Fórmula integral de Cauchy

● Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C !

Fórmula integral de Cauchy

Otro resultado que se sigue de la fórmula integral de Cauchy es el siguiente:

Sea C un camino cerrado simple, orientado positivamente y sea f una función analítica en el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en el interior de C, entonces:

(derivadas de funciones analíticas)

Fórmula integral de Cauchy

Mientras que para f ''

En general (extensión de la fórmula integral de Cauchy):

Fórmula integral de Cauchy

● Una consecuencia importante de la fórmula integral de Cauchy es la siguiente: si una función es analítica en un punto, existen sus derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas son también funciones analíticas

Similarmente, si f=u+iv es analítica en un dominio D, entonces todas las derivadas parciales de u y v existen y son analíticas.

● Dos consecuencias más de la extensión de la fórmula de Cauchy son el teorema de Liouville y el teorema fundamental del álgebra.

Teorema de Liouville y Teorema fundamental del álgebra

Lema: Se f(z) una función analítica en el interior y sobre los puntos de un círculo CR de

radio R. Si MR denota el máximo valor de |f(z)| en CR, entonces

conocida como desigualdad de Cauchy

Teorema de Liouville y Teorema fundamental del álgebra

Teorema de Liouville:

Si f(z) es una función entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f(z) es constante en todo el plano.

Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar el T. fundamental del álgebra:

Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos un cero

Sucesiones y Series

Veamos cómo se expande una función analítica en una serie de potencias.

Preliminares:

Se dice que una sucesión infinita de números complejos tiene como límite z, si para todo existe un entero tal que

siempre que

Como puede ser arbitrariamente pequeño, se sigue que zn se aproxima a z

Sucesiones y Series

El límite de z es único, si existe. Cuando el límite existe, se dice que la sucesión es convergente y que converge a z, es decir,

● Si la sucesión no tiene límite se dice que es divergente o que diverge. 

Sucesiones y Series

Teorema.

Sea

y . Entonces

si y sólo si  

                               y

Sucesiones y Series

Se dice que una serie de números complejos

es convergente, si la sucesión de sumas parciales

tiene un límite S, es decir,

Sucesiones y Series

Teorema.

Sea

y .

Entonces

si y sólo si  

                                      y

Sucesiones y Series

Comentario.

De forma similar a las series (reales), una condición necesaria para la convergencia de una serie de números complejos es que

Sucesiones y Series

Serie absolutamente convergente:

Se dice que una serie es absolutamente convergente si la serie de números reales

es convergente. Además, como

las series y son convergentes

● Por lo tanto la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia de la serie misma.

● Pero puede pasar que converge

y diverge. En este caso se dice que

la serie es condicionalmente convergente.

Series de Taylor

Similarmente al caso de funciones reales, supongamos que queremos encontrar un polinomio Pn(z) que se aproxime a una función

analítica f(z) en una vecindad del punto z0

Las series de Taylor nos dan una forma de construir dicho polinomio:

se busca que las derivadas (n derivadas) del polinomio sean iguales a las derivadas de f(z) en z0

Series de Taylor

Es decir,

De modo que:

Así tenemos el siguiente teorema:

Sea f una función analítica en un disco Entonces f admite la representación de potencias:

donde

conocida como serie de Taylor (o serie de Maclaurin cuando ). Además la serie de Taylor es única

Series de Laurent

Quisiéramos investigar la posibilidad de tener una representación en serie de una función alrededor de una singularidad z0.

● Notemos que la serie de Taylor ha sido aplicada a funciones analíticas en una vecindad de z0

● El teorema de Laurent nos dice cómo y bajo que condiciones podemos representar una función alrededor de una singularidad

Series de Laurent

Teorema: Sea f una función analítica en el anillo

centrado z0 sea C un camino cerrado simple contenido en ese dominio anular. Entonces, f(z) admite la representación

Series de Laurent

Notemos que si f(z) fuera analítica en el interior del disco , entonces los coeficientes bn serían nulos y el desarrollo se reduce a una serie de Taylor, ya que

Series de Laurent

En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales an y bn dadas anteriormente