componentes simétricas (apunte)

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO Escuela de Ingeniera Elctrica

COMPONENTES SIMETRICAS

Ral Saavedra Cossio1.- Introduccin Con frecuencia los especialistas se enfrentan con la necesidad de analizar circuitos polifsicos desbalanceados, labor que por lo general no es tan simple de realizar. Se presenta una valiosa herramienta de anlisis muy adecuada para estos casos de sistemas polifsicos desbalanceados, denominada Componentes Smtricas. En 1918, el Ingeniero Dr. Charles L. Fontescue, propuso esta tcnica con la cual un conjunto de fasores desbalanceados, de un sistema n-fsico, pueden ser resuelto descomponindolos en n-1 sistemas n-fsicos de fasores balanceados de distintas secuencias de fases, y, en un sistema denominado homopolar o de secuencia cero. Por definicin, los fasores denominado de Secuencia Cero u Homopolar, componen un conjunto de n-fasores de igual magnitud y que estn en fase. Entonces, supngase un conjunto de n-fasores de tensiones desbalanceadas de un sistema nfsico, que son representados en componentes de la siguiente manera:

Va = Va 0 + Va1 + Va 2 + ... + Va ,n 1 Vb = Vb 0 + Vb1 + Vb 2 + ... + Vb ,n 1 Vc = Vc0 + Vc1 + Vc 2 + ... + Vc , n1 .................................................. Vn = Vn 0 + Vn1 + Vn 2 + ... + Vn ,n 1 donde:

(1)

Va ,Vb , Vc ,..., Vn son los elementos del vector columna de n-fasores de tensionesdesbalanceadas.

Va 0 , Vb 0 , Vc 0 ,..., Vn 0 es el conjunto de n-fasores de secuencia Homopolar o de Secuencia cero, desfasados en un ngulo de 2 radianes entres fasores consecutivos. Va1 , Vb1 , Vc1 ,..., Vn1 es el primer conjunto de n-fasores balanceados, con un ngulo dedesfase de2 n

radianes entre fasores consecutivos.

Va 2 , Vb 2 , Vc 2 ,..., Vn 2 es el segundo conjunto de n-fasores balanceados, con un ngulode desfase de4 n


..

Va ,n 1,Vb ,n 1 , Vc ,n 1 ,..., Vn,n 1 es el (n-1)-simo conjunto de fasores balanceados, con unngulo de desfase de2 ( n 1) n


Sistemas Elctricos de Potencia

Profesor: Ral Saavedra Cossio

Las ecuaciones (1) pueden ser simplificad si se define un operador a que tenga la siguiente expresin:

a = 1 e

j 2n

(2)

Donde n es el nmero de fases del sistema polifsico, entonces:

a 2 rota un fasor en un ngulo de a rota un fasor en un ngulo de3

4 6

n n

radianes

radianes .

a n rota un fasor en un ngulo de 2 radianesa3

a2

a = e j 2 / n = cos(2 / n) + jsen(2 / n)2 radianes n 0

a =1

a n 1Figura N1 En la figura anterior se observa que los fasores son de igual magnitud y estn desfasados en un ngulo de 2n radianes, formando de esta manera un sistema balanceado n-fsico; por consiguiente, la suma fasorial de este conjunto debe formar una figura regular cerrada, lo que es lo mismo decir que la suma fasorial resultante es cero, es decir que:

1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n 1 = 0

(3)

En base a la propiedad anterior y aplicando la definicin de Componentes Simtricas, se tiene que: 1.- En el conjunto homopolar se cumple que todos los fasores son de igual magnitud y estn en fase, es decir: Va 0 = Vb 0 = Vc 0 = ... = Vn 0 2.- En el primer conjunto de fasores y expresando todas sus componentes en funcin o en base a la fase a, se cumple que:

Vb1 = a n 1Va1 ; Vc1 = a n 2Va1 ; ....; Vn1 = a Va1

3.- En el tercer conjunto de fasores y tambien expresando stos en funcin o en base a la fase a, se logra que:

Vb 2 = a n 2Va 2 ; Vc 2 = a n 4Va 2 ; ....; Vn 2 = a 2Va 2

4.- En el (n-1)-simo conjunto de fasores y expresando stos en funcin o en base a la fase a, se tiene finalmente que:

Vb ,n 1 = a Va ,n 1 ; Vc ,n 1 = a 2Va ,n 1 ; .....; a n 1Va ,n 1

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Ahora, aplicando lo anterior y reemplazando en la ecuacin (1), sta ltima se puede expresar de la siguiente manera:

Vb = Va 0 + a n 1Va1 + a n 2Va 2 + ... + a Va ,n 1 Vc = Va 0 + a n 2Va1 + a n 4Va 2 + ... + a 2Va ,n 1 (4) ................................................................... Vn = Va 0 + a Va1 + a 2 Va 2 + ... + a n 1Va , n1 que expresada la ec(4) en forma matricial, resulta como se ilustra en la ec(5):

Va = Va 0 + Va1 + Va 2 + ... + Va ,n 1

Va 1 1 V n 1 b 1 a Vc = 1 a n 2 ... V 1 a n

1 a n2 a n4 a2

1 a a2 a n1

Va 0 V a1 Va 2 Va ,n 1 fase

(5)

y esta ltima se puede expresar en forma compactada como : Se define la matriz

[V ] = [T ][V ]CS

(6)

[T ] como la Matriz directa de Componentes Simtricas1 1 1 a n 1 [T ] = 1 a n2 1 a

1

a a n 4 a2

n 2

1 a a2 a n 1

(7)

Esta matriz es no-singular y su inversa tiene la siguiente forma:

[T ]1

1 1 1 a 1 = 1 a 2 n 1 a n 1

1 a2 a4

a 2( n 1)

1 a n 1 a 2( n1) ( n 1)( n 1) a

(8)

Por otra parte, para convertir componentes de fase a componentes simtricas, se debe operar con la siguiente relacin matricial:

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Va 0 1 1 V a1 1 1 a Va 2 = 1 a 2 n n 1 Va ,n 1 1 a

1 a2 a4

a 2( n 1)

1 a n 1 a 2( n 1) a ( n 1)( n 1)

Va V b Vc (9) Vn

Que en forma compactada queda expresada de la siguiente forma:

[VCS ] = [T 1 ][V fase ]

(10)

El mtodo descrito para en sistema polifsico de n-fases, por lo general tiene un inters solamente acadmico. Usualmente ste es aplicado principalmente a sistemas trifsicos, y a lo sumo hexafsico, con excitacin sinusoidal en estado estacionario. Lamentablemente, esta tcnica no es aplicable al anlisis de sistemas en estado transitorio y con excitacin nosinusoidal, para estos casos hay otras componentes, como por ejemplo el Anlisis Modal, materia que no est dentro del alcance de esta asignatura. Las componentes simtricas pueden ser aplicadas a sistemas bifsicos tambin, pero no sern tratadas aqu, en especial para no confundir en la comprensin de la aplicacin de esta tcnica a los sistemas trifsicos que son los ms comnmente empleados. 2.- Componentes Simtricas de un Sistema Trifsico En este caso, para un sistema trifsico, el operador a queda definido con n =3 de la siguiente manera:

a=e

j

360 3

1 3 = e j120 = 1120 = cos(120 ) + jsen(120 ) = + j = 0.5 + j 0.866 (11) 2 2a a 2 = 390a2

a2 1 =

3 180

a

= 1 0 1240 21

1 a 2 = 3 30

a3 = 1

a 1 = 3 210=1

1 a = 3 30

a

aa 2 a = 3270

2

Figura N 2 De la figura anterior se puede deducir fcilmente que se cumplen las siguientes relaciones, como por ejemplo que:

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a + a2 + a3 = a2 + a + 1 = 0 a = a 2 = (a 2 )* = 1120 = 0.5 + j 0.866

a 2 = a * = a 1 = 1240 = 0.5 j 0.866a 3 = 10 = 1.0 + j 0.0 a a 2 = 3 90 = j 3 (1 + a) 2 = ( a 2 ) 2 = a 4 = a a 3 = ay se pueden resolver, como ejemplo, las siguientes expresiones:

a a 1+ a2 1 = = = = a 2 = 0.5 j 0.866 4 2 a 1+ a a 1+ a 2 a +a+ j 3 = 0.5 + j 0.866 = a a3 +1Volviendo a la aplicacin de Componentes Simtricas a un sistema trifsico de tensiones desbalanceadas, entonces, sean (Va , Vb y Vc ) las tensiones desbalanceadas componentes del vector columna en un punto de la red de un sistema trifsico, que por definicin de componentes simtricas se resolvern stas en las siguientes nueve componentes (aplicando la ecuacin (1)):

Va = Va 0 + Va1 + Va 2 Vb = Vbo + Vb1 + Vb 2 (12) Vc = Vc 0 + Vc1 + Vc 2 Aplicando la definicin de componentes simtricas, este sistema trifsico desbalanceado de tensiones se ha descompuesto en un sistema homopolar o de Secuencia Cero y dos sistemas trifsico balanceados de secuencias distintas, es decir:

i) ii)

las tensiones

Va 0 ,Vb 0 y Vc 0 estn en fase y son de igual magnitud, y forman las com-

ponentes simtricas homopolar o de Secuencia Cero. las tensiones Va1 , Vb1 y Vc1 son de igual magnitud y estn desfasadas en 120 y su secuencia es a1-b1-c1-a1, es decir, giran en sentido trigonomtrico positivo, o contrario a las manecillas del reloj. Por este motivo se les denomina Componentes de Secuencia Positiva Las tensiones Va 2 , Vb 2 y Vc 2 son de igual magnitud y estn desfasadas en 240, lo que es equivalente a pensar que su secuencia es a2-c2-b2-a2, es decir, en este caso giran en sentido trigonomtrico negativo o a favor de las manecillas del reloj. Por esta razn se les denomina Componentes de Secuencia Negativa

iii)

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Vc1

Va1

V

a 0

V

b 0 c 0

Vc 2Vb1Secuencia positiva, Sec(+) Secuencia negativa, Sec(-) Figura N3

Va2

V

Secuencia homopolar o cero (Sec(0)

Expresando las componentes simtricas de las fases b y c como funcin de la Secuencia respectiva de la fase a, y en base a la figura anterior ( Fig N3), se desprende que se cumple lo siguiente:

Vb 0 = Vc 0 = Va 0Vb1 = a Va12

para la secuencia homopolar o Secuencia Cero, Sec(0)

y

Vc1 = a Va1 para la Secuencia Positiva, Sec(+); y

Vb 2 = a Va 2 y Vc 2 = a 2 Va 2 para la Secuencia Negativa, Sec(-)Reemplazando estas ltimas expresiones en la ecuacin (12), que es equivalente a reemplazar n=3 en la ecuacin (5), resulta:

Va 1 1 V = 1 a 2 b Vc 1 a

1 Va 0 a Va1 a 2 Va 2

(13)

Componiendo fasorialmente el problema, y manteniendo las orientaciones y magnitud dadas a las componentes simtricas en la Figura N3, los fasores resultantes de tensiones desbalanceadas se muestran en la figura N4.Vb 2 Vb1 Vb 0 Va1

VbVc 0 Vc 2 Vc1

Va 2

Vc

Va

Va 0

Figura N4

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Por consiguiente, la matriz directa para componer las componentes simtricas en componentes de fases, es la siguiente matriz

1 1 [T ] = 1 a 2 1 a Ejemplo: Dadas las componentes simtricas:

1 a a2

(14)

Va 0 = 100 + j 0 , Va1 = 200 j100 y Va 2 = 100 + j 0 determine las tensiones Va , Vb y Vc de este sistema trifsico. Va 1 1 V = 1 a 2 b Vc 1 a 1 100 + j 0 200 100 j 223.61 26.57 a 200 j100 = 36.59 209.8 j = 212.97 99.89 (volts) a 2 100 + j 0 136.6 + 309.8 j 338.5866.21

La matriz inversa se tiene que:

[T ]1

se obtiene evaluando n=3 en la ecuacin matricial (8), de este modo

[T ]1

1 1 1 = 1 a 3 1 a 2

1 a2 a

(15)

por lo tanto, las componentes simtricas de un vector columna de tensiones de fase, se obtienen de la manera indicada en la ecuacin (16).

Va 0 1 1 V = 1 1 a a1 3 Va 2 1 a 2

1 Va a 2 Vb a Vc

(16)

Desarrollando la ecuacin matricial (16), se logran las siguientes expresiones:

1 (Va + Vb + Vc ) 3 1 Va1 = Va + a Vb + a 2Vc 3 1 Va 2 = Va + a 2 Vb + a Vc 3 Va 0 =

(

)

(

)

(17)

La interpretacin geomtrica de las ecuaciones dadas en (17) se muestran en la Figura N5.

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3Va1

aVb a VbVb2

Vc

a 2VcVa

3 Va 0

aVc

3Va 2Figura N5

Cuando por el neutro de un sistema trifsico no hay circulacin de corriente, o el sistema tiene su neutro aislado de tierra, no hay presencia de secuencia cero; es decir, cuando la suma fasorial de las corrientes I a , I b y I c es cero, stas forman un tringulo y solo hay presencia de secuencia positiva y secuencia negativa como se ilustra en la Figura N 6

3 I a1Ib IcIa

a2Ic

aI ba2 Ib

aI c

3 Ia2

Figura N6

Por otro lado, cuando el sistema trifsico de tensiones (o corrientes) es balanceado, la suma fasorial de las tensiones (o corrientes) forman un tringulo equiltero, dejando ver en este caso particular en la figura N7 que hay solamente componentes de secuencia positiva.

Vb

Vc Vaa 2Vc

aVb

3Va1a 2Vb

aVc

Figura N7

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Ejemplo: Determine las componentes simtricas para las siguientes tensiones Va=73 15, Vb= 200 -90 y Vc=240 100 volts Solucin: Las tensiones de fase expresadas en coordenadas rectangulares son: Va=70.51+18.89j Vb= 0.0-200j Vc=-41.68+236.35j

Luego las componentes simtricas se obtienen aplicando la ecuacin (16) o evaluando las expresiones dadas en (17).

Va 0 V = a1 Va 2

1 1 1 1 a 3 1 a 2

1 70.51 + 18.89 j 9.61 + 18.42 j 20.7762.44 = 156.42 + 12.27 j = 156.94.48 (volts) 0.0 200 j a2 a 41.68 + 236.35 j 95.52 11.79 96.24 172.96

3.- Algunas propiedades de las Componentes Simtricas 3.1.- Leyes de Kirchhoff

a.- Ley de corrientes de Kirchhoff (LIK) En base a la figura N8, se puede plantear las siguientes ecuaciones aplicando la LIK:

' " I a + I a + I a = 0 ' " I b + I b + b = 0 (18) I c + I c' + I c" = 0

Ia = Ia 0 + Ia1 + Ia 2 Ib = Ia 0 + a 2I a1 + Ic = aI Ia a2 0 + aI a1 + a 2I a

Ia

'

=I'

'

a0

+I'

'

a

+I 1

'

a2

Ib

=I'

a0

+a' a0

2

I a1'

'

I a2 +a

'

=I Ic Ia "2

+a

I a1

+a

2

I a2

'

Ib "

=I" a0

=I

" a0

Ic " =I

" a0

+a

+I" a1

" a1

2

+I

+a

I

I

+a2 2

" a2

" a1

+a

Ia "2

Ia "

Sumando las ecuaciones (18) y dividindolas por tres, se obtiene:

1 (I a + I b + I c ) + 1 I a' + I b' + I c' + 1 I a" + I b" + I c" = 0 3 3 3 ' " que es equivalente a : I a 0 + I a 0 + I a 0 = 0 (20)

(

) (

)

(19)

Del mismo modo se puede obtener al multiplicar la ecuacin (10) por 1, a y a , la relacin entre las corrientes de secuencia positiva para la LIK:

2

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1 1 ' 1 " " I a + aI b + a 2 I c + I a + aI b' + a 2 I c' + I a + aI b + a 2 I c" = 0 (21) 3 3 3que es en este caso equivalente a:' " I a1 + I a1 + I a1 = 0

(

) (

) (

)

(22)2

De manera anloga, al multiplicar la ecuacin (10) por 1,a y a, se demuestra que las componentes de secuencia negativa cumplen con la LIK:' " I a2 + I a2 + I a2 = 0

(23)

Las ecuaciones (20), (22) y (23) demuestran que las corrientes de secuencias de las Componentes Simtricas cumplen con la LIK, de igual manera que cumplen las corrientes de fases que inciden en un punto de la red.

b.- Ley de tensiones de Kirchhoffe (LVK) Como en el caso anterior, de la figura N9 se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones aplicando la LVK.Va

Va + Vb + Vc = 0 Va' + Vb' + Vc' = 0 (24) Va" + Vb" + Vc" = 0De manera similar como se oper con las corrientes, se puede demostrar que las tensiones de secuencia cumplen con la LVK:

Vb

Va" Vb" Vc"

Vc

Va' Vb' Vc'

Vao + Va' 0 + Va"0 = 0 Va1 + Va'1 + Va"1 = 0 Va 2 + Va' 2 + Va"2 = 0

(25)

3.2.- Clculo de potencia en funcin de las Componentes SimtricasIa

En un sistema trifsico la potencia aparente total en un punto se calcula como la suma de la potencia aparente calculada por cada fase (figura N10). Sea

Ib Ic

[Vabc ] [I abc ]

el vector columna de las tensiones de fase a neutro Va, Vb y Vc el vector columna de las corrientes Ia, Ib e IcVc Vb Va

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Por lo tanto:

S 3 = P3 + jQ3 = [Vabc ] I abcT

[ ]

(26)

La ecuacin (26) escrita en trminos de Componentes Simtricas, y teniendo en mente que

[T ][T ]* = 3[U ]

y [T ] = [T ] , se tiene la siguiente forma de la potencia aparente trifsica:T T

S 3 = [[T ][V 012 ]]

[[T ][I 012 ]]* = [V012 ]T [T ]T [T ]* [I 012 ]* = 3[V012 ]T [I 012 ]** I a0 * Va 2 ] I a1 = 3 Va 0 I a 0 + 3 Va1 I a1 + 3 Va 2 I a 2 * I a2

S 3 = 3[Va 0 Va1

(27)

Esto demuestra que la potencia aparente total de un sistema trifsico se determina como la suma de tres veces la potencia de cada secuencia y, se demuestra tambin, que no existe acoplamiento entre las potencias de cada secuencia 3.3.- Transformacin de Potencia Invariante Resulta conveniente e interesante poder trabajar en base a una transformacin de Potencia Invariante que puede ser denotada como T .

[]

Para trabajar con una potencia invariante se requiere que se cumpla lo siguiente condicin:

[T ][T ] = [U ]*

(28) (29)

De manera que:

S 3 = Va 0 I a 0 + Va1 I a1 + Va 2 I a 2

Se debe observar que la ecuacin (29) tiene una expresin distinta a la ecuacin (27); entonces, suponiendo que:

[T ] = 1 [T ] h*

(30)

se tiene que:

[T ][T ] = 1 [T ][T ] = h1 3 [U ] h* 2

(31)

Pero las ecuaciones (28) y (31) deben valer lo mismo, por consiguiente, para que sean numricamente iguales se debe cumplir que

h = 3 ; esto significa entonces que: 1 a a2

[]

1 1 = 1 1 a 2 T 3 1 a

(32)

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y su inversa vale:

[T ]

1

1 1 1 1 a = 3 1 a 2

1 a2 a

(33)

Esta nueva transformacin es frecuentemente encontrada en recientes literaturas de sistemas de potencia. Este resultado sugiere que se haga una nueva definicin de la matriz de transformacin de Componentes Simtricas, es decir, si sta es definida de la siguiente forma general:

de manera que

1 1 [T ] = 1 h 1 1 h 1 [T ] = 1 3 1

1 a a a a2 1 1 a a2 a2 a 12

(34)

(35)

entonces, se puede emplear : h=1 para transformacin de Fontescue y h= 3 para la transformacin con potencia invariante. De esta forma el clculo de la potencia queda con la siguiente expresin general:S 3 = 3 * * * Va 0 I a 0 + Va1 I a1 + Va 2 I a 2 2 h

(

)

(36)

Ejemplo: Suponiendo que las tensiones y corrientes de fases en un punto de un sistema trifsico son las siguientes:

0 [Vabc ] = 500 (kV ) 500 En este problema se trata de determinar: i) La potencia aparente total

5 [I abc ] = 5 j (kA) 5

5 S 3 = [Vabc ] [I abc ] = [0 500 500] 5 j = 2500 2500 j = 3535.5 45 ( MVA) 5 P3 = 2500 ( MW ) y Q3 = 2500 ( MVAR)T *

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ii)

las corrientes y tensiones en componentes simtricas.

[I 012 ] = [T ]

1

1 1 h [I abc ] = 1 a 3 1 a 2 1 1 h [Vabc ] = 1 a 3 1 a 2

1 5 11.18153.4 10 + 5 j = h 6.83 + 1.83 j = h 7.07165 (kA) 2 a 5 j 3 3 7.07 75 1.83 6.38 j a 5 1 0 0 0 = h 0.02 + 866.05 j = h 866.0590 (kV ) 2 a 500 3 3 866.05 90 0.02 866.05 j a 500

[V012 ] = [T ]

1

iii) La potencia aparente total empleando la ecuacin (36) y comparar con la solucin encontrada en i).11.18 153.4 3 3 h h * * * = 2 Va 0 I a 0 + Va1 I a1 + Va 2 I a 2 = 2 [0 866.0590 866.05 90 ] 7.07 165 3 h h 3 7.0790 = 3535.33 45 ( MVA)

S 3 S 3

(

)

3.4.- Impedancias a Secuencias de Lneas de Transmisin

3.4.a .- Impedancias a Secuencias de Lnea no Transpuesta La figura N 11 muestra una lnea de transmisin no transpuesta con impedancias propias y mutuas desiguales o desequilibradas y suIa Z aa poniendo que el neutro es un conductor perfecto.Ib Z bbZ ab

Z ac

Va V Dado que: [Vabc ] = Vb V Vc V ' a ' b ' c

Ic

Z cc

Z bc

Va Vb Vc

I n = ( I a + I b + I c )

Vc'

' Vb' Va

Figura N 11 Entonces, la cada de tensin por fase esta dada por:

[Vabc ] = [Z abc ][I abc ]

(37)

Z aa Donde: [Z abc ] = Z ba Z ca

Z ab Z bb Z cb

Z ac Z bc (38) Z cc

De manera que por condicin del problema debe considerarse que:

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Z aa Z bb Z cc

y Z ab Z bc Z ca

premultiplicando ambos miembros de la ec. (37) por T y sustituyendo las tensiones de fases y corrientes por sus componentes simtricas, se tiene:

[ ]1

[T ]1 [Vabc ] = [V012 ] = [T ]1 [Z abc ][T ][I 012 ] = [Z 012 ][I 012 ]donde se define la matriz de impedancias:

(39)

[Z 012 ] = [T ]1 [Z abc ][T ]Z s2 Z m2 Z s 0 Z m0 Z s1 + 2Z m1 Z s1 Z m1 Z s1 + 2Z m1 Z s 0 Z m0 (40)

como

Z 00 [Z 012 ] = Z10 Z 20 Z s0 =

Z 01 Z 11 Z 21

Z 02 Z s 0 + 2 Z m 0 Z 12 = Z s1 Z m1 Z 22 Z s 2 Z m 2

en la ecucin matricial (40) sean definido los elementos de la siguiente forma:

1 (Z aa + Z bb + Z cc ) Impedancia a Sec Cero (41) 3 1 Z s1 = Z aa + aZ bb + a 2 Z cc Impedancia a Sec Positiva (42) 3 1 Z s 2 = Z aa + a 2 Z bb + a Z cc Impedancia a Sec Negativa (43) 3 1 Z m 0 = (Z bc + Z ca + Z ab ) Impedancia mutua a Sec Cero (44) 3 1 Z m1 = Z bc + aZ ca + a 2 Z ab Impedancia mutua a Sec Positiva (45) 3 1 Z m 2 = Z bc + a 2 Z ca + aZ ab Impedancia mutua a Sec Negativa (46) 3

(

)

(

)

(

)

(

)

Debe destacarse que la matriz de la ecuacin (40) no es simtrica, y por consiguiente aparecen acoplamientos mutuos entre las tres secuencias, lo que no es deseable. 3.4.b .- Impedancias a Secuencias de lnea completamente transpuesta Para eliminar el acoplamiento mutuo entre las secuencias y equilibrar las impedancias propias por fase de una lnea, sta debe transponerse completamente, de manera que: Z s = Z aa = Z bb = Z cc y Z m = Z ab = Z ac = Z bc , entonces la ecuacin (38) se simplifica a:

Zs [Z abc ] = Z m Z m Z s + 2Z m por lo tanto: [Z 012 ] = 0 0

Zm Zs Zm

Zm Zm Zs 0

(47)

0 Zs Zm 0

0 (48) Zs Zm

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en donde se define:

Z 0 = Z 00 = Z s + 2Z m Impedancia a Sec Cero (49) Z 1 = Z 11 = Z s Z m Impedancia a Sec Positiva (50) Z 2 = Z 22 = Z s Z m Impedancia a Sec Negativa (51)Z 0 [Z 012 ] = 0 0

0 Z1 0

As, la ecuacin (40), se reduce a:

0 0 (52) Z2

Donde se observa que el efecto mutuo entre las secuencias se ha anulado. En la figura N12 se muestra las mallas a secuencias del circuito mostrado en la figura N11. I a2 I a0 I a1 Z0 Z1 Z2

Va 0

Va' 0

Va1

Va'1

Va 2

Va' 2

Figura N 12

Problemas:1.- Si la suma fasorial de un sistema de corrientes trifsicas es diferente de cero, existir la circulacin de corriente por el neutro. Determine la relacin entre la corriente I n y la corriente de secuencia cero

Ia Ib Ic In

I a0 .

2.- Si una carga trifsica desbalanceada es conectada a un sistema de tensiones trifsicas balanceadas, el potencial del punto n A del neutro de la carga es diferente al a potencial del neutro N del sistema de tensiones. Determine la relacin entre la diferencia de tensin V Nn y la tenNn

sin de secuencia cero

Van 0CBc

b

PUCV-EIE

SEP

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3.- Cada transformador de corriente (TC) tiene una razn de vueltas igual a 400/5. Las corrientes por fase estn mostradas en el diagrama fasorial. Calcule las corrientes restantes y relacione las corrientes I 4 , I n y I a 0In Ia Ib

CT3CT2

I 3 = 4090

Ic

CT1

I1

I2

I3

I1 = 400

I4

I 2 = 30240400 ( A)

4.- Las lecturas de los ampermetros instalados en cada fase de una lnea trifsica, con carga conectada en tringulo (o en estrella sin neutro conectado o flotante), se muestran en la figura. Determine las componentes simtricas de las corrientes, ocupando CSs definidas por Fontescue y luego por segn la definicin de Potencia invariante.

5.- Bosqueje un conjunto de fasores en Componentes Simtricas para un sistema pentafsico, indicando claramente el ngulo de desfase entre ellos en cada secuencia. Calcule el operador a y forme la matriz directa

[T ] e inversa [T 1 ] .

6.- Demuestra que, en un sistema trifsico, en las tensiones entre fases (o de lnea a lnea) expresadas en componentes simtricas no existe la secuencia cero. 7.- Determine la secuencia de la tensin entre terminales a-b del filtro mostrado en la figura.

2R

3R2R

R

R

3R

PUCV-EIE

SEP

16 de 19


8.- Determine el circuito Thevenin equivalente y las expresiones para la tensin y corriente de este filtro de secuencia.

1 :1j R 3

R 3

2 R 3

E xy I xy

9.- Las corrientes y tensiones en un punto de un sistema elctrico son las siguientes:

I a = 500 + j150 ( A);

I b = 100 j 600 ( A);

I c = 300 + j 600 ( A)

V a = 4.1620 (kV ); V b = 4300280 (kV )

Vc = 3.95150

(kV )

Determine, segn la definicin de Fontescue y segn la definicin de potencia invariante, los siguiente:: 1. La potencia total transmitida por la lnea 2. la potencia trifsica de sec(+) 3. la potencia trifsica de sec(-) 4. la potencia trifsica de sec(0) 10.- Otro sistema de componentes son las denominadas Componentes de Clarke o Componentes 0 , donde la matriz directa es la siguiente:

T0

1 = 1 2 1 2

03 2

3 2

1 1 1

Con las componentes de Clarke repita el problema N9

11.- Determine las condiciones entre las impedancias Z y Z para que en los terminales x-y slo se obtenga componentes de secuencia negativa de un sistema trifsico desbalanceado (Filtro de secuencia negativa).

Z

Z

PUCV-EIE

SEP

17 de 19


12.- Determine las condiciones que se deben cumplir para que el siguiente circuito sea un filtro de secuencia negativa de componentes simtricas T: derivacin en el punto medio del devanado. Tambin: 0 1

N :1

Z

RN :1T 2T 2

R

13.- Determine las condiciones que las impedancias Z y Z deben cumplir para que con el siguiente filtro de tensin se obtenga slo tensin de sec(+) entre los terminales x-y.

N :1

Z

Z

T 2 T 2

N :1

14.- Esquematice las mallas de secuencias para las siguientes redes.

G

M

G

G

M

G

PUCV-EIE

SEP

18 de 19


15.- Demuestre fasorialmente que el siguiente circuito es un filtro de corriente proporcional de Sec(-)

Z a = Ra 60

R

0

V0

V1

Z b = Ra

V2

PUCV-EIE

SEP

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componentes simétricas (apunte)

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