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8/17/2019 CONJUNTOS.ppt

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Os resultados do trabalho de Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor estabeleceram

a teoria de conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvidae de profundos efeitos de ensino. Esta teoria baseia-se em três noções primitivasno!"es #ue n$o podem ser definidas% #ue s$o&conjuntos, elementos e relação

de pertinência.

http://www.tiosam.org/?q=Imagem:Georg_Cantor.jpg


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Ν - con'unto dos n(meros naturais)

Z - con'unto dos n(meros inteiros) Q - con'unto dos n(meros racionais) Ι - con'unto dos n(meros irracionais)

- con'unto dos n(meros reais. C - con'unto dos n(meros comple*os.


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A soma de dois números naturais quaisqueré um número natural;

O produto de dois números naturaisquaisquer é um número natural;

Sendo n um número natural, então

n+1 é um número natural, onde:a) n e n+1 são chamados de números naturais

consecutivos ;b) n é o antecessor de n+1;

c) n+1 é o sucessor de n

!;";#;$;1%

!;";#;$;1;& N

N

'(O'( * A *S


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&;1;$

#;$;1;&#;$;1;1;$%

#;$;1;&;1;$

Z

Z

Z

Z

PROPRIEDADES

odo número natural é também número inteiro;A soma de dois números inteiros

quaisquer é também um número inteiro;

A di-eren.a de dois números inteiros quaisqueré também um número inteiro;


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O conjunto dos números racionais Q éformado por todos os números que

podem ser representados peloquociente de dois números inteiros.

≠∈∈= 0,/ bcom Z be Z aba

Q

Todo natural é tam ém racional!Todo inteiro é tam ém racional!

A soma de dois números racionaisquaisquer é tam ém um número

racional .


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+, /0 PE1 2+ C03 4oda d56ima peri7dica pode ser

transformada em uma fra!$o.3

0 fra!$o se chama Geratri6 da d56imaperi7dica.


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"m número irracional é todo número cujarepresenta#$o decimal é n$o%peri&dica' oude forma equi(alente' é todo número comin)nitas casas decimais e n$o%peri&dicas.

...1415,3

...4142135,12=

=π

Exemplos


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Um número irracional não é um número racional

A soma de um número irracional com umnúmero racional é um número irracional;

A diferença de um número irracional comum número racional é um número irracional;

O produto de um número irracional com um númeroracional , diferente de zero, é um número irracional;

O quociente de um número irracional com um númer racional , diferente de zero,é um número irracional;


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*úmero real é qualquer número racional ouirracional.

=

irracional é xouracional é x x R /(

Q/

0


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Con'unto dos n(meroscomple*os


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Sím olos


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!O"#U"$OS% &'emplo8ma cole!$o de revistas 9 um con'unto. 0lunos de uma sala de aula.

Obs: devemos indicar um conjunto por uma letra maiúscula de nossoalfabeto (A, B, , !, ", ...#

&(&)&"$OS% 9 cada ob'eto de uma cole!$o.Obs: devemos indicar um elemento por uma letra minúscula de nossoalfabeto (a, b, c, d, e, ...#

*&(A+ O & .&*$/"0"!/A% ∈

∉

($ertence#

(%ão pertence#

Obs: Os s&mbolos ao lado, são usados para relacionar apenas elementos comconjuntos.


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ia3rama de 4enn%Escrevemos os elementos no interior de uma figura geom9trica.

&'emplo%

a% Con'unto : das vogais.

:a e

iou

b% Con'unto P dos n(meros primos positivos.

P ?@

BA


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*epresentação por uma propriedade%

1epresentamos o con'unto atrav9s de uma propriedade caracter5sticade seus elementos.&'emplo%a% Con'unto : das vogais.

}{ vogal é x xV = },,,,{ uoiea

=

b% Con'unto P dos n(meros primos positivos.

}{ positivo primonúmeroé x x P = ,...}11,7,5,3,2{=

c% Con'unto 8 dos n(meros pares primos positivos.}{ positivo primo par númeroé x xU = }2{=

d% Con'unto Dolu!$o D da e#ua!$o do grau A* ; .

}0105{ =−∈= x R xS }2{=S

LH-se& : 9 o con'unto detodos elementos *=.


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!on5unto Unit6rio%I a#uele #ue apresenta um (nico elemento.

&'emplo%

}0123{) =−∈= x R xV a }4{=

}{) primoe positivo par númeroé x xU b = }2{=

!on5unto 4azio%I a#uele #ue n$o apresenta elemento algum e 9 indicado por < > ou


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&'emplo%

}00{ ∈= xe x N x D }{=

8m con'unto va6io sempre 9 dado por uma propriedade logicamente falsa.O con'unto < > representa um con'unto unitário e n$o um con'unto va6io.


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onjunto finito

Esse tipo de con'unto representa uma #uantidade limitadade elementos. Por e*emplo= o con'unto dos n(meroscompreendidos entre e será representado daseguinte maneira& ou


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+ados dois con'untos 0 e = di6emos #ue 0 9 um subcon'unto de se= esomente se= para todo elemento * pertencente ao con'unto 0= * pertencetamb9m a .

Podemos di6er a mesma coisa de #uatro maneiras diferentes.

0 9 subconjunto de .

0 9 parte de .

0 est' contido em . B A⊂

cont m 0. A B ⊃

777O con5unto 2azio, por con2enção, é su con5unto de

qualquer con5unto


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)ubconjuntos de * ( números inteiros#

Q ; con'unto dos n(meros inteiros positivos

; con'unto dos n(meros inteiros negativos

U ; con'unto dos n(meros inteiros com ausHnciado 6ero

UQ ; con'unto dos n(meros inteiros positivos comausHncia do 6ero.

U ; con'unto dos n(meros inteiros negativoscom ausHncia do 6ero.


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&'emplo%

Escrever todos os subcon'untos do con'unto 0 ; < = A= B= >.

-Dubcon'unto com nenhum elemento&

-Dubcon'untos com um elemento& < >) ) ) < >

-Dubcon'untos com dois elementos& < =A>) < =B>) < = >) )

O n(mero total de subcon'untos 9 igual a M.


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+i6emos #ue dois ou mais con'untos s$o iguais se eles possuem os mes-mos elementos.

&'emplo%

}{ positivo primo par númeroé x xU = }2{=

}0105{ =−∈= x R xS }2{=S

0 repeti!$o de elementos n$o altera um con'unto. 0ssim& ;

0 ordem dos elementos n$o altera um con'unto. 0ssim& ; e ;


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I a#uele #ue limita os elementos #ue podem ser solu!"es de um determi-nado problema.

&'emplo%

.

}0252{}0252{ 22

iguais s o

x x N x Be x x R x Acon!untosos seVeri"i#ue =+−∈==+−∈=


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Dendo 0 ; = = < =?>> podemos afirmar #ue&

.}2{}1){(

.2)(

.}2{}1{)(

.}1{)(

.}1{)(

A E

A D

A$

A B

A A

∈∪

∈

⊄∩

⊂

∉


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121

12

21

21

21

21

)(

)(

)(

}{)()(

:.1622

8

1342

$ $ $ E

$ $ D

$ $ $

$ $ B$ $ A

ent o%emos & x

& x sistema'o

solu()es'ascon!untoo$ e & x & x sistema'o solu()es'ascon!untoo$ Se!a

=∪⊂

⊂

=∩=

=+=+

=+ =+


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89:9 União%+ados dois con'untos 0 e chama-se uni$o ou reuni$o% entre 0 e aocon'unto formado pelos elementos de 0 ou .

}{ B xou A x x B A ∈∈=∪

&'emplo%

}8,7,6,4,2,0{= A

},6,4,3{= B

},8,7,6,4,3,2,0{=∪ B A


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+iagramas de :enn representativos da uni$o entre 0 e .

B B Ao B A =∪⊂ ,!o" A B Ao A B =∪⊂ ,!o"


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89 9 /ntersecção%+ados dois con'untos 0 e chama-se intersec!$o entre 0 e ao con'untoformado pelos elementos comuns entre 0 e = isto 9= pelos elementos #uePertencem ao con'unto 0 e ao con'unto .

}{ B xe A x x B A ∈∈=∩

}8,7,6,4,2,0{= A

},6,4,3{= B

&'emplo%

}6,4{=∩ B A


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31/39

89


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33/39

+iagramas de :enn representativos de - 0.

=−⊂ A Bo A B ,!o"


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89


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&'emplo%

},7,5,3{= A

}7,6,5{= B

Como o con'unto n$o está contido no con'unto 0 di6emos #ue o comple-mentar de em rela!$o a 0 n$o e*iste.

.

.,

}.{:,

.,

B$

B por Aarela( oem B'ear complement oin'icar po'emos A BSe

$ $ va+ioéar complement o B ASe

existen o$ ar complement o#ue'i+emos A BSe

B A

B B

A A

B A

=⊂

===⊄


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::9:9 !ardinal de um !on5unto9

::9 9 1=rmula para a *esolução de .ro lemas9

)()()()( B An Bn An B An ∩−+=∪


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::9


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"uma pesquisa so re a qualidade dos ser2iços oferecidos pelasempresas de fornecimento de 63ua A@, ener3ia elétrica &@ e $4

por assinatura $@ de um airro, o te2e-se um 3rande número dereclamaçBes9A ta ela a se3uir e'pressa o número de reclamaçBes de

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