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CONCEPTASDE MATEMATICA,

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En este número:

iMatemática Moderna en la

escuela primaria.í

! La axiomática en acción.¡

Nociones sobre cálculo de probabilidades.

i¡ ¿Qué es un cuadrilátero?i,

■

iY otros más.

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La matemática en la escuela secundaria - L. A. Santaló

Algebra para escuelas secundarias (t- I) - O. Varsavsky

Algebra para escuelas secundarias (t. II) - O. Varsavsky

Introducción ai álgebra - Nociones de álgebra lineal. -M. Cotlar y C. R. de Sadosky.......................................

Introducción a la teoría cíe conjuntos - L. Oubiña..........

Enseñanza de la matemática moderna en el primer cur­so (para profesores) - C. A. Trejo y J. E. Bosch. . . .

Ciclo medio de matemática moderna (primer curso) - C. A. Trejo y J. E. Bosch . . .

La nueva matemática - I. Adler .

Las grandes corrientes del pensamiento matemático. - F. Le Lonnais .........................................................................

Introducción a la matemática finita - J. G. Kemeny, J.

Mirkil, J. L. Snell y G. L. Thompson-

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Iapareció! MATEMATICA INTUITIVAi

ANA G. DE HOUSSAY - AURORA G. DE ROMERO - IIDIA V. VICENTE

En esta obra las autoras exponen el material didáctico usado en sus las experiencias vividas en los cursos piloto autorizados por la So-

Educación de la Nación para la enseñanza de ia

DE MATEMATICAclases y cretaría de Cultura y Julio - Agosto - Septiembre 1967Año I N9 3matemática.

Es una muestraorientaciones modernas, por lo que el libro será un elemento útil pare el profesor que no sólo debe encarar nuevos temas sino también nuevos enfoques en el tratamiento de temas clásicos, según lo dispuesto por Resolución Minis­terial N*? 1772/65. El contenido del libro abarca temas correspondientes a los tres cursos del ciclo básico de los programas vigentes y al programa de Geometría del Espacio.

Al texto se agrega una guía para el profesor en la que se fundamenta el enfoque metodológico y la organización de los contenidos. Dicha guía será de gran utilidad para todos aquellos que se interesen en el problema del aprendizaje y en una didáctica apropiada a la moderna enseñanza de la matemática.

viva de la forma de conducir el aprendizaje siguiendo

CARTA AL LECTOR* El material de este tercer número es abundante y escogido. A las notables contribuciones de Papy, Sebas- tiao e Silva, Santaló, Trejo y otros, agregamos hoy tres notables aportes. Zoltan P. Dienes, acaso el más renom­brado de los actuales pedagogos de la matemática nos escribe sobre “La matemática moderna en la escuela pri­maria’; la extraordinaria pedagogo polaca A. N. Kri- gowska se refiere a la “axiomática en acción \ y para que

interioricemos sobre el pensamiento de un matemá­tico y filósofo de altísima alcurnia, publicamos algunas “Reflexiones” de Wittgcnstein.* No quedaríamos conformes si no hubiéramos dado lu­gar a trabajos de docentes argentinos y latinoamericanos. Del paulistano Sangiorgi entregamos una clara exposición sobre máximo común divisor y mínimo común múltiplo; los argentinos, además de los trabajos de Trejo, Santaló y Vólker, se hacen presentes con colaboraciones de Emilio De Ceceo y Yolanda Mazzantini de García. No dudamos que todos ellos merecerán la atención de sus colegas y los estimularán en la redacción de sus propias colaboraciones.* Pero el espacio que es tirano nos ha jugado una mala pasada, liemos debido dejar para el próximo número, y lo lamentamos, el trabajo de Raúl A. Chiappa sobre ope­raciones binarias internas. Y muy a pesar nuestro, sólo podemos informar escuetamente sobre la segunda exposi­ción escolar del C. I. M. P. (Proyecto Matemático Cana­rio) realizado con gran éxito del 10 al 15 de junio pasado, pero prometemos ocuparnos con más detalles en el próxi­mo número.

i CONCEPTOS DE MATEMATICA

Publicación trimestral S.'Jo: r-imái-.rlos Blanco 2045 - Bs. As.li

I director - Editor

JOSÉ BANFII

Onos

Asesorov. Jocó 8cbin¡, Frcdériquc Papy, Georgcs Papy, Juan I. Blaquier, luis A. Santaló.

Precio "Guía para el Profesor": $ 150.—Precio: $ 950.—Precio para docentes: $ 550.— — Con certificados —. i

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio Do Ceceo, Haydóc Fernández, Elsa Sab- battiollo, Andrés Valciras y Cristina Vcrdaguer de Bcnfi.

Dibujando: Arquitecto Julio R- Juan.

Editorial TROQUELBUENOS AIREST. E. 38-0118 / 0349SAN JOSE 157

i Suscripción anual: Argentina mSn. 600. Exterior, 4 dólares o el equivalente

icda do cada país, los giros.

en monpostales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre do CONCEPTOS DE MATEMATICA.

!NUEVA EDICION

Ejomplar suelto: m$n. 200.-

Lugarcs do vonta: En nuestra sede, Fer­nández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo. Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Rcsio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires; Librería del Azul, San Martín 472, Azul; Li­brería "Erasmo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universi­tario, H. Yrigoyen y San Juan, Co­rrientes.

Para colaboraciones, números atrasao’os, suscripciones y avisos, dirigirse di­rectamente al editor.

Rogistro do la Propiodad Intoloctual: N9 927.648.

Elsa Elena Sabbatiello

UN RECURSO DIDACTICO PARA LA ENSEÑANZA DINAMICA DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL

11

SU APIICACION Y UTILIZACION EN LA ESCUELA PRIMARIA

iNo es ni un tratado de geomclría ni un cuaderno de apuntes o ejercicios. La autora presenta ideas para utilizar con provecho un modelo matemático cómodo para una enseñanza activa y dinámica en la escuela primaria.

En 250 páginas de texlo ¡lustrados con más de 450 figuras que facililan la comprensión, se estudian los siguientes lemas: El geoplano como espacio geométrico; Las figuras fundamentales; Fracciones; El punto, la recta y el plano; Angulos; Triángulos; Cuadriláteros; Circunferencia; Polígono; Simetría y semejanza; Movimiento del geoplano; Conjuntos y operaciones.

* Finalmente, queremos recomendar la atenta lectura de la respuesta del señor José E. Cura a la carta abierta del señor R. Helsdon publicada en el número anterior. Se tra­ta de las reflexiones de un aficionado que ha sentido la necesidad ele responder, dentro de sus posibilidades, a opiniones que, por lo menos, son audaces. Si una persona ajena al quehacer docente no ha vacilado en hacer cono­cer su opinión, ¿cuánto no tendrán que decir los docentes en matemática, tan informados e interesados como los sa­bemos, para elucidar esta importante cuestiónP

Los saluda atentamente,

♦Impreso en COGTAL

Rivadavia 767, Capital

En ol próximo número: Introducción o la lógica matemática; Probabilidades y estadística; Opcracionos binarias internas y elemontos especiales; La escuola primaria y la matemática.Ediciones G.A.Y.P.

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2

!

ESPACIO DE POLEMICA * EL PANORAMA

Una respuesta D reparación de profesores de

matemática'toy acostumbrado a hacer esas cosas y otras más relacionadas con la matemática todo, advierto mi insuficiencia para él nejo de la matemática que la industria re­quiere.

Pero sería muy necio y torpe de a ni par­te no comprender que, además de las ne­cesidades de la industria —que no entien­do porque han de ser consideradas de “sór­dido utilitarismo”— existen, a mi juicio, mil razones para justificar el papel de la enseñanza de la matemática moderna. No sólo porque lo aconsejan los intereses de los estudiantes, sino también porque me parece ridículo impartir enseñanza anticua­da y, a veces, “obsoleta”. Lo que importa, creo yo, es que el alumno capte la estruc­tura de la disciplina y sea capaz de cons­truir por sí solo razonamientos silogísticos correctos, lo que es, si bien se mira, algo que tendrá que hacer cuando deba resol­ver muchas de las cuestiones que encara cotidianamente.

Y no se crea que no advierto la vaguedad y aun la oscuridad de muchos de los enun­cidos que figuran en los textos de matemá­tica moderna. Pero, obsérvese bien que, si estamos en un momento que ha sido cali­ficado de revolucionario, resulta lógico que en las primeras etapas abunden las impre­cisiones en el lenguaje y las oscuridades en la notación, y aun incoherencias en los conceptos y en los desarrollos. Todo eso se irá puliendo naturalmente con el tiempo; cuando todo eso ya haya ocurrido, acaso haya llegado el momento de pensar en otra revolución en la matemática.

Creo que podrían hacerse otras observa­ciones a la carta del señor HELSDON, pero me limitaré a una pregunta: ¿Habrá muchos industriales tan onnubilados como para admitir que la construcción de nue­vas escuelas o los salarios de los maestros puedan sólo depender de que se satisfagan las necesidades de los industriales?

Me resisto obstinadamente a creer que esa opinión pueda ser compartida por mu­chas personas de la industria o fuera de

José E. Cura

Soy, simplemente, un lector de CON­CEPTOS DE MATEMATICA y mis cono­cimientos no van más allá de los recuerdos de la enseñanza primaria y secundaria; in­cluso se me puede incluir entre los tantos que odiaban a la matemática, perdido co­mo me encontraba entre el fárrago de de­mostraciones y ejercicios, cuya corrección captaba aun cuando se me escapaba el curso lógico de la organización de la dis­ciplina.

Abundantes lecturas para ubicarme co­herentemente en la orquestación de nues­tro tiempo me introdujeron en los libros de divulgación y algo cambió en mí pero no mucho. Un día me enfrenté con el libro de F. LE LIONNAIS, Las grandes corrien­tes del pensamiento matemático y lo leí lenta, despaciosamente. Se me abrieron los ojos y pude comprender la importancia de la matemática para la compleja civiliza­ción en que debemos actuar. Pude así in­troducirme en sus estructuras, en sus fun­damentales conceptos de número, espacio, función, grupo, probabilidad; conocer al­go de su pasado, su presente y su futuro; vislumbrar su influencia en la filosofía, en las ciencias naturales, en el arte, en las técnicas.

Creo haber interpretado el sentido revo­lucionario de la matemática moderna, la búsqueda de una unidad conceptual, la ne­cesidad de encontrar esquemas que permi­tan dar idea de cómo es todo el edificio matemático. Creí haber adquirido una con­cepción correcta y suficiente para mis in­quietudes cuando tropiezo, de improviso, con la carta abierta del señor R. M. I-IELS- DON. Naturalmente, me quedé alelado. ¿Cómo es posible que un profesor univer­sitario se exprese en esos términos? ¿Se puede ser tan corto de vista? ¿Estará dicha persona realmente convencida de que pa­ra la industria sólo se necesita “habilidad para sumar y restar, usar una regla de cálculo, leer tablas matemáticas y sustituir cifras en una fórmula extraída de un libro de referencia”? Porque, hablando con fran­queza, en mi pequeñísima industria yo es-

y, con rna-

■

L. A. SANTALO y H. R. VÓLKER (Argentina)

III. LOS CONTENIDOSEs bastante común dividir la enseñanza

media o secundaria en dos ciclos: un ciclo básico o elemental (muchas veces común para todos los alumnos) y un ciclo supe­rior, en el que caben diferentes orienta­ciones: bachillerato (humanista o científi­co), magisterio, enseñanza comercial y otras.

Se presentan así fundamentalmente dos posibilidades: a) preparar profesores de un nivel único, para ambos ciclos; b) dis­tinguir entre la preparación de los profe­sores del ciclo básico y la de los del ciclo superior.

En los Estados Unidos de Norteamé­rica se distinguen más niveles entre los profesores de enseñanza media (ver las “Recommendations for the training of teachers of mathematics” de la Mathema- lical Association of America, enero de 1961) pero para la mayoría de los demás países americanos parece que sólo resul­tan recomendables a lo sumo dos niveles.

De acuerdo con este criterio y teniendo en cuenta los aspectos básicos caracteri­zados en el capítulo II, se indica a conti­nuación un conjunto mínimo de conoci­mientos matemáticos y pedagógicos exigi- bles a un profesor secundario, distinguien­do, por cierto, la posibilidad de los dos niveles aludidos, pero sin hacer mayor hincapié en ellos. Para la redacción de es­tos contenidos se tuvo en cuenta el progra­ma de Dusseldorf a pesar de que éste fue preparado en su momento con otros fines. También cabe señalar aquí que se tuvo a la vista un plan para la formación de profesores, preparado por el Departamen­to de Matemática de la Facultad de Cien­cias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires y las sugerencias que sobre él formularon los profesores A. Pereira Gomes (de Brasil) y C. Abuauad (de* Vóasc No 2, pág. 1M2 (N. do R.)

Chile). El orden en que se enumeran y caracterizan las materias no implica, por cierto, que deban cursarse en esa sucesión, ni tampoco que sus contenidos no puedan reagruparse, acaso de un modo más con­veniente que el propuesto.

1) Análisis I. El número real. Conjun­tos de números reales. Límites. Series de números.

Funciones de una variable real. Continui­dad. Derivadas. Máximos y mínimos de funciones de una variable. Derivadas suce­sivas. Fórmula de Taylor.

Integral de Riemann. Funciones primi­tivas. Métodos de integración.

Aplicación al cálculo de áreas y volú­menes.

Geometría analítica del plano. Angulos y distancias. Coordenadas polares. Algunas propiedades de las cónicas.

2) Análisis II. Algebra vectorial. Geo­metría analítica lineal del espacio. Angu­los y distancias. Las cuádricas por sus ecua­ciones reducidas.

Cálculo diferencial de varias variables. Fórmula de Taylor. Máximos y mínimos de funciones de varias variables.

Integrales dobles y triples.Analítica vectorial: gradiente, divergen­

cia, rotor. Fórmulas integrales vectoriales.3) Cálculo numérico. Sistemas de

ciones lineales. Programación lineal. Opti­mización.

Solución numérica de ecuaciones.Ecuaciones diferenciales. Métodos apro­

ximados de integración.Las posibilidades de las computadoras

electrónicas.Algunos modelos matemáticos de las

ciencias sociales, economía y psicología.4) Algebra. Conjuntos. Relaciones, Fun­

ciones. Relaciones de equivalencia y re­laciones de orden.

\

i'

.

ecua-

ella.

4 5

8) Fundamentos de la Matemática. Al­gebra de conjuntos. Algebras de Boole. Lógica simbólica y álgebra proposicional. Ejemplos de aplicación del álgebra de Boo­le a la teoría de circuitos.

Axiomática de los números naturales, en­teros y racionales.

Breve historia de las ideas y escuelas matemáticas.

9) Complementos de Geometría1. For­mas diferenciales. Cálculo diferenci é exte­rior. Fórmula de Stokes en casos simples.

Geometría diferencial de curvas y super­ficies del espacio euclidiano. Geodésicas. Curvatura total.

Elementos de la geometría de los espa­cios de Riemann. Cálculo tensorial.

10) Complementos de Análisis \ Funcio­nes analíticas de una variable compleja. Representación conforme. Ejemplos de su­perficies de Riemann.

Integral de Cauchy. Residuos.Cálculo de variaciones: problemas clá­

sicos.Nociones de espacios normados. Ejem­

plos.11) Seminario elemental de Matemáti-

Estructuras algebraicas. Grupos. Grupos de transformaciones. Ejemplos de grupos abstractos y de grupos de transformaciones. Subgrupos. Anillos. Cuerpos. Geometría sobre un cuerpo finito. Anillos de polino­mios con coeficientes en un cuerpo. Divi­sión de polinomios. Máximo común divisor. Descomposición de fracciones racionales en elementos simples.

Enunciado del teorema fundamental del Algebra.

5) Algebra Lineal. Espacios vectoriales Independencia lineal: bases de un espa­cio de dimensión finita. Dualidad.

Aplicaciones lineales. Cálculo matricial.Formas lineales. Formas multilineales.

Determinantes.Vectores propios y valores propios de un

endomorfismo: ecuación característica. Re­ducción de una matriz a la forma diagonal.

Formas cuadráticas.Espacios vectoriales euclidianos: bases

ortonormales. El grupo ortogonal.6) Geometría. Transformaciones métri­

cas, afines y proyectivas en el plano y en el espacio. Ejemplos de transformaciones cuadráticas. ,

Idea del programa de ErJangen.Nociones sucintas de axiomática tipo Ilil-

bert de la geometría euclidiana. Axiomá­tica de la geometría via Algebra Lineal (Artin).

Modelos euclidianos de las geometrías no-euclidianas.

Elementos de topología combinatoria. Al­gunos problemas de redes (graphos) en el plano. Clasificación topológica de las su- perficies: orientabilidad y número de Eu-

LA ENSEÑANZA DE LOS N/ÑOS

Matemática modernaI

en iNOTAS SOBRE LA ESTRUCTURA SENTENCIAL, LA GRAMATICA Y LAS RELACIONES MATEMATICAS

ZOLTAN P. DIENES (Canadá)

ra estructurar el sintagma correspondiente. Tarea de la escuela será, desde el primer día, recoger y sistematizar cuanto el am­biente ha hecho surgir en la mente del ni­ño. Esto quiere decir que la escuela tendrá que planificar experiencias, concretadas *en juegos y rompecabezas o acertijos adapta­dos a la capacidad de comprensión del ni­ño, logrando con ello una sistematización de las relaciones conceptuales propias de esta edad.I. TIPOS FUNDAMENTALES

DE RELACIONES.

El niño “manipula” múltiples relaciones desde los primeros momentos de su vida. Esta “manipulación” se descubre en su pro­pio lenguaje, en las expresiones de que se vale para comunicarlas a sus semejantes. A veces no utiliza el niño la palabra, pero de su conducta o procedimiento, de su ac­tividad práctica se evidencia el correcto uso de tales relaciones: “después”, “antes”, “de­bajo”, “mañana”, etcétera.

Este aprendizaje no es el fruto de una sistemática y propuesta finalidad, sino que el niño lo adquiere en virtud de su inme­diato contacto con el medio en que vive y actúa.

Cuando el niño entra por vez primera en la escuela, a los seis, cinco o siete años —se­gún donde viva— lleva consigo un gran re­pertorio de conceptos relacionantes, siendo capaz de expresar muchos de ellos por me­dio de palabras, construyendo correctas sentencias -o proposiciones. A veces el niño es pobre en léxico, y, en este caso, sus con­ceptos relacionantes sólo logra expresarlos mediante situaciones concretas, faltándole la habilidad lingüistica que le capacite pa­

ca l.Observaciones:

1. Las materias indicadas con la llama­da (J) pueden suprimirse en el caso de un profesorado para el ciclo básico.

2. En el plan de estudios deberán figu­rar, además, algunas materias complemen­tarias, como uno o dos cursos de Física (principalmente Mecánica o Física-mate­mática) y otras de carácter pedagógico (Didáctica de la matemática, Psicología del aprendizaje, etc.).

3. Es interesante incluir en el plan de estudios un seminario sobre la Enseñanza de la Matemática Moderna, con informa­ción y discusión sobre los ensayos realiza­dos en cada país y sobre los resultados y i ecomendaciones de las conferencias inter­nacionales sobre ese tema.

Algunos de los tipos fundamentales de relaciones pertenecen a sucesps que han d*e clasificarse conjuntamente, miéntras que otras hacen referencia a aconteceres que deben clasificarse por separado. El hecho de que tendamos a clasificar sucesos con­juntos, nos lleva a la idea de relaciones de equivalencia. En el otro caso, desemboca­mos en la relación de diferencia.

La igualdad y la diferencia de los acon­teceres, la igualdad y la diferencia de atri­butos, nos facilitan el movimiento dentro de nuestro mundo, inicialmente caótico. De esta manera comenzamos nuestra actividad clasificatoria a partir de nuestra más tem­prana infancia. Pensamos que una de las tareas primeras de la escuela debe consis­tir en cultivar, en hacer posible el desarro­llo de tales relaciones de una forma siste­mática. Cuando los niños han aprendido a discriminar los colores, ellos han conseguido construir la relación

.. .TENER EL MISMO COLOR..... .TENER DIFERENTE COLOR...

1er.7) Probabilidades y Estadística. Axio-

nas del cálculo de probabilidades.Algunas leyes de probabilidades: bino-

inial, de Poisson y de Laplace-Gauss. Fun­ción generatriz de momentos.

Muestras. Estimación. Verificación de hi­pótesis: método del X2. La distribución de Student.

Dependencia estadística. Correlación.Aplicaciones de la estadística a proble­

mas de física, biología, ciencias sociales y v la psicología. Evaluación de métodos de enseñanza.

i* Esto artículo del notable pedagogo do la matemática,

DIENES, publicado en BULLETIN OF THE INTERNATIONAL STUDY GROUP FOR MATHEMATICS LEARNING, 1966, fue traducido por J. B. CAPARROS MORATA, quien manifiesta:

"Los lectores de CONCEPTOS DE MATEMATICA forzo­samente deben hacerse a la idea de que no es posible, hoy por hoy, hacer didáctica moderna en ?a escuela sin tonor en cuenta las aportaciones do Dienes. La riqueza de con­ceptos, el original enfoque do la temática tratada en esto artículo nos descubro una voz más la recia personalidad múltiple del alma de tantos singulares proyectos matemá­ticos Quicnos conocemos pormenorizadamonte la génesis, el proceso del LEICESTERSHIRE MATHEMATICS PROJECT, no nos cansaromos de recomendar el ostudio do todos los trabajos de Dienes, pues son, a nuestro leal y nob!b en­tender, lo más completo, serio y concienzudo que se ha hocho —se ostá haciondo- on el novísimo campo de la didáctica matemática moderna."

IV.-MODELOS DE PLANES A título ilustrativo. se agrupan seguidamente

poi anos de estudio, las materias a que se ha echo referencia en el capítulo anterior y se in­

dica el numero de horas semanales sumiblemcntc podrían ser dictadas.

con que pre-

(Continúa en !a pág. 1°)

76

introduzcan sus propias variantes, estimu­lándolos convenientemente, las posibilida­des quedarán multiplicadas. Esta libertad e iniciativa del niño podrán dar lugar a es­tas tres posibilidades:

a) No habrá desazón o turbación.b) Algunas sentencias podrán formular­

se sobre contenidos falsos, pero con estructuras exactas.

c) Algunas sentencias se formularán in­correctamente.

Distinguir las situaciones b) ye) será un excelente ejercicio de lógica.

Por ejemplo, si reemplazamos:“en el patio” por “en el tejado”

algunos niños pueden decir que Ud. no puede dormir en el tejado. Otros podrán manifestar que no se trata de saber si es o no posible dormir en el tejado, puesto que la sentencia, real o no, concordante con la objetividad o no, puede ser una sentencia dotada de sentido. Pero si reemplazamos:

“JUAN” por “SOBRE EL TEJADO” entonces obtendremos sentencias de este tipoSOBRE EL TEJADO ESTA JUGANDO

EN EL PATIO”Esta sentencia no tiene sentido alguno. Lle­gado a estas situaciones, el niño tendrá que comprender perfectamente que hay sen­tencias con sentido y sentencias sin sentido en correspondencia con sentencias verdade­ras y sentencias falsas. Habrá que distin­guirse entre SENTIDO, NO SENTIDO, VERDAD, FALSEDAD.

mos formar una proposición como la si­guiente:“JUAN ESTA JUGANDO EN EL PATIO” Esta sentencia puede cambiarse en la si­guiente, en virtud de una relación de unasola diferencia:“JUAN ESTA JUGANDO EN LA CASA” Hemos alterado sólo el complemento delverbo.Con los niños de seis años podemos estable­ar eí siguiente convenio:

JUAN r- rojo ; está jugando := cuadrado. El amigo de Juan n- azul; está dando vuel­tas triángulo.El perro ^ amarillo ; está durmiendo r= rectángulo: está aiir.cuvsndo r-— círculo,

en el patio nzr grande en ia cas?. ^ pequeño

En este supuesto, la relación entre las dos sentencias cor responde a una relación de diferencia do tamaño entre

fácilmente discriminados o reconocidos por todos los niños, incluso por aquellos que están afectados de ligeras cegueras para los colores.

Es obvio e innecesario describir la múl­tiple variedad de experiencia que estas pie­zas o bloques pueden facilitar para los jue­gos y ejercicios sobre las relaciones tales como:

.. .TENER LA MISMA FORMA...

.. .TENER EL MISMO TAMAÑO..... .TENER LA MISMA FORMA Y TA­

MAÑO... etc. etcétera.

Muchos de estos juegos y ejercicios han sido descritos en números anteriores de este BOLETIN. Los ejercicios de Hull figuran especialmente en los números 2 y 3 del Vol. I.

Ejercicios de diferenciación pueden ser, por ejemplo,

.. .TENER DIFERENTE FORMA Y LO DEMAS IGUAL...

.. .TENER DIFERENTE COLOR...

...TENER DOS ATRIBUTOS DIFE­RENTES. ..

Si no se dispone de estos conjuntos de bloques, podrán actuar como elementos los propios niños, escogiéndose atributos y va­lores adecuados, previo convenio entre los mismos niños. Por ejemplo: color de los ojos, sexo, color de los zapatos, tipo de pelo (rizado o liso, etc.) etc. Fácil prender cómo han de practicarse estos jue­gos, a partir de la definición dél referencial o UNIVERSO: todos los alumnos presen­tes en clase. Entre ellos podrán formarse o estructurarse las relaciones de equivalen­cia y diferencia que deseamos, colocando en una misma hilera los niños que respon­dan a la relación que estemos establecien­do.

Igualmente pueden proponerse juegos bidimensionales, formando una cruz o do­mino. De acuerdo con la ley de formación, cada alumno ira ocupando su puesto en los distintos puntos de las líneas cruzadas.

III. EL USO DE SENTENCIAS O PROPOSICIONES

EaSoí^ac*0nes de diferencia, tales comogerente forma y

LO DEMAS IGUAL.pueden servir para la formulación de sen­tencias o proposiciones. Por ejemplo, pode-

Lograda la idea del número natural, los niños llegan cómodamente a establecer la relación de equivalencia aplicada a los juntos

. ..TENER EL MISMO NUMERO DE ELEMENTOS...

.. .TENER DIFERENTE NUMERO DE ELEMENTOS...

Algunas sugerencias van a ser formula­das, en lo que sigue, como normas de traba­jo escolar para llevar al niño a la compren­sión sistemática de las intuiciones que el ya posee acerca de “semejante” y “no se­mejante”.

son

con-

II. EL EMPLEO DE MATERIALES CONCRETOS O DE SITUACIONES

CONCRETAS.

Antes de que una relación pueda esta­blecerse, nosotros necesitamos saber qué es lo que tratamos de “RELACIONAR” y con qué deseamos “RELACIONARLO”. En otras palabras, necesitamos definir o pre­cisar el CONJUNTO REFERENCIAL o UNIVERSO, o como decían los antiguos ló­gicos: el universo del discurso.

Si queremos usar los artibutos de color y forma, por ejemplo, con el fin de estable­cer unas relaciones de equivalencia y de diferencia, entonces debemos tener algunas definidas combinaciones de forma y color a los cuales poder atenernos o referirnos. Dado que nosotros no podemos actualmen­te "manipular” el color y la forma sin dis­poner o tener a mano ciertos colores y cier­tas formas, (toda vez que ambos son abs­tracciones y no objetos reales), precisare­mos preparar un cierto conjunto de objetos dotados de atributos tales que nos permitan las manipulaciones en orden a las relacio­nes que deseamos estudiar. Los bloques ló­gicos de William HULL, o cualesquiera otros similares, podrán usarse para estos fi­nes. Por ejemplo, podremos preparar conjunto de bloques lógicos a base de cua­tro formas, tres colores y dos tamaños. Si cada combinación queda representada una vez, y sólo una, dispondremos de un juego o conjunto de 24 bloques. Las formas más usuales son: círculo, rectángulo (NO CUA­DRADO), triángulo (EQUILATERO), cuadrado. Los colores más frecuentes son: rojo, azul y amarillo. Los tamaños, grande y pequeño Todos estos atributos y valores

UN CUADRADO ROJO GRANDE y UN CUADRADO ROJO PEQUEÑOVemos, por tanto, que podemos cambiar

sólo uno de los atributos, los dos o los tres al mismo tiempo. Con ello obtenemos in­mediatamente siete relaciones de diferen­cia.

De acuerdo con la ley del juego de di­ferencia, practicado con los bloques de Hull, podemos construir series de senten­cias, hileras de x^roposiciones. Los niños se mostrarán sumamente interesados cuando se les pregunte qué sentencia representa un determinado bloque en forma sentencial, y cuando se le pida mostrar o coger el blo­que que corresponde a una sentencia dada. Integrando a los niños de una clase en equi­pos, y haciendo que los miembros de uno de ellos pregunten o pidan a los miembros del otro que muestren o cojan el bloque exacto o la sentencia exacta, se crea una saludable atmósfera competitiva, animada, estimulante, didáctica.

Naturalmente, no podemos aconsejar que este tipo de actividades lúdicas, cargadas de tanta significación lógica, tenga que quedarse limitado a la situación concreta del conjunto de bloques. Nosotros podemos — y debemos—, alterar, enriquecer el “dic­cionario” apuntado, es decir, enriquecer la variedad de proposiciones. Así evitaremos cualquier riesgo de asociación “cerrada”, es­tereotipada. Si permitimos que los niños

es com-

IV. CLASES DE EQUIVALENCIA DE PALABRAS.

Los niños comenzará así, muy temprano, a acumular listas de palabras o expresiones que “encajarán” en ciertos lugares sin for­mar o tener sentido.Si el juego concede o permite cualquier alteración con tal de que la alteración forme sentido con las otras combinaciones, entonces estaremos en ca­mino de construir clases de palabras o ex­presiones que forman familia por algunas razones muy reales o iDragmáticas. Las pa­labras o expresiones que nosotros podamos usar en equivalencia de los colores nos darán la idea del sujeto de una sentencia. Si limitamos el juego de forma que sólo sea permitido reemplazar una palabra, ta-

un

98

LA ORIENTACIONnadas rotaciones con estos cuerpos se ob­tendrán cambios de una sentencia en ottra. Si las sentencias son más largas que las que acabamos de considerar en líneas preceden­tes, entonces podremos usar dos o más cuer­pos o piezas para escribir las sentencias.

Cambiando de un cuerpo a otro, con el otro en la misma posición que el primero, puede ser el equivalente físico de un cam­bio. Si los bloques de diferentes formas y colores son empleados, nosotros podemos tener un primer bloque y un segundo blo­que, y el color del primer bloque puede ha­cerse corresponder con algún valor del se­gundo bloque, diferente del valor color, y así sucesivamente.

Si han de usarse distintos modos verba­les, diferentes tiempos, ello también será posible. No hay razón alguna para que no podamos convenir:

está jugando cuadrado estaba jugando = triángulo estará jugando = rectángulo ha estado jugando = círculo

Las combinaciones o variaciones posi­bles son interminables. Dejamos al lector el ejercicio o tarea de pensar o planificar una metodología del aprendizaje del len­guaje basado en el estudio de las relacio­nes de diferencia y equivalencia.

les palabras serán NOMBRES. Las expre­siones representadas por formas serán pre­dicados. Si nos limitamos a una palabra — o tal vez a dos de la forma.

is.. . —andoentonces estaremos construyendo verbos.La relación de equivalencia entre estas ex­presiones y/o palabras puede ser expresa­da por:

“DEBE REEMPLAZARSE EN LA MIS­MA POSICION PERO SIN QUE LA HA­GA ABSURDA".

No estamos sugeriendo que a los niños de seis años se le den lecciones de gramá­tica. Nos estamos limitando a sugerir que tales ejercicios son una excelente prepara­ción básica para el eventual aprendizaje de la estructura de la lengua. El estudio con­junto de las relaciones en la lección de ma­temática y en la lección de lengua materna permitirá al niño pensar acerca de las re­laciones subyacentes entre las estructuras lógicas y las lingüisticas. Y este pensar se­rá mucho más profundo que el logrado pol­la didáctica tradicional.V. CONCLUSION.

En distintas partes o caras de los cuadra­dos, triángulos, cubos, tetraedros... pueden escribirse sentencias. Al practicar determi-

La reforma BelgaG. PAPY (Bruselas)

La intensiva y extensiva experiencia de renovación de la enseñanza de la matemá­tica en Bélgica nutre, en este curso lectivo, en su noveno año.

La experiencia desemboca en la clase final de Ja sección científica de la ense­ñanza secundaria (17 a 18 años).

Es posible y útil analizar el tema.En este movimiento, que ha cumplido

ahora nueve años, se distinguen tres gran­des períodos de tres años cada uno.

a) 1958-1961: Experimentación del pro­grama LENGER-SERVAIS en ciertas cla­ses de las escuelas normales, sección ense­ñanza maternal. (Futuras enseñantes de los niños de tres a seis años).

b) 1961-1964: Transferencia de la expe­riencia a la escuela secundaria general en el primer ciclo: alumnos de 12 a 15 años. Generalización del programa moderno en ciertas clases, después de 1964.

En 1961, 'ensayo de modernización en una clase de alumnos de 15 años que no habían recibido enseñanza moderna en el primer ciclo (12-15 años).

c) 1964-1967: Primera experiencia de en­señanza moderna en una clase de alumnos d euna sección científica (segundo ciclo de la enseñanza secundaria, 15 a 1S años) que habían recibido enseñanza moderna desde los 12 a los 15 años.

Después de 1966, repetición de esa expe­riencia en la nueva clase, teniendo en cuen­ta la primera experiencia (1964-1967).

la obra de Northrop. Desde ese momento se manifiesta la prudencia de los promoto­res de la experiencia en Bélgica.

Tan poca originalidad como fuera posi­ble en la elección de los temas. Limitarse a enseñar los conceptos y los resultados ge­neralmente reconocidos como importantes por la mayoría de los expertos en la mate­ria.

El programa LENGER-SERVAIS tenía en cuenta la finalidad específica de la en­señanza de la matemática para futuras ins­titutrices de alumnos de 3 a 6 años. Por tal razón, hacía un tratamiento totalmente particular de las nociones de conjuntos, re­laciones y topología.

Los autores del programa no recomen­darán sin siquiera indirectamente que las nociones conjuntistas, relaciónales y topo- lógicas fueron enseñadas a alumnos de 3 a 6 años.

Sin embargo, les parecía deseable que esos futuros educadores estuvieran informa­dos sobre la naturaleza de los conceptos de la matemática de base de nuestro tiempo, de manera de favorecer ciertas actitudes del espíritu 'en los juegos infantiles.

Les parecía tambijén que los diagramas de Venn y ciertas nociones muy elementa­les de topología tenían algo que ver con los dibujos infantiles espontáneos, a menu­do tan bellos y siempre tan misteriosamen­te interesantes.

Dicha experiencia parece haber permiti­do emitir al respecto ciertas nuevas con­jeturas cuyo estudio sería interesante pro­fundizar.

Las alumnas que eligen la sección ma­ternal normal están animados por la voca­ción de ocuparse de la educación de niños de corta edad. Generalmente, esas estudian­tes habían obtenido resultados muy débiles en matemática en las clases anteriores. Al­gunas de ellas no disimulaban nada su hos-

(Vione de la pág. 6) Cuarto añoFundamentos de la matemática.........Complementos de Geometría .............

Física-matemática .......................Seminario de enseñanza de mate­

mática actual ........................Práctica de la enseñanza ...........

total .............................El mismo plan que antecede puede, des­

de luego, desarrollarse también semestrales —o cuatrimestrales, como sue­len llamarse en algunos países, ateniéndose a su duración real—. En tal caso se dupli­can las horas semanales dedicadas a cada asignatura y además se establece adicio­nalmente una correlatividad de materias, de tal suerte que no puede cursarse mate­ria alguna si no se hubieran aprobado las correlativas precedentes. Así, por ejemplo, no podrá cursarse “Complementos de aná­lisis —que para el caso figuraría con S horas semanales— sin haber aprobado an­ir? Análisis * y Análisis II — cada una con 10 horas semanales—.

4Primer año4Horas

semanales 6Algebra ................................Análisis I ..............................

Pedagogía .....................Psicología del adolescente

total ................

64664

424

20Segundo año en cursosAlgebra lineal

Análisis II ..Probabilidades y estadística

Física (mecánica) ................... 7Psicología del aprendizaje y diná­

mica de grupos

554

3 a) PRIMER PERIODO (1958-1961).total 24

El programa LENGER-SERVAIS conte­nía los temas fundamentales de una ense­ñanza moderna que se comenzaron a pro­poner después de 1950. Fue ciertamente influido por los trabajos de la comisión in­ternacional para el estudio y mejoramiento de la enseñanza de la matemática y por

Tercer añoGeometría ..................Complementos de análisis Cálculo numérico .........

5 144

Seminario elemental de matemática ... 5Historia del conocimiento científico .. 3

Didáctica especial de la matemática 3total 24

n10

•—__

hacia los elementos de topología ge- hacer experiencias preciosas en tiempo mí­nimo.

b) SEGUNDA FASE DE LA EXPE­RIENCIA (1961-1964).

El matemático experto, empeñado papel subalterno al comienzo de la prime­ra lase, parecía suficientemente convertido y él mismo escribió, sin gran esperanza por otra parte. Sugestiones para un nuevo pro­grama de matemática para la clase de 12 años.

En la euforia de ARLON 3, y gracias a la determinación esclarecida de Henri LE- VARLET, entonces Director General de Enseñanza Secundaria en Bélgica, el Minis­tro de Educación decidió aplicar el pro­grama propuesto en la sexta clase.

Enseguida, la experiencia progresó regu­larmente sin ninguna detención, alcanzando cada año un nuevo grado en la escala de la enseñanza.

Por otra parte, el nuevo programa ganó en extensión en las clases de 12 a 15 años. De experimental se transformó en opcional y actualmente centenares de clases adoptan cada año el nuevo programa. En fin, en 1965, se decidió que los programas propues­tos por el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, creado en el intervalo, se­rían los únicos permitidos para la experi­mentación, y que el programa moderno se­ría obligatorio en todas las calses de 12 años de la enseñanza estatal a partir de 1968.

Algunas palabras con respecto al Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, re­conocido actualmente como Centro de In­vestigación Científica fundamental, colec­tora de la iniciativa ministerial.

Se han realizado investigaciones en peda­gogía de la matemática cuyos promotores fueron un matemático y un psicólogo ex­perimental, con ayuda cíe varios asistentes. En diciembre de 1966 esos asistentes eran 10 (4 belgas, 2 argentinos, 1 brasileño, 1 canadiense, 1 griego y 1 turco).

El Centro organiza, de manera amplia, cursos para docentes en ejercicio en 25 ciu­dades (20 tardes por año).

3.000 educadores belgas siguen hoy esos cursos que no han costado nada al gobier­no belga. Los cursos son gratuitos. Los edu­cadores pagan ellos mismos los gastos de traslado y de la publicación de las notas.

Una gran corriente de apostolado anima a los docentes belgas de matemática mo­derna.

El primer programa de matemática para la clase de 12 años tuvo un único autor. El Centro creó pronto su comisión de pro­gramas. Esta comprende profesores univer­sitarios, inspectores, directores de estable­cimientos, profesores de las clases experi­mentales. Los programas son establecidos por la Comisión y remitidos teniendo en cuenta Ja experiencia en curso.

El Centro asegura la publicación de los textos de acuerdo con las experiencias y los protocolos de las lecciones dictadas.

El Centro organiza las etapas según las intenciones de los profesores de sus cursos de reentrenamiento, los que se benefician con el apoyo económico del Ministerio de Educación Nacional.

tilidad fundamental hada la matemática.. . y los jjrofesores que la enseñan.

Era interesante ver cómo se produciría el contacto con las ideas nuevas de la ma­temática en un medio de débil receptividad en primera instancia.

Las nociones matemáticas que figuran en el programa LENGER-SERVAIS eran muy elementales. Sin embargo, los promo­tores del programa advirtieron bien rápida­mente que el ordenamiento pedagógico de los temas, planteaba problemas de orden matemático. Ellos decidieron, también, ase­gurarse la colaboración puramente técnica de un matemático profesional. Ese profe­sor universitario, muy escéptico por otra parte y acaso también hostil, frente a la tentativa en marcha, aceptó sin embargo prestarse de buen grado a ese papel subal­terno.

Ante los prometedores resultados obte­nidos, fue sin duda el primer opositor con­vertido por la evidencia de los hechos. Des­de el segundo año de la experiencia —ba­jo la presión de ciertos colegas— decidió tomar él mismo una clase experimental.

Los diagramas de Venn fueron usados con éxito prometedor desde el comienzo de la experiencia. Según la tradición, se em­pleaba al comienzo el sistema de superfi­cies coloreadas o sombreadas. Por el con­tacto con los alumnos se las sustituyó bien pronto por el método de las cuerdas co­loreadas, las sombras — ¡por sugestión de los alumnos!— eran reservadas para indi­car los lugares vaíos. Espontáneamente, esos alumnos, colocados en una situación pedagógica favorable ¡volvían a encontrar un procedimiento propuesto por el mismo Venn! La enseñanza activa y el contacto inspirador con los alumnos, hizo descubrir en 1959 el medio pedagógico de los gráfi­cos multicolores. A lo largo de toda la ex­periencia se reveló como un soporte intui­tivo y un ideograma precioso para la en­señanza más avanzada.

En esta primera experiencia apareció en germen un método de introducción de los números reales usando de manera sistemá­tica la numeración posicional (especial­mente, por razones de orden pedagógico, en la base dos).

Ausencia de a priori, característica de la experiencia.

De la cinta de Móbius, introducida de manera intuitiva, se evolucionará poco a

poconeral, comenzando por nociones muy sim­ples:

Entornos (las prisiones de la continui-^Discos abiertos, con la convención ver­de-roja (sugerida por los alumnos) para distinguir discos abiertos y cerrados.

Esta experiencia, bien pronto generali­zada en numerosas clases, fue extraordina­riamente fructífera. Puso en evidencia me­dios pedagógicos nuevos que permitían en­trever una reedificación cíe la máxima en­vergadura de la matemática al nivel ele­mental.

La enseñanza fue impartida en esas chi­china de cordialidad. La hosti-

en un

ses en unlidad de los alumnos contra la matemáti­ca había desaparecido completamente. So percibía, en forma impresionante, que los alumnos de hoy estaban en resonancia con la matemática que se usa actualmente.

Paralelamente a esa experiencia, se auto­rizó un gran esfuerzo para difundir las no­ciones de matemática moderna y la peda­gogía de su enseñanza a los profesores en actividad y en las escuelas normales su­periores.

1

Examinemos brevemente el contenido del programa de 12 a 15 años, y algunos de los medios desarrollados para su enseñanza. Precisemos que esa enseñanza se ha impar­tido en clases del tronco común de la en­señanza secundaria. El curso de matemá­tica comprende 4 períodos de 45 minutos semanales.

El contenido del programa está de acuer­do con las recomendaciones, puntos de vis­ta y mociones expresadas en diversas ins­tancias en numerosas reuniones interna­cionales que agruparon expertos en la ma­teria, tanto matemáticos como educadores y utilizadores de la matemática: Royau- mont, Dubrovnik, Aarhus, Budapest, Ate­nas, Frascati, Echternaeh.

Esas recomendaciones se limitaban, en verdad, a proponer algunos grandes temas, sin preocuparse por la organización de los asuntos en un curso estructurado y dividi­do en años.

Falta efectuar la reconstrucción de la ma­temática elemental, necesaria y previa a to­do programa.

12 años. El programa esbozado más aba­jo es esquemático. Conjuntos. Relaciones.

Anillo de los enteros racionales.Iniciación a la geometría afín.Limitémonos a algunas indicaciones re­

lativas a la geometría.Nada de a priori. Algunos se pregunta­

ban qué lugar quedaría reservado a la geo­metría en la enseñanza renovada. La ex-

ARLON 1: 1959 (Primeras jornadas de Arlon). Presentó los primeros resultados de la experiencia y el folleto Arlon 1 sobre conjuntos y topología general. Se hicieron nuevas demostraciones a alumnos de las clases nuevas.

ARLON 2: 1960. Presentó un curso de forma cíclica hecho en las clases modernas. (Primeros elementos de la matemática mo­derna). Los elementos del método de los gráficos, fueron comunicados por primera vez.

iAlRLON 3. 1961. Primera iniciación en la teoría de grupos con ayuda de situaciones pedagógicas favorables. En el curso de es­ta primera fase, el director de un gran es­tablecimiento de enseñanza secundaria de Bruselas, Oscar Guillaume, creó un club matemático abierto libremente a alumnos de enseñanza secundaria.

Ese club fue muy útil para la empresa re­novadora, pues permitió hacer sin apremios de ninguna especie numerosas experiencias sobre temas preciosos de matemática mo­derna. El club tuvo enorme éxito. Los par­ticipantes, todos voluntarios, tenían gran aptitud para la matemática. Era posible

1312

i

Los primeros axiomas de la geometría son muy simples.

Se los introduce cuidadosamente, en una marcha axiomatizanle lenta, que pone bien en evidencia las diferencias entre los pun­tos y las pequeñas marcas que los repre­sentan.

Razón de los puntos grandes. Dibujar­los microscpicos es eludir un problema im­portante ¡No resolverlo!

Después del enunciado de los a\ lomas de incidencia habituales, nos hallamos en una situación lógica simple, expresada en el claro lenguaje conjuntista.

¿Cómo hacer razonar sobre la baso de las figuras tradicionales en las cuales se ve la respuesta?

Los diagramas de Venn dan a los pro­blemas el aspecto de novela policial. Re­presentar por las figuras tradicionales rec­tas y planos dados bajo forma conjuntista. Para resolver el problema ¡es necesario ra­zonar!

No abandonar el uso de las figuras tradi­cionales.

Duplicar la intuición mediante la inter­vención de los diagramas de Venn, sopor­te intuitivo de la estructura lógica de la si­tuación.

Cuidarse de aflojar el razonamiento juntista por formalizarlo demasiado. Los diagramas de Venn permiten miento sintético rápido.

El punto de vista conjuntista es absolu­tamente indispensable en los elementos de topología general, introducción tradicional de los cursos de análisis menos revolucio­narios.

...No permite la indispensable distin­ción entre cuadrado cerrado y cuadrado abierto.

Intervención útil de la convención rojo- verde recordada más arriba.

Por falta de lugar y para más detalles so­bre la organización del curso de geometría, véase MM1 v MM6.

Hasta aquí nada de demostración de va­nas etapas, que necesitan construcciones eventuales. A lo sumo, pruebas de una eta­pa (en el sentido de los matemáticos, y no de los lógicos).

periencia confirmó el papel fundamental de la geometría cuclidiana plana.

Esclarecida de manera nueva. Reconstrui­da poniendo en evidencia estructuras fun­damentales de la matemática actual.

Sostenes de la geometría, más fundamen­tales que la geometría, esas estructuras con­servaron su importancia en todo el curso de los estudios. Esta génesis geométrica les conservará un carácter intuitivo, familiar, inspirador.

El antagonismo rigor-intuición pertenece al pasado.

Sólo después de 1900, con los Grundla- gen de Hilbert se dispuso de una exposi­ción rigurosa de la geometría. Antes, era inevitable que la enseñanza 'elemental de la geometría recurriera a la intuición, lo que volvía nebuloso el carácter del razonamien­to geométrico.

Los GruncUagen de I-Iilbert no son, de ningún modo, un manual de enseñanza se­cundaria.

Medio siglo de progreso en matemática han puesto en evidencia estructuras que vuelven más simple y más inteligible una exposición rigurosa de la geometría.

Pero, se dirá, la estructura del espacio vectorial euclidiano plano sigle siendo una estructura complicada. ¿Cómo introducir en ella a los alumnos e interesarlos por una estructura tal? Este es, con toda seguridad, el problema pedagógico que se planteaba.

El plano métrico es una estructura com­plicada. No es muy adecuada para una ini­ciación en el razonamiento matemático.

Se comienza, pues, por una estructura subyacente, lógicamente más simple.

La enseñanza de los conjuntos facilita tal introducción.

Para razonar bien, es necesario comenzar por decir claramente qué es lo que se acep­ta. Ese es un paso que se encuentra en la fase matemática de todo problema de temática aplicada.

Decir claramente qué es lo que se acepta.No decir todo al mismo tiempo.Decir algunas cosas que se aceptan, po­

co a poco, he ahí el método axiomático pro­gresivo.

El método axiomático usado es el del fí-

Decir lo que se acepta en una situación real idealizada y decirlo poco a poco.

a axiomática en acciónANNA-SOFIA KRYGOWSKA

(Cracovia)

terial” viviente sobre el cual debemos des­pués “experimentar” nuestros métodos: es­ta experimentación no puede ignorar la na­turaleza humana y, por consiguiente, úni­ca de su material experimental. No repro­chemos a los alumnos que no verifiquen nuestras doctrinas pedagógicas; adaptemos nuestros métodos no a los alumnos en ge­neral sino a los que están delante nuestro.

1. El problema pedagógico.

El método axiomático plantea, en la en­señanza de la matemática, el problema pe­dagógico esencial: desde el punto de vista de la matemática, es necesaria la construc­ción de una axiomática correcta que ten­ga en cuenta los recientes desarrollos de la ciencia; no es menos indispensable que esta construcción se realice de manera que pue­da ser fácilmente asimilada por los alumnos.

La acción del maestro puede concebirse como orientada hacia la realización de un equilibrio entre esas dos exigencias, una científica, otra psicopedagógica. Pero la pa­labra “equilibrio” sugiere una oposición en­tre dos fuerzas o dos tendencias aun cuan­do nada permita pensar a priori que las exi­gencias científicas y las pedagógicas sean antinómicas.

Diremos, pues, que se trata de elaborar una concepción pedagógica de la puesta en acción del método axiomático. Eso su­pone, muy evidentemente, que se tiene una idea suficientemente precisa de los objeti­vos de la enseñanza matemática a nivel se­cundario elemental (dicho de otra manera, no superior ni especializada): debe ser una enseñanza cultural, un elemento de la for­mación humanista. En otras palabras, la construcción axiomática del curso debe sa­tisfacer las exigencias de la ciencia moderna (se podría decir, irónicamente, que esas sa­tisfacciones tienen por objetivo dotar de buena conciencia a los profesores; pero no nos daríamos cuenta de la realidad sino muy imperfectamente, pues los mismos alumnos, si cumplen sus estudios en 1966, tienen el derecho de conocer la ciencia d*e 1966). Al mismo tiempo que a un estado de conocimientos, el alumno debe tener ac­ceso a los mismos métodos del trabajo ma­temático, pues nosotros no lo preparamos para que él sepa lo que nosotros sabemos sino para que comprenda o descubra lo que nosotros no siempre sabemos.

En esta elaboración de una concepción pedagógica, debemos, entiéndase bien, pen­sar en todo momento en los alumnos, “ma-

2. La acción matemática.

Insistamos especialmente sobre la inicia­ción de los alumnos en el trabajo matemá­tico verdadero en que toda situación mate­mática debe ser perpetuamente reconstrui-ble.

Aun si al comienzo (entre los alumnos más jóvenes) la elaboración de las nociones no alcanza el nivel de un formulismo sufi cíente, la noción de estructura debe ser aprehendida poco a poco y la axiomática será entonces comprendida como sostén o, mejor, como definición de la estructura.

Se llegará a este resultado iniciando al alumno, desde sus primeros pasos en ma­temática, en las tres fases del pensamiento axioma tizan te: axioma tización, deducción, interpretación. A partir de observaciones de cierta situación, él desarrolla una estructu­ra y define, por consiguiente, cierta axio­mática. En el marco fijado por ésta, la de­ducción según las reglas de la lógica per­miten el desarrollo de una teoría. Los re­sultados así obtenidos son susceptibles de diversas interpretaciones; se abre el vasto dominio de las aplicaciones de la teoría construida: numerosas situaciones nuevas, o bien situaciones antiguas “enriquecidas” por la teoría desarrollada, proponen a la observación del matemático un “nuevo ma­terial” sobre el cual elaborará una nueva axiomática.

Esta acción matemática se desarrolla, pues, de manera cíclica y nada impide el desarrollo indefinido, podría decirse de ci­clos sucesivos.

con-

un razona-

/

ma-

sico.

(CONTINUARA)

!14

15

:

de vista del maestro que, aquí, es el simu­lador (y también el estimulador) y el punto de vista del alumno, que es auténticamente inventor.

El arte de enseñar consiste entonces en colocar a los alumnos en situaciones presencia de situaciones reales que los duzcan casi fatalmente a la invención desea­ble. (Obsérvese la palabra “casi”; si la in­vención fuera fatal no sería de ningún mo­do, una invención). En las primeras clases, no se vacilará en poner en manos de los alumnos un material didáctico bien elegi­do: manipulando los “números de color' de Cuisenaire, el alumno encuentra (o reen­cuentra) las propiedades de la divisibili­dad entre los enteros (la estructura que se debe poner en evidencia está contenida en el material manipulado). En las clases si­guientes, a partir de la segunda clase, por ejemplo (alumnos de 15 años), los alumnos axionializan organizando los conocimientos adquiridos anteriormente; ya que no se pue­de axiomatizar en el vacío, y es para llenar ese vacío que la enseñanza inicial, antes de los 15 años, habrá enriquecido la experien­cia matemática de los alumnos.

Las precedentes consideraciones permiten orientar la enseñanza inicial (alumnos de menos de 15 años; caso de nuestras clases del primer ciclo secundario): se trata de proporcionar materiales utilizables por los alumnos en sus axiomatizaciones futuras. Se tendrá, pues, el cuidado de evitar no­ciones mal construidas que las exigencias de la axiomática obligarían más tarde a demoler antes de reconstruir correctamen­te. Acaso no haya solución perfecta, pero la experiencia muestra que en esas clases (nuestras cuartas y terceras) hay muchas situaciones favorables a lo que FREUDEN- TIÍAL (de la Universidad de Utrecht) lla­ma organización local deductiva, que cons­tituye un campo de aprendizaje anterior a una organización más vasta (para alumnos de más de 15 años).

La experiencia lia demostrado que entre muchos alumnos de más de 15 años, dota­dos para la matemática o no dotados y que ni siquiera, han experimentado hasta enton­ces ninguna atracción hacia la matemática, la axiomatización apareció como respon­diendo a una verdadera necesidad. La ma­temática no aparece ya como ciencia del cálculo o, dicho de otra manera, como una colección más o menos rica, según la cien­

cia del práctico, de algoritmos más o me­nos complicados; apareció bajo su verdade­ra luz: un pensamiento organizado volca­do hacia la invención.

4. Definir y razonar.

Habiendo liberado la axiomatización una estructura (un esquema, y un esque­ma sobre el cual se puede operar; relacio­nes, y relaciones sobre las cuales se puede operar) es trivial destacar qué importancia tendrán las definiciones en nuestra ense­ñanza. Siempre se volverá a leer con pro­vecho el artículo “Las definiciones mate­máticas y la enseñanza” de Henri POIN- CARE (en Ciencia y Método).

Es demasiado evidente que las defini­ciones provocadas o aun impuestas por el maestro sin participación real del alumno en su elaboración, serán mal asimiladas a menudo por ese alumno. Habrá gran ven­taja en que la definición sea elaborada y formulada por el alumno.

Pero si ello es siempre posible, entonces es necesario tomar plena conciencia de dos dificultades distintas que se presentan ai alumno: o bien es actor, y elabora él mis­mo una definición, (pero ser actor signi­fica aquí ser creador) o bien es auditor- receptor, y escucha o lee una definición elaborada por otro, por ejemplo, el autor del manual) y entonces, aquí, ser auditor- receptor supone que entiende, en el sen­tido cabal del término, la lengua del que ha formulado la definición). Nuestra en­señanza debe cuidar el favorecer los dos aprendizajes: aprender a fabricar (ya for­mular) nuevas definiciones, aprender a leer y a comprender las definiciones ela­boradas por otros. Este segundo aspecto de nuestra enseñanza no es menos impor­tante que el primero: aprender a leer es aprender a comunicarse, es formar al hom­bre animal social (y toda actividad cientí­fica es social en el siglo XX).

Para volver a nuestra enseñanza, las in­vestigaciones hechas por mis alumnos so­bre la enseñanza tradicional de la geome­tría revelan bien que las dificultades vueltas a hallar por los alumnos, provie­nenmétodo matemático: haciéndose una falsa idea de la axiomática de base, esos alum­nos no ven cuál es el objetivo de la in-

(Contínúa on la pág. 29)

ta ambición es la razón misma de nuestra enseñanza de la matemática: ¿podríamos contentarnos con formar monos sabios to­dos capaces justamente de repetir lo que le hubiéramos enseñado? Por cuidadosos que seamos en adaptar la enseñanza a las nuevas condiciones cíe vida, no podemos co­nocer el porvenir: nuestros alunaos de­berán realmente, más tarde, inventar sel li­ciones para los problemas que ne utros 210 podemos por ahora ni imaginar.

I-Iacer penetrar el método axiomático en nuestras clases es, sin embargo, una audacia justificada por el hecho de que los aspec­tos intuitivos de la noción de estructura son visibles y no están fuera del alcance de los niños. Decimos que la génesis psicológica de la noción de estructura es intuitiva. Un procedimiento natural del pensamiento hu­mano, a partir de la observación de lo real, o, más generalmente, de una cierta situación tratable por •esquematización y después por extrapolación. Construir un esquema significa construir un modelo sim­plificado de la realidad; no se conservan todos sus aspectos, pero el esquema obteni­do es manipulable. Esta manipulación de los esquemas conduce a extrapolar las in­dicaciones que proporcionan, y las deduc­ciones son a continuación confrontadas con la realidad por retomo a las aplicaciones.

Si la pedagogía de la acción matemática pudiera referirse a esos procedimientos na­turales del pensamiento, la iniciación en el método axiomático no plantearía grandes cuestiones. Pero la puesta en acción, como siempre, es más delicada que lo que se pudiera creer a priori. Si el niño es com­pletamente libre para construir una axio­mática según su fantasía, desembocará, muy a menudo, en vista de la enorme variedad de posibilidades, en axiomáticas sin verda­dero interés científico. Si, por el contrario, la inquietud de la construcción correcta de

bella axiomática, empuja al maestro a precipitar esa construcción, la participa­ron insuficiente de los alumnos no les per­mitirá adherir verdaderamente a la obra. El problema pedagógico es, pues, el de orga­nizar el trabajo en clase para que la axio­mática —por más que esté en verdad da­da a priori— sea realmente “inventada por los alumnos” Se podría decir que se trata de un simulacro de invención y que en ello no hay invención de ninguna clase; pero es necesario separar nítidamente el punto

Es necesario reconocer que esta concep­ción de la acción matemática resulta ex­traña a una enseñanza tradicional amplia­mente divulgada. No insistamos sobre la tercera fase, la de las aplicaciones, siem­pre muy olvidada. Pero, fuera de ella, la fase deductiva es considerada esencial; en todo caso, ella es la que ocupa más tiempo.

Jamás se ha hecho matemática sin axio­matizar y, desde ese punto de vista, puede parecer que la expresión “método axiomá­tico” recubre toda la matemática. Pero si eso es cierto al nivel de la investigación matemática, no lo es al nivel de la ense­ñanza: en el “método axiomático” la axio­matización se concibe como la definición de una estructura. No es cuestión de ca­llarse ni sólo de pasar rápido sobre la de­finición, sino, muy al contrario, de insistir en que ella es la piedra angular de todo el edificio. Según la concepción antigua, el axioma era el enunciado de una evidencia; ahora bien, el carácter subjetivo de ésta era demasiado evidente. Por otra paite, esta invocada evidencia era muy a menudo una evidencia sensible que apoyaba la elección de los axiomas sobre los testimonios de nuestros sentidos; en el flujo de datos de la intuición sensible, la elección no podía no parecemos arbitraria entre lo que merecía ser tomado como axioma y lo que no lo me­recía. En la axiomática moderna, es la com­patibilidad de los axiomas, su no contra­dicción y el hecho de que definen una es­tructura rica en propiedades lo que justifi­ca esta acción libre y verdaderamente crea­dora de la axiomatización, de la primera fase del cielo de la acción matematizante.

Esta acción matemática, este método axiomático en acción no es apropiada para el aprendiz, ni para el matemático estudian­te: es el método mismo del matemático pro­fesional (designando así al matemático, ge­neralmente adulto, empeñado en la inves­tigación matemática pura o aplicada. Ini­ciar al alumno en este método es volverlo apto no sólo para una buena comprensión de la matemática de su tiempo sino también para construir la que sus propias reflexio­nes o sus observaciones reales lo impulsen a crear.

3. Puesta en acción pedagógica.

Este programa puede parecer muy am­bicioso. Observemos, sin embargo, que es-

o en con-

una

de un desconocimiento esencial del

1716

LO DIDACTICO Para evitar confusiones con el significa­do usual de las palabras "implica” e "im­plicación”, la referida relación lógica ha si­do muchas veces llamada "implicación 1 na- icriar y el símbolo -*■ es traducido “implica materialmente”.

Con todo, !a implicación material sólo tiene interés general cuando se aplica a pro­posiciones cuyo valor lógico no es todavía conocido, /-hora- bien, en este caso, corres­ponde exactamente al significado usual de implicación.

Esto es k que sucede, por ejemplo, con la frase anterior “Si Carlos no telefonea, viene a la hora convenida”. Se entiende que los valores lógicos de las proposicio­nes "Carlos no telefonea” y ‘Carlos viene a la hora convenida”, son todavía ignora­dos; apenas se sabe que la primera implica materialmente Ja segunda.

Veamos otro ejemplo. Consideremos la propisición.

"Si existen plantas en Marte, existen se­res vivos en Marte”.

Esta es evidentemente verdadera; em­pero, no conocemos los valores lógicos de las proposiciones "Existen plantas en Mar­te”, "Existen seres vivos en Marte”; lo que sabemos es apenas que la primera implica materialmente la segunda:

Existen plantas en Marte -*■ Existen se­res vivos en Marte.

Pero, precisamente porque se descono­cen los valores de las dos x^roposiciones re­feridas, la implicación material correspon­de a la idea normal de implicación.

Sea ahora la proposición:"Si Marte tiene atmósfera, existen seres

vivos en Marte”.Se puede afirmar lo siguiente:"Marte tiene atmósfera” -*■ "Existen se­

res vivos en Marte”.Pero, ahora ni siquiera sabemos si la

implicación es verdadera o falsa: será fal­sa si Marte tiene atmósfera y no existen seres vivos en Marte; será verdadera en la hipótesis contraria.

Otro ejemplo más. Es bien fácil deter­minar directamente el valor lógico de ca­da una de las imposiciones:

"23 + 43 es múltiplo de 6”"23 -j- 43 es múltiplo de 3”

Aún antes de saberlo, podemos ya afir­mar que la primera inplica materialmente la segunda, esto es:

23 + 43 es múltiplo de 6 -*■ 2S + 33

es múltiplo de 3. dado que, como se de­muestra en aritmética, todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3. Así, más de una vez, la implicación material concuerda con la im­plicación en el sentido usual, en virtud de las razones antes apuntadas.

En estos casos, el símbolo que gene­ralmente se lee "implica”, sustituye propiedad a la palabra "si” (conjunción condicional) antepuesta a la x>roposición antecedente. Algunas veces, para subrayar la implicación, en el lenguaje común, se antepone la palabra "si” a la proposición antecedente y la palabra "entonces” a la proposición consecuente. Así:

Si 23 + 43 es múltiplo de 6, entonces 23 4- 43 es múltiplo de 3.

Nótese, además, con resx>ecto a este ejemplo, que, si efectuamos los cálculos, vemos que la proposición antecedente es al final verdadera. Se concluye entonces, sin necesidad de más cálculos, que la pro­posición consecuente, es también verda­dera.

De modo general, cuando, dadas dos in oposiciones, A y B, se consigue averiguar, por una parte, que A-*B y, por otra par­te, que A es verdadera, se concluye inme­diatamente que B también es verdadera. En esto mismo consiste la deducción ló­gica o razonamiento deductivo, en una de sus formas más simples y más frecuentes, tanto en la matemática como en la vida diaria.

El esquema del razonamiento es el si­guiente:

Introducción a la lógica matemática por

J. SEBASTIAO E SILVA (Portugal) con

X>roposiciones verdaderas, en tanto que la fórmula V -*■ F es una proposición falsa, esto es:

(V - V) = V ; (F -»• V) = V

(F - F) = V ; (V - F) = F

Pero, claro es que, en estas condiciones, el símbolo -*• representa una operación so­bre valores lógicos (o sobre x>rox>osiciones), que está definida por la siguiente tabla:

""o- lo

15. Implicación material y deducción. Consideremos, por ejemplo, la frase:

"Si Carlos no telefonea, viene a la hora convenida”.

Se trata de una proposición que rela­ciona los valores lógicos (hasta ahora no co­nocidos) de las dos pro]?osiciones:

a) "Carlos no telefonea”;b) "Carlos viene a la hora convenida”;

de modo que, si la primera fuera verda­dera, la segunda también será verdadera, pero si la primera fuera falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa (está sobren­tendido "si Carlos telefonea, puede venir o no a la hora convenida”). Este hecho se expresa diciendo que la proposición

a) Implica la x>roposición b) y escribien-

tkj v F-----------------------

V V F

F V Vdo:Carlos no telefonea -* Carlos viene a la hora convenida.

De modo general, si las letras p y q estu­vieran en lugar de las dos proposiciones, escribiremos:

En cualquiera de los casos, la relación u operación lógica así definida es llamada implicación. Pero, conviene observar des­de ahora que este significado de la pala­bra implicación” se aparta muchas veces del significado usual. Por ejemplo, podemos decir que la proposición ‘7 es impar” im­plica la proposición "Lisboa es una ciu­dad”, y escribir:

7 es impar -+ Lisboa es una ciudad puesto que ambas proposiciones son ver­daderas y V —► V por definición.

Análogamente, podemos escribir:2 + 3 = 7 Pedro Núñez descubrió Brasil puesto que F -*• F, por definición. Pero es­to, de ninguna manera significa que el he­cho de ser Lisboa una ciudad se deduzca del hecho de ser 7 impar, o que la pro­posición Pedro Núñez descubrió Brasil” (falsa) sea consecuencia de la proxoosición 2 + 3 = 7” (igualmente falsa). Lo que

se afirma es únicamente una relación entre los valores lógicos de las proxoosiciones, de acuerdo con la tabla anterior.

p q (leer "p implica q”) cuando, y sólo cuando, ocurra uno de los siguientes casos:

1. La primera es verdadera y la segun­da también;

2. La primera es falsa y la segunda es verdadera;

3. La primera es falsa y la segunda es falsa.

En la fórmula p -*■ q, la primera proposi­ción se llama antecedente y la segunda consecuente.

De este modo, el símbolo -+ traduce una relación entre los valores lógicos, tenéndo- se por definición:

|A-*B (premisa mayor)A (premisa menor).'. B (conclusión)

Aquí, el símbolo .*. léese "luego” e indi­ca que una proposición B se deduce lógi­camente de las dos anteriores. Estas son llamadas premisas del razonamiento (pre­misa mayor y premisa menor, respectiva­mente); en cuanto a la última es llamada conclusión. En la lógica tradicional, un razonamiento de este tipo es denominado silogismo condicional, regla de deducción o modus ponens. Algunas veces, la premi sa menor está precedida por "ahora bien”, otras veces se la escribe simplemente.

V-V, F -*• V ; F F

pero no V F. En otros términos, las fór­

mulas V V , F V y F F son

* V¿aso CONCEPTOS DE MATEMATICA, Nros. 1 y 2.

\ 819

Esta propiedad, aplicada a proposiciones, conduce a un nuevo tipo de silogismo, descripto en el siguiente esquema:

A-B]}■ premisas

Ke aciones y tunciones *Ejemplos:Si 23 -|- 43 es múltiplo de 6,23 -f 43 es

múltiplo de 3.■ Ahora bien 23 + 43 es múltiplo de 6.¡Luego 23 + 43 es múltiplo de 3.

ÍSi este animal es un pez, tiene branquias. ■¡Ahora bien, este animal es un pez. [Luego, este animal tiene branquias.Si ese libro tiene una hoja doblada, m

pertenece.Ese libro tiene una hoja doblada.

LUIS A. SANTALÓ (Argentina)

pero, sin embargo, sabemos que existe y que está bien definida. Se llama una fun­ción aleatoria. El estudio de estas funcio­nes es el objeto del Calculo de Probabi­lidades.

4?) X = conjunto de las personas que viven en la actualidad.

Y = números naturales de 1966 a 2100. Función f: persona x -*■ año y de su fa­llecimiento. Es otra función aleatoria.

5o) Se dispone de un dado y se lanza de manera arbitraria 100 veces, anotando cada vez el número que sale. Sea X = números de 1 a 6; Y = números de 1 a 100. Función f: número x del dado -*• nú­mero de veces y que ha salido en las 100 tiradas. Es también una función aleatoria. Hacer la experiencia por cada alumno y graficar los resultados de cada uno, to­mando x como abscisa e y como ordenada (en una escala conveniente).

II. Funciones entre elementos geométri- E1 enunciado en términos de funcio­

nes de muchas cuestiones de geometría ele­mental es útil e instructivo para ir edu­cando el sentido matemático y relacionar conocimientos muchas veces dispersos. Ejemplos:

19) X = triángulos del plano, Y = pun­tos del plano.

f: triángulo x -*■ su baricentro y.No tiene inversa, pues un mismo punto

puede ser baricentro de infinitos triángu­los: dibujar algunos de ellos.

29) X = triángulos del plano, Y = cir­cunferencias del plano.

f: triángulo x -*■ su circunferencia cir­cunscrita y. No tiene inversa.

39) X = rectas del plano que no pasan por el origen. Y = puntos del plano dis­tintos del origen.

f: recta x pie de la perpendicular a x desde 0. Existe la inversa f"1: punto y -*• iecta x perpendicular a la recta que une y

0 por el punto y.49) Toda transformación entre los pun­

ios del plano, o sea, del plano en si mismo,

B-CJ. A -*■ C (conclusión )

Ejemplo: “Si estudias, obteñidlas buenas notas. Si obtienes buenas notas, darás ale­gría a tus padres. Por tanto, si estudias, darás alegría a tus padres”.

Usando las tablas de implicación, de la disjunción y de la negación es fácil verifi­car que siempre se tiene:

(a -*• b) = b V

4. FUNCIONES. Dentro de las rela­ciones tienen particular interés las llama­das funciones, cuya definición es la si­guiente:

Def. 4. 1 . Se llama función de dominio X y codonlinio Y a toda relación entre X, Y tal ({ue cada x£X está relacionado con un único elemento y 6 Y.

Lo importante de las funciones es que dado x, que se llama la variable indepen- clíente, puesto que puede tomar libremente cualquier valor de X, ya queda determi­nado el valor y que le corresponde en Y; por esto y se llama la variable dependiente.

Una función se indica en general por una letra f, g, h, ... y, para expresar que y es el elemento que corresponde a x, se escribe (si la función es f), y = f (x) y también f: x -*■ y. Para expresar que X es el dominio e Y el codominio se escribe f: X - Y.

5. EJEMPLOS DE FUNCIONES. Funciones de la vida común. Es interesante acostumbrarse a esc]uematizar las funcio­nes que de manera abundante aparecen en la vida ordinaria. Ejemplos:

1°) X = Y = conjunto de las personas cuyo padre vive.

f: a la persona x -*■ su padre y.Esta función no tiene inversa, pues un

padre puede serlo de varios hijos. O sea la inversa f“l es una relación pero no una función.

29) X = conjunto de los alumnos de una clase, Y = meses del año.

f: alumno x -*• mes de nacimiento y.Tampoco esta función tiene inversa.39) Supongamos q u e cada viernes se

sortea la lotería nacional y que ella consta de 30000 números. Sea X = conjunto de los viernes del año, Y = números del 1 al 30000. Función f: viernes x numero y del premio mayor. Se trata de una fun­ción de tipo especial, cuyo valor no se co­noce hasta después de realizado el sorteo,

Luego, ese libro me pertenece.Obsérvese que una deducción puede ser

cierta sin que las premisas sean necesaria­mente verdaderas. Es obvio que el hecho de que una deducción sea correcta, no ga­rantiza la verdad de la conclusión.

Pero también puede haber deducciones erróneas. Las deducciones erróneas de ti­po elemental son llamadas paralogismos. Un tipo de paralogismo bastante frecuen­te es el que se indica en el siguiente esque­ma:

aComo se ve, esta propiedad permite ex­

presar la implicación mediante una dis­junción y una negación (lo que, fácilmen­te, permite traducirla en un esquema de circuitos). Aplicada a proposiciones, la fórmula anterior puede traducirse del si­guiente modo:

Decir que una proposición implica otra proposición eqivale a decir que o la se­gunda es verdadera o la primera es falsa.

Por ejemplo, decir:“Si este animal es un pez, tiene bran­

quias” equivale a decir:“O este animal tiene branquias o no es

un pez”3Recíprocamente, la disjunción puede ex­

presarse mediante una implicación y negación, como es fácil verificar:

a V b = •—■ a bDe ese modo, afirmar que una, por lo

menos, de dos proposiciones es verdadera, equivale a afirmar que, si una de ellas es falsa, ¡a otra es verdadera.

Esta propiedad origina un nuevo tipo de razonamiento deductivo, llamado silogis-

disjuntivo, descripto en el esequema. A VB

A-BB.*. A

Ejemplo: “Si este animal es un pez, tie­ne branquias. Ahora bien, este animal tie­ne branquias. Luego, es un pez”.

Recordemos que, muchas veces, para sa­ber si una cuenta está bien hecha, recurri­mos a la prueba del nueve. En realidad, es­tamos por incurrir en un paralogismo, pues la prueba del nueve puede ser cierta es­tando la cuenta equivocada: todo lo que podemos decir es que, si la cuenta está bien hecha, la prueba del nueve tiene que cumplirse, y que, si la prueba da bien, es muy probable que la cuenta no esté equi­vocada.

Propiedades de la implicación; relacio­nes de ésta con las otras operaciones lógi­cas. Nuevos tipos de silogismos. Sean a, b, c valores lógicos cualesquiera. Entonces, es fácil verificar, usando la tabla de la im­plicación que:

Si a-*b y b -* c, entonces a -+ c ° sea, usando símbolos:

(a-*b) A (b-c) -*■ (a -+ c)be expresa este hecho diciendo que la

implicación es una relación transitiva.

I.eos.

una

mo

premisasA

B (conclusión)Ejemplo: “O él es mentiroso, o fue enga­

ñado. Ahora bien, él no es mentiroso. Lúe" go, fue engañado”.

Podemos decir con respecto a la dis­junción lo que ya hemos dicho con respec­to a la implicación material: generalmen­te, sólo tienen interés cuando se desconoce el valor de las proposiciones a las cuales se

(Continúa en la pág. 46)

con

* Véa;* N? 2, págs. 21 a 24

2120

.■

círculo. ¿Qué pasará para un polígono re­gular de n lados? Se observa que si el lado (s x, la apotema a cumple la relación x/a = tg (jt/n). Llamando k al valor de esta tangente, que es una constante que depen­de de n pero no del tamaño del polígono, el perímetro es y = n x y el área y = (n/4 k) x2.

En todos los casos, la gráfica de los pe- íímetros es una recta que pasa por el ori­gen y la del área una parábola, que tam­bién pasa por el origen.

Al hacer las gráficas en algunos casos simples, se observa: a) Las parábolas cre­cen muy rápidamente; por esto conviene lomar sobre el eje de ordenadas una escala diferente de la del eje de abscisas; b) To­das las gráficas, al variar n, están com­prendidas entre la del triángulo n == 3, k =

t V3 y la del círculo que corresponde a n -*■ co; ello permite interpolar, tomando curvas aproximadas sin necesidad de nin­gún cálculo, cuando no sea necesaria mu­cha aproximación. Conviene hacer las grá­ficas en papel milimetrado.

79) Las funciones más importantes son las expresables por fórmulas matemáticas. Aparte las funciones trigonométricas, que corresponden a los fenómenos periódicos, los fenómenos físicos van resiiondiendo ge* neralmenlc a las funciones más simples: primero las lineales, después las cuadrá­ticas.

se reduce a un punto. Por ejemplo, sea X = conjunto de los triángulos del plano, Y = números reales, y consideremos la función.

f: triángulo x -+ suma de sus ángulos interiores.

Si dicha suma se expresa en radianes, es siempre y = jc. La gráfica es una recta paralela al eje x.

9°) Dada una función y = f (x), si Y es el conjunto de los números reales, se llama núcleo de la función al conjunto f (0). Si Y es un conjunto general, el núcleo existe siempre que Y contenga algún ele­mento especial E, y entonces el núcleo es f"1 (E). Ejemplos:

a) X = Y = números reales f: x -+ y = ax2 + bx + cEl núcleo está formado por las raíces de

la ecuación ax2 + bx + c = 0.b) X = Y =± puntos del plano = pares

de números reales.f: (x, y) -+• (x*, y*) siendo x = 3x — y + 2, y = 2x + y — 1 Hallar el núcleo de esta función. Buscar

ejemplos del mismo tipo:(x, y) - (ax + by + c, a’x + b’ y -f- c)

en que el núcleo sea el conjunto vacío o tenga infinitos puntos. ¿Puede una función de este tipo tener por núcleo un número finito de puntos diferente de cero o uno?

que puede ser cortada en variospuede considerarse como una función que al punto x hace corresponder el punto trans­formado y. Ejemplos: simetría respecto de un punto o respecto de una recta; íota- c iones, homotecias, etc.

III. Funciones entre conjuntos de nu- Son las más usuales en la matemá­

tica. Nos limitaremos a señalar algunas que posean cierta característica especial.

19) X = conjunto de los pares de nú­meros naturales; Y = conjunto de los nú­meros naturales.

f: al par (x, y) -*■ m. c. d. (x,y) fx: al par (x, y) -+ m.c.m. (x,y).29) X = Y = conjunto de los números

leales. Una función f se dice que es lineal, si existe un número K -- 0 tal que

f: x -*■ y = kxo sea, f(x) = kx. Se dice entonces que los valores x, f(x) son proporcionales y k se llama la constante de proporcionalidad. Para hallarla basta conocer un valor x = xx y su correspondiente yx = f (xa), pues entonces es k = yi/xq. Para otro par de valores correspondientes x2, y2 = f (x2) es también k = y2/x2 y por tanto yi/xi = ys/xs. De esta proporción basta conocer 3 términos para poder calcular el cuarto (re­gla de tres simple directa).

Si la relación entre x, y está dada por la función f: x -*• k/x, o sea, f (x) = k/x, se dice que x, y son inversamente propor­cionales, lo cual es otra manera de decir que y es proporcional a 1/x. En este caso, Fara dos pares de valores correspondientes se verifica yi/xi = x2/y2 (regla de tres simple inversa.).

39) X = Y = números reales. Sea C £ X Ta medida de la temperatura en grados centígrados, F £ Y la medida de la tem­peratura en grados Fahrenheit.

I: G F, si C y F corresponden misma temperatura. La expresión de f es

F = (9/5) C + 32.Hacer la representación gráfica, obser­

vando que es una recta que pasa por los puntos (0,32), (100, 212).

IV. Representaciones gráficas. Siempre que se trate de funciones cuyos dominio y codominio sean números reales, conviene hacer su representación gráfica, tomando x, y como coordenadas cartesianas. Resulta entonces una curva de ecuación y = f (x) que sólo puede ser cortada en un solo pun­ió por paralelas al eje y. Si se trata de

curvapuntos por paralelas al eje y, ya no se trata de una función sino de una relación. Hay veces en que la gráfica 110 es una curva en el sentido intuitivo de esta pala­bra, sino un conjunto de puntos o seg­mentos aislados.

Conviene dar algunos ejemplos de fun­ciones discontinuas:

19) X = Y = números reales, f: x y = E (X) = parte entera de x. La grá­fica está formada por segmentos escalo­nados paralelos al eje x, los cuales son ce­rrados a la izquierda y abiertos a la dere­cha.

meros.

)2?) X = números naturales de 0 a 24

(horas del día); Y = números naturales, f: hora x -*• número de alumnos y que están en el aula. Es una función prácticamente discontinua en las horas de entrada y sa­lida de los alumnos. Cuando no hay clase vale 0 y durante la clase, suponiendo que nadie llega tarde, f se mantiene constante.

También conviene señalar alguna fun­ción periódica.

3?) Un punto describe con movimiento uniforme la circunferencia de centro O y jadió unidad. Sea x el camino recorrido e y la ordenada en cada punto, con el signo habitual. Se tiene la función seno, que puede estudiarse y graficarse aun an­tes de definir esta función trigonométrica. Análogamente, si se toma por y la abscisa correspondiente al punto x, se tiene la fun­ción coseno.

Muchos resultados de longitudes, áreas o volúmenes conviene presentarlos en for-

de funciones. Ejemplos:49) La longitud de la circunferencia

b = 2?tr, conduce a la función y = 2 Jt x. La gráfica es una recta que pasa por el origen. Conocidos los valores correspon­dientes a dos radios, se puede obtener grá­ficamente el valor para cualquier otro ra­dio (interpolación).

59) El área del círculo conduce a la ■ V = Jtx2. La gráfica es una pará­

bola. Esta gráfica, dada en primer año, permite dar una idea de la parábola, mu­cho antes de que se defina esta curva co­

ligar geométrico en geometría analí-

69) El perímetro del cuadrado es y = 4 x, y el área y = x2. Las gráficas son del mismo tipo que para la circunferencia y el

BIBLIOGRAFIA

Nos vamos a limitar a dos textos asequi­bles y recomendables de nuestro ambiente y a las recomendaciones de la reunión de Dubrovnik de las cuales existe traducción castellana.1. Gabba - Dalmasso, Matemática Mo­

derna, Tomo I, Buenos Aires, 1965.2. Varsavsky, Oscar, Álgebra para Escue­

las Secundarias, EUDEBA, Buenos Ai­res, 1964, Tomo I.

3. Synopses for modera school mathe- matics (Resultado de la reunión de Dubrovnik, 1961). Traducción caste­llana por A. Piaña (Centro de Do­cumentación e Información del Minis­terio de Educación de la República Argentina).

En otros idiomas la bibliografía es abun- datísima. Prácticamente cualquier libro mo­derno de Algebra o Análisis empieza con las definiciones y conceptos expuestos.

Consideramos la caída de un cuerpo. La velocidad v es función del tiempo t : ¿qué función será? Se ensaya la más simple, que es la lineal v = a t y, efectivamente, ésta es la fórmula. Si para t = 0 ya existe cierta velocidad inicial vG, será v = at

i

ma

+ v0.Si en vez de la velocidad de caída se

quiere el espacio recorrido durante la caí­da en función del tiempo, hay que ensayar c = at, o más generalmente e = a t + b. Esta función lineal no está confirmada por la experiencia; hay que complicarla más. Viene luego, en orden de complicación, la 1 unción cuadrática y = a x2 + b x + c. Efectivamente, esta es la fórmula del mo­vimiento de la caída de un cuerpo (en el \acío). Los valores de las constantes a, b, c los da la experiencia o la teoría fí­sica correspondiente.

89) Hay funciones en que el codominio

a una

función

mo1tica.

una2322

I

Si U S: = CS, n (S= u Sé)J U CS3 fl (St u S/)J=*“(Si n s3) u (s, n sv) =

(s2 n s,j u (s3 n s/) == (s, n s_.) u es* n s,') u (sa n s/)fda, como consecuencia casi inmediata del axio­ma 5, la igualdad:

y aplicando sucesivamente (24) y (25) resulta:S2 = (S2 n S,)U(S8nSO-SiU (So nS/). (23)

Como en el último miembro figura una unión de conjuntos disjuntos [puess, n(So n s;) —Si n (s; n s8) = « (Sx n Si) n s2 « 0 ns2=0],V éstos pertenecen a la clase S en virtud del axioma 2, resulta de (28), por el axioma 5:

p (Si) -f- p (So fl Si);

finalmente, por ser p (So fl Sf) ^ 0 en virtud del axioma 3, resulta:

P (s,) S5 p (Si).Teorema 2. Si St y So son eventos cua­

lesquiera, m? ítem? (Fig. 14):

Mociones sobre cá cu o de

probabilidades:

P (Si U S3) = P (S, fl S>) ++ p (Si n &•) + p (s3 n s/).

Finalmente, reemplazando en esta igualdad los dos últimos términos i)or sus valores despejados de (30) y (31) respectivamente, se obtiene la igualdad (29) que queríamos demostrar.

3.5 Notemos que (29) se generaliza fá­cilmente y sin recurrir de nuevo a los axio­mas. Por ejemplo, para tres eventos Si, S2, S:« cualesquiera, es

p(S iUSoUS3) = p( Si) + p( So) + p(S3) —-p(Sif]s2) — p(s2ns3)—p(s3nsi) +

+ p (Si n s2 n s3).

César A. TREJO (Argentina)

puntos por un pequeño círculo de área proporcional a la correspondiente probabi­lidad, como hemos hecho en h figura 4

los espacios G y F. Cada evento se re­presenta encerrando sus puntos por una curva (figuras 5 a 8).3.4 Veamos ahora dos sencillos teoremas del Cálculo de probabilidades, considerado como el sistema deductivo definido en 2.5. Ambos son obvios si nos atenemos a su sig­nificado intuitivo, pero al formalizar la teo­ría como sistema deductivo deben demos­trarse a partir de los axiomas de 2.5,

Teorema 1. Si el evento Si es parte del evento S2, entonces p (Si) ^ p (S2). En símbolos:

3. Diagramas: Primeras consecuencias de los axiomas.

3.1 Recordemos que las relaciones de in­clusión y las operaciones de Boole con con­juntos, y sus propiedades, pueden ilustrar­se muy claramente mediante los conocidos diagramas de Venn. Por ejemplo, la figura 12 representa la inclusión ACB, y también ilustra la implicación

ACB - A D B = A,(así como la implicación contraria), y la

susv (Sa)

con

(32)(23)

yi * Demostración. EsS, U S: U Sj =! S, U (S2 U S3),

y entonces, en virtud de (29) (aplicada dos ve­ces) y (24) se tiene:

p (Si US.U SA = p (S,) ++ V (Sa u S3) - P (S, fl (S, U Sa)) =

= P (Si) + p (S3) + P (S3) — p (Sa fl Sa) — - P (Si fl Sa) U (S. fl Sa)). (33)

(Fig. 14)

p(SjUS_.)=p(S,) +p(S2) —p(SiflS2). (29)

Nota. Esta igualdad es obvia sobre la base de la siguiente consideración intuiti­va: La masa p (SL U S2) en el conjunto SL U So es igual a la masa p (Si) en el con­junto Si, más la masa p (S2) en el conjunto S2, menos la masa p (Si fl S2) en el con­junto Si fl S2, que se ha contado dos veces.

Ejemplo. Con referencia a la figura S se tienep(SUT) -p(S) + p (T) - p(sriT); en efecto

S!CS2 - p(Si) ^ p (S2). (25)

Notas:(i) La implicación (25) es obvia desde

el punto de vista intuitivo. La masa p (Si) en el conjunto Si, que es parte de S2, es menor o igual que la masa p (S2) en el conjunto S2.

(ii) También es obvia la implicación (25) sobre la base de esta consideración intui­tiva: Un resultado x verifica el evento Si si x e Si. Pero en tal caso, también x e S_., de modo que la probabilidad de este úl­timo evento S2 no puede ser menor que la del evento Sj.

(iii) Con la conocida equivalencia entre inclusión e implicación:

En virtud de (29) el último término se trans­forma así:

P (Si fl Sa) U (Sa fl S.,)) = v (Si n &) + p Si n s3) - - V ((Si n Sa) fl (Si fl Sa)) =

= p (Si f) S2) + p (Si fl Sa) — — P Si fl Ss fl Sa),

(Fig. 12)figura 13 ilustra la propiedad distributiva de fl respecto de U:A n (B U C) = (A n B) U (A fl C). (24)3.2 El mismo recurso de los diagramas de Venn proporciona una imagen intuitiva sencilla y eficaz para los axiomas de 2.5. Para ello el espacio de resultados E presenta por una región del plano, que ahora imaginaremos materializada por lámina de densidad superficial constante o variable. La probabilidad de un evento S (subconjunto de E perteneciente a la clase S) estará representada por la masa del co­rrespondiente trozo de la lámina material. La densidad es siempre no-negativa (axio­ma 3) y la masa total es 1 (axioma 4).3.3 Si el espacio de resultados es finito ° numerable, un diagrama más informati­vo se obtiene representando cada uno de

(Wg. 13)

y reemplazando en (33) se obtiene la igualdad (32) que queríamos demostrar.

3.6 No seguiremos con este detalle, de­mostrando cada propiedad mediante ope­raciones conjuntistas y la aplicación estric­ta de los axiomas de 2.5. Lo importante es señalar que esto podría hacerse si se qui­siera. Omitiremos, pues, muchos demostra­ciones, reemplazándolas por simples con­sideraciones intuitivas.

21 10 15 4_~36 _ + 36 _ 36

Demostración del teorema. Las descomposi­ciones en uniones disjuntas

S. = Si fl (Ss U Sé) = (S, f| S.) U (S, fl Sé),S* = S. fl (S, U Sé) = (S3 f| Si) U (S3 f| Sé),dan, en virtud del axioma 5,p (S,) - p (S, f| S3) + p (Si f| Sé). (30)p (S3) = p (S3 f| Si) + p (S: f| Sé). (31)

La descomposición siguiente de S« U S3 en la unión de tres conjuntos dos a dos dis juntos:

se re-

una

(SaCS2) (a*e S, .reS2), (26)la implicación (25) puede escribirse tam­bién así: Por ejemplo, con referencia al diagrama

de Venn de la figura 15, si para calcular la masa(*«s. - X'Ss) -p(S,)í£p (s.).(27)

Demostración del teorema. Se tiene

S= = S. fl E = S. fl (S, US/),

p (S, U S, U S3)formamos la suma

24 25

• ■'

!

nhabilidad condicional (37) determina nuevo espacio de probabilidad:

(E, S, p8).Demostración. La verificación de los

axiomas 1 a 3 es obvia. Se cumple el axio­ma 4, pues

l—-

un

> (39)/A If/ i

4^ I/4

K; Ii p(SPE) p(S)

p(S)También se cumple el axioma 5. En efecto, si T y U son eventos disjuntos, lo son tam­bién S fl T y S fl U, y se tiene en virtud de la propiedad distributiva (24) .y el axio- .ma 5 para (38):

Vs (E) =3 1.p(S)I(Fl- Jo)

c ada una de las regiones de contornos gruc- z so, de trazos y de cruces se contó dos veces, y entonces debe restarse una vez. Forme­mos, pues, la suma algebraica 1

s t :4

é -- -< •- - i

(Fig. 16)fe

P (Si) + p (S,) + p (S3) —- p(Stns,) - p(s,ns:t) - p(s3nst).

p(s n (tuu) )p Ps (TUU) =10 P(S)2 3

s n t Vemos, pues, que la probabilidad del evento T, que era p (T) =15/36, cambia con la hipótesis S, pues con ella es ps (T) = 4/10 < p(T) (pues 4.36 < 15.10).

Notemos que

(Fig. 7) p (s n t) u (s n u)Pero en ella, la región rayada Si R S2 R S3 se ha contado una vez en cada término, o sea p (Si fl Sm fl S3) se ha sumado un nú­mero de veces igual a 1+1+1 —1 — 1 —1=0 entonces debe sumarse (una vez) para completar p (St U S= U Ss), y con ello se obtiene (32).

4. Probabilidad condicional

4.1 Volvamos al espacio de resultados G = E X E para un par de dados, ya con­siderado en 1.7 (ver fig. 1). Con la clase S de todas las partes de G tenemos el es­pacio de probabilidad

(G, S = P(G), p).La función p: S-+R (R, reales) queda

determinada si suponemos que a cada pun­to de G corresponde la misma probabili­dad 1/36 (intuitivamente: ninguno de los dados está cargado).

Consideremos nuevamente la figura 7, ahora en el espacio de probabilidad (34). ¿Cuál es la probabilidad de S fl T?. Es

Más estrictamente: S fl T tiene 4 puntos r/, by Cy dy es decir, se expresa como unión de conjuntos dos a dos disjuntos, así:

s nT-MU^UWUW;por otra parte, en la hipótesis hecha para definir la función p: S -*■ R, es

P (S)

p(srvr) + p(snu)=Ps(T)+Ps(U). (40;

P(S)4 4/36 p (S fl T)10 ~ 10/36 _ ?7(S]“Ps (T) = — 4.4 Hemos visto que si el espacio de re­

sultados E es finito, el espacio de proba­bilidadEsta igualdad sugiere la siguiente defi­

nición general:Definición. Dado en un espacio de pro­

babilidad (E, S, p) un evento S con pro­babilidad no nula (p (S) =!= 0), se llama probabilidad condicional de un evento T en la hipótesis S al cociente

lP(W )=P(W)==p(M)=p(W)=-^r,36 (E, P (E). p),

cuyos eventos son todas las partes de E, queda determinado asignando a cada pun­to una probabilidad ^ 0 de modo tal que

1. En este caso, dado SCE p (E) =!- 0, el espacio de probabilidad

(E, P (E), ps)

queda determinado asignando probabilidad 0 a todo punto del complemento S’, y mul­tiplicando las de los puntos S por l/p(S).

Ejemplos. 1. En la figura 16 esta re­presentado el espacio de probabilidad (G, P (G), ps). A cada punto de S’ corres­ponde probabilidad 0, y a todos los pun-

de S la misma probabilidad

y entonces resulta (35) como consecuencia del axioma 5, así:

V (S n T) „ p (.¡a}-) + p (-¡bf) -¡

+ p(W) + P(W) - +•su suma sea conI

(34) P(SHT)(36)Ps (T) =36

P(S)4.2 Supongamos ahora que ya sabemos que se ha verificado el evento S, que el resultado —por lo demás descono­cido— (r,n), pertenece a S:

(r,n) c S,(la suma r + n es ^ 5), y, con esta infor­mación, queremos calcular la probabilidad del evento T. Esta probabilidad se llama probabilidad condicional de T en la hi­pótesis S, y se indica ps (T).

Los resultados posibles son ahora sólolos 10 de S (fig. 16), y de entre ellos, los favorables son los 4 de S fl T, de modo que

4.3 La funcióno sea

(37)ps: S -*• Rdada por (36) se llama función probabi­lidad condicional relativa a la hipótesis S. Esta denominación se justifica debido a que la función (37) es una medida de probabilidad. Se tiene, en efecto, este teo­rema fundamental:

Teorema. Dado en un espacio de pro- balidad

tosV (S n T) = ~ 1(35) = 1/10.(1/36).36’ 10/36

2. Al espacio de resultados F conside­rado en 1.7 (ver fig. 4) corresponde el es­pacio de probabilidad (F, P (F), p) en

pues hay 4 casos favorables sobre 36 ido- síbles. (38)(E, S, p)

evento S con p (S) =!= 0, la función pro-un26

27

i

5.3 La condición para que el evento V independiente del evento U, o seael cual se asigna a cada punto una proba­

bilidad de acuerdo con las dos primeras líneas del cuadro siguiente, en el cual la tercera fila da las probabilidades para el espacio (F, P (F), ps) siendo S el conjunto de los resultados pares, S=*¡ 2,4,6,8,10,12}-, de probabilidad p (S) = 18/36:

Punto: 2 3 4 5 6 72 3 3 4 5 6

36 36 36 36 36 36

1/18 0 3/18 0 5/18 0

8 9 10 11 125 4 3 2 1

36 36 36 36 365/18 0 3/18 0 1/18

En la figura 17 se representan ambos es­pacios de probabilidad de acuerdo con la convención gráfica dada en 3.3.

(F, P (F). p)(F, P (F), p8)

yr r~-1 P(sriTnu) — »(S).p(T).p(u). m- * sea/wx p(unv)

p (V) = Po (V) = (p(U)=izO), 5.5 De aquí resulta que si tres eventos son independientes, lo son dos a dos.c

La recíproca no vale, como la muestra este ejemplo de S. Bernstein. Tengamos en una urna 4 bolillas con las marcas

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), y supongamos que la probabilidad de ex­traer una bolilla dada es la misma para to­das, y por tanto Va. Entonces los eventosS = -i (a,b,c) | a = 1} = ] (1,0,0), (1,1,1)T = \(a,b,c) | b = l\ = -{(0,1,0), (1,1,1) lU = -j (a,b,c) | c = 1} = -j (0,0,1), (1,1,1)},

tienen la misma probabilidad (1/4)4-(1^)=: = %:

wr

puede escribirse en esta forma simétrica:P(unv) = P(U).P(v). (4i)

Es preferible, entonces, dar una defini­ción diferente (más amplia) de indepen­dencia, eliminando la restricción p(U) 0 y basándola en (41):

Definición 1. El evento V se liorna in­dependiente del evento U si vale la igual- dad (41).

De la simetría de (41) resulta:Corolario. La independencia de even­

tos es simétrica, es decir: V independiente de U implica U independiente de V.

Cuando sea V independiente de U (y por tanto U independiente de V) diremos simplemente que U y V son eventos in­dependientes (entre sí):

Definición 2. Dos eventos U tj V se llaman independientes si la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades.

:4

r ♦vv

VT -t / ^(¿/ f---- V— *-----f

— s------5------ +•p ■

p« ; : lTunto:(Fig. 1S)

En este caso, la hipótesis U no cambia la probabilidad del evento V, por io cual diremos que el evento V es independiente de U.55.2 Análoga conclusión se obtiene para el suceso

ipp-

1P(S) = = P(U) = j (44)

Por otra parte, essriT =tíiu = uns =

= s n t n u = •{(i,i,i) kv entonces:p (s n tj = p (t n u) = p (u n s) =

= p (s n t n u) = 1.Con (44) y (45) se verifican las igual­

dades (42), de modo que los eventos S, T y U son independientes dos a dos, pero no se cumple la igualdad (43) y entonces S, T y U no son indepenclientes.

(CONTINUARA)

Si varios eventos U„...,U_ son indepen- todo subconjunto de J U,f...,U., \ .

■

fnnrpM: i -* .i ? : , * <>5 ......r-----I

O •- 5.4 El concepto de independencia se ge­neraliza a más de dos eventos. Diremos que varios eventos U,, U2, ..., U„ son in­dependientes si la probabilidad de toda in­tersección formada con ellos es igual al producto de las probabilidades de los tos intersecados. Por ejemplo, los eventos S, T y U son independientes siV (S n T) = p (S) . p (T),P (T n U) = p (T) . p (U), p(uns)=P (U) . P (S),

4O O- (45)'

(Fig. 17) "ir -rt~4~ü ¡ ! g—t—rJi -4-5. Independencia.5.1 Vimos en 4.2 que para los eventos S y T de la figura 16 se tiene p(T)=!=ps(T), es decir, la probabilidad de T cambia con la hipótesis S.

Si en cambio consideramos los sucesos

U = \(r,n)<G\r^3}

V = ((r,)i) «G I r = n¡- (Fig. 18), vemos que

even-í !i í(Fig. 19)

W = -j (r, )i) t G | u>5¡-, con respecto a U (fig. 19). Es

(•-) Más general: dientes, lo son los de(42) 1

\(pero el descubrimiento queda enton­

ces librado al azar).FRECHET ha mostrado, hace mucho

tiempo, los desastres provocados en la en­señanza por la confusa mezcla de lo abs­tracto y lo concreto. Si el maestro tiene clara idea del método axiomático, sabrá hacer pasar a los alumnos de un plano al otro, de la observación a la axiomatización, de la deducción a partir de axiomas de la estructura a las aplicaciones, sin que la acción en la realidad — la observación — venga a interferir erróneamente y a atrave­sarse sobre la acción en el dominio abs­tracto — la deducción.

p (W) = 12/36 = 1/3, p (u n w) brir(Vione de la pág. 17)

vcstigación matemática. El malentendido inicial reside en la confusa mezcla de rea­lidad y de esquematización al comienzo de los estudios. No se ha distinguido suficien­temente la realidad observada y el esquema construido o, aun mejor, extraído de esta realidad. Sólo se puede razonar sobre el esquema, y puesto que es sólo un esque­ma, sólo por el razonamiento se puede ex­traer una propiedad nueva. Sobre la rea 1- dad, por el contrario, no se puede razonai, puesto que los "parámetros” son numero­sos y están confusamente entremezclados, y sólo por observación se los podría c escu

6/36 1y Vv (W) = -

3 ’P(U) 18/36y entonces W es independiente de U. En este caso la independencia es más eviden­te, pues la verificación por un resultado (r, ;i), del evento U, depende sólo de r (es decir, del número de puntos obtenido con el dado rojo), y la verificación del evento W depende sólo de n (es decir, del nu­mero de puntos obtenido con el dado ne­gro).

V (V) =~ = - y pu (V) =36 6

p(u n V) 3/36 1P (V) 18/36

(En fig. 18 se lia representado, con la convención gráfica de 3.3, el espacio de probabilidad (G, P (G), pu). En él se cal­cula directamente pc (V) = 3/18 = 1/6).

6

(3) La. independencia así definida se llama independencia aleatoria o estocástica ("en probabilidad"). Como ésta es la única independencia que se considera en el Cálculo de pro­babilidades, omitimos los calificativos. 29

28

|

im.c.d. (18, 24, 30) = 6

18 D 24 D 30 = 6Observación: Se obtendrá el mismo re­

sultado si se efectúa la intersección del pri­mer conjunto con el conjunto intersección de los dos últimos. Por tanto, la operación máximo coman divisor es asociativa, esto es:

números se denomina menor múltiplo co­mún.

Así, en el ejemplo anterior, el menor múl­tiplo común de los números 4 y 6 es 12 (el menor elemento del conjunto intersec­ción).

La operación que permite determinar el menor múltiplo común de dos (o más) nú­meros, es denominada mínimo comúnjnúl- tiplo.

Luego:

Máximomínimo

ócomúncomún

divisor y

múltiolo-(1S D 24) D 30 — 18 D (24 D 30)

Verifique esta igualdad.Nota importante: Se ha aprendido el con­

cepto de la operación máximo común divi­sor, vale. decir, que tipo de operación es.

La técnica de cálculo para efectuarla se enseñará posteriormente, cuando se conoz­ca la operación y sus propiedades. No debe preocupar, pues, la forma en que se deter­mina el máximo común divisor de “núme-

grandes” usando la intersección. Lo mismo ocurre, por ejemplo, al estudiar la multiplicación. Allí se obtiene 4 X 5 = 4 -j- 4 -f- 4 -|- 4 4 = 20 usando el con­cepto de la operación. Pero 835 X 117, por ejemplo, se calcula mediante la técnica de cálculo conocida por todos desde la escuela primaria.3. Múltiplos comunes: intersección de

conjuntos.Con excepción del cero, que es múltiplo

de todos los números, ¿cuál es el conjunto de los múltiplos de 4? Es -j4;8;12;16;20,... ¡- Nótese que se trata de un conjunto infinito.

¿Y el conjunto de los múltiplos de 6? Es ■{6; 12; 18; 24; 36,. . ^

Los múltiplos comunes de 4 y 6 son los que pertenecen al mismo tiempo a los dos conjuntos y, por tanto, forman el conjunto intersección:•¡4; 8; 12; 16;.. .} f) {6; 12; 1S; 24;^ =

- U2; 24;... ¡-Como se observa, el conjunto de múlti-

píos comunes es infinito, lo que hace im­posible, la existencia del “mayor múltiplo común”; existe, en cambio, el menor múl­tiplo común

OSVALDO SANGIORCI (San Pablo)

Notación: m.c.m. (4; 6) = 12 4 M 8 — 12

Comúnmente se comete el error de con­fundir mínimo común múltiplo, que es una operación, con el menor múltiplo común, que es *el resultado de esa operación.

Consideremos otros ejemplos de la ope­ración m.c.m. en el universo de los nú­meros naturales:

a) Determinar el menor múltiplo común de los números 4 y 5.

Tenemos:

1. Divisores comunes.

¿Cuáles son los divisores de 8? Son 1; 2; 4; 8, esto es, los elementos del conjunto \ 1; 2; 4; 8

¿Cuáles son los divisores de 12? Son los elementos del conjunto \ 1; 2; 3; 4; 6; 12

¿Cuáles son los divisores comunes de 8 y 12? Son los que pertenecen al mismo tiempo a los dos conjuntos, esto es, los que forman el conjunto \ 1; 2; 4 \f denominado conjunto intersección de los dos conjuntos dados. Luego:■{ 1; 2; 4; 8 n ^ 1; 2; 3; 4; 6; 12 J- = *{1;2;4¡-

2. Operación: máximo común divisor.Resultado: mayor divisor común.

De los divisores comunes de dos o más números tiene mucha importancia el mayor de ellos. Así, en el ejemplo considerado de divisores comunes: -j 1; 2; 4 el mayor de ellos es 4 (elemento mayor del conjunto intersección).

La operación que permite determinar el mayor divisor común de dos (o más) nú­meros, se denomina máximo común divisor.

Notación: m.c.d. (8; 12) = 48 D 12 = 4

Comúnmente se comete el error de con­fundir máximo común divisor, que operación, con el resultado de ción.

Consideremos otros ejemplos de la ope­ración m.c.d. en el conjunto universo de los números naturales.

a) Determinar el mayor divisor comón de los números 12 y 18.

Tenemos: divisores de 12 = \ 1;2;3;4;6;12 \

divisores de 18 = *¡l;2;3;6;9;18‘l divisores comunes:

;\h 2; 3; 4; 6; 12\ fl \l; 2; 3; 6; 9; 18^ = = -¡1; 2; 3; 6¡-

12 D 18 = 6i

■

Luego

b) Determinar el mayor divisor común de los números 4 y 5.

Tenemos: divisores de 4 = -jl; 2; 4J- divisores de 5 = -jl; 5}- divisores comunes:

ih 2; 4} n \1; 5} =4 D 5 - 1

!::¡'•

ros

i'i

!Múltiplos de 4 = *{4;S;12;16;20;24;...¡- Múltiplos de 5 — 5;10;15;20;25;... j- Múltiplos comunes:

•j 4;S;12;16;20;24;... }■ fl {5;10;15;20;25;... \ —

= <¡20; 40;... >20 es el menor múltiplo común.

Luego:

LuegoObservación: Otra manera de decir que

dos números son primos entre sí (4 y 5, por ejemplo)' es decir que su mayor divi­sor común (D) es 1.

Ic) Determinar el mayor divisor común de los números 18; 24 y 30.

Tenemos:divisores de 18 = -¡ 1;2;3;6;9;18¡- divisores de 24 = -j 1;2;3;4;6;S;12;24¡- divisores de 30 = -¡1;2;3;5;6;10;15;30¡-

Inicialmente se determina la intersección de los dos primeros conjuntos, esto es, el conjunto de divisores comunes de 18 y 24:

■{ 1;2;3;6;9;18 }• fl \ 1;2;3;4;6;8;12;24¡- «== -¡1; 2; 3; 6¡-

Se continúa hallando la intersección del conjunto obtenido con el tercer conjunto dado:

(4; 5) = 20m.c.m.4 M 5 = 20 '

• í Observación: Los números 4 y 5, primos entre sí, tienen por menor múltiplo común a su producto (4.5 = 20).

b) Determinar el menor múltiplo común entre 4; 6 y 8.

óTenemos:

múltiplos de 4 = 4;S;12;16;20;24;2S;... }- múltiplos de 6 = ■{ 6;12;1S;24;30;36;... }■ múltiplos de 8 = -{S;16;24;32;40;... }-Determinemos primero la intersección de

los múltiplos comunes de 4 y 6:■j4;S;12;16;20;.. . } fl ] 6;12;18;24;30;. ..} =

= *{12; 24;...¡-Continuemos hallando la intersección del

es una esa opera-

4. Operación: mínimo común múltiplo. Resultado: menor múltiplo coman.

El nombre ya lo está diciendo: el menoi de los múltiplos comunes de dos o masU;2;3;6;¡- fl {1;2;3;5;6;10;15;30¡- -

= *{1; 2; 3; 6} 3130

meros no altera el mayor divisor mún entre ellos.

Ej.: 4 D 6 = 6 D 4.3. ELEMENTO NEUTRO: Es 0

Ej.: 4 D 0 = 0 D 4 -= 4.4. ASOCIATIVA.

Ej.: (4 D 6) D 8 = 4 D (6 D 8).Observación: Cuando figura en una apli­

cación el elemento neutro cero juntamente con otros números, se le puede despreciar en la operación m.c.d.

Ej.: m.c.d. (8;6;0;12) =b) Propiedades de la operación

1. CLAUSURA: El menor múltiplo comúnde dos números naturales cualesquiera es siempre un número natural.

Ej.: 4M6 = 12.2. CONMUTATIVA: El orden de los nú­

meros no altera el menor múltiplo co­mún entre ellos.

Ej.: 4 M 6 — 6 M 4.3. ELEMENTO NEUTRO: Es 1

Ej.: 4 M 1 = 1 M 4=4.1 es divisor de todos los números natu­

rales y, por tanto, de 1.4. ASOCIATIVA.

Ej.: (4 M 6) M 8 = 4 M (6 M 8).Observación: Cuando figura en una apli­

cación el elemento neutro 1 juntamente con otros números, se le puede despreciar en la operación

c) Propiedad, distributiva (pie relacio­na las dos operaciones.

1. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE D CON RESPECTO A M.

Ej.: 8 D (4 M 3) = (8D4) M (8 D 3).2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE M

CON RESPECTO A D.Ej.: 8 M (4D3) = (SM4) D (8M3).Observación: Observe que la propiedad

distributiva vale tanto de D para M como de M para D.

conjunto obtenido con el tercer conjunto, se obtiene:

■j 12;24;...}fl ■J8;16;24;32;„. [■ = ^24;48;...¡- El menor múltiplo común es 24.Luego: m.c.m. (4; 6; S) = 24

4 M 6 8 — 24

Suma y resta de segmentosco-

pucs. DE CECCO (Buenos Aires)

0,0, llevando a A sobre 0, de manera queel A’B’ obtenido es una copia (calco) delAB. Se repite la operación con CD, pudien- do ocurrir que: 1) D’ esté entre A’ y B’; 2) D’ = B’; 3) B’ esté entre A* y D\ En el

, I—I - I—Isegundo caso, se dice que A’B’ = C’D\

Esto define la relación sobre segmentos cerrados.

Establecemos, además, que:<—i ^ i—!:—) ~ i—i (—)AB = AB; AB = AB; AB = ABAhora la congruencia está definida para

cada par de A y se comprueba que es relación de equivalencia. IndicaremosAB a uno cualquiera de los segmentos ci­tados.

Podemos ahora hablar, sin temor de con­fusiones, de [AB] que es un elemento de

ó1. Una relación de equivalencia entre

elementos de un conjunto A es una rela­ción simétrica, reflexiva y transitiva.

Dada una relajón de equivalencia en A, se puede determinar el conjunto de clases de equivalencia, la que resulta ser una participación, do A.

Si a £ A. indicaremos con [a] a la clase de equivalencia de a y llamaremos B al conjunto de tales ciases (que resultan ser subconjuntos de A).

Por tanto: a s [«],* [«] £ B;[a] CA; b & \a | b —- r/; .etc., indicando con ^ el símbolo de laequivalencia.

2. Sea A el conjunto de los segmentos delplano, abiertos, cerrados o semiabiertos; los

(--- )!—| ( 11----- )designaremos AB; AB; AB; AB, respectiva­mente.

En consecuencia, podemos escribir I—I «—)AB-M,B¡- = AB;AB=ABU <¡B¡-

==ab* U •{ A J-

=aFu^a,b¡-AB—¡A¡- = Ab'áB-W = AB

La relación de equivalencia que nos in­trusa, en este caso, es la congruencia (=). Intuitivamente, inferimos que dos segmen­tos son congruentes cuando se puede trans­portar uno sobre otro de manera que coin­cidan sus extremos.

Observación: La operación mínimo co­mún múltiplo es también asociativa, vale decir:

(4 M 6) M 8 = 4M(6M 8) Verifique esta igualdad.Nota: Vale la misma importante observa­

ción hecha para la operación máximo co­mún divisor.

m.c.d. (S;6;i2) m .c.m.

Se ha aprendido el concepto de la opera­ción mínimo común múltiplo. Luego se verá la técnica de cálculo de esta ción.5. Propiedades estructurales de las opera­

ciones m.c.d. y m.c.m.

I—iopera-j

unaconSe acaban de estudiar dos operaciones,

m.c.d.•;1y m.c.m., cuyos conceptos fue-

fijados mediante el lenguaje de inter­sección de conjuntos.ron

!Es natural —como acontece con las de­

más operaciones estudiadas —pues.

que operan­do con números mayores que los presenta­dos en los ejemplos se conozca una técnica de cálculo que facilite la obtención de los resultados de esas operaciones. En el de las operaciones m.c.d.

i—l1—]B igual a [ÁB], [ABJ, etc.

Se ve de inmediato que la definición no depende ni de la recta particular ni de lospuntos. __

3. A cada clase [ABJ se le puede hacer corresponder un número real no negativo y sólo uno.

Suponiendo conocida la recta numérica, consideremos el 0 (cero) como el origen0,, de la Fig. 1. Entonces, dado AB, el B’ obtenido mediante esa construcción, co­rresponde a un número real no negativo.

Si CD e [AB], entonces D* = B’ (porque i—Ul—ICD = AB, y ésta es precisamente la defi­nición de congruencia).

Por razones de comodidad, podemos ele­gir el 0’ correspondiente del lado de los nú­meros positivos, elijámoslo, por ejemplo, co-

el punto correspondiente a 1 (Fig. 2).

casoy m.c.m., esas

técnicas, basadas en la descomposición en factores primos, conocidas desde la es­cuela primaria, serán estudiadas con pos­terioridad. Antes, cabe una pregunta: Las operaciones m.c.d. y m.c.m., definidas en el conjunto universo de los números na­turales, ¿gozan de las mismas propiedades estructurales —clausura, conmutativa, ele­mento neutro,... — válidas para la adición y la multiplicación?

1—)

m.c.m.

i

La respuesta es SI; también gozan de las mismas propiedades estructurales. Obsér­vese: dA

Pa) Propiedades de la operación m.c.d.1. CLAUSURA: El mayor divisor comón

de dos números naturales cualesquiera es siempre un número natural.

Ej.: 4 D 6 = 2.2. CONMUTATIVA: El orden de los nú-

<*/«íP'-O*q.A'oC* mo

_ __ (Fig. 1)Sean Ab' y CD dos segmentos cerrados,

fl una recta; 0t y 0'¡ puntos distintos ^ de esa recta (Fig. 1). Se transporta AB sobre

<hO ’ÍTbi ÍF

(Fig. 2)32 33

-

A LA EXPERIENCIA DEL AULAPHemos visto que a cada [ABJ le corres­ponde un número real positivo. Pero, si[AB] =<= [EF], entonces, a [AB] y [EF] les corresponden número distintos.

En efecto, si F’ = B’, considerando a EF

£

AV-A' Numeración binariaB'-C D' c$

(Fig. 4)Denominaremos [AB] + [CD]) al ele­

mento [A’D’] YOLANDA MAZZANTINI DE GARCIA (Buenos Aires)

con símbolos la operación reaizada y, lue­go de algimas tentativas, se llegó a:

123 “$ 1” = 12 “$ 10” + 3 “$ 1”123 = 12 X 10 + 3

Se propusieron luego cambios con su­mas mayores, trabajando ahora sólo con símbolos. Durante el cambio se hicieron las siguientes observaciones:1) Se necesitan 10 símbolos para represen­

tar los números.2) 10 unidades de un orden forman 1 uni­

dad del orden superior siguiente.Dado el nombre del sistema y ejercitados

los alumnos en la escritura de números y la descomposición en unidades de diversos órdenes, se propusieron ejercicios del si­guiente tipo:

¿Cuántas unidades simples representa el símbolo 4 en las siguientes expresiones: 14; 249; 1452, 4738?

Se llegó así a la conclusión de que las unidades simples que representa un sím­bolo en el sistema decimal dependen de la posición que ocupa.

El sistema de numeración binaria se in­trodujo de manera análoga al decimal, tra­bajando con el sistema de monedas de un país imaginario, cuyas piezas se materia­lizaron con figuras geométricas de cartu­lina, de las cuales cada alumno poseía un juego. Las monedas eran círculos, trián­gulos, cuadrados, rombos y estrellas, y la equivalencia fue establecida por la pro­fesora de la siguiente manera:

como representante de [EF], tendremos:ET = ATB’; EF = A?B!; [EF] = [AB]

contrariamente a la hipótesis; luego, a cla­ses distintas les corresponden números dis­tintos.

Finalmente, es obvio que a todo número real positivo o nulo le corresponde una cla­se de B, pues dado un número real <x, sea Ooc el punto correspondiente en la recta numérica. Luego [00 a ] es una clase de B y, por tanto, le corresponde el número a. Se puede establecer así una biyección en­tre las clases de [AB] y los números reales positivos.

Obsérvese que a [AA] le corresponde 0 y, además, que:

Obsérvese que A’D’ =) [A’B’UC’D’J Podemos escribir, pues: En años anteriores se introdujo la

señanza del sistema de numeración binaria en el curso ele primer año presentando di­rectamente símbolos y reglas. Se observó entonces que los alumnos no vinculaban este sistema con el decimal, limitándose a la aplicación mees nica de reglas. Durante el curso lectivo de 1966 se decidió intro- duciif el tema empleando material con­creto, con la participación activa de los alumnos en el descubrimiento de los co­nocimientos.

Para ello, una vez alcanzado el concepto de número natural por equipotencia de conjuntos, se presentó la necesidad de re­presentar los números naturales mediante símbolos y se introdujeron, con el romano, los sistemas de numeración. Aparecieron, entonces, dos características de todo sis­tema de numeración:1) Necesidadl de un conjunto de símbolos,2) Necesidad de un conjunto de reglas

para combinarlos.Una vez ejercitados los alumnos en la

escritura de números en este sistema, se propusieron ejercicios como los siguientes para algunos símbolos:

¿Cuántas unidades simples representa el símbolo X en las siguientes expresiones: LX - XL - XCIII?

Se llegó así a la conclusión de que en el sistema romano las unidades simples que representa un símbolo ño dependen de la posición que él ocupa.

El estudio del sistema de numeración decimal se encaró valiéndose del siguiente procedimiento: se presentó a los alumnos un conjunto de monedas de $ 1 y se anun­ció que se iba a cambiar esas monedas por otras de mayor valor, pero que en el cam­bio intervendrían sólo monedas de § 10 y billetes de $ 100, de $ 1.000, etc.

El conjunto de monedas presentado de $ 123. La profesora cambió el dineio y quedó con 12 monedas de $ 10, sobrando 3 de $ 1. Se propuso entonces representar

en-[AB] + [CD] = [Á’B’UC’D’J

cuando A’, B’ C’, D’ están dispuestos como en la Fig. 4.

Obsérvese que cuando se elige otra recta

■

i

a2 y otros puntos 02 y 0’2 y otros represen- i‘

tantes cerrados [AB], [CD], por ejemplo 1—1A2B« y C2D2, resulta fácil ver que:

I—I

I—I

I—I I—I I—IA 2B 2 U C’2D’2 = A’B’ U CD’ si A’o, B’2, C’2, D’o están dispuestos como en la Fig. 4.

A- -P. . . , !---- ) (---- 1 (---- )AA = <( A AA = AA = A A = 0 k t

Podemos convenir que [ 0 ] =0, lo que nos proporciona un método para compararlas clases [AB]. Diremos que:

[AB] ^ [CD] *=* [AB] - cc;[CD] -p y a

Nota sobre la recta numérica

(Fig. 5)Por tanto, la suma entre segmentos está

bien definida, pues los resultados sólo congruentes entre sí, esto es, sólo son igua­les sus clases.

5. Resta de clases de segmentos.Se define de manera análoga.Si [CD],

—iOj.A’.C* i

son

Se trata de una recta arbitraria, fija, del plano, y se supone que existe una corres­pondencia biyectiva entre los números rea­les y los puntos de esa recta, de tal mane­ra o ue si « 0 P 0„ entonces 0 está

a /3a la derecha de 0 « < P. Por comodi-apodemos llamar 0 al 0' (Fig. 3}.

[AB] e B, del jrárrafo 2 se

deduce que [AB] ^ [CD] o bien [CD]^[AB], (pues si [AB] ^ -+ « y [CD] -*■ p, entonces, o bien oc > P o bien p ^ ce.

Esto se puede hacer de la siguiente ma­nera: Dados AB, CD, se toma a, (h, 0’, y se transporta AB sobre 0fi\.

Por la misma definición de [AB]^[CD], resulta que D* está entre A’, B\

f

'íiolot %cC_*Oec

(Fig. 3)4. Definiremos ahora la suma de segmen- '

!tos.Consideramos luego el segmento D’B’ y

escribimos: ySi [AB], [CD] eB, sean "a,0S,0*1, AB, CD representados en la Fig. 1.

[AB] - [CD] = [D’B]Claro es que: AB — CO = D’B’^ I—i ^ —Pero como D’B’ = D’B’, resulta que:

[AB] - [CD] = [iVB* - CD’]

Se transporta AB sobre 0X 0\ deque A’ = 0 y luego se transporta CD acontinuación de A* B* de manera que B’=C* (Fig. 4).

era Imanera7 i ■O

35(Continúa en le pág. 42)34

¿Cuántas unidades simples representa el símbolo 1 en las siguientes expresiones: 1; 10; 100; 1.000?

Se llegó a la conclusión de que el nú­mero de unidades simples que representa un símbolo depende de la posición que ocupa.

Por comparación con el trabajo anterior se concluyó que:

El sistema decimal y el sistema binario son posicionálcs.

El sistema romano no es posicional.Los conocimientos adquiridos sobre el

sistema binario no fueron abandonados du­rante el resto del curso. Se lo empleó en ejercicios como los siguientes:1) Recta numérica usando el sistema bi­nario.2) Coloque uno de los signos >, <, =,

según corresponda, entre los siguientes pares de números: 11010dos y 26;

y lOlOldos3) Dados A = -Jx/x e N A 3 < x ^ S\;

B = -jx/x £ N A 10J(los ^ x < 1001Determinar A f) B y definirlo por ex­tensión en ambos sistemas.

4) Calcular x en las siguientes expresiones: x-101(los = 1101„oa ; x: 100dos = 11

5) Definir por extensión:A = {x/x eN A x + 10doa < llldo8

6) Resolver la siguiente suma algebraica: 11(103 d" llldos — lOlOdos ~'r

n0do8 + íoi7) Aplicar la propiedad distributiva

solver:(HOdos + 1001dO8) ( - lldos) =

S) En divisibilidad se usó para hacer la observación de que los criterios que se

habitualmente sólo valen para nú­meros escritos en sistema decimal, pre­sentando el siguiente ejercicio:a) Definir por extensión

A = -jx/x e N, x = 3 A x ^20}-b) ¿Cuál es el criterio para reconocer

si un número es divisible por 3?c) Defina por extensión A, pero es­

criba sus elementos en el sistema binario.

d) El criterio enunciado en b) ¿le per­mite reconocer que estos números son divisibles por 3?

Comenzó entonces el juego del cambio, que los alumnos realizaron inclividualmen-

onee O-1O0Q1 Al OSe practicó con otros números y se ob­

servó:1) En cada paso puede sobrar 1 pieza o

no sobrar ninguna; entonces, con sólo 2 símbolos, 0 y 1, se pueden repre­sentar todos los números.

2) Dos unidades de 1 orden forman 1 del orden inmediato superior.

Dado el nombre del sistema, se encon­tró la manera de escribir los números has­ta veinte.

El procedimiento para transformar al binario un número escrito en el sistema decimal, resultó de la observación del me­canismo del juego: reemplazar una figura por la siguiente significa dividir por 2 y tomar el resto.

También resultó del juego del cambio el procedí miento inverso:

lllldos — ?Se observó que:

1) Los círculos permanecen;2) Cada triángulo permite obtener 2

círculos;3) Cada cuadrado permite obtener 4

círculos;4) Cada rombo permite obtener 8 círculos.

cuadrilátero?es unte:

Denis CRAWFORTH (Inglaterra)

tiene cuatro puntos y cuatro líneas”. De pronto, surgió Juan con un juicio perfec­tamente claro: "Debe dibujarlo sin levan­tar la tiza del pizarrón” Volví a dibujar mi figura obedeciendo su instrucción. Había tranquilidad, muchos de los alum­nos estaban pensativos y sopesando lo que había ocurrido. Entonces, habló David: “Debe hacer lo que dijo Juan, pero tam­bién debe terminar donde comenzó. Nue­vamente silencio. Desafié a cualquiera de la clase a que tomara una tiza y siguiera la instrucción de David.

Silvia se adelantó e hizo su dibujo.

1La clase consiste de unas tres docenas de niños y niñas del primer año de clase secundaria no seleccionada. No los conocía aún. Su profesora habitual me había invitado a trabajar con ellos durante una clase que ella presenció: Conversé con ellos y me dijeron que habían estado haciendo ‘cuadriláteros”. Les pregunté qué era un cuadrilátero, y algunos niños me dijeron que era una cosa con cuatro puntos, y otros que tenían cuatro lados. En medio de la confusión, resolvieron que tenían cuatro puntas y cuatro lados.

‘¿Necesitábamos saber tanto?”, pregun­té. Señalé cuatro puntos en el pizarrón.

!una

>r10111 dosí

\i.dos |\

*(i,--; Hay un relajamiento general de la aten­

ción. Claramente, el dibujo de Silvia es generalmente aceptable. Ahora los desafío a representar diferentes cuadriláteros sobre los mismos cuatro puntos. Siguiendo la instrucción que condujo al diagrama acep­table anterior. Otro largo intervalo. Final­mente, se adelanta un muchacho, toma una

de color diferente y dibuja la figura 4.

Les pregunté si ahora conocían el cua­drilátero.

Había un ambiente general de confian­za y tranquilidad en la clase; sí, sentían claramente que conocían el cuadrilátero y que estaba claramente definido. Invité a cualquiera de ellos a poner ahora los cua­tro lados. Titubearon algo, probablemente porque no me conocían. Antes que se rompiera el hielo aproveché para dibujar ñus propias cuatro líneas. Dibujé las cuatro líneas como lo muestra la figura 2.

-1011don dos

y re­

tiza

ii usan

Con otros ejemplos, se logró obtener:!☆ 10 ID 1 A ÍO =

ÍO + 1 X 20 + 1 X40 + 1 X X 80 + 1 x 160 = 310 = 31Hecha la correspondiente ejercitación se

propuso:

violenta controversia. Es evi­dente que las opiniones están firmemente divididas. Están los que sostienen apasio­nadamente que el nuevo diagrama no re-

un cuadrilátero y los que sien- cuadrilátero puesto que se

Hay una¡

diez

Gran conmoción: ‘‘Eso no es un cuadrila tero.” Hubo mucha conversaron entre ellos; algunos muchachos decían:

presenta ten que es un

3736

i

han seguido las instrucciones dadas por David. No intento hacer de árbitro, sim­plemente trato de facilitar la exposición de puntos de vista y opiniones.

Uno o dos de los opositores corren al pizarrón y señalan con el dedo el diagra­ma ofensivo. “Mire, dice uno, no puede ser un cuadrilátero, hay un quinto punto’ — señalando el medio. Otro pasa sus de­dos sobre las líneas. “Ve, dice, hay seis líneas en lugar de cuatro”. Otro objeta: ‘Son dos triángulos, no un cuadrilátero”. Un opositor más sofisticado vuelve a la

su dedo dos diagona­les. “Pero este nuevo no puede tener dia­gonales”.

Mientras se conversa sobre estos tos, menos niños objetan el llamar cuadri­látero a la figura 4. Sin embargo, quedan unos pocos que sostienen vigorosamente su objeción y están dispuestos a desafiar la conformidad general de sus pares. Aún no intento hacer de árbitro, y extrañamente insisten mucho en solicitar un juicio auto­rizado. Siendo que se ha llegado a un pun­to en que, aunque no haya acuerdo gene­ral, ha habido cambios de opinión y ahora hay mayor comprensión entre la mayoría de los alumnos sobre los dos puntos de vista,

una especie de aceptación condicional de cada uno de ellos o aún de ambos, es­tando pendientes de las evidencias poste­riores. Sin embargo, unos pocos perma­necen inexorables en su objeción a la figu­ra 4, y parece que es esta violencia la que despierta reacciones en los que sentir ya la necesidad de violentamente.

Invito a la clase a dibujar otro cuadri­látero diferente sobre los mismos ___puntos. Surgen proposiciones condiciona­les. “Si acepto la figura 4, entonces podría hacer otro” —esto, de un muchacho que se había opuesto violentamente. Se adelan­ta, toma una tiza de color diferente y di­buja la figura 5.

Para la clase, esto parece agotar las po­sibilidades, puesto que de ellos no surgen más ofrecimientos. Para llenar el hueco, los invito a dibujar las diagonales, pero como hasta ahora se ha usado un solo dia­grama y las figuras han sido superpuestas unas sobre otras en diferentes colores, la clase decide que ahora deben dibujarse se­paradamente; varios de los alumnos dibu­jan entonces las diagonales. Termina la

LOS FUNDAMENTALES

Reflexiones *L. WITTGENSTEIN

hora de clase y despido a los alumnos.La profesora se me aproxima y de in­

mediato objeto que yo haya despedido a los alumnos sin decirles quién tenía razón. Evidentemente, no se senía a gusto con las figuras 4 y 5, y dijo que a ella le habían enseñado que la figura 2 era el único euadrilátaero, pero no tenía suficiente con­fianza para descartar directamente las fi­guras 4 y 5, diciendo simplemente que ella no las había considerado antes como posi­bilidades. Me pidió que le dijera directa­mente si 3 ó 4 eran cuadriláteros o no. Me rehusé y sugerí que podría depender de lo cpie ella quisiera; esto es, sería mejor sus­pender el juicio y estar entonces en liber­tad para adoptar uno u otro según las exi­gencias especiales de la situación particu­lar de la cual surgieran. Por ejemplo, con­sideramos dos posibilidades: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero y la figura obtenida uniendo los puntos me­dios de los lados opuestos de un cuadri­látero.

1. Está naturalmente claro que el mate­mático en tanto considera que está real­mente “jugando un juego”, no infiere. Por­que aquí “jugando” debe significar actuan­do de acuerdo con ciertas reglas. Y, para él, ya sería algo fuera de mero juego inferir que podría actuar de esta manera, de do con la regla general.

2. ¿Calcula una máquina de calcular?Imagine que accidentalmente viniera al

mundo una máquina de calcular. Luego, que, también accidentalmente, alguien opri­miera sus perillas (o un animal caminara sobre ella) y calculara el producto de 25 por 20.

Deseo decirlo: es esencial para la mate­mática que sus signos sean también emplea­dos como leyes.

El uso fuera de la matemática y, por tanto, el significado de los signos, es lo que hace que sea matemática el juego de los signos.

De la misma manera que tampoco es unaun cam-

csta criatura como perfectamente imbécil desde otros aspectos.

Llamamos prueba a algo que puede vol­verse a desarrollar, aunque también pueda ser copiado.

4. Si la matemática es un juego, enton­ces jugar algún juego es hacer matemática y, en este caso, ¿por qué bailar no es tam- bién matemática?

Imagine que las máquinas de calcular existen en la naturaleza, pero que la gente no puede romper sus cajas. Supongamos ahora que esa gente usa esos artefactos, digamos, como nosotros usamos el cálculo, aunque de eso ellos no sepan nada. Así, por ejemplo, harían predicciones con ayuda de las máquinas de calcular, pero, para ellos, manipular esos artefactos es expe­rimentar.

(¡gura 3 y señala con

asun- acuer-

no

conEsa gente carece de conceptos que noso­

tros tenemos, pero ¿qué es lo que toma en su lugar?

Piense en el mecanismo cuyo movimiento vemos como una prueba geométrica (cine­mática): es claro que, normalmente, diría de alguien que está probando algo porque hace girar una rueda. ¿No ocurre lo mismo con alguien que hace y cambia arreglos de signos como si fuera un juego, aún cuando el resultado podría ser visto como úna prueba?

Decir que la matemática es un juego se supone que significa lo siguiente: al pro­bar no necesitamos nunca recurrir al sig­nificado de los signos, es decir, a su apli­cación extramatemática. Pero, entonces, ¿qué es lo que significa recurrir a esto? ¿Cómo puede ser tal cosa de alguna utili-

1. A pedido de la profesora, acepté to­mar la clase siguiente. Y cuando entré en ella, Juan, sentado en su banco, levantó sus manos. Tenía un elástico sostenido por el índice y el pulgar de cada mano, y cuando estuvo seguro de mi atención, len­tamente hizo girar su mano derecha de

que el cuadrilátero formado por el se transformó del tipo de la fi­

gura 3, a través de una cantidad de cua­driláteros alargados, en el cuadrilátero de la figura 4. El resto de la clase apreció la demostración de Juan, pero el mucha­cho que se rehusó a incluir la figura 4 su noción de cuadrilátero objeción.

2. Durante la primera lección, yo había numerado los cuatro puntos de cada dia­grama para facilitar la exposición verbal y los comentarios de los alumnos. Durante la segunda lección, se aprovechó este de­talle en un intento de descubrir cómo las 24 permutaciones de 1, 2, 3 y 4 correspon­dían a los diversos cuadriláteros hechos.

inferencia lógica el que yo haga bio de una formación a otra (digamos, de un arreglo de sillas a otro) si estos arreglos no tienen una función lingüistica aparte de esa de la formación.

3. Pero ¿no es verdad que alguien sin ninguna idea del significado de los símbo­los de Russell podría volver a desarrollar las pruebas de Russell? Y no podría asi, en un sentido importante, probar si eran co­rrectas o no? , ,

Una máquina de calcular humana podría ser enhenada de manera que cuando se le mostraran las reglas de inferencia, acaso ejemplificadas, leyera las pruebas de un sistema matemático (digamos, el de Rus­sell) y afirmara con la cabeza después e eada conclusión correctamente extraída, pe­ro sacudiera su cabeza ante iui error y dejara de calcular. Uno podría imaginar a

no seno parecen expresarse tan

cuatro maneraelástico

enmantuvo su

=cir¿Significa salir de la matemática y volver

a ella nuevamente, o significa pasar de un método de inferencia matemática a otro?

¿Qué significa obtener un nuevo concep­to de la superficie de una esfera? ¿Cómo es entonces un concepto de la superficie

* Ofrecemos estas reflexiones del notable filósofo traducción de Cristina Vordaguor do Banfi.38-

39

de una esfera? Sólo en tanto pueda ser apli­cado a esferas reales.

¿Hasta dónde es necesario tener un con­cepto de “proposición” para comprender la lógica matemática de Russell?,

5. Si es esencial la aplicación que se in­tenta de al matemática, ¿qué decir de las partes de la matemática cuya aplicación —o, por lo menos, lo que los matemáticos toman como su aplicación— es bastante fantástica? Así, en la teoría de conjuntos, uno está trabajando en una rama de la matemática de cuya aplicación se forma una idea enteramente falsa. Sin embargo, ¿no se está haciendo matemática a pesar de todo?

Si las operaciones aritméticas sólo sir­vieran para construir una cifra, su aplica­ción sería fundamentalmente diferente de la de nuestra aritmética. Pero entonces ¿se­rían matemáticas estas operaciones?

¿Puede decirse de alquien que aplica una regla de códigos que está realizando ope­raciones matemáticas? No obstante, ¡sus transformaciones pueden concebirse de manera. Seguramente, podría decirse que está calculando lo que debe resultar al des­cifrar los símbolos... con tal clave. Y la proposición: los signos... descifrados de acuerdo con esa regla dan..., es una pro­posición matemática. Como también lo es la proposición de que en ajedrez se puede llegar a tal posición partiendo de tal otra.

Imagine la geometría del espacio cuadri- dimensional construida con el objetivo de aprender algo sobre las condiciones de vida de los espíritus. ¿Significa esto que matemática? Y ¿puedo decir ahora que de­termina conceptos? ¿No sonaría raro decir que un niño podría hacer miles y miles de multiplicaciones —con lo que se supone que ya puede calcular en el dominio numérico ilimitado? Ciertamente, ésta podría manera extremadamente modesta de ex­presarlo, puesto que dice “miles y miles” en lugar de “infinitamente muchas”.

¿Puede imaginarse que exista gente que en su vida contidiana sólo calcule hasta 1000 y reserve los cálculos con números mayores para investigaciones matemáticas en el mundo de los espíritus?

“Sea esto aplicable o no a la superficie de una esfera real —lo es a la matemáti­ca”— esto hace que nos parezca como si la especial diferencia entre una proposición matemática y otra empírica resida en que mientras la verdad de una proposición em­

pírica es aproximada y oscilante, la propo­sición matemática describe su objeto precisión y absolutamente. Como si, de he­cho, la “esfera matemática” fuera fera y pudiera preguntarse, por ejemplo, si había o no una esfera tal o varias (una cuestión digna de Frege).

¿Constituye un malentendido sobre la po­sible aplicación una objeción al cálculo co­mo parte de la matemática? Fuera de los malentendidos, ¿qué decir de la nieva falta de claridad?

Imagine alguien que crea que los matemá­ticos han descubierto una cosa extraña, V-l que al ser elevada al cuadrado da -i. ¿No puede, sin embargo, calcular perfectamen­te con números complejos y aplicar tales cálculos en física? ¿Son menos cálculo? per eso?

un objeto y que no representa a ningún ob­jeto. Pero es interesante cuánto contribuye a este hecho la expresión “objeto ideal”.

6. En ciertas circunstancias podríamos hablar de una fila interminable de bolitas. Imaginemos que tal fila recta e intermina­ble de bolitas equidistantes entre sí; calcu­lamos la fuerza ejercida por todas esas bo­litas sobre cierto cuerpo de acuerdo con cierta ley de atracción. Consideramos al número obtenido mediante este cálculo co-

el ideal de exactitud para ciertas me­diciones.

La sensación de algo extraño proviene aquí de un malentendido. La clase de ma­lentendido que es producido por un tras­pié del intelecto —algo a lo que quiero llamar una detención. La objeción de que “no puede aprehender lo infinito” está en realidad dirigida centra la idea de un acto psicológico de aprehensión o comprensión.

Ahora bien, imagine que decimos sim­plemente: “Esta fuerza corresponde a la atracción de una fila interminable de bo­litas que hemos dispuesto de tal y tal ma­nera y que atrae al cuerpo de acuerdo la ley de atracción tal y tal”. O también: Calcule la fuerza que una fila interminable de bolitas de tal y tal tipo ejerce sobre el cuerpo. Por cierto que tiene sentido dar una orden tal. Describe un cálculo particu-

¿Qué le parece la siguiente cuestión? Calcule el peso de una columna constituida por lajas dispuestas una sobre otra, tan­tas como números cardinales existen; la que está debajo pesa 1 kg. y cada una siguientes pesa la mitad de la anterior.

La dificultad no es que no podamos for­marnos una imagen. Es bastante fácil, por ejemplo, formarse algún tipo de imagen de una fila interminable. La cuestión es para qué puede servirnos tal imagen.

Imagine los infinitos números empleados en un cuento de hadas. Los enanitos han apilado piezas de oro, tantas como núme- r°s cardinales hay —etc. Lo que puede

ocurrir en este cuento de hadas mente tiene sentido.

7. Imagine que un satírico hubiera in­ventado la teoría de conjuntos como un ti­po de parodia de la matemática. (Puesto que si una persona puede verla como un paraíso para matemáticos, ¿por qué otra persona no puede verla como una broma?).

La cuestión es la siguiente: Aún como broma, ¿no es evidentemente matemática? ¿Acaso porque se trata de un juego con signos de acuerdo con reglas?

¿Pero no es evidente que aquí se forman conceptos —aunque no sea muy clara para nosotros su aplicación?

Pero, ¿cómo es posible tener un concep­to y no ver con claridad su aplicación?

8. Tomemos la construcción del polígo­no de fuerzas. ¿No es un trozo de matemá­tica aplicada? ¿Y dónde está la proposición de matemática pura que se invoca en re­lación con este cálculo gráfico? ¿No es este un caso como el de la tribu que tiene una técnica de cálculo para hacer ciertas pre­dicciones, pero que carece de matemática pura?

Cálculo que pertenece a la realización de una ceremonia. Por ejemplo, suponga­mos que el número de palabras de una fór­mula de bendición para ser impartida a una casa, se deduzca, mediante una técni- nica particular de las edades del padre y de la madre y del número de sus hijos. Po­dríamos imaginar procedimientos de cálcu­lo como los descritos en leyes tales co­

la mosaica. ¿Y no podríamos imaginar que una nación con tales prescripciones ce­remoniales para el cálculo nunca haya rea­lizado cálculos en la vida práctica?

Este sería, por cierto, un caso de cálcu­lo aplicado, pero no serviría para efectuaruna predicción. . . .

¿Acaso sería extraordinario que la téc­nica del cálculo tuviera una familia de aph-

segura-con

una es-

ino

Naturalmente, en un aspecto, este acuer­do tiene una base débil, pero él extraerá sus conclusiones con seguridad y su cálculo tendrá sólida base.

¿No sería ridículo decir que ese hombre no está haciendo matemática?

Alguien hace una contribución a la mate­mática, da nuevas definiciones y descubre nuevos teoremas —y en cierto aspecto se puede decir que no sabe lo que está ha­ciendo. Imagina vagamente haber descu­bierto algo así como un espacio (en este punto piensa en una habitación), haber descubierto un reino y cuando se le pre­gunta sobre él dice una sarta de tonterías.

Imaginemos el caso primitivo de alguien que efectúa multiplicaciones enormes con el fin, así dice él, de conquistar nuevas pro­vincias gigantescas del reino de los nú­meros.

Imagine calcular con V-l inventado por un loco, el cual, meramente atraído por lo paradógico de la idea, hace el cálculo co­mo una suerte de servicio o ritual del ab­surdo. Imagina que está escribiendo lo im­posible y operando con él.

En otras palabras: si alguien cree en los objetos matemáticos y sus extrañas propie­dades, ¿puede, sin embargo, hacer matemá­tica? Ahora bien, ¿no está el también ha­ciendo matemática?

“Objeto ideal”. “El símbolo V represen­ta un objeto ideal”, se supone evidentemen­te que es un aserto sobre el significado y, por lo tanto, sobre el uso de *a\ Y natural­mente significa que este uso es, en cierto aspecto, semejante al de un signo que tiene

esa

con

lar.

no es

mode las

ser una

eaciones? (Continuará)

40 41

;

bibliografía¿SABIA UD. QUE...M. P. DOLCIANI, S. L. BERMAN, W. WOOTON. Algebra moderna y trigonome tría. CULTURAL S.A., México, 1967.

Obviamente, no es un libro para nuestros estudiantes medios. Lo es, sí, para el pro- lesor que desee obtener ejercitación, no tri­llada sobre temas tradicionales y bien or­ganizada para los temas modernos. La ejer­citación consiste en ejercicios orales, ejer­cicios escritos y resúmenes de cada capitu­lo, y se refieren a estructura y método, vo­cabulario, examen y repaso de los temas; la sola mención de estos aspectos indica la profundidad del trabajo realizado, el que también incluye algunos temas selectos.

Los autores, naturalmente conscientes del déficit de pensamiento racional que aqueja a muchos alumnos de su país, efec­túan las demostraciones paso a paso y con todo cuidado, indicando siempre con toda claridad la propiedad aplicada.

La presentación de este libro es muy cui­dada y algunos de los gráficos, como los intercalados entre las páginas 102 y 103; 348 y 349; 476 y 477, son un verdadero alarde de imaginación y pericia puestas al servicio de la impresión.

Creemos que la lectura ha de ser muy provechosa.

no tangente sólo tiene un punto común con la esfera y es perpendicular al radio del punto de contacto; determinó el centro de la esfera; estudió la variación de las sec­ciones planas según su distancia al centro y descubrió multitud de propiedades que salen del cuadro muy elemental de este li­bro.

1. GEOMETRIA DE LA ESFERA. De igual modo que la agrimensura dio origen a la geometría del plano, la astronomía dio la pauta para la esférica, o estudio geomé­trico de la esfera.

Se ignoran los conocimientos que sobre la esfera poseían los caldeos, pero se su­ponen bastante avanzados, sabiendo su ele­vada cultura astronómica. Corresponde a Grecia la investigación desinteresada y sis­tematización de estos conocimientos babi­lonios y egipcios.

El primer geómetra de la esfera es AUTO- LYKOS (año-330); él dio el nombre de círculos rnáximos, que ha subsistido, mien­tras fracasaron otros más modernos, como círculos fundamentales, grandes círculos, círculos magnos, etc. También introdujo la denominación de polos (de polein = girar) y descubrió que las secciones planas son circunsferencias, que dos círculos máximos se cortan en un diámetro, etcétera.

Poco después EUCLIDES (año - 300) de­finía la esfera por rotación de una semi­circunferencia y completaba las oportacio­nes de Autolykos.

TEODOSIO de Trípoli (año-55) dio, tres siglos después, la definición de la su­perficie esférica como lugar de puntos equi­distantes del centro; demostró que el pla-

Comenzamos este comentario reprodu­ciendo textualmente el párrafo con que los autores encabezan el primer capítulo: "Los matemáticos combinan lo antiguo con lo moderno. En este capítulo estudiaremos al­gunas cosas que probablemente ya sabían nuestros abuelos, pero intercalaremos ideas que, hasta hace pe ro, sólo se estudiaban en los cursos do graduados de las universida­des”. Esta posición debe ser cuidadosa­mente meditada; ni se puede ser tan con­servador como para ignorar la fuerza de los temas medulares de la matemática mo­derna —conjuntos, relaciones, funciones, grupos, espacios vectoriales, probabilidades y estadística— ni tan modernista como pa­ra rechazar cualquier planteamiento tra­dicional.

Este denso libro fue escrito por presti­giosos educadores norteamericanos, los que contaron con el consejo del Dr. Alberto E. Meder, director de la Rutgers University y director de la Comisión de Matemática del College En trance Examination Board, vale decir, uno de los más conspicuos re­presentantes de las tendencias actuales en el país del norte.

Los capítulos que integran el volumen se refieren a Conjuntos de números: axiomas; Proposiciones abiertas de una variable; Sis­temas de proposiciones abiertas lineales; Polinomios y factorización; Números ra­cionales y expresiones cuadráticas; Rela­ciones cuadráticas y sistemas; Funciones exponenciales y logaritmos; Funciones tri­gonométricas y números complejos; Iden­tidades y fórmulas trigonométricas; Las funciones circulares y sus inversas; Progre­siones y desarrollos binomiales; Funciones polinomiales; Matrices y determinantes; Permutaciones, combinaciones y probabi­lidad.

Este es, pues, un coherente programa des­arrollado a lo largo de más de seiscientas páginas impresas en colores, con numero-

gráficos y páginas educativas, algunas de las cuales, con el título de “la educa­ción humana” aportan muy interesantes da­tos de la historia de la matemática.

(De J. Rey Pastor, Geometría, 193S).2. SIMON STEVIN (1548-1620) publi­

có en 1685 una obra intitulada UÁritb.rae- fique cíe Simón Stevin ele Bruges en i.-. que introduce sistemáticamente las fracciones decimales. Aunque no se lo pueda consi­derar su inventor, honor que corresponde a E. Bonfils de Tarascón (1350), Rcgío- montanus (1463), Rudolff (1525) y E. Miz- rachi (1532), corresponde a Stevin la idea de sustituir las fracciones comunes por frac­ciones decimales y de elaborar un sistema de notación para unificar el dominio de aplicación de las reglas matemáticas, aun­que la notación, lenta e incómoda, no fa­cilitara los cálculos.

4. Existe actualmente la tendencia de medir ángulos de la siguiente manera: la unidad es el grado sexagesimal y las sub­divisiones menores que un grado —déci­mo, centesimos y milésimos de grado— en el sistema centesimal.

Julio R. Juan

A. C. G. de HOUSSAY, C. G. de ROME­RO, L. V. VICENTE. Matemática Intui­tiva’. (Un camino hacia la matemática). Editorial TROQUEL, Buenos Aires, mar­zo de 1967.i

He aquí uno de los frutos del ensayo de nuevos programas de matemática iniciado en 1963 v que aún continúa -no obstante las dificultades que deben superarse- con el esfuerzo ejemplar de un grupo de pro­fesores entre los cuales se encuentran las

de este libro. Lo he visto hacer ysus cla-

(Viono do la póg. 34)

cuando A, B’, C’, D’ están en la posición que indica la Fig. 5.

Se observa que:(ABj+[CD]=®pfc [ÉF]-[AB]r=[CD]

es lo mismo que [EF] - [ABJ (Fig. 6).

te?—

long.(AB) =■= long.( AB) =

— long.(AB) = long.(AB)y la longitud se convierte así en la propie­dad que caracteriza (atributo) a los seg­mentos congruentes, vale decir:

long. (AB) =long. (CD) <=s [AB ]=[ CD JDe la representación gráfica de la

de números reales en la recta numérica, surge inmediatamente que:

autoras ... . .crecer en las periódicas visitas a ses El fruto de la experiencia de los

Sintaló uno de los orientadores del pro­ceso renovador en nuestro país. Sólo se omitió el último capítulo destinado a las transformaciones geométricas del plano,

su tratamiento no esta directamen-

tres

suma(Fig. 6)

Conviene entonces indicar que en la práctica, para simplificar lo visto anterior­

mente, denominemos longitud de AB alnúmero que corresponde a la clase [AB1. Resulta así:

Si EF € [AB] -j- [CD], que es una clase de B, entonces:

long.[EF]=long.[AB] +long(CD) y análogamente para la recta.

sos

porque4342

noticiasSi los lectores de CONCEPTOS

un programa de geometría, con los rept que esto puede dar lugar, se proy -

introducción y fuente de ejemplos para el estudio de las estructuras.

El libro que comentamos va acompaña­do de una Guía para profesores donde se explica la forma en que se desarrollo la experiencia citada, los objetivos, organiza­ción del trabajo, el uso del material con­creto, la conducción del aprendizaje y se dan orientaciones de carácter didáctico de gran utilidad para los docentes de la teria y para los maestros de los últimos grados de la enseñanza primaria.

Es precisamente en nuestra escuela pri­maria donde estimo que la influencia de esta Matemática Intuitiva puede ser pro­funda y renovadora. Como nuestra ense­ñanza elemental abarca siete grados, de­masiado extensa por cierto, el nivel men­tal de los alumnos del último grado se adapta perfectamente a este enfoque in­formal desde el punto de vista matemáti­co, basado en la experimentación, con un criterio constructivo relacional que per­mite preparar al educando para un tra­tamiento más moderno de la geometría. En este sentido el aporte de Houssay, Ro­mero y Vicente debe ser justamente esti­mado. Es un modelo para todos aquellos que aspiran a un cambio de actitud en la conducción del aprendizaje, con un estí­mulo permanente a la actividad creadora del alumno, con una exposición accesible, directa, y una cuidadosa selección de si­tuaciones matemáticas. No es corriente en­contrar un texto concebido con ese crite­rio, con una presentación tan esmerada, con el uso oportuno del color en los dibu­jos y diagramas, en un esfuerzo editorial digno de encomio.

No obstante los merecidos elogios que acabo de formular, con el deseo de ubicar a este nuevo aporte dentro del panorama de la matemática moderna en el nivel se­cundario, debo señalar que difícilmente pueda encontrarse hoy quien no exija la existencia de una axiomática subyacente, simple y fuerte, basada en la estructura aditiva de la recta, el paralelismo y la si­metría, para un enfoque actual de la geo- metna. Imposible descubrir en este libro el Camino Real de la Geometría, como llama Choquet a los espacios vectoriales dotados de un producto escalar.

recuer­dan el artículo de Papy en el N<? 2, o con­sultan su último texto “Mathematique Mó­jeme 6” dedicado a Geometría Plana, para citar a un representante de la co­rriente más avanzada, encontrarán brados pocos puntos en común con el pro­grama de primer año del Dr. Santaló, tan bien interpretado por el texto que es mo­tivo de nuestro comentario.

1. El profesor Eusebio SASTRE, de Pa­so de los Libres, Corrientes, esforzado pro­pulsor de ios conceptos de la matemática moderna, de quien recordamos los cursos de algebra de conjuntos y cálculo preposi­cional, dictados el año pasado en su ciu­dad y en Santo Tomé, continúa realizando su tarea de divulgación y, en estos momen­tos, está dictando curso de combinatoria, estadística y probabilidad en Paso de los Libres y en La Cruz, Corrientes.

2. El éxito alcanzado por el cursillo so­bre probabilidades, dictado en el Liceo Nacional de Señoritas N° 2 de Buenos Aires, por el doctor César A. TREJO, con la organización de CONCEPTOS DE MA­TEMATICA, se ha repetido en el realiza­do en la ciudad de Córdoba, en la escuela Alejandro Carbó, aquí con la organización del Departamento de Enseñanza de las Ciencias del Consejo Nacional de Investi­gaciones Científicas y Técnicas. Este éxi­to, que nos halaga, continuará, sin duda, en las lecciones que, por invitación de la Universidad de Cuyo, está dictando en las ciudades de Mendoza y San Luis.

3. Dirigido por el doctor Horacio BOSCPI y con la colaboración de destaca­dos especialistas, ha comenzado a funcio­nar en la ciudad de Buenos Aires, con se­de en la calle Laprida 1635, el Centro de Altos Estadios en Ciencias Exactas, cuya finalidad es la de preparar bachilleres su­periores en ciencias exactas y análisis de valor, en el nivel básico; calculistas cientí-

ros a tó como una ficos y estadígrafos, en el nivel medio; in­

vestigadores operativos, racionalizadores administrativos, licenciados y profesores de matemática y analistas de sistemas, en el nivel superior, e ingenieros de sistemas y de administración, profesores superiores y doctores en matemática, en el nivel má­ximo.

El análisis de los planes y programas in­dica la profundidad del esfuerzo que se ha de desplegar, que esperamos se vea coro­nado por el éxito.

4. A los cursos organizados por el De­partamento de Enseñanza de las Ciencias del C.N.I.C.T. durante las vacaciones invernales, corresponde agregar a los in­dicados en nuestro número anterior el que dictó la profesora Elsa De Martino en la ciudad de Catamarca.

5. Organizado por el Centro de Estudios de Ciencias, Chile 1481, Buenos Aires, el profesor Gregorio Klimovsky dictará curso de 10 clases sobre fundamentación de la matemática, cuya iniciación se ha previsto para el día 12 de septiembre.

6. Entre las escuelas privadas que apro­vecharon las vacaciones de invierno para realizar cursos especiales, citaremos a la "Escuela Argentina Modelo”. Los cursos destinados a la enseñanza primaria estu­vieron a cargo del profesor Edgardo Dá- vila y los destinados a la enseñanza secun­daria fueron dictados por el profesor Juan Carlos Dalmasso.

asom-

Es de desear que este auténtico expo­nente de los trabajos que en nuestro país se realizan por el mejoramiento de la en­señanza de la matemática, sea completado —por lo menos— con los restantes cursos del ciclo básico, no sólo porque confío plenamente en la capacidad de las auto­ras, sino también porque mostraría en forma más acabada e integral la seriedad e importancia del ensayo que se está reali­zando.

ma-

Inspector Atibo Piaña

Buenos Aires, 10 de agosto de 1967.

ANTONIO R. LOPEZ. Matemática moder­na. Segundo curso. Editorial TA.P.AS. Cór­doba, 1967.

La realización de cursos pilotos para en- ;ayar programas adaptados concepciones modernas de la matemática —y los de la Escuela Normal "Alejandro Carbó” de la ciudad de Córdoba pueden ser justiciera­mente considerados como de los más se­rios— ha originado la importante cuestión de la falta de literatura apropiada para di­chas experiencias.

Ese es el problema principal que ha en­frentado el señor Antonio Roberto López, prestigioso docente de intensa actuación en las aulas cordobesas. Debe haberse plan­teado, sin duda, el siguiente dilema: escri­bir un texto para docentes o redactar un manual para alumnos. Se ha decidido por

tercera alternativa: presentar, modes­tamente impresa, una guía para "ordenar e ™aJ;erial disperso en una extensa biblio­grafía que pudiera ser usada por los alum­nos de los cursos pilotos para reforzar los conocimientos ya adquiridos en el aula.

Tomemos, pues, a este libro como lo que nuevo texto piloto y, por tanto,

base necesaria para generalizar la re­forma en nuestro país. Como tal, segura­mente ha de ser muy útil para los docentes

pág. siguionta)

un

mente útil a los alumnos que estudian di­rectamente en él, habría que adaptarlo a las exigencias de Ja pedagogía actual y mo­tivar la aparición de los conceptos en lu­gar de definirlos directamente. En ese sen­tido, el capítulo sobre sistemas de numera­ción es el que, a nuestro juicio, cumple mejor con las exigencias de la didácticaactual.

El esfuerzo del autor merecerá, sin du­da, la atención y la comprensión de suscolegas. Haydée Fernández

iVieno do la pág. anterior)

argentinos empeñados en la empresa. Seia una excelente guía, sobre todo para aque­llos que, por razones de tiempo o de c ís- tancia, no tienen posibilidad de efectúa1 cursos de perfeccionamiento. Y lo sera poi­que tiene capítulos dedicados a Lógica matemática, Teoría de conjuntos, Operacio­nes con conjuntos, Par ordenado, Relacio nes, Funciones, Operaciones, Números na­turales, Números enteros; Números racio­nales y Sistemas de numeración.

Pero, para que el libro pueda

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es: un una

total-ser45

(Continúa en la

44

CORREOque agradecemos, ha de impulsar la difu­sión de la revista en esas localidades.

3. Cúmplenos informar también qúe el señor Julián B. Caparros Morata, Dr. Fle­ming, 10 (Escalentas), Las Palmas, que tie­ne a su cargo el Proyecto Matemático Ca­nario, se ha hecho cargo de la correspon­salía de nuestra revista en las islas Cana­rias y nos ha enviado valioso material iremos publicando en la medida de tras posibilidades.

4. Varios lectores. Lamentamos informar que, pese a nuestra buena voluntad; no po­demos asumir el compre.mi -o de adqui­rir libros anunciados en nuestra revista pa­ra enviar a los lectores qu?. ¡o solicitan.

5. Sr. Juan Pérez Loiie&ui, Capital. No hemos podido conseguir ios vemos que se incluirán el año próximo en los programas de quinto año, porque los misinos no han sido aprobados aun por la autoridad res­pectiva. Cuando así ocurra los publicare­mos de inmediato.

1. Tenemos una grata noticia para nues­tros lectores. El profesor Georges PAPY, director del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, nos ha escrito a su regreso de Estados Unidos, para hacernos saber (jue tanto su esposa, Fréderique, como él mismo aceptaban gustosos ser asesores de CONCEPTOS DE MATEMATICA, revis­ta a la que enviarán artículos en prioridad. Quede expresado nuestro agradecimiento ante tal generosidad.

Como consecuencia de ello, en este nú­mero se comienza a publicar su artículo sobre la Reforma Belga.

2. La nómina de nuestros corresponsa­les se va ampliando paulatinamente. Han ingresado al grupo otros destacados docen­tes argentinos, como los señores Juan Car­los De Diego, 12-263, Mercedes, Bs. As. Jorge Lardit, Corrientes 752, Villa María, Córdoba, y Juan Carlos Coronel, Chaco 250, Santiago del Estero, cuya colaboración,

Eg§ag3§

quenúes- ¡issft SS mii 5m sinií 5 il e

iVicnc do la pág. 20) A su vez, de la fórmula (A-*B) = (BV^ A) y de las leyes de De Morgan se deduce:

aplica (éstas dícense entonces hipótesis) Cuando, por ejemplo, escribimos 3 ^ ;r, queremos afirmar que 3 < jt o 3 = ^ es verdad; pero como ya sabemos que 3 < jt, parece inútil la disjunción. Lo mismo para el caso en que se escribe 3 <3.

'-'(A B) == A A — B esto es: Decir que A no implica B equiva­le a decir que A es verdadera y B es falsa.

Pero, existen además otras propiedades que relacionan la amplicación con la con­junción. Así, es fácil ver que:

COMPATIBLES

Las propiedades anteriores conducen a esta otra:

Decir que una proposición implica otra equivale a decir que, si la segunda es fal­sa, la primera también es falsa.

Esto es, simbólicamente:

I mecanizada de una empresa exige ficheros existentes.

El desarrollo progresivo de la gestión la compatibilidad con programas yEl concepto de compatihiiidad ha n^am^o ja^na ^tercera ge^STS?600yj^a ° «cü conversión * marca, y cremas.

1. A /\ B “*■ A2. Si PA y P -► B entonces P-+AAB.2 . Si A -*P y B -*■ P, entonces AVB P.Las propiedades 1 y T originan silogis­

mos con una sola premisa, como, por ejem­plo, éste: *7t es menor que 4, luego Jt es menos o igual que 4”.

Las propiedades 2 y 2’ originan silogis­mos tales como:

Si estudias, darás alegría a tus padres. Si estudias, serás recompensado. Luego, si estudias, darás alegría a tus padres y serásrecompensado”.

Si un ladrón sale por la xmerta, ser^ apresado. Si fuga por el tejado, será apre­sado. Luego ,si sale por la puerta o fuga por el tejado, será apresado”.

1\A V B

(A“*■ B) = (— B'-'A)En esta propiedad (que también se pue­

de verificar directamente) se basa el tipo de silogismo llamado regla de conversión o modus tollens.

bullELECTRICGENERALa-b]

\premisas. Tal. 35 0021/5

. SANTA FE-BJ CERRITO 284

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^ A (conclusión) Ejemplo: “Si este animal es un pez, tie­

ne branquias. Ahora bien, este animal tiene branquias. Luego, no

no es un pez”. (Continuará)

46

4

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