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Conta a lenda que um rei solicitou aos seus
súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim
de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria
direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus
súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei
ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado
a cumprir a sua promessa.
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Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele
poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor
pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo
de xadrez fossem preenchidas com moedas de
ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira
casa seria colocada uma moeda e em cada casa
seguinte seria colocado o dobro de moedas que
havia na casa anterior.
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O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e
ordenou que providenciassem o pagamento. Tal
foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino
lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na
última casa o total de moedas era de 263, o que
corresponde a aproximadamente 9 223 300 000
000 000 000. Não se pode esquecer ainda que o
valor entregue ao inventor seria a soma de todas
as moedas contidas em todas as casas.
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O rei estava falido!
A lenda nos apresenta uma aplicação de funções
exponenciais, especialmente da função y = 2x.
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Toda relação de dependência, onde uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função.
A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.
Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
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A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Também é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é:
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Explicaremos a exigência de uma base positiva:
Se tivéssemos esta função ,
Por exemplo. Aplicando propriedades de
potenciação teríamos:
Esta seria a função.
Raiz quadrada de números negativos
não pertence ao Conjunto dos Reais
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Porque atribuindo qualquer valor a 1x = 1 tratando-se de uma função constante.
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As funções exponenciais são aquelas que
crescem ou decrescem muito rapidamente.
Elas desempenham papéis fundamentais na
Matemática e nas ciências envolvidas com
ela, como: Física, Química, Engenharia,
Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia
e outras.
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x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
• Traçar o gráfico da função exponencial elementar
y = f(x) = 2x.
Exemplos
42
21
10
½–1
¼–2
y = 2xy = 2xxx
D = R e Im = R+*D = R e Im = R+*
função é crescente
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x
y
0–1 1 2
1
2
4
–2
Exemplos • Traçar o gráfico da função exponencial
elementar y = f(x) = (1/2)x.
¼2
½1
10
2–1
4–2
y = (1/2)xx
D = R e Im = R+*
função é decrescente
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Da análise dos dois últimos gráficos, tiramos algumas conclusões sobre a função exponencial elementar y = ax (a > 0 e a ≠ 1):
O domínio é os Reais;
O conjunto imagem é os Reais positivos;
Ela é crescente em todo o seu domínio para
a > 1.
Ela é decrescente em todo o seu domínio para
0 < a < 1.
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x
y
0
1
Os gráficos de todas as função exponenciais têm apenas em comum o ponto (0, 1). Isso significa que potências de bases diferentes só são iguais apenas se o expoente comum é 0.
y = 2xy = 4xy = 2–x
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http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-86-936-5738,00.html#03
http://www.coladaweb.com/matematica/funcao
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
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