conferencia taller ley del seno y coseno (maestros-final)hotel

Presenta: Prof. Rafael Ortiz

Proyecto: Laboratorios Regionales de Matemáticas

Auspiciado por el Departamento de Educación en alianza con la División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP) de la

Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras. Sufragado por fondos federales

de Título I -A.

1 Prof. Fredes Rodríguez Prof. Miguel L. Colón

Saludos Dinámica de presentación Estándares desarrollados en la presentación Taller

Ángulos y sus medidas Funciones trigonométricas Triángulo rectángulo Ley del seno Ley del Coseno

Post Prueba Evaluación del taller


Es la abertura formada por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. El lado B, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo lado, lado A, se llama lado terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del vértice O en un plano hasta que alcanza su posición terminal.


Elementos de un ángulo:

O

A

B

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitado. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iníciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.


positivoángulo

Lado inicial

Lado terminal

Figura 1

negativoángulo

Lado terminal

Lado inicial

Figura 2

escoterminalángulos y

Lado terminal

Lado inicial

Figura 3

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo de x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.


ángulo cuadrantal

Lado inicial

Lado terminal

Nota:

Los ángulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos

cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).

Lado inicial

Lado terminal

ángulo en posición normal

Medición en grados Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Los grados se subdividen en minutos y los minutos en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los segundos son, respectivamente: °, ', ''. Por ejemplo, un ángulo cuya medida es 34 grados 11 minutos y 56 segundos se denota por 34°11'56''. Medición en radianes Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio 𝑟 > 0, y la longitud del arco opuesto a 𝜃 en la circunferencia es s, entonces 𝜃 medido en radianes está dado por:


s

r

𝜃

𝜃 = 𝑠

𝑟 radianes

Un radián es el tamaño del ángulo central de un

círculo que interseca un arco de la misma longitud que el

radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en

las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras:

para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.

Nota:

La medida en radianes es un escalar (número sin unidades), pues las unidades

en que se miden la longitud del arco y el radio se simplifican, por tanto, queda un número sin unidades.

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 900 pero menos de 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.


ángulo agudo

ángulo obtuso

ángulo recto

ángulo central

ángulo llano

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados se basa en que: 180° = 𝜋 radianes

Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos

las siguientes factores: 180°

π o

𝜋

180°


Ejemplo:

Cambiar el ángulo de grados a radianes

1. 210° 210° 𝜋180° = 30° ∙ 7 𝜋

30°∙6 = 7𝜋6

Cambiar el ángulo de radianes a grados

2. 4𝜋3 4𝜋

3180°𝜋 = 4𝜋

33∙60°𝜋 = 4 ∙ 60° = 240°

Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iníciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos coterminales.


Ejemplo:

Hallar dos ángulos coterminales con 200°

θ𝑐𝑜𝑡 = 𝜃 ± 360°𝑘 = 200° ± 360° 1 = 200° + 360° = 560°200° − 360° = −160°

vueltasde numero el esk donde ;radianesen ángulos para ,2

gradosen ángulos para ,360mincot

k

kaler

Lado terminal

Lado inicial

Para encontrar ángulos coterminales se utiliza la siguiente fórmula:

Un ángulo de referencia es la medida del ángulo agudo que se forma desde el lado más cercano del eje horizontal hasta el lado terminal del ángulo original.


𝜃 𝜃𝑟

𝜃𝑟 𝜃

𝜃𝑟

𝜃

𝜃𝑟

𝜃

En el cuadrante I 𝜃𝑟 = 𝜃 En el cuadrante II 𝜃𝑟 = 𝜃 − 180° En el cuadrante III 𝜃𝑟 = 𝜃 − 180° En el cuadrante IV 𝜃𝑟 = 𝜃 − 360°

Nota:

Los ángulos de referencias siempre son positivos porque representan

una medida. Los signos que surgen de la formula se refieren a los ángulos

medidos en dirección positiva o dirección negativa.


Ejemplo:

Encuentre l ángulo de referencia para

3

52

r

3

r

150180r

030r

O x

y

r

3

53

5 )

a

0708 ) b

O x

y

r 870

Los ángulos 870° y 150° son coterminales [porque 870° – 2(360°) = 150°]. Por lo tanto, el lado terminal de este ángulo esta en el cuadrante II.

El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por

el lado terminal de 5𝜋3 que esta

en el cuadrante IV.

Sea U una circunferencia unitaria, esto es, perteneciente a un circulo trigonométrico. La ecuación de dicha circunferencia es 𝑥2 + 𝑦2 = 1. Dado cualquier número real 𝑡 , se llama 𝜃 a cualquier ángulo en posición estándar cuya medida en radianes es 𝑡. Obsérvese la figura de la derecha; 𝑃(𝑡) denota el punto de intersección del lado terminal de 𝜃 con U.


El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida en radianes del ángulo 𝜃.

Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .

Si 𝑡 es un numero real y 𝑃(𝑥, 𝑦) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a 𝑡 entonces: 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 cos 𝑡 = 𝑥

𝑡𝑎𝑛 𝑡 =𝑦

𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑡 =

𝑥

𝑦

csc 𝑡 =1

𝑦 sec 𝑡 =

1

𝑥


El número real 𝑡, que es la longitud del arco 𝐴𝑃 de U, es la medida en radianes del ángulo 𝜃.

Se puede asociar a cada 𝑡 ∈ 𝑅 , un punto único 𝑃(𝑡) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas 𝑥, 𝑦 de 𝑃(𝑡) .

Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de 𝑡 y (−3

5, 45) es el punto

de una circunferencia unitaria U que corresponde a 𝑡.

𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑦 =4

5 cos 𝑡 = 𝑥 =

−3

5

𝑡𝑎𝑛 𝑡 = 𝑦

𝑥=

4

5−3

5

= −4

3 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = 𝑥

𝑦=

−3

54

5

= −3

4

csc 𝑡 = 1

𝑦=

14

5

= 5

4 sec 𝑡 = 1

𝑥=

1−3

5

= −5

3


Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se

simplifica si es posible.

𝒕 = 𝟎:

En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 1 y 𝑦 = 0; y las funciones

trigonométricas se deducen a partir de su definición. La cotangente y la cosecante

no están definidas para t = 0 (la división por 0 no existe).

𝑠𝑒𝑛 0 = 0 cos 0 = 1

𝑡𝑎𝑛 0 =0

1= 0 𝑐𝑜𝑡 0 =

1

0=indefinido

sec 𝑡 =1

1= 1 csc 0 =

1

0=indefinido


𝒕 =𝝅

𝟔 :

El arco 𝑃𝑃′ = 𝜋

3 , el segmento 𝑂𝐴 biseca el ángulo 𝑃𝑂𝑃′, por lo tanto 𝒕 =

𝝅

𝟔 . Como el

triángulo 𝑃𝑂𝑃′ tiene los segmentos 𝑂𝑃 y 𝑂𝑃′ iguales que el radio r. Los ángulos 𝑂𝑃𝑃′, 𝑂𝑃′𝑃 y

𝑃𝑂𝑃′ son iguales a 60°, se tiene que: el triángulo 𝑃𝑂𝑃′ es un triángulo equilátero. El segmento

𝑃𝑃′ = 𝑟 = 1; por lo tanto el segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 1

2. El segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1 − 1

2

2= 3

2 por

lo tanto el segmento 𝑂𝐴 = 3

2.

𝑠𝑒𝑛𝝅

𝟔=

1

2 cos

𝝅

𝟔=

3

2

𝑡𝑎𝑛𝝅

𝟔=

1

2

3

2

=3

3 𝑐𝑜𝑡

𝝅

𝟔=

3

21

2

= 3

sec𝝅

𝟔=

13

2

=2 3

3 csc

𝝅

𝟔=

11

2

= 2


𝒕 =𝝅

𝟒 :

𝜋4 es la mitad de 𝜋

2; por lo tanto el segmento 𝑂𝑃 biseca el primer cuadrante. Se

tiene el triángulo isósceles 𝑂𝐴𝑃, con los segmentos 𝑂𝐴 y 𝐴𝑃 iguales, esto es 𝑥 = 𝑦.

Como 𝑥2 + 𝑦2 = 1 es la ecuación de la circunferencia unitaria, entonces sustituimos

y por x y despejamos para x. Se obtiene 𝑥 = 2

2 .

𝑠𝑒𝑛𝝅

𝟒=

2

2 cos

𝝅

𝟒=

2

2

𝑡𝑎𝑛𝝅

𝟒=

2

22

2

= 1 𝑐𝑜𝑡𝝅

𝟒=

2

22

2

= 1

sec𝝅

𝟒=

1

2

2

= 2 csc𝝅

𝟒=

1

2

2

= 2


𝒕 =𝝅

𝟑 :

En el triangulo 𝑃𝑂𝐵, los segmentos 𝑂𝑃, 𝑂𝐵 y 𝑃𝐵 son iguales al radio 𝑟 por lo tanto los

ángulos 𝑃𝑂𝐵, 𝑂𝑃𝐵 y 𝑃𝐵𝑂 son iguales a 60°, en el triángulo equilátero 𝑃𝑂𝐵 𝑠𝑒 tiene que el

segmento 𝐴𝑃 biseca el segmento 𝑂𝐵 que es igual al radio y este a su vez es igual a 1; por lo

tanto el segmento 𝑂𝐴 = 𝑥 = 1

2. El segmento 𝐴𝑃 = 𝑦 = 3

2.

𝑠𝑒𝑛𝝅

𝟑=

3

2 cos

𝝅

𝟑=

1

2

𝑡𝑎𝑛𝝅

𝟑=

3

21

2

= 3 𝑐𝑜𝑡𝝅

𝟑=

1

23

2

=3

3

sec𝝅

𝟑=

11

2

= 2 csc𝝅

𝟑=

1

3

2

=2 3

3


𝒕 =𝝅

𝟐:

En este caso las coordenadas de P son 𝑥 = 0 y 𝑦 = 1; y las funciones

trigonométricas se deducen a partir de su definición. La tangente y la secante no

están definidas para 𝒕 =𝝅

𝟐 (la división por 0 no existe).

𝑠𝑒𝑛𝝅

𝟐= 1 cos

𝝅

𝟐= 0

t𝑎𝑛𝝅

𝟐=

1

0= indefinido 𝑐𝑜𝑡

𝝅

𝟐=

0

1=0

sec𝝅

𝟐=

1

0= indefinido csc

𝝅

𝟐=

0

1= 0



Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables

t (x, y) sen t cos t tan t cot t sec t csc t

0 0° 0,1 0 1 0 No existe 1 No existe

6

30°

21

23 , 2

1 23 3

3 3 332 2

4

45°

22

22 , 2

2 22 1 1 2 2

3

60°

23

21 , 2

3 21 3 3

3 2 332

2

90° 1,0 1 0 No existe 0 No existe 1

Ejemplo para resumir las funciones

trigonométricas



a) cos(135°)=

b) tan(390°)=

Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones

45°

El lado terminal de 135° esta en el segundo cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es 45° y el coseno es negativo en este cuadrante. El

coseno de 45° es 2

2.

− 2

2

3

3

135° y

x

O x

y

390o 30°

El lado terminal de 390° esta en el primer cuadrante por lo tanto el ángulo de referencia es 30° y la tangente es positiva en este cuadrante.

La tangente de 30° es 3

3.

Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo de 90°. El teorema de Pitágoras aplica, la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa.


Razones trigonométricas del ángulo 𝜃

seno cosecante

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐 𝜃 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

coseno secante

𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝜃 =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

tangente cotangente

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

Cate

to

opuesto

al

ángulo

Cateto adyacente al ángulo

Ejemplo:

Hallar las seis razones

trigonométricas para el ángulo 𝜃 del triángulo de la derecha.


35

12

Solución: Primero buscamos la hipotenusa.

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 2 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 12 2 + 35 2

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2 = 1369

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 1369 = 37 Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si es posible. seno coseno

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

35

37 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =


ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

12

37

Ejemplo:

Hallar las seis razones

trigonométricas para el ángulo 𝜃 del triángulo de la derecha.


35

12

Solución:

Después se busca cada razón trigonométrica y se simplifica si es posible. tangente cotangente

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

35

12 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

12

35

cosecante secante

𝑐𝑠𝑐 𝜃 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

37

35 𝑠𝑒𝑐 𝜃 =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

37

12


Ángulo de elevación

)

Ángulo de depresión

)

Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un

plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas

horizontal y visual

Horizontal

Ejemplo:

Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?


Solución

70 m

120m 120m

90m

160m +

H=

90 +70 = 160 H = 120m

70 m

O

53 o

37

H=


Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).

Dirección

La dirección de B respecto de A es E30N

o

N60Eo

La dirección de C respecto de A es

o

S56 O S34Oo

o

o

Rumbo El rumbo de Q respecto de P o

47

El rumbo de M respecto de P o

27

al este del sur

al oeste del norte

E

N

S

O A

O

30

B

O

56

C

E O

S

N

P

Q o

47

o

27

M

Ejemplo:

Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 40 2 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ?


Observa que el triángulo color rojo es notable. X = 20

Solución

34

x

24

32 16

40 20 12

16

40

o

53

o

37

40 2

o

45

o

45O

N

S

F

E

60

Los triángulos que no contienen un ángulo recto son triángulos oblicuos. Un triangulo esta determinado por tres de sus seis partes (lados y ángulos conocidos). LAL Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos LLA Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos AAL Conocidos dos ángulo y un lado ALA Conocidos dos ángulos y el lado entre ellos LLL Conocidos tres lados


𝛼

𝛽

𝛾

𝑎

𝑏

𝑐

𝛼

𝛾

𝛽

𝑏

𝑐

𝑎

Actividad


Buscar el Manual de práctica Ir a las paginas 5

Considera el triangulo BAD y determina su altura.

sen 𝛼 =ℎ

𝑐

ℎ = 𝑐 ∙ sen 𝛼

Al considerar el triangulo BCD y buscar su altura se obtiene.

sen 𝜋 − 𝛾 =ℎ

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∙ sen 𝛾 =ℎ

𝑎

− −1 ∙ sen 𝛾 =ℎ

𝑎

ℎ = 𝑎 ∙ sen 𝛾


𝐷

𝛼

𝛽

𝛾

𝑎

𝑏

𝑐

𝐴

𝐵

𝐶

ℎ

Ahora se iguala la altura obtenida de cada triángulo

𝑐 ∙ sen 𝛼 = 𝑎 ∙ sen 𝛾

La razón entre el seno de un ángulo y la medida de su lado opuesto se obtiene dividiendo ambos lados de la igualdad por 𝑎 ∙ 𝑐 .

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑎=

𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑐

La ecuación se conoce como Ley del Seno

Si ABC es un triángulo oblicuo como los anteriores, entonces

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑎=

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑏=

𝑠𝑒𝑛 𝛾𝑐


𝛼

𝛽

𝛾

𝑎

𝑏

𝑐

𝐴

𝐵

𝐶 𝛼

𝛾

𝛽

𝑏

𝑐

𝑎

𝐴 𝐵

𝐶

En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo.


48°

57°

𝛽

47

𝑐

𝑎

𝐴 𝐵

𝐶

Ejemplo:

Resuelve el triangulo ABC dado que 𝛼 = 48°, 𝛾 = 57° 𝑦 𝑏 = 47

Como la suma de todos los ángulos en un triangulo es 180°.

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

𝛽 = 180° − 48° − 57° = 75°

Dado que conocemos el lado b y los tres

ángulos, se puede encontrar 𝑎 utilizando la

Ley del seno donde intervengan 𝑎, 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽.

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑎=

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑏

𝑎 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛽 Se despeja para 𝑎

𝑎 =47 𝑠𝑒𝑛 48°

𝑠𝑒𝑛 75° Se sustituye 𝛼, 𝑏 𝑦 𝛽

𝑎 ≈ 36 Aproximar al entero mas cercano

Después para hallar el valor de 𝑐, basta

sustituir 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑎 con

𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑐 de la solución

precedente de 𝑎, y resulta que

𝑐 =𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑐 =47 𝑠𝑒𝑛 57°

𝑠𝑒𝑛 75°

𝑐 ≈ 41


Cuando conocemos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, no siempre el triangulo que se representa es único.

𝑏

𝛼

𝑎

𝐴

𝐶

𝑐

ℎ

𝑏

𝛼

𝑎

𝐴

𝐶

𝑐

ℎ

𝑏

𝛼 𝑎

𝐴

𝐶

𝑐

𝑎 ℎ

𝑏

𝛼

𝑎

𝐴

𝐶

𝑐

ℎ

No hay triángulo, si 𝑎 < ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado 𝑎 no es lo suficientemente largo para cerrar el triángulo.

Un triángulo rectángulo, si 𝑎 = ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 . El lado 𝑎 es lo suficientemente largo para formar un triángulo rectángulo.

Dos triángulos, si 𝑎 < 𝑏 y ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 < 𝑎. El lado 𝑎 es lo suficientemente largo para formar dos triángulos diferentes.

Un triángulo, si 𝑎 > 𝑏. El lado 𝑎 es mas largo que 𝑏 y forma un triángulo.

Ejemplo:

¿Cuantos triángulos se forman si sabemos que 𝑎 = 5, 𝑏 =25 𝑦 𝛼 = 65°?


Solucion:

Se dibuja el posible triángulo y

calculamos su altura. Luego comparamos la medida del lado a y la altura.

ℎ = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 25𝑠𝑒𝑛 65° ≈ 23

como 23 es mayor que 15 no se forma triángulo.

b = 25

h

65°

a = 15

A

Práctica


Buscar el Manual de práctica Ir a las paginas 6-9 y 12

Instalación de un panel solar En la figura se ilustra un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal.

Ley del Seno


Inclinación de la torre de Pisa Originalmente esta torre estaba perpendicular al suelo y medía 179 pies de altura, debido al hundimiento del suelo, ahora se ha inclinado a cierto ángulo 𝜃 de la perpendicular, como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte alta de la torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, el ángulo de elevación

es de 53.3°. a) Calcula el ángulo 𝜃. b) Calcula la distancia d que se ha movido el centro de la parte superior de la torre con respecto a la perpendicular.

Ley del Seno


Agrimensura

Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en los extremos opuestos de un río, un agrimensor trazó un segmento de recta AC de 240 yardas de longitud paralelo a una de las orillas, determino que las medidas de ∡BAC y ∡ACB son 63 °20′ y 54° 10′ respectivamente, (ver la figura). Calcula la distancia entre A y B.

Ley del Seno


Altura de un globo de aire caliente

Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 24°10′ y 47°40′, respectivamente. Según nos muestra la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.

Ley del Seno


Altura de un poste

Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfonos inclinado a un ángulo de 9°en dirección opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calcula la longitud del poste.

Ley del Seno



C

h

A

B m n

c b

a

𝛽 𝛾

𝛼

H

Ley del Coseno La altura de un triángulo lo divide en dos triángulos rectangulares. Para buscar una ecuación que resuelva el triángulo trabajaremos en el triángulo ABC. En los triángulos ABH y ACH podemos escribir por Pitágoras la altura h de cada uno, que es ℎ2 = 𝑐2 − 𝑚2 y ℎ2= 𝑏2 − 𝑛2 repectivamente. La altura h es común en los dos triángulos, por lo tanto podemos decir que:

𝑐2 − 𝑚2 = 𝑏2 − 𝑛2

𝑐2 − 𝑎 − 𝑛 2 = 𝑏2 − 𝑛2

𝑐2 − 𝑎2 + 2𝑎𝑛 = 𝑏2

Sabemos que 𝑛 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛾 , se sustituye y se obtiene:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾

Ecuación conocida como, Ley del Coseno


Dado el triángulo si representamos otra vez La altura en términos de otro ángulo obtendremos tres distintas fórmulas.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛽

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛾

Esta fórmula la utilizamos cuando conocemos:

dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre estos

si tenemos los tres lados

C

h

A

B m n

c b

a

𝛽 𝛾

𝛼

H


Ejemplo: Resuelva el triángulo dado 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 𝑦 𝛾 = 100°. Solución: Si utilizamos la Ley de seno al igualar cualesquiera dos razones nos quedaría una ecuación con dos desconocidas por lo cual debemos utilizar la Ley del coseno.

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑐2 = 52 + 32 − 2(5)(3)cos (100°)

𝑐 ≅ 6.26 𝑐𝑚, continuamos con ley de seno

𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛾 = 𝑐 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼

, asi 𝛼 ≅ 𝑠𝑒𝑛−1(0.7866)

α1 = 51.87° 𝑦 α2 = 180° − 51.87 = 128.13°

α1= 51.87° 𝑦 α2 = 128.13°,

Pero α2 no es sirve dado que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 > 180°

𝑠𝑒𝑛𝛼 =5 ∙ 𝑠𝑒𝑛100°

6.26

Así finalizamos hallando 𝛽 = 180° − 𝛼 − 𝛾 = 28.13°

Práctica


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Calcular las diagonales de un paralelogramo Un paralelogramo tiene lados de longitudes 30cm y 70cm y uno de los ángulos mide 65°. Calcular la longitud de cada diagonal al cm más cercano.


Ley del Coseno

Hallar la longitud de un cable Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo (medido desde la base del poste).


Ley del Coseno

73°

107°

Dimensiones de un terreno triangular El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 75° y los lados

que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado.


Ley del Coseno

Distancia de vuelo

Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 130° y

luego 80 millas en dirección 245°. A qué distancia aproximadamente se encontrará del punto A?


Ley del Coseno

Distancia en un parque de béisbol

Un parque de béisbol tiene cuatro bases que forman un cuadrado y está

a 90 pies una de la otra; el montículo del lanzador se halla a 60.5 pies del plato. Calcula la distancia del montículo del lanzador a cada una de las otras tres bases.


Ley del Coseno

Ejercicios adicionales


Ángulos de un terreno triangular

Un terreno triangular que tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud.

Calcule la medida del ángulo más pequeño entre los lados.


Ley del Coseno

Distancia entre vehículos

Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en

carreteras rectas que difieren 84° en dirección. Si viajan a 60 millas y 45 millas por horas, respectivamente, a que distancia aproximada se hallaran uno del otro al cabo de 20 minutos?


Ley del Coseno

Uso de rumbos

Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R, y luego de R a P en dirección S70°O. Calcula la distancia recorrida.

Ley del Seno


Rumbo de una lancha de motor

Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta con lados de 2 km,

4 km y 3 km, respectivamente. Recorrió el primer lado en direccio N20°O y el segundo en direccion S𝜃°O, donde 𝜃° es la medida de un ángulo agudo en grados. Calcula, al minuto más cercano, la dirección en que recorrió el tercer lado.


Ley del Coseno

Tiempo perdido por error de curso de vuelo

En un vuelo de la ciudad A a la ciudad B el piloto sigue un curso con un margen de error de 10°, como muestra la figura. Después de volar una distancia de 50 millas, el piloto corrige el rumbo girando en un punto C y volando otras 70 millas más hasta B. Si la velocidad del avión fue constante de 250 millas por hora, cuánto tiempo de vuelo se perdió debido al error?

Ley del Seno


Calcular distancias en el mar El capitán de un barco en alta mar divisa dos faros alineados a la orilla del mar. Se sabe que los faros quedan separados entre sí por 3 millas. El capitán determina que los ángulos formados entre la línea de observación de los faros y la línea directa a la orilla son de 15° y 35°, (ver la fígura)

a) Cuán lejos queda el barco del faro A?

b) Cuán lejos queda el barco del faro B?

c) Cuán lejos queda el barco de la orilla?

Ley del Seno


Prof. Rafael Ortiz

Aplicaciones adicionales de

trigonometría en general

Prof. Rafael Ortiz

Evaluaciones trigonométricas

Halle el valor exacto para las seis funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃.

𝜃

7 25

Prof. Rafael Ortiz

Resuelva el triángulo

Determine el valor exacto de 𝛼, 𝛽, 𝑎 𝑦 𝑏 en el siguiente triángulo.

30°

𝛽 12

b

a

Prof. Rafael Ortiz

Aplicaciones trigonométricas

Utilice el siguiente triángulo para determinar el valor de cada una de las siguientes expresiones

𝛼

𝛽 7

x

y

a) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽 b) 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛼

c) 𝑡𝑎𝑛𝛼 cot 𝛽 d) 𝑠𝑒𝑛2𝛼+ 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 e) 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 f) 𝑠𝑒𝑐𝛼 cos𝛽

Prof. Rafael Ortiz


Halle el valor exacto de las restantes funciones trigonométricas

para el ángulo agudo 𝛼 si 𝑠𝑒𝑛𝛼 =5

8

1) 𝑠𝑒𝑛𝛼 =5

8

2) cos𝛼 = 3) 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

4) 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 5) csc𝛼 = 6) 𝑐𝑜𝑡𝛼 =

Prof. Rafael Ortiz Prof. Fredes Rodríguez


Sea −5, 12 un punto contenido en el lado terminal del ángulo en posición estándar 𝜃 . Halle el valor exacto de las seis funciones trigonométricas para 𝜃

1) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2) cosθ = 3) 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

4) 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 5) cscθ = 6) 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

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𝜃

2 x

Utilice el siguiente triángulo para mostrar que la igualdad dada es cierta.

𝑐𝑜𝑠2θ

1 + 𝑡𝑎𝑛2θ=

1

44 − 𝑥2 2

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Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones considerando x contenido en una revolución positiva.

1) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 2) 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 6

3) 𝑐𝑜𝑠π

2+ 3𝑥 + 2 =1



Use identidades trigonométricas para verificar las siguientes identidades

1) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝛼 =𝑠𝑒𝑐𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼

2)𝑠𝑒𝑛𝛼

1+𝑐𝑜𝑠𝛼 +

1+𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼 =

2

𝑠𝑒𝑛𝛼

Prof. Rafael Ortiz


Halle el valor exacto de las siguientes expresiones trigonométricas sin el uso de la calculadora

1)𝑠𝑒𝑛2120°𝑐𝑜𝑠 −180°

𝑡𝑎𝑛 −135° 𝑐𝑜𝑡 405°

2)𝑠𝑒𝑛1200° + 𝑐𝑜𝑠 −1080° 3)10𝑐𝑜𝑡315°𝑠𝑒𝑛 −150° 𝑐𝑜𝑠225°

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Calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼, si se sabe que:

𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 =7

8



Calcule 𝑠𝑒𝑛3𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛼 , si se sabe

que 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 =1

2.

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Encuentre la altura de un edificio si a 8.66 metros de su base, el ángulo entre el suelo y la azotea del edificio es de 60°.

8.66m

60°

Prof. Rafael Ortiz


Una torre de 40 metros de altura está situada en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre el ángulo de depresión a la orilla opuesta al lago es de 30°. ¿Cuál es el ancho del lago?

30°

40m

Prof. Rafael Ortiz


Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un topógrafo se encuentra en un punto C tal que AC=120 metros y BC= 80 metros, y determina que ACB mide 52°. ¿Cuál es la distancia entre A y B?

B

C

A

52°



Los puntos A y B son los extremos de un túnel que pasará debajo de una montaña. Desde un punto C, lejos de la montaña, un topógrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480 metros, CB mide 320 metros y el ángulo C mide 72°. ¿Cuál es la longitud del túnel?

B

C

A

72°

Prof. Rafael Ortiz


Dos guardabosques separados 3 km en los puntos A y B observan un incendio en un punto C del bosque. El guardabosques A mide un ángulo de 44.3° mientras el guardabosques B mide un ángulo de 76.5°. ¿A qué distancia está el fuego desde un camino recto que va de A a B?

B

A

C

44.3°

3 km

Prof. Rafael Ortiz


Dos casa quedan ubicadas en puntos extremos de la falda de

una montaña. Para medir la distancia entre ellas un

agrimensor se aleja 40 pies de la casa A hasta un punto C y

luego camina 60 pies hasta la casa B. Si el ángulo ACB mide

60°, qué distancia separa ambas casa?

A B

C

60°

Post Prueba


Fin


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