o produto dos termos entre parênteses tem que ser negativo e, por isso, eles precisam ter sinais diferentes.
Como as desigualdades da direita e da esquerda precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo:
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−√3
2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < −
1
2 𝑜𝑢
1
2< 𝑠𝑒𝑛 𝑥 <
√3
2
Escrevendo em notação de união de intervalos:
]−√3
2, −
1
2[ ∪ ]
1
2,√3
2[
Gabarito: D
Questão 69
Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura de 6 cm e volume igual a 18 cm³. Sabendo que uma esfera possui um raio de mesma medida que a base hexagonal da pirâmide, então a área total da superfície dessa esfera é:
a) 8√3𝜋
b) 4√3𝜋
c) 6√3𝜋
d) 2√3𝜋
Comentários
O volume de uma pirâmide é dado por:
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
Sendo que, nesse caso, a base é um hexágono regular e a altura é dada, mede 6cm. Sabemos que um hexágono regular (polígono de 6 lados iguais e ângulos internos iguais) é composto por 6 triângulos equiláteros de mesmo lado que o hexágono. A área de um triângulo equilátero de lado 𝐿 é:
Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜=
𝐿2√3
4
Portanto, a área do hexágono regular será 6 vezes essa área acima:
Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 = 6 ⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜=
6𝐿2√3
4=
3𝐿2√3
2
Portanto, como o volume é dado, temos:
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3⋅ Á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ⇒ 18 =
1
3⋅
3𝐿2√3
2⋅ 6 ⇒ 𝐿2√3 = 6 ⇒ 𝐿2 = 2√3
⇒ 𝐿 = √2√3
Assim, sabendo que a área de uma esfera é dada por:
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Á𝑟𝑒𝑎𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑅2
Como 𝑅 = 𝐿, então 𝑅2 = 𝐿2 = 2√3. Portanto:
Á𝑟𝑒𝑎𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 4𝜋𝑅2 = 4𝜋2√3 = 8√3𝜋
Gabarito: A
Questão 70
Considere 𝑥 um arco do 2º quadrante e que a cotangente de 𝑥 é 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 e a cossecante de 𝑥 é
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. Se sen 𝑥 =√6−√2
4, então o valor de 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 2 sen 2𝑥 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Comentários
O enunciado fala que 𝑥 pertence ao segundo quadrante. Isso significa que suas coordenadas no círculo trigonométrico (cos 𝑥 , sem 𝑥) são de abcissa (cos x) negativa e ordenada (sen x) positiva. Calculando o valor de cos 𝑥:
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 ⇒ (√6 − √2
4)
2
+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − (√6 − √2
4)
2
= 1 − ((√6
4)
2
− 2 (√6
4) (
√2
4) + (
√2
4)
2
)
⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 −6
16−
2
16+
4√3
16=
8
16+
4√3
16⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
4 + 2√3
8=
1 + 2√3 + 3
8
⇒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =12 + 2√3 + (√3)2
8=
(1 + √3)2
(2√2)2 ⇒ cos 𝑥 = ±
1 + √3
2√2
Entretanto, como 𝑥 pertence ao segundo quadrante, então cos 𝑥 < 0:
cos 𝑥 = −1 + √3
2√2= −
√6 + √2
4
Queremos agora calcular a expressão 𝐸 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 2 sen 2𝑥. Sabemos que os dois primeiros termos fazem parte de uma das equações principais da trigonometria:
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 ⇒ 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Portanto, a expressão fica:
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𝐸 = 1 + 2 sen 2𝑥
Sabemos que sen 2𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥, portanto:
𝐸 = 1 + 4 sen 𝑥 cos 𝑥
Substituindo os valores de sen 𝑥 𝑒 cos 𝑥:
𝐸 = 1 + 4 ⋅ (√6 − √2
4) ⋅ − (
√6 + √2
4)
Observe que a multiplicação dos termos em parênteses é do tipo (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏². Logo:
𝐸 = 1 −4 ((√6)
2− (√2)
2)
16= 1 −
4(6 − 2)
16= 1 −
4 ⋅ 4
16= 1 − 1 = 0
Gabarito: A
Questão 71
Ao somar sen 315° com cos 780°, obtém-se:
a) 1−√2
4
b) 1−√2
2
c) 2−√3
2
d) 2−√2
2
Comentários
Veja que o arco de 315° não passou de 360° (1 volta completa). Assim, veja:
315° = 270° + 45°
Portanto, esse arco pertence ao quarto quadrante. Vejamos ele no círculo trigonométrico:
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19 20
Portanto, vemos que 315° é o ângulo em vermelho. Queremos trabalhar com o sen 315° que, é a ordenada do ponto 𝑃 no círculo trigonométrico. Assim, pela imagem vemos que:
𝑠𝑒𝑛 315° = − cos 45° = −√2
2
Agora, analisando o arco de 780°, vemos que ele é maior que duas voltas completas de 360°:
780° = 360° + 360° + 60°
Assim, sua representação no círculo trigonométrico seria, obviamente no arco de 60°. Portanto:
cos 780° = cos 60° =1
2
Assim, a expressão pedida é:
𝑠𝑒𝑛 315° + cos 780° = −√2
2+
1
2=
1 − √2
2
Gabarito: B
Questão 72
Da figura, sabe-se que 𝑂𝐵 = 4 é raio do semicírculo de centro 𝑂 de diâmetro 𝐴𝐶. Se 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, determine a razão entre a área hachurada e a área do triângulo 𝑂𝐵𝐶, em unidades de área. Considere 𝜋 = 3,14.
a) 2,26
b) 2,14
c) 1,14
d) 0,86
Comentários
A área hachurada é igual a área total do semicírculo subtraída da área do triângulo isósceles 𝐴𝐵𝐶.
Como 𝐴𝐵𝐶 é isósceles, a projeção do ponto 𝐵 na base 𝐴𝐶 (altura do triângulo) toca no ponto médio da base 𝐴𝐶 (ponto 𝑂). Assim, o segmento 𝐵𝑂 = 4 (raio do semicírculo) é também altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶. Lembrando que 𝐴𝐶 é o diâmetro e, por isso, 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 4, a imagem fica:
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Portanto, a área hachurada é:
Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑎𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 =𝜋𝑟2
2−
𝐴𝐶 ⋅ 𝑂𝐵
2=
𝜋42
2−
8 ⋅ 4
2= 8𝜋 − 16
A área do triângulo 𝐵𝑂𝐶 é:
Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑂𝐶 =𝑂𝐶 ⋅ 𝑂𝐵
2=
4 ⋅ 4
2= 8
Assim, a razão pedida é:
𝑟 =Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑎𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎
Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑂𝐶
=8𝜋 − 16
8= 𝜋 − 2 = 3,14 − 2 = 1,14
Gabarito: C