C®MCEPT©$MÍE MATEMATICA

liinHi PARA EL MAESTROnn n n□ LL PROFESOR□ □ □n EL ESTUDIANTEn n n □Enseñanza de la matemática

en FranciaEn esie mimar©

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3 El sonlido de la nueva lógica (W. Quine) .........................................

Análisis de 1 o s comportamientos heurísticos (X. Balaéheff).........

Las calculadoras y »a enseñanza se- cundaria F. C. Michel) .............

21 Bibliografía ....................................

Carla al lector ..............................Geometría y experiencia (Alborlo

Ehnicin) .....................................Importancia filosófica de las cues­

tiones que se refieren a los prin­cipios de la geometría (F. Enri­ques') ...........................................

Enseñanza de la matemática en Francia........................................

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IDivttón Betfréntea

¡No quede fuera

de la GUIA!DE MATEMATICAa AÑO X íI Enero-Febrero-Marzo 1978 NO 45

CONCEPTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION TRIMESTRALRedacción y Administración:

Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Ai-É CARTA AL LECTOR

* Iniciamos nuestro duodécimo año de vida consignando nuestro inquebrantable empeño ya anunciado en nuestro nú­mero inicial, de "llevar información al docente, toda la que se pueda y la mejor que se consiga". CONCEPTOS de MATEMA­TICA sigue aspirando a ser un vínculo entre los docentes y cree honestamente que los esfuerzos realizados hasta ahora han sido positivos.* Lamentamos, eso sí, no poder publicar con más frecuencia colaboraciones de profesores de nuestro país cuya capacidad está para nosotros fuera de toda duda. Pero comprendemos, que los delicados problemas económicos que los mismos deben superar, les impiden dedicar tiempo para esa tarea que, no obstante, juzgamos ineludible. Les incitamos, pues, a que nos' hagan llegar sus inquietudes docentes.* Al lado de contribuciones de nuestra época de distinguidos

pedagogos de la matemática, estamos publicando reflexione$ de muy altos exponentes de la cultura matemática de épocas pasadas. Nos ha guiado el objetivo no sólo de poner esos excelentes trabajos en manos de los docentes de nuestro tiem­po sino también la necesidad de que los mismos no sean des­conocidos por la dificultad de conseguir ese material, casi siempre por estar agotado o, cuando se lo encuentra, por estar impreso en idioma extranjero no siempre al alcance de todos. Por eso hemos publicado trabajos de Klein, Rey Pastor, Enri­ques y otros que, entendemos, habrán sido de mucho interés para nuestros lectores, y continuaremos con otros trabajos de singular categoría.* Este número contiene una sorpresa. Publicamos en él "Geo-i metría y experiencia". Se trata de la conferencia ante la i Academia Prusiana de Ciencias, dictada el 27 de enero de*1921 por uno de los genios más notables que ha producido la humanidad: Alberto Einstein. Publicamos este memorable tra­bajo por primera vez en nuestro idioma en cuidada versión de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.* Agradeceremos a los suscriptores que no demoren el envío de sus respectivas suscripciones, lo que nos facilitará mucho las tareas que debemos cumplir. No se olvide-que las dificulta­des subsisten y que Uds. pueden ayudarnos a superarlas.

Los saludo muy cordialmente

res.

iDirector - Editor

JOSE BANFI

GUIA iI

Suscripción Anual: Argentina $ 3.500.— Exterior 8 dóla­res o el equivalente en mo­neda de cada país. Los gi­ros postales o bancarios so­bre Bs. As., deben ser ex­tendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATE­MATICA.

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LOS FUNDAMENTALES

Geometría

y experienciaAlberto EINSTEIN

(Alemania)

Una de las razones por las cuales la arit­mética goza de particular estima sobre todas las obras ciencias es que sus proposiciones son absolutamente ciertas e indiscutibles en tanto que las de todas las obras ciencias son discuti­bles en alguna medida y constantemente co­rren el riesgo de ser destronadas por hechos recién descubiertos. A pesar de ello, el investi­gador de cualquier otra rama científica no tendría que envidiar al matemático si las pro­posiciones de la matemática se refirieran sim­plemente a objetos de nuestra imaginación y no a objetos de la realidad. Por ello no puede sorprender que diferentes personas lleguen a las mismas conclusiones lógicas cuando se han puesto de acuerdo sobre las proposiciones fun­damentales (axiomas) así como sobre los mé­todos mediante los cuales se deducirán de ellas otras proposiciones. Pero hay otra razón para la alta reputación de la matemática, a saber, que la matemática proporciona a las ciencias .naturales exactas cierta medida de certeza que, sin la matemática, no podrían obtener.

En este punto se presenta un enigma que en todas las épocas ha agitado a las mentes investigadoras. ¿Cómo puede ocurrir que la matemática que, después de todo, es un pro­ducto del pensamiento humano independiente de ia experiencia sea tan admirablemente ade­cuada para los objetos de la realidad? Entonces, por el sólo hecho de pensar, ¿es capaz la razón humana, sin experiencia, de desentrañar las pro­piedades de los objetos reales?

Según mi opinión, la respuesta a esta cues­tión es brevemente la siguiente: cuando las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas, y cuando son ciertas no se refieren a la realidad. Me parece que una completa claridad sobre este estado de cosas

se ha convertido en una propiedad común sólo a través de esa tendencia en la matemática conocida con el nombre de "axiomática". El progreso alcanzado por la axiomática consiste en haber separado netamente lo formal-lógico de su contenido objetivo o intuitivo; de acuer­do con la axiomática, lo formal-lógico sólo constituye el contenido temático de la mate­mática que no se ocupa-del contenido intuiti­vo o de otro tipo asociado a lo formal-lógico.

Consideremos, por un momento, desde ese punto de vista, cualquier axioma de la geome­tría, por ejemplo, el siguiente: por dos puntos en el espacio siempre pasa una recta y sólo una. ¿Cómo debe interpretarse este axioma en. el sentido más antiguo y en el más nuevo?

La interpretación más antigua: todos saben que es una línea recta y qué es un punto. Si este conocimiento proviene de una habilidad de 'la mente humana o de la experiencia, de alguna cooperación entre ambas o de alguna otra fuente, no es lo que le corresponde deci­dir al matemático. Deja la cuestión para el filósofo. Basándose sobre este conocimiento, que precede a toda matemática, el axioma arriba establecido es, como todos los demás axiomas, evidente por sí mismo, esto es, es la expresión de una parte de ese conocimiento a priori.

La interpretación más moderna: la geome­tría se ocupa de objetos denotados por los términos: línea recta, punto, etc. No se da por, sentado ningún conocimiento o intuición de esos objetos sino sólo la validez de los axio­mas, como el establecido más arriba, que se deben tomar en sentido puramente formal, esto es, desprovistos de todo contenido intuiti­vo o experimental. Estos axiomas son creacio­nes libres de la mente humana. Todas las otras

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sobre la inducción a partir de la expe- ¿Por qué Poincaré y otros investigadores rechazan la equivalencia entre el cuerpo prácti­camente rígido y el cuerpo de la geometría?

Simplemente porque observando más damente a los cuerpos reales sólidos de la naturaleza ya no son rígidos puesto que su comportamiento geométrico, esto es, sus posi­bilidades de disposición relativa dependen de la temperatura, fuerzas externas, etc. En esa forma, la relación original, completa, entre la geometría y la realidad física aparece destrui­da y nos sentimos impulsados hacia el siguien­te panorama más general que caracteriza al punto de vista de H. Poincaré. La geometría (G) no afirma nada sobre el comportamiento de las cosas reales y sólo puede hacerlo la geometría junto a la totalidad (F) de las leyes físicas. Empleando símbolos, podemos decir que la suma de (G)+ (F) es sometida a la verificación experimental. De modo que (G) puede elegirse arbitrariamente y también par­tes de (F); todas esas leyes son convenciones. Todo lo que debe hacerse para evitar contra­dicciones es elegir el resto de (F) de modo que (G) y el total de (F) estén a un tiempo de acuerdo con la experiencia. Así examinada, la geometría axiomática y la parte de la ley natural a la cual se ha dado un status conven­cional, aparecen epistemológicamente como equivalentes.

se adjudican a los cuerpos rígidos no se apli­can a la realidad física —de ninguna manera esta objeción es tan radical como pudiera pa­recer tras un examen apresurado. Porque no es tarea difícil determinar el estado físico de un cuerpo medible tan exactamente como para que su comportamiento con respecto a otros cuerpos medióles esté suficientemente libre de ambigüedad como para permitir que sea susti­tuido por el cuerpo "rígido". A cuerpos medi­óles de esta clase deben referirse los juicios sobre cuerpos rígidos.

Toda geometría práctica se basa sobre un principio accesible a la experiencia que ahora trataremos de comprender. Supongamos que se han ubicado dos marcas sobre un cuerpo prácticamente rígido. Llamaremos trecho a un ’par de tales marcas. Imaginemos dos cuerpos prácticamente rígidos cada uno de los cuales tiene un trecho marcado sobre él. De esos dos trechos se dice que son "¡guales entre sí" si las marcas de un trecho pueden ser permanen­temente llevadas a coincidir con las marcas del otro. Admitimos que:

Si se halla que dos trechos son ¡guales una vez dondequiera, serán ¡guales siempre en to­das partes.

No sólo la geometría práctica de Euclides sino también su más cercana generalización, la geometría práctica de Riemann, y por ello la teoría general de la relatividad, se apoyan so­bre esta afirmación. De las razones experimen-' tales que garantizan esta afirmación, mencio­naré sólo una. El fenómeno de la propagación de la luz en el espacio vacío asigna un trecho, a saber, la trayectoria apropiada de la luz para cada intervalo de tiempo local, y recíproca­mente. De allí se sigue que la afirmación anterior para dos trechos debe también valer para intervalos de tiempo-reloj en la teoría de la relatividad. Por consiguiente, se la puede formular de la siguiente manera: si dos relojes ideales están marchando con la misma veloci­dad en todo momento y en todo lugar (estan­do, por tanto, en una proximidad inmediata entre sí) marcharán con la misma velocidad no importa dónde y cuándo se los compare nue­vamente entre sí en ug lugar. Si esta ley no fuera válida para relojes naturales, las frecuen­cias propias de los átomos separados del mis­mo elemento químico no estarían en una con­cordancia tan exacta como lo muestra la expe­riencia. La existencia de líneas espectrales agu-

proposiciones geométricas son inferencias lógi­cas de los axiomas (que deben tomarse sólo en sentido nominal). Los axiomas definen los ob­jetos de que trata la geometría. Slick, en su libro de epistemología, ha caracterizado por esto a los axiomas en forma muy perpicaz como "definiciones implícitas".

Esta visión de los axiomas, defendida por la axiomática moderna, purifica a la matemática de todos los elementos extraños y disipa en esa forma la mística oscuridad que antigua­mente circundaba lo básico de la matemática. Pero una exposición tan expurgada de la mate* mática hace también evidente que la matemá­tica como tal no puede afirmar nada sobre objetos de nuestra intuición u objetos reales. En geometría axiomática, los términos "pun­to", "línea recta", etc. representan sólo esque­mas conceptuales vacíos. Lo que les asigna contenido no es pertinente para la matemáti-

menterienda, pero no sobre inferencias lógicas sola-* mente. A esta geometría así completada la llamaremos "geometría práctica" y en lo que sigue la distinguiremos de la "geometría pura­mente axiomática". La pregunta de si la geo­metría práctica del universo es eucl¡diana o no, tiene claro significado y su respuesta sólo puede proporcionarla la experiencia. En ese sentido, todas las mediciones de longitud de la física constituyen geometría práctica y tam­bién lo son las mediciones de longitudes geo­désicas y astronómicas si se emplea la ley empírica según la cual la luz se propaga en línea recta y, en verdad, como línea recta en el sentido de la geometría práctica.

agu-

Asigno especial importancia a la visión de la geometría que acabo de exponer porque sin ella no habría sido capaz de formular la teoría de la relatividad. Sin ella hubiera sido imposi­ble la siguiente reflexión: en un sistema de referencia que gira con respecto a un sistema- inerte las leyes de disposición de los cuerpos rígidos no corresponden a las reglas de la geometría euclidiana a causa de la contracción de Lorentz; por tanto, si admitimos con igual fundamento sistemas no inertes, debemos abandonar la geometría euclidiana. Sin dicha interpretación, ciertamente no habría sido considerado el paso decisivo en la transición a ecuaciones generalmente covariantes. Si recha­zamos la relación entre el cuerpo de la geome­tría axiomática euclidiana y el cuerpo prácti­camente rígido de la realidad, prontamente arribaremos a la siguiente opinión que fue sos­tenida por ese agudo y profundo pensador H. Poincaré: la geometría euclidiana se distingue- de todas las otras geometrías axiomáticas con­cebibles por su simplicidad. Ahora bien, pues­to que la geometría axiomática no contiene en sí misma afirmaciones sobre la realidad que se puedan experimentar, y sólo puede hacerlo en combinación con leyes físicas, sería razonable -cualquiera sea la naturaleza de la realidad- conservar la geometría euclidiana. Pues si se manifiestan contradicciones entre teoría y ex­periencia, deberemos antes cambiar las leyes físicas que la geometría euclidiana axiomática. Si rechazamos la relación entre cuerpo prácti­camente rígido y geometría, ciertamente no nos libraremos con facilidad de la convención de que la geometría euclidiana debe retenerse como la más simple.

ca.Pero es cierto, por otra parte, que la mate­

mática en general, y la geometría en particu­lar, deben su existencia a la necesidad de aprender algo sobre el comportamiento de los objetos reales. El mismo término geometría que, por supuesto, significa medición de la tierra, prueba lo dicho. Pues la medición de la tierra tiene que ver con las posibilidades de la disposición de ciertos objetos naturales entre sí, es decir, con las partes de la tierra, líneas de medición, etc. Resulta claro que el sistema de conceptos de la geometría axiomática no puede por sí sólo hacer ninguna afirmación sobre el comportamiento de los objetos reales de esta clase que llamaremos cuerpos práctica­mente rígidos. Para poder hacer tales afirma­ciones, la geometría debe ser despojada de su carácter meramente lógico-formal por la coor­dinación de los objetos reales de la experiencia con el esquema conceptual vacío de la geome­tría axiomática. Para cumplir con esto, sólo necesitamos agregar la siguiente proposición: los cuerpos sólidos están relacionados, con res­pecto a sus posibles disposiciones, como lo están los cuerpos de la geometría euclidiana de tres dimensiones. Entonces, las proposicio­nes de Euclides contienen afirmaciones sobre el comportamiento de los cuerpos práctica­mente rígidos.

La geometría así completada es evidente­mente una ciencia natural; podemos conside­rarla, en efecto, como la más antigua rama de la física. Sus afirmaciones descansan esencial-

Sub specie aeterni Poincaré está en lo co­rrecto, a mi parecer. La idea de la varilla de medida y la ¡dea de un reloj coordinado con ella en la teoría de la relatividad no encuen­tran su correspondencia exacta en el mundo real. También resulta claro que el cuerpo sóli­do y el reloj no desempeñan en el edificio conceptual de la física la parte de elementos irreducibles sino la de estructuras compuestas que no deben desempeñar ninguna parte inde­pendiente en la física teórica. Pero estoy cón- vencido de que en el estado actual del desarro­llo de la física teórica estos conceptos deben todavía emplearse como conceptos indepen­dientes, pues estamos lejos de poseer tal segu­ro conocimiento de los principios teóricos de la estructura atómica como para ser capaces

-de construir teóricamente cuerpos sólidos y relojes a partir de conceptos elementales.

Más aun, con respecto a la objeción de que no hay cuerpos realmente rígidos en la natura­leza y de que, por tanto, las propiedades que

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considero imposible que esta pregunta sea res­puesta antes de mucho tiempo por la astrono­mía. Recordemos lo que la teoría general de la relatividad enseña al respecto. Ofrece dos posibilidades:

otras estrellas más allá de ese espacio. Por tanto, parece imposible determinar la densidad media.

Pero hay otro camino que me parece más practicable aun cuando también presenta gran­des dificultades. En efecto, si examinamos las discrepancias de las consecuencias de la teoría general de la relatividad accesibles a la expe­riencia con respecto a las consecuencias de la teoría newtoniana, encontramos, en primer término, una discrepancia que se manifiesta en estrecha proximidad de la masa gravitatoria y que ha sido confirmada en el caso del planeta Mercurio. Pero si el universo es espacialmente finito, hay una segunda discrepancia con la teoría newtoniana, la cual, en el lenguaje de esa teoría puede expresarse así: el campo gra- vitatorio es tal como si hubiera sido producido no sólo por las masas ponderables sino por la adición de una densidad de masa de signo negativo distribuida uniformemente a través del espacio. Puesto que esta densidad de masa ficticia debería ser sumamente pequeña, sólo sería perceptible en sistemas gravitatorios muy extensos.

Admitiendo que conocemos la distribución estadística y las masas de las estrellas de la Galaxia, entonces por la ley de Newton pode­mos calcular el campo gravitatorio y las veloci­dades medias que deben tener las estrellas y se mantenga en su verdadera extensión. Ahora bien, si las verdaderas velocidades de las estre­llas —que se pueden medir— fueran menores que las velocidades calculadas, tendríamos una prueba de que las atracciones verdaderas a grandes distancias son menores que las indica­das por la ley de Newton. Por tal discrepancia podría probarse indirectamente en el universo es finito. Incluso sería posible estimar sus di­mensiones espaciales.

das e$ una prueba experimental convincente del principio arriba mencionado de geometría práctica. Esta es, en último análisis, la razón .que nos permite hablar significativamente de una métrica riemanniana del continuo espacio- tiempo de cuatro dimensiones.

De acuerdo con la opinión aquí defendida, la pregunta de si ese continuo tiene una geo­metría euclidiana, riemanniana o de cualquier otro tipo es una pregunta propia de la física cuya respuesta debe darla la experiencia, y no es cuestión de adoptar una convención por razones de mera comodidad. La geometría de Riemann se sostendrá si las leyes de dispo­sición de los cuerpos prácticamente rígidos se acerca a las de la geometría euclidiana tanto más estrechamente cuanto menores sean las dimensiones de la región espacio-tiempo consi­deradas.

Es verdad que esta interpretación física propuesta de la geometría se viene abajo cuan­do se la aplica inmediatamente a espacios de orden de magnitud submolecular. Pero, a pesar de ello, incluso en cuestiones como la consti­tución de las partículas elementales, retiene parte de su significación. En efecto, incluso cuando se trata de describir las partículas eléc­tricas elementales que constituyen la materia, todavía se puede intentar atribuir significado físico a aquellos conceptos de campo que se han definido físicamente con el objetivo de describir el comportamiento geométrico de los cuerpos que son grandes cuando se los compa­ra con la molécula. Sólo el éxito puede decidir si es justificado un intento tal que postula" realidad física para los principios fundamen­tales de la geometría riemanniana fuera del dominio de sus definiciones físicas. Podría su­ceder que esta extrapolación no tuviera mejor garantía que la extrapolación del concepto de temperatura a partes de un cuerpo de orden de magnitud molecular.

Parece menos problemático extender los conceptos de geometría práctica a espacios de orden de magnitud cósmica. Se podría objetar, naturalmente, que una construcción compues­ta oe varillas sólidas se aparta más de la rigidez ideal cuanto mayor es la extensión espacial. Pero, difícilmente sería posible, creo, asignar significación fundamental a esta objeción. Por tanto, la cuestión de si el universo es espacial­mente finito o note es, me parece una cues­tión enteramente significativa desde el punto de vista de la geometría práctica. Incluso no

ca-física no puede, como tal, representarse di­rectamente por ser meramente un sistema de experiencias sensoriales reales o imaginarias. Por lo tanto, "visualizar" una teoría significa expe­riencias sensibles de las cuales la teoría provee el sosten esquemático. En el caso presente tenemos que preguntarnos cómo podemos re­presentar ese comportamiento de los cuerpos sólidos con respecto a su disposición mutua (contacto) que corresponde a la teoría de un universo finito. Realmente no tengo nada nue­vo que decir sobre esto, pero innumerables preguntas que me han hecho, me prueban que •la curiosidad de los que están interesados en estos asuntos no ha sido todavía del todo satisfecha. Por tanto ¿querrán los iniciados perdonarme por la parte de lo que diga que les sea conocida?

1. El universo es espacialmente infinito. Es­to sólo es posible si en el universo se desvane­ce la densidad media espacial de la materia concentrada en las estrellas, esto es, si la razón de la masa total de las estrellas al volumen del espacio a través del cual se dispersan, se apro­xima indefinidamente a cero al considerar vo­lúmenes más grandes.

2. El universo es espacialmente finito. Esto puede ser así si existe una densidad media de la materia ponderable en el universo que difie­re de cero. Cuanto más pequeña es la densidad media, tanto mayor es el volumen del univer-

¿Qué queremos expresar cuando decimos que nuestro espacio es infinito? Tan sólo que podemos colocar lado a lado cualquier número de cuerpos de igual tamaño sin llenar nunca al espacio. Supongamos poseer gran número de cajas cúbicas, todas del mismo tamaño. De acuerdo con la geometría euclidiana, podemos colocarlas arriba, al lado o detrás unas de otras de modo de llenar una parte arbitraria­mente grande del espacio; pero esta construc­ción nunca concluiría; podemos continuar agregando más y mas cubos sin encontrar nun­ca que no hay más lugar. Esto es lo que deseamos expresar cuando decimos que el es­pacio es infinito. Sería mejor decir que el espacio es infinito con respecto a los cuerpos prácticamente rígidos, admitiendo que las le­yes de disposición para esos cuerpos están dadas por la geometría euclidiana.

Otro ejemplo de continuo infinito es el pía- no. Sobre una superficie plana podemos ubicar cuadrados de cartón de modo que cualquier lado de cualquier cuadrado tenga adyacente a él el lado de otro cuadrado. La construcción no concluye nunca; siempre podemos conti­nuar ubicando cuadrados —si sus leyes de dis­posición corresponden a las de las figuras pla­nas de la gemotría euclidiana. El plano es pues, infinito con respecto a los cuadrados de cartón. Concordantemente, decimos que el plano es un continuo infinito de dos dimensio­nes y que el espacio es un continuo infinito de tres dimensiones. Pienso que puedo admitir que se sabe lo que se quiere significar con número de dimensiones.

so.No debo dejar de mencionar que puede

aducirse un argumento teórico en favor de la hipótesis del universo finito. La teoría general de la relatividad enseña que la inercia de un cuerpo es mayor cuando hay más masas pon­derables en su proximidad; por ello resulta muy natural reducir la inercia total de un cuerpo a la interacción entre él y los otros cuerpos del universo como, por cierto, desde los tiempos de Newton la gravedad ha sido completamente reducida a interacción entre cuerpos. Dé las ecuaciones de la teoría general de la relatividad se puede deducir que esta reducción total de la inercia a interacción en­tre masas —como lo pedía E. Mach, por ejem­plo,— sólo es posible si el universo es espacial­mente finito.

Muchos físicos y astrónomos no se ha im­presionado por este argumento. En último análisis, sólo la experiencia puede decidir cuál de las dos posibilidades se verifica en la natu­raleza. ¿Cómo puede darnos una respuesta la experiencia? Al principio podría parecer posi­ble determinar la densidad media de la materia observando la parte del universo accesible a nuestra observación. Esta esperanza es ilusoria. La distribución de las estrellas visibles mámente irregular de modo que de ninguna manera podemos aventurarnos a establecer que la densidad media de la materia estelar del universo es igual, digamos, a la densidad media en la galaxia. De cualquier manera, por grande que pueda ser el espacio examinado, no po­dríamos convencernos de que no hay algunas

¿Se puede visualizar un universo tridimen­sional que es finito aunque ilimitado?

La respuesta usual a esta pregunta es "No", pero no es la respuesta correcta. El objetivo de las siguientes observaciones es mostrar que la respuesta debería ser "Sí". Quiero mostrar que sin ninguna dificultad extraordinaria pode-

ejemplificar la teoría de un universo fini-

es su­

mosto mediante un esquema mental al cual, con alguna práctica, prontamente nos habremos acostumbrado.

En primer término, una observación de na­turaleza epistemológica. Una teoría geométri-

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posible como lo sería en el plano por laTomemos ahora un ejemplo de un continuo bidimensional que es finito pero ilimitado. Imaginemos la superficie de un globo grande y una cantidad de pequeños discos de papel, todos del mismo tamaño. Colocamos uno de los discos en cualquier lugar de la superficie del globo. Si movemos el disco como quera­mos sobre la superficie del globo, no llegare­mos a un límite en ningún momento de la tarea. Decimos, por tanto, que la superficie esférica del globo es un continuo ¡limitado. Además, la superficie esférica es un conjunto finito. En efecto, si plegamos los discos de papel sobre el globo de modo que ningún disco se sobreponga con otro, finalmente la superficie del globo estará tan llena que no. habrá lugar para otro disco. Esto significa exactamente que la superficie esférica del glo­bo es finita con relación a los discos de papel. Además, la superficie esférica es un continuo no euclidiano de dos dimensiones, lo que equi­vale a decir que las leyes de disposición de las figuras rígidas que se ubican en ella no con- cuerdan con las del espacio euclidiano. Esto se puede mostrar de la siguiente manera. Tómese un disco rodéeselo circularmente con seis discos más, cada uno de los cuales debe ser rodeado a su vez por seis discos, y así sucesi­vamente. Si se hace esta construcción sobre una superficie plana obtenemos un ordena­miento ininterrumpido en el cual hay seis dis­cos que tocan a cada disco excepto aquéllos

no esgeometría euclidiána plana. De esta manera, las criaturas que no puedan abandonar la su­perficie esférica, o incluso ni aón puedan aso-

fuera de la superficie esférica en el

sombra. Si se mueve sobre la superficie esfé­rica alejándose de S hacia arriba, el disco bra L también se mueve sobre el plano aleján­dose de S hacia afuera y volviéndose cada más grande. Cuando el disco L se acerca al punto luminoso N la sombra se aleja hacia el infinito y se vuelve infinitamente grande.

Ahora planteamos la pregunta: ¿cuáles las leyes de disposición del disco sombra L' sobre el plano E? Evidentemente, son exac­tamente las mismas que las leyes de disposi­ción de los discos L sobre la superficie esféri­ca. Para cada figura original sobre K hay una figura sombra correspondiente sobre E.€¡ dos discos de K se tocan, sus sombras en E tam­bién se tocan. La geometría de las sombras sobre el plano concuerda con la geometría de los discos sobre la esfera. Si llamamos a las sombras de los discos figuras rígidas, entonces la geometría esférica es válida en el plano E con respecto a esas figuras rígidas. En particu­lar, el plano es finito con respecto a las som­bras de los discos puesto que sólo un número finito de sombras puede encontrar lugar en él.

En este punto, alguien dirá:*'"Esto es una tontería. Las sombras de los discos no son figuras rígidas. Sólo tenemos que mover una regla de dos pies sobre el plano E para con­vencernos de que las sombras crecen constan­temente de tamaño cuando se alejan de S sobre el plano hacia el infinito". Pero ¿qué ocurre si la regla de dos pies tuviera que comportarse sobre el plano E de la misma manera que las sombras de los discos L'?.

Entonces sería imposible mostrar que las som­bras aumentan de tamaño cuando se alejan de S; una afirmación tal ya no tendría ningún significada En realidad, la única afirmación objetiva que se puede hacer sobre las sombras de los discos es justamente ésta: que están re­lacionadas exactamente de la misma manera como lo están los discos rígicos sobre la super­ficie esférica en el sentido de la geometría eu- cl ¡diana.

Debemos recordar cuidadosamente que nuestro juicio sobre el crecimiento de las som­bras de los discos cuando se alejan de S hacia infinito no tiene en si mismo significado ob­jetivo en tanto estemos incapacitados para comparar las sobras de los discos con los cuer­pos rígidos euclidianos que se pueden mover sobre el plano E. Con respecto a las leyes de

disposición de las sombras L', el punto S na tiene privilegios especiales ni sobre el plano ni sobre la superficie esférica.

La representación dada arriba de la geome­tría esférica sobre el plano es importante para nosotros porque se la puede transferir inme­diatamente al caso tridimensional. Imaginemos un punto S de nuestro espacio y un gran nú­mero de pequeñas esferas L', todas las cuales pueden ser llevadas a coincidir una con otra. Pero estas esferas no tienen que ser rígidas en el sentido de la geometría euclidiana; sus ra­dios crecerán (en el sentido de la geometría t-uclidiana) cuando se alejen de S hacia el infi­nito; deben crecer según la misma ley que los radios de las sombras de los discos' L' en el plano.

som-

vezmarseespacio tridimensional, podrán descubrir, expe­rimentando tan sólo con discos, que su "espa­cio" bidimensional no es euclidiano sino esférico.

sonPor los últimos resultados de la teoría de la

relatividad, es probable que nuestro espacio tridimensional sea también aproximadamente esférico, esto es, que en él las leyes de dispo­sición de los cuerpos rígidos no esté dada por la geometría euclidiana, sino aproximadamente por la geometría esférica, sólo si consideramos partes del espacio que sean suficientemente extensas. Ahora bien, este es el momento en que vacila la imaginación del lector. "Nadie-, puede imaginar eso", exclama con indignación. Se puede decir pero no se puede pensar. Pue­do imaginarme bastante bien una superficie esférica pero no nada que sea análogo a ella en tres dimensiones".

Después óe haber logrado una imagen men­tal vivida de los compartamientos geométricos de nuestras esferas L', admitamos que en nues­tro espacio no hay ningún cuerpo rígido en el sentido de la geometría euclidiana, sino sólo cuerpos que tengan el comportamiento de nuestras esferas L\ Tendremos entonces una clara visión del espacio esférico tridimensional o, más bien, de la geometría esférica tridimen­sional. Aquí nuestras esferas deben ser llama­das esferas "rígidas". El crecimiento de su tamaño cuando se alejan de S no debe detec­tarse por medición con varillas para medir así como en el caso de la sombra de los discos sobre E, porque' los patrones de medida se comportan de la misma manera que las esfe­ras. El espacio es homogéneo, lo que equivale a decir que las mismas configuraciones esféri­cas son posibles en la vecindad de cada punto. Nuestro espacio es finito porque, como conse­cuencia del "crecimiento" de las esferas, sólo un número finito de ellas pueden encontrar algún lugar en el espacio.

De esta manera, usando como instrumento la práctica de pensar y visualizar que nos da la geometría euclidiana, hemos adquirido una vi­sión mental de la geometría esférica. Podemos, sin dificultad, impartir más profundidad y vigor a estas ideas realizando construcciones imagi­narias especiales. Tampoco sería difícil repre­sentar el caso de lo que se denomina geome­tría elíptica. Hoy, mi único propósito ha sido mostrar que la facultad humana de visualiza- ción no está, de ninguna manera, constreñida a capitular ante la geometría euclidiana.

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Fig.2

Podemos tratar de superar esta barrera mental y el paciente lector verá que de ningu­na manera es una tarea particularmente difícil. Con este objetivo, primero prestaremos aten­ción una vez más a la geometría de las superfi­cies esféricas bidimensionales. En la figura sea K la superficie esférica, tocada en S por un plano E, el cual, por facilidad de presentación, se muestra en el dibujo como una superficie limitada. Sea L un disco sobre la superficie esférica. Imaginemos ahora que en el punto N de la superficie esférica, diametralmente opuesto a S, hay un punto luminoso que de­termina una sombra L' del disco L sobre el plano E. Cada punto de la esfera tiene su sombra L' sobre el plano E. Cuando el disco L está en S coincide casi exactamente con su

í

Fig. 1que están en la parte externa. Sobre la superfi­cie esférica, la construcción también parece prometer éxito al principio, y cuanto menor es el radio del disco con respecto al de la esfera tanto más prometedora parece. Pero cuando la construcción progresa, se vuelve ca­da vez más evidente que la disposición de los discos de la manera indicada, sin interrupción.

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Ahora bien: en esto consiste toda la dife­rencia y toda la superioridad del método temático. Toda sensación y, por lo tanto, tam­bién toda experiencia encierra algo de incierto y no bien determinado1 ya que la reducción física parece contener algún elemento de ¡n- certidumbre respecto a las premisas; mientras, por el contrario, la reducción matemática apa­rece perfecta ya que a las nuevas deducciones se les atribuye exactamente el mismo valor de certeza concedido a las premisas.

de exista una conexión bien determinada con los principios más evidentes de la ciencia del movimiento.

YA ES HISTORIA ma-

2.-Experienc¡a e intuiciónCuando una verdad geométrica o mecaYiic®

antes de ser verificada por la experiencia viene deducida por la intuición, se tiene la impre­sión de que su base es más cierta.

Hay confianza en que las experiencias suce­sivas comparadas entre sí, eliminando por ab­tracción ciertas relaciones, deben alcanzar uqa verificación siempre más exacta de la propie­dad que se considera. ¿Es, pues, el resultado de tales experiencia algo necesario o a priori? Tal opinión sostenida, como se sabe, por Kant, aparece ya abandonada. En efecto, un análisis crítico del problema muestra que la intuición no es otra cosa que el producto dé una elaboración psicológica de experiencias, las cuales vienen idealizadas e interpretadas conforme a la estructura lógica de nuestra mente en una fase anterior a la conciencia formada.

importancia filosófica de lasPero no olvidemos lo esencial, o sea que lar

demostración matemática y la física son sola­mente dos diversos procesos de reducción fun­dados sobre algunos datos conocidos. Ahora bien: ¿en qué se apoya el conocimiento de estos datos? Generalmente en un proceso aná­logo de reducción que nos conduce paso a paso a datos cada vez más sencillos.

Pero si bien esta reducción puede aparecer en cierto modo históricamente ilimitada, en- cuéntranse, al menos prácticamente, datos pri­mitivos que tanto el matemático como el físi­co aceptan como conocimientos comunes o experiencias elementales.

Sustancialmente, los datos primitivos de la, geometría no aparecen constituidos de modo diferente que los de la física. La reconstitu­ción histórica de nuestra ciencia ha evicfencia- do que la geometría, antes de alcanzar el gra­do racional, atravesó un grado empírico en que las adquisiciones eran fruto de observacio­nes y experiencias.

Muchos pueblos no pasaron del grado em­pírico, pero los griegos, sobre todo, promo­vieron más tarde el desarrollo de una geome­tría racional en la que las proposiciones vienen deducidas como consecuencias de otras que, sin constituir precisamente experiencias, apare-

evidentes respecto de la intitución. Y aquí es de advertir que un desarrollo racional en todo análogo se presenta también en la física moderna, y señaladamente en la mecánica, ya­que la demostración puramente dógica y mate­mática encuentra igualmente puesto en el estu­dio de los fenómenos físicos, en especial don-

principios de la geometríaFederico ENRIQUES

(Italia)

do a) no parece satisfactoria; se requiere la demostración matemática; mientras que parece imposible asentar la misma exigencia respecto al enunciado ó¿*ocurre, pues, prenguntar: ¿hay una certeza matemática superior a la certeza física, ya que aquello que parece rigurosamen­te demostrado al físico se presenta todavía* incierto para el matemático, como un proble­ma por resolver? Y ¿dónde alcanzará el se­gundo esa superior certeza que al primero no le es dado alcanzar?

1.- Las bases empíricas de la geometría.Fijemos nuestra atención en el conjunto de

los conocimientos geométricos y busquemos su comprobación en el campo de los conoci­mientos físicos.

Propónganse a una persona que no tenga ¡dea alguna de los métodos de demostración matemática estos dos enunciados: a) en un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos; b) en la caída de los graves, las velocidades son proporcionales a los tiempos.

La supuesta persona intentará verificar por la experiencia la exactitud de los dos enuncia­dos, procediendo fundamentalmente del mis­mo modo: podrá recurrir, p. ej., en el primer caso, a cortar papeles o al uso de instrumentos de medida de áreas; en el segundo caso a la máquina de Atwood o al plano inclinado de Galileo.

Estableados de este modo, los dos enunciados preséntanse igualmente como expresiones de verdades físicas que se nos revelan por experiencia, o sea por sensaciones ayudadas y corregidas por los ¡ntrumentos.

Pero para quien tiene ¡dea del organismo ma­temático se presentan do. La demostración experimental del enuncia-

Por tanto, la intuición expresa de modo claro y distinto las relaciones de ciertos con­ceptos representativos pero por lo que se refie-, re a la exacta correspondencia de la represen-, tación con la realidad externa no puede dar­nos mayor garantía que una serie de experien­cias históricas, ya. que al fin una experiencia conscientemente proseguida hasta un grado oportuno de aproximación puede en ciertos casos superar a la intuición misma y hasta corregirla.

Para responder conviene examinar en qué consiste el procedimiento de la demostración matemática.

1

Esta .opinión nace de la reflexión de que los procesos mentales merced a los cuales vie­nen elaborados los datos físicos, y las leyes que los,gobiernan, no pueden implicar nada necesario, que deba corresponderles en la reali­dad, fuera del sujeto.

Ahora bien: tales observaciones llevan a considerar como dos distintos objetos de estu­dio:

El matemático a quién se propone alguna cuestión posee ya ciertos conocimientos preli­minares; propiedades que, por el momento, considera sentadas sin discusión, y su modo de proceder es solamente una deducción lógica

También en las demostraciones del físico hay una reducción a cosas conocidas: el de un instrumento más complicado y la inter­pretación de las experiencias a que conduce, está ligado a un procedimiento mental

cen

uso

1) el espacio intuitivo, esto es, el concepto que hayamos ya formado en nuestra mente para representar, merced a una abstracción sis­temática de las otras propiedades físicas, cier­tas relaciones espaciales o de posición de los cuerpos.

que sefunda en el uso de ¡ntrumentos más sencillos, y en la interpretación, ya conocida, de las experiencia relativa a ellos; pero este procedi­miento mental no es solamente lógico, sino también empírico en cuanto elementos de las sensaciones.

1. Verdaderamente aquí debería distinguirse entre experiencias cualitativas y cantitativas, pero no nos detendremos en tal distinción.las cosas de distinto mo- 2) el espacio físico, esto es, el conjunto deque saca nuevos

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:'

separación entre lo que es lógico y lo que es intuitivo. Tales criterios son los siguientes:

a) 10 Todos los conceptos que figuran en la exposición deben ser dados explícitamente co­mo primitivos o fundamentales, sin definición, o venir definidos lógicamente por medio de los conceptos primitivos.

Así, pues, no deben, en último análisis, entrar en la exposición sino los conceptos pri­mitivos y los conceptos puramente lógicos co­mo, p.ej., los.de incidencia (significación de los verbos ser o contener), de orden, de co­rrespondencia, etc.

2° Es deseable que los conceptos primitivos entre sí absolutamente independientes, de

modo que no sea posible definir lógicamente cualquiera de ellos por medio de los

dualidad de la geometría proyectiva o de la •geometría esférica.

Todo conjunto de proposiciones que satis­face a los requisitos a) lo y b) 10 pueden considerarse como una teoría lógica abstracta capaz de recibir generalmente varias interpreta­ciones concretas (geométricas o no geométri-' cas) con tal que la hipótesis expresadas por los postulados sean lógicamnete compatibles, es decir, no contradictorias.

La posibilidad de recibir una interpretación, intuitiva, de modo que la teoría pueda mirarse como expresión de un conjunto de relaciones entre conceptos claramente representados, ase­gura prácticamente que la condición de patibilidad está satisfecha.

Por tarlto, para la geometría, en cuanto que está fundada en la intuición, no nos pregunta­remos si los postulados son compatibles, tal que sean intuitivamente evidentes.

Los requisitos a) 2°, b) 2° expresan más bien condiciones de elegancia que condiciones de rigor. Veremos más adelante en qué sentido son tales requisitos verdaderamente ¡mportan-

estas relaciones* como puede resultar definido por una experiencia sobre los cuerpos, en cier­to orden de iprbxímación proseguible indefini­damente.

Acerca de la comparación de estos dos mo­dos de entender la geometría, desenvolvemos más adelante algunas reflexiones. Aquí añadi­mos, como objeto psicológicamente interesan­te por sí mismo, un tercer objeto de estudio:

3) los espacios intuitivos superiores, esto es,, los conceptos construidos en nuestra mente por medio de una abstracción sistemática de algunos datos de la intuición.

una compatible con las b, cr . .. Para ello se pre­senta naturalmente el siguiente procedimiento: atribuyase convencionalmente un sentido di­verso del sentido original a los símbolos que denotan los conceptos primitivos, y búsquese la interpretación de la teoría lógica basada sobre b, c,.. .. y sobre la negación de a, de modo conforme a la intuición. La posibilidad de una interpretación tal sirve para establecer la independencia pedida.

Si se desea la independencia absoluta de un sistema de postulados se necesita ante todo que vengan formulados de un modo no recu­rrente, esto es, que cada uno de ellos tenga sentido prescindiendo de los otros. Si falta este requisito sólo se podrá pedir la indepen­dencia ordenada o sea la posibilidad de dedu­cir cada postulado de los precedentes.

La independencia de un sistema de postula­dos es también relativa a la composición de los postulados mismos. Cuando una proposi­ción a se deja descomponer en otras dos (más simples) a', a", que, tomadas en conjunto equivalen a a, pueden acontecer que la a no dependa de las otras proposiciones dadas b, c,.... pero que fundándose en las b, c,. .. se (legue a demostrar la a*; entonces es claro que el postulado a tiene algo superfluo, pudiendo limitarse a la proposición a".

Se puede establecer una observación análo­ga relativamente a la independencia de los conceptos fundamentales, siempre que se con­sidera la posibilidad de sustituir un concepto dado A más particular por otros dos B y C más generales, de modo que A resulte definido como interferencia de las clases de entes B y

sean3.—La crítica de los principios de la geome­tría, desde el punto de vista lógico.

Refirámonos al concepto ordinario del es­pacio tal cual se encuentra formado en nuestra mente. La intuición nos proporciona a un tiempo la definición psicológica de algunos objetos que a ella se enlazan (punto, recta, etc) y a la prueba de ciertas relaciones entre ellos que consideramos como evidentes.

Ahora bien: la evidencia es susceptible de grados, y el progreso racional de la geometría lleva consigo que algunas propiedades conside­radas primero como evidentes por sí mismas, vengan lógicamente deducidas de otras más, elementales; y análogamente, que algunos ob­jetos de los que igualmente se tiene una fácil visión imaginativa vengan definidos por medio de otros más simples (p. ej. el triángulo por medio de segmentos, etc).

Pero en todo momento del desarrollo de la ciencia, su orden lógico debe partir de datos (conceptos y proposiciones) explícitamente to­mados como no reducibles, para fundar en ellos las definiciones y demostraciones; y así, al principio de un tratado íógico de geometría deberá hallarse la declaración de los conceptos primitivos o fundamentales que expresan relaciones más elementales.

Pretender definir lógicamente todos los conceptos que aparecen en el tratado geométri­co sería tan absurdo como pretender demostrarlo todo, puesto que tanto la definición como la demostración son únicamente procesos de re­ducción.

Ahora bien en las investigaciones críticas inherentes a los principios de geometría se han afirmado cada vez más algunos criterios que son como las normas de una exposición lógica idealmente perfecta, y tienden en conjunte

com-

unootros.

b) 1o Todas las proposiciones que figuren en la exposición deben ser enunciadas explíci­tamente como postulados o venir lógicamente demostrados por medio de otros postulados.

Así pues, en último análisis, no deben en­trar en el razonamiento más que las premisas contenidas en los postulados y los axiomas que expresan las leyes de la lógica deductiva.

2° Es de desear que los postulados sean entre sí absolutamente independientes, de mo­do que ninguno de ellos pueda ser demostrado fundándose en los restantes.

Las condiciones a) 1o y b) 1o son esencia­les para que se tenga una geometría expuesta

«de modo rigurosamemente lógico; y permiten olvidar el contenido de los conceptos que en ellas figuran, considerando la exposición mis-

•ma como una teoría lógica abstracta en la cual entran solamente símbolos no determinados, ligados por ciertas relaciones, y en que, por lo tanto, el sistema de postulados constituye la definición implícita de los conceptos funda­mentales tomados en conjunto.

con

tes.La independencia de varios conceptos pue­

de ser reconocida inmediatamente por la intui­ción en un sentido psicológico (por ejemplo, cuando se trata de conceptos que entran en diversas categorías lógicas) y entonces puede servir de base al reconocimiento de la indepen­dencia de algunos grupos de postulados. Des­de un punto de vista lógico, la independencia antes indicada no tiene sentido mientras se enun­cien los postulados que en la intuición se dan por supuestos, por lo que cuando se diga que el concepto C no puede ser definido por medio de A y B (o que es independiente de ellos) será preciso añadir: respecto a un sistema dado de postulados (a, b, c,.. .) que constituye la definición de A, B,

1 C.La independencia de los conceptos y de las

proposiciones fundamentales tiene, pues, un valor tanto más significativo cuanto mejor se observen las condiciones de

a) 3o Generalidad de los conceptos.b) 3o Simplicidad de los postulados.

¿Es posible considerar conceptos absoluta­mente simples y no susceptibles de ser des­compuestos en otros?

A este propósito A. Padoa ha hecho una observación definitiva. Cualquier proposición se reduce en último análisis a afirmar que un objeto a no coincide ni con b ni con cr .. siendo b, c,.. objetos particulares bien determinados. Por tanto, la única proposición absolutamente simple es la del tipo: a no es b.

C.susEste modo abstracto de concebir la geome­

tría tiene gran importancia, porque, fijando de varias maneras el sentido de los símbolos indi­cados, se pueden obtener varias interpretacio­nes de una misma teoría abstracta, logrando asi establecer un enlace entre varias teorías geométricas concretas, enlace que consiste en que ''pueden traducirse las proposiciones de una teoría en proposiciones de la otra, sustitu­yendo de modo determinado los conceptos que figuran en la primera por los de la segun­da''. Un ejemplo de esto se tiene en la ley de

Para verificar la ¡ndependecia antedicha A. Padoa ha propuesto el siguiente procedimien­to: se buscan dos interpretaciones de la teoría, asignando a A y B significados determinados y a C dos significados distintos, de modo que una proposición verdadera en la primera inter­pretación resulte falsa en la segunda; entonces es claró que C no puede ser definido por medio de A y B respecto a los postulados.

Se puede reconocer que un postulado a es independiente de otros dados, b, c,.;. hacien­do ver que la hipótesis opuesta a a esa

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puede construirse con una combinación tuna de los datos. Sin embargo, tal combina­ción tiende, en realidad, psicológicamente a -ser sustituida por una verdadera y propia vi­sión imaginativa del concepto definido, apenas vaya acompañado de asociaciones que le con­fieran utilidad; y sólo entonces puede decirse que la combinación lógica, arbitrariamente fi­jada por la definición, se convierte en un desa­rrollo duradero para la ciencia.

Estas reflexiones muestran que aun cuando la lógica pueda ayudar al proceso de abstrac­ción constructivo de los conceptos, no puedp por sí sola sustituir a las asociaciones psicoló­gicas que constituyen este mismo proceso.

Si no se quiere Una abstracción ilusoria, se necesita educar la capacidad representativa de' lo abstracto recurriendo también a medios ex­perimentales.

Será oportuno esclarecer lo dicho con algún ejemplo. La idea que comúnmente nos forma­mos de la "línea" y de la "superficie" obteni­da por abstracción de pocos casos particulares es mucho menos general que la adoptada por el geómetra. El que ha tenido a su vista sola­mente el plano, la esfera, los conos y cilindros y otras superficies análogas de puntos elípticos o parabólicos no se representa una superficie de puntos hiperbólicos atravesada en cada punto por el plano tangente. Y la demostra­ción analítica de este caso no podría mirarse más que como la anticipación de una expe­riencia que nos viene proporcionada, por ejem­plo, por la construcción del hiperboloide regla-

una línea de la especie antes indicada viene definida por medio de una quebrada variable que tiende a un límite con una ley determina-

plano como un ente primitivo, en cuanto que la mencionada proposición no podría ser al­canzada intuitivamente si nos formásemos so­lamente una imagen mental de la recta y no tuviésemos, una representación del plano. c) 2o La representación intuitiva que nos for­mamos de nuestros conceptos nos presen

ta frecuentemente una jerarquía de género y especie, de modo que los conceptos más par­ticulares aparecen definidos por sus diferencias específicas respecto a un concepto más gene-

opor-Pero con proposiciones de este género tomó: das i*n número finito no se llegaría nunca a postular el conjunto de proposiciones que ca­racteriza los conceptos más comunes de la geometría.

Puede aun atribuirse a las condiciones a) 3o y b) 3o un valor relativo conveniente precisa­do y aproximarse así de varios modos a los criterios de perfección lógica antes indicados. Pero sin llevar más allá nuestras consideracio­nes sobre este asunto, procedamos a examinar la cuestión de la ordenación de los principios de la geometría desde otro punto de vista.

da.Resumiendo consideraciones anteriores, di­

remos que la crítica de los principios de la geometría forma parte de aquel proceso de construcción y de elaboración de conceptos

■que constituyen el desarrollo de la ciencia en sus ramas más elevadas. En especial el oficio del análisis lógico en este proceso es distin­guir los actos de intuición, y ayudar para abstracciones sucesivas; así se prosigue el desa­rrollo de la intuición geométrica que alcanza a espacios intuitivos superiores diversamente interesantes.

El examen concreto de algunas orientacio­nes de investigación que tienen una importan­cia histórica relevante proporcionará a este propósito ejemplos instructivos.

ral.En tal caso, la intuición nos proporciona

serie de postulados recurrentes para los cuales no se puede hablar de independencia absoluta, sino sólo de independencia ordenada. La independencia absoluta de los postulados .exige, pues, la construcción de diversas jerar­quías de conceptos en que los conceptos parti­culares vengan generalizados de distintas ma­neras.

una4.—La crítica de los principios de la geometría desde el punto de vista de la intuición.

Refiriéndonos a las razones históricas que han engendrado el análisis lógico de los princi­pios, puede decirse que éste tiene por objeto principal: Advertir distintamente los actos que nuestra intuición realiza siempre que re­presenta las relaciones entre objetos que caen inmediatamente en su dominio; haciendo así posible una revisión regular del dato intuitivo.

Desde este punto de vista se presentan casi en contraposición con los criterios lógicos an­tes indicados, algunas observaciones:

c) 1o Los postulados deben expresar inme­diatamente las relaciones entre los conceptos primitivos que constituyen el objeto de nues­tra visión imaginativa, sin que sea preciso añadir a éstos la representación de cualquier otro objeto. Esta condición lleva a veces a tomar conceptos primitivos no independientes. SI entendemos que el concepto A viene defini­do lógicamente por medio de otros conceptos B, C,. . . también las propiedades de A debe­rán ser deducidas de aquellas (que nos sugeridas por la intuición) de B, C,...; por tanto si en la exposición figura un postulado sacado del modo con que A se presenta a la intuición, esto lleva implícita la consideración de un nuevo elemento conceptual primitivo, no contenido en B, C,. . .

Un ejemplo de esto se nos ofrece en la proposición fundamental del plano: si se toma la recta como ente primitivo y se quiere defi-' nir el plano mediante la proyección de la recta desde un punto externo, se debe también de­mostrar que la superficie así construida contiene a toda recta determinada por dos de sus puntos; si por el contrario se da esta proposición como postulado, se debe considerar también el

c) 3o Nuestra representación intuitiva del espacio surge primero de los conceptos particu­lares y sube por abstracciones sucesivas a los conceptos más generales.

No diremos por esto, que los conceptos más generales cuando son intuitivos tengan menor grado de evidencia en comparación con los conceptos particulares; pero su evidencia está en relación con un estado más prógesivo de la mente, en que se ejercita una facultad de representación más abstracta.

Así, pues, desde el punto de vista intuitivo, la generalidad de los conceptos que se pueden elegir como fundamentales en la geometría (y por lo tanto también, en cierto modo, la sim­plicidad de los correspondientes postulados) Jtiene un límite en nuestra capacidad de repre­sentación de lo abstracto.

Ahor bien: preséntase aquí un segundo objeto del análisis lógico de los principios. Este análisis puede ayudar al desarrollo de la intuición geométrica y fomentar el trabajo de\ abstracción productora de conceptos más ge-' nerales, merced a la construcción lógica de objetos que podrán ser representados más tar­de. La lógica, disecando en cierto modo los datos intuitivos con la simplificación de los postulados, nos presenta infinitas combinacio­nes diversas de éstos, a las que corresponden infinitos conceptos posibles. Pero definir lógi­camente un concepto significa solamente indi­car una representación mediata de él que

5.—Principales vías de investigación relativas a los principios de la geometría.

En la geometría elemental figuran como entes fundamentales el punto, la recta, y el plano, a los cuales se refieren las relaciones de- pertenencia í(p. ej. "dos puntos pertenecen a

recta, etc", de división en partes o de orden, de congruencia o de movimiento)

Estos conceptos se presentan a la intuición de modo recurrente, ya que p. ej. las propie­dades de la congruencia o del movimiento se expresan en. relación a la recta y al plano, etc., pero encuentran desarrollo más general e inde­pendiente en algunas ramas elevadas de la geo­metría.

La geometría proyectiva considera los con­ceptos de recta y plano, prescindiendo de toda noción de igualdad y de movimiento; conside­ra pues, exclusivamente el conjunto de las propiedades gráficas dejando aparte las métri­cas (que entran sólo en sus aplicaciones). Por el contrario, los conceptos métricos encuen; tran desenvolvimiento independiente de la no­ción de recta y de plano en la geometría métrica sobre las superficies o las variedades de muchas hojas (estudiadas de ordinario con métodos diferenciales) en que a la idea de igualdad de segmentos o distancias se sustituye la ¡dea más general de igual longitud de arcos de línea.

Pues bien: a estas dos ramas de la

una

do.Lo mismo puede decirse de la superficie de

Móbius, modelo de superficie unilateral, con la cual se muestra la falsedad del juicio común de que toda superficie tenga dos caras bien distintas e irreducibles por movimientos con­tinuos.

El conocimiento de las superficies de pun­tos hiperbólicos y de las unilaterales extiende el concepto común de superficie, permitiendo abarcar con la intuición mayor número de casos. Perp no parece posible limitar el progre­so de ésta intuición, puerto que un estudio ulterior nos conduce a considerar líneas y su­perficies con infinitas oscilaciones, líneas sin

tangente, superficies sin plano tangente, etc., y de estos entes se puede también en cierto senti- do, y hasta cierto punto, formarse una representación como, por ejemplo, cuando

1

sean

Samé­

is - 17

Esta observación, implícitamente contenida en Helmholtz, fue hecha explícitamente por Klein.

Se puede ir más adelante teniendo presente la distinción indicada entre sensaciones tácti- les-musculares generales y sensaciones del tac­to especial.

Las primeras, mientras no se localice por hábito un centro de comparación, son incapa­ces de dar la noción de la congruencia. Su contenido en lo que respecta a los conoci­mientos espaciales, se limita a las relaciones más generales inherentes a las líneas y superfi­cies, relaciones que hemos dicho que constitu­yen el objeto de la teoría del continuo y que son común fundamento de las propiedades gráficas y de las métricas.

Luego, las tres ramas de la geometría, en ella diferenciadas, esto es, la teoría del conti­nuo, la geometría métrica y la proyectiva, en cuanto a la adquisición psicológica de sus con­ceptos fundamentales, se presentan ligadas a tres órdenes de sensaciones: respectivamente, a las sensaciones generales tácti/es-musculares, a las del tacto especial y a las de la vista.

No entraremos en la discusiones que serían precisas para justificar esta conclusión; debere­mos sin embargo, detenernos ante los proble­mas más particulares que a esto se refieren: cómo de cada grupo de sensaciones se originan los conceptos geométricos fundamentales y có­mo éstos se ligan entre sí según las leyes lógicas y asociativas, las cuales encuentran después su expresión en los postulados.

Enviando para un análisis detallado a nues­tro artículo "Sobre la explicación psicológi­ca. . al cap. IV del libro "Problemas de la Ciencia", nos limitamos aquí a llamar la aten­ción del lector sobre este punto: que hay diferencia entre los postulados que tienen su fundamento en un solo grupo de sensaciones y los que nacen de la asociación de sensaciones pertenecientes a.grupos diversos. Estos últimos deben tener en comparación con los primeros, menor grado de evidencia intuitiva.

Se llega así a explicar psicológicamente las tentativas, detalladas en la historia de la mate­mática, para eliminar de los fundamentos de la geometría el postulado de las paralelas. Su me­nor evidencia se explica observando que es un postulado de asociación entre las sensaciones ópticas de las cuales resultan los conceptos grá­ficos, las sensaciones táctiles-musculares o me­cánicas en que tienen origen las métricas. En

nudosa no sabe distinguir las partes constituti- de un embrión en la célula huevo, mien­

tras que aparecen diferenciadas en orden a sus funciones en el desarrollo embrional más avan­zado, así también en el organismo geométrico las relaciones entre los conceptos fundamenta­les se disciernen mal en los elementos por una crítica que instituya entre ellos comparación inmediata, y por el contrario reciben y aun esperan una explicación más clara en el pro­greso de teorías elevadas.

tría corresponden dos vías principales en las investigaciones concernientes a los fundamen­tos de la geometría, vías que evidencian la absoluta independencia entre los conceptos gráficos y métricos que respectivamente se han elegido como puntos de partida para cada

efecto, si buscamos darnos cuenta de la repug­nancia que experimentamos en contradecir la hipótesis de la paralela única a una recta dada que pasa por un punto dado, reconocemos que depende del doble modo en que solemos repre­sentarnos las rectas paralelas en un plano dado como límite de dos rectas que se cortan en que el punto común se aleja indefinidamente en un sentido determinado, y como lineas equidistan-

vas

unade ellas.

Mas las dos ramas indicadas de la ciencia geométrica tienen sin embargo de común algu-

propiedades que en conjunto constituyen teoría distinta. Las propiedades relativas a

la división en partes de la recta o del plano, a la continuidad, etc; pertenecen a una familia más amplia de líneas y de superficies, y el estudio general de ellas da lugar, puede decir-

una teoría del continuo que es la geome-

tes.ñasuna En este doble modo ele representación hay

un hecho de asociación óptico-mecánica que reposa precisamente sobre la validez sensible del postulado de las paralelas.

6.—El problema psicológico de la adquisición de las nociones especiales.

Ahora bien: ¿qué relaciones ligan las men­cionadas investigaciones matemáticas al proble­ma psicológico del origen de los conceptos geométricos?

Hemos dicho que tales conceptos nacen de, una experiencia idealizada, la cual se ha repeti­do continuamente en un estado de la mente anterior a la conciencia adulta.

Las condiciones de semejante experiencia son por un lado caracteres de los órganos del sentido,, y por otro leyes asociativas del pensa­miento, esto es, elementos estructurales de la psiquis según los cuales realiza, por decirlo así, la interpretación de los fenómenos sensibles.

Las sensaciones que contienen algún ele­mento espacial son las sensaciones generales táctiles-musculares pertenecientes a toda la piel; las del tacto especial, esto es, del órgano (comúnmente la mano) tomado como asiento de comparación constante, y en fin las de la vista.

se, atría general de las líneas, superficies, varieda­des de varias dimensiones, común fundamen­to de la proyectiva y de la métrica. A esta teoría del continuo se refieren algunos resulta­dos de G. Cantor sobre conjuntos y las adqui­siciones generales de la teoría de la conexión o Analysis situs. Y por ella deben venir ilumi­nados primera e independientemente de las nociores de recta y plano o de congruencia los conceptos fundamentales de línea y super­ficie, los verdaderos conceptos primitivos de la

7.—El problema filosófico de la geometría.

Volvamos a tomar ahora, y llevemos más adelante la reflexiones relativa a la compara­ción entre el espacio intuitivo y el espacio físico. Tengamos siempre presente que las ex­periencias pueden verificar !a correspondencia de la intuición con las relaciones espaciales físi­camente dadas sólo con cierto grado de apro­ximación, y observamos que fijado este grado, pueden imaginarse diversos conceptos represen­tativos que corresponden igualmente al conjun­to de dichas experiencias. Para aclarar esta ob­servación tomemos de Helmholtz y Clifford una consideración sugestiva.

Un ser A de dos dimensiones que pueda libremente moverse en el plano, adquirirá el conocimiento de la geometría plana ordinaria; pero al mismo conocimiento llegará todavía un ser B móvil sobre una superficie esférica, siempre que las dimensiones de ésta sean ex­tremadamente grandes respecto al campo en que B puede moverse, de modo que dicho( campo se condunda aproximadamente con el plano tangente a la esfera. Así, uno y otro tendrán la noción de una línea trazada sobre la respectiva superficie, que mide la mínima' distancia entre dos puntos, línea que podrá llamar recta. Y esta recta extendiendo mental­mente sus propiedades observadas en la región’ accesible a su experiencia, se la figurarán co­mo una línea indefinidamente extendida y abierta en sus dos sentidos; pero esta suposi­ción será falsa en la geometría de la esfera, en que la línea llamada recta es una circunferen­cia máxima, esto es, una línea cerrada de longitud finita si bien grandísima respecto a B.

geometría.Hay, pues, tres grupos de conceptos corres­

pondientes a tres ramas superiores de la geo­metría, que expresan: 1) las propiedades gene­rales de las líneas, superficies, variedades, 2) las relaciones de incidencia entre puntos, rectas y planos; 3) las relaciones de congruen-cia.

En la Psicología fisiológica (de Helmholtz, Wundt), se preconizan experiencias aptas para decidir qué propiedades geométricas pueden adquirirse inmediatamente por una u otra sen­sación. Pero al interpretar tales experiencias precísase conocer profundamente las relacio­nes entre los conceptos a que dichas propieda­des se refieren, donde se puede separar de la noción de un hecho todo aquello que no está indisolublemente ligado a ella.

Entonces se llega a una primera conclusión general, a saber, que la vista da, de modo inmediato, solamente las nociones gráficas y no las métricas. Por el contrario, por las ciones táctiles-musculares se adquiere el cono­cimiento inmediato de las propiedades (métri­cas) de la congruencia y sólo de un modo subordinado el conocimiento de la recta y del plano.

En otras palabras: se tienen tres formas intuitivas superiores: "la variedad continua, el espacio proyectivo, la variedad métrica gene­ral", en torno a las cuales se desenvuelven tres orientaciones principales de los modernos estu­dios críticos.

Y como en los más altos desarrollos de la ciencia, todos los métodos de la geometría y del análisis prestan aquí su contribución, espe­cialmente los métodos sintético-proyectivos, la teoría de las formas diferenciales cuadráticas, los estudios sobre los grupos de transformacio­nes y los de los.cuerpos de números concurren a ¡luminar los principios con viva luz. Quedan así confirmadas por los hechos las relaciones que habíamos notado debían existir, entre los fundamentos de la ciencia y sus más lejanos desarrollos.

De igual modo que la observación más mi-

;

sensa-

1819

j

cia confrontando en todo momento la expe­riencia singular con el conjunto de todas las otras experiencias y de las relaciones que las interpretan en cierto grado de aproximación, y que desde este punto de vista puede discutirse solamente la dificultad de interpretar las expe-‘ riendas en orden a las relaciones espaciales, pero no puede negarse en principio que una hipótesis geométrica distinta se refleja en uñar serie de diferencias sistemáticas relativas a las más variadas experiencias físicas, y puede, por tanto decidirse (en cierto grado de aproxima­ción) merced a la comparación de éstas.

Lo que hemos dicho antes en cuanto a la posibilidad de diversas hipótesis geométricas ha resultado históricamente de una crítica cé-

Sin extendernos en otros ejemplos de tal género, aparece claro, por analogía, que pueden imaginarse varias formas espaciales que corres­ponde sólo en parte a los requisitos que atri­buimos ordinariamente al espacio, pero tales, sin embargo, que en el ambiente a nosotros accesible den lugar a condiciones sensiblemen­te idénticas. Si el espacio físico fuese precisa­mente correspondiente a una de estas formas, nuestra intuición geométrica sería sin embargo la misma que hoy poseemos, pero extendida fuera del campo de nuestras observaciones po­dría conducirnos a conclusiones absolutamente erróneas como hemos visto en el ejemplo hi­potético relativo al .ser B. Y nada nos dice a priori que así no sean en efecto.

Para decidir la cuestión hay luqar a verificar los postulados que expresan, según la intui­ción, las propiedades del espacio, sometiendo al contraste de experiencias más precisas todas las propiedades que de ella dependen y bus­cando así la evaluación consciente del grado de exactitud de nuestra geometría física.

Pero en cuanto al valor de dichas experien­cias verificadoras es preciso rebatir aquí una objeción. Toda experiencia establece una rela­ción completa que concebimos como resul­tante de un conjunto de relaciones geométri­cas, mecánicas, físicas; la relación geométrica es una abstracción que expresa la comparación de experiencias múltiples y la eliminación de otros datos más propiamente físicos. Ahora pues, se presenta a la vista la observación de que las mismas experiencias con las que se quería determinar la elección entre los diver­sos sistemas geométricos puedan también in­terpretarse de otro modo en cada uno de estos sistemas, siempre que se modifiquen corres­pondientemente las hipótesis físicas que les acompañan. Por tanto, la elección de un siste­ma geométrico no constituiría una cuéstión de hecho o una hipótesis que se confirmara o negase con experiencias más precisas, sino que dependería de un convenio.

Esta opinión que ha tenido su mantenedor más autorizado en H. Poincaré ha sido confuta­da por nosotros minuciosamente en el citado libro "Problemas de la Ciencia". Aquí nos limitaremos a añadir que el convencionalismo, renovador, en cierto modo, de la doctrina kan­tiana, supone una jerarquía absoluta de los conceptos científicos, un orden lineal de la ciencia a cuya cabeza..pone la geometría; que por el contrario hay lugar a construir la cien-

ORIENTACION

matemática en FranciaAl comenzar 1978, la Asociación de Profe­

sores de Matemática de la Enseñanza Pública (APMEP) de Francia propone la "Carta de Limoges", texto básico destinado a guiar en su acción a todos los docentes de matemática, a todos los maestros y a todos los que se intere­san por la escuela, la educación, los niños, la formación permanente.

Pero, en primer término, ¿qué es la APMEP?

Creada en 1909, poco a poco extendió su acción a todos los órdenes de la enseñanza, "del jardín de infantes a la universidad".

Los maestros que enseñan matemática en todos los niveles se reúnen en secciones loca­les, departamentales o regionales, en jornadas o seminarios nacionales para discutir, per­feccionar su cultura y sus métodos, actualizar el contenido y la forma de su enseñanza. El Consejo Directivo, el Comité Nacional y la Asamblea General anual actúan ante los pode­res públicos para hacer conocer la posición de la institución.

El objetivo esencial siempre es suscitar el interés de los alumnos y darle a todos una formación inicial continuada que se adapte cada vez más a sus gustos y sus necesidades.

Examinemos rápidamente cuáles fueron aU gunos de los rasgos más significativos de la vida de APMEP en los últimos 10 años.

de las reformas debe comenzar por:— una experimentación pedagógica seria y

sin ¡deas preconcebidas,— un esfuerzo siempre creciente para \u

formación de maestros, formación inicial y formación permanente.

APMEP insiste en la creación de los IREM (Institutos de Investigación de la Enseñanza de la Matemática) para que dirijan a nuestra ñanza por la senda de la enseñanza continua, dándoles los medios y espíritu de cooperación entre los docentes de todos los niveles educati­vos.

lebre.Las investigaciones relativas al postulado de

las paralelas han conducido precisamente a la construcción de una serie continua de espacios no euciidianos, dependiente de un parámetro k y que contiene el espacio intuitivo euclídia- no para k = 0.

La geometría no euclídiana k < 0 coincide con la ordinaria en todo lo que precede a la teoría de paralelas, pero mientras en ésta la suma de los ángulos de un triángulos es igual a 2 rectos, en aquélla es menor que 2 rectos, siendo la diferencia proporcional a k y al área del triángulo.

Ahora ¿de qué modo podrá decirse si la geometría física corresponde mejor a la hipó­tesis euclidiana (k=0) o a la no euclídiana (k<H).

ense-

El quehacer de los IREM consiste en asegu­rar la formación continua de los maestros de todos los niveles y en organizar las experien­cias deseables sobre enseñanza de la matemáti­ca y en organizar las experiencias deseables sobre enseñanza de la matemática,en facilitar o provocar el trabajo en equipo, su deseable organización, las modalidades de generaliza­ción de las experiencias del trabajo en equipo y de la investigación fundamental, en fin, la formación de los formadores.

Este texto guió la acción de APMEP de 1968 a 1971 y le permitió obtener realizacio­nes y reformas, en especial la creación de los IREM.

En 1971, pareció que, entre esas reformas, algunas eran satisfactorias, pero otras exigían crítica, y que todas podían y debían ser mejo­radas. Polémicas periodísticas,observaciones de personalidades eminentes, así como el gusto creciente de los jóvenes por una acción y una reflexión más rápidamente autónomas, ponían de manifiesto insuficiencias y lagunas y susci­taban incomprensión.

En 1971, al iniciarse las clases, las Regiona­les con ayuda del Comité Nacional, reflexiona­ron de nuevo; luego de cuatro meses, se logró obtener en Dijon un texto de síntesis que en seguida, se sometió a la crítica de los adheren-

A tal fin se necesitará medir la suma de los ángulos de un triángulo: si resulta sensible­mente menor que 2 rectos quedará demostra­do que k supera en valor absoluto a un cierto límite inferior, y por lo tanto que vale la geometría no euclidiana. Pero si por el contrario dicha suma resulta sensiblemente igual a 2 rectos, quede la duda entre dos hipótesis:

1) Es válida físicamente la geometría euclí­diana con relación a medidas tan precisas co­rnos se quiera, esto es, k=0;

2) Es válida la hipótesis no euclídiana k<0 pero k es tan pequeña que la suma de los ángulos de un triángulo difiere de 2 rectos en menos de los errores de observación.

Efectivamente las medidas que se han reali­zado sobre triángulos geodésicos Gauss y as­tronómico (Lóbastschewsky) han conducido a mostrar que la hipótesis euclídiana se verifica

Isigue en página 40J

1) Las cartas de Chambéry y de CaenEn enero de 1968 se realizó un coloquio en

Chambéry para presentar un plan de renova­ción de la enseñanza de la matemática. Cole­gas de toda Francia y de todos los niveles de enseñanza rédactaron un primer proyecto que, discutido por la Asamblea General de 1968, se ha convertido* en la "Carta de Chambéry".

Recordemos lo esencial de ese documento:Una reforma de la enseñanza de la matemá­

tica es indispensable y posible. La realización20

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mente experimentados, podían entrar aplicados sin demasiadas dificultades.

No ocurrió lo mismo con la clase de tercer año, en 1971, y con la de cuarto, en 1972. No sólo la experimentación había sido insufi­ciente sino que, sobre todo, la redacción final no tuvo en cuenta los consejos de los experi­mentadores.

Ante las dificultades surgidas, APMEP tomó en diciembre de 1972 la iniciativa de una petición nacional que llegó a la redacción de la circular del 19 de febrero de 1973 y de su tablero "2 columnas", que distinguía por pri­mera vez en un texto oficial lo fundamental de lo accesorio.

En 1973, el ministro Fontanet proyectó una nueva reforma de la cual APMEP subrayó en muchas ocasiones el carácter nocivo, en particular, en materia de formación de maes­tros.

— la formación continua de todos los asala­riados está asegurada en horas suplementarias o por oficinas privadas.

APMEP se alarma vivamente por esta situa­ción, que desespera a muchos jóvenes atraídos por la enseñanza y afirma de nuevo la impor­tancia de la formación de los maestros en toda reforma verdadera.

La Comisión Lichnérowicz dejó de funcio­nar en 1974. El grupo de trabajo N° 6, en mayo de 1975, demandó la creación de una comisión encargada de reflexionar permanente­mente sobre la enseñanza de la matemática. Ante el rechazo de esta proposición, APMEP sugirió a los IREM, a la Unión de Profesores de Especialidades, a la Sociedad Matemática de Francia, al Comité Nacional de Matemáti­cos, que crearan con ellos la Comisión Perma­nente de Reflexión sobre la Enseñanza de la Matemática. Esta Comisión no tiene ningún vínculo institucional con el ministerio y no podría transformarse en comisión ministerial.

primer embrión antes de la creación oficial.Poco a poco, los IREM desarrollaron, cada

cual con su personalidad propia un programa de investigación, asociando estrechamente ex­perimentación y formación, en un trabajo de equipos que reunía a maestros de diferentes niveles y a veces de diferentes disciplinas.

Una veintena de seminarios nacionales, or­ganizados a veces junto a la APMEP, permitió cada año a los investigadores de diferentes IREM confrontar sus experiencias e informar a sus colegas sobre el avance de sus trabajos. Un boletín Inter-IREM estableció el balance de estas reuniones y destacó las más importantes entre las muchas publicaciones de cada IREM.

Queda todavía mucho por hacer para abrir los IREM a todos los maestros, en particular de las enseñanzas primaria y técnica.

Los "temas núcleos"Al proponer en la carta de Caen una nueva

redacción por temas-núcleos, APMEP no se hacía muchas ilusiones sobre su aplicación in­mediata. Una profundizaron en los seminarios de Melun (1973), Lyon (setiembre de 1974) y Chamerolles (abril de 1975) condujo a la pu­blicación de un panfleto sobre "los cuadrados mágicos", ejemplo de tema vertical, al Boletín N° 300, enteramente consagrado a temas va­riados, y al panfleto "Hacia la investigación de núcleos de los programas de matemática del primer ciclo; conocimientos mínimos al final del mismo".

Además, los artículos, los informes de los grupos de trabajo de las diversas jornadas y la mayoría de los panfletos desarrollan variados temas de todos los niveles. Las comisiones del primer y segundo ciclo aseguran la coordina­ción de ese trabajo.

a sertes. Finalmente, luego de otras reformas en la Asamblea General de Caen en mayo de 1972, se convirtió en la "Carta de Caen" que se usó ampliamente hasta hoy para hacer conocer las. posiciones de APMEP.

Recordemos los puntos fundamentales de dicha carta:

Un estudio de las finalidades de la enseñan­za matemática que distinga la fase de forma­ción general, común a todos los niños, de fases ulteriores más especializadas, conduce a preconizar una modificación de las estructuras de los programas que conducirá, en lugar de la lista exhaustiva de los temas que se estima necesario enseñar, a distinguir:

- un núcleo de nociones fundamentales que todo alumno de la clase debe haber adqui­rido al término del año;

— una lista de temas en la cual los alumnos y el maestro podrán elegir los que estudiarán, sea para motivar la introducción de nociones fundamentales, sea para ¡lustrar los usos de esas nociones, sea incluso para nutrir investiga­ciones suplementarias cuya aparente gratuidad daría a los alumnos un pregusto por los estu­dios libres que, vueltos adultos, acaso puedan emprender.

La segunda parte de la Carta, consagrada a la organización escolar, preconiza la afectación de ciertos establecimientos a la investigación fundamental, y otros a la aplicada, y la gene­ralización de un doble sector pedagógico: al lado de un sector "tradicional" funcionará un sector de "innovación", ampliamente abier­to al trabajo de los maestros en equipo y a la interdisciplinaridad.

La tercera parte consigna los principios de la formación inicial y de la formación perma­nente de los maestros y determina cuál podría ser la manera de proceder para instituir un cuerpo único que ponga fin a la situación actual.

Los IREMDesde 1968 a 1974 se crearon 25 IREM,

uno por academia salvo para la región de París que cuenta 2. Su funcionamiento planteó mu­chos problemas pues todo se debía idear para asegurar a los maestros una formación perma­nente acorde con sus necesidades y deseos y, además, para desarrollar la investigación en didáctica. Afortunadamente también suscitó gran dinamismo debido a que los afiliados de APMEP muchas veces hicieron funcionar un

Su sucesor Haby retomó el problema en su conjunto, en julio de 1974 y en una primera ocación, exactamente en mayo de 1975, con­sultó mediante grandes comisiones a las asocia­ciones de especialistas. APMEP tuvo la satis­facción de ver aceptadas la mayoría de sus opiniones en las conclusiones del 6o grupo de trabajo. Infortunadamente, apenas promulgada la ley del 11 de julio de 1975, el ministro cesó toda consulta y confió a las direcciones, la redacción de los decretos y circulares, y a la Inspección General el establecimiento de los nuevos programas.

Trece asociaciones de las diversas disciplinas reagrupadas en la "Conferencia de los presi-

•dentes de las Asociaciones de especialistas", decidieron en febrero de 1977 alertar a los padres de alumnos sobre la gravedad de los problemas.

Las "reformas" no son el único objetivo de las preocupaciones de APMEP.

Si la década 1960-1970 se caracterizó por la escasez de maestros bien formados, al gran esfuerzo efectuado por las universidades para la formación matemática inicial; había llevado a '1500 el número de puestos ofrecidos a las pruebas teóricas en 1974. Se asiste después a una nueva reducción draconiana del 20% cada año de modo que:

— los efectivos de la clase superan todavía en mucho a los 24 alumnos;

— los docentes raramente se benefician de descargas de tareas efectivas para su formación permanente;

Las Jornadas Nacionales

Organizadas cada año por una regional las Jornadas Nacionales son una oportunidad de reencuentro de todos los miembros de la APMEP. En los últimos años agruparon de 500 a 800 participantes. Si parte de las jorna­das se consagra a la asamblea general, a una o 2 conferencias plenarias y a una reunión de las comisiones nacionales, su mayor volúmen con­siste en reuniones en las cuales, conducidos por un animador, una treintena de participantes estudia y examina en detalle un tema preciso ligado a la materia, el alumno o la clase.

A menudo un tema se introduce en un año y luego se lo aborda en el siguiente, antes de constituir el objetivo central de las jornadas. Así, la pluridisciplinaridad abordada en Cler- mont (1970) y Nancy (1973) fue el tema principal de las jornadas de Orléans (1975); los problemas de comportamiento introduci­dos en Toulouse (1971), fueron tratados en detalle en Rennes (1976); la formación perma­nente, luego de haber ‘sido el tema de mesas redondas en Caen (1972), Nancy (1973) y Orléans (1975), se tratará de nuevo en Limo-

Ai

La acción conyuntural

APMEP no se contenta con enunciar princi­pios; debe cuidar también de que se pongan a funcionar y analizar los proyectos de reforma propuestos por los diferentes ministros sucesi­vos.

La Comisión ministerial para la enseñanza de la matemática denominada "Comisión Lichnérowicz" propuso en 1968 nuevos pro­gramas para las clases de primero y segundo año y para el segundo ciclo. Esos programas fueron estudiados conjuntamente con colegas que enseñan efectivamente en las clases res­pectivas, y después de ser larga y cuidadosa-

ges.

APMEP y la vida internacional

Desde hace mucho tiempo los matemáticos de todos los países se reúnen cada cuatro años

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¡I

— desarrollar algunas concepciones funda* mentales del pensamiento científico,

— percibir prácticamente el papel de la ma­temática y sus límites en las otras actividades, en particular en las otras ciencias,

— adquirir el dominio de destrezas y técni­cas matemáticas básicas.

3) Con mayor precisión, se podría enunciar una serie, entre otras, de actitudes que sería particularmente útil desarrollar;

— analizar las diferentes componentes de una situación, reconocimiento de las analogías, elección de una estrategia de resolución, con- trucción y encadenamiento de deducciones simples;

— prever un resultado y generalizar, evaluar los resultados obtenidos con respecto al pro­blema planteado, adoptar una actitud crítica positiva (con respecto a una demostración, una información,. ..)

— saber escuchar a los demás, aprender a hacerse comprender, participar de un trabajo colectivo (investigación, organización, realiza­ción concreta, análisis de documentos, comu­nicación de resultados,. ..)

— en todo este período, una educación ma­temática común a todos los alumnos debería contribuir a desarrollar las capacidades de jui­cio, análisis, creación; debería participar inme­diatamente, es decir, desde la edad escolar, en actividades que dén lugar al juego, a la acción, a la discusión.

Más allá de la escolaridad obligatoria, las finalidades de la enseñanza de las matemáticas no son fundamentalmente distintas de las que sé acaba de señalar. Hay sólo adaptación a situaciones diferenciadas.

Tanto para las necesidades de una forma­ción profesional (formación inicial, perfeccio­namiento, readiestramiento, etc.) como para responder a necesidades o aspiraciones perso­nales, se plantean nuevas necesidades a los estudiantes. Se vuelve inevitable cierta especia- lización; será necesario superar los inconve­nientes acudiendo a estructuras de intercambio y de diálogo entre especialistas diversos; de esta forma, la profundización que permite la especialización puede ser aprovechado por otros que no sean el mismo especialista, y se puede intentar conciliar las exigencias de la especialización y la necesidad de contacto con una formación más global.

En los diversos niveles de la enseñanza téc­nica, los objetivos de la enseñanza matemática

Análisis crítico de la situación actual.

Un profundo análisis crítico de la situación actual de la enseñanza de la matemática revela la importancia de las cuestiones que-se plan­tean a todos.

Citemos a manera de ejemplo:1) En todos los niveles de escolaridad, bajo

una forma más o menos explícita, la matemá­tica se ha convertido cada vez más en el prin­cipal instrumento de orientación y de selec­ción. Los alumnos desempeñan a menudo el papel del obstáculo que cierra la entrada a un camino elegido. Por otra parte, la confusión entre competencia matemática y jerarquía so­cial es indefendible.

2) El ministerio persiste en imponer una enseñanza constituida por la simple adquisi­ción de contenidos matemáticos, elegidos y presentados de manera muchas veces muy dis­cutible. Desconoce así la importancia en la formación de los alumnos, de los métodos pedagógicos, del vínculo con las otras discipli­nas, del trabajo de grupo, de la práctica de la investigación.. .

3) El éxito en los exámenes resulta todavía a menudo la única finalidad de la enseñanza, en detrimento de la formación de la personali­dad. La forma de las pruebas no evoluciona y no es más que un control, discutible, de cono­cimientos.

4) En los diversos niveles, las modalidades aclministrativas de la formación continua para la enseñanza de la matemática son todavía muy insatisfactorias. Por otra parte, la forma­ción continua requiere una formación perma­nente de parte de los interesados.

ñanza: a la vez para determinar cuál puede ser la contribución de la enseñanza de la matemá­tica en la obra de conjunto y para saber cuáles exigencias recíprocas deben conciliarse.

.para hablar de sus investigaciones, pero hubo que esperar hasta 1969 para que se organizara, con la misma periodicidad, un Congreso Inter­nacional de la Enseñanza de la Matemática, del cual surgió una obra de UNESCO sobre “las nuevas tendencias de la enseñanza de la matemática".

APMEP influyó mucho en esta decisión: en Lyon se realizó el primer Congreso, que ella contribuyó a organizar, el Congreso de Lyon. El segundo se realizó en Exeter, Gran Bretaña, en 1972, y el tercero, en Karlsruhe, Alemania Federal, en 1976.

Preparados durante todo un año por nume­rosos coloquios especializados, esos congresos permiten a los docentes presentar sus observa­ciones y sus innovaciones y a la vez enrique­cerse con numerosos contactos con sus colegas de todos los países.

Luego de las Jornadas Nacionales de 1976 en Rennes, el Comité Nacional de APMEP juzgó llegado el momento de iniciar nueva reflexión de conjunto sobre el camino futuro y comprometió a las regionales para realizar ese trabajo. El 5 y 6 de marzo de 1977 se puso a punto el primer texto, el cual sometido a consulta, será propuesto en un segundo texto a los participantes de las Jornadas Nacionales de Limoges en setiembre de 1977, luego de la discusión y las correciones se convertirá en al “Carta de Limoges" si lo aprueban en enero de 1978.

Esta “Carta", que completa las de Chambé- ry y Caen con el mismo espíritu, es una nueva etapa de APMEP quien, retornando al espíritu de las cartas precedentes, dice: “O bien la lectura de esta Carta os convencerá de que es necesario ayudar a APMEP para que se realice sus proyectos, o bien no hemos encontrado los argumentos que os hubieran convencido; quedaríamos reconocidos si nos dijerais vues­tras objeciones y vuestras proposiciones". Tan­to en un caso como en el otro, se desea el diálogo y la “Carta" es un llamado a la acción. Mañana será necesario concretar Iá "Carta de Limoges". Que cada uno tome su parte en la diversidad que ella permite".

Algunas de las ¡deas de APMEP son las siguientes:Finalidades y objetivos de la enseñanza en general

Las finalidades de la enseñanza de la mate­mática no pueden ubicarse más que en el marco de las finalidades generales de la ense-

La escuela está en el centro de un conflicto que, por lo menos desde el siglo XIX, preocu-

nuestras sociedades: el de las ¡deas depa aorganización y de libertad. La satisfacción de las necesidades vitales del individuo y de los grupos sociales, constriñen las finalidades de la enseñanza; se habla de asegurar la formación de los productores, de justificar o confortar el orden social existente, de trasmitir un conjun­to de conocimientos, de formas de expresión, comportamiento, sentir y pensar, esto es, todo lo que brevemente algunos llaman un modo de vida y otros una cultura. Al mismo tiempo, la resistencia a esas imposiciones exige la forma­ción intelectual, moral y física del individuo, lo que participa todavía en la trasmisión de una cultura cuando se sabe la contribución de

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todos los que, en el curso de la historia, han sabido decir “no" a las ¡deas recibidas.

La elección de una política educativa se basa siempre sobre la preferencia proclamada más o menos claramente, por una u otra de esas dos tendencias; la elección está también entre los que quieren reservar la formación más liberal a una sola categoría social y aqué­llos para quienes esa selección precoz es una acción segregadora. “Nos parece que siendo la formación de productores una condición para la superviviencia de nuestras sociedades, no hay riesgo de que se lo olvide. Creemos que la formación del espíritu crítico, que puede pare­cer de menor urgencia, debe ubicarse en el primer plano. Entendemos que para todos: alumnos de la escolaridad obligatoria, estu­diantes, adultos, el objetivo principal es adqui­rir dominio de sí mismo en un clima de liber­tad y de responsabilidad, que debería ser el de la escuela y, con mayor generalidad, el de todas las actividades de formación."

La concepción muy abierta de la enseñanza que debería resultar da su lugar natural a la formación permanente; la parte escolar o uni­versitaria, que se podría denominar período de formación inicial, se convierte en una forma de aprendizaje de una forma de vida que per­mitiría la existencia en cada uno de una mejor

. realización de sus aspiraciones a producir, construir su propio bienestar, comprender el mundo y contribuir a su evolución.

A-y

Finalidades y objetivos de la enseñanza de la matemática

1) En el período de escolaridad obligatoria, el marco que propicia APMEP puede parecer ligado implícitamente a una estructura de se­gregación de los alumnos que prosiguen estu­dios secundarios y eventualmente superiores, de los que están “orientados" hacía caminos menos “nobles". Por ello ensayó rechazar la actual organización y definir finalidades comu­nes y aplicables a todos los alumnos durante un período obligatorio de.escolarización.

2) Durante dicho período la matemática debería permitir esencialmente: favorecer una comprensión crítica del mundo técnico, eco­nómico, social,...

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deberán estar particularizados en el aprendiza­je de métodos con preferencias a la acumula­ción de conocimientos especializados. Todavía muy a menudo, una apreciación no del todo correcta de las necesidades inmediatas de la profesión, deteriora los programas en detri­mento de lo que prepararía a los alumnos para adaptarse más fácilmente a las condicio­nes muy imprevisibles del futuro de su oficio.

En el marco de la formación permanente de los adultos, la enseñanza matemática tendrá como principal objetivo dar posibilidad a indi­viduos para analizar mejor su medio, en parti­cular en su desenvolvimiento científico, para actuar en función de su interés bien entendido y de su placer. Un objetivo particularmente importante de la formación permanente en matemática, es hacer tomar conciencia del al­cance de los métodos, de los límites dentro de los cuales permanecen válidas las teorías mate­máticas; se deberá, pues, adquirir una justa apreciación del valor de la ciencia frente a otras maneras de aprehensión del mundo y su evolución.

La formación inicial y permanente de los docentes deberá ser acompañada por el éxito de la enseñanza de la matemática para contri­buir prioritariamente a la formación del espíri­tu si los educadores deben, en todos los nive­les y en todas las disciplinas, tener la preocu­pación de favorecer la autonomía, la libertad de acción y de pensamiento, el sentido de las responsabilidades de sus estudiantes, con ma­yor razón su propia autonomía deberá ser el objetivo principal de su propia formación, vale decir, deberá ser el crecimiento de su respon­sabilidad.

do una función ¡nportante en la historia del pensamiento humano y que pueden contribuir a una reflexión filosófica sobre el presente.

4) No debe descuidarse más el papel psico­lógico desempeñado por la actividad de inves­tigación matemática, tanto desde el punto de vista del desenvolvimiento individual del sujeto cuanto desde el punto de vista relaciona!. La enseñanza de la matemática se integra en una concepción global de la educación que desa­rrollaría una forma de conciencia de las comu­nicaciones dentro y fuera de un grupo, de la influencia del grupo sobre el individuo, de la noción de poder, de las interacciones afectivas.Algunas orientaciones de APMEP.

APMEP sostiene los siguientes principios de acción:

1) Dado que el contenido de nuestra ense­ñanza tiene una importancia por todos recono­cida, APMEP ofrece su concurso para una con­cepción de los programas que;

— fije los objetivos —generales, y también los particulares, de cada sección o clase— rela­tivos a los comportamientos, actitudes, capaci­dades.

- distinga:un núcleo de nociones fundamentales

que el alumno deberá haber adquirido al tér­mino de un año.

* una lista de temas entre los cuales los alumnos y el maestro podrán elegir los que estudiarán, sea para motivar la introducción de nociones fundamentales, sea para ilustrar algu­nas de esas nociones, sea para nutrir investiga­ciones suplementarias.

Este núcleo y esos temas, confrontados los objetivos definidos, serán también medios para su examen, al mismo tiempo que esos objetivos fijarán el nivel de complejidad de los conocimientos exigidos por el núcleo o abor­dados por los temas.

2) La puesta en práctica de esta cepción de la enseñanza supone que un vasto intercambio de documentación (resultado de las investigaciones de todos los orígenes) sea tomado a su cargo por el estado y puesto a disposición de los maestros. También se podrá establecer un intercambio dialéctico prenda a todas las investigaciones didácticas.

3) Finalmente, si una nueva concepción de la organización escolar debe conducir a activi­dades más abiertas, por ejemplo, a la interdis- ciplinaridad, no es menos importante reconsi­

derar el papel de la inspección para que sus funciones no sean como ahora de mero con­trol.

actual de la enseñanza, en el interior de un sistema que le conviene, después de algunas reformas puntuales. ¿La enseñanza de la mate­mática; ¿puede formar parte de la jerarquía social, de un contexto político?

Concluiremos este trabajo sobre las acti­vidades de la APMEP con una crónica, lo más detallada posible, de una de sus últimas reali­zaciones.

En conclusión, los principios enunciados pueden percibirse diversamente; algunos pensa­rán que se trata de una manera de señalar la contestación de APMEP a cierto tipo de socie­dad; otros, por lo contrario, concluirán que esos principios permiten mantener el statu-quo

Las jornadas de Rennes!

les, conviene señalar las diferencias entre la experiencia y la situación real en una clase:

a) Los alumnos podían salir del aula en cualquier momento.

b) El profesor había sido sorteado entre los participantes.

c) El profesor no conocía del todo a sus alumnos.

d) El profesor no tenía ninguna delegación de poder (ni examenes ni sanciones).

Aparte el punto c), esas diferencias juegan en sentido favorable a la comunicación. Los alumnos se han comunicado mucho entre ellos, interpelando al profesor. Que, a pesar de esas diferencias, se haya visto resurgir compor­tamientos tradicionales de los alumnos en una clase, es verdaderamente sorprendente.

Casi todos los participantes calificaron a la situación como de inseguridad, a veces angus­tiosa, en todo caso penosa.

Acaso esto explique ciertas reacciones de agresividad muy nítidas con respecto al profe-

Estas jornadas, realizadas por el subcomité regional de Rennes de la '"Asociación de pro­fesores de matemática de la enseñanza públi­ca" de Francia, en el mes de setiembre de 1976, es tan sólo una muestra de las múltiples actividades desarrolladas por esas entidades re­gionales que prueban la fortaleza de la institu­ción y el interés de sus afiliados por los pro­blemas científicos y pedagógicos de la ense­ñanza de la matemática.

Nos referiremos a las conclusiones de algu­nas de las subcomisiones y con ello tendremos alguna ¡dea del trabajo realizado. En cada sub­comisión indicamos el nombre, del animador o los animadores.

1. El fracaso en matemática. (A. BIGARD).

Un educador tiene diferentes medios para reflexionar sobre el problema del fracaso. Pue­de discutir amablemente con sus colegas o informarse del trabajo de los investigadores en

dominio. Pero, a nuestro parecer, el más fecundo y el único que puede influir en su práctica pedagógica, es el de colocarse en si­tuación de aprendizaje para vivir el fracaso "desde su interior".

Por eso se propuso al grupo colocarse en situación experimental. Los papeles de profe-

de alumno fueron tirados a la suerte.

/i

conese sor.

Relación entre las finalidades de la enseñanza de la matemática y las finalidades generales

Las proposiciones hechas son compatibles con las finalidades generales señaladas:

1) Se rehúsa el papel de orientación y de formación de productores en favor de la con­cepción de una enseñanza matemática como* herramienta de promoción social.

2) Con mayor precisión, no se subestima el alcance social de la enseñanza matemática: la evolución tecnológica de nuestras sociedades conduce a los que la dirigen y algunos de los que viven en ella a usar un lenguaje y a practicar actividades cada vez más científicas.

3) Se considera que la matemática ha teni-

Tres fenómenos atrajeron particularmente la atención:

1) La distorción del tiempo. Al terminar la experiencia, el animador preguntó al grupo cuánto tiempo había durado. La mayoría de las estimaciones fueron de 35 a 40 minutos en tanto que, en realidad, había durado 25 minu*

nueva con­

sor yAdemás, cinco participantes asumieron la fun­ción de observador. El profesor tenía por con­signa describir una figura que se le había dado para que los alumnos la reprodujeran, pero sin que estos últimos pudieran verla. Luego, los observadores fueron invitados a indicar qué comportamientos habían observado, y los alumnos a explicar su éxito o su fracaso.

Antes de embarcarse en conclusiones difíci-

tos.

2) Imposibilidad de "metacomunicación". Cuando el profesor preguntaba: "¿Está cla­ro? ", sólo respondían los que habían com­prendido. Inversamente, en numerosas ocasio­nes, los alumnos manifestaron no comprender. El profesor, declaró que no entendía por qué.

3) Uso del mensaje. Cuando la clase se

que com-

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— discreción (pues los alumnos no tienen las mismas dificultades en el mismo momen-

o del Líbano, los hijos de embajadores, etc.); inversamente, las mismas dificultades que para los niños de trabajadores inmigrantes entre los "extranjeros del interior" definición dada por un participante: "es extranjero todo individuo que no se ha interiorizado de la cultura predo­minante en su medio". Peligro de imponer una norma, una estandardización del comporta­miento.

En la búsqueda de posibilidades de "apo­yo" y de "desbloqueo", se consideró la impor­tancia de:

* Evitar la dramatización1) del fracaso, por los padres y el niño

(relaciones de maestros y padres). ¿Es verda­deramente posible trabajar con los padres de' los "alumnos con problemas"? Muy do, no acuden a las reuniones; hay, sin embar­go, una experiencia exitosa gracias a la "escue­la abierta" que ha puesto en contacto a educa­dores y padres.

2) del error por el maestro y la clase —crueldad de los alumnos entre sí.

* Cuestión de ritmo.— No sobrevalorar el ritmo de los más rápi­

dos (la rapidez no es necesariamente un crite­rio de "inteligencia").

— En la práctica, ¿se puede verdaderamente elegir el ritmo de los más lentos?

— El ritmo de un alumno puede variar en el

tornaba demasiado bulliciosa el profesor orde­naba su exposición de modo que todo el do se preocupara por su copia. Este comporta­miento consistía en hacer utilizar parte del mensaje para ordenar las cosas. No es sorpren­dente que esto sea mal recibido. La existencia de comportamientos de ese tipo permite com­prender mejor la interferencia entre lo cognos­citivo y lo afectivo que, ahora se lo sabe, desempeña un papel tan fundamental en el fracaso escolar.

3. Los fenómenos de incomprensión y de blo­queo. (J. ADDA).Método de trabajo.

to).mun-* Como reacción, algunos se interrogan so­

bre la "utopía del pedagogismo" (¿necesidad de cambiar la sociedad? )

Acaso exista la posibilidad, por lo menos, de un "cambio de pedagogía".

* Función motriz de las experiencias (tra­bajos por temas, justa disposición de las es­tructuras de la clase y del programa.

En lo que concierne a los bloqueos debidos a dificultades inherentes a la matemática, J. Adda expuso diversos trabajos, especialmente sobre las incomprensiones debidas a la abstrac­ción de los conceptos matemáticos y a la dificultad de presentarlos sin disfraces.

Utopía de la doctrina de las "situaciones concretas" (muy a menudo, inadecuadas y ar­tificiales, que de ninguna manera son represen­tativas de hechos "concretos" sino "escola­res"); son fuente de dificultades parásitas.

El debate se refiere a esas hipótesis de interpretación; existen muchos aspectos ("co­rrientes", "escuelas") de interpretación:

— psicogenética (esencialmente Piaget y discípulos),

— relacional (psicoanálisis. ..),— lógico-lingüistica.

El grupo eligió el diálogo informal y resultó una discusión libre y animada, difícil de resu­mir.

Esencialmente, las reflexiones parecieronllevar:

— en la primera sesión, a la diversidad de las causas de bloqueo,

— en la segunda sesión, a las posibilidades de "apoyo" y de "desbloqueo".

— en la tercera sesión, a las causas de in­comprensión inherentes o la matemática.)

Se decidió redactar el informe de la siguien­te manera: un primer proyecto, presentado por miembros del grupo pertenecientes a la zona de París, mediante notas tomadas por los secretarios de sesión, se enviaría a todos los participantes del grupo y, una vez considera­das las observaciones , al Boletín nacional.

El grupo contaba de 48 miembros, lamen­tándose la escasa participación de maestros de escuela primaria y de jardines de infantes dado que mucho se ha insistido sobre el nacimiento de los bloqueos en esos ámbitos. Fue apreciada la activa participación de los psicólo­gos.

2. Matemática y afectividad. (J. NIMIER). ;

Método. En tres sesiones, la discusión realizó sobre tres situaciones registradas sobre banda magnética y correspondientes a alumnos del segundo ciclo. Esos alumnos, niñas o niños, expresaron diferentes aspectos de lo que sien­ten ante la matemática o sobre cuando ellos hacen matemática.

Objeción: Se trataba, sobre todo, de un trabajo de sensibilización sobre la existencia de un "imaginario" ligado a la matemática, "imaginario" constituido por los fantasmas que los alumnos ubican en esa disciplina; ejemplos: "ella es grande, potente" - "ella es­tá desmenuzada en su interior" — "es como magia" —"es peligrosa". ..

En el curso de los diálogos, los participan­tes intentaron tamizar el origen de esos fantas­mas: origen social, familiar, individual, o "mo­vimiento" de angustias más primitivas. Se planteó la cuestión de saber si esos fantasmas están presentes en el discurso de todo alumno, si son el producto de la adolescencia y si están favorecidos por la naturaleza del discurso temático.

se

a menu-

sus

muy

4. Motivaciones. (M. DUMONT y J. M. BEC- KER).

En los diálogos sobre los orígenes de los bloqueos se consideraron los siguientes aspee- curso de un año.

* Una solución en una "pedagogía del aná­lisis de los errores" y una "desculpabiliza- ción".

Lo que sigue es una sucinta ordenación de las ¡deas expuestas en este grupo.

Se podría distinguir a priori dos tipos de motivaciones:

tos:a) Importancia de los primeros años.b) Causas de los bloqueos: afectivos, lin­

güísticos, debidos a la naturaleza del conteni­do, socioculturales (especialmente en lo que se refiere al comportamiento de los padres y al medio, con respecto al fracaso; ventajas y ríes-, gos de la ayuda y de las exigencias de los padres, casos de bloqueos en medios extremos, tanto en los ¡ntelectualmente muy cuidados como en los muy desfavorecidos.

c) Caso de "bloqueos escolares" cualquiera sea la disciplina.

d) No ver "bloqueo" donde más bien hay una mala comprensión recíproca, o la influen­cia de la actitud del profesor, de su propia concepción de la matemática, de lo que debe hacer comprender y cómo.

e) Tentativas para precisar el papel de la lengua en las incomprensiones: no decir sim­plemente "lengua materna extranjera" (ejem­plos de problemas casi inexistentes

* Peligro de hacer desempeñar a la noción de "bloqueo" el papel de una nueva versión de la "jiba" de la matemática. ¿Debemos resig-

bien, tratar de "desbloquear" y de

corto término ("provocada")- una aSe motiva en los diez primeros minutos, se

explota en los cuarenta y cinco minutos res­ma­

narnos, o evitar los bloqueos?Una reflexión sobre el objeto matemático

permitió pensar que, en efecto, la disciplina no podía dejar neutro lo que ahondaba y provocaba numerosas reacciones: rechazo, pa­sión, etc.

Pero, más allá de la

tantes.— la otra a más largo término ("revelada",

sector de la actividad matemática o* Necesidad de apoyoDebate sobre el apoyo: ¿cuándo?, ¿có­

mo? , ¿qué hacer?De acuerdo con algunas experiencias de

necesario:

para unincluso para el total de dicha disciplina.

Pero, puede verse otra dicotomía:-de carácter social: se hace matemática

1976 es LA materia de selección ysorpresa, manifestada

después de escuchar algunos registros, muchos fueron los participantes que se ubicaban con respecto a lo que decían los alumnos: "¿Soy responsable?" "¿Estamos de alguna manera en la imaginación de otros? " "¿Me sorpren­de? "...

participantes, parece— acuerdo entre los maestros,— mejora de las relaciones afectivas maes­

tros-alumnos (una experiencia muy afectiva de transformación de las relaciones luego de un viaje de estudios .ecológicos común con profe­sores-alumnos de un liceo agrícola),

— modalidades que eviten la segregación de los alumnos más débiles (apoyo más rápido y en forma colectiva por la clase),

porque entambién porque parece que eso sirve para todo (gustaría realmente ver aplicaciones, pero los profesores no las hacen).

— de carácter personal: nos puede seducir:— el aspecto estético: belleza de ciertas re­

presentaciones, armonía interna de la matemá­tica. .

— el aspecto misterioso: se examinan las

A manera de conclusión, alguien planteó la cuestión: ¿Por qué nosotros elegimos enseñar matemática? ¿Cómo modela nuestra enseñan­za nuestro deseo subyacente en esta elección?

:, . o muyrápidamente regulados: los refugiados de Laos 29!

28

debe ayudar constantemente a la geografía. ¿A qué disciplina no concernirá esta observa-

En el primero, una discusión, a menudo apasionada condujo a casi todos los aspectos del problema de la conceptualización. Se ha­bló, entre otras cosas:

- Del papel de la enseñanza matemática en la matematización de los conceptos físicos y —también— de los reproches mutuos que se hacen los docentes de matemática y de física.

— De la posición de la matemática frente al problema de la realidad -a saber si los con­ceptos matemáticos reenvían a "una realidad" en el mismo sentido que los conceptos de la física.

cuestiones como los problemas de palabras cruzadas.

— el aspecto afectivo: "El señor Untel me ha hecho gustar la matemática", -no olvide­mos, en fin, el aspecto de seguridad de nuestra disciplina. El dolor de haber "encontrado fal­so" deja (lentamente) lugar, luego de cierto número de éxitos, a la confianza en sí mismo; ayudemos a nuestros alumnos a adquirirla acordándoles el "derecho al error", no privile­giando al resultado sino al método (los proble­mas de optimización son excelentes en ese aspecto).

Esta seguridad no debe ser más que una etapa para lanzarse enseguida a la aventura matemática: juegos en que se crean o modifi­can las reglas, problemas abiertos de todas clases.

nes que se han establecido entre ellos y que constituyen los modelos teóricos que luego se confrontan con la experiencia. El acuerdo o el desacuerdo relativo con la experiencia permite clasificar a los modelos en un supersistema de "modelos embutidos", cada uno de los cuales tiene un dominio de verificación, apareciendo los modelos "inferiores" como casos particula­res o aproximaciones de los modelos "superio­res" que los contienen. De esta estructura de la teoría física se pueden deducir importantes consecuencias didácticas: cada modelo, siendo coherente consigo mismo y cubriendo un cam­po experimental determinado, no es superado o dejado a un lado cuando es embutido en un modelo superior. Puede, pues, ser legítima­mente enseñado, y la elección de los modelos que se presenten en tal o cual etapa del curso escolar (o universitario), debe reposar esencial­mente sobre consideraciones psicológicas, es decir, sobre la actitud operatoria de los alum­nos que deberán dominar o manejar tal tipo de estructura.

ción?* El necesario acuerdo acerca de la presen­

tación de la Tierra en primer año, del desarro­llo de nociones de ubicación en segundo, debe reducir, incluso suprimir, la situación actual, absolutamente afligente.

* La geografía puede ofrecer excelentes concretos en los cursos de matemática del primer ciclo, del segundo y más allá, sea par­tiendo de lo concreto para contribuir a la captación de un concepto matemático, sea ha­ciendo del ejemplo geográfico, una aplicación — De la luz arrojada sobre la cuestión ante­

rior por el hecho de que los procedimientos matemáticos son eficaces para la resolución de problemas físicos, tecnológicos, etc., que lle­van sobre el mundo real.

— De la distinción o de la no distinción —a nivel del pensamiento y de la práctica del alumno— entre un dominio físico y uno mate­mático: ¿es importante que el alumno sienta que la matemática se aplica a la física, o es más importante que tenga conciencia de una diferencia irreductible entre matemática y rea-

de tal concepto.* Se deplora la ausencia de animación pe­

dagógica y el "pequeño perfume de clandesti­nidad" que se da a la matemática en geogra-

!

No insistiremos aquí sobre la noción de libertad. Libertad de pensar, libertad de actuar y de crear. No hay motivación profunda sin libertad de elección.

Mencionemos algunos obstáculos hallados por los alumnos y algunos remedios propues-

fía.* Se está estudiando el empleo de histogra-

mas.El destacado profesor Kuntzmann indicó

que juzgaba que la geografía era una de las disciplinas en que juzgaba que sería más rico un trabajo interdisciplinario. Parece evidente que la informática pueda: 1) ayudar a una mejor investigación; 2) favorecer en la búsque­da actual de una posible introducción en la enseñanza, la concretización de los vínculos matemática-geografía.

Se ha demostrado que es posible, con una organización escolar adecuada (y especialmen­te una formación de los maestros y de estruc­turas concertadas), y a partir de investigacio­nes, experiencias serias —de las cuales nuestras primitivas investigaciones no son más que el comienzo- crear en el alumno comportamien­tos interdisciplinarios.

2 El modo de formación de los conceptos en el curso del desarrollo de la inteligencia, (psi-

tos.— No se puede actuar sino sobre un

de experiencia suficientemente rico: ayudemos en primer término, a nuestros alumnos a cono­cer el mundo que nos rodea; algunos han visto, mazos de naipes, o juegos de domi­nó, o planos de edificios, o calculadoras, etc.

— Los programas son muy a menudo linea­les, contrariamente a la manera de funcionar nuestro espíritu. ¿Por qué no servirse más que de resultados previamente demostrados? Por ejemplo, se puede colocar con provecho en manos de un alumno de las clases superiores un manual de ingeniero.

- Sepamos, en fin, explotar los intereses, pasajeros o duraderos de nuestros alumnos: interés por los mensajes secretos (códigos, pri­mera etapa hacia un formalismo bien entendi­do), gusto por los viajes (se podrá trabajar sobre horarios de aviones), .escuchar la radio (donde se pueden explotar los porcentajes, es­pecialmente en una lucha electoral), interés por el deporte, etc.

lidad?campoEn el segundo tiempo de la discusión, la

asistencia fue muy reducida. Hubo un voto sobre la necesidad de elegir un tema bien definido y discutirlo en profundidad. La ma­yoría apoyó el siguiente tema:

-¿Se puede hablar de "modelos embuti­dos" en la matemática? ¿Se debe, en caso afirmativo, examinar la enseñanza de la mate­mática como "un acercamiento de los concep-

niveles diferentes de comprensión y de

cología).El informante se apoya esencialmente sobre

los trabajos de la escuela de Piaget, especial- sobre la noción clásica de operación

nuncamenteconsiderada como forma lógica elemental so­bre la cual se organiza la construcción de

la actividad fundamental de for-conceptos, y mación y de manejo de modelos que esta de moda en el alumno que hace física y matemá­tica. En física, las operaciones fundamenta­les resultan de una sistematización de los

de acción vueltos al objeto, y esas

tos aadquisición? Y, entre otras cosas ¿no se po­dría partir sistemáticamente de evidencias es­pontáneas que los niños intuyen directamente,

introducir la axiomatización más que en nivel superior de elaboración de esas evi-

;■

esquemasoperaciones, traspuestas sobre los objetos, es­tán en la fuente del pensamiento causal. Se dan ejemplos, tomados de la física de los gases y de la ciencia del calor. En matemática, las operaciones reflejan la estructura de coordina­ción de las acciones entre sí y se desarrollan a partir de lo que Piaget denomina "experiencias lógico-matemáticas". Luego de cierto nivel de composición y de integración de las opera- cones, aparece el tipo específico de abs­tracción denominada "abstracción refleja" que corresponde realmente al pensamiento lógico- matemático, reconstruyendo sobre un plano superior lo que se ha tomado de las coordina­ciones de la acción.

La discusión se desarrolló en dos tiempos.

y no-6. La conceptualización física. (F. HALBWACHS).

En su introducción, el animador distingue dos partes:

1. El status y la significación de los concep­tos. (epistemología).

En matemática, las axiomáticas de base in­troducen los conceptos como soportes de transformaciones, y los ■'axiomas ligan a esas transformaciones en una estructura, mediante la cual se constituyen los conceptos. En física,. a pesar de la intervención de la experiencia, tenemos inicialmente esos sistemas de concep­tos, definidos por la estructura de las relacio--

en matemática y en undencias?

La discusión general sobre este tema hizo aparecer un consenso entre los participantes. En particular, el acuerdo se logró sobre la idea de que el rigor en matemática, no sólo tiene una historia, sino que se presenta como un valor relativo y cada vez relativamente justifi­cado. Lo mismo que los sistemas de Euclides, Descartes, Gauss, Hilbert, bien que pertene­ciendo a niveles de rigor diferentes, están justi­ficados cada uno por la racionalidad de su estructura, por la fecundidad de sus desarro­llos matemáticos y por la importancia y la

5., La matemática y la geografía. (J. CHA- BRIER y A. KYCH).

I. Muy breve historia. Antecedentes. Prepara­ción.

El profesor Debrat, de Niza, estima que:El lenguaje de los conjuntos y relaciones

30 31

i

"confiabilidad" de sus aplicaciones, en particu­lar en física, lo mismo se puede concebir, para las diferentes etapas de la educación matemáti­ca, diferentes sistemas, naturalmente sin rela­ción necesaria con las etapas históricas, pero condicionados, en cada nivel de rigor, por las particularidades operatorias y las "intuiciones" que parecen evidentes para los alumnos de ese nivel. Entiéndase bien, nunca se puede ajustar­se del todo a esas intuiciones ni a esos niveles de rigor. Sería necesario hacer en ciertas eta­pas "balanceamientos" lógicos, formando pri­mero los conceptos a partir de intuiciones, y depurándolos luego, poco a poco, para llevar-

y reu­nirlos entonces en la base del sistema median­te una axiomatización que los haría pasar nivel superior de rigor.

del cráneo humano sobre una población de edad y talla variables.

Señalaremos algunos de los objetivos perse­guidos:

Pocos participantes habían usado calcula­doras en clase, o en un club de matemática. Había, pues, mucho pedido de informaciones. Existía claramente la voluntad de profundizar el tema, pero para ello se requería trabajar en el tiempo.

Muchos participantes pidieron la creaciónde una Comisión de Informática en la A.P.M.E.P. para recoger informaciones, y difundirlas, so­bre las investigaciones en curso, los materiales más adecuados y las perspectivas de uso de las calculadoras.

Se llegó a las sugientes conclusiones:a) en la enseñanza primaria: ganancia de

tiempo en los cálculos y mejor comprensión de la noción de operación;

b) en el primer ciclo: una búsqueda de un organización adecuada de los cálculos, la nece­sidad de analizar con más finura los problemas planteados; el hecho de que la máquina no conocía la división euclidiana;

c) en el segundo cilo: búsqueda de los al­goritmos más adecuados para la resolución de los problemas planteados;

d) en la formación continua: podemos per­mitirnos abordar cuestiones que algunos adul­tos no osarían examinar a causa de los pesa­dos cálculos. Los adultos pasan del comporta­miento aritmético (sólo interés por el resulta­do) a un comportamiento que privilegia el camino a seguir y las operaciones a efectuar, para resolver un problema. Las máquinas per­miten mostrar la "reversibilidad” de la división y la multiplicación, de la exponenciación y la extracción de raíces.

El subgrupo que se ocupó de las calculado­ras programables, se propuso analizar el com­portamiento de los alumnos cuando se intro-' ducen esas máquinas en la clase. Sus caracte­rísticas son las siguientes: relativa maniobrabi- lidad, permitiendo su transporte de una clase a otra, utilidad de la impresión para conservar las trazas de los programas desarrollados y su análisis ulterior, un lector de cartas grafitadas o perforadas.

El comportamiento de los alumnos puede estudiarse bajo dos aspectos:

En el plano psicológico, la máquina se con­vierte en árbitro o juez, aceptado como impar- cial; pero también es una herramienta, sobre la cual el alumno tiene un poder de acción; se siente "responsable".

En el plano pedagógico, el alumno debe analizar a fondo su problema y "organizar" su

solución, construir el organigrama, luego el programa que, cualesquiera sean los datos, le permitirá resolver clases de problemas semejan-

- La interdisciplinaridad es posible y desea­ble en temas distintos de la estadística.

— Crítica y armonización del lenguaje los especialistas.- Uso, por los biólogos, de modelos

tes.El profesor se convierte entonces en anima­

dor, lo que le obligará a una estricta organiza­ción previsora del curso: actividades de los grupos sobre temas parecidos, rotación de los equipos en la máquina, y apreciación de los resultados; las correcciones, las indicaciones, las solicitudes serán numerosas e ineludibles.

¿Será una nueva concepción del papel del docente? Seguramente. ¿Mejor motivación de los alumnos? Ciertamente.

Serán necesarias investigaciones y numero­sas experimentaciones antes de generalizar el empleo de calculadoras. Será preciso también confrontar nuestros resultados y señalar nues­tras dificultades. Pero el interés de los alum­nos y los resultados obtenidos nos han con­vencido de que debe continuarse esa senda y buscar los medios y los métodos necesarios.

de

con-juntistas que permitan formalizar más rigurosa­mente los resultados experimentales.

- Ordenes de magnitud y aproximaciones.- Estudios de la marcha matemática de

alumno: a) durante un curso de b) fuera del curso de matemática.

Se presentaron algunos proyectos.- Uso del campo vectorial por los biólogos.- Estudio de las "funciones hormonales":

¿cómo formalizarlas mediante las matemáticas?

unmatemática;los a un status superior de abstracción

a un

7. Matemática y biología. (R. GUYOT THOZET).

estructuras

- Intervención simultánea de profesores matemática y de biología en la clase.

—Se puede estructurar las poblaciones gra­cias a la matemática, pero ¿son operatorias esas estructuras?

— Estudio formal del estado de de evolución de

V B.

deI. Objetivos del grupo.Treinta participantes iniciales, repartidos en

dos subgrupos cuando se precisaron los objeti­vos. Se trataba de proseguir y precisar lo co­menzado en las Jornadas de Orléans de 1975:

1) Inventario y análisis de las diversas ex­periencias en las que los participantes intenta­ban:

— desarrollar los objetivos de la ción disciplinaría;- estudiar el impacto de las actividades so­

bre los alumnos y sobre2) Proponer temas de

tuales trabajos posteriores.

9. Club matemático. (J. FROMENTIN).Sólo tres de los participantes animaban un

club matemático en donde se ocupaban de jue­gos matemáticos. Cuando ellos manifestaron lo que hacían, se notó la falta de material y la necesidad de exponer ¡deas. No se trataba de hacer una lista exhaustiva de juegos ni de exponer la manera de usarlos.

El informe resultante de la labor es el si­guiente:

equilibrioun medio ecológico.

8. Las calculadoras. (R. otros).

HEBENSTREIT yconcerta-

Luego de historiar la introducción y el uso experimental de las calculadoras en la enseñan­za de la matemática en los últimos doce años y para suscitar una discusión sobre el tamiento de los alumnos, se proyectaron dos filmes, uno, realizado en Marsella en una clase experimental de tercer año, que "integraba" el programa de álgebra con el uso de úna P 101 Olivetti; y el otro, realizado

sus profesores, estudios para even-

compor- /. Clubes matemáticos, primer y segundo ci-II. Acción en el segundo ciclo.

Anotemos el escaso número de experiencias descritas por los participantes, en su mayoría de escasa duración, y cada una sobre un tema bien determinado:

- Estudio estadístico de i.% lar y análisis de los resultados.

— Introducción y explotación de la noción de espacio vectorial con referencia a las racio­nes alimentarias repartidas en glúcidos, lípidos,prótidos y agua (bajo la forma de banda dibu­jada).

do.Para las actividades de un club matemático,

es necesario distinguir los dos ciclos de la segunda enseñanza. Efectivamente, si en el se­gundo ciclo los alumnos usan fácilmente la tiza y el papel para examinar estrategias, para buscar soluciones, para enumerarlas, si se pue­de también llevar bastante lejos el análisis de ciertos juegos, no se lo debe hacer en el pri­mer ciclo (en general). Los alumnos están to­davía en estado manipulatorio y expresan difí­cilmente las reglas, las tácticas que han halla­do. Por ejemplo, hay pocos que toman papel y lápiz para buscar el número de pentaminos diferentes que se pueden construir. Por lo con­trario, si se les propone un número suficiente de pequeños cuadrados en placa o en cartón, entonces, los reunirán y hallarán 12 pentami­nos.

en Rennes, en una clase de segundo año, en donde los alum­nos habían adquirido los rudimentos de pro­gramación, trabajando durante cuatro horas, también en una P 101.

Los participantes plantearon

numeración globu-

preguntas cu­yas respuestas corresponden al futuro. ¿Cómo organizar en una clase de 30 alumnos los tra­bajos de grupo y los pasajes de la máquina? ¿Qué motivación suplementaria crea la nueva herramienta pedagógica? ¿Qué enriquecimien­to pedagógico aporta la máquina para la com­prensión y la articulación de las etapas del razonamiento y del análisis de las soluciones?¿Qué lugar asignar a la construcción de algo­ritmos?

- Enunciado de problemas de cuyo tema es la genética.

— Uso del lenguaje conjuntista en genética, poblaciones, reflexiones sobre "clasificación" y relación de equivalencia, etc.

- Estudio estadístico de

matemática

ilas dimensiones

3233

¿¡son

Otro ejemplo: para hacerles formar un cua­drado mágico de orden 3, es necesario propor­cionarles sea fichas numeradas de 1 a 9 y un cuadrado de 3x3; sea nueve cartas de juego, incluidos el as, el 2,..., el 9.

En el primer ciclo se requiere mucho mate-

rialar que en un club no es un deshonor no hallar una solución.

El club crea otras relaciones entre docentes y alumnos, y los alumnos lo sienten realmen­te. El club matemático agranda el abanico de las actividades matemáticas en la escuela.

ORIENTACION

nueva lógicanal.

Willard QUINE (EE.UU.)

IV. Creación de un club matemático.Para crear un club es necesario:Disponer de cierta documentación relativa a

juegos matemáticos, libros, revistas, etc.— Disponer de algún lugar para procurarse

libros, juegos, o bien poder fabricarse los jue­gos que se encuentran, o no, en el comercio.

- Vencer la reticencia de los alumnos que creen que todavía tendrán que sufrir otro cur­so de matemática. La experiencia ha mostrado* que los alumnos desconfían enormemente de la expresión "club de juegos matemáticos".V. Ser animador de un club.

II. Clubes matemáticos y matemáticas escola­res.

razonaban libremente sin reparar en la falta de adecuación teórica de la lógica formal de la época o, por lo menos, sin ocuparse de refor­marla o extenderla. Acaso ya se habían acos­tumbrado a no pensar en la lógica cuando se trataba de razonar realmente.

Durante el último siglo, la lógica evolucio­nó tanto que puede considerársela como una ciencia nueva. Generalmente se estima que es­ta evolución comenzó a mediados del siglo pasado con las investigaciones, aún rudimen­tarias, del matemático George Boole. Pero ya antes, por ejemplo en los trabajos de Leibniz, habían aparecido anticipaciones de estos

desarrollos. No obstante, la nueva lógica evolucionó en forma continuada tan sólo a partir de Boole, y lo hizo a través de las investigaciones de los alemanes Frege y Schró- der, del norteamericano Charles Peirce y del italiano Peano, alcanzando un grado de madu­rez apreciable en 1911-12 con la publicación de la monumental obra en tres volúmenes Principia Mathematica, de los ingleses White- head y Russell.

La lógica antigua es, en relatíión con la nueva lógica, un fragmento precientífico de la misma disciplina. Para decirlo con las palabras de Whitehead: "En el desarrollo moderno de la lógica, la lógica aristotélica tradicional se

simplificación del proble-

Algunos participantes pensaron en usar los. juegos matemáticos en sus clases. Es posible, en efecto. Pero lo que resulta inimaginable, es hacer del club un

i

curso complementario y suplementario de matemática. Los alumnos de­ben concurrir libremente al club, por el placer del juego. Un club matemático debe lugar y un momento en donde los alumnos puedan actuar sin cortapisas tomarse el tiempo debido para reflexionar, dejar correr su imagi­nación, hacer experiencias.

El animador puede incitar, animar a los alumnos, aconsejarlo si éstos se lo piden, pero en ningún caso puede obligar a un alumno a trabajar sobre un juego. El uso de un juego para hacer pasar una noción matemática de resorte del club.

Y ¿por qué no se prosiguió así? La necesi­dad de reexaminar las técnicas de la deducción se hizo patente principalmente en la propia matemática, como veremos en seguida.

Los matemáticos estaban tan ocupados con raciocinios y descubrimientos sobre núme­

ros» funciones y otros entes matemáticos, que no tenían tiempo de razonar sobre el racioci­nio mismo. Pero el progreso de la matemática llegó a un punto tal que los métodos deducti­vos empezaron a desempeñar un papel, y a requerir un estudio especial. Así ocurrió, prin­cipalmente, con la aparición de los infinitos de orden superior.

El alemán Georg Cantor fue quien descu­brió, a fines del siglo XIX, que hay varios grados de infinitud. Puede ocurrir que dos clases sean infinitas y que, sin embargo, una de ellas sea mayor que la otra. Fue preciso

los números infinitos además de los

ser unnue­

vos

¡

Muchas cuestiones, a menudo contradicto- * rías, se plantean al docente que quiere un club (no necesariamente matemático).

— Todos los sindicatos de docentes protes­tan por la sobrecarga de trabajo; ¿entonces?

- Animar además un club es verdaderamen­te dar una cuerda para hacerse prendar.

- Y animar benévolamente un club, es en verdad, correr al suicidio.

"Meditad sobre lo dicho si decidís formar un club". Pero para alimentar vuestra meditación, se podría decir: si se espera reunir todas las condiciones necesarias para hacer algo, no se hará nada y eso sería muy triste.

Además, los clubes matemáticos

susicrear

no es

III. ¿Por qué un club?

El juego es un modo de expresión de su personalidad.

— Algunos quieren, por el juego, medirse con otros, y prefieren los "duelos", los juegos de dos (ajedrez, dama, juego de Nim).

— Otros prefieren el trabajo solitario. Quie­ren obtener éxito donde nadie lo ha obtenido todavía (en el ámbito del club, por supuesto); (solitarios, pentaminos, etc.).

— Otros quieren probarse que no son "más bestias que los demás", obteniendo éxito don­de lo lograron sus compañeros.

— Otros buscarán actividades artísticas (pa­vimentos, frisos; etc.).

En todos los casos, el juego despierta al espíritu, da gusto por la investigación, desarro­lla el sentido del razonamiento, hace aceptar libremente el esfuerzo.

Hay que señalar también que no son preci­samente los buenos, los dotados en matemá­tica, los más adeptos al club. Alumnos de primer y segundo años con dificultades escola­res, concurren regularmente al club y se com­portan tan bien como sus camaradas de las clases denominadas "normales". Es preciso se-

presenta como unaentero que el asunto comporta. Al respec­

to existe una analogía con la aritmética de las tribus primitivas comparada con la matemática moderna"1!

La lógica formal de Aristóteles, constituida sobre todo por la teoría del silogismo, sobrevi­vió a la Edad Media sin sufrir cambios ni progresos importantes. Aun en la segunda mi­tad del siglo XVIII, Kant pudo hablar de la lógica formal como de una ciencia que ya se había perfeccionado, que ya había sido com­pletada dos mil años atrás. Mientras tanto, los hombres solían efectuar fructíferos raciocinios deductivos en modo poco relacionado con los raciocinios que estudiaba la lógica existente. De esta manera se realizaron, en particular, los grandes progresos de la matemática. Con todo, los matemáticos, y los hombres, en general,

maaceptarusuales, para medir los distintos tamaños de las clases infinitas. Cantor mostró que el con­junto de los números infinitos también es infi­nito y que lo es en un grado de infinitud superior a la infinidad medida por cualquiera de los números infinitos.

Esta teoría contiene muchos resultados ex­traños. Por ejemplo, Cantor demuestra que la cantidad de números enteros no es mayor que la cantidad de números pares; y que la canti­dad de números enteros y fraccionarios no es mayor que la de los simples números enteros; pero que, en cambio, la cantidad de números reales es mayor que la cantidad de números enteros. El tipo de raciocinio que depende de

' la "intuición" o del "buen sentido", tan usual en matemática, falla en este estudio de los infinitos de grado superior. La facultad imagi-

o no, en­tran dentro del marco de las actividades socio- educativas, y se puede crear en todo estableci­miento. El tiempo empleado por los animado­res es retribuido en parte, bajo la forma de horas de actividades dirigidas. Basta que el jefe del establecimiento haga el pedido a la inspec­ción académica.Otras actividades de las jornadas.

Funcionaron muchas

I

otras comisiones en estas jornadas. No proporcionamos sus conclu­siones, sea por carecer de ellas, se a sea por referir-

aspectos particulares de la enseñanza fran­cesa. Indicaremos empero, algunas de las que trabajaron para dar una idea del esfuerzo de los profesores franceses de matemática y del empeño que ponen para el mejoramiento de su quehacer educativo, indicando también el

Whitehead prefacio a System of Logistic(sigue en página 40) 3534

nativa se torna inútil cuando se va más allá de los números finitos y de las clases finitas o, en todo caso, más allá del primer grado de infini­tud. Para explorar el océano descubierto f Cantor es preciso proceder por navegación a ciegas, fundándose tan sólo en el uso riguroso de reglas válidas de deducción y aceptando consecuencias2. En este sentido, después de Cantor, las técnicas de la lógica moderna han demostrado ser un instrumento útil de investi­gación en manos, por ejemplo, del alemán Lówenheim, del noruego Skolem o del austría­co Gódel.

Un motivo aun más imperativo para una indagación lógica de esta naturaleza surgió a comienzos de este siglo, con el descubrimiento hecho por el lógico inglés Bertrand Russell, de que los principios del raciocinio que se em­plean tácitamente en matemática, y tal vez fuera de ella, son capaces de envolvernos en contradicciones. Este descubrimiento precipitó una crisis. Los principios de la lógica deducti­va tuvieron que formularse explícita y cuida­dosamente, así como también someterse a una revisión, para que la matemática en general estuviese bien fundada.

Esas contradicciones o paradojas son curio­sas y entretenidas. Una contradicción caracte­rística es la que implica la noción de denota­ción, en el sentido en que el adjetivo 'huma­no' denota a todo hombre, el adjetivo 'verde' a toda cosa verde, el adjetivo 'largo' a toda * cosa larga, y así sucesivamente. Llamemos he- teró/ogo a todo adjetivo que no se denota a sí mismo. Por ejemplo, el adjetivo 'largo'3 es heterólogo porque no se denota a sí mismo, es decir, no es largo. El adjetivo'inglés'es heterólo­go porque no es inglés sino castellano. El adjetivo 'monosílabo' es heterólogo porque no es monosí­labo sino pentasílabo. En cambio, el adjetivo 'corto' no es heterólogo, porque se denota a sí mismo: es corto. El adjetivo 'portugués' heterólogo porque es un adjetivo portugués. El adjetivo 'pentasílabo" no es heterólogo, por­que es pentasílabo. La paradoja surge cuando preguntamos si’el propio adjetivo 'heterólogo' es heterólogo. Es heterólogo sí, y solamente si

se denota a sí mismo, es decir, si, y sola­mente si no es heterólogo.

matemática continúan hasta la fecha. Y, como son reducibles, a su vez, a tres: una, queya lo hemos dicho, el descubrimiento de las corresponde a la palabra 'ni'; otra, a la palabra

'es', y la tercera a la palabra 'todo', con el añadido de un sistema de pronombres. Así, to­do enunciado de la matemática se convierte, según estas reducciones, en la mera abreviatura de un enunciado puramente lógico, escrito ex­clusivamente en términos de las tres nociones mencionadas, sin ningún otro agregado.

No disminuimos la importancia teórica de esta' reducción cuando mencionamos que el teorema '2 + 2 = 4', escrito en términos de ese pequeño vocabulario lógico, se desarrollaría

alcanzar varios metros de longitud, y que el teorema del binomio se prolongaría de polo a polo. Sin embargo, queda entendido que toda ley matemática es la abreviatura de

ley lógica. La matemática pura es reduci- ble a la lógica.

La nueva lógica ya se ha integrado en el de la teoría matemática, no sólo como

paradojas hizo imperativo el resurgimiento de la lógica.

Otro motivo de este resurgimiento se halla en el esfuerzo por basar ciertas ¡deas dudosas de la matemática sobre otras, más claras. El advenimiento de una teoría heterodoxa de los números infinitos provocaría, desde luego, una tentativa de definir la noción de número en general, y la noción de infinito, sobre la base de otras nociones más fundamentales. En ma­temática también había, mucho antes de los números infinitos de .Cantor, otras nociones

hacía necesario aclarar por medio de

por

sus

Pero ¿para qué ocuparnos de esta extraña teoría de los números infinitos? Recordemos a la Liebre de Marzo, de Alicia en el País de las Maravillas, quien le explicó a Alicia que, junto a dos amigos, tomaba el té

hastaque sedefiniciones fundadas en conceptos claros. Una de esas nociones era la de infinitésimo, fundamental en el cálculo diferencial desde los tiempos de Newton y Leibniz. Era una noción absurda: la de un número positivo infinita­mente pequeño y, sin embargo, mayor que cero. Fue Weierstrass quien, en el siglo pasado, eliminó este absurdo y fundó las nociones del cálculo diferencial sobre una base sólida, lla­mada teoría de los límites. Otra noción que se debía aclarar era, naturalmente, la de número iamginario (la raíz cuadrada de un número negativo).

El matemático ya ha conquistado el dere­cho de hablar sin sentido cuando así le plazca, pues, con todo, presta grandes servicios a aquellas ciencias naturales en las que se aplica la matemática. Pero sería interesante, al menos desde el punto de vista filosófico, conferir un sentido a tales nociones y comprender el con­tenido de la matemática. Esto podría ser de utilidad hasta para el propio matemático.

de esta especie, que se pro-

constante­mente porque siempre eran las seis, hora que indicaba su reloj en el momento de descompo­nerse; y que la mesa estaba tendida con varios cubiertos para que pudiesen cambiar de lugar después de cada té. Pero cuando Alicia le preguntó qué hacían al completar la vuelta a la mesa, la Liebre se quejó de que la estaba poniendo aburrida. El matemático . vuelve sus espaldas a los números infinitos procede igual que la Liebre de Marzo. Tene­mos que ocuparnos de esta teoría por amor a la coherencia. Cantor estableció su teoría so­bre la base de principios ya aceptados y em­pleados en el desarrollo de otras partes de la matemática, por medio de métodos deductivos igualmente aceptados y empleados. No pode­mos, sin incurrir en contradicción, repudiar la teoría de los números infinitos -por extraña que sea- sin sacrificar al mismo tiempo partes familiares y útiles de la matemática, que parten el mismo fundamento.

Tal vez podamos librarnos de algunas partes de esta teoría sin hacer un sacrificio, y ello podrá hacerse del siguiente modo: acaso poda­mos formular sutilmente los principios funda­mentales de la matemática, así como los méto­dos de deducción, de

una

cuerpobase teórica, en la forma que ya hemos men­cionado, sino también como instrumento prác­tico de investigación dentro de varias ramas especiales de la matemática. Un ejemplo im­portante de esto último es la solución parcial del célebre problema matemático denominado problema del continuo, debida al lógico Kurt Gódel, en el año 1940.

¿Qué es la lógica? ¿De qué trata? En cierto sentido, podemos afirmar que la lógica trata de todo. No en el sentido de que la lógica sea una ciencia universal, que abarque toda otra ciencia y de cuyas leyes puedan deducirse las leyes de cualquier ciencia espe­cial. La lógica no es, en tal sentido, una cien­cia universal; pero sí es una ciencia general, en el sentido de que las verdades lógicas se refie-

objetos cualesquiera. Por ejemplo, la

cosa seque

no es

no

iEsta paradoja, debida al lógico alemán Kurt

Grelling, no es una paradoja puramente lógica, porque depende de las nociones no lógicas de adjetivo y denotación. Pero la paradoja debida a Russell, con ser puramente lógica, se le pare­ce mucho. Trata de la clase cuyos miembros son exactamente clases que no son miembros de sí mismos. Esta clase es miembro de sí misma si, y solamente si no lo es.

Estas paradojas y otras más complejas son entretenidas, pero también son causa de pro­blemas

com-Un programa

ponga reducir unas a las otras las nociones matemáticas con vistas a una mayor claridad, no parece depender del desarrollo de una nue­va lógica. Ocurrió, sin embargo, que el análisis matemático siguió dependiendo del uso y de la comprensión cada vez más precisa de las nociones auxiliares del tipo de las que prepon­deran en los principios de la lógica misma: las nociones de clase, de relación, y las que co­rresponden a las palabras 'si:, 'entonces', 'no', 'y', 'es', 'todo', 'algunos', y varias otras. Lo más sorprendente es que todas las nociones matemáticas resultaron no sólo reducibles a

de ellas, sino también, y por comple- nociones lógicas auxiliares. Además

descubrió que las últimas

ren averdad lógica que dice que todo objeto es idéntico a sí mismo, se aplica de una vez por todas a todos los objetos estudiados por cual-

- quier ciencia.Por lo tanto no podemos decir que la lógi­

ca incluye a las demás ciencias, pero sí que está incluida en todas las otras ciencias, de .

que forma la parte común a ellas. Lo qué afirma la lógica es aquéllo que se puede afirmar sobre los objetos de cualquier ciencia. La lógica es, como lo sugiriera Tarski, el co­mún denominador de las ciencias especiales.

La caracterización que acabamos de dar del dominio de la lógica deja mucho que desear en cuanto a precisión y expücitez. Además, no

manera que sean sufi­cientes para las teorías matemáticas familiares y útiles, pero no para las partes más exóticas de la teoría cantoriana. Vemos que, aun para alejarnos de la aritmética infinita, tornar explícitos los métodos deductivos tudiarlos intensamente.

manera

es preciso muy serios. Sus repercusiones en lay es-

Empleo comillas simples para formar el nombre de una palabra u otra expresión. La expresión formada por las comillas simples designa la expresión que encie­rran las comillas.

algunas to, a las de esto se

2Cf. Whitehead, On cardinal numbers, p. 367.

3637

ciencia en cuestión. El único método que conozco para delimitar aquella clase __ verdades a la que pertenece como miembro típico el enunciado 'Sócrates es hombre es hombre', es el método según el cual deci­mos que sólo el vocabulario lógico figura cialmente en aquel enunciado; pero esto no quiere decir que Sócrates es o no es un hom­bre porque se adoptaron ciertas convenciones

ofrece, en verdad, ninguna indicación acerca de los propósitos de la lógica, ni sobre el tipo de leyes y problemas de que se ocupan los lógicos; pues, ciertamente, el ejemplo "todo objeto es idéntico a sí mismo" es demasiado simple y trivial para ser representativo.

Es fácil, sin embargo, fijar una distinción entre las verdades lógicas y otros enunciados verdaderos, si nos referimos nuevamente al "vocabulario lógico" consistente en las pala bras fundamentales 'es', 'no', 'y', 'o', 'si', 'ni', 'algún', 'todo', etc., que a su vez se reducen, como ya se mencionó, a unas pocas. Un enun­ciado es lógicamente verdadero si las palabras del vocabulario lógico se hallan dispuestas en el enunciado de manera tal que sea verdadero independientemente de sus demás ingredientes. Tomemos el ejemplo clásico:

(1) Si todo hombre es mortal, y si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es moral.

claro viene en las ciencias naturales sólo de manera tácita y bastante rudimentaria. Ha desempe­ñado un papel por lo menos tan secundario

el que desempeñó la aritmética en la

cuando muchas yeces la demostración no hu­biese sido descubierta); (b) toda demostración, una vez descubierta, podría legitimarse mecá­nicamente, sin ir más allá de las representacio­nes gráficas de los enunciados. La formulación abarcaría la verdad matemática en general, de­bido a la reducción de la matemática a la lógica.

Pero el lógico austríaco Kurt Gódel demos­tró en 1931 que este programa es imposible: que (a) y (b) son incompatibles. Demostró que no puede existir una sistematización cohe­rente dentro de la cual todo enunciado verda­dero de la matemática, o aun de la aritmética elemental, sea demostrable. Dada una sistema­tización cualquiera de la lógica, habrá verdades lógicas y auri aritméticas demostrablemente in­demostrables. Es éste un resultado paradójico de importancia crucial para la filosofía de la matemática, pues contradice la ¡dea de que la verdad matemática o lógica consiste precisa­mente en la posibilidad de su demostración.

De la noción de verdad lógica sólo nos que­da la definición anterior, en términos de ver­dad general. No podemos sustituir esta defini­ción por reglas de demostración. Pero la for­mulación de las reglas de demostración conser­va toda su importancia, pues sólo mediante los métodos de demostración, por incompletos que ellos sean, sigue siendo posible revelar verdades lógicas o matemáticas que no todavía evidentes. En la medida en que las técnicas de la nueva lógica son útiles, su for­mulación rigurosa es deseable.

Consideremos, por último, el papel de la lógica en las ciencias naturales. "La lógica en­cuentra su uso práctico en las inferencias cu­yas premisas y consecuencias no son verdades lógicas. La lógica permite efectuar tales infe­rencias cuando el enunciado 'Si —entonces—', que liga la premisa con la consecuencia, es una verdad lógica (como la (a) que se vió más arriba). Lo mismo vale para el uso práctico de la matemática en general; la prodigiosa utili­dad de las técnicas matemáticas en las ciencias naturales depende, simplemente, del hecho de que se pueden reconocer verdades matemáticas de la forma 'Si -entonces-', cuyos compo­nentes son enunciados de las ciencias natura­les"5.

La lógica a diferencia de las partes numé- matemática, tradicionalmente inter­

dei

o no comoépoca de la numeración romana. Pero el papel de la lógica en las ciencias promete ser muy otro después de la esquematización de la lógi­ca en el espíritu de la matemática moderna.

Antes, cuando no preponderaba el número, la técnica era generalmente deficiente. Por es­to el progreso de las ciencias naturales depen­dió siempre del discernimiento de cantidades mensurables de una especie u otra. La medi­ción, tanto en la física como en cualquier otra ciencia, consiste en establecer una correspon­dencia entre los objetos de la ciencia en cues­tión y la serie de los números. Estas corres­pondencias son recomendables porque en cuanto se las establece, se dispone de la avan­zada teoría matemática de los números, como instrumento para el razonamiento posterior.

Así y todo, ninguna ciencia puede reposar por entero sobre la medición, y muchas inves­tigaciones científicas caen fuera de ese méto­do. En los problemas científicos en que la medición no es importante, las técnicas que proveen las partes numéricas de la matemática son inútiles; o nos dirigimos hacia aquellos capítulos de la matemática menos conocidos y desarrollados que tratan de asuntos no numéri-

-por ejemplo, las relaciones—, o procede-

esen*

que regulan el uso de las palabras 'es', 'o' y 'no'. Por el contrario, ya he expresado mi duda de que la tesis del convencionalismo tenga algún significado4.

Mi delimitación de la verdad lógica depende de la noción de "figurar esencialmente", cuya definición depende explícitamente, a su vez, de la distinción general entre verdad y false­dad. Así, aun cuando aquella delimitación de la verdad lógica sólo parece tratar de los enun­ciados y de las palabras que figuran en ellos, no depende solamente de los rasgos gráficos, de los enunciados; porque la verdad en general no es semejante rasgo de un enunciado. En general, no podemos saber si un enunciado es verdadero, ni si una palabra figura en él esen­cial o accidentalmente, con sólo indagar el enunciado, prescindiendo del mundo objetivo.

Pero si pudiéramos formular un criterio de verdad lógica únicamente en los términos de las figuras gráficas de los enunciados, tendría­mos

.!

Este enunciado es verdadero, y lo es inde­pendientemente de los ingredientes 'hombre', 'mortal' y 'Sócrates'; ninguna sustitución de

estas palabras puede tornarlo falso. Tan sólo las palabras 'si', 'todo', 'es', 'y', y 'entonces', pertenecientes al vocabulario lógico, figuran esencialmente en el enunciado, es decir, en forma tal que la sustitución de estas palabras por otras expresiones (por ejemplo, 'todo', por 'ningún', 'es' por 'no es' e 'y' por 'o') puede hacer que el enunciado sea falso. En suma, un enunciado es lógicamente verdadero si sólo las palabras del vocabulario lógico figuran cialmente en el enunciado.

Quiero destacar el hecho de que aún no he propuesto filosofía alguna, y ninguna gnoseo- logía convencionalista, según la cual las verda­des lógicas serían establecidas por convencio­nes arbitrarias que rijan el uso del lenguaje. Una descripción análoga a mi descripción de la verdad lógica también serviría, por ejemplo, para la verdad química: verdad química es todo enunciado en que sólo figura esencial-

. mente el vocabulario químico, suponiendo que este vocabulario haya sido estipulado ^ terioridad. Pero nadie concluiría que las des de la química se establecen

son eosmos con ayuda del simple sentido común.

Entre los capítulos no numéricos de la teo­ría matemática que resultaría útiles para las ciencias naturales, acaso el más conocido sea el de la teoría de los grupos. Cuando conside-

conjunto de movimientos o de otras operaciones, la teoría de los grupos nos provee de una técnica sistemática para tratar los efec­tos de la aplicación sucesiva de esas operacio-

. Sin embargo, tales técnicas no numéricas acuden muy rara vez en auxilio del hombre de

una descripción de la verdad lógica que no haría uso de la noción de figurar esencial­mente ni dependería de la noción general de verdad. El valor práctico del criterio procura­do sería el de guiarnos prácticamente en el descubrimiento y reconocimiento de verdades en el dominio de la lógica.

Claro está, no podríamos pretender alcan­zar ningún criterio de verdad química, por ejemplo, en términos de signos gráficos. Pero narece que la verdad lógica, en particular, se presta a ser determinada mediante un criterio de tal naturaleza, ya que toda vez que en la práctica reconocemos la verdad lógica, lo hace­mos inspeccionando únicamente el enunciado mismo y quizá ciertas expresiones relacionadas con él/

esen-

! ramos un

nes

ciencia.Es en este punto donde acaso reslte más

provechosa la nueva lógica matemática al hom­bre de ciencia. Al científico ansioso por mane­jar técnicas no cuantitativas, la lógica matemá­tica le ofrece auxilio de dos maneras: le sumi­nistra técnicas explícitas para la manipulación de los componentes más sencillos del lenguaje y una base clara y sistemática sobre la cual pueden construirse futuras teorías apropiadas a las necesidades científicas especiales que sur­jan de cuando en cuando.

con an- verda-

meramentepor convenciones arbitrarias del lenguaje. En general, el recurso de apelar a una lista de palabras y a la- noción semántica de figurar esencialmente, para trazar los límites de ciencia cualquiera, nada implica por qué son verdaderos los

El criterio en cuestión consistiría en una formulación estricta del concepto de demos­tración lógica, sujeto a las dos condiciones siguientes: (a) toda verdad lógica —ninguna falsedad- ricas de launa tendría una demostración (aunrespecto de

enunciados de la5 De mi libro Mathematical Logic

4 En mi ensayo "Truth by Convention"3938

iEl interés principal de la nueva lógica es,

con todo, teórico. Esta ciencia, al abarcar las raíces de la matemática, constituye el medio para investigar la naturaleza de la matemática en general. Más aún, la significación filosófica

(Viene de la pág. 20)

de los nuevos desarrollos lógicos no se limita a la filosofía de la matemática; toca cuestiones centrales de la filosofía, tales como los proble­mas de la necesidad y de la posibilidad, cuestiones de índole ontológica, tales '¿Qué existe? ' y '¿Qué es lo real? .

LOS METODOSy aun como

í

dentro del orden de aproximación consentido por nuestros más delicados medios de observa­ción. Estos alcanzan un grado de exactitud muy alto en relación con triángulos que tienen como base el eje mayor de la órbita terrestre (300 millones de kilómetros) y los otros dos lados cien mil

comportamientos heurísticosordinario otros espacios intuitivos Desde el punto de vista de la

superiores, teoría del

conocimiento la.fomación psicológica de aquél aparece ahora como un desarrollo no determi­nado exclusivamente

N. BALACHEFF (Francia)por las experiencias ele­

mentales en que fueron asociadas las imágenes sensibles.veces mayores, para los cuales

todavía se halla que la suma de los ángulos difieren de 2 rectos en menos de 0", 1.

El resultado de las observaciones y de la experiencias autoriza, por tanto, prácticamente la geometría que procede de la intuición; pero teóricamente queda siempre la duda, que po­dría ser resuelta en sentido contrario a la hipótesis intuitiva eucl¡diana no podrá nuncaresolverse con una comprobación absoluta de éste.

El hombre siempre deseó aclarar los meca­nismos propios del descubrimiento, la inven­ción y las leyes que guían al espíritu investigación. De todos los problemas provoca­dos por esta actividad nos parece que el más importante es hoy el de la elección de un método.

sobre la elección del método: "Es hora de avanzar más adelante y de ver qué pasa en el alma misma del matemático. Para ello, creo haber hecho lo mejor que se puede hacer, es decir recurrir a mis recuerdos personales."

Dejemos que Piaget critique a la intros­pección: "Cada uno cree poseer una intros­pección adecuada de sus propias operaciones intelectuales. Ahora bien, estando dicha intros­pección ligada a los hábitos verbales y a las nociones socialmente adquiridas, ha conducido naturalmente a considerar como suficientes las descripciones de los mecanismos del pensa­miento debidas a los filósofos y a la lógica casica."

Señalaremos que los autores de tales estu­dios eran conscientes de las críticas posibles por la elección de ese método y, sea como Hadamard, justificando dicha elección, sea co­mo Poincaré, no encontrándola tan mala dado que: "Había escrito las principales partes de mi conferencia cuando-se publicaron los resul­tados de esa encuesta (sobre los métodos de trabajos de los matemáticos) me limitaré a decir que la mayoría de los testimonios confirman mis conclusiones".

La introspección tiene en su activo los comienzos de la escuela del "Problem sol— ving". Efectivamente, por este método, Polya. analiza la resolución de problemas. La redac­ción de ¿Cómo plantear y resolver un proble­ma? resulta de "un largo y serio estudio de los métodos de resolución" y Polya agrega más adelante que "se permite señalar que po­see cierta experiencia en la resolución de pro­blemas y en la enseñanza de la matemática en niveles diversos". Polya no aclara más sobre su estudio de los métodos de resolución, pero la segunda frase nos permite acercarla a la intros­pección. Es notable que sus resultados sean los más directamente utilizables por el pedagogo.

Hay, pues, en los postulados algo de arbi­trario respecto a los datos físicos, que datos más precisos podrían modificar. Pero hay, más, también algo de arbitrario que distingue nuestra representación conceptual de espacio de otras posibles que, no pudiendo ser diferen­ciadas por experiencias repetidas, deben condi- derarse físicamente equivalentes.

Esto resulta claramente de la geometría no arquimediana ya que la cuestión de la existen­cia de un infinitésimo actual no tiene propia-, mente sentido físico, trascendiendo los domi­nios de toda medida real, por aproximada que sea.

en una

ade-

La introspecciónEntre todas las respuestas, la primera que

debemos examinar es la de la historia. La más célebre El discurso del Método, nos aclara en su primera parte la elección de Descartes: "Mi deseo no es examinar aquí el método que uno debe seguir para conducir bien su razón, sino sólo hacer ver de que manera he tratado de conducir la mía".

Por introspección es, pues, como se ha abordado esta investigación. También Hada­mard recurre a ese medio en su Ensayo sobre la psicología de la invención en el dominio matemático, y se explica así:

"En esta obra, utilizaré los resultados de la introspección, los únicos de los cuales me sien­to calificado para hablar. En nuestro caso, esos resultados son suficientemente claros co­mo para merecer —así me lo parece— cierto grado de confianza. Los métodos objetivos son aquéllos en que el experimentador es dife­rente del pensador. Observación y pensamien­to, no interfieren, pero, por otra parte, no se obtienen así más que indicaciones indirectas cuya significación no se descifra fácilmente."

Señalemos, sin embargo, que en su obra, además de las referencias a su propia existen­cia, Hadamard se apoya mucho sobre las indi­caciones provenientes de otras introspecciones, particularmente, las de Poincaré, y las de los resultados de la Encuesta sobre los métodos del trabajo de los matemáticos. En la confe­rencia de H. Poincaré figura la frase siguiente

Las reflexiones precedentes iluminan el pro­blema filosófico del espacio y hacen resaltar todo el interés de las investigaciones que tien­den a distinguir la intuición de la y a construir al lado del

(Viene de pág. 33)

experiencia espacio intuitivo

nombre de los animadores de las mismas: los siguientes:

Los porqué en matemática (F. JAULIN MANNONI); Análisis del comportamiento frente a una actividad matemática en el nivel elemental (M. GLAYMANN y otros); Estudio crítico de algunas situaciones propuestas por manuales de matemática del curso preparato­rio (C. HUG y N. HANSEL), El primer ciclo (F. PLUVINAGE y A. VALABREGUE); Aná­lisis del comportamiento frente a una activi­dad matemática en el primer ciclo *(J. CHA- BRIER y otros); Comportamiento en el segun­do ciclo (D. REISZ); Acción — Investigación: actividades corporales y matemáticas (J. SAU- VY); El rigor del profesor de matemática y la notación (M. C. DAUVISIS y otros); Papel de

Son los psicólogos en una investigación pedagógica (E. CAYZINILLE y J. MATHIEU); Introduc­ción de la informática en la segunda enseñanza (Balance y perspectivas) (J. KUNTZMANN); Comportamientos juzgados a través del víncu­lo matemática-economía (D. FREDON); Mate­mática y enseñanza técnica (J. MARMORET y C. PAGANO); Tecnología educativa (G. H. CLOPEAU y otros); Matemática y audiovisual (J. DE LE R VE y otros); La enseñanza de la heurística en la universidad (C. GLAESER y J..MARTINET); Análisis de los comportamien­tos heurísticos (N. BALACHEFF YOUX). y F. RO-

En síntesis, un ambicioso trabajo cuyos re­sultados siempre serán satisfactorios.

i40

41

■!

No obstante, numerosos puntos sobre los com­portamientos heurísticos quedan oscuros; Po- lya aporta un método, elementos para una marcha, pero no aclara la realidad del alumno. Me parece que la razón reside en que los comportamientos del alumno son estudiados en un campo de interpretación que es la reali­dad -o la experiencia- del maestro.

La observación clínica

Esta técnica se cita a menudo en los dimientos actuales de investigado comportamientos heurísticos, pío es el de los trabajos del de Montpellier. Se f .. rinvestigador, se registra el sonido nes durante la búsqueda y se recuperan todos los documentos producidos. Se analiza en se­guida, el conjunto obtenido. La dificultad del análisis es bastante grande debido a la riqueza de las informaciones obtenidas, y es necesario proceder como lo aconseja Glaeser; en todos los casos parece indispensable establecer un vocabulario que permita una descripción del cuerpo obtenido.

Necesidad de un modeloGlaeser subraya que: "La observación

ta más fructuosa cuando se dispone de. délos provisorios destinados a formular las'con­jeturas que el observador habrá de confirmar o rechazar". En efecto, la comprensión de los comportamientos heurísticos no supone sólo que se los sabrá describir (existencia de una axonomía) sino que se vincularán entre sí los diversos componentes. Dicho de otra se podrá tener un modelo del investigador. Ciertamente, no podemos imaginar poseer des­de ahora un modelo completo; sin embargo, es bueno poseer alguno aceptando que evolucio­nará con la investigación. La ausencia de modelo exterior es lo que ha impedido a la instrospección superar a una descripción de los comportamientos. La elección de ese modelo es importante y por ello citaremos tres particulares.

realiza para responder a una cuestión, y para que una cuestión esté bien planteada, es nece­sario poder ubicarla en un conjunto de proble­mas". Piaget subraya así la importancia de la elaboración de una problemática de la investiga­ción.

1) Una parté, sólo una pequeña parte de las características evidentes del STI (Sistema de tratamiento de la información) humano es in­variante en las diferentes tareas (problemas) e investigadores.

2) Esas características son suficientes para determinar que el medio de la tarea está repre­sentado (en el STI) como un espacio-proble­ma, y que la solución ocurre en ese espa­cio-problema.

3) La estructura del medio de la tarea de­termina las estructuras posibles del espacio- problema.

4) La estructura del espacio-problema de­termina los programas que se pueden usar para la resolución.

Newell y Simón reconocen cierto número de omisiones en la elaboración de su teoría de la resolución, por ejemplo, las variables de personalidad y motivación del investigador: "We omit them by reason of qonvictions, not about the ¡mportance or unimportance of the phenomena, but about the order in which theory should develop... A plausible scientific strategy ¡s to put our cognitive models in order before moving these other phenome- na"-(1)

Por otra parte, esta teoría es la generaliza­ción de los resultados obtenidos por la obser­vación clínica de los comportamientos de in­vestigación de los problemas pertenecientes a tres grandes grupos: criptaritmética, lógica, juego de ajedrez. La prosecución de las investi­gaciones de Newell y Simón se hace en el marco teórico citado más arriba, según un proceso de valoración experimental.

Proce-

Un "Crt. eiem-

equipo del |R£Mproblemapropone un

a un y 'as ¡máge- Cellerier nos describe su marcha: "General­

mente, cuando aborda el estudio de una no­ción, Piaget emplea el método histórico-crítico para establecer su estado actual en el pensa­miento adulto; ese estado se constituirá en el sistema de referencia, necesariamente móvil, dado que la ciencia evoluciona, en el cual se desenvolverá a su vez el análisis psicogenéti- co". Se hallará un ejemplo de esta práctica en el plan del artículo de Piaget en la obra citada sobre "Las operaciones intelectuales y su desenvolvimiento ".

i

Los métodos experimentales'Anotemos, como introducción, esta obser­

vación de Olerón: "Las investigaciones expe­rimentales se colocan bien en frente de los comportamientos, por lo menos en nuestros días, en que se ha renunciado a intentar basar las experiencias,____ sobre la introspección".

El objetivo buscado nerales de

es encontrar leyes ge comportamiento; para ello se elabo-

hipótesis específicas del fenómeno estudia­do y se organizan experiencias para testimo niarlos. El experimentador debe adaptarse a la .objetividad del dispositivo? Si las hipótesis no son confirmadas, será necesario modificarlas y someterlas a prueba de nuevo. Hay allí, pues,

¡da y vuelta entre la fase de "construcción de las hipótesis" y la de la "experimentación verificadora". Por lo demás, las hipótesis no podrán ser aceptadas más que si los resultados y las experiencias son reproducibles.

ran

resul- La inteligencia artificial

Prefiero esta designación a la de "Problem Solving" para los trabajos de Newell y Simón sobre la resolución de problemas, deseando reservar "Problem Solving" para las tentativas de enumeración de los procedimientos y méto­dos parecidos a los de Polya. Pienso que ellos van más lejos cuando elaboran en su libro "Human Problem Solving" una teoría de la resolución de problemas Proponen un modelo que debe permitir una mejor comprensión de los comportamientos del investigador (Solver), que proporciona un marco preciso para la des­cripción y la interpretación de los fenómenos. La ¡dea fundamental de Newell y Simón es considerar que el investigador es un sistema de tratamiento de la información. Además, la per­tinencia del modelo que así van a construir, tiene la ventaja de encontrarse en el marco de la informática que proporciona un lenguaje bien determinado y quizás bastante apropiado. La elección del lenguaje para elaborar una teoría es muy importante.

".. .Algunos malentendidos pueden prove­nir del lenguaje que uno se ve llevado a em­plear. Cuando se describen los resultados de

experiencia cualquiera el lenguajematemático empleado no debe prestarse a con­

cusión, en ese sentido es relativamente fácil disociar la forma matemática de las expresio­nes y su contenido psicológico" (Piaget).

La’teoría propuesta por Newell y Simón* puede resumirse en sus grandes líneas, según sus- autores, en las proposiciones siguientes:

mo-

una

manera:

Experimentación clásica Puesta a punto de un

con el objeto de medir « >> fenómeno bien determinado, dor no interviene dur

Por ejemplo, la experimentación del IBHOP de Marsella. Un dispositivo permite ¡luminar delante del sujeto una lámpara roja lámpara verde. La experiencia consiste guntarle cuál será la lámpara iluminad etapa siguiente. El resultado fracasos o éxitos.

material experimental o hacer aparecer un

El experimenta- ante el desarrollo.

ese

casosConclusión

¿Cuáles métodos? Es necesario renunciar a la introspección; análogamente, es necesario renunciar a un análisis basado sobre la expe­riencia personal, incluso si ella es el hecho de un grupo. La suma de varios individuos no puede pretender ser un modelo objetivo. La investigación sobre el modelo teórico o, por lo menos, una reflexión histórico crítica tal como(1) Los omitimos por razón de convicciones, no so­

bre le importancia o falta de importancia de los fenómenos, sino sobre el orden en el cual se desarrollaría la teoría. .. Una plausible estrategia1 científica es ubicar en orden a nuestros modelos cognoscitivos antes de mover esos otros fenóme­nos.

o una en pre- a en la

es *a sucesión deEl modelo es mismo investigador IEn la investigació

modelo n por introspección, el es el mismo investigador que resulta

así: observador, objeto de la observación, po de interpretación. Este tipo de referencia

en las investigaciones "salvajes"

El método de P¡ "Sostuve

agetcam-

conversaciones del tipo d rrogatorios clínicos con el brir algo sobre los procesos de que estuvieran detrás de deras

e los inte- objetivo de desco­

razonamiento las respuestas verda-

y con particular interés por los que ocultaban las respuestas falsas". Se podrán en­contrar ejemplos de esta técnica en muchas obras de Piaget, particularmente en "La géne­sis de las estructuras lógicas elementales".

es frecuenteen las cuales no se ha tomado la precaución de reflexionar previamente para desarrollar el marco de la investigación.

una

Piaget

En la obra de— Fraisse-Piaget, "Tratado de psicología' experimental Vil, La inteligencia se a irma. Una buena, experiencia siempre se42 (Sigue en pág. 46)'

43

ii

:

TECNICAS MODERNAS BIBLIOGRAFIA MYX, André, 6 themes pour 6 semaines, 341 páginas, EDITORIAL CEDIO, Lyon, 1975.

El libro comprende 6 capítulos y 1 anexo dedicados a lógica, conjuntos y representacio­nes; relaciones, operadores no numéricos; or­den y equivalencia; medida y medición; nume­ración, operaciones y operadores; geometría y topología; geometría y otras actividades.

Indiquemos simplemente que el capítulo I aborda las nociones de atributo, emplea simul­táneamente conjuntos, fichas perforadas, intro­duce las nociones de intersección y unión, "y", "o" y la noción de implicación. La no­ción más difícil de esta parte es ciertamente la de implicación. El autor trata con ejemplos que se acepte el "caso difícil" de implicación verdadera con un antecedente falso.

En el capítulo II se considera la noción de relación esencialmente bajo su aspecto dinámi­co de "máquina" aplicada a un conjunto. Se desemboca en el grupo de permutaciones de un conjunto y en la resolución de ecuaciones en un grupo. El autor insiste sobre la impor­tancia de las actividades algebraicas de carácter no numérico .. .que... preparan y ayudan a comprender mejor ciertas actividades algebrai­cas de caráter numérico para las cuales justa­mente el aspecto numérico (técnicas operato­rias) disfraza muy a menudo el método de ra­zonamiento adoptado.

El capítulo III usa situaciones de coloc. ción y pone de evidencia la dualidad entre equivalencia en un conjunto y partición de ese conjunto. Las nociones de orden total y orden parcial son analizadas mediante la investiga­ción de una cadena jerarquizante en el coniun-

Las calculadoras

y la enseñanza secundariaWALTERS A.D. Teaching Mathematics: 8-13, 278 páginas, MACMILLAN EDUCATIONAL, Londres, 1976.-

De los 12 capítulos de este libro, 6 están consagrados a temas generales y los otros 6 a material práctico. El autor se ha esmerado por asegurar que el libro sea útil, y cada capítulo concluye con un sumario de unos 200 térmi­nos y con sugerencias abundantes para futuras lecturas. También hay un glosario y un índice no del todo satisfactorio.

La mayor parte de las opiniones del autor sobre temas generales son irrecusables y se ubican cabalmente en el flujo del pensamiento general. Así, por. ejemplo, está en favor del método del descubrimiento, pero también se­ñala que esto se planifica mejor cuando el maestro tiene en la mente ciertos objetivos. También subraya el método de trabajo con fichas, y aun cuando al final del libro se ad­vierte contra el empleo total de esos métodos, otras veces aboga bastante por el uso al por mayor de fichas y material por el estilo.

Posiblemente esta propensión explique su inclinación por algunos proyectos, el Nuffield por ejemplo, en tanto que otros, como The Schoo/s Mathematics Project, permanecen casi ignorados. En efecto, sólo hay dos referencias

•al SMP (ambos referentes sólo a transforma­ciones geométricas y ninguna de sus publica­ciones es citada en la bibliografía. Hay un.par de menciones de los libros de Fletcher en la

F.C. MICHEL (Bélgica)

Se lo desee o no, la espectacular baja de los precios dejas calculadoras electrónicas, incita­rá cada vez a nuestros alumnos a máquina. Esto establecido debemos profundidad sobre el impacto tener sobre nuestra enseñanza.

Un grupo de profesores se ha preocupado por este problema' luego del último Congreso de la Sociedad Belga de Profe tica (Lieja, 20 de artículo presentamos un cusión.

son conocidas, pero están mal difundidas. Po­cos manuales esculares hablan de ellas y el pro­fesor, en general, no insiste lo suficiente sobre ese tipo de problemas pues en la actualidad, o bien no se piden resultados numéricos, o bien se pide un resultado exacto o por lo con una precisión tal que requiere por escrito. Sera i cho sobre el cálculo de la máquina.

Los resultados dados ñas varían mucho

poseer una pensar con

que habrá de

menos un cálculo

necesario, pues, insistirsores de Matemá- marzo de 1976). En

mu-menta! paralelo al cálculoeste

resumen de dicha dis-por diferentes máqui-

al nivel de las u-, bd,.. .nsima cifras afichadas. Ello se refiere a la precisión de los datos, del cálculo, del afi- chaje.' Es necesario que el estudiante conozca bien el funcionamiento de la máquina sobre ese punto de manera de estimar la validez del resultado que ella da. Los ejercicios sobre ese género de problemas sólo se hacen raramente en los cursos de matemática actuales.

Estado actual del problema

La máquina ya se ha introducido en la escuela sin que se haya, de ninguna manera, modificado sus programas. Desde los 10 años de edad, los niños son capaces de emplear una calculadora de cuatro operaciones; a los trece años se ven aparecer calculadoras denominadas "científicas" y en la escuela secundaria supe­rior se comienza a emplear máquinas progra­mabas. Todo el mundo utilidad de

La máquina científica reemplaza a las ta­blas de funciones trigonométricas y de logarit­mos. Los alumnos deben ser capaces, sin em­bargo de leer tablas de doble entrada. Estas tablas constituyen uno de los principales ejer­cicios sobre este tema. Será necesario, pues, reemplazarlas por ejercicios similares donde se apliquen las mismas técnicas. La misma cues­tión se plantea con la regla de cálculo.

El uso de las fracciones no decimales tam­bién ha de perder* importancia. Sigue siendo fundamental para ciertos métodos de cálculo aproximado y es importante para escribir sim­plemente las relaciones algebraicas. Por lo de­más, la máquina puede efectuar todo cálculo de fracciones .can la ayuda de fracciones decimales y con trida la precisión ‘deseada. Las precau­ciones sobre este tema difieren muy sensible­mente y deberá hacerse un análisis más do. (Sigue en pag-wi

bibliografía y ninguna en el texto.Mi crítica más seria, sin embargo, se refiere

a que la vasta mayoría de los alumnos de 8 a 13 años tienen como profesores de matemá­tica a maestros con escaso conocimiento de la

reconoce la notable esas máquinas y el estímulo

provocan. Hemos comprobado, sin embargo, que el empleo mal controlado de las calcula­doras puede conducir a una desorganización fundamental de los cursos de matemática. Pen­samos que es necesario modificar los mas y la metodología hecho

to.En el capítulo líl trata de ensalzar el plano

de los principios, y proporciona ejemplos, la elección de ejercicios que dejan al alumno li­bertad para elegir su técnica operatoria, su modo de representación y la redacción volun­tariamente vaga de la cuestión, pues será nece­sario "interpretar" los resultados. Citemos un ejemplo: supongamos conocida la longitud en cm del radio de un círculo (2 por ejemplo). En lugar de calcular c (medida en cm de la longitud de la circunferencia) en la forma 2.3,14.2 porque no escribir

2.3, 14.2 <c <2.3,15.2?.En el capítulo V se encuentran cálculos en

diferentes bases, pero se advierte bien que esas diferentes bases no constituyen un objetivo en sí, que su estudio conduce mucho más allá de

que

misma, que usualmente están nerviosos ante alumnos que comúnmente se_ sienten amila­nados ante cualquier clase de matemática, es­pecialmente la matemática "moderna". Estos colegas necesitan ser alentados suave y atina­damente y simplemente no podríamos reco­mendarles un volumen que encuentra necesa­rio definir secciones cónicas, relaciones de equivalencia, números trascendentes y el teo­rema del binomus. Para mi se trata de un libro académico para no especialistas y también de­masiado superficial para un docente con cono­cimientos amplios.

progra- a estePara adaptarlanuevo.

Modificaciones de,as «<*¡casdel cálculo

La calculadora efectúa las operaciones en lugar del alumno, pero el alumno debe contro­lar pl trabajo de la máquina: debe ser capaz, pues, de calcular rápidamente un orden de magnitud. Las técnicas del cálculo aproximado

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A.R.Parr44

45i■ni

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i

íde situaciones variadas que se deben estudiar antes de intentar una sistematización del cálculo.

la comprensión de una numeración de posi­ción. El autor muestra muy bien como las ma­nipulaciones de material multibase visualiza las técnicas operatorias. Insiste sobre el número Yolanda Noel

(viene de página 43)lo inaica Piaget. Esta reflexión conducirá a la definición de una problemática precisa, única que permite realizar un estudio experimental eficaz. En lo que concierne al estudio en un medio escolar, es necesario tener cuidado pues ninguna experiencia se hace impunemente. No se la debe hacer más que cuando se tenga la seguridad de poder controlar las consecuen­cias. Para ello se elegirán experiencias puntua­les, cuya repercusión sobre los niños sea mane­jable. Con el mismo espíritu, no hay que des­cuidar la fase de observación de la clase; el conocimiento del tema permite preparar expe­riencias con conocimientos de causa. Esta obser­vación puede proporcionar informaciones que serán indispensables para el análisis y después

para la interpretación de los resultados (com­posición social de la clase, dificultades de edad, alumnos con dificultades psicológicas, familiares o materiales, etc.) En la primera fase, si se han obtenido resultados, antes de aceptarlos, habremos de asegurarnos que:

- si se trata de resultados experimentales, que sean reproducibles así como la experiencia y que los parámetros relativos al tema y a los dispositivos estén bien controlados.

— si resultan de otros análisis, por ejemplo, estadísticos, que se hayan tomado las precau­ciones propias para la herramienta usada.

Finalmente, no es inútil reflexionar sobre la manera en que se ha realizado la propia inves­tigación y si sus resultados se insertan en . las teorías existentes o cómo se apartan de ella.

Para hacer efectiva su suscripción por 1978 envíe a José Banfi, Paraguay 1949, 6° A, los datos que se indican más abajo con un giro postal o bancario sobre Buenos Aires por 3.500 pesos o por u$s 8.si reside en el exterior.

SUSCRIPCION 1977

Apellido ................Nombre.................Domicilio privado Localidad ............ Teléfono

Provincia ........................................................................................................................que ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollo de nuestra economía, produce y transforma materia prima'nacional con

de obra del país y concreta en los hechos.una tarea deFactor de motivación

(viene de página 44)

Ejercicio de las facultades de abstracción.

La máquina no es más que una herramien­ta, pero, en cada aplicación, es necesario reali­zar un análisis previo a su empleo. El alumno debe aprender a reconocer los diferentes tipos de problemas que se plantean, a investigar un algoritmo de resolución y, finalmente, correctamente su máquina para encontrar la solución. La investigación de logaritmos efica­ces jtfone ei juego la intuición matemática; la máquina programable será un excelente mo­tor para-ese tipo de investigación. En fin, el profesor tendrá un control real de las faculta­des de abstracción del alumno: quedando evi­tados los errores de cálculo, estando fijado el lenguaje (programa)^ el problema su parte puramente teórica.

El profesor debe preocuparse porque el alumno conozca a fondo las relacione los diferentes órganos de iquina y porque el paralelismo entre el álgebra clásica y la que está empleada en lá máquina se haga sin ninguna vacilación. Para necesario idear numerosos ejercicios que tanto-del resorte-de las gramáticas como de la matemática.

La máquina, por los problemas que plantea y los problemas que permite abordar, buen estimulante para los alumnos. La investi­gación de procedimientos eficaces establece una

recursos y manotrascendencia económico social.granes un

sana competencia entre los alumnos. El pleo de la máquina para la resolución de vos problemas, les intriga. La literatura se enti- quece día a día con nuevas ¡deas sobre el tema (ver, por ejemplo, los manuales de utili­zación de Herolet-Packard o el libro de Char­les Corge: "Eléments de Informatique, La- rousse-Université, Bruselas, 1975).

Por otra parte, la máquina permite resolver completamente problemas día estudiar:

em- LEDESMAnue-

SOCIEOAD ANONIMA AGRICOLA INDUSTRIALa usar

ha hecho de Jujuy y del Noroeste Argentino un polo de desarrollotransforma mdleria prima nacional con

los hechos una tarea de

Iquede nuestra economía, produce y

de obra del país y concreta enrecursos y manotrascendencia económico-social.granque antes no se po-

en el dominio de las estadísticas y de las probabilidades, para el estudio de ciertas funciones, para la resolución de nume­rosas

se reduce aecuaciones, para el estudio de los proble­

mas físico*.La obtención de resultados cifrados, reales,

es siempre estimulante pues muestra al alumno que la matemática es útil y viva.

La introduccción de la máquina ha de dif¡car profundamente bemos adaptarnos

• AZUCAR • PAPEL

• ALCOHOL • FRUTA

s entre memoria de su má-

mo-nuestra enseñanza. De-

a- esta situación antes de vernos forzados, estudiando cuidadosamente las modificaciones impone.

ello esson

formalesque ese hecho nuevo nos

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