complemento matematico final

UNIVERSIDADNACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSCOMPLEMENTO MATEMÁTICO Y TRIGONOMETRÍA ESFÉRICAProfesor: Bustamante Ramos Elvis Integrantes:

Vásquez Quezada Gerson Jhair Montoya Ramón Jhenaro

Alessandro Santa Cruz Caceres Katia Carina López Saldivar Marcos Cosmo Cabañas León Adrián Anco Bernales Braulio Briam Quispe Carpio Jhosep

2015EAP-INGENIERÍA CIVIL-FIGMMG

DEDICATORIA:Se lo dedicamos a los caídos en

Análisis I y Complemento Matemático

Complemento Matemático y Trigonometría Esférica UNMSM

CONTENIDOCAPITULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE

COORDENADAS BIDIMENSIONAL1.1. Semana 1____________________________________________________1.2. Semana 2____________________________________________________

CAPITULO SEGUNDO: SEMANA 32.1. Teoremas_____________________________________________________2.2. Angulo entre Vectores___________________________________________2.3. Vector Unitario________________________________________________2.4. Proyección ortogonal y componentes de un vector____________________2.5. Propiedades de las proyecciones y componentes_____________________

CAPÍTULO TERCERO: INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

3.1. Semana 4_____________________________________________________3.2. Semana 5_____________________________________________________

CAPITULO CUARTO: SEMANA 64.1. Ecuación del Plano______________________________________________4.2. Vector Normal a un Plano________________________________________4.3. Ecuación de la Recta____________________________________________

CAPITULO QUINTO: SEMANA 95.1. Ángulo entre dos rectas_________________________________________5.2. Distancia entre dos rectas________________________________________5.3. Distancia de un punto a una recta_________________________________

CAPÍTULO SEXTO: SEMANA 136.1. Resolución de los Triángulos Rectángulos___________________________6.2. Pentágono de Neper____________________________________________

CAPÍTULO SEPTIMO: ANEXO7.1. Aplicación de Vectores__________________________________________


7.2. Aplicación de la Trigonometría Esférica_____________________________


Tenga en cuenta que:

No se tocara a fondo los capítulos 1, 3, 5, 7 y 9 Las fórmulas y teoremas que se observaran en dichos capítulos no se

demostraran, a menos que sea necesario posteriormente, pero se utilizaran para demostrar las fórmulas en los capítulos no mencionados

La mayoría de la teoría está basada en las clases teóricas del profesor


CAPITULO PRIMEROINTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL

Semana 1 Sistemas de Coordenadas en R2

Vectores en R2

Propiedades Algebraicas de Vectores Semana 2

Paralelismo Producto Escalar de Vectores Norma de un Vector Ortogonalidad de Vectores


SEMANA 1 Sistema de Coordenadas Bidimensional R2

Sea R2= {( x , y )/ x∈R∧ y∈R } un conjunto dado tal que se define las siguientes operaciones con elementos de este conjunto

x , y∈R2/ x+ y∈R2.........................................Suma α∈ R∧ x∈R2/α . x∈R2.................................Producto

Se define V 2 al espacio bidimensional formado tanto por el conjunto R2 y a las operaciones definidas Suma y Producto tal que V 2=(R2 ,+ ,. ,… .. )

Vectores en R2

El vector u=(u1 , u2) es un segmento dirigido

Propiedades Algebraicas

1. Se define a la suma

u+ v ,Donde u y v∈R2

2. Multiplicación por un escalar

α∈ R∧ x=( x1 , x2)∈ R2 Tal que α . x∈R2

SEMANA 2 Sean u=(u1 ,u2) y v=(v1 , v2) vectores ∈R2 tal que u1 ,u2 , v1 y v2 son las componentes de cada vector. Definimos

Paralelismo de Vectores

u/ ¿ v⇔u=r . v∈R2 , donder∈R

Producto Escalar de Dos vectores

u . v=u1 v1+u2 v2

Norma de un vector

Es la longitud real del vector desde su punto origen hasta el punto final

‖u‖=√u12+u2

2


Ortogonalidad de Vectores

Un vector u se dice ortogonal a v si se cumple

‖u+v‖=‖u−v‖

Teorema: u es ortogonal a v ⇔ u . v=0

Perpendicular de un Vector

Sea el vector u tal que su vector perpendicular es u❑ y se define

u❑=(−u2 , u1)

Donde u . u❑=0


CAPITULO SEGUNDOSEMANA 3

1. Teoremas Ángulo entre Vectores Vector Unitario Proyección Ortogonal y Componente de un Vector Propiedades de las proyecciones y componentes


SEMANA 3

Teoremas Uno o más vectores ortogonales al mismo vector (no nulos) serán paralelos Dos vectores u . v serán paralelos si y solo si u❑ . v=0

Ángulo entre Vectores

Sea u y v dos vectores no nulos en R2. El ángulo entre los

vectores u y v es el menor ángulo positivo θ(0≤θ≤π ) determinados por ambos al partir de un mismo origen común.

Teorema

Vector Unitario

Sea un vectorv cuya magnitud es ‖v‖, con ‖v‖≠0

Se define al vector unitario u de norma igual a 1, ‖u‖=1, tal que:

Ejemplo

Si uy v son vectores unitarios, y θ el ángulo entre ellos, demuestre que sin θ2=‖u−v‖

2

Solución

Como uy v son unitarios, su norma es 1 y por ángulo entre vectores se tiene

cosθ= u .v‖u‖‖v‖

→cosθ=u . v

Multiplicando por −2→−2 cosθ=−2u . v

Sumando 2 y acomodando →2−2cosθ=1−2u . v+1


θ=arccos u . v‖u‖‖v‖

u= v‖v‖

Por unitario ‖u‖2=‖v‖2=1→2−2cosθ=‖u‖2−2u . v+‖v‖2

Dividiendo entre 4→ 2−2cosθ4

=‖u‖2−2u . v+‖v‖2

4

Acomodando adecuadamente → 1−cosθ2

=(‖u−v‖

2)

2

Como se sabe: sen θ2=√ 1−cosθ

2

Finalmente sacando raíz cuadrada y reemplazando tenemos

sen θ2=

‖u−v‖2


Proyección Ortogonal

Sea u un vector no nulo dado y sea v un vector cualquiera. Como caso particular de descomposición de un vector tenemos que z puede descomponerse, de manera única, en la forma

v= p+q

De modo que p sea paralelo a u y q sea perpendicular a u. El vector p se dice la componente (vectorial) de v en la dirección de u, en tanto que q se dice la componente (vectorial) de v perpendicular a u.

Para obtener gráficamente las componentes p y q se dibujan v y u y se traza una perpendicular desde el extremo final de v hasta cortar la recta que contiene al vector u. Si P es el punto de corte y O es el punto inicial de v y u, entonces

p=OP y q= v− p

Lo anterior se ilustra en la figura, en la cual v ≠ 0 y α es el ángulo entre v y u

Demostración (Tomando como base la figura a)

Se sabe que

Según la figura el vector p es paralelo al vector u,

p=r u , Donde r es un escalar

Por ángulo entre vectores y relaciones trigonométricas ,

cos α=¿ v .u‖v‖‖u‖

∧ cosα=¿‖p‖‖v‖

¿¿

Igualando los cosenos y remplazando el valor matemático de u


Casoa :0 °<α<90 ° Casob :90 °<α<180°

‖r . u‖‖v‖

= v .u‖v‖‖u‖

|r|= v .u‖u‖2 , r>0

Reemplazando en el valor matemático de p

Obsérvese que:

Si v es paralelo a u entonces Proyu v= v Si v es perpendicular a u entonces Proyu v=0

Observación:

Si la ecuación se escribe de la siguiente forma,

Proyu v=v .u‖u‖

. u‖u‖

Donde

u‖u‖ Es el vector unitario z, talque u/¿ z→

Además

v .u‖u‖

=cosα .‖v‖→

Componente Ortogonal

Sea v un vector no nulo dado que sigue la dirección del vector u no nulo.

Se define la componente ortogonal al escalar de la forma, denotado por:


Proyu v=v .u‖u‖

. z

Proyu v=cosα .‖v‖. z

Compu v=v .u‖u‖

Proyu v=v . u‖u‖2 u

Propiedades de las proyecciones

Sean los vectores u , v ,w ∈R2 y t ∈R

1. v /¿ w⇒ Proyv u=Proy w u2. Proy v ( u+w )=Proy v u+Proy v w , para todo v≠03. Proy v t u=t Proyv u4. Proy v u=Proy t v u5. Proy v u .Proy v⊥ w=0

Propiedades de las componentes

Sean los vectores u , v ,w ∈R2 y t ∈R

1. Comp v (u+ w )=Comp v u+Comp v w , para todo v≠02. Comp v t u=t Comp v u

Ejemplo

Sea el vector u=(55) y la proyección de este sobre la recta y=3 es w tal que su punto final

de este es q0 y su punto inicial es p0=(4,3), el cual pertenece a la recta. Calcular q0

Solución

L a recta y=3 tiene un sentido en el espacio bidimensional, por lo cual tiene un vector que representa ese sentido (dirección). Para calcular este vector usaremos la definición de vector (diferencia de puntos).

Sea v el vector dirección de la recta y=3 tal que su punto inicial es (4,3 ) y su punto final es

(10,3) entonces el vector será v=(60)

Entonces calculamos

Proy v u=u . v‖v‖2 . v=

(55) .(60)‖(60)‖

2 (60)

Proy v u=(50)


Por dato tenemos que Proyv u=w y dice que su punto inicial es p0=(4,3), entonces su punto final q0 es (9,3)

CAPITULO TERCEROINTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE

COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Semana 4 Sistemas de Coordenadas en R3

Vectores en R3

Propiedades Algebraicas de Vectores Producto Vectorial de Dos Vectores

Semana 5 Producto Triple Escalar


SEMANA 4 Sistema de Coordenadas Bidimensional R3

Sea R3= {( x , y , z )/ x∈ R , y∈R , z∈ R } un conjunto dado tal que se define las siguientes operaciones con elementos de este conjunto

x , y∈R3 /x+ y∈R3.........................................Suma α∈ R∧ x∈R3/α . x∈R3.................................Producto

Se define V 3 al espacio tridimensional formado tanto por el conjunto R3 y a las operaciones definidas Suma, Producto entre otras operaciones tal que V 3=(R3 ,+ ,. ,… .. )

Vectores en R3

El vector u=(u1 , u2 ,u3) es un segmento dirigido

Propiedades Algebraicas

1. Se define a la suma

u+ v ,Donde u y v∈R3

2. Multiplicación por un escalar

α∈ R∧ x=( x1 , x2 , x3)∈ R3 Tal que α . x∈R3

Producto Vectorial

Sean u=(u1 ,u2 , u3 ) y v=(v1 , v2 , v3) vectores ∈R3 tal que u1 ,u2 , u3 , v1 , v2 y v3 son las componentes de cada vector. Se define al producto vectorial

u× v=(u¿¿1 ,u2 , u2)×(v¿¿1 , v2 , v2)¿¿

u× v=(u2v3−u3 v2 , u3 v1−u1 v3 ,u1v2−u2 v1)

Observación:

Para agilizar el proceso, se acomodó convenientemente el resultado de la siguiente manera

u× v=| i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3|


SEMANA 5 Producto Triple Escalar

Sean los vectores u, v y w ∈R3. Se define el producto triple escalar

[ u v w ]=u .(v × w)


CAPITULO CUARTOSEMANA 6

1.2.

El Plano: Definición Ecuaciones del Plano

Ecuación Vectorial del Plano Ecuación Paramétrica del Plano

Vector Normal a un Plano Ecuación Normal del Plano Ecuación General del Plano

Ecuaciones de la Recta en R3

Vectorial Paramétrica Simétrica


SEMANA 6

EL PLANO

El plano es un objeto geométrico que posee dos dimensiones, el cual contiene infinitos puntos.

Así como en R2, la gráfica de una ecuación de dos variables x e y es una curva, en R3 la gráfica de una ecuación en tres variables x, y, z es una superficie. La más simple es el plano, pues su ecuación es de primer grado en tres variables.

Ecuación del Plano

Se define a P como el lugar geométrico, en este caso el plano y a p=(x , y , z) como aquel punto que cumple las condiciones del lugar geométrico. Entonces definimos a las ecuaciones de P.

Ecuación vectorial

Sean los vectores u y v∈R3 y sea P el plano que contiene a estos vectores. Definimos

Dondeu y v son los vectores direcciónales del planopo=(xo , yo , zo) es un punto de paso cualquiera perteneciente al plano


P : p=po+t u+s v /s , t∈R

Ecuación paramétrica Si se reemplaza en la ecuación vectorial, las componentes de cada termino, tenemos:

P : p=po+t u+s v

P :(x , y , z)=(xo , yo , zo)+t (u1 ,u2 , u3)+s(v1 , v2, v3)

P : ( x , y , z )=(xo+ t u1+s v1 , y o+ t u2+v2 , zo+ t u3+v3 )

Igualando componentes se tienes

Vector Normal

Todo vector no nulo y ortogonal (perpendicular) al plano P se denominara Vector Normal, el cual denotaremos por: n, el cual, además será ortogonal a todos los vectores pertenecientes al plano.

Sean los vectores u y v∈P. El vector n será paralelo a u× v, pero no necesariamente tendrá la misma dirección que el resultado u× v,

n /¿ u× v→n=r .(u× v) , donder esunescalar

Definimos a la ecuación normal

Ecuación Normal

Sea n el vector normal al plano P yr un vector formado por p=(x , y , z) y el punto de paso po=(xo , yo , zo) de tal manera que r=p−po.

Por definición del vector normal y usando el teorema de Ortogonalidad,

r . n=0

Reemplazando el valor asignado a r , queda definido la ecuación del plano


P={x=x0+t u1+s v1

y= y0+ t u2+s v2

z=z0+t u3+s v3

/s ,t∈ R

P : ( p−po ). n=0

Ecuación General del Plano

Resolviendo la ecuación normal del plano, utilizando la propiedad distributiva y definiendo las componentes del vector n=(A , B ,C ),

( p−po ) . n=0↔p.n=p0 .n

↔ ( x , y , z ) . (A ,B ,C )= (x0 , y0 , z0 ) . (A ,B ,C )

↔Ax+By+Cz−(A x0+By0+C z0 )=0

Si hacemos D=−(A x0+By0+C z0 ), obtenemos.


P :Ax+By+Cz+D=0

Posición Relativa Entre Dos PlanosSean los planos P1 y P2 con vectores normales n1 y n2 respectivamente. Definimos:

Planos paralelos

Dos planos son paralelos si tienen sus normales paralelas y no tienen ningún punto en común.

Si P1/¿ P2⇔n1×n2=0

Planos perpendiculares

Dos planos son perpendiculares si tienen sus normales ortogonales.

Si P1⊥ P2⇔n1 . n2= 0


Planos secantes

Dos planos son secantes si sus normales no son paralelas y tampoco perpendiculares.

Ángulo entre planos

Es aquel ángulo formado por las normales de los dos planos.


θ=arccosn1 . n2

‖n1‖‖n2‖

Distancia de un punto al planoSea S un punto del espacio y P un plano, si p0 es un punto de paso del plano y n es el vector normal de P.

Sea: v=S−p0

Entonces la distancia se define como:

d (S ,P )=|Comp n v|=¿ (S−p0 ) . n∨ ¿‖n‖

¿

Se

sabe que la Ecuación General del plano: P: Ax+By+Cz+D=0 y además el punto S=(x¿¿1 , y1 , z1)¿

Observación Podemos calcular la distancia cartesiana entre dos planos paralelos.

Sean P1 : Ax+By+Cz+D1=0 y P2: Ax+By+Cz+D2=0


d (S ,P )=¿A x1+B y1+C z1+D∨ ¿√ A2+B2+C2

¿

d (P1 , P2 )=¿D1−D2∨¿

√A2+B2+C2¿

Ejemplo 1:

Dados los planos paralelos P1: 2 x−3 y+6 z−10=0 y P2:4 x−6 y+12 z+24=0 determinar si el punto S (3,-2,5) está entre dichos planos.

Solución: Un punto estará entre dos planos paralelos si su distancia a cada plano es menor que la distancia entre ambos planos. Luego, por fórmula de distancia de un punto a un plano

d (S ,P1)=|2 (3 )−3 (−2 )+6 (5 )−10|

√22+(−3 )2+62=32

7=4.57

d (S ,P2)=|4 (3 )−6 (−2 )+12 (5 )+24|

√42+(−6 )2+122=108

14=7.71

Obsérvese que los coeficientes de las ecuaciones d ambos planos son proporcionales, entonces para que sean iguales multiplicamos a la ecuación de P1por 2, y así aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, esto es

d (P1 ,P2 )=¿D1−D2∨ ¿√A2+B2+C2

⇒¿24−(−20)∨ ¿√16+36+144

=4414

=3.14¿¿

Como d (S ,P2)>d (S , P1 )>d (P1 ,P2 ), el punto S no está entre ambos planos.

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación general y vectorial del plano P que perpendicular al plano P1 : 4 x−3 y+2 z−9=0 y que pasa por los putos P1 (2,−6,4 ) y P2 (3 ,−7,5 ).

Solución: Sea el vector normal a P1 : n=(4 ,−3,2)y el vector u=(P2−P1 )=(1 ,−1,1)

Como P1⊥P entonces podemos tomar n//P y tenemos dos vectores del plano, además el punto de paso P1 (2,−6,4 ), luego la Ecuación vectorial del plano:

P :P=P1+t u+r n

P :P=(2 ,−6,4 )+t (1 ,−1,1 )+r ( 4 ,−3,2 );∀ r , s∈R

Luego hallamos la normal del plano m=u× n

m=| i j k1 −1 14 −3 2|=(1,2,1)

Luego para P(x,y,z)


(P−P1) . m=0⇒ (x−2, y+6 , z−4 ) . (1,2,1 )=0

P : x+2 y+z+6=0


La RectaEs un objeto geométrico que posee solo una dimensión y contiene una infinidad de puntos.

Se dice que un vector u es paralelo a la recta L, si u c L o ∃ v c L tal que v // u.

Se le llama vector dirección de una recta a todo vector u ≠ 0, tal que u es paralela a la recta.

Ecuación vectorial

Gráficamente nos percatamos

( p−p0 )/¿u

p−p0=k .u

p=p0+k .u

Como k es un escalar cualquiera

k=t

Entonces

Ecuación Paramétrica

Se sabe que p= (x , y , z ), po=(x0 , y0 , z0 ), u=(u1 , u2 ,u3)

Reemplazando en la ecuación vectorial de la recta:

L : ( x , y , z )= (x0 , y0 , z0 )+t (u1 ,u2 , u3 )

L : ( x , y , z )= (x0+t u1 , y0+t u2 , z0+t u3 )

Igualando componentes


L :P=P0+t u , t∈R

L={x=x0+t u1

y= y0+ t u2

z=z0+t u3

/ t∈R

Ecuación Simétrica

Dada la ecuación paramétrica, despejamos la variable t en cada fila, obteniendo

Ecuación General

Una recta se puede determinar por la intersección de dos planos

Donde

n1=(A1 ,B1 ,C1), es el vector normal de P1

n2=(A2 ,B2 ,C2), es el vector normal de P2


L :x−x0

u1=y− y0

u2=z−z0

u3

L :{A1 x+B1 y+C1 z+D1=0A2 x+B2 y+C2 z+D2=0

Observación

Pasar de una ecuación a otra es relativamente sencillo, por ejemplo

Ecuación General → Ecuación Vectorial

Se demuestra que el vector dirección de la Ecuación Vectorial esta expresado matemáticamente por el producto vectorial de las normales de los planos intersecados en la Ecuación General,

Sea n1=(A1 ,B1 ,C1), n2=(A2 ,B2 ,C2) y u: vector dirección, entonces

u=n1×n2=| i j kA1 B1 C1

A2 B2 C2|

Y po=(x0 , y0 , z0 ) es un punto arbitrario de planos o perteneciente a la intersección de los planos que se obtendrá de la siguiente manera

Tomando a la ecuación general de la recta,

Si|B1 C1

B2 C2|≠0→x=0

Si|A1 C1

A2 C2|≠0→y=0

Si|A1 B1

A2 B2|≠0→z=0


EJEMPLO:

Dada las rectas L1 y L2 que se cruzan. Hallar la ecuación de la recta L3 que pasa por A (-1,-2,0) que sea perpendicular a L1 y L2.

L1: X−12

=Y +23

=5−Z4 , L2: X=−2 , Y−1

1=Z+2

2

Solución:

Pasamos de las ecuaciones simétricas a su forman vectorial

L1: (1 ,−2,5 )+t(2,3 ,−4)

L2: (−2,1,−2 )+s (0,1,2)

El vector dirección “v” de la recta L3 ya que es perpendicular a L1 y L2, también es perpendicular a sus vectores direcciones; solo queda hallar el producto vectorial:

v=(2,3 ,−4 )× ( 0,1,2 )=|i j k2 3 −40 1 2 |

v=10 i−4 j+2k

v=(10 ,−4,2)

Entonces la ecuación de la recta será

L3: (−1,−2,0 )+r (10 ,−4,2)


CAPITULO QUINTOSEMANA 9

3.4.

3.1. Ángulo entre Rectas3.2. Distancia entre Dos Rectas

Rectas Cruzadas Rectas Paralelas Rectas Secantes

3.3. Distancia de un Punto a la Recta


SEMANA 6

Angulo entre RectasSe considera ángulo entre dos rectas al menor ángulo que forma las rectas, se obtiene relacionando los vectores directores de las rectas.

Supongamos que las ecuaciones vectoriales de dos rectas son:

L1:P=p+t u , t∈R

L2:Q=q0+ t v , t∈R

“El ángulo entre L1 y L2

es el ángulo que forma

los vectores dirección de las rectas (u y vrespectivamente) y se obtiene por ángulo entre vectores

Ejemplo

Hallar el ángulo que forman las rectas:

L1:P=(4,3,1 )+(−4 ,−3 ,−2 ) , t∈R

L2:{2 x+ y−2 z+10=0y+2 z−4=0

Solución:

El vector dirección de L1 esu= (4,3,2 )

El vector dirección de L2 esv=(2,1 ,−2 )×(0,1,2)

v=|i j k2 1 −20 1 2 |=4 i−4 j+2k=(4 ,−4,2)

Para fines cálculos trabajamos con un vector paralelo a este

v=(2,−2,1)


θ=arccos u . v‖u‖‖v‖

El ángulo entre las rectas L1y L2 será:

θ=arc cos ( u . v‖u‖.‖v‖)

Donde:

u . v= (4,3,2 ) . (2 ,−2,1 )=8−6+2=0

‖u‖=√16+9+4=√29 , ‖v‖=√4+4+1=3

Luego:

θ=arc cos ( 03.√29 )=90 °

Nos damos cuenta que las rectas son perpendiculares


DISTANCIA ENTRE DOS RECTASSean las rectas

L1:P=p+t u , t∈R

L2:Q=q0+ t v , t∈R

Pasaremos a definir la distancia entre dos rectas cualesquiera en tres diferentes casos

CASO 1: Cuando las rectas son cruzadas (alabeadas)

Sean dos rectas L1 y L2 que no se cortan (L1∩ L2=∅ ) y que no son paralelas (donde u y v no son paralelas), cuyas ecuaciones son:

L1:P=p0+t u , t∈R

L2:Q=q0+ t v , t∈R

La distancia entre las rectas L1 y L2 es:

Demostración

Hagamos un dibujo intuitivo de las dos rectas que se cruzan sin intersectarse y sin ser paralelas.

Unimos los puntos p0 y q0 formando el vector q0 p0. Donde los puntos p0 y q0 son puntos de pasos de las rectas L1 y L2 respectivamente.

Trasladamos los vectores dirección de las rectas L1 y L2 respectivamente en forma paralela hasta hacer coincidir en un extremo de la recta L2 los vectores u y v. De esta manera calculamos, de manera


d (L1 , L2 )=¿ (q0−p0 ) .(u× v)∨ ¿‖u× v‖

¿

más sencilla, el vector perpendicular a ambos vectores (u× v), el cual será paralelo a la distancia de las rectas L1 y L2.

Teniendo en cuenta los vectores q0 p0. y u× v, la distancia entre las rectas L1 y L2

será la longitud (norma) del vector proyección deq0 p0 sobre u× v, que en forma matemática se escribe

d (L1 , L2 )=‖Proyu× vq0 p0‖

¿‖(q0−p0 ) .(u× u)‖u× v‖2 u× v‖=¿ (q0−p0 ) .(u× u)∨ ¿

‖u×v‖2‖u× v‖¿

d (L1, L2 )=¿ (q0−p0 ) .(u×u)∨ ¿‖u× v‖

¿

CASO 2: Cuando las rectas son paralelas

Demostración

Hagamos un dibujo intuitivo de las dos rectas paralelas, donde el vector q0 p0 está formado por los puntos de paso de las rectas L2 y L1

De la figura, por relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

d=sinθ .‖q0 p0‖ Por el teorema que se demuestra

en el producto vectorial, se tiene que ‖q0 p0× v‖=sin θ .‖q0 p0‖‖v‖

Y haciendo

sin θ .‖q0 p0‖=‖q0 p0× v‖

‖v‖Se remplaza en la primera ecuación inicial y tenemos


d (L1 , L2 )=‖q0 p0× v‖

‖v‖

d (L1 , L2 )=‖q0 p0× v‖

‖v‖

CASO 3: Cuando las rectas se intersectan

Ejemplo

Hallar la distancia entre las rectas cruzadas:

L1:{ x+ y+2 z−1=0x−2 y−z−1=0 L2:{2 x− y+z−3=0

x+ y+z−1=0

Solución:

Hallemos p0 y u, vector dirección, de L1:

Calculamos u

u=(1,1,2 )×(1 ,−2 ,−1)

u=3(1,1 ,−1)

Calculamos p0

Como|1 11 −2|=−3≠0→ hacemos z=0

Entonces las ecuaciones de L1 queda

{ x+ y−1=0x−2 y−1=0

→x=1⋀ y=0

Por lo tanto el punto de paso p0= (1,0,0 )

La recta L1 es: L1: (1,0,0 )+ t(1,1 ,−1)

Hallemos q0 y v, vector dirección, de L2

Calculamos v

v=(2 ,−1,1 ) x (1,1,1)


d (L1 , L2 )=0

v=−1(2,1 ,−3)

Calculamos q0

Como|2 −11 1 |=−3≠0→ hacemos z=0

Entonces las ecuaciones de L2 queda

{2x− y−3=0x+ y−1=0

→x= 43⋀ y=−1

3

Por lo tanto el punto de paso q0=( 43,−1

3,0)

La recta L1 es: L2:( 43,−1

3,0)+t (2,1 ,−3)

Ahora calculamos

q0−p0=( 43,−1

3,0)−(1,0,0 )=( 1

3,−1

3,0)

u×v=(1,1 ,−1 )× (2,1 ,−3 )=|i j k1 1 −12 1 −3|=(−2,1 ,−1 )

La distancia entre L1 y L2 será

d=¿|( 1

3,− 1

3,0) .(−2,1 ,−1)|

‖(−2,1 ,−1 )‖= 1

√6


DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTASea un punto q0 exterior a una recta L, de ecuación vectorial L :P=p+t u , t∈R

La distancia de q0 a L, es la perpendicular trazada del punto a la recta.

Demostración

Hagamos un dibujo intuitivo de una recta y un punto.

Si d=‖Rq0‖ Del teorema de Pitágoras entonces:

‖Rq0‖2+‖Proy uq0 p0‖

2=‖q0 p0‖2

‖Rq0‖2=‖q0 p0‖

2−‖Proy uq0 p0‖2

‖Rq0‖2=‖q0 p0‖

2−|q0 p0 .u

‖u‖ |2

‖ u‖u‖‖

2

‖RQ0‖2=

‖q0 p0‖2 .‖u‖2−(q0 p0 .u)

2

‖u‖2

Por el teorema que se demuestra en el producto vectorial, se tiene que

‖(q0 p0 ) x u‖2=‖q0 p0‖

2 .‖u‖2−(q0 p0 . u)2

Reemplazando y sacando raíz cuadrada en ambos miembros

‖RQ0‖=‖(q0 p0 )x u‖

‖u‖


d (q0 , L )=‖q0 p0×u‖

‖u‖

Ejemplo

Hallar la distancia del punto (-1, 2,3) a la recta L

L : x−76

= y+3−2

= z3

Solución

Datos:

q0=(−1,2,3 ) , p0=(7 ,−3,0 )∈L

Donde el vector dirección de L es: u=(6 ,−2,3 )

Utilizando la fórmula

d (q0 , L )=‖( p0q0) xu‖

‖u‖

Haciendo cálculos auxiliares:

q0−p0=(−1,2,3 )−(7 ,−3,0 )=(−8,5,3)

( p0q0 )x u=| i j k−8 5 36 −2 3|=(21,42,14)

Reemplazando en la fórmula:

d (q0 , L )=‖(21,42,14)‖‖(6 ,−2,3 )‖

=7√9+36+4√36+4+9

=7


CAPITULO SEXTOSEMANA 13

5.6.

Resolución de Triángulos Rectángulos Pentágono de Neper


Triángulo rectánguloUn triángulo esférico rectángulo es aquel que posee por lo menos un ángulo que mide 90°.

Existen tres tipos de triángulo rectángulo

Caso 1: Triángulo (Mono) Rectángulo

Es aquel que solo posee un ángulo recto. Si tomamos el ángulo A como recto, entonces

sin A=1 y cos A=0. Así los diversos grupos de fórmulas se reducen a las siguientes:

1. cos a=cos b .cosc2. sin b=sin a . sinB3. sin c=sin a .sinC4. tanb = tan a .cosC5. tan c=tana .cosB6. tanb = tanB . sin c7. tan c=sin b . tanC8. cos a=cot B .cotC9. cosB=cosb . sinC10. cosC=cos c . sin b

Pentagono de Neper

Las formulas anteriores pueden recordarse de una manera más fácil mediante la regla enunciada por John Napier, dicha regla se le conoce como el “Pentágono de Neper”.

Una vez ubicados los elementos del triángulo como se muestra en la figura, la regla nos dice que el coseno del ángulo ubicado en cada vértice es igual a:

a) El producto de senos de los vértices opuestos

b) El producto de cotangentes de los vértices adyacentes


REGLA 1: El coseno de un elemento es igual al producto de los senos de sus opuestos.

cos ( 90°−b )=sinB . sin a

sin b=sinB . sin aREGLA 2:

El coseno de un elemento es igual al producto de cotangentes de sus adyacentes.cos ( 90°−b )=cotC .cot (90 °−c )

sin b=cotC . tan cEjemplo:

Sea el triángulo esférico rectángulo ABC, tal que

A = 90° b = 60° 35’ 42” c = 105° 24’ 36”

Calcular sus elementos faltantes

Solución: cos a=cos b .cosc

cos a=cos (60 °35 ’ 42”) .cos(105 ° 24 ’36”)cos a=(0.4909797795 ) .(−0.2657243798)

cos a=(−0.1304652974)a=97 ° 29'33

tanb=sin c . tanBtan(60 °35 ’ 42”)=sin (105° 24 ’36”) . tanB

(1.77435203)=(0.9640490413) . tan B(1.840520507)=tanB

61 °29' 25 = tan c=sin b . tanC

tan(105 °24 ’ 36”)=sin(60 °35 ’ 42”) . tanC(−3.62800373)=(0.8711709684) . tanC

(−4.164514041)=tanC103 °30' 83 =

Finalmente tenemos

ángulos :{ A=90 °B=61° 29'25 # C=103° {30} ^ {'} 83

lados :¿


Consecuencias del Triángulo Esférico Rectángulo

PROPOSICION:

En todo triangulo esférico rectángulo, o son los lados o tengo un lado pertenece al primer cuadrante

Sia<90 ° (a∈ IC )⇒cos a>0 cosb>0∧cos c>0b , c∈ IC cosb<0∧cos c<0b , c∈ IIC

Sia>90 ° (a∈ IIC )⇒ cosa<0 cosb>0∧cos c<0b∈ IC∧ c∈ IIC cosb<0∧cos c>0b∈ IIC∧c∈ IC

PROPOSICION:

En todo triangulo esférico rectángulo cada cateto y su ángulo opuesto tiene que ser del mismo cuadrante

Usamos 6 y 7 obtenemos:

tanb=sin c . tanB tanb>0⇔ tanB>0⇒ b ,B∈ IC tanb<0⇔ tanB<0⇒ b ,B∈ IIC

tan c=sinb . tanC tan c>0⇔ tanC>0⇒c ,C∈ IC tan c<0⇔ tanC<0⇒c ,C∈ IIC

PROPOSICION:

La hipotenusa de un triángulo esférico rectángulo no puede medir 90°

Suponemos que a = 90° y por la formula (8) tenemos:

0=cotB .cotC⇒ cotB=0v cotC=0⇒B=90° vC=90 ° (⇒ /⇐)


PROPOSICION:

Los catetos de un triángulo esférico rectángulo no pueden medir 90°

Suponemos que b = 90° y c = 90° en (1) tenemos:

cos a=cos b . cosc⇒ a=90°(⇒ /⇐)

PROPOSICION:

El seno de un cateto es menor que el de la hipotenusa usando la formula (1) tenemos:

0<sinB<1⇒sina . sinB<sin a

sin b<sina

PROPOSICION:

Si

El cateto ∈ IC ⇒ cateto es menor que su ángulo opuesto El cateto ∈ IIC ⇒ cateto es mayor que su ángulo opuesto

Usando la formula (2) tenemos:

sin b=sin a . sinB

0<sin a<1⇒ sin a . sinB<sin B

sin b<sinB

b∈ IC⇒b<B

b∈ IIC⇒B<b

Ejemplo

Sea el triángulo esférico rectángulo ABC, tal que

c = 99° 45’ 30” C = 95° A = 90°

Calcular sus elementos faltantes

Solución:

sin c=sin a .sinCsin(99° 45’ 30”)=sina . sin(95° )

(0.9855314177)=sin a .(0.9961946981)(0.9892959876)=sin a


81 °36 '33.42=

tan c=sin b . tanCtan (99 ° 45 ’30”)=sin b . tan (95 °)

(−5.814590082)=sin b .(−11.4300523)(0.5087107152)=sin b

30 °34 ' 40.76 =

cosC=sin B .cosccos (95 °)=sinB .cos (99 ° 45 ’30”)

(−0.08715574275)=sin B .(−0.1694928454)(0.5142148777)=sin B

30 °56 '41.97 =Finalmente tenemos

ángulos :¿

lados :{a=81 °36 '33.42 # b = 30° {34} ^ {'} 40.76c=99° 45 ’30”


Caso 2: Triángulo Birrectángulo

Es aquel que posee dos ángulos rectos. Si tomamos

A=90°, B=90° y usamos las formulas:

cos A=−cos B .cosC+sinB . sinC .cosa

cosB=−cos A .cosC+sin A . sinC .cosb

cosC=−cos A .cosB+sin A . sin B .cos c , sinC≠0

Se reduce a lo siguiente

0=sinC .cosa a=90 °

0=sinC .cosb b=90 °

cosC=cos c⇒C=c

En consecuencia se demuestra que el tercer ángulo es numéricamente proporcional al lado que le corresponde, pero como se considera radio 1 son iguales.

Caso 3: Triangulo Trirrectángulo

Es aquel que posee sus tres ángulos rectos. Siendo

A=90°, B=90° y C=90°. Usando las formulas se

demuestra que los lados son numéricamente

proporcional a los ángulos que les corresponde

opuestamente, pero como se considera radio 1

son iguales.

Tenemos 3 ángulos rectos, entonces:

A=90 ° B=90 °C=90 °

a=90 ° b=90° c=90°


CAPITULO SÉPTIMOANEXO

7.8.

Aplicación de Vectores Aplicación de la Trigonometría Esférica


Aplicación de los Vectores El concepto de vector

está íntimamente relacionado con el espacio tridimensional en el que vivimos, de hecho es la herramienta matemática que nos permite describir un ente como el espacio, el cual, no puede ser descrito con un solo número ya que es multidimensional (tridimensional de hecho). El espacio tiene anchura, altura y profundidad por lo que necesitas tres números para definir una posición en el mismo. El concepto vector se inventó para poder describir matemáticamente el espacio en el que vivimos, todo los otros vectores como las fuerzas, velocidades y aceleraciones están relacionas con el espacio. Todos los fenómenos naturales se desarrollan en el espacio por lo que toda descripción precisa de un fenómeno natural requiere necesariamente el uso de vectores. Una vez que entendemos un fenómeno físico podemos usar ese conocimiento para resolver problemas prácticos. En resumen, la principal aplicación de concepto de vector, en que te ayuda a entender que es lo que pasa a tu alrededor, una vez que entiendes esto, puedes realizar acciones informadas para resolver problemas prácticos. En todas las ingenierías se usa extensamente.

En el campo de la hidráulica podemos determinar la velocidad de la ciada de un chorro de agua y además su alcance horizontal.

En la construcción de carreteras y autopistas aplicando conceptos sobre trazos de una recta.

En el análisis y diseño estructural utilizando la teoría de vectores en el espacio, determinando la cantidad de materiales que se necesita en una obra.


APLICACIONES A LA INGENIERÍA CIVIL La trigonometría esférica ocupa un papel importante en el curso de Geodesia. Cuando nos piden por ejemplo calcular la distancia entre dos puntos de la Tierra, se considera a esta como una esfera, cuyas circunferencias máximas son los meridianos y el ecuador. Como datos nos dan las coordenadas exactas entre los dos puntos y el radio terrestre.

Ejm:

Sean J y K dos lugares cuyas coordenadas geográficas son

Punto J:

Latitud: HJ

Longitud: GH

Punto K:

Latitud: IK

Longitud: GI

Si consideramos el ciclo DGC como el meridiano origen de longitudes, entonces la diferencia IG-HG=IH será la medida del ángulo D del triángulo esférico DKJ.

Tenemos también como datos los lados DJ= 90°-HJ y DK=90°-IK.

Con estos datos podemos hallar el ángulo del lado JK y tenemos como dato el radio terrestre(6366km) , para finalmente hallar la distancia entre estos dos puntos.

Con la fórmula de Bessel

cos JK=cos DJ cos DK+sin DJ sin DK cosD

Donde los ángulos de los lados DJ y DK, y el ángulo del vértice D tenemos como dato.

La distancia entre los puntos J y K será igual a:

JK× π180

rad×6366 km


Considerando que el ángulo del lado JK se encuentra en grados sexagesimales.


complemento matematico final

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