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Contenido
BLOQUE 1 ....................................................................................................................................................... 2
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ......................................................... 2
BLOQUE 2 .................................................................................................................................................... 15
UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ............................................................................ 15
BLOQUE 3 .................................................................................................................................................... 25
REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ........................................................................ 25
BLOQUE 4 .................................................................................................................................................... 33
TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I .......................................................................................... 33
BLOQUE 5 .................................................................................................................................................... 50
TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ........................................................................................ 50
BLOQUE 6 .................................................................................................................................................... 63
ECUACIONES LINEALES I ..................................................................................................................... 63
BLOQUE 7 .................................................................................................................................................... 90
ECUACIONES LINEALES II .................................................................................................................... 90
BLOQUE 8 .................................................................................................................................................... 99
ECUACIONES LINEALES III .................................................................................................................. 99
BLOQUE 9 ..................................................................................................................................................104
ECUACIONES CUADRÁTICAS I ..........................................................................................................104
BLOQUE 10 ...............................................................................................................................................110
ECUACIONES CUADRÁTICAS II ........................................................................................................110
BLOQUE 1
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
1.1 Representación de relaciones entre magnitudes. El sistema numérico indo-arábigo. Sistema Numérico esta constituido por números, numerales, propiedades y operaciones. El sistema numérico que se usa en la actualidad es el llamado indo-arábigo. El sistema indo-arábigo es aditivo, posicional y de base 10 Es aditivo porque:
Unidades de Millar Centenas Decenas Unidades El número 5237 tiene : 5 2 3 7 5000 200 30 7
Significa que es aditivo porque 5237 = 5000 + 200 + 30 + 7 Es posicional porque si cambiamos la posición de los numerales tenemos un número completamente diferente. Partiendo del número 5237 si cambiamos la posición de los numerales a 2537 ahora el 2 ya no vale 200, vale 2000. El 5 ya no vale 5000 ahora vale 500 Es decir que al cambiar de posición los numerales, las cantidades que representan son diferentes El sistema indo-arábigo es de base 10 porque cualquiera de sus números se puede representar en potencias de 10. Recuerda que si: 𝑎0 = 1 entonces 100= 1
Unidades de Millar Centenas Decenas Unidades El número 5237 tiene: 5 2 3 7 Que se representa 5000 200 30 7 O bien 5 x 1000 2 x 200 3 x 10 7 x 1 O en forma exponencial 5 x 𝟏𝟎𝟑 2 x 𝟏𝟎𝟐 3 x 𝟏𝟎𝟏 7 x 𝟏𝟎𝟎
Los números reales y su composición en racionales e irracionales. Los números racionales La evolución de las matemáticas, específicamente de los sistemas numéricos, tiene
un avance sin precedente en la historia cuando se introduce el uso del cero por la civilización “maya”.
Un número racional es el que se puede expresar como el cociente o razón de dos enteros o bien que al representarlo en forma decimal ésta termina o es periódica. Ejemplos de números racionales: 7= 14/2, 5 = 125/ 25, -11 = -11/1, -11 = -121/11 etc. Cualquier fracción: 5/7, -15/4, 6/11, -8/3 Representación decimal: 5 = 5.0, 7 = 7.0, 1/3 = 0.3333……, 6/7 = 0.857142857142…… Los números irracionales Un número irracional es el que no puede representarse como el cociente o razón de
dos enteros o cuya representación decimal “no termina” ni es periódica.
Ejemplos de números irracionales:
√5 = 2.236067977……
√2 = 1.4142135623…… = 3.1415926535……… 17/19 = 0.89473684…… Clasificación de los números reales y operaciones. El conjunto de los números reales esta constituido por los números racionales e irracionales; así tenemos:
A su vez los racionales están constituidos por enteros y fraccionarios.
Axiomas de los Números Reales Axiomas de los Números Reales Se utiliza la letra minúscula “r” para identificar cualquier número real Axioma de Identidad. Adición o suma. Existe un único número llamado cero (0) que al sumarlo con cualquier número real (r), el resultado es el mismo número real: r + 0 = r Ejemplo: 3 + 0 = 3, 1/3 + 0 = 1/3, -5 + 0 = -5 Multiplicación. Existe un único número llamado uno (1) que al multiplicarlo por cualquier número real (r), el resultado es el mismo número real: r x 1 = r o r 1 = r Ejemplo: -4 x 1 = 4, 5/7 x 1 = 5/7, 11 1 = 11
Números Reales
Números racionales Números Irracionales
Números racionales
Enteros
Positivos o naturales
Cero Negativos
Fraccionarios
Positivos Negativos
Axioma del Inverso Adición. Para todo número real (r), existe un único número (-r) llamado inverso aditivo de (r), tal que, al sumar éstos, el resultado es cero (0): (r) + (-r) = 0 Ejemplo: 6 + (-6) = 0, 2/5 + (-2/5) = 0 Multiplicación. Para todo número real (r) existe un único número (1/r) llamado inverso multiplicativo de (r), tal que el producto de ellos es igual a uno (1): r (1/r) = 1 Ejemplo:
7 ( 1
7 ) = 1,
1
3 (
11
3
) = 1
Propiedades de los Números Reales Cerradura. La suma y el producto de dos número reales es también un número real. Sean a y b números reales, entonces: a + b es un número real a b es un número real 3 + (-5) = -2 (2) (-8) = -16 Conmutativa. El orden en que se suman o multiplican dos o más números reales no altera el resultado. Sean a y b dos números reales, entonces: a + b = b + a a b = b a 5 + 3 = 3 + 5 5 3 = 3 5 Asociativa. La forma en que se asocian dos o más números reales para efectuar una suma o un producto no altera el resultado. Sean a y b números reales, entonces: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) a b c = (a b) c = a (b c) 3 + 5 + 8 = (3 + 5) + 8 = 3 + (5 + 8) 3 5 8 = (3 5) 8 = 3 (5 8) Distributiva. El producto de un número real (a) por la suma de otros dos reales (b + c) es igual a la suma de los productos de a por b y a por c, esto es:
a (b + c) = a b + a c
3 (5 + 4) = 3 5 + 3 4
3 ( 9 ) = 15 + 12 27 = 27 Clasificación y operaciones con los números reales Los números enteros se clasifican en compuestos y primos. Los números compuestos son aquellos que se pueden representar como el producto de dos o más números que se denominan factores. Si un entero a se puede representar como el producto de b y c, esto es a = b c siendo b y c también enteros, entonces a estos se les denomina factores o divisores de a y decimos que a se ha descompuesto en factores. Ejemplo: 6 = 2 x 3 8 = 2 x 2 x 2 o bien 8 = 4 x 2 Un número primo es aquel que solo puede representarse como el producto de dos factores, donde uno de ellos es la unidad. Si un entero a solo se puede representar como el producto de a = a 1, entonces a es un número primo. Ejemplo 3 = 3 1 5 = 5 1 11= 11 1 17 = 17 1 23 = 23 1 Muchos números compuestos pueden ser expresados de varias maneras como el producto de dos o más factores, como es el caso de los números 30, 40 y 48. Sin embargo, como puedes observar, uno o ambos factores son a su vez números compuestos. Un factor es un número que multiplicado por otro u otros números dan como resultado
un número compuesto Al continuar determinando los factores de cada número compuesto que resulte de la descomposición inicial llegaremos a representar el número original como el producto de factores primos.
La representación en factores primos de un número compuesto es única, es decir, obtendremos los mismos factores aun cuando hagamos en diferentes formas la descomposición. El número 48 se representa como el producto de los siguientes factores: 48 = 3 • 2 • 2 • 2 • 2 • 1 48 = 2 • 2 • 2 • 3 • 2 • 1 48 = 2 • 2 • 3 • 2 • 2 • 1 Observa que se obtienen los mismos factores primos del número 48 partiendo de diferentes planteamientos, es decir, en todos se obtiene un factor 3 y cuatro factores 2.
En álgebra se sobreentiende que cuando se pide representar un número como el producto de sus factores éstos deben ser números primos.
Como representar en factores primos un número compuesto que consta de varios dígitos El procedimiento para determinar los factores de un número compuesto de este tipo se representa resolviendo el siguiente ejemplo. Ejemplo
Números fraccionarios
Representar el número 2080 como el producto de sus factores primos. Solución: Construimos una tabla; en la columna izquierda se presenta el número por factorizar y en la columna derecha se anota un 2 si el número tiene mitad, un 3 si tiene tercera, etc. Bajo el número por factorizar se anota el resultado obtenido al sacarle mitad o tercera o lo que corresponda. Es importante señalar que en la columna derecha sólo deben considerarse números primos.
El número 2080 tiene mitad, por lo que se anota un 2 en la columna derecha, y el resultado (1040) se anota debajo de 2080. Como 1040 tiene mitad anotamos un 2 en la columna derecha y 2080 2 520 bajo 1040; procedemos de esta manera hasta lograr que en la columna de la izquierda aparezca el número 1, dando por terminado el procedimiento. De manera que 2080 se expresa como el producto de factores de la siguiente forma:
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 1
= 25 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 1
2080 2
1040 2 520 2 260 2 130 2 65 5 13 13 1
De los números fraccionarios estudiaremos qué son fracciones equivalentes y las operaciones de adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división.
Fracciones equivalentes
Fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, al expresarlas en forma decimal, aun cuando los numeradores y/o denominadores sean
diferentes.
Las fracciones 1
2 𝑦
4
8 son equivalentes porque al expresarlas en forma decimal
tienen el mismo valor:
1
2 = 0.5 y
4
8 = 0.5
Aún cuando los numeradores y denominadores son diferentes. Las fracciones equivalentes tienen aplicación al realizar las operaciones de suma y resta de fracciones,
¿Cómo se obtienen fracciones equivalentes de una fracción cualquiera?
En la fracción, (de la que se parte para obtener fracciones equivalentes) multiplica numerador y denominador por el mismo número, diferente de cero, y de esta forma obtienes tantas fracciones equivalentes como quieras.
El procedimiento para obtener fracciones equivalentes se basa en el axioma de identidad para la multiplicación de los números reales, que dice: “el producto de cualquier número real por la unidad es el mismo número real”, esto es:
a 1 = a
Ahora bien, la unicidad se puede expresar como: 1 = 𝑎
𝑎
Es decir que 1 = 2
2=
3
3 =
5
5 =
20
20 =
100
100= etc.
Y si yo tengo 3
4 y lo multiplico por 1 tendré el mismo número o una fracción
equivalente.
3
4 ∗
2
2 =
6
8
6
8 es equivalente a
3
4
Operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones
Sean a, b y c números reales con b ≠ 0, la suma de las fracciones 𝑎
𝑏 𝑦
𝑐
𝑏 se define
como:
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑏=
𝑎 + 𝑐
𝑏
«La suma de dos fracciones que tienen el mismo denominador es una fracción cuyo
numerador es la suma algebraica de los numeradores, y el denominador es el
común a ambas fracciones».
Ejemplo
3
5+
8
5=
3+8
5 =
11
5
La operación de adición o suma de fracciones con distinto denominador
Sean a, b, c y d números enteros con 𝑏 𝑦 𝑑 ≠ 0 , la suma de las fracciones 𝒂
𝒃 𝑦
𝒄
𝒅
Se define como:
𝒂
𝒃+
𝒄
𝒅=
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
𝒃𝒅
Nota que el numerador de la fracción resultante es la suma de los productos que se
indican; y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones.
Ejemplo
3
5+
4
7=
21+20
35=
41
35
Un procedimiento para sumar fracciones con distinto denominador consiste en
convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para
lograr que las fracciones tengan el mismo denominador, la primera se multiplica por
el denominador de la segunda, y la segunda fracción se multiplica por el
denominador de la primera, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
3
5+
4
7=
21
35+
20
35=
41
35
La operación de resta de fracciones
La resta de fracciones se realiza con la misma técnica de la adición, haciendo la
siguiente consideración acerca del signo negativo que precede a la segunda
fracción.
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏+
(−𝑐)
𝑑=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
La operación de multiplicación de números fraccionarios
Sean 𝑎
𝑏 𝑦
𝑐
𝑑 dos números fraccionarios con 𝑏 𝑦 𝑑 ≠ 0 , la multiplicación se define
como:
𝑎
𝑏∗
𝑐
𝑑=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
Esto es, el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores de las fracciones, y el denominador es el producto de
los respectivos denominadores.
Ejemplo:
7
5∗
11
3=
77
15
La operación de división de números fraccionarios
Sean 𝑎
𝑏 𝑦
𝑐
𝑑 dos números fraccionarios, la división se define como:
𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
«El cociente o división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y
cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el
numerador de la segunda».
La división de fracciones puede ser expresada como una multiplicación si en lugar
de la segunda fracción se usa su recíproco o inverso multiplicativo.
Recuerda que el inverso multiplicativo de un número 𝒂 e s 𝟏
𝒂
De acuerdo con lo anterior, la división de dos fracciones también se define de la
siguiente manera:
𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏∗
𝑑
𝑐=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Ejemplo:
3
2 ÷
5
7=
3
2∗
7
5=
21
10
Jerarquización u orden de operaciones numéricas Cuando se plantean algunos problemas matemáticos que involucran varias operaciones es necesario expresarlas correctamente para evitar errores en la búsqueda de la solución; las herramientas que se utilizan comúnmente son los llamados símbolos de agrupamiento y signos matemáticos. Los signos y símbolos de agrupamiento usados en el lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje escrito; Por ejemplo, si tenemos: 7+3 x2 Algunos respondieron que el resultado es 20, al realizar primero la suma de 7 + 3 = 10 y posteriormente multiplicarlo por 2. Otros respondieron que el resultado es 13, al realizar primero el producto de 3 x 2 = 6 y posteriormente sumarlo con 7. La ambigüedad de la proposición permite diferentes interpretaciones y, por lo tanto, no esta lo suficientemente clara. El uso correcto de los símbolos de agrupamiento evita tener diferentes interpretaciones de una misma proposición. Regresemos a nuestra proposición; si usamos el símbolo de agrupamiento más sencillo, «los paréntesis circulares» ( ), y expresamos 7 + 3 x 2 de las siguientes formas: a) (7+3) x 2 b) 7 + (3x2) Obtendremos las respuestas a) 20 y b) 13 Observa que ambas proposiciones, a) y b), sólo admiten una interpretación. Podemos concluir que el descuido en el uso de signos de puntuación o matemáticos es la principal fuente de error en la interpretación del lenguaje escrito o en las operaciones matemáticas, respectivamente.
Los símbolos de agrupamiento comúnmente utilizados son: ( ), [ ], { } Paréntesis circulares, paréntesis rectangulares y llaves circulares o corchetes Se acepta de manera generalizada que cuando en un planteamiento aparecen dos o más símbolos de agrupamiento, las llaves encierran o contienen a los paréntesis rectangulares y éstos a los circulares; es decir, el orden o prioridad es:
{ [( )] } Lo que significa, desde el punto de vista práctico, que primero se realizan las operaciones
agrupadas en los paréntesis circulares, después las operaciones agrupadas en los paréntesis rectangulares y, por último, las que agrupan las llaves; es decir, cuando se
eliminan los símbolos de agrupamiento al efectuar las operaciones contenidas en ellos se empieza de lo interno a lo externo.
Ejemplo Simplificar las expresiones: a) 7[5+2(3)]+2 = 7[5+6]+2 = 7[11]+2 = 79 b) [(5-4)3-6] 3 = [(1) 3 -6]3= [3-6]3 =-3*3 = -9 Relación entre cantidades que dan origen a los conceptos «tanto por ciento» e «interés» Entre las aplicaciones más comunes de las razones o proporciones se encuentra el tanto por ciento. El tanto por ciento es el cociente o razón de un número a con respecto a otro número b,
y se expresa: 𝒂
𝒃 𝒙 𝟏𝟎𝟎
Para expresar una cantidad como un tanto por ciento su utiliza el símbolo %. El tanto por ciento tiene una gran utilidad; entre otras cosas, sirve para: a) Expresar de manera sencilla cantidades difíciles de recordar, analizar o manejar. Por ejemplo, en los censos de población y vivienda se manejan cantidades como las siguientes:
La población total de un estado es de 6 435 421 habitantes, de los cuales 3 813 412 son mujeres y 2 622 009 son hombres. Estos números son difíciles de recordar; sin embargo, se simplifica su expresión al hacer referencia a la cantidad de mujeres y hombres usando el tanto por ciento, como se indica a continuación: el 59% del total de la población son mujeres, y el 41% son hombres. b) Determinar las ganancias, el pago de intereses o pérdidas de transacciones comerciales o financieras partiendo de una relación o porcentaje establecido o acordado. El tanto por ciento establece la relación que existe entre una «parte del todo» respecto al «todo». Si de 100 manzanas se le entregan 25 a una persona, identificamos a las 25 manzanas como la «parte del todo» y a las 100 manzanas como el «todo». En lenguaje común y de manera intuitiva podemos decir que a la persona le dieron el veinticinco por ciento de las manzanas, esto es, veinticinco por cada cien manzanas.
En la definición, el «tanto por ciento» se expreso como: 𝒂
𝒃 𝒙 𝟏𝟎𝟎
De acuerdo con el planteamiento antes mencionado, se debe identificar a la letra a como la «parte del todo» y a la letra b como el «todo», de modo que el tanto por ciento de manzanas entregadas a la persona se determina de la siguiente forma:
25
100 𝑥 100 = 0.25 𝑥 100 = 25%
Ejemplo ¿Cuál es el 6% de $50? De acuerdo a la definición se tiene que:
6
100 𝑥 100 = 0.06 𝑥 100 = 6%
Entonces $50 X 0.06 = $3 El 6% de $50 pesos son $3 El tanto por ciento y la tasa de interés simple Las operaciones más simples que realizan las instituciones financieras son, entre otras, el pago de intereses por un monto invertido o el cobro de intereses por préstamos recibidos; ambas operaciones tienen como instrumento la denominada tasa de interes,
que se expresa de manera sencilla, como un tanto por ciento del monto invertido o préstamo recibido, referido a un periodo establecido. Ejemplos: En el tablero de avisos de una institución financiera se informa lo siguiente: Tasa de interes anualizada a 30 días: 3.28% para montos de inversion de $50 000 por lo menos. Ejemplo El señor García recibe $60 000 de aguinaldo y decide invertirlos a 30 días con una tasa de interés anual de 3.28%. ¿Cuánto recibe por concepto de intereses? Solución: El monto que representan los intereses que ganan los $60 000 en un mes se calcula de la siguiente manera: Tasa de interés a un mes se calcula de la siguiente manera: tasa de interes anual entre 12 meses es decir 3.28% / 12 meses = 0.273% La tasa de interés mensual es de 0.273% significa que la ganancia por cada 100 pesos invertidos es de 0.273 pesos, esto quiere decir que: ¿Si cada 100 pesos ganan 0.273 pesos, cuánto gana con 60 000 pesos? con una regla de tres simple tenemos:
60000
𝑥∶
100
0.273=
60000 𝑥 0.273
100= 163.80
Esta expresión se plantea como: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esto es: 100X = 60000 x 0.273, de donde X = 60000 x 0.273/100 =163.80 Con los 60000 pesos se ganan $163.80 mensuales por concepto de interes. Observa en la expresion anterior que los intereses, representados por X, son el resultado de multiplicar el monto o capital invertido ($60 000) por la tasa de interes expresada en por ciento, y dividir el resultado por 100, lo que es equivalente a multiplicar el capital invertido por la tasa de interes dividida por 100. Esto significa que esta se expresa en forma decimal, es decir: Tasa de interés expresada en por ciento = 0.273/100 = 0.00273 100 De manera que para calcular los intereses ganados por invertir el monto o capital, se multiplica este por la tasa de interes expresada en forma decimal.
Monto ganado por intereses = $60 000 x 0.00273 = $ 163.80
BLOQUE 2
UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
2.1 Números reales: representación y operaciones
El conjunto de los números reales, que generalmente se identifica con la letra ℝ, está constituido por el sub- conjunto de los números racionales Q y el subconjunto
de los números irracionales Q como ya mencionamos en el bloque 1.
Mencionamos a continuación´ las ventajas de un sistema numérico que utiliza el
conjunto de los números reales:
Los números reales y la recta numérica
Se puede construir una «recta numérica» al asociar los números reales con los
puntos de una línea recta y con dos rectas numéricas construir un sistema
coordenado rectangular.
La asociación o correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta
dio lugar al desarrollo de uno de los aspectos más importante de las matemáticas:
la construcción de la recta numérica y de los ahora conocidos como sistemas
coordenados; estos últimos, entre otras cosas, permiten la representación gráfica
de figuras geométricas.
La construcción de una recta numérica se basa en la correspondencia entre
números reales y puntos de la recta; a esto se le denomina correspondencia
biunívoca, lo que significa que a cada número real le corresponde un único punto
de la recta y viceversa.
Al construir la recta conviene asociar el cero (0) con un punto al que se le llama
origen, el cual sirve como referencia para ubicar los números positivos y negativos
a su derecha e izquierda, respectivamente [Figura 2.1]
origen
Números negativos Números negativos
0
Figura 2.1
A partir del cero y hacia la derecha se representan los números positivos con puntos
de la recta, situados a intervalos iguales; a la izquierda del cero se repite la
operación para los negativos. Por lo general sólo se representan números enteros,
como se ilustra en la Figura 2.2.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Figura 2.2
Sin embargo, entre dos enteros consecutivos se pueden representar los números
fraccionarios contenidos entre ellos; por ejemplo, para representar 1/3, que está
contenido entre 0 y 1, procedemos a dividir el intervalo en tres partes iguales.
0 1/3 2/3 1
Figura 2.3
Para representar 1/2, dividimos el intervalo entre 0 y 1 en dos partes iguales. Hecho
esto representamos dicha fracción
0 1/2 1
Figura 2.4
Al número asociado con un punto de la recta se le denomina coordenada del punto.
Los números irracionales como √2 = 414213562 …y √5 = 2.23606797…. una vez
conocida su representación decimal, también se pueden asociar con puntos de la
recta, como se ilustra a continuación:
√2 = 1.414213562 …. √5 = 2.23606797 ….
√2
√5
1 1.2 1.4 1.8 2 2.2 2.4 2.6
Figura 2.5
Con la evolución de los pueblos se hizo necesario conocer el tamaño de los objetos,
la distancia entre las ciudades y después entre los astros, cuya consecuencia es la
aparición de instrumentos como el metro, el termómetro, el escalímetro, etc.,
diseñados para medir y dibujar. Estos instrumentos se basan en la asociación de
números con puntos de una recta. El termómetro y el escalímetro son ejemplos de
esta asociación o correspondencia.
Dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, dan origen al sistema
coordenado rectangular, haciendo que se intersecten en el origen, como se ilustra
en la Figura 2.6.
Figura 2.6.
Teoremas o leyes de los exponentes
Se puede representar cualquier cantidad o magnitud en forma sencilla, empleando
el concepto de exponentes. Para escribir cantidades muy «pequeñas» o muy
«grandes» se usan las «expresiones exponenciales», por ejemplo:
0.0005 se escribe 0.5 x 10−3 ó bien 5 x 10−4
0.00000008 se escribe 8 x 10−8
En álgebra, frecuentemente nos encontramos con la multiplicación de un número
por sí mismo varias veces; por ejemplo, al calcular el área de un cuadrado cuyo lado
es a se presenta la situación mencionada, ya que el área es igual al producto a • a.
El volumen de un cubo de lado b es igual a b • b • b. Surge entonces la necesidad
de abreviar este tipo de expresiones.
Definición de expresión exponencial
Si a representa un número real diferente de cero y n es un número natural, es decir:
𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛 ∈ ℕ entonces:
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … … … . . 𝑎 𝒏 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝒂
De acuerdo con la definición, tenemos que:
𝑎0= 1
𝑎1 = 𝑎
𝑎3= a • a • a 3 veces a
24 = 2 • 2 • 2 • 2 4 veces 2
En la expresión 𝒂𝒏 identificamos a n como el exponente y a a como la base. El
exponente representa el número de veces que la base se multiplica por sí misma.
Teoremas
Los teoremas de los exponentes nos permiten efectuar operaciones con este tipo
de expresiones. Es común utilizar el término leyes de los exponentes en lugar de
teoremas.
Primera ley de los exponentes
Si a representa un número real diferente de cero y n y m son números naturales, es
decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ entonces:
𝒂𝒏 ∙ 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎
Ejemplo
𝒂𝟐 ∙ 𝒂𝟑 = 𝒂𝟐+𝟑 = 𝒂𝟓
Segunda ley de los exponentes
Si a representa un número real diferente de cero y n y m son números naturales, es
decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ entonces
(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏𝒎
Ejemplo
(𝒂𝟐)𝟑 = 𝒂𝟐𝒙𝟑 = 𝒂𝟔
Tercera ley de los exponentes
Si a y b representan números reales diferentes de cero y n es un número natural,
es decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛 ∈ ℕ entonces
(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛
Ejemplo
(2𝑥)3 = 23𝑥3 = 8𝑥3
Cuarta ley de los exponentes
Si a representa un número real diferente de cero y m y n son números naturales, es
decir: 𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ
𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 𝑛
Ejemplo
𝟐𝟖
𝟐𝟑= 𝟐𝟖−𝟑 = 𝟐𝟓 = 𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐𝐱𝟐 = 𝟑𝟐
2.2 Tasas, razones, proporciones y variaciones
Con los números reales se pueden efectuar prácticamente todas las operaciones
que necesita el ser humano en sus actividades cotidianas, académicas, científicas,
así como establecer relaciones entre números que dan origen a los conceptos de
razones, proporciones, tanto por ciento e interés.
Razones
En las narraciones de partidos de basquetbol y futbol, entre otros, se utilizan
expresiones como las siguientes:
«De cada 10 tiros lanzados hacia el aro, los jugadores de un equipo de basquetbol
encestan 6, por lo que su efectividad es del sesenta por ciento».
«Sólo 2 de 40 disparos intentados por los jugadores de un equipo de futbol han sido
goles, por lo que su efectividad es del cinco por ciento».
Para decidir cuál automóvil comprar, casi siempre se considera el «rendimiento» del
mismo, esto es, cuántos kilómetros recorre con un litro de gasolina; para obtener
este rendimiento, el fabricante debe aplicar el concepto de proporción debido a
que él conoce el número de kilómetros que puede recorrer el vehículo con la
cantidad de litros que le caben al tanque, y los kilómetros que recorre.
Incluso algunas situaciones como la que se enuncia a continuación deben
resolverse haciendo uso del concepto de proporcionalidad, que más adelante se
abordará.
En la actualidad, cuando se expresan resultados de datos estadísticos relacionados
con la población, la actividad económica, las preferencias de candidatos o partidos
políticos, etc., se utilizan representaciones gráficas o tablas, en las que se
mencionan cantidades expresadas como porcentajes o tanto por ciento, por ser más
fáciles de recordar y comprender en lugar de las cantidades expresadas con
números.
Algunas de las respuestas a las preguntas o situaciones enunciadas anteriormente
se obtienen con base en conceptos y definiciones de razones y proporciones que
se exponen a continuación.
Razón
La razón de dos magnitudes es la expresión del cociente entre ellas. Las
magnitudes se expresan usando las mismas unidades; por lo tanto, la razón
es un número.
Notación
Se puede establecer la razón entre dos magnitudes cualesquiera, como por ejemplo
c y d, utilizando para expresarla alguna de las siguientes formas:
Utilizas magnitudes y números reales
a) Usando dos puntos entre las magnitudes. c : d
b) Usando la preposición a entre las magnitudes. c a d
c) Representándola como un cociente. 𝑐
𝑑
d) Representándola en forma decimal. Por ejemplo, 1
100= 0.01
La construcción de escalas es ejemplo de razones
Establecer una escala para dibujar una casa-habitación o la longitud de una
carretera, entre otras cosas, requiere definir una razón entre las dimensiones reales
de la casa o de la carretera y aquellas que permitan hacer el dibujo en un papel
cuyo tamaño sea manejable para fines prácticos. Esta razón se conoce como
escala.
Por ejemplo, si decimos que 1 cm representa 1 m habremos establecido una razón
que representa una determinada escala; sin embargo, como debemos utilizar las
mismas unidades, la razón correctamente expresada es 1 cm representa 100 cm, y
se escribe de las siguientes formas:
1:100 1 a 100 1
100 0.01
Por lo general, se utiliza la primera expresión para representar una escala.
También podemos establecer la razón o escala siguiente: 1 cm representa 1/2
metro; o bien, 1cm representa 50 cm.
Expresada la escala en forma convencional tenemos: 1:50, o bien, 1 a 50. El
«escalímetro», usado por los dibujantes, contiene las escalas que comúnmente se
emplean para elaborar planos de casas, fraccionamientos, edificios, etcétera.
Las estadísticas deportivas usan las razones
En las narraciones deportivas el uso de estadísticas tiene, por lo general, el
propósito de dar información objetiva y fácil de interpretar para analizar el
comportamiento de un equipo en su conjunto o de sus jugadores en lo particular.
Es frecuente leer en la pantalla del televisor la efectividad de un equipo de
basquetbol de la siguiente manera:
Tiros de campo encestados 17 de 28
Rebotes recuperados a la defensiva 32 de 45
Tiros libres encestados 11 de 16
Rebotes recuperados a la ofensiva 10 de 50.
Interpretando los tiros de campo, sabemos que encestaron 17 de 28 intentos
realizados, y en los tiros libres encestaron 11 de 16 intentos.
Conclusiones sobre las razones
a) Las magnitudes o cantidades que se relacionan deben expresarse usando
las mismas unidades.
b) La razón es un número; sin embargo, requiere una correcta interpretación.
c) La razón debe escribirse como una expresión irreductible, esto es, que ya no
puede simplificarse.
Proporciones
Proporción es la igualdad de dos razones.
Son ejemplos de proporciones:
1
2=
4
8
3
5=
6
10
o bien 1:2 = 4:8 3:5 = 6:10
Es común leer las expresiones anteriores de la siguiente forma: «1 es a 2 como 4
es a 8», «3 es a 5 como 6 es a 10».
Para este caso, se tiene que: Los medios de una proporción son los números que
ocupan la posición segunda y tercera. Los extremos de una proporción son los
números que ocupan la posición primera y cuarta. En los ejemplos utilizados
tenemos que:
1:2 = 4:8 3:5 = 6:10
1 y 8 son los extremos, 2 y 4 son los medios
3 y 10 son los extremos y 5 y 6 son los medios
Propiedad fundamental de las proporciones
Dada la proporción a:b = c:d, se tiene que ad = bc; que podemos expresar de la
siguiente manera. El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Expresada la proporción a:b = c:d en forma de fracciones, tenemos 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 que
podemos expresar como el producto cruzado de los elementos son iguales. Esto
es:
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 = ad = bc
Ejemplo
1:2=4:8
2x4 = 1x8
8 = 8
3:5 = 6:10
5x6 = 3x10
30 = 30
Podemos concluir que las expresiones anteriores sí son ejemplos de proporciones
al satisfacerse las igualdades, es decir, que son ciertas las proposiciones de
igualdad: ocho es igual a ocho, treinta es igual a treinta.
Un elemento desconocido en las proporciones
Existen problemas relacionados con las proporciones en los que se desconoce
alguno de los elementos que las forman; el elemento desconocido se identifica
utilizando, por lo general, alguna letra del alfabeto.
Evidentemente, en estos problemas se busca el valor que tiene el elemento
desconocido, el cual puede encontrarse en cualquier posición de la proporción,
como se muestra a continuación:
a) 7:2 = 28:X
b) 3:X = 5:15
Ahora bien, utilizando la propiedad fundamental de las proporciones tenemos que:
a) 7X = (2) (28) de donde: b) 45 = 5X
7X = 56 5X = 45
X = 56/7 X = 45/5
X = 8 X = 9
Aplicaciones de las proporciones
La regla de tres es una explicación de las proporciones que estudiaremos a
continuación.
La regla de tres es una operación combinada de multiplicación y de división entre
cuatro cantidades (una de ellas desconocida), siempre y cuando dichas
cantidades sean proporcionales. En otras palabras, es una proporción con un
elemento desconocido.
Existen problemas o planteamientos que establecen razones entre cantidades
expresadas en diferentes unidades, por lo que antes de resolverlas es necesario
referirlas a las mismas unidades para evitar errores en la búsqueda de la solución.
Cantidades directa e inversamente proporcionales
Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales cuando al hacerse
una de ellas un cierto número de veces mayor, la otra también se hace el mismo
número de veces mayor. Lo mismo sucede cuando una cantidad se hace un cierto
número de veces menor, y en consecuencia la otra también resulta el mismo
número de veces menor; la expresión de esto es:
𝐴
𝐵=
𝐶
𝑋 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 =
𝐵𝐶
𝐴
Ejemplo
10 metros de tela cuestan $40 pesos, ¿Cuánto costarán 50 metros de tela?
10:40 = 50:X entonces 10X = (40)(50) luego X= 2000/10 por lo que X = 200
50 metros costarán 200 metros
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al hacerse una de ellas
un cierto número de veces mayor, la otra resulta el mismo número de veces menor,
o viceversa, es decir:
𝐴
𝐵=
1
𝐶𝑋
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑋 = 𝐴𝐶
𝐵
Ejemplo
Si en la construcción de una calle se emplearon 10 obreros y se terminó en 20 días,
¿en cuántos días habrían realizado 40 obreros la misma construcción?
Es evidente que se involucran cantidades inversamente proporcionales, ya que a
mayor número de obreros empleados en la construcción, menor es el tiempo
necesario para efectuarla; por consiguiente, si utilizamos el doble de obreros, el
tiempo se reduce a la mitad; si empleamos el cuádruple de obreros, como señala el
ejemplo, el tiempo se reduce a la cuarta parte, es decir, a 5 días.
Suponiendo que no consideramos que se relacionan cantidades inversamente
proporcionales y que planteamos la solución usando una regla de tres en la
siguiente forma:
10 obreros emplean 20 días 40 obreros emplean x número de días, es decir 10:20
= 40x
De donde 10x=800 x = 80 días
Es evidente que la respuesta es equivocada.
Solución: Este problema lo puedes resolver planteándolo de la siguiente manera.
Determina cuántos días tardaría en hacer la obra un obrero y el resultado divídelo
por los 40 obreros que especifica el ejemplo.
Si 10 obreros tardan 20 días, 1 obrero tardará 200 días; observa que al disminuir el
número de obreros, el número de días se incrementa en la misma proporción.
Con este dato se puede ahora plantear una regla de tres, sin cometer errores, de la
siguiente manera:
Si 1 obrero tarda 200 días, es decir: 1:200 = 40:X, entonces, 40 obreros tardarán
(X):
𝑋 =200
40= 5 𝑑𝑖𝑎𝑠
40 Observa que a mayor número de obreros empleados, menor tiempo de
construcción.
BLOQUE 3
REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
3.1 Representación de relaciones entre magnitudes
Introducción a las sucesiones numéricas
En cursos posteriores de matemáticas, como en el de cálculo diferencial e integral,
se aprecia la utilidad que tienen las sucesiones de números, de las que existen dos
tipos, las aritméticas y las geométricas.
A manera de introducción haremos mención a una nota histórica para destacar la
importancia de las sucesiones de números.
«Se dice que en su niñez, el destacado matemático Gauss era muy inquieto, por lo
que en una ocasión su profesor de matemáticas le pidió que sumara los números
del 1 al 100, con la intención de mantenerlo ocupado por un tiempo; sin embargo, y
casi de manera inmediata, Gauss dio su respuesta: la suma es 5050».
El maestro pidió al niño le explicara cómo había podido efectuar la suma de tantos
números tan rápidamente; éste contestó lo siguiente:
Sumé el primer número con el último y obtuve 101, esto es 1 con 100; sumé el
segundo número con el penúltimo y obtuve 101, esto es 2 con 99; sumé el tercer
número con el antepenúltimo y obtuve 101, esto es 3 con 98; y así sucesivamente
.
Figura 3.1
Gauss continuó con la explicación.
Todas las parejas formadas de esta manera, sumadas dan 101; como se pueden
formar 50 parejas, para obtener la suma sólo multipliqué 50 por101 obtuve 5050.
En las sucesiones o series, lo que se estudia es la forma de determinar cualquier
término de ella sin tener que desarrollarla en su totalidad y cómo obtener la suma
de algunos o todos los términos que la conforman de manera sencilla.
Por ejemplo, conocidos los primeros 6 términos de las sucesiones:
3,10,17,24,31,38... 2,6,18,54,162,486...
¿Cuál es el valor del término que ocupa la posición número 28?
¿Cuál es la suma de los primeros 28 términos?
La teoría de las sucesiones permite construir expresiones matemáticas con las que
101
101
1 2 3 4 5 … 96 97 98 99 100
101
101
fácil y rápidamente puedes responder las preguntas anteriormente planteadas sin
tener que escribir todos los términos hasta llegar al 28
Estas expresiones las obtendremos al desarrollar el tema de sucesiones aritméticas
y geométricas, empezando por la segunda definición.
Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos que se
obtienen mediante la aplicación de una “regla determinada”.
Sucesión lineal o aritmética
Si la «regla» establecida para obtener los términos de una sucesión consiste en
sumar, después del primer término, al precedente un número constante llamado
razón (r), la sucesión se llama lineal o aritmética.
Ejemplo
En estas sucesiones, los números constantes que se añaden son 2
3,5,7,9,11,13,... 6,10,14,18,22,...
La razón es 2 la razón es 4
Por lo que ambas son sucesiones lineales.
En forma genérica la sucesión lineal o aritmética se puede expresar como:
términos precedentes
𝑡1, 𝑡1 + 𝑟, 𝑡1 + 2𝑟, 𝑡1 + 3𝑟, 𝑡1 + 4𝑟,
Donde t identifica al primer término, r es la razón o cantidad que sumada al primer
término da el valor del segundo, cuya expresión es 𝒕𝟏 + 𝒓; el tercer término se
obtiene sumando la razón al término precedente, es decir, (𝒕𝟏 + 𝒓 ) + r, cuya
expresión es 𝑡1+ 2r. Los demás términos se determinan de la manera descrita.
Obtendremos a continuación la expresión que nos permitirá llegar al valor de
cualquier término de la sucesión lineal o aritmética, que se identifica como t y se le
llama término n-ésimo. Para obtener dicha expresión identificamos con «n» al
número del término, con «t» al primer término y con «r» a la razón.
Nos interesa expresar cualquier término de la sucesión en función del número del
término «n» y de la razón «r».
Cualquier término se expresa como 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑐𝑟, esto es:
Para el primer término, n = 1, la expresión de 𝑡𝑛 = 𝑡1.
Esto significa que c = 0 para que cr = 0, esto se logra sí hacemos que c = n —1, ya
que como n = 1 tenemos que c = 1- 1= 0.
Para el segundo término, n = 2, la expresión debe ser: 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑟.
Esto significa que c = 1 para que cr = 1, como n 2 y c =n -1 tenemos que
c = 2 - 1 = 1.
Para el tercer término, n = 3, la expresión debe ser: 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 2𝑟
Esto significa que c = 2 para que cr = 2r ; como n = 3 y c = n - 1, tenemos que
c = 3 - 1 = 2.
De manera que la expresión 𝑡𝑛 = 𝑡1 + 𝑐𝑟 escribe también así:
𝒕𝒏 = 𝒕𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒓
ya que c = n-1
«El valor de cualquier término, identificado por t,,, se puede obtener si se conoce el valor del primer término (𝒕𝟏) y del número del término (n) y de la razón (r) ».
Ejemplo
Escribe al menos tres términos más de la siguiente sucesión lineal:
7,14,21,28,...
la razón (r) se obtiene restando el segundo término del primero r = 14-7 = 7
como r = 7 entonces tenemos 7,14,21,28, 35, 42, 49, ……….
Ejemplo
Determina cuál es el número del término de una sucesión lineal cuyo valor es el
máximo que se puede expresar con dos dígitos y cuanto el primer término es 1 y
la razón es 2.
Partiendo de nuestra fórmula:
El máximo valor que se puede expresar con dos dígitos es 99 entonces
𝒕𝒏 = 𝟗𝟗 𝒕𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒓 = 𝟐
𝟗𝟗 = 𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝟐
99 = 1 + (n – 1)2
99 = 1 + 2n – 2
99 = 2n – 1
99 + 1 = 2n
100 = 2n
n = 50
Por lo que es el término 50 el que vale 99
La suma de «n» términos de una sucesión lineal o aritmética
Vamos a encontrar una expresión que nos permita obtener la suma de «n»
términos de una sucesión lineal o aritmética sin tener que realizar la suma de los
mismos.
Esta suma se puede representar así:
𝑆𝑛 = 𝑡1 + (𝑡1 + 𝑟) + (𝑡1 + 2𝑟) + ( 𝑡1 + 3𝑟) + (𝑡1 + 4𝑟) + ⋯ + [𝑡1 + (𝑛 − 1)𝑟]
Haciendo una serie de operaciones algebraicas tenemos que para calcular la suma
de “n” términos de una sucesión lineal o aritmética tenemos que:
𝑺𝒏 = 𝒏
𝟐(𝒕𝟏 + 𝒕𝒏)
Ejemplo
Obtén la suma de los 6 primeros términos de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27
Solución
Sabemos que 𝑡1 = 3 𝑡𝑛 = 𝑡6 = 23 𝑟 = 7 − 3 = 4 𝑛 = 6
Entonces sustituyendo en
𝑺𝒏 = 𝒏
𝟐(𝒕𝟏 + 𝒕𝒏)
Tenemos
𝑺𝟔 = 𝟔
𝟐(𝟑 + 𝟐𝟑) = 𝟑(𝟐𝟔) = 𝟕𝟖
Si sumamos
3+7+11+15+19+23 = 78
Sucesiones o progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados “términos”, en
la cual después del primer término los demás se obtienen al multiplicar los
precedentes por un número constante llamado razón o cociente común.
La sucesión de números 3, 6, 12, 24,... es una progresión geométrica porque cada
término después del primero se obtiene al multiplicar el precedente por un número
fijo llamado razón o cociente común, que en este caso es 2.
El segundo término, que es 6, se obtiene al multiplicar el precedente, que es 3, por
la razón, que es 2; el tercer término, que es 12, se obtiene al multiplicar el
precedente, que es 6, por la razón, que es 2 y así sucesivamente.
Nota que la razón se obtiene como el cociente que resulta de dividir cualquier
término por el precedente:
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=
6
3= 2
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=
12
6= 2
𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜=
24
12= 2
Es por esta característica que la razón se llama cociente común.
La notación utilizada en las sucesiones o progresiones geométricas es la siguiente:
𝑡1 Identifica al primer término.
r Identifica a la razón o cociente común.
n Identifica al número del término.
𝑡𝑛 Identifica a cualquier término, llamado término n-ésimo.
Así que una sucesión o progresión geométrica puede representarse como:
𝒕𝟏, 𝒕𝟏𝒓, 𝒕𝟏𝒓𝟐, 𝒕𝟏𝒓𝟑, 𝒕𝟏𝒓𝟒 ….
Puesto que cada término, después del primero, se obtiene al multiplicar el
precedente por r.
¿Cuál es la expresión para el término n-ésimo?, es decir, aquella expresión que
permite obtener el valor de cualquier término de la progresión.
Recordemos que «n» es el número del término, de manera que en la progresión
hacemos la identificación siguiente:
Términos de la sucesión — 𝑡1, 𝑡1𝑟, 𝑡1𝑟2, 𝑡1𝑟3, 𝑡1𝑟4 ….
Número de término (n) —--- 1 2 3 4 5
Observa que cualquier término es el producto de 𝒕𝟏 por r elevada a un determinado
exponente, esto se obtiene utilizando la expresión (n - 1) como al exponente de r
El exponente de r del término número 1 es 0, Para n =1 el exponente es (1 - 1) = 0
El exponente de r del término número 2 es 1, Para n =2 el exponente es (2 - 1) = 1
El exponente de r del término número 3 es 2, Para n =3 el exponente es (3 - 1) =2
El exponente de r del término número 4 es 3, Para n =4 el exponente es (4 - 1) =3
De manera que cualquier término de la progresión, identificado como 𝒕𝒏 se escribe
como:
𝒕𝒏 = 𝒕𝟏𝒓𝒏−𝟏
El valor de cualquier término de una progresión geométrica (𝒕𝒏) se obtiene
conociendo el valor del primer término (𝒕𝟏) la razón r y obviamente el valor de n.
En la progresión geométrica 3, 9, 27, 81.....determinar el valor del término que ocupa
la posición 10.
Solución:
La razón es 9
3= 3
r = 3 𝑡1 = 3 n = 10
De manera que el valor del término que ocupa la posición número 10, se escribe
como 𝑡10 y se obtiene como se muestra a continuación:
𝒕𝒏 = 𝒕𝟏𝒓𝒏−𝟏
𝑡10 = 3(3)10−1
𝑡10 = 3(3)9
𝑡10 = 3(19 638) = 59049
La suma de «n» términos de la sucesión o progresión geométrica
Para obtener la suma de «n» términos de una progresión geométrica, sin tener que
desarrollar ésta, y sumar todos los términos, encontraremos una expresión que
permita realizar esta suma de manera sencilla.
Expresión que permite obtener la suma de “n” términos conociendo 𝒏, 𝒕𝟏 𝑦 𝒓 siempre
que r ≠ 𝟏
𝑺𝒏 =𝒕𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)
𝟏 − 𝒓
Ejemplo
Encontrar la suma de los primeros 8 términos de la progresión geométrica:
3, 6, 12, 24,...
Solución:
n=8
y la razón es 6
3= 2
r = 2
𝑡1= 3
Sustituyendo en la ecuación
𝑺𝒏 =𝒕𝟏(𝟏 − 𝒓𝒏)
𝟏 − 𝒓
𝑺𝟖 =𝟑(𝟏 − 𝟐𝟖)
𝟏 − 𝟐=
𝟑(𝟏 − 𝟐𝟓𝟔)
−𝟏=
𝟑(−𝟐𝟓𝟓)
−𝟏=
−𝟕𝟔𝟓
−𝟏= 𝟕𝟔𝟓
𝑺𝟖 = 𝟕𝟔𝟓
Resuelve lo siguiente.
1. Encuentra la suma de los 12 primeros términos de la sucesión 7, 11, 15, 19,
usando la expresión de la suma de «n» términos.
2. Encuentra el término 22 de la sucesión lineal 3, 6, 9, 12,...
3. Completa las siguientes sucesiones geométricas: 5, 20, 80, 320,... hasta el
término número 8 y cuál es la suma de estos ocho términos.
BLOQUE 4 TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
4.1 Representación de relaciones entre magnitudes
Lenguaje matemático
Para estar en condiciones de poder construir un «modelo matemático» es
necesario conocer el lenguaje utilizado en esta disciplina.
El lenguaje matemático emplea los números reales, los signos matemáticos y las
literales.
Los números naturales y sus propiedades fueron estudiados en los bloques
anteriores, y en su explicación se usaron algunos signos matemáticos.
Consideramos de importancia que conozcas quién los creó y en qué época, además
de que recuerdes qué es lo que representa cada uno de ellos.
En la Tabla 4.1 se muestran algunos signos matemáticos que utilizamos
actualmente; éstos son el producto del pensamiento de grandes matemáticos a
través de muchos años de esfuerzo.
Signo Año y creador Representa
+,- 1489, John Widmann Suma y resta, positivo y negativo, respectivamente
√ 1525, Christoff Rudolf Radical
= 1557, Robert Recorde Igualdad
x 1631, William Oughtred Multiplicación
∙ Thomas Harriot Multiplicación
[ ] 1629, Albert Girard Agrupamiento
÷ 1659, Johann H. Rahn División
<,> 1631, Harriot Orden de los números: menor que, mayor que, respectivamente
x 1637, René Descartes Una incógnita o una variable
Tabla4.1
Uso de las literales
Un notable avance en el lenguaje matemático lo representó el hecho de usar letras
para representar números y/o conceptos. Fue Descartes, en el año de 1637, quien
utilizó las primeras letras del alfabeto para representar números conocidos,
llamados constantes, y las últimas letras para representar números desconocidos
denominados variables o incógnitas; así:
a, b, c, d... representan números conocidos o constantes.
x, y, z, w... representan variables o incógnitas.
También correspondió a Descartes utilizar dos o más letras juntas para indicar
multiplicación; así, tenemos que:
ab representa la multiplicación de a y b.
abc representa la multiplicación de a, b y c.
e(f +g) representa la multiplicación de e por la suma de f y g.
(a + b)(a + b) representa la multiplicación de la suma de a y b por la suma
de a y b.
A Descartes se debe también el uso de los exponentes tal como se conocen ahora.
a2 Representa el producto de a por a.
𝑥3 Representa el producto de x por x por x, es decir, x • x • x.
52 Representa el producto de 5 • 5.
Construcción de expresiones algebraicas a partir de enunciados
Con los signos, números y literales se construye una expresión algebraica. Esta
tiene su origen al enunciar un problema relacionado con una situación determinada
en el ámbito de la vida cotidiana o un problema relacionado con la actividad
académica.
Por lo general un problema o situación determinada se enuncia en lenguaje común
y lo que se pretende es encontrar la expresión algebraica que lo representa, es
decir, se hace una “traducción” del lenguaje común matemático. Si esta traducción
no se efectúa adecuadamente, la expresión algebraica resultante no representará
lo que se enuncia.
Ejemplo
El doble de un número es igual a la mitad de otro número más uno
2x = 𝑦
2 + 1
El triple de un número es igual que dos veces otro número menos dos
3x = 2y – 2
¿Qué es un término, un coeficiente, el grado de un término y términos
semejantes?
Término. Un término se define cuando números y/o letras están asociados por las
operaciones de multiplicación o división. Un solo número o una sola letra también
son términos.
Son ejemplos de términos: 6, a, 5ab, 3x2,—6yz,7√𝑐3, 9𝑐𝑑𝑧2
Observa que las literales pueden estar elevadas a exponentes enteros o expresadas
como radicales, que, como ya sabes, son exponentes fraccionarios.
Coeficiente. Cuando el término tiene una parte numérica y una literal como en:
5ab, 3x2
, —6yz, 3𝑤
2, -4ac, 7√𝑐3, 9𝑐𝑑𝑧2
a la parte numérica se le llama «coeficiente numérico»; así, tenemos que, para los
términos anteriores, los coeficientes son: 5, 3, —6, 3
2, —4, 7 y 9; sin embargo, en
ocasiones se reconocen coeficientes formados con números y letras. Por ejemplo,
7a, 7b y 7ab son coeficientes de este tipo.
Grado. En un término que contenga una o más literales elevadas a diversos
exponentes, se define como «grado del término» en una determinada literal al
exponente de ella. Por ejemplo, en los términos:
a) —3x2
y4. Es de segundo grado en x y de cuarto grado en y. El grado del término
es la suma de los exponentes de las literales que identifican variables (en nuestro
ejemplo x y y), de manera que el término es de sexto grado
b) 7abz3
w2
y4
. Es de tercer grado en z, de segundo grado en w y cuarto grado en
y; el término es de noveno grado.
Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando tienen las
mismas literales elevadas al mismo exponente; sólo pueden diferir en el coeficiente.
5𝑥2, 8𝑥2, 5𝑥3
solo los dos primeros términos son semejantes, el tercero no lo es.
Es importante identificar si en una expresión algebraica existen términos
semejantes, ya que éstos se pueden reducir a uno solo y, por consiguiente,
simplificar la expresión. Esto se aplicará cuando se estudien las operaciones de
suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas.
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es aquella que está formada por uno o varios términos
asociados por los signos de suma ( + ) o resta ( - ). Son ejemplos de expresiones
algebraicas:
a) 4b+5
b) 3ax-7by+6cz
c) x2-3x+5
d) 𝑦3- 2𝑦2 − 5𝑦 − 8
e) 6w
f) 1
2𝑥2𝑦 + 3𝑦2𝑥 − 2𝑥3𝑦2
g) 4𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 3𝑦2 + 10𝑥2 − 6𝑦2 + 2𝑎𝑥
A las expresiones algebraicas, de acuerdo con el número de términos que tienen,
se les conoce como:
Monomios Cuando tienen un solo término: bx, c y, - 8, 4abx2
Binomios Cuando tienen dos términos: ax + b, x 2- Y, 46x - 6cy
Trinomios Cuando tienen tres términos: Ax+By+C, 6x2 - 4x+8, 3 a - 2b+6c
Un polinomio es cualquier expresión algebraica que consta de dos o más términos.
Los polinomios que con más frecuencia se utilizan en matemáticas son aquellos
constituidos por términos donde existe la misma variable elevada a diferentes
exponentes. Por lo general, estos términos se ordenan de acuerdo con las potencias
descendentes de la variable.
Polinomio En la variable Comúnmente llamado
2𝑥 − 5 x Binomio
𝑥3 − 5𝑥 + 5 x Trinomio
𝑎𝑧3 + 3𝑎𝑧2 − 6𝑎𝑧 + 5𝑎 z Polinomio
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 x Trinomio
6𝑦2 − 3𝑦3 + 2𝑦2 − 5𝑦 + 1 y Polinomio
Operaciones de suma, resta y multiplicación de expresiones algebraicas
Suma de polinomios
Para llevar a cabo estas operaciones es conveniente ordenar los polinomios de
acuerdo con las potencias descendentes de la variable y escribirlos uno a
continuación del otro en forma horizontal, o bien, de forma vertical uno abajo del
otro.
Cuando se utiliza la forma horizontal se deben usar adecuadamente los signos de
agrupación (paréntesis circulares o rectangulares) para presentar la operación.
Después de esto se deben identificar los términos semejantes, escribirlos juntos y
reducirlos; el resultado de la suma de los polinomios son los términos
semejantes reducidos.
Cuando los polinomios se escriben en forma vertical, primero se deben ordenar
ambos de acuerdo con las potencias descendentes de la variable, de manera que
los términos semejantes queden en las mismas columnas; se traza una línea
horizontal después del último polinomio y se reducen los términos semejantes; éstos
constituyen el resultado de la suma
¿Cómo reducir o simplificar términos semejantes?
La reducción o simplificación de términos semejantes consiste en sumar los
coeficientes de todos ellos para formar un solo término resultante que tenga como
coeficiente esa suma y como parte literal la misma que aparece en cada término.
Ejemplo
Reducir los términos semejantes del polinomio:
4𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 3𝑦2 + 10𝑥2 − 6𝑦2 + 2𝑎𝑥
Solución: Al ordenar los términos semejantes para que aparezcan juntos tenemos:
4𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥 − 5𝑥2 + 10𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑦2
Los términos semejantes se reducen sumando los coeficientes y conservando la
parte literal. La expresión original se reduce a:
6𝑎𝑥 + 5𝑥2 − 3𝑦2
Con base en el ejemplo anterior reduce los términos semejantes de los
siguientes polinomios.
a) 7ax3+5bx2
+8ax2
-9bx3+3x-9+8x
b) 9y4
-6x2 +3y3 -8y+9—10y4 -3x2 +5y3 +3y— 15
En el siguiente ejemplo se presenta la suma en forma horizontal y vertical
Sumar los polinomios: 5𝑧3 + 3𝑧 − 2𝑧2 + 8 𝑦 − 7𝑧2 + 5𝑧 − 3𝑧3 − 10
Forma horizontal
Usando paréntesis
(5𝑧3 + 3𝑧 − 2𝑧2 + 8) + (−7𝑧2 + 5𝑧 − 3𝑧3 − 10)
Agrupando términos semejantes
(5𝑧3 − 3𝑧3) + (−2𝑧2 − 7𝑧2) + (+3𝑧 + 5𝑧) + (8 − 10)
Reduciendo tenemos
(2𝑧3) + (−9𝑧2) + (+8𝑧) + (−2)
o bien
2𝑧3 −9𝑧2 + 8𝑧 − 2
Forma vertical
Ordenando los polinomios de acuerdo con las potencias descendientes de z. Se
escribe uno bajo el otro de manera que los términos semejantes aparezcan en una
misma columna; se traza una línea horizontal y se reducen los términos semejantes.
El resultado se escribe bajo la línea.
( 5𝑧3
−3𝑧3) + (−2𝑧2
−7𝑧2) + (+3𝑧+5𝑧
) + (8
−10)
____________________________
2𝑧3 −9𝑧2 + 8𝑧 − 2
Resta de polinomios
Recordemos que la resta de dos números reales a y b, que se expresa como:
a - b, se puede escribir como una suma de la siguiente forma: a + (—b)
Si consideramos que a y b representan polinomios, entonces definimos que la
resta de polinomios se efectúa como una suma, si los términos del polinomio
identificado como b se les hace preceder del signo negativo, esto es, que se
multiplican por el signo negativo. En otras palabras, la resta de los polinomios a en
una suma, al considerar el inverso aditivo de b, que se expresa como —b.
Ejemplo
Restar del polinomio (2x 3
+ 3x2 - 6) el polinomio (-2x 4 + 3x3 - 5x2 - 2x + 8).
Solución: Si identificamos a estos polinomios como a y b, respectivamente, y
planteamos la operación como una resta, tenemos:
(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) − (−2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 + 8)
Al plantear la operación como una suma tenemos:
(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) + [−(−2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 + 8)]
Es decir 𝑎 + (−𝑏)
Cambiamos de signo la el segundo polinomio y agrupamos
(2𝑥3 + 3𝑥2 − 6) + [(2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8)]
2𝑥4 + (2𝑥3 − 3𝑥3) + (3𝑥2 + 5𝑥2) + 2𝑥 + (−6 − 8)
2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 + 2𝑥 − 14
Efectuando la suma en forma vertical
0𝑥4 + 2𝑥3 + 3𝑥2 + 0𝑥 − 6
2𝑥4 − 3𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8
___________________________
2𝑥4 − 𝑥3 + 8𝑥2 + 2𝑥 − 14
Nota. Observa que construimos los términos 𝑥4 𝑦 𝑥 del primer polinomio usando el
coeficiente cero, esto con la finalidad de que en las columnas formadas queden
términos semejantes.
Multiplicación de monomios, binomios y polinomios
Multiplicación de monomios
El producto de dos monomios se obtiene multiplicando entre sí los coeficientes y las
variables; en el caso de estas últimas se aplican las leyes de los exponentes
correspondientes al producto.
Ejemplo
−2𝑥2 ∗ 7𝑥3 = −14𝑥5
Multiplicación de un monomio por un binomio
En la multiplicación de un monomio por un binomio utilizamos la propiedad
distributiva de los números reales y lo mencionado anteriormente para el producto
de monomios. Recuerda que 𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄
Ejemplo
5𝑧(2𝑧 − 4) = (5𝑧)(2𝑧) + (5𝑧)(−4) = 10𝑧2 − 20𝑧
2𝑥(𝑥2 − 3𝑥 + 8) = 2𝑥3 − 6𝑥2 + 16𝑥
Multiplicación de dos binomios
La multiplicación de dos binomios expresados por (x + a) y (x + b) se puede realizar
como el producto de un monomio por un binomio si consideramos por ejemplo a (x
+ a) como un monomio y aplicamos la propiedad distributiva.
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑎)[𝑥 + 𝑏] = (𝑥 + 𝑎)𝑥 + (𝑥 + 𝑎)𝑏 = 𝑥(𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑥 + 𝑎)
= 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
= 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
de manera que:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
Ejemplo
Multiplicar (2𝑥 − 8)(−3𝑥 + 5)
Considerando a (2𝑥 − 8) como un monomio y aplicando la propiedad distributiva
(2𝑥 − 8)(−3𝑥 + 5) = (2𝑥 − 8)(−3𝑥) + (2𝑥 − 8)(5)
= −6𝑥2 + 24𝑥 + 10𝑥 − 40
= −6𝑥2 + 34𝑥 − 40
Multiplicación de polinomios
Esta operación se efectúa multiplicando cada término de un polinomio por cada uno
de los términos del otro, después se agrupan los términos semejantes y se reducen
para obtener el resultado.
A continuación mencionamos el procedimiento para efectuar este tipo de
multiplicaciones:
1. Se identifican los polinomios como multiplicando y multiplicador y se ordenan
ambos de acuerdo con las potencias descendentes o ascendentes de la
variable. Escribe el multiplicando y, abajo de éste, el multiplicador.
2. Cuando no aparezca un término en determinada potencia de la variable, éste
deberá presentarse usando al cero como coeficiente.
3. Se multiplica el primer término del multiplicador por cada término del
multiplicando, y se escribe el resultado en el renglón abajo de la línea
horizontal trazada después del multiplicador.
4. Se multiplica el segundo término del multiplicador por cada término del
multiplicando, y se escribe el resultado abajo del renglón obtenido en el paso
anterior, teniendo cuidado de recorrerse un lugar a la derecha con el
propósito de que los términos semejantes queden en columnas.
5. Se continúa el proceso hasta llegar al último renglón que corresponde al
producto del último término del multiplicador por los términos del
multiplicando.
6. Se traza otra línea horizontal y abajo de ella se escriben los resultados
obtenidos al reducir los términos semejantes.
Ejemplo
Multiplicar 4x2 - 6x3
+ 8x por —3x - 5.
Solución: Identificamos al primer polinomio como multiplicando y al otro como
multiplicador.
Al ordenar los polinomios y plantear la operación tenemos:
- 6x 3 + 4x 2
+ 8x multiplicando —3x —5 multiplicador
Multiplicamos el primer término del multiplicador por cada término del multiplicando,
y escribimos el resultado en el renglón bajo la línea horizontal.
—6x3 + 4x2
+ 8x
—3x —5
___________________
18x4
—12x3
-24x2
Multiplicamos el segundo término del multiplicador por cada término del
multiplicando, y escribimos el resultado bajo el renglón anterior, pero lo
desplazamos un lugar a la derecha para que los términos se- mejantes coincidan
en las columnas formadas.
Finalmente, al no existir otro término en el multiplicador, trazamos otra línea
horizontal y reducimos términos semejantes.
- 6x3 + 4x2
+ 8x
- 3x - 5
___________________
18x4
-12x3
- 24x2
30x3
- 20x2
- 40x
______________________
18x4
+ 18x 3
- 44x 2
- 40x
Productos notables
Los productos notables son multiplicaciones de cierto tipo de polinomios que tienen
expresiones características que los identifican y que permiten obtener el resultado
en forma mecanizada, es decir, sin efectuar el producto como se explicó en páginas
anteriores.
En este bloque estudiaremos los siguientes productos notables:
El producto de dos binomios iguales, representados por (x + a)(x + a), o bien,
(x + a)2 , al que se conoce como un «binomio elevado al cuadrado».
El producto de dos binomios cuyos términos son iguales excepto en el que
uno de ellos es una suma y el otro una resta, representados por:
(x + a)(x - a). Este producto notable es conocido como «binomios
conjugados».
El producto de dos binomios que tienen un término semejante en la variable
por lo general representa- dos por (x + a)(x + b), al que se conoce como
«binomio con un término común en la variable».
Producto de dos binomios iguales que se expresa como:
(x + a) (x + a) = (x + a) 2
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el
doble del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del
segundo término.
(𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Ejemplo
(2x + 6)(2x + 6) = (2x + 6) 2
El resultado es una expresión cuadrática cuyos términos se obtienen:
a) elevando al cuadrado el primer término:
b) duplicando el producto entre los términos:
c) elevando al cuadrado el segundo término:
(2𝑥 + 6)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(6) + (6)2
= 4𝑥2 + 24𝑥 + 36
Producto de binomios de la forma (x - a)(x + a), conocidos como binomios
conjugados.
El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término,
menos el cuadrado del segundo.
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒂) = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐
Ejemplo
Efectuar el producto: (x + 7)(x – 7)
(𝒙 + 𝟕)(𝒙 − 𝟕) = (𝒙)𝟐 − (𝟕)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝟗
Producto de binomios de la forma (x + a) (x + b), identificados como binomios
con término común en la variable
El producto de binomios con término común es igual al cuadrado del término
común, más el término común por la suma de los no comunes, mas el
producto de los no comunes
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
Ejemplo
Efectuar el producto (x – 8)(x – 3)
De acuerdo a la definición
(𝑥 − 8)(𝑥 − 3) = (𝑥)2 + (−8 − 3)𝑥 + (−8)(−3)
= 𝑥2 − 11𝑥 + 24
Factorización de polinomios
Presentamos el tema de factorización de polinomios empezando por recordar la
factorización de «números compuestos», para comprender en qué consiste el
proceso de factorizar y aplicarlo a la factorización de expresiones algebraicas y
estudiar posteriormente la factorización de:
•Monomios
• Polinomios cuyos términos tienen factor común
• Trinomios cuadrados perfectos
•Trinomios de la forma 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 y
• Diferencia de cuadrados
Recordando a los números primos y compuestos
Cuando estudiamos los números reales definimos al número primo como aquel que
sólo puede ser expresado como el producto de sí mismo por la unidad. Esta
representación es llamada forma trivial.
Por ejemplo:
3 es número primo porque sólo se puede expresar como: 3 • 1
5 es número primo porque sólo se puede expresar como: 5 • 1
11es número primo porque sólo se puede expresar como: 11 • 1
También expresamos que el número compuesto es aquel que puede ser
representado como el producto de dos o más números, además de la forma trivial.
Por ejemplo:
6 es un número compuesto porque se puede representar como: 3 • 2
8 es un número compuesto porque se puede representar como: 4 • 2 ó 2 •
2 •
2
16 es un número compuesto porque se puede representar como: 8 • 2 ó 4 • 4 ó
2• 2 • 2 •
2
28 es un número compuesto porque se puede representar como: 14•2 ó 7•4 ó
7•2•2
Factorizar un número compuesto es representarlo como el producto de dos o más
números a los que llamamos factores. Algunos números compuestos pueden ser
expresados como el producto de factores de varias maneras, como es el caso del
número 28, esta descomposición de factores en la que todos ellos son números
primos es la que por lo general se utiliza en las operaciones algebraicas.
Factorizar polinomios es representarlos como el producto de dos o más
expresiones que se constituyen en sus factores.
Factorización de monomios
La factorización más sencilla es la de un monomio, y consiste en expresar su parte
numérica como el producto de sus factores primos.
Por ejemplo:
10𝑥2 = 5 • 2𝑥2
9𝑥5 = 3 • 3𝑥5
Se considera que la factorización es la adecuada cuando los factores numéricos
son números primos elevados al exponente que les corresponda.
Recordemos que el producto 3(x+5) se efectúa aplicando la propiedad distributiva
de los números reales.
3(x+5)=3x +15
Expresada en esta última forma podemos interpretarla como que el polinomio 3x +
15 se ha representado como el producto de los factores 3 y (x + 5), es decir, que ha
sido factorizado, esto es, «la operación de representar expresiones algebraicas
o polinomios como el producto de factores se llama factorización».
Factorización de polinomios con factores comunes
El procedimiento para factorizar polinomios cuyos términos tienen factor o factores
comunes es el siguiente.
Primero se deben representar los términos como el producto de sus factores primos;
después identificar el o los factores comunes a todos ellos, sean numéricos o
literales; los factores comunes constituyen uno de los factores del polinomio y el otro
factor será aquella expresión cuyos términos, al ser multiplicados por el factor
común, den como resultado los términos del polinomio que se factoriza.
Factorizar 3x + 15.
Solución: Los términos se representan como el producto de sus factores primos.
3x + 15 = 3x + 3 • 5 = 3(x + 5)
El único factor común es el número 3.
De manera que (3) es un factor del polinomio.
El otro factor es (x + 5) por ser la expresión que multiplicada por 3 da la expresión
a factorizar.
Si al descomponer en factores la parte numérica de los términos del polinomio
aparecen varios factores elevados a diferentes exponentes, los factores comunes
se forman con los de menor exponente; de las literales que aparezcan elevadas a
diferentes exponentes también los factores comunes se forman con las de menor
exponente.
Ejemplo
Factorizar 25𝑥2𝑦3𝑧 + 35𝑥3𝑦𝑧2 − 10𝑥2𝑦2𝑧2
Solución: Expresando los coeficientes como factores primos:
52𝑥2𝑦3𝑧 + 7 • 5𝑥3𝑦𝑧2 − 5 • 2𝑥2𝑦2𝑧2
el único factor común es 51, que es el menor exponente de 5
las variables x, y, z aparecen en todos los términos, de manera que son factores
comunes y sus menores exponentes son: 𝑥2, 𝑦, 𝑧. Por lo que el factor común es
5𝑥2𝑦𝑧
El otro factor es aquella expresión que multiplicada por el factor común da como
resultado los términos del polinomio a factorizar; y resulta ser:
(5𝑦2 + 7𝑥𝑧 − 2𝑦𝑧).
La factorización del polinomio es:
𝟐𝟓𝒙𝟐𝒚𝟑𝒛 + 𝟑𝟓𝒙𝟑𝒚𝒛𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛𝟐 = 𝟓𝒙𝟐𝒚𝒛(𝟓𝒚𝟐 + 𝟕𝒙𝒛 − 𝟐𝒚𝒛)
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Recuerda que en el tema de productos notables se dijo que al elevar un binomio al
cuadrado se obtiene un trinomio cuadrado perfecto; es de esperarse entonces que
un trinomio cuadrado perfecto se represente como un binomio elevado al cuadrado,
por lo que «la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es un binomio
elevado al cuadrado». Anteriormente se demostró que:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2, lo que se puede escribir como:
X2 + 2ax + a2 = (x + a)2 = (x + a)(x +a) Al analizar esta expresión se confirma que un trinomio cuadrado perfecto es igual al producto de dos binomios iguales. El procedimiento para factorizar trinomios cuadrados perfectos consiste en comprobar primero que el trinomio es cuadrado perfecto.
Analizando el trinomio 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2, se establece que:
• Existen dos términos que son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada
exacta; éstos son 𝑥2 𝑦 𝑎2 :
√𝑥2 = 𝑥 𝑦 √𝑎2 = 𝑎
• Tiene un término que es el doble producto de las raíces de los cuadrados
perfectos: 2(𝑥)(𝑎) = 2𝑎𝑥
• Cumplido lo anterior, la factorización es un binomio elevado al cuadrado cuyos
términos son las raíces de los cuadrados perfectos.
𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒃)𝟐
Factorización de polinomios de la forma:
𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔
Este tipo de expresiones son comúnmente llamadas “expresiones cuadráticas”. En
estas el término que contiene a la variable elevada al cuadrado tiene coeficiente
unitario.
En el tema de productos notables obtuvimos que:
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
Que puede escribirse como:
𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)
Esta factorización se aplica a expresiones cuadráticas que cumplen con lo siguiente:
1. El coeficiente del término en la variable al cuadrado es la unidad.
2. Tiene un término en la variable al cuadrado que es un cuadrado perfecto, esto
es, tiene raíz exacta √𝑥2 = 𝑥 .
3. Tiene un término en la variable a la primera potencia, también llamado lineal.
4. Tiene un término, generalmente numérico, conocido como término independiente,
que se puede representar como el producto de dos números.
Procedimiento para efectuar la factorización
Al analizarla la igualdad observamos que la expresión cuadrática (que se encuentra
al lado izquierdo del signo de igual) se factoriza como el producto de dos binomios
que tienen un término idéntico: (x + a) y (x + b), el término idéntico en los binomios
está representado por x.
Los términos de los binomios (x + a) y (x + b) se construyen de la siguiente manera:
a) El término idéntico se obtiene al extraerle raíz al término de la expresión
cuadrática que es un cuadrado perfecto, esto es: √𝑥2 = 𝑥
b) Para obtener a y b analizamos la expresión cuadrática por factorizar;
𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃 en ésta se observa que a por b es igual al término
independiente, y que (a + b) es igual al coeficiente del término «lineal».
c) Para encontrar los valores de a y b descomponemos en dos factores el término
independiente: si la suma de estos factores es igual al coeficiente del término lineal
habremos determinado los valores correctos de a y b.
d) Cuando el término independiente es positivo, los factores a y b tendrán signos
iguales; cuando es negativo, los factores tendrán signos opuestos. La asignación
correcta de valores y signos para a y b dependen del coeficiente del término lineal.
En algunos casos será necesario hacer varias factorizaciones del término
independiente antes de encontrar los valores de a y b. Cuando no existan dos
números enteros que satisfagan la condición enunciada en el inciso b debemos
concluir que la expresión no es factorizable.
Ejemplo
Factorizar la expresión cuadrática 𝑥2 − 5𝑥 − 24
Solución: Se puede aplicar el producto notable porque la expresión tiene:
Un término en la variable al cuadrado que posee raíz cuadrada exacta:
Un término lineal en la variable:
Un término numérico:
Ahora bien
√𝑥2 = 𝑥
Luego buscamos dos números que sumados de -5 y multiplicados de -24; como el
resultado de la multiplicación es negativa, uno de los dos números es negativo
(a + b) = -5 y ab = -24
a = -8 y b = 3
Entonces:
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟖)(𝒙 + 𝟑)
BLOQUE 5 TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
5.1 Representación de relaciones entre magnitudes
Producto notable de binomios de la forma (ax + b) (cx + d), donde a y c no
pueden ser simultáneamente iguales a la unidad
Este tipo de binomios tienen dos términos semejantes en la variable: ax y cx; y dos
términos independientes: b y d. Al obtener el producto de estos binomios tenemos:
ax + b
cx + d
________
Acx2 +bcx + adx + bd
___________________
Acx2 + adx + bcx + bd
Como adx y bcx son términos semejantes se pueden escribir como: (ad+bc)x
De esta forma, tenemos que: (ax + b) (cx + d) = acx2 + ( ad + bc)x + bd
Observa que:
1. Los binomios que se multiplican tienen dos términos semejantes en la variable
cuyos coeficientes no son, simultáneamente, iguales a uno, y dos términos
independientes generalmente numéricos.
2. Los binomios están ordenados: los primeros términos son los que contienen a la
variable, y los segundos son el término independiente. Al analizar la expresión
anterior, establecemos una mecánica operativa para obtener el producto, que es un
trinomio cuyos términos se obtienen de la siguiente manera:
Ejemplo
Multiplicar (5x - 7) (3x + 2) utilizando el producto notable.
Solución: Los binomios tienen términos semejantes en la variable x: 5x y 3x y
términos independientes ( -7 ) y ( 2 )
El resultado es un trinomio cuyos términos se obtienen:
multiplicando los términos semejantes: (5x) (3x) = 15𝒙𝟐
multiplicando los términos independientes: (-7) (2) = —14
sumando el producto de los términos que se encuentran en los extremos y
en los medios
El producto de los extremos es: (5x)(2) = 10x
El producto de los medios es: (-7)(3x) = -21x
La suma es: (10x -21x) = -11x
De manera que: (5x-7)(3x+2)= 15𝒙𝟐 —11x— 14
Factorización de expresiones cuadráticas del tipo:
𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 + 𝒃𝒅 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒚 𝒅 𝒔𝒐𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒚 𝒂𝒄 ≠ 𝟏
Al estudiar el producto notable (ax + b) (cx + d) obtuvimos que:
(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd o bien, presentada de la siguiente forma:
acx2 + (ad +bc)x + bd = (ax+b)(cx+d) ecuación A
Identificamos que una expresión cuadrática es de este tipo cuando:
La interpretamos como una expresión cuadrática que se representa como el
producto de dos factores binomios (ax + b) y (cx + d)
1. Tiene un término de segundo grado y otro de primer grado en la misma variable,
que son:
acx2 y (ad + bc)x
2. Tiene un término independiente: bd
3. El coeficiente del término de segundo grado es diferente de 1, es decir, ac≠1
Analizando A observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de
(ax + b) y (cx + d) que son sus factores
Estos binomios factores quedan definidos cuando se conocen los valores de a, b, c
y d.
Para encontrar estos valores analizamos la expresión por factorizar
acx2 + (ad + bc)x + bd y establecemos que:
a) a • c es igual al coeficiente del término de segundo grado o cuadrático
b) b • d. es igual al término independiente
c) La suma de los productos ad + bc es igual al coeficiente del término de primer
grado o término lineal.
¿Cómo conocer los valores de a, b, c y d?
Conocemos el coeficiente del término cuadrático, que es igual a a • c y el término
independiente, que es igual a b • d.
Al expresar el coeficiente del término cuadrático como el producto de dos números
le asignamos los valores de a y c, de igual manera; expresamos el término
independiente como el producto de dos números y le asignamos los valores de b y
d. Debemos comprobar que la asignación de valores realizada sea correcta
utilizando la expresión (ad+ bc), que de acuerdo con lo antes mencionado debe ser
igual al coeficiente del término lineal, esto es ad + bc = coeficiente del término
lineal, de no satisfacer la expresión los valores que se le asignaron a a, b,c y d, no
son correctos.
Cuando el término independiente bd o el coeficiente del término cuadrático ac se
pueden descomponer en diferentes parejas de números, es posible que se tengan
que hacer varios «tanteos» antes de encontrar los valores de a, b, c y d.
Se debe tener en cuenta que si el término independiente o el coeficiente del término
cuadrático tienen signos positivos, las parejas de números tendrán signos iguales;
si tienen signos negativos, las parejas de números tendrán signos opuestos.
Si no hay valores enteros para a, b, c y d que satisfagan la condición c),
concluiremos que la expresión no es factorizable.
Ejemplo
Factorizar 3𝑥2 − 13𝑥 − 10
Solución:
Si tenemos que:
𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 + 𝒃𝒅 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟏𝟎
Entonces ac = 3, bd = -10 y (ad +bc) = -13
Como a • c = 3 le asignando valores a = 3 y c = 1
Como b • d= —10 asignando valores b = 2 y d = -5
Si se cumple la condición (ad +bc) = -13 serán los valores correctos
(3)(-5) + (2)(1) = -15 + 2 = -13
Por lo que los binomios son (3x + 2)(x - 5), esto es:
3𝑥2 − 13𝑥 − 10 = (3𝑥 + 2)(𝑥 − 5)
División de expresiones algebraicas
División de monomios
Identificamos a dos monomios con las letras A y B; así, tenemos que:
La división de A entre B se expresa como: 𝐴 ÷ 𝐵; o bien, 𝐴
𝐵
La división 𝐴 ÷ 𝐵 es equivalente a la multiplicación de A por el recíproco de B, que
se expresa como 1
B de manera que 𝐴 ÷ 𝐵 = A •
1
B, siempre que B sea diferente de
cero (B ≠ 0).
Recuerda que en la división de monomios y de polinomios se utilizan las siguientes
leyes de los exponentes:
a) 𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑠𝑖 𝑚 > 𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑥5
𝑥2 = 𝑥5−2 = 𝑥3
b) 𝑎𝑚
𝑎𝑛 =1
𝑎𝑛−𝑚 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑤5
𝑤9 =1
𝑤9−5 =1
𝑤4
c) 𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 1 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑥3
𝑥3 = 1
d (𝑎
𝑏)𝑚 =
𝑎𝑚
𝑎𝑚 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 (𝑧
𝑥)2 =
𝑧2
𝑥2
En lo antes mencionado se basa la división de monomios; para realizarla debemos
expresar la parte numérica de los monomios como factores primos elevados al
exponente que les corresponda y aplicar la ley de los exponentes correspondiente.
Ejemplo
Efectuar la división (45𝑦4𝑤5)(30𝑦2𝑤)
Solución:
Presentada como una multiplicación tenemos:
Al factorizar la parte numérica y aplicar las leyes de los exponentes
correspondientes, tenemos:
45𝑦4𝑤5 •1
30𝑦2𝑤
Expresando la parte numérica como el producto de factores primos
45𝑦4𝑤5
30𝑦2𝑤=
32 • 5𝑦4𝑤5
3 • 2 • 5𝑦2𝑤=
32−1 • 51−1𝑦4−2𝑤5−1
2=
3𝑦2𝑤4
2
División de un polinomio por un monomio
Representemos a un polinomio de varios términos como A + B + C y con D a un
monomio, de manera que podemos expresar la división como sigue:
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) ÷ (𝐷) = (𝐴 + 𝐵 + 𝐶) •1
𝐷=
𝐴
𝐷+
𝐵
𝐷+
𝐶
𝐷 𝑐𝑜𝑛 𝐷 ≠ 0
Con base en la expresión anterior podemos decir que para dividir un polinomio por
un monomio dividimos cada término del polinomio por el monomio y se suman los
resultados obtenidos.
Ejemplo
Dividir 10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥 𝑝𝑜𝑟 5𝑥2
De acuerdo a la definición tenemos que:
(10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥) ÷ (5𝑥2) = (10𝑥3 − 25𝑥4 + 35𝑥) •1
(5𝑥2)=
10𝑥3
5𝑥2−
25𝑥4
5𝑥2+
35𝑥
5𝑥2
=𝟓 • 2
𝟓𝒙𝟑−𝟐 −
𝟓𝟐
𝟓𝒙𝟒−𝟐 +
𝟕 • 5
𝟓𝒙𝟏−𝟐
= 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 +𝟕
𝒙
División de polinomios
La división de polinomios sigue el mismo principio que la división de números; por
esto, y con fines comparativos, presentamos y analizamos una división numérica
para que, basados en ella, establezcamos el procedimiento para dividir polinomios.
En la división numérica 113 ÷ 2
Identificamos a: 113 como el dividendo y a 2 como el divisor
1. Para obtener el primer dígito del cociente se divide 11 entre 2, que es 5 (solo
se considera la parte entera)
5
2 113
2. Después se multiplica el primer dígito del cociente por el divisor y se resta de los
primeros dos dígitos del dividendo el producto; este producto es 10 y restarlo del
dividendo es equivalente a cambiarle signo al mismo.
5
2 113
-10
13
3. Observa que se obtiene 13 como nuevo residuo; al ser mayor éste que el divisor,
se continúa la operación y se encuentra un nuevo dígito del cociente; para esto se
considera al residuo como el nuevo dividendo y se procede como en los pasos
anteriores. Como 13 ÷ 2 es igual a 6, éste es el segundo dígito del cociente, el que
se multiplica por el divisor y cuyo resultado se resta del nuevo dividendo; el resultado
del producto es 12, y restarlo del nuevo dividendo equivale a cambiarle de signo.
56
2 113
-10
13
-12
1
4. El residuo es ahora 1, y al ser menor que el divisor, la división termina.
5. Comprobación. Recuerda que la división se comprueba mediante la expresión:
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟= 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛
Dividendo = Cociente • Divisor + Residuo
113 = 56 • 2 + 1
De manera similar se efectúa la división entre polinomios; a continuación se
menciona el procedimiento que se utiliza para realizar la división.
1. Se identifican dividendo y divisor y se ordenan de acuerdo con las potencias
descendentes de la misma variable; cuando no exista un término en
determinada potencia de la variable, éste deberá presentarse usando el cero
como su coeficiente.
2. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor
para obtener el primer término del cociente (equivalente a obtener el primer
dígito de la división numérica). 3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del
dividendo el producto (es el equivalente a restarle 10 a 11 en la división
numérica).
4. Si el residuo tiene un término cuyo grado es mayor o igual que el término de
mayor grado del divisor, se repiten los pasos 1, 2 y 3 hasta lograr que el
residuo tenga un grado menor que el del divisor; al ocurrir esto la división
termina.
5. En caso de que el residuo sea cero, entonces el cociente y el divisor son
factores del dividendo. Esto se ilustra mediante la expresión:
Dividendo = cociente • divisor + residuo
Si el residuo es cero la expresión es:
Dividendo = cociente • divisor
Esto significa que el polinomio identificado como el dividendo ha sido expresado
como el producto de dos factores: uno es el cociente y el otro el divisor.
Ejemplo A:
Dividir 𝟔𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒙 − 𝟑
Solución: Observa que dividendo y divisor se encuentran ordenados de acuerdo con las potencias
descendentes de «x».
Obtenemos el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término
del divisor, es decir:
6𝑥3
2𝑥= 3𝑥2
3x2
2x-3 6x3 -3x2 +7x -10
Multiplicamos el primer término del cociente por todos los términos del divisor y restamos del dividendo este
producto:
2x-3 Divisor
Por 3x2 Primer término del cociente
6x3 -9x2
Restar del dividendo este producto es equivalente a sumarle los inversos aditivos de: 6x3 y -9x2
,, que resultan
ser -6x3 y 9x2
Al presentar la operación y simplificar términos semejantes tenemos:
3x2
2x-3 6x3 -3x2 +7x -10
-6x3+9x2
6x2 +7x-10
Al ser mayor el grado del residuo que el grado del divisor, la operación continúa y se considera como nuevo
dividendo a: 6x2+7x-10.
Obtenemos el segundo término del cociente dividiendo el primer término del nuevo dividendo entre el primer
término del divisor, es decir:
3x2 +3x
6𝑥2
2𝑥= 3𝑥 2x-3 6x3 -3x2 +7x -10
-6x3+9x2
6x2 +7x-10
Multiplicamos el segundo término del cociente por todos los términos del divisor y restamos del nuevo
dividendo este producto:
2x-3 Divisor
Por 3x Segundo término del cociente
6x2 -9x
Restar este producto al nuevo dividendo es equivalente a sumarle su inverso aditivo, que es: -6x2 + 9x.
De manera que:
3x2+3x
2x-3 6x3 -3x2 +7x -10
-6x3+9x2
6x2 +7x-10
-6x2 +9x
16x-10
La operación continúa por ser igual el grado del nuevo dividendo que el del divisor. El tercer término del cociente es:
3x2+3x +8 16𝑥
2𝑥= 8 2x-3 6x3 -3x2+7x -10
-6x3+9x2
6x2 +7x-10
-6x2 +9x
16x-10
Multiplicamos el tercer término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo este producto:
2x-3
Por 8
16x2-24
Restar del nuevo dividendo este producto es equivalente a sumar los inversos aditivos, los que resultan ser: -
16x y 24
3x2+3x +8
2x-3 6x3 -3x2+7x -10
Observa que estos
términos se anulan si
realizas bien las
operaciones
-6x3+9x2 El que se anulen los
términos significan
que son correctos los
cocientes obtenidos
6x2 +7x-10
-6x2 +9x
16x-10
-16x+24
14
Como el grado del residuo es menor que el grado del divisor, la operación termina. También decimos que la
operación se da por concluida puesto que el residuo es numérico.
Comprobamos si la división se realizó correctamente utilizando la misma expresión que se usa en la
comprobación de la división numérica.
Dividendo = divisor• cociente + residuo
Al multiplicar cociente por divisor:
3x2+3x+8
Por 2x-3
6x3+6x2+16x
-9x2 - 9x -24
6x3+3x2 +7x -24
Al sumar a este producto el residuo debemos obtener el dividendo:
(6𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 24) + 14 = 6𝑥3 − 3𝑥2 − 7𝑥 − 24 + 14
= 6𝑥3 − 3𝑥2 + 7𝑥 − 10
Al comprobarse lo anterior, decimos que la división es correcta
Ejemplo B:
Dividir 𝟒𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟒 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 𝒑𝒐𝒓 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔
Solución: Se ordena el dividendo −6𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖
Se ordena el divisor: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 − 𝟔
2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo (-6x4) entre el primer
término del divisor (2x2).
−6𝑥4
2𝑥2= −3𝑥2 -3x2
2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
Se multiplica el término del cociente por el divisor y restamos del dividendo este producto:
2x2+0x-6
Por -3x2
-6x4 +0x3+18x2
Restar del dividendo este producto es equivalente a sumarle los inversos aditivos de: -6x4+0x3* +18x2,, que
son:
6𝑥4 + 0𝑥3∗ − 18𝑥2
-3x2
2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
6x4 +0x3 -18x2 .
4x3-16x2-5x-8
Al ser mayor el grado del residuo que el grado del divisor, se continúa considerando como nuevo dividendo.
Obtenemos el segundo término del cociente dividiendo el primer término del nuevo dividendo (4x3) entre el
primer término del divisor (2x2):
-3x2+2x
4𝑥3
2𝑥2= 2𝑥 2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
6x4 +0x3 -18x2 .
4x3-16x2-5x-8
Se multiplica el segundo término del cociente por el divisor y se resta del dividendo el producto:
2x2+0x-6
Por 2x
4x3+0x2-12x
Restar del dividendo este producto equivalente a sumarle su inverso aditivo, que son: 4x3+0x2-12x
-3x2+2x
2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
6x4 +0x3 -18x2 .
4x3-16x2 -5x-8
-4x3- 0x2-12x .
-16x2 17x-8
Al ser el grado del residuo igual al del divisor, se continúa la división. El tercer término del cociente se obtiene dividiendo al primer término del nuevo dividendo (16x2) por el primer término del divisor (2x2):
-3x2+2x -8
−16𝑥2
2𝑥2= −8 2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
6x4 +0x3 -18x2 .
4x3-16x2 -5x-8
-4x3- 0x2-12x .
-16x2 -17x-8
Se multiplica el tercer término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo este producto:
2x2+0x-6
Por -8
16x2-0x+48
Restar del dividendo este producto es equivalente a sumar los inversos aditivos, los que resultan ser: 16x2-0x+48
-3x2+2x -8
2x2+0x-6 -6x4 +4x3+2x2 -5x -8
6x4 +0x3 -18x2 .
4x3-16x2 -5x-8
-4x3- 0x2-12x .
-16x2 -17x-8
16x2 + 0x-48
-17x-56
La división se termina al ser menor el grado del residuo que el grado del divisor.
Factorización de polinomios en una variable usando la división
Un polinomio en una variable, como por ejemplo x3 + 4x2
- 7x - 10; se puede
factorizar si al considerarlo como el dividendo logramos expresarlo como el producto
del divisor por el cociente, y que el residuo sea cero.
En la expresión: Dividendo
Divisor= Cociente + Residuo
Si el residuo es cero entonces: Dividendo = divisor • cociente
Ahora bien, la cuestión es determinar cuál es el divisor que da como resultado que
el residuo sea cero.
El procedimiento para factorizar el polinomio representado por el dividendo consiste
en suponer un divisor, efectuar la división, y si el residuo es cero entonces el divisor
y el cociente obtenido son los factores del polinomio.
El problema es que son muchas las opciones que existen para llegar a encontrar un
divisor con el que se logre obtener un residuo igual a cero.
Se puede elegir:
1) que el divisor sea una expresión cuadrática; y
2) que el divisor sea una expresión lineal.
Es evidente que elegir una expresión cuadrática es más difícil que elegir una lineal,
por lo que los divisores que se supongan siempre serán expresiones lineales.
¿Cuántas expresiones lineales puedes suponer como divisor?
La respuesta es un número infinito si no conocemos un procedimiento para
limitarlos.
Al elegir un divisor se tendría que efectuar la división y ver si el residuo es cero; esto
haría largas y tediosas a estas factorizaciones; sin embargo, es posible limitar el
número de divisores a considerar.
En palabras sencillas, la teoría sobre las raíces de polinomios establece que si
consideramos los factores del término independiente y formamos con ellos la
expresión lineal a usar como divisor, alguna o algunas de estas expresiones darán
como resultado de la división un residuo igual a cero.
Explicaremos el procedimiento para factorizar polinomios, usando la división,
resolviendo algunos ejemplos:
Ejemplo:
Factorizar el polinomio x3 + 4x2- 7x - 10 usando la división.
Solución: Para construir los divisores, que serán del tipo (x ± a), donde «a» es un factor del término
independiente, encontraremos los factores del término independiente (-10) que nos propor-cionan los posibles
valores de a:
-10
5 -5
2 -2 Los divisores lineales que se pueden construir son:
1 -1 (x+5) (x-5) (x+2) (x-2) (x+1) (x-1)(x+l0) (x-10)
10 -10
Efectuemos la división suponiendo como divisor (x + 5):
x2 - x - 2
x + 5 x3 +4x2-7x -10
-x3 -5x2.
-x2 - 7x -10
X2+5x
-2x -10
2x +10
0
De manera que: x3 + 4x2- 7x - 10 = (x+5) (x2-x-2)
Al factorizar: x2-x-2, tenemos:
x2-x-2 = (x-2)(x+1) por lo tanto
x3 + 4x2- 7x - 10 = (x+5) (x-2)(x+1)
Observa que todos los factores: (x + 5) (x - 2) (x + 1) están contemplados en los divisores lineales que se
construyeron. Esto significa que si se hubiera considerado a (x - 2) o (x + 1) como divisor, también obtendríamos
como residuo cero.
BLOQUE 6 ECUACIONES LINEALES I
6.1 Representación de relaciones entre magnitudes Introducción al estudio de
las ecuaciones lineales con una variable
Para tener un panorama general de los conocimientos que adquirirás de las
ecuaciones lineales con una variable, analiza los siguientes ejemplos:
𝑎) 𝑧 +3
5= 2 𝑏)3𝑥 − 8 = 1 𝑐)𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑑)3𝑧 − 2 = 2𝑧 + 5
Como puedes ver, todas son proposiciones de igualdad.
La ecuación del inciso a) propone que la variable z sumada con 3
5 sea igual a 2.
Ahora bien, ¿cuál es el valor de z?
Suponiendo valores de z encontramos que la respuesta es 𝑧 = 7
5 , porque al
sumarle 3
5 el resultado es
10
5 o sea 2, y la proposición de igualdad resulta verdadera
Obtener el valor de z es conocido en álgebra como el «resolver la ecuación
Esta técnica está basada en las propiedades de los números reales y de las
igualdades, por lo que se hace necesario estudiarlas. De otra manera, el
fundamento matemático que permite efectuar operaciones para resolver una
ecuación no se conoce y esta técnica se convierte en una mecánica sin
razonamiento.
La importancia de lo antes mencionado se ilustra a continuación.
La ecuación del inciso b) 3x - 8 = 1, propone que el triple del valor de la variable x
disminuido en 8 unidades debe ser igual a 1 ¿Cómo resolver la ecuación?, esto es,
¿cuál es el valor de x que hace que la proposición de igualdad sea verdadera?
Resolviendo la ecuación:
La ecuación 3x-8= Es equivalente * a:
3x=1+8 Lo que se hizo fue pasar el término (-8) del otro lado de/signo
de igual con signo contrario.
Esta ecuación 3x=9 Es equivalente * a:
𝑥 =9
3 lo que se hizo fue pasar el coeficiente (3) de la variable al otro
lado del signo de igual como divisor
Por los que:
Es la solución. x=3 Comprobación. Al sustituir el valor de x en la ecuación
original:
3x-8=1
3(3)-8=1
9-8 =1
1= 1 ésta resulta verdadera
Este es un procedimiento mecanizado que seguramente has utilizado, basado más en la memoria que en
el razonamiento. Sin embargo, tiene su fundamento matemático que es preciso conocer o recordar para
propiciar el razonamiento y no la mecanización.
¿Cómo se construye una ecuación lineal con una variable?
Una ecuación se construye a partir del enunciado de una situación que se presenta
en el quehacer cotidiano o científico del ser humano.
Al interpretar un enunciado planteado en lenguaje común y transformarlo al lenguaje
matemático utilizando variables, signos, símbolos, etc., se construye una ecuación.
Las ecuaciones son proposiciones de igualdad que involucran una o más variables,
que representan valores no conocidos, y que son válidas para uno o más valores
de ellas.
En el siguiente cuadro se presentan enunciados en lenguaje común que
transformados en lenguaje matemático dan origen a ecuaciones lineales, con una
variable.
Enunciado del problema en leguaje común Enunciado traducido al lenguaje
matemático (construcción de la
ecuación)
¿Cuál es el número que sumado a 𝟏
𝟐 es igual a
3? 𝑥 +
1
2= 3
Usando un auto de alquiler, Luis se traslada ida y vuelta de la escuela a la librería para adquirir un libro de matemáticas, que cuesta $15. Si en total gasta $24, ¿cuál es el costo del viaje de ida, sabiendo que el costo del viaje no se modifica por el sentido del trayecto?
x es el costo del viaje en un sentido, 2x es el costo del viaje en ambos sentidos:
costo del viaje en ambos sentidos
15 + 2x = 24
costo del libro total gastado
En una tienda de ropa un empleado coloca el precio de $29.75 a una prenda de vestir con la leyenda de que tiene incluido un descuento del 15%. Un cliente solicita al empleado que le diga cuál es el precio de la prenda antes del descuento.
z es el precio de la prenda antes del
descuento
z-0.15z = 29.75
¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales con una variable?
Para resolver ecuaciones lineales con una variable se utilizan las propiedades de
los números reales, los que a continuación enunciaremos.
Propiedades de la igualdad
En el siguiente cuadro se mencionan las propiedades de la igualdad:
Propiedades de la Igualdad
I. Reflexiva A = A
II. Simétrica Si A = B entonces B = A
III. Transitiva Si A = B y B =C entonces A = C
IV. Aditiva Si A = B
Si A = B y C = D
Entonces
entonces
A + C = B + C
A + C = B + D
V. Multiplicativa Si A = B entonces A ∙ C = B ∙ C
VI. División (C≠0) Si A = B entonces 𝐴
𝐶=
𝐵
𝐶
VII. Distributiva A(B + C) = AB + AC
Nota: A, B, C y D representan expresiones algebraicas o números.
Propiedades de los números reales
En el siguiente cuadro presentamos un resumen de lo explicado en el bloque 1.
Axiomas o propiedades de los números reales
Identidad para la suma a + 0 = a
Identidad para la multiplicación a ∙ 1 = a
Inverso para la suma y el producto
Para todo a existe (- a) tal que a+ (-a)=0
Para todo a existe 1
𝑎 tal que 𝑎 ∙
1
𝑎= 1
Cerradura para la suma y el producto
Si a y b son reales a + b también es real.
Si a y b son reales a ∙ b también es real.
Conmutativa para la suma y el producto
a + b = b + a
a ∙ b = b ∙ a
Asociativa para la suma y el producto:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
a ∙ b ∙ c = (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Cómo resolver u obtener la solución de la ecuación lineal con una incógnita o variable
Recomendaciones para resolver ecuaciones lineales con una variable
1. Si en la ecuación existen uno o varios términos que contienen la variable,
éstos deberán situarse preferentemente al lado izquierdo del signo de igual
y, si es el caso, simplificarlos. De existir signos de agrupación, éstos deberán
eliminarse antes.
2. Si en la ecuación existen uno o varios términos numéricos, éstos deberán
situarse al lado derecho del signo de igual y, si es el caso, simplificarlos.
3. Si el coeficiente de la variable es diferente de la unidad, se utilizará la
propiedad de los números reales que permita convertirlo en la unidad.
4. El valor de la variable estará dado por la última expresión, donde la variable
con coeficiente unitario se encuentra «sola» del lado izquierdo del signo de
igual.
La ecuación a resolver tiene una expresión inicial a la que llamaremos «original»,
y cuando aplicamos una propiedad de las igualdades y/o de los números reales a
ésta, se transforma en otra a la que llamamos «equivalente»; esta última se
caracteriza por tener la misma solución que la original. El propósito de obtener
ecuaciones equivalentes es lograr que sean más sencillas de resolver que la
original.
A continuación resolveremos una ecuación lineal con una variable mencionando las
propiedades de la igualdad y de los números reales que se utilizan. No se pretende
que las ecuaciones se resuelvan de esta forma, pero consideramos necesario que
conozcas el fundamento matemático que da lugar a la forma práctica que
posteriormente emplearemos para dar solución a este tipo de ecuaciones.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 7x + 8 = 2x - 7. Solución: Utilizaremos un procedimiento que consta de tres pasos mediante los cuales resolveremos la ecuación.
1. Situar los términos en la variable x del lado izquierdo del signo de igual y simplificar. Esto se logra cuando (2x) se encuentre del lado izquierdo del signo de igual. Para facilitar la explicación, identifiquemos la ecuación de la siguiente manera:
7x + 8 = 2x - 7 A = B
Observa que si a B le sumamos (-2x), que es el inverso aditivo de (2x), se habrá cancelado dicho término del lado derecho, ya que 2x + (-2x) = 0, que es lo que se busca. Pero de acuerdo con la propiedad aditiva de la igualdad: si A = B entonces A + C = B + C, que interpretamos como «la ecuación original no se altera si a ambos lados del signo igual sumamos la misma cantidad», esto significa que al sumar (-2x) del lado derecho también debemos hacerlo del lado izquierdo, esto es:
7x + 8 + (-2x) = 2x + (-2x) -7
Agrupando y simplificando términos semejantes
7x + 2x + 8 = 2x - 2x -7
Al simplificar términos
semejantes, tenemos
5x + 8 = 0 -7
5x + 8 = -7 es una ecuación equivalente a la original
2. Situar los términos numéricos del lado derecho del signo de igual y simplificar. Esto se logra cuando (8) se encuentre del lado derecho del signo de igual; observa que si a los términos del lado izquierdo les sumamos (-8), que es el inverso aditivo de (8), tendremos: 8 + (-8) = O y habremos eliminado el término numérico de este lado, que es lo que se busca. De acuerdo con la propiedad aditiva de la igualdad, si sumamos (-8) del lado izquierdo del signo de igual también lo debemos sumar del lado derecho:
5x + 8 + (-8) = -7 + (-8) Propiedad aditiva de la igualdad
5x + 8 + (-8) = -7 + (-8) Aplicando el inverso aditivo de los
números reales
5x + 0 = -7 + (-8) Aplicando el axioma de cerradura 5x + 0 = -15 5x +0 = -15 Aplicando el axioma de identidad
para la suma.
5x
= -15 Ésta es una ecuación equivalente a la original
3. Como el coeficiente de la incógnita es diferente de la unidad, debemos
transformarlo en la unidad.
Observa que si el término del lado izquierdo se multiplica por 1
5 que es el
inverso multiplicativo del coeficiente de x, tendremos: 𝟏
𝟓∙ (𝟓𝒙) = (
𝟏
𝟓∙ 𝟓) 𝒙 =
𝟏 ∙ 𝒙, de manera que el coeficiente de x lo transformamos en la unidad, que es lo que se busca.
Pero si multiplicamos por 1
5 el término del lado izquierdo, también debemos
multiplicar el término del lado derecho por esta misma cantidad, atendiendo a la propiedad de la igualdad, que dice:
Si A = B entonces AC = BC
Regresando a la ecuación equivalente: 5x = —15 Al multiplicar por ambos miembros de la igualdad, tenemos:
5𝑥 ∙ (1
5) = (−15) ∙ (
1
5)
(1
5∙ 5) 𝑥 = −3
Al aplicar el axioma del inverso multiplicativo.
Tenemos 1 ∙ 𝑥 = −3 Al aplicar el axioma del identidad para multiplicación
𝑥 = −3 Ésta es una ecuación equivalente a la original que nos da el valor de la incógnita o solución de la ecuación
Comprobamos si x = -3 es solución de la ecuación original 7x + 8 = 2x - 7 Al sustituir tenemos: 7(-3)+8=2(-3)-7 -21 +8 = -6 – 7 - 13 = -13
Como habrás observado, resolver una ecuación lineal con una variable mediante el
procedimiento anteriormente expresado es una tarea complicada, por lo que a
continuación te presentamos una forma práctica para resolverlas.
Forma práctica para resolver la ecuación lineal
Para encontrar la solución de una ecuación lineal con una variable, decimos que
ésta debe ser despejada, lo cual se logra usando convenientemente las propiedades
de la igualdad y de los números reales. Recuerda que despejar la variable es lograr
que se encuentre situada a un lado del signo de igual y que su coeficiente sea la
unidad.
Despejar la variable x de la siguiente ecuación:
−2𝑥 + 8 = −7𝑥 + 10 (𝐴)
Debemos ubicar los términos en la variable al lado izquierdo del signo de igual; si al
término (-7x) le sumamos su inverso aditivo (7x), el resultado es cero, lo que significa
su «eliminación» del lado derecho del signo de igual. Pero de acuerdo con la
propiedad aditiva de la igualdad el término (7x) también se debe sumar al lado
izquierdo del signo de igual:
−2𝑥 + 8 + (7𝑥) = −7𝑥 + 10 + (7𝑥)
−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = (−7𝑥 + 7𝑥) + 10
−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)
Observa que la operación antes efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la
expresión (A): «pasar el término (-7x), situado a la derecha del signo de igual, al
lado izquierdo con signo contrario al que tiene» y obtenemos la ecuación (B).
−2𝑥 + 8 = −7𝑥 + 10 (𝐴)
−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)
Ubiquemos ahora los términos numéricos del lado derecho del signo de igual.
−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)
Si al término (8) le sumamos su inverso aditivo (-8) el resultado es cero, lo que
significa su «eliminación» del lado izquierdo del signo de igual; como ya sabemos,
también debe sumarse en el lado derecho.
−2𝑥 + 8 + (−8) + 7𝑥 = 10 + (−8)
−2𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 (𝐶)
Observa que la operación efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la
expresión (B): «pasar el término (8) situado a la izquierda del signo de igual, al lado
derecho con signo contrario al que tiene», obtenemos la ecuación (C):
−2𝑥 + 8 + 7𝑥 = 10 (𝐵)
−2𝑥 + 7𝑥 = 10 − 8 (𝐶)
Al simplificar términos semejantes tenemos: 5𝑥 = 2 (𝐷)
La variable estará despejada cuando su coeficiente sea la unidad; esto se logra
partiendo de (D) al multiplicar por el inverso multiplicativo del coeficiente de la
variable que está situado del lado izquierdo del signo de igual, es decir, 1
5, pero de
acuerdo con la propiedad multiplicativa de la igualdad también se debe multiplicar
por 1
5 el término que se encuentra a la derecha del signo igual.
Así que: (1
5) 5𝑥 = (
1
5) 2
(1
5∗ 5) 𝑥 =
2
5
𝑥 =2
5
Observa que la operación antes efectuada es equivalente a hacer lo siguiente en la
expresión (D): «pasar el 5, que está multiplicando en el lado izquierdo, como divisor
del lado derecho» y obtenemos la solución de la ecuación.
5𝑥 = 2
𝑥 =2
5 (𝐷)
Ejemplo:
Usando la forma práctica, resolver la ecuación: -5z + 13 = 10z - 17
Solución: Situar los términos en la variable a la izquierda del signo de igual:
-5z – 10z + 13= -17
Situar los términos numéricos a la derecha del signo de igual:
-5z – 10z = -17 -13
Simplificando términos semejantes:
-15z = -30
el coeficiente (-15) que está multiplicando a z del lado izquierdo «pasa» dividiendo al lado derecho del signo
de igual; observa que al hacerlo conserva su signo.
𝑧 =−30
−15= 2
Comprobación: al sustituir z = 2 en la ecuación —5z + 13 = 1 O - 7, ésta se debe satisfacer:
-5(2) + 13 = 10(2) – 17
-10 + 13 = 20- 17
3 = 3
Solución de ecuaciones lineales usando el símil de la balanza
Se puede plantear la solución de una ecuación con una variable usando el símil de
una balanza. Para esto, en el platillo de la izquierda se deben «colocar» los términos
que contienen a la variable, equivalente a que en la ecuación estén situados a la
izquierda del signo de igual, y en el platillo de la derecha los términos numéricos.
Al presentarse la ecuación en la balanza, ésta se encontrará en equilibrio; si
añadimos o quitamos el mismo término en ambos platillos, la balanza seguirá
estando en equilibrio. Para lograr un símil considera que los términos son pesas que
se colocan en los platillos, por eso los términos aparecen encerrados en
esta figura:
Este planteamiento se basa en el principio de que la balanza siempre deberá estar
en equilibrio. Esto representa el uso de las propiedades: aditiva, multiplicativa y de
división de la igualdad. Si se suma, multiplica o divide «algún término» a la izquierda
del signo de igual, lo mismo se debe hacer a la derecha.
Presentamos la forma o procedimiento para resolver una ecuación utilizando el símil
de la balanza, mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 2(x - 5) + 3(2x + 1) = 7x - 3 usando el símil de la balanza. Solución: Eliminando los paréntesis circulares y simplificando términos semejantes.
2x - 10 +6x + 3 = 7x -3 2x + 6x - 10 + 3 = 7x -3 8x - 7 = 7x - 3 A- Que es una ecuación equivalente a la original.
La ecuación A la representamos como una
balanza en equilibrio. [Figura 6.1].
Situando los términos en x en el platillo
izquierdo. Al agregar en ambos platillos el
mismo «peso» (-7x), la balanza sigue en
equilibrio
Al simplificar términos semejantes
obtenemos la ecuación equivalente.
Situando los términos numéricos en el platillo
derecho. Al agregar en ambos platillos el mismo
peso (7), la balanza sigue en equilibrio.
Al simplificar términos semejantes
obtenemos la ecuación equivalente que
proporciona la solución.
x = 4 Que representa la solución de la
ecuación original.
Comprobación: El valor de x = 4 debe satisfacer la ecuación 2(x - 5) + 3(2x + 1) = 7x - 3
2(4-5)+3[2(4) +1]= 7(4)-3 2(-1)+3(9) = 28-3
-2 + 27 = 25 25 = 25 se satisface la ecuación.
Resolviendo la ecuación utilizando la forma práctica: 2(x - 5) + 3(2x + 1)=7x-3 ecuación equivalente a la original.
8x - 7 = 7x – 3 Pasamos 7x al lado izquierdo del signo de igual con signo contrario al que tiene:
8x - 7 - 7x = - 3
Simplificamos términos semejantes: 8x – 7x- 7 = - 3 x – 7= - 3
Pasamos el término -7 al lado derecho del signo de igual con signo contrario al que tiene:
X= -3 + 7 x= 4
Introducción al estudio de ecuaciones lineales con dos variables
Para que tengas un panorama general de los conocimientos que adquirirás de las
ecuaciones lineales con dos variables, te presentamos algunos ejemplos de este
tipo de ecuaciones:
𝑎) 𝑥 − 𝑦 = 10 𝑏) 3𝑧 − 2𝑤 = (𝑧 + 1) 𝑐) 2𝑎 + 5𝑏 = −13 𝑑) 2
5𝑤 − 8 =
2
3𝑤
Estas ecuaciones, al igual que las de una variable, también son proposiciones de
igualdad; por ejemplo, la ecuación del inciso a) propone que la variable «x» menos
la variable «y» sea igual a 10. Ahora, la pregunta es: ¿cuáles son los valores de x y
y que hacen que la proposición de igualdad sea verdadera?
Si asignamos a x el valor de 15 y a y el valor de 5 su diferencia es 10; lo que hace
que la ecuación sea verdadera y por lo tanto la pareja de valores x = 15 y y = 5 es
solución de la ecuación. ¿Será la única? La respuesta es no, porque si efectuamos
la siguiente asignación de valores: x = 20 y y = 10, su diferencia es 10, lo que hace
que la ecuación sea verdadera y por lo tanto la pareja de valores:
x = 20 y = 10 también es solución de la ecuación.
Con esto podemos intuir que el número de soluciones de una ecuación lineal con
dos variables es infinito.
¿Cómo encontrar las soluciones de estas ecuaciones?
Regresemos a la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 10. Para encontrar las soluciones debemos, por
ejemplo, despejar «x». Así tenemos:
𝑥 = 10 + 𝑦 Al asignar valores arbitrarios a «y» se obtienen los correspondientes valores de x. El número de soluciones es infinito porque a «y» se le pueden asignar todos los valores del conjunto de los números reales.
La técnica para resolver estas ecuaciones lineales, es decir, encontrar la pareja de
valores de las variables que la satisfacen, se basa en el conocimiento de las
propiedades de los números reales y de las igualdades, que se usan cuando se
despeja una de las variables de la ecuación; obtener el valor de la variable que se
ha despejado cuando se asignan valores a la otra se conoce como tabulación.
Las soluciones de la ecuación al considerarlas como pares ordenados de valores
se pueden representar en un sistema coordenado rectangular como puntos que dan
lugar a la construcción de la gráfica de la ecuación.
Muchos problemas que se enuncian en el ámbito de la vida cotidiana o académica
dan origen a la construcción de dos ecuaciones lineales con dos variables, que
constituyen un «sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables».
Estudiaremos los métodos que permiten resolver dicho sistema, lo que significa
determinar los valores de las variables que hacen verdaderas, simultáneamente, a
ambas ecuaciones.
Aprenderemos que estos sistemas pueden tener solución única, un número infinito
de ellas o no tener solución.
Identificaremos además qué significado tienen estas soluciones desde el punto de
vista gráfico.
Así, tenemos que las ecuaciones lineales con dos variables son:
a) Proposiciones de igualdad que resultan verdaderas para algunos valores de las
variables que en ella intervienen.
b) El resultado de plantear situaciones relacionadas con hechos que conciernen a
la vida cotidiana, pero mayormente los relacionados con aspectos de la vida
académica.
En el Cuadro 6.1 se presentan diversos enunciados en lenguaje común
relacionados con aspectos de la vida cotidiana y académica, así como su
expresión en lenguaje matemático.
Enunciado en
Lenguaje común Interpretación en lenguaje matemático Comentario
Un terreno rectangular tiene 120 metros de perímetro; ¿cuánto miden sus lados?
Llamando a y b a los lados del b; rectángulo, el perímetro es la suma de los cuatro lados, es decir, a + b + a + b = 2 a + 2 b; llamando P al perímetro construimos la expresión P = 2a + 2b; como P = 120, la ecuación resultante es 120 = 2a + 2b.
Si la suma de dos números reales es 30, ¿cuáles son esos números?
Sea x un número real y y otro número real, la suma de ambos se expresa como:
Una radiodifusora cobra $100 por transmitir cinco spots que es el número mínimo puede contratar y $6.50 por cada spot adicional. ¿Cuál es la expresión que permite calcular el costo de cualquier número de spots?
$100 costo de 5 spots; si llamamos «n» al número de spots, (n - 5) representa el número de spots adicionales a 5 cuyo costo es de $6.50. Llamando Cn al costo de cualquier número de spots, tenemos: Cn = $100 + $6.50 (n - 5)
Observa que $100 es una constante y ocurre por la condición de que es el número mínimo obligado a contratar y representa cinco spots; por esto, el número de spots adicionales se representa por (n - 5), ya que cinco están incluidos en los $100
Una línea recta es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos, tales que, tomados dos cualesquiera de ellos y calculada su pendiente, ésta es constante; ¿cuál es la expresión matemática de la línea recta?
En un sistema coordenado rectangular presentamos la gráfica de una recta, identificamos con el signo de α a su ángulo de inclinación, esto es, el que forma la recta con el eje x, y a dos puntos de la misma con las letras A y B, cuyas coordenadas son: A(0, b) y B(x, y).
La pendiente de la recta a la que llamaremos m es igual a la tangente del ángulo de inclinación a:
m = tan α la tangente de α se obtiene a partir del triángulo rectángulo que se ha formado con los puntos A, B y C.
tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=
𝐵𝐶
𝐴𝐶
como BC = y - b y AC = x, tenemos: tan 𝛼 =𝑦−𝑏
𝑥
como m = tan α, tenemos:𝑚 =𝑦−𝑏
𝑥 m- de donde:
𝑚𝑥 = 𝑦 − 𝑏
que se acostumbra escribir: y = mx + b Ésta es una ecuación lineal en dos variables: «x» y «y», y en donde m y b son constantes.
A pesar de que este tema corresponde al curso de geometría analítica, creemos que podrás entender el planteamiento para construir la expresión matemática de la línea recta, desde luego con la ayuda de tu catedrático y recordando algunos conocimientos adquiridos en cursos anteriores como lo que es un ángulo de inclinación, un sistema coordenado rectangular, la tangente, y cómo se calcula y se representa un punto en el sistema coordenado.
La ecuación lineal con dos variables
Además de saber construir una ecuación lineal, es importante aprender a resolverla,
es decir, determinar el o los valores de las variables que aparecen en ella y que al
sustituirlos en la ecuación ésta se satisfaga, es decir, hacen que la proposición de
igualdad sea verdadera.
¿Cuántas soluciones tienen una ecuación lineal con dos variables? La respuesta
es: un número infinito de soluciones.
Técnica o método para resolver ecuaciones lineales con dos variables
La técnica para encontrar las soluciones de una ecuación lineal con dos
variables consiste en:
1. Despejar cualquiera de las variables, esto es, situarla, por lo general, del lado
izquierdo del signo igual con coeficiente unitario.
2. Asignarle valores arbitrarios a la variable que se situó al lado derecho del
signo igual.
3. Determinar los valores que le corresponden a la variable que se despejó
cuando se le asignan valores a la otra variable. Es conveniente utilizar el
procedimiento que hemos llamado «tabulación» para realizar esto.
4. Las parejas de valores así formadas son las soluciones de la ecuación.
Ejemplo
Encontrar las soluciones de la ecuación 5x + y - 3 = 0. Solución: Despejando la variable «y» y = -5x + 3
Asignamos valores arbitrarios a la variable x y determinamos el correspondiente valor de y:
Si x = 2 𝑦 = −5(2) + 3 = −7
Si x = 0 𝑦 = −5(0) + 3 = 3
Si x = 3 𝑦 = −5(3) + 3 = −15 + 3 = −12
De manera que se obtienen las parejas de valores:
x = 2 y= -7 Que son algunas soluciones de la
ecuación x = 0 y= 3
x = 3 y =-12
Lo que se comprueba al sustituir estos valores en la ecuación original y satisfacerse ésta:
5x +y -3=0:
para x = 2 y y = -7 tenemos 5(2) + (−7) − 3 = 0 10 − 7 − 3 = 0 0=0
para x = 0 y y = 3 tenemos 5(0) + 3 − 3 = 0 0 + 3 − 3 = 0 0=0
para x = 3 y y =-12 tenemos 5(3) + (−12) − 3 = 0 15 − 12 − 3 = 0 0=0
La ecuación lineal con dos variables y su relación con la función lineal
Antes de explicar la relación entre una ecuación lineal con dos variables y la función
lineal es necesario conocer la definición de función en general y de la función lineal
en particular, así como obtener su representación gráfica.
El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos,
que por lo general son conjuntos de números; la correspondencia o asociación entre
los elementos de ambos conjuntos se establece con base en una regla de
asociación, que puede ser un enunciado o una expresión matemática.
Por lo general, las reglas de asociación entre los elementos de dos conjuntos no
son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el matemático.
Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones,
por ejemplo:
• Cuando viajas en autobús o automóvil, el tiempo que recorres una distancia
depende de la velocidad con la que se desplaza el vehículo. Como sabes por cursos
anteriores de física, la regla de correspondencia o asociación entre las variables
está dada por la expresión: distancia = velocidad x tiempo.
• La temperatura o el grado de humedad del ambiente a lo largo de un día depende
de la hora; es decir, con cada hora está asociada una determinada temperatura o
cierto grado de humedad, de manera que la temperatura o humedad depende o está
en función de la hora del día. • Al depositar dinero en una institución bancaria a cierta tasa de interés se obtiene
una ganancia. Dicha ganancia está en función de la tasa de interés.
Si cada elemento de un conjunto 𝒙 se asocia con exactamente un elemento del
conjunto 𝒚 a través de una regla de asociación o correspondencia, se define una
función, que puede expresarse como “la función de 𝒙 en 𝒚, o bien, f de 𝒙 en 𝒚 ”.
• Al conjunto de valores de la variable « 𝒙 » se le conoce como el dominio de la
función f
• Al conjunto de valores de la variable « 𝒚 » se le conoce como la imagen o rango
de x bajo f, y se denota como f(𝒙).
En la definición de función conviene destacar lo siguiente:
• Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango,
en otras palabras, «un elemento del dominio se asocia con un y sólo un elemento del rango».
• Los valores de 𝒚 o f( 𝒙 ) se determinan mediante la regla de asociación o
correspondencia cuando se le ha asignado un determinado valor a 𝒙. En una función, dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo
elemento del rango, puesto que se cumple la definición de que «a un elemento del
dominio le corresponde un único elemento del rango». Sin embargo, el mismo
elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango;
si esto ocurre, no se está hablando de una función.
Esto se aclara en las siguientes figuras:
Nota: En todas las figuras la asociación ilustrada es una función.
Caso 1
Dos elementos del dominio se
asocian con el mismo elemento
del rango. Observa que al
elemento 2 de X le corresponde
un único elemento de Y, el 11;
aun cuando al elemento 3 de X
le corresponda el mismo
elemento 11 de Y, se cumple
con la definición de función
Caso 2
En tres ocasiones, dos
elementos del conjunto A se
asocian con el mismo
elemento del conjunto B.
Caso 3
Todos los elementos del
conjunto Z se asocian con el
mismo elemento del con-junto
W; aun así, se cumple que cada
elemento del dominio se asocia
con un solo elemento del rango.
La Figura 6.9 no ejemplifica una función porque el elemento 1 del dominio se asocia
con dos diferentes elementos del rango; lo mismo sucede con el elemento 9.
Notación de funciones
𝒇: 𝒙 → 𝒚 𝒇: 𝒙 → 𝒇(𝒙)
Que se leen:
𝑓 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦
𝑓 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
Para denotar los elementos del dominio de una función se puede usar cualquier
letra del alfabeto (excepto la y, para evitar confusiones): x, s, t, u, y, w, l, etcétera.
Y para denotar los elementos del rango se utilizan los símbolos:
f(x), f(s), f(t), f(u), f(v), f(w) y f(l)
En el siguiente cuadro se menciona cómo se representa el rango que corresponde al elegir una determinada letra para identificar la variable del dominio.
Dominio Rango Expresión
x 𝑓(𝑥) 𝑓: 𝑥 → 𝑓(𝑥)
t 𝑓(𝑡) 𝑓: 𝑡 → 𝑓(𝑡)
u 𝑓(𝑢) 𝑓: 𝑢 → 𝑓(𝑢)
En párrafos anteriores mencionamos que la regla de asociación o
correspondencia era tal vez el elemento más importante del tema de funciones;
sin embargo, la correcta determinación del dominio y del rango de una función es
necesaria para la obtención de su gráfica y su posterior análisis.
El rango de una función, es decir, los valores de «y», serán aquellos que hagan
que los valores del dominio (valores de “x”) sean números reales. Los valores de
y que hacen que x sea un número real se determinan mediante el análisis de la
ecuación que las relaciona. Por ejemplo, si la ecuación es:
La definición de función implica, como ya explicamos, la asociación entre los
elementos de dos conjuntos dados, formándose parejas de números que se
escriben como pares ordenados de valores, donde el primer elemento del par
pertenece al dominio y el segundo, al rango; éstos se representan como (x, y).
La representación gráfica de una función
Para representar gráficamente una función se requiere conocer el concepto de par
ordenado, sistema coordenado rectangular y cómo se representa un par ordenado
en el sistema coordenado rectangular, mismos que a continuación abordamos.
Pares ordenados de valores
Al asociar los elementos de dos conjuntos se determinan parejas ordenadas de valores; se dice que son ordenadas porque el primer elemento siempre debe pertenecer al primer conjunto y el otro elemento al segundo.
Un par ordenado de valores se representa al colocar sus elementos dentro de un
paréntesis circular separando los elementos con una coma. Por lo general, se
identifica al par mediante una letra mayúscula, como se ilustra a continuación:
A(5,2) B(3, 1) C(-3, 8) D(0, 6)
Ejemplo
Formar los pares ordenados con los números que se indican con flechas en la figuras,
identificarlos con letras mayúsculas y expresar el par en forma general usando las letras que
identifican a los conjuntos [Figura 6.10].
Solución: Los pares ordenados son:
A(2,1) B(4, 5) C(6, 7) D(8, 9) E(10, 15) y F(12, 15)
Expresión general del par ordenado: (𝑧, 𝑤) 𝑜 (𝑧, 𝑓(𝑧))
El sistema coordenado rectangular de dos dimensiones
Al asociar números reales con los puntos de una recta, construimos una recta
numérica o real, como ya explicamos.
En la recta numérica horizontal los números están asociados con puntos de la
misma bajo los siguientes criterios:
• El cero se asocia con el origen de la recta.
• Los números positivos se ubican a la derecha del origen y a la izquierda los
números negativos.
En la recta numérica vertical ocurre lo siguiente:
• El cero se asocia con el origen.
• Los números positivos se ubican hacia arriba del origen y los negativos hacia
abajo.
Al construir una recta numérica es necesario que los intervalos, es decir, la distancia
entre sus puntos, sean iguales.
Un sistema coordenado de dos dimensiones se construye con dos rectas
numéricas perpendiculares entre sí, ambas situadas en el mismo plano.
Al punto donde se intersectan las rectas se le llama origen del sistema, y a las
rectas se les conoce como ejes coordenados; a la recta horizontal se le llama eje
de las abscisas o eje de las «x», y a la recta vertical eje de las ordenadas o eje
de las «y», y corresponde al rango de la función
Las dos rectas numéricas o ejes coordenados definen un plano y lo dividen en
cuatro partes llamadas cuadrantes [Figura 6.12].
Para ubicar un punto en cualquier cuadrante se requiere conocer dos valores, uno
sobre el eje x, llamado abscisa, y otro sobre el eje y, llamado ordenada. Estos dos
valores forman lo que se conoce como un par ordenado de valores.
Por conveniencia, las abscisas son positivas a la derecha del origen y negativas a
la izquierda; las ordenadas son positivas arriba del origen y negativas abajo.
Por lo general, se usa la misma unidad de longitud en ambos ejes, pero en
ocasiones especiales conviene emplear unidades de longitud diferentes.
En el sistema coordenado rectangular de dos dimensiones se establece la
correspondencia entre pares ordenados de valores y puntos del plano.
Localización de pares ordenados en el sistema coordenado
En el sistema coordenado rectangular, a un par ordenado de valores le corresponde
un punto y viceversa. El punto asociado a un par ordenado se obtiene de la siguiente
forma:
a) Se localiza en el eje x la abscisa del par ordenado y se traza por ese punto una
recta paralela al eje y.
b) Se localiza en el eje y la ordenada del par ordenado y se traza por ese punto una
recta paralela aleje x.
c) El punto donde se intersectan las rectas determina el punto asociado al par
ordenado.
Ejemplo
Representar en el sistema coordenado rectangular los siguientes pares ordenados:
A(2,5) B(-6,-2) E(-5,0) F(0,-3) C(-3,6) D(4,-5) G(3,0) H(0,4)
Solución: En la Figura 6.13 se muestra la
localización de estos pares ordenados. Observa que: Los puntos E y G se encuentran sobre el eje x porque su ordenada vale cero; los puntos F y H se ubican sobre el eje y porque su abscisa vale cero. Nota: Cuando se obtenga la gráfica de una función lineal, puntos como E, G, F y H identificarán sus intersecciones con los ejes coordenados.
La definición formal de función
Consideremos los conjuntos X y Y cuyos elementos se asocian para formar pares
ordenados de valores mediante una regla de correspondencia que es expresada
mediante una ecuación; el conjunto X es el dominio de la función, y Y el rango.
La regla de correspondencia que nos permite asociar los elementos de los conjuntos
X y Y es una expresión matemática.
Una función f de X en Y es un conjunto de pares ordenados de valores (x, y);
donde a cada “x” del dominio le corresponde una única “y” del rango.
De acuerdo con la definición podemos identificar cuándo un conjunto de pares
ordenados representa una función o no de la siguiente manera: Si en ninguno de
los pares ordenados un mismo elemento del dominio se encuentra asociado con
dos elementos diferentes del rango, este conjunto de pares representa una función.
a) Los pares ordenados (-3,2), (4, 3), (1,0) y (7,2) representan una función porque
ningún elemento del dominio está asociado con dos diferentes elementos del rango;
en otras palabras, a una misma abscisa no le corresponden dos diferentes
ordenadas.
b) Los pares ordenados (4, —2), (5, 7), (-8, —3), (10, 3), (-3, 5), (7, 4) y (-3, 6) no
representan una función porque existen dos pares ordenados en los que la misma abscisa se asocia con dos ordenadas diferentes; estos pares son: (-3, 5) y (-3, 6).
c) Los pares ordenados (2, 3), (5, 3), (-4, 3) y (0, 3) representan una función porque
en ningún caso a la misma abscisa le corresponden dos ordenadas diferentes.
La función lineal y su relación con la ecuación lineal
Cuando la regla de asociación entre los elementos de dos conjuntos de números se
establece mediante una ecuación lineal con dos variables, definimos una función
lineal.
La función f cuya expresión es f (x) = mx + b recibe el nombre de función lineal, donde m y b son constantes.
Se obtuvo la ecuación de la línea recta a partir de su definición y resultó:
y = mx + b.
La manera usual de expresar la función lineal es:
f(x)=y=mx + b (1)
Ahora bien, la expresión general de una ecuación lineal con dos variables es:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Si la ecuación lineal con dos variables 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 la expresión en la forma
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , entonces habremos establecido la equivalencia entre la
ecuación lineal con dos variables y la función lineal.
Utilizando las propiedades de la igualdad, la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, se puede
transformar en la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, como se explica a continuación.
Despejando 𝒚 de la expresión 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝐵𝑦 = −𝐴𝑥 − 𝑐 → 𝑦 = −𝐴
𝐵𝑥 −
𝐶
𝐵 (𝟐)
Así, hemos establecido la equivalencia entre la ecuación lineal con dos variables y
la función lineal.
Ejemplo
Dada la ecuación lineal 2𝑥 = −5𝑦 + 8
a) Expresarla en la forma f(x) =y = mx + b. b) Determinar el valor de m y b. c) Qué expresa «m»?
Solución: a) Despejando «y»:−5𝑦 = −2𝑥 − 8
𝑦 =−2𝑥−8
−5
𝑦 = −2
5𝑥 +
8
5, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −
2
5𝑥 +
8
5
b) Al compararla con la expresión y =f(x) = mx + b, concluimos que el coeficiente de x es
igual a m y el término independiente es b.
𝑚 = −2
5 b=
8
5
c) Recuerda que cuando se obtuvo la expresión matemática de la línea recta en el
Cuadro 6.1, se definió a m como la tangente del ángulo de inclinación de la recta, esto es, m = tg α. Obtengamos el ángulo de inclinación:
Como 𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑦 𝑚 = −2
5
tenemos que −2
5= 𝑡𝑔 𝛼
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −2
5
Con ayuda de tu catedrático, obtén el valor de a y represéntalo en el sistema coordenado. Nota: Dependiendo del valor de a, su representación gráfica puede ser:
Nota: Recuerda que «b» es la ordenada del punto de intersección con el eje«y»; esto
es, el par ordenado (0, 8/5).
Construcción de la gráfica de la función lineal mediante la representación de pares ordenados de valores obtenidos mediante tabulación
Conocida la expresión que define a una función lineal podemos determinar todos
los pares ordenados de valores posibles; graficados éstos en un sistema
coordenado rectangular y unidos los puntos mediante una línea continua,
obtenemos la gráfica de la función.
Ejemplo
Construir la gráfica de la función lineal definida por la ecuación f(x) = y = 3x + 2 Solución: Recuerda que debemos determinar cuáles son los elementos de los conjuntos que se
asocian como pares ordenados mediante la regla de correspondencia o asociación.
Del conjunto X, llamado dominio de la función, elegimos arbitrariamente cualquier elemento, que
como ya mencionamos se conoce como variable independiente; por ejemplo, elegido x = -3,
debemos determinar con cuál elemento del conjunto Y se asocia [Figuras 6.14 a y b].
El elemento del conjunto Y con el que se asocia x = -3 es y = -7, y podemos asegurar que con ningún otro
Determinemos algunos pares ordenados mediante la tabulación al suponer valores arbitrarios de x y obtener así los correspondientes valores de y o f(x).
x y o f(x)
x=-3
x=0
x=3
x=5
𝑓(−3) = 3(−3) + 2 = −7
𝑓(0) = 3(0) + 2 = 2
𝑓(3) = 3(3) + 2 = 11
𝑓(5) = 3(5) + 2 = 17
x f(x) Pares ordenados
-3 -7 A(-3, -7)
0 2 B( 0, 2)
3 11 C( 3, 11)
5 17 D( 5, 17)
Observa la similitud que existe con la «tabulación» que se utilizó cuando se resolvieron ecuaciones lineales con dos variables. La gráfica se obtiene representando los pares ordenados en el sistema coordenado y uniendo los puntos mediante una línea. Podemos concluir que la gráfica de la función lineal f(x)=y = 3x +2 es una línea recta [Figura 6.15]. Podemos afirmar que la gráfica de una función lineal es una línea recta.
.
Importante
El número de pares ordenados que permiten obtener una representación gráfica
depende de la función de que se trate; para la función lineal basta con dos pares
ordenados; en otro tipo de funciones se requiere una gran cantidad de ellos. Existen
ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la gráfica,
como son las intersecciones con los ejes.
Construcción de la gráfica de la función lineal utilizando únicamente los puntos de intersección con los ejes coordenados
Como ya se mencionó, la gráfica de una función lineal es una línea recta.
Conocimientos elementales de geometría nos dicen que una recta queda
determinada cuando se conocen dos puntos de la misma, lo que significa que para
construir su gráfica basta con conocer dos pares ordenados de valores únicamente,
es decir, dos puntos. Los pares ordenados más sencillos de determinar son aquéllos
donde la gráfica de la función intersecta a los ejes coordenados.
Cómo identificar las intersecciones con los ejes coordenados
En la Figura 6.16 se representan las gráficas de dos funciones lineales que han sido
identificadas como (1) y (2)
La intersección de la gráfica de la función (1) con el eje x se identifica como el punto
A; observa que la característica de este punto es que su ordenada y o f(x) es igual
a cero y su abscisa es «a». El par ordenado es (a, 0).
La intersección de la función (1) con el eje y se identifica como el punto B; la
característica de este punto es que la abscisa x es igual a cero y su ordenada es
«b». El par ordenado es (0, b).
El punto C es la intersección de la función (2) con el eje x, donde la ordenada vale
cero y la abscisa «c». El par ordenado es (c, 0).
El punto D es la intersección de la función (2) con el eje y, donde la abscisa vale
cero y la ordenada «d». El par ordenado es (0, d).
Ejemplo
Construir la gráfica de la función lineal definida por la ecuación y =f (x) = 3x + 6, determinando únicamente sus intersecciones con los ejes coordenados. Solución: Intersección con el eje x En este punto la ordenada vale cero, es decir, y =f(x) = 0
Si en f(x)=y= 3x+6; hacemos que y=f(x)=0 tenemos que: 0=3x+6
Al resolver esta ecuación tenemos: 3𝑥 = 6 𝑥 = −6
3= −2
El par ordenado es: A(-2,0) En otras palabras, es el punto de intersección de la función lineal con el eje «x». Intersección con el eje y En este punto la abscisa vale cero, es decir, x = 0 Si en f(x)= y =3x+6 hacemos que x=0 Tenemos: y = 3(0) + 6 y = 0 El par ordenado es B(O, 6). Es decir, es el punto de intersección de la función lineal con el eje «y».
La gráfica se obtiene representando A y B y uniéndolos con una línea}:
El siguiente ejemplo ilustra el caso de cuando una función lineal es una línea
horizontal
Imagen del Ejemplo 6.20 página 191 y192
Con base en el ejemplo anterior definimos la función constante como:
La función lineal definida por la ecuación
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∈ ℝ 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Construcción de ecuaciones lineales con dos variables equivalentes a una
función lineal, determinación de las soluciones y su representación gráfica.
En el siguiente ejemplo se obtendrán las ecuaciones que corresponden a un
enunciado y se construirán las gráficas de las funciones
Imagen del Ejemplo 6.21
Construye la ecuación que permite obtener el perímetro de un rectángulo cuya altura es cinco unidades menor que la base. Graficar los resultados obtenidos para obtener el perímetro del rectángulos con base igual a 9, 10 y 13 unidades. Solución: Si llamamos x a la base, entonces la altura es 𝑥 − 5 y el perímetro P es igual a:
𝑃 = 𝑥 + 𝑥 + (𝑥 − 5) + (𝑥 − 5)
𝑃 = 2𝑥 + 2(𝑥 − 5) 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑥 − 10
𝑃 = 4𝑥 − 10 Ésta es la ecuación que permite calcular el perímetro en función de la base identificada por x. Al tabular para valores de la base, es decir de x, iguales a 9, 10 13 unidades, tenemos lo siguiente:
x P Pares
ordenados
9 26 A(9,26)
10 30 B(10,30)
12 42 C(13,42)
Operaciones
𝑃 = 4(9) − 10 = 26
𝑃 = 4(10) − 10 = 30
𝑃 = 4(12) − 10 = 42
La grafica es:
Determina el punto de intersección con el eje «x», con base en esto responde la siguiente pregunta:
¿Cuál es la importancia de este punto respecto al valor del perímetro?
Respecto a las ecuaciones lineales con dos variables, concluimos que:
Base =x
Altura x-5
1. La ecuación lineal con dos variables cuya forma general es Ax + By + C = 0, es equivalente a la función lineal f(x) = y = mx + b; gráficamente, es una línea
recta. Los valores que pueden admitir x y y son todos los números reales,
excepto en los casos especiales donde la representación gráfica es una recta
horizontal.
2. Las intersecciones con los ejes coordenados o dos puntos pertenecientes a
la función son suficientes para graficarla.
3. Cuando la ecuación lineal con dos variables se construye a partir de un
enunciado, los valores que pueden admitir las variables, por lo general, tienen
restricciones que se deducen del propio enunciado. Su gráfica puede ser una
recta o un segmento de ella. Se puede despejar cualquiera de las incógnitas,
tabular y construir la gráfica.
4. La solución de estas ecuaciones al usar el método algebraico es exacta,
mientras que el método gráfico proporciona un valor aproximado.
BLOQUE 7 ECUACIONES LINEALES II
7.1
Representación de relaciones entre magnitudes
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables ¿Qué es un sistema de dos ecuaciones con dos variables y cómo se puede construir?
El enunciado de un problema en lenguaje común o derivado de un planteamiento
matemático suele dar origen a la construcción de dos ecuaciones lineales con dos
variables, las cuales forman un sistema, como en los siguientes casos:
Enunciado del problema en lenguaje
común
El enunciado traducido al lenguaje
Matemático da origen al sistema
El precio del boleto de avión México-
Guadalajara es $850 por adulto y de
$500 por niño. Si se vendieron en
taquilla 50 boletos y se obtuvieron
Si x es el número de adultos y y el número
de niños las ecuaciones que se
construyen son:
ingresos por $36 900, ¿Cuántos
adultos y cuántos niños viajaron en el
avión?
Una comercializadora va a elaborar frascos con alcohol al 75% de pureza
de 125 𝑐𝑚3 de capacidad. Dispone, para lograr esta solución, de alcohol al 65% y al 90% de pureza. ¿Qué
cantidad de solución al 65% y al 90% debe mezclar para obtener la solución con la pureza deseada?
𝑥 + 𝑦 = 50
850𝑥 + 500𝑦 = 36900
si x es la cantidad de alcohol al 65% de
pureza, y y la cantidad de alcohol al 90%
de pureza, las ecuaciones que se
construyen son:
𝑥 + 𝑦 = 125
0.65𝑥 + 0.9𝑦 = 0.75
Además de aprender a construir estos sistemas, nos interesa resolverlos; esto es,
determinar su solución y representarlos gráficamente para interpretarlos y, si es el
caso, analizarlos.
¿Qué es la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables?
Una pareja de valores es la solución de un sistema si al sustituir dichos valores en
una u otra ecuación éstas se satisfacen, es decir, la proposición de igualdad resulta
verdadera.
Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones:
𝑥 + 3𝑦 = −1 𝑦 2𝑥 + 5𝑦 = −1
Tiene como solución a la pareja de valores
𝑥 = 2 𝑦 𝑦 = −1
Porque al sustituir estos valores en las ecuaciones éstas se satisfacen.
Al sustituir en la primera ecuación tenemos
(2) + 3(−1) = −1
2 − 3 = −1
-1 = -1
Al sustituir en la segunda ecuación
2(2) + 5(-1) = -1
4 – 5 = - 1
-1 = -1
Como ambas ecuaciones se satisfacen, la pareja de valores x = 2 y = —1 es la
solución del sistema.
Con las propiedades de los números reales y de las igualdades se establecen
técnicas o métodos algebraicos para encontrar la solución de un sistema de
ecuaciones.
Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Método de suma y resta o de Gauss
El método de Gauss consiste en lograr que en ambas ecuaciones del sistema una
de las variables tenga el mismo coeficiente y signos opuestos, de manera que al
sumar las ecuaciones esta variable se elimine obteniéndose una ecuación lineal con
una variable, que se resuelve como ya se explicó. Conocido el valor de la variable
se sustituye en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene el valor de la otra.
El manejo adecuado de las propiedades de los números reales y las igualdades
permite lograr que en ambas ecuaciones los coeficientes de la misma variable sean
iguales y de signo contrario. Para lograr esto procedemos como sigue:
Recomendaciones para usar el método de suma o resta
1. Realiza operaciones previas como eliminar paréntesis, por ejemplo, y
presenta las ecuaciones de manera que los términos semejantes aparezcan
colocados en columnas.
2. Para obtener términos con coeficientes idénticos en una de las variables,
multiplica la primera ecuación por el coeficiente que tiene la variable en la
segunda ecuación y, recíprocamente, multiplica la segunda ecuación por el
coeficiente que tiene la misma variable en la primera ecuación; si no poseen
signos contrarios los términos obtenidos, puedes optar por multiplicar
cualquiera de las dos ecuaciones determinadas por (-1)
3. Si en el sistema original los coeficientes de algunas de las incógnitas son
iguales multiplica una de las ecuaciones por (-1) para obtener coeficientes
iguales con signos opuestos.
4. Procede a sumar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas. Esto dará
como resultado una ecuación con una variable, cuyo valor puedes determinar
fácilmente.
5. Encuentra el valor de la otra variable sustituyendo el de la variable conocida
en cualquiera de las ecuaciones del sistema original o equivalente, donde te
resulte más fácil y compruebe.
Ejemplo
Usando el método de suma y resta o de Gauss, resolver el siguiente sistema: 1) 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗
2) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟒 Solución: Para que una de las variables se elimine al sumar miembro a miembro las ecuaciones 1) y 2), debemos multiplicar éstas por los números apropiados, de manera que los coeficientes de una de ellas sean iguales y de signo contrario. Para eliminar «y» debemos lograr que los términos en esta variable tengan coeficientes con igual
valor pero signo contrario en las ecuaciones; para hacerlo se multiplica la ecuación 1) por 5, que es el coeficiente de y en la ecuación 2), y la ecuación 2) por -3, que es el coeficiente de y en la
ecuación 1) pero con signo contrario: de esta manera los coeficientes serán 15 y -15, respectivamente. Al multiplicar la ecuación 1) por 5 tenemos:
(𝟓)(𝟓𝒙 + 𝟑𝒚) = (𝟓) ∙ 𝟗 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟒𝟓 1’)
Al multiplicar la ecuación 2) por -3 tenemos:
(−𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟓𝒚) = (−𝟒)(−𝟑) − 𝟔𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟐 2’)
Al sumar miembro a miembro las ecuaciones equivalentes 1’) y 2’), tenemos: 𝟐𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟒𝟓
−𝟔𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟐
−𝟏𝟗𝒙 = 𝟓𝟕
Observa que hemos obtenido una ecuación lineal en la variable x, cuyo valor es:
𝑥 =57
119 𝑥 = 3
Al sustituir este valor en 1’), tenemos:
𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟓(𝟑) + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟏𝟓 + 𝟑𝒚 = 𝟗 ↔ 𝟑𝒚 = 𝟗 − 𝟏𝟓 ↔ 𝟑𝒚 = −𝟔 ↔ 𝒚 = −𝟔
𝟑↔ 𝒚 = −𝟐
La solución del sistema es 𝑥 = 3 𝑦 𝑦 = −2 ↔ (3, −2)
Comprobación: Veamos si las ecuaciones que forman el sistema se satisfacen al sustituir los valores obtenidos
𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗
𝟓(𝟑) + 𝟑(−𝟐) = 𝟗 𝟏𝟓 − 𝟔 = 𝟗
𝟗) = 𝟗
1) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟒
𝟐(𝟑) + 𝟓(−𝟐) = −𝟒 𝟔 − 𝟏𝟎 = −𝟒
−𝟒 = −𝟒
2)
Método de sustitución
Procedimiento para usar el método de sustitución
1.- Se despeja cualquier variable de cualquiera de las ecuaciones y se sustituye en la otra.
2.- Se obtiene una ecuación con una sola variable y se determina su valor
3.- Se sustituye el valor de la variable obtenida para obtener el valor de la otra variable
Ejemplo Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
𝑥 + 3𝑦 = −1 𝑦 2𝑥 + 5𝑦 = −1 Solución: Presentamos e identificamos las ecuaciones del sistema de la siguiente manera:
1) 𝑥 + 3𝑦 = −1
2) 2𝑥 + 5𝑦 = −1 De acuerdo con el procedimiento mencionado, despejamos una de las variables en cualquiera de las ecuaciones y la sustituimos en la otra. Observa que es más sencillo despejar x de 1), porque su coeficiente es la unidad:
𝑥 = −1 − 3𝑦 1’) ésta es una ecuación equivalente a la original Al sustituir 1') en 2) obtenemos:
2(−1 − 3𝑦) + 5𝑦 = −1
−2 − 6𝑦 + 5𝑦 = −1
−𝑦 = 2 − 1
−𝑦 = 1 𝑦 = −1
Observa que obtuvimos una ecuación lineal con una sola variable y que al resolverla determinamos el valor de y. Sustituyendo el valor de en la ecuación equivalente 1') obtenemos el valor de x.
𝑥 = −1 − 3𝑦 1’)
𝑥 = −1 − 3(−1) ↔ 𝑥 = −1 + 3 ↔ 𝑥 = 2
Por lo que la solución es: 𝒙 = 𝟐 𝒚 𝒚 = −𝟏 Comprobación. Sustituyendo los valores de x = 2 y y = -1 en ambas ecuaciones del sistema, éstas se deben satisfacer.
Ecuación 1) 𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏 (𝟐) + 𝟑(−𝟏) = −𝟏
𝟐 − 𝟑 = −𝟏
−𝟏 = −𝟏
Ecuación 2) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟏 𝟐(𝟐) + 𝟓(−𝟏) = −𝟏
𝟒 − 𝟓 = −𝟏
−𝟏 = −𝟏
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución debes tener presente lo siguiente:
1. Verifica si existe alguna variable en cualquiera de las ecuaciones cuyo
coeficiente sea la unidad; si existe, despéjala. En caso de no ser así, despeja
cualquier literal de cualquiera de las ecuaciones.
2. Sustituye el valor de la literal que se despeje en la otra ecuación; así
obtendrás una ecuación con una variable. Resuelve a continuación ésta.
3. Sustituye el valor de la variable encontrada en cualquier ecuación del sistema
y encuentra así el valor de la otra. 4. Comprueba la solución obtenida.
Método de igualación
El procedimiento o método consiste en despejar la misma variable de ambas
ecuaciones e igualarlas; esto dará como resultado una ecuación con una sola
variable, cuyo valor se obtiene como ya sabes; al sustituir este valor en cualquiera
de las ecuaciones del sistema se obtiene el valor de la otra.
Ejemplo Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:
1) -3𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0
2) 7𝑥 + 8𝑦 − 19 = 0
Solución: Despejando y de la ecuación 1) −5𝑦 = 3𝑥 − 5 𝑦 =3𝑥−5
−5
Despejando y de la ecuación 2) 8𝑦 = 19 − 7𝑥 𝑦 =19−7𝑥
8
Igualando los valores de «y»:
3𝑥 − 5
−5=
19 − 7𝑥
8
8(3𝑥 − 5) = (−5)(19 − 7𝑥)
24𝑥 − 40 = −95 + 35𝑥
95 − 40 = 35𝑥 − 24𝑥
55 = 11𝑥
11𝑥 = 55
𝑥 =55
11= 5
Al sustituir el valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos el valor de y. Observa que resulta más sencillo utilizar cualquiera de las expresiones donde «y» se encuentra despejada.
Sustituyendo en la ecuación 1) 𝑦 =3𝑥−5
−5=
3(5)−5
−5=
15−5
−5=
10
−5= −2
Observa que obtuvimos una ecuación en la variable
x; (8) y (-5) son divisores en
esta expresión, al «pasar» al otro lado del signo de igual lo hacen multiplicando
La solución del sistema es la pareja de valores 𝑥 = 5 𝑦 𝑦 = −2
Comprobación. Las ecuaciones del sistema se deben satisfacer al sustituir los valores 𝑥 =5 𝑦 𝑦 = −2. Si sustituimos valores en la ecuación 1), tenemos:
−3𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0 ↔ −3(5) − 5(−2) + 5 = 0 ↔ −15 + 10 + 5 = 0 ↔ 0 = 0 Si sustituimos valores en la ecuación 2), tenemos:
7𝑥 + 8𝑦 − 19 = 0 ↔ 7(5) + 8(−2) − 19 = 0 ↔ 35 − 16 − 19 = 0 ↔ 0 = 0
Representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables e interpretación de la solución.
La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables en un sistema
coordenado rectangular es una línea recta. Como cada ecuación lineal es una recta,
es obvio que cualquier sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables
representado gráficamente consiste en un par de rectas, cuyas posibles posiciones
son las presentadas en las Figuras 7.1 a, b y c.
Caso 1. Cuando las rectas se intersectan en un punto, el sistema tiene solución
única, lo que significa que existe un valor para 𝒙 y 𝒚 que satisface a ambas
ecuaciones simultáneamente. La pareja de valores que es solución del sistema son
las coordenadas de un punto, que al «satisfacer» a las ecuaciones indica que
pertenecen a las dos gráficas que las representan.
El único punto que tiene esta característica es aquel en donde se intersectan las
gráficas. Dos rectas se intersectan sólo cuando tienen pendientes diferentes, es
decir, ángulos de inclinación diferentes.
Recuerda que expresadas las ecuaciones del sistema en la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 se
determinan las pendientes, y si son diferentes, las rectas se intersectan; ésta es una
manera de saber que el sistema tiene solución única.
Caso 2. Las rectas no se intersectan porque son paralelas, lo que significa que el
sistema no tiene solución. Al expresar las ecuaciones del sistema en la forma 𝒚 =𝒎𝒙 + 𝒃 se determina que las pendientes son iguales, 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐, lo que significa que
las gráficas de las rectas son paralelas por tener el mismo ángulo de inclinación 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 a1= a2. Pero calculada la ordenada al origen, esto es, el punto de
intersección con el eje «y», estos son diferentes, en la figura son los puntos 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐.
Caso 3. Las rectas son coincidentes, por lo que todos sus puntos son puntos de
intersección y, por lo tanto, todos son soluciones del sistema. Al expresar las
ecuaciones en la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, se determina que las pendientes son iguales,
𝒎𝟏 = 𝒎𝟐, es decir, que las rectas tienen el mismo ángulo de inclinación a 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐
y que el punto de intersección con el eje y es el mismo, 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐.
Procedimiento gráfico para resolver un sistema 2 X 2
El procedimiento consiste en:
1. Graficar ambas ecuaciones.
2. Trazar por el punto de intersección de rectas paralelas a los ejes hasta
intersectarlos.
3. Los valores de x y y que corresponden a las intersecciones de esas rectas
paralelas con los ejes constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
Por el método gráfico resuelve el siguiente sistema. 𝑥 + 3𝑦 = −1
2𝑥 + 5𝑦 = −1 que corresponde al ejemplo presentado cuando se explicó el método de sustitución y cuya respuesta es: x=2 y y=-1 Solución: Para construir la gráfica de las ecuaciones determinamos sus intersecciones con los ejes coordenados. De la ecuación 𝑥 + 3𝑦 = −1 obtenemos:
Intersección con el eje x: Si y =0 entonces 𝑥 = −1
y el punto de intersección es:
A(-1,0)
Intersección con el eje y
y el punto de intersección es
Si x=0 entonces
𝐵(0, −1
3)
3𝑦 = −1 ↔ 𝑦 = −1
3
De la ecuación 2𝑥 + 5𝑦 = −1 obtenemos:
Intersección con el eje x:
y el punto de intersección es:
Si y =0 entonces
𝐶(−1
2, 0)
2𝑥 = −1 ↔ 𝑥 = −1
2
Intersección con el eje y
y el punto de intersección es
Si x=0 entonces
𝐷(0, −1
5)
5𝑦 = −1 ↔ 𝑦 = −1
5
La representación gráfica de las ecuaciones se muestra en la Figura 7.2.
El punto de intersección de las dos rectas es E(2, -1), o bien x= 2,y=-1, y ésta es la solución del
sistema, como era de esperarse.
Modelos aritméticos o algebraicos
Construcción y resolución del problema presentado al inicio del tema El enunciado dice:
El precio del boleto de avión México—Guadalajara es de $850 para adulto y de $500
para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obtuvieron ingresos por $36
900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?
Planteamiento: En virtud de que se vendieron 50 boletos, el número de adultos
más el número de niños debe ser igual a 50; por lo tanto, si llamamos:
x al número de adultos y y al número de niños podemos establecer la siguiente
ecuación lineal: el número de adultos más el número de niños debe ser igual a 50,
que en lenguaje matemático se escribe:
x + y = 50.
• Como el costo del pasaje de un adulto es de $850 y el número de adultos lo
identificamos con x, los ingresos por la venta de estos boletos están dados por la
expresión 850x.
• Como el costo del pasaje de un niño es de $500 e identificamos con y al número
de niños, los ingresos obtenidos por la venta de estos boletos los representa la
expresión 500y.
El monto total de ingresos es igual al monto de ingresos por la venta de boletos de
adultos más la venta de boletos de niños e igual a $36 900; luego entonces,
podemos establecer la siguiente ecuación:
850x+500y=36 900
De manera que obtuvimos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
x + y = 50.
850x+500y=36 900
Cada ecuación por separado posee una infinidad de soluciones; sin embargo, sólo
una de ellas interesa, la que da sentido real a la afirmación: aquella que satisface
simultáneamente a ambas.
A continuación resuelve el sistema por el método que se te facilite más.
BLOQUE 8 ECUACIONES LINEALES III
8.1 Representación de relaciones entre magnitudes Introducción al estudio de las ecuaciones lineales con tres variables Para que tengas un panorama general de los conocimientos que adquirirás en el tema de las ecuaciones lineales con tres variables o incógnitas te mencionamos lo siguiente: Son ecuaciones lineales con tres incógnitas las siguientes expresiones:
𝑎) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30 𝑏) − 2𝑎 = 3𝑏 − 5 + 4𝑐 𝑐) 2
5𝑥 +
3
4𝑦 +
1
2𝑧 = 8
Tres ecuaciones lineales con tres variables constituyen un sistema de ecuaciones de 3 x 3, estudiaremos los métodos que permiten resolverlo, lo que significa
determinar los valores de las variables que hacen verdaderas, simultáneamente, a las tres ecuaciones. Explicaremos después lo que representan dichas soluciones desde un punto de vista gráfico. Estos sistemas pueden tener una solución única, un número infinito de ellas o no tener solución. Ecuaciones lineales con tres variables y su solución Una ecuación lineal con tres variables se puede expresar de la siguiente manera:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅
En donde 𝒙, 𝒚, 𝒛 son las variables y 𝑎, 𝒃, 𝒄 y 𝒅 son los coeficientes de las variables y
el llamado término independiente. Una ecuación lineal con tres variables tiene una infinidad de soluciones. Para obtenerlas basta despejar una de las variables que se expresa en términos de las otras dos; al asignar a éstas dos variables valores arbitrarios, se obtiene el correspondiente valor de la que se despejó. Así, al despejar la variable x tenemos:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅 𝒙 =−𝒃𝒚 − 𝒄𝒛 + 𝒅
𝒂
se le asignan valores a «y» y a «z» y se obtiene el correspondiente valor de x. La terna ordenada de valores, expresada como (x, y, z), es solución de la ecuación. Como a «y» y «z» se les puede asignar cualquier valor, la ecuación tiene un número infinito de soluciones. El sistema coordenado rectangular de tres dimensiones Un sistema coordenado rectangular de tres dimensiones se representa como se ilustra en la Figura 8.1.
Observa que está formado por tres rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersectan en el origen (0). Existe una correspondencia entre una terna de valores y un punto ubicado en este sistema coordenado, es decir, para graficar un punto se requiere conocer los valores de x, y, z.
Por ejemplo, el punto A (4, 4, 2) se grafica en el
sistema como se muestra: cuatro unidades sobre el eje x y cuatro unidades sobre el eje y; se trazan paralelas a los ejes; donde se intersectan se trazan dos unidades sobre el eje z y se obtiene la gráfica del punto A Observa que el punto se encuentra en el espacio. Las soluciones de una ecuación lineal con tres variables son muchas ternas de valores, esto es, muchos puntos en el espacio, los cuales forman un plano, por lo que la gráfica de una ecuación lineal de tres variables es un plano. El sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables o incógnitas se puede escribir de la siguiente manera:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 (𝐴)
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
Si por ejemplo los valores x = e, y =f y z = g satisfacen simultáneamente a las tres ecuaciones anteriores, entonces, los valores e, f y g constituyen la solución del sistema. Por lo que la solución de un sistema 3 x 3 es una terna de valores (e,f,g) que tiene la característica de pertenecer simultáneamente a las tres ecuaciones, gráficamente significa que es un punto que pertenece simultáneamente a los tres planos que definen las tres ecuaciones. Gráficamente, la solución de un sistema 3 x 3 es la determinación del punto de intersección de tres planos. A manera de ilustración
Métodos o técnicas para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, conocido como 3 x 3 De los sistemas de ecuaciones 3 x 3 nos interesa conocer cuál es su solución; para ello existen varios métodos algebraicos como el de Gauss, el de sustitución, el de igualación y el de Cramer o de determinantes. En este bloque sólo estudiaremos el de sustitución. Método de sustitución Expresamos un sistema 3 x 3 de la siguiente forma:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1 (1) 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2 (2) 𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3 (3)
El método de sustitución consiste en:
Despejar una variable de cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Sustituir la expresión de la variable que se despejó en las otras dos ecuaciones.
Estas dos ecuaciones sólo tienen dos variables y se pueden resolver utilizando cualquiera de los métodos presentados en el bloque 7.
Ejemplo Utilizando la técnica o método de sustitución, hallar la solución del sistema formado por las ecuaciones:
1) 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
2) 3𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 0
3) 𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧 = 0
Solución: Por resultar más fácil despejamos x de la ecuación 3):
𝑥 = −7 + 7𝑦 − 2𝑧
Al sustituir en la ecuación 1) tenemos:
2 x -4y+2z=0
2 (-7+7y-2z) -4y+2z=0 1’)
Al efectuar operaciones y reducir términos semejantes, obtenemos:
−14 + 14𝑦 − 4𝑧 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
10𝑦 − 2𝑧 = 14 1’)
En este caso, la ecuación resultante puede simplificarse aún más al dividir ambos miembros de la ecuación
por 2. 5𝑦 − 𝑧 = 7 1’)
Al sustituir x en 2) tenemos:
3 x +5y-3z=4
3 (-7+7y-2z) -5y-3z=4 2’)
Al efectuar operaciones y reducir términos semejantes obtenemos:
−21 + 21𝑦 − 6𝑧 + 5𝑦 − 3𝑧 = 4
26𝑦 − 9𝑧 = 25 2’)
Con las ecuaciones 1') y 2') hemos formado un sistema 2 x 2 en las variables «y» y «z»
5𝑦 − 𝑧 = 7 1’)
26𝑦 − 9𝑧 = 25 2’)
Al resolver el sistema 2 x 2 utilizando cualquiera de los métodos conocidos se obtendrá que:
𝑦 = 2 𝑦 𝑧 = 3
Para obtener el valor de x, podemos sustituir los valores de y y z en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Conviene, por facilidad, utilizar el despeje de x que se hizo en la ecuación 3).
𝑥 = −7 + 7𝑦 − 2𝑧
𝑥 = −7 + 7(2) − 2(3)
𝑥 = −7 + 14 − 6
𝑥 = −13 + 14 = 1
Por lo tanto la solución del sistema es:
𝑥 = 1 𝑦 = 2 𝑧 = 3
Comprobación: al sustituir los valores de x, y, z en la ecuación 1):
2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
2(1) − 4(2) + 2(3) = 0
2 − 8 + 6 = 0
0 = 0 Comprueba que las ecuaciones 2) y 3) también se satisfacen.
BLOQUE 9 ECUACIONES CUADRÁTICAS I
9.1 Representación de relaciones entre magnitudes La ecuación cuadrática y su solución La ecuación cuadrática con una variable es una proposición de igualdad que se expresa como:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 y se conoce como la forma general de la ecuación de segundo grado con una variable. Sus componentes son:
x Es la variable
𝒂 Es el coeficiente del término que contiene a la variable elevada al cuadrado o «término cuadrático».
𝒃 Es el coeficiente del término que contiene a la variable elevada a la unidad o «término lineal».
𝒄 Es el término independiente
Las siguientes expresiones son ejemplos de ecuaciones cuadráticas: 𝑎) 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0 𝑏) 3𝑦2 − 5𝑦 = 0 𝑐) 𝑥2 = 1 𝑑) 2(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = 7𝑥 − 2 Es posible que una ecuación cuadrática se exprese inicialmente de diferente manera a la llamada forma general, como en los incisos b), c), y d), y que incluso deban realizarse operaciones previas para identificarla como tal, como en el inciso d). La solución de una ecuación cuadrática es encontrar el valor de la variable que, al sustituirla en la ecuación, ésta se satisface; es decir, que la proposición de igualdad resulte cierta. Cuando se encuentra la solución de una ecuación, se dice que se ha resuelto. Por lo general, una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, pero en algunos casos sólo tiene una o bien ninguna, hablando de los números reales. Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas
Las ecuaciones cuadráticas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se llaman:
a) Completas. Cuando los coeficientes de los términos cuadrático y lineal y el término independiente son todos distintos de cero (a, b, c ≠ 0). Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas:
5𝑢2 − 3𝑢 + 1 = 0 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0
b) Incompletas. Cuando el coeficiente del término lineal, el término independiente o ambos valen cero. Son ejemplos de ecuaciones
2𝑥2 + 3 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0
4𝑥2 − 3𝑥 = 0 donde c = 0
3𝑥2 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0
Resumen de las ecuaciones cuadráticas
Se clasifican en Sus expresiones son: Sus características son
Completas 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0
Incompletas 𝑎𝑥2 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0
𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 0, 𝑐 ≠ 0 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 = 0
Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas Se llaman raíces de una ecuación cuadrática a las soluciones de la misma. La obtención de las raíces es uno de los propósitos de nuestro estudio; a continuación se presentan los tres casos de ecuaciones cuadráticas incompletas y la forma en que se determinan sus soluciones o raíces. Caso 1: Determinación de las raíces o soluciones de ecuaciones cuadráticas de la forma:
𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 La resolución de la ecuación anterior resulta trivial. Basta hacer la siguiente
pregunta: ¿cuál es el número (𝒙) elevado al cuadrado (𝒙𝟐) que al ser multiplicado
por otro distinto de cero, a, da como resultado cero? Desde luego, el único valor de (𝒙) que conduce a esto es el cero, así que:
Cualquier ecuación de la forma 𝑎𝑥2 = 0 tiene como raíz o solución única: 𝑥 = 0
Caso 2: Determinación de las raíces o soluciones de ecuaciones de la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
La solución o raíces de la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 se obtiene al despejar 𝒙
𝒙 = ±√−𝒄
𝒂
𝒙𝟏 = √−𝒄
𝒂 𝒙𝟐 = −√−
𝒄
𝒂 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 −
𝒄
𝒂≥ 𝟎
Por lo general, cualquier ecuación cuadrática tendrá dos soluciones; los subíndices que generalmente acompañan a la literal x ponen de manifiesto lo anterior Caso 3: Determinación de las raíces de ecuaciones de la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
De acuerdo con el axioma de distributividad, la expresión 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 es igual a
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏); o bien al factorizar 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 obtenemos 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) por lo tanto, podemos
escribir la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Como:
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 (𝑨) Razonemos lo siguiente acerca de (A)
1. La expresión situada a la izquierda del signo igual es el producto de los
factores: 𝒙 y (𝒂𝒙 + 𝒃). 2. La ecuación se interpreta como: «el producto de estos factores es igual a
cero». 3. Para que esto se cumpla es necesario que cualquiera de los factores sea
cero, es decir:
𝑥 = 0 ó 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 Cuando x=0 la ecuación se satisface y, por lo tanto, este valor es una raíz o solución. Para que 𝑎𝑥 + 𝑏 sea igual acero se requiere obtener el valor de x, que se encuentra
al despejar x de la expresión:
Por lo tanto, las raíces o soluciones de las ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟎 𝑦 𝒙 = −𝒃
𝒂
Solución de ecuaciones cuadráticas completas
Las ecuaciones cuadráticas completas expresadas como 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 pueden resolverse con distintas técnicas o métodos. En este curso veremos solo el método de fórmula general. Método de fórmula general La ecuación cuadrática tiene tantas aplicaciones que para resolverla en forma práctica se ha obtenido una fórmula.
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
es:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 ó 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑒 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0
Cuyas raíces o soluciones son:
𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 𝑥2 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Como puedes observar, el valor de la variable depende de los coeficientes a y b, y del término independiente c. La fórmula anterior nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática dentro del conjunto de los números reales. Ejemplo
Encontrar las raíces o soluciones de la ecuación 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 utilizando la fórmula general. Solución: Al identificar en la ecuación los valores a, b y c, tenemos: a = 6, b = -1 y c = -2. Sustituyendo estos valores en la fórmula general de la ecuación cuadrática, tenemos:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 ↔ 𝑥 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4(6)(−2)
2(6)
Por lo que
𝑥 =1 ± √1 + 48
12 ↔ 𝑥 =
1 ± √49
12 ↔ 𝑥 =
1 ± 7
12
𝑥1 =1 + 7
12=
8
12=
2
3 𝑦 𝑥2 =
1 − 7
12=
−6
12= −
1
2
Comprobación: sustituyendo los valores obtenidos en 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0, ésta se debe satisfacer.
𝑆𝑖 𝑥 =2
3 6 (
2
3)
2
−2
3− 2 = 0 ↔ 6 (
4
9) −
2
3− 2 = −
1
2 = 0
↔ 8
3−
2
3−
6
3= 0 ↔ 0 = 0
Demuestra que 𝑥 = −1
2 es raíz o solución porque también satisface la ecuación.
Análisis de las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática Las ecuaciones cuadráticas con una variable pueden tener:
dos raíces o soluciones que sean números reales.
una sola raíz o solución que sea un número real.
dos raíces o soluciones que no son números reales; a éstos se les conoce como números imaginarios o complejos.
A partir de la fórmula general de segundo grado o cuadrática se puede determinar qué tipo de solución tiene la ecuación:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
Analicemos la expresión que se encuentra bajo el signo √, esto es 𝑏2 − 4𝑎𝑐, lo que
dependiendo de los valores de a, b y c, puede resultar:
Una cantidad positiva, es decir, una cantidad mayor que cero: 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0
Si esto ocurre, como la raíz cuadrada de un número positivo es un número real, entonces los valores de las raíces o soluciones (x) resultan números reales y serán
dos al considerar los signos (+) y (—) que anteceden al radical√𝑏2 − 4𝑎𝑐
Que sea igual a cero, esto es, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 =0. Si esto ocurre, como la raíz
cuadrada de cero es cero, entonces las raíces o soluciones (x) resultan
números reales, pero solo existe un valor para x ya que al ser 𝑥 =−𝑏±0
2𝑎 ó
bien 𝒙 =−𝒃
𝟐𝒂 , sólo existe un valor.
Una cantidad negativa, es decir, una cantidad menor que cero: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 <𝟎. Si esto ocurre, como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, entonces los valores de las raíces o soluciones (x) resultan números imaginarios y serán dos al considerar los signos (+) y (—) que
anteceden al radical √𝑏2 − 4𝑎𝑐
A la expresión b —4ac se le llama «discriminante de la ecuación», y a lo que hicimos en párrafos anteriores se le conoce como «análisis del discriminante».
¿Cómo construir una ecuación cuadrática cuando se conocen sus raíces o soluciones? A partir de las expresiones (x + a)(x + b) = 0 (ax + b)(cx + d) = 0 Se pueden construir ecuaciones cuadráticas si se conocen las raíces o soluciones. Ejemplo
Las raíces de una ecuación cuadrática son 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 5. ¿Cuál es la ecuación? Solución: Recuerda que para obtener las raíces de la ecuación a partir de: (x + a)(x + b) = 0
Planteamos que 𝑥 + 𝑎 = 0, de donde obtenemos que 𝑥 = −𝑎.
Si sabemos que 𝑥 = 3 , podemos establecer que−𝑎 = 3, de donde 𝑎 = −3.
También planteamos que 𝑥 + 𝑏 = 0, de donde 𝑥 = −𝑏. Si sabemos que 𝑥 = 5 podemos establecer que −𝑏 = 5, de donde 𝑏 = −5 . Al sustituir los valores de a y b en la ecuación:
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = 0 Tenemos
𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 Ésta es la ecuación cuyas raíces o soluciones son 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = 5
Comprobación: Utilizamos la fórmula general en la ecuación que construimos 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 para obtener sus raíces o soluciones:
Así tenemos que 𝑎 = 1, 𝑏 = −8 𝑦 𝑐 = 15
𝑥 =−(−8) ± √(−8)2 − 4(1)(15)
2(1)
𝑥 =8 ± √64 − 60)
2= 𝑥 =
8 ± √4
2
𝑥1 =8 + 2
2=
10
2= 5 𝑥2 =
8 − 2
2=
6
2= 3
BLOQUE 10 ECUACIONES CUADRÁTICAS II
10. Introducción al estudio de la función cuadrática
Recuerda que definimos una función como la asociación entre los elementos de dos
conjuntos, X y Y, en donde a los elementos de X les corresponde un único elemento
de Y. La asociación entre los elementos de ambos conjuntos se da mediante una
«regla de correspondencia», que por lo general es una expresión matemática.
Si la expresión matemática que relaciona o asocia a los elementos de los conjuntos
es:
f(x) = y = mx + b, entonces hablamos de una función lineal.
Si la expresión matemática que relaciona o asocia a los elementos de los conjuntos
es:
f(x) = y = ax2 +bx + c, entonces hablamos de una función cuadrática.
La función f definida por la ecuación f(x) = y = ax + bx + c se llama «función
cuadrática», donde a, b y c son números reales, y 𝒂 ≠ 𝟎 .
El estudio de la función cuadrática lo abordaremos de la siguiente manera:
1.- Construiremos una función cuadrática a partir de un enunciado.
2.- Obtendremos la gráfica de una función cuadrática mediante: - El procedimiento de tabulación. - La determinación de sus intersecciones con los ejes coordenados.
3.- A partir de la gráfica identificaremos a la función cuadrática como una parábola
vertical y determinaremos sus puntos característicos. Asimismo, demostraremos
que la ecuación cuadrática es un caso particular de la función cuadrática y
determinaremos su punto más alto o su punto más bajo, según corresponda a la
posición de la parábola en el plano.
Construyendo una función cuadrática
Ejemplo
Un fabricante de cajas de cartón recibe el pedido de construir cajas abiertas por arriba de diferentes volúmenes, pero con una altura constante de 3 cm. Esta altura se logra cortando cuadrados de 3 cm de lado en cada esquina de las hojas cuadradas de cartón, de las que el fabricante dispone en diferentes longitudes, y doblando las pestañas hacia arriba. ¿Cuál es la expresión matemática de los volúmenes correspondientes a las cajas, construidas con las hojas cuadradas de las diferentes dimensiones de que dispone el fabricante? Planteamiento: Sea la longitud del lado de las hojas de cartón. Los cuadrados de 3 cm a cortar en las hojas se ilustran en (a) de la Figura 10.1.
Solución: Por las líneas punteadas se doblan las pestañas hacia arriba, tal como se ilustra en (b) de la Figura 10.1. Finalmente, se forma la caja de cartón abierta por arriba cuyos lados tienen una longitud de 𝑥 − 6 y 𝑦 3𝑐𝑚 de altura, como en la Figura 10.1(c). El volumen de cada caja es: 𝑉 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 es decir:
𝑉 = 3(𝑥 − 6)(𝑥 − 6) = 3(𝑥3 − 12𝑥 + 36)
𝑉 = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108 Esta expresión matemática permite calcular los volúmenes de las cajas a partir de la longitud (x) de las hojas de cartón, es decir, el volumen está en función de x, por lo que se escribe así:
𝑉(𝑥) = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108 ó bien,
𝑦 = 𝑉(𝑥) = 3𝑥3 − 36𝑥 + 108
Observa que hemos construido una función cuadrática asociando a las «x» que son elementos del conjunto de
las longitudes de las hojas del cartón, con los volúmenes (V), de las cajas que se forman con las hojas.
Construcción de la gráfica de una función cuadrática mediante el proceso de tabulación La gráfica de una función cuadrática en x o cualquier incógnita o variable que se utilice, se obtiene a partir de la ecuación que la define; al suponer distintos valores para x y obtener los correspondientes valores de f(x) o y, determinamos pares ordenados de valores que, representados en un sistema coordenado rectangular de dos dimensiones y unidos mediante una línea continua, dan como resultado la gráfica de la función. Al procedimiento de suponer valores para la incógnita x y obtener f(x) o y usando una tabla con dos columnas para facilitar la identificación de dichos valores y determinar pares ordenados de valores se le llama tabulación, que ya se explicó antes. Ejemplo
Construir la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 usando el procedimiento de tabulación y analizar sus características. Solución: En la Figura 10.3 se muestran los dos conjuntos de números que constituyen los valores de x o dominio de la función y los valores de o rango.
Se elige cualquier valor de x sin ninguna restricción o condición, por lo que se le llama la «variable independiente». Una vez elegido un valor de x, el correspondiente valor de y se obtiene mediante la
ecuación 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2, esto es, su valor depende del de x, por lo que ay se le conoce como «varible dependiente». En la Figura 10.3 se ilustra el valor de x y el correspondiente de mediante flechas de líneas punteadas.
Tabulación
Variable x Se asocia con la
Variable y Y se forman los Pares ordenados
0 Mediante la regla de
correspondencia 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2
-2 𝐴(0, −2) 1 2 𝐵(1, 2) 2 8 𝐶(2, 8) -1 -4 𝐷(−1, −4) -2 -4 𝐸(−2, −4) -3 -2 𝐹(−3, −2) -4 2 𝐺(−4, 2) -5 8 𝐻(−5,8)
Los pares ordenados representados en el sistema coordenado rectangular son puntos que nos permiten obtener la gráfica de la función cuando los unimos mediante una línea continua. Grafica de la Función.
Análisis de la gráfica
Se trata de una parábola vertical que se abre hacia arriba. El punto más bajo se llama vértice y se identifica con la letra Y; de acuerdo con la Figura, las coordenadas de este punto tienen las siguientes características: La abscisa se localiza entre -1 y -2. La ordenada se localiza entre -4, y -5.
Veamos qué ocurre con el valor de cuando x adopta valores entre -1 y -2.
x y Par ordenado
-1.2 -3.16 (-1.2, -3.16) -1.4 -4.24 (-1.4, -4.24) -1.5 -4.25 (-1.5, -4.25) -1.7 -4.21 (-l.7,-4.21) -1.8 -4.16 (-1.8, -4.16)
Para nuestro propósito es suficiente decir que las coordenadas del vértice son:
V(-1.5, -4.25) ¿Es posible obtener las coordenadas del vértice con mayor precisión? Es posible; en geometría analítica se demuestra que una parábola vertical con
Observa que las ordenadas de los puntos D y E son iguales, esto es -4, lo que significa que el punto V tiene su ordenada más abajo y su abscisa comprendida entre los valores de las abscisas de Dy E, esto es, entre -1 y -2
vértice fuera del origen como el caso del ejemplo anterior, tiene la siguiente ecuación que la define:
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) Donde h y k son las coordenadas del vértice, esto es, V(h, k).
Explicado lo anterior vamos a representar la ecuación 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 en una
forma equivalente a (𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) utilizando las propiedades de la igualdad
y los conocimientos adquiridos del tema de factorización. Procedemos a completar un trinomio cuadrado perfecto con los términos en la variable 𝑥 que son 𝑥2 y 3𝑥 ; para esto, expresamos la ecuación de la siguiente manera:
𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 𝑥2 + 3𝑥 = 𝑦 + 2
𝑥2 + 3𝑥 +9
4= 𝑦 + 2 +
9
4
(𝑥 +3
2)2 = (𝑦 +
17
4)
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒂(𝒚 − 𝒌) 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
−ℎ =3
2 → ℎ = −
3
2
−𝑘 =17
4 → 𝑘 = −
17
4
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑽(−𝟑
𝟐, −
𝟏𝟕
𝟒)
¿Cuáles son las intersecciones de la gráfica con el eje x? Observa en la Figura 10.4 que una intersección con este eje se encuentra entre los valores de x = 0 y x = 1 y la otra entre x= —3 y x = —4.
Los valores exactos se obtienen al hacer que en la ecuación y = x2 + 3x - 2, «y» adopte el valor de cero:
𝑥2+ + 3𝑥 − 2 = 0 Si resolvemos la ecuación cuadrática mediante la fórmula general tenemos: a = 1, b = 3 y c = —2.
𝑥 = −(3) ± √(3)2 − 4(1)(−2)
2(1)
𝑥 = −(3) ± √9 + 8
2=
−3 ± √17
2=
−3 ± 4.12
2
𝑥1 =1.12
2= 0.56 𝑥2 =
−7.12
2= −3.56
Se confirma que el valor de x esta entre 0 y 1. Se confirma que el valor de x esta entre -3 y -4 De manera que las intersecciones en el eje x son: (0.56, 0) y (-3.56, 0) Nota que la gráfica sólo intersecta al eje «y» en un solo punto. ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje «y»? En este punto la abscisa vale cero, por lo que al sustituir en la ecuación x = 0 obtenemos el correspondiente valor de la ordenada:
𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑦 = (0)2 + 3(0) − 2
𝑦 = −2 Construcción de la gráfica de la función cuadrática mediante la determinación de sus intersecciones con los ejes coordenados Son muchas las posiciones en que se puede encontrar la gráfica de la función cuadrática, que define una parábola vertical, en un sistema coordenado rectangular de dos dimensiones; por ejemplo, las siguientes:
(a) (b) (c) Figura 10.6 En la Figura 10.6 inciso (a), la gráfica intersecta al eje x en los puntos A y B; estos puntos se llaman ceros o raíces de la función y la característica que los distingue es que su ordenada vale cero; esto es, f(x) = 0 ó y = 0. La gráfica intersecta al eje y en el punto C. El punto D es el más bajo de la gráfica y su ordenada es menor que la ordenada de cualquier otro punto de la misma. Se concluye que se trata de una parábola vertical que abre hacía arriba. En la Figura 10.6 inciso (b), la gráfica intersecta al eje x en los puntos A y B; estos puntos se llaman ceros o raíces de la función y la característica que los distingue es que su ordenada vale cero; esto es, f(x) = 0 ó y = 0. La gráfica intersecta al eje y en el punto C, donde la abscisa vale cero (x = 0). El punto D es el más alto de la gráfica y su ordenada es mayor que la ordenada de cualquier otro punto de la misma. Se concluye que se trata de una parábola vertical que abre hacía abajo. En la Figura 10.6 inciso (c), no existen intersecciones con el eje x, pero sí con el eje y. ¿Qué puedes concluir?, Que no hay raíces de la función, es decir no hay solución en los números reales para la ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática es un caso particular de la función cuadrática cuando se trata de determinar sus intersecciones con el eje x Como los ceros o raíces de la función cuadrática son los puntos donde su gráfica intersecta al eje de las abscisas o eje de las x, y este punto tiene la característica de que su ordenada vale cero, basta con asignar dicho valor a y ó f(x) en la expresión que define a la función para obtener una ecuación cuadrática con una incógnita y que al resolverla nos da los valores de las abscisas asociadas con la
ordenada cero, lo que nos permite obtener pares ordenados que al representarlos en el sistema coordenado rectangular identifican los puntos de intersección con el eje x.
La intersección con el eje «y» se obtiene al sustituir en la ecuación el valor de 𝒙 = 𝟎 para obtener la ordenada del punto de intersección. Ejemplo
Construye la gráfica aproximada de la función cuadrática determinando sus intersecciones con los ejes:
𝑉(𝑥) = 2𝑥2 − 28𝑥 + 80
Solución: Determinación de las intersecciones con el eje x. Al hacer que 𝑦 = 𝑉(𝑥) = 0
Obtenemos 0 = 2𝑥2 − 28𝑥 + 80 que es una ecuación cuadrática o de segundo grado con una sola incógnita.
Al multiplicar por 1/2 toda la ecuación obtenemos la ecuación equivalente:
𝑥2 − 14𝑥 + 40 = 0 Que es más fácil de resolver. Resolviendo la ecuación aplicando la fórmula general:
𝑥 =−14 ± √(−14)2 − 4(1)(40)
2(1)=
−14 ± √196 − 160
2
𝑥 =−14 ± √36)
2=
−14 ± 6
2
𝑥1 = 10 𝑥2 = 4
Éstos son los valores de x asociados con la ordenada 0.
De manera que las intersecciones con el eje x son los pares ordenados:
A(10,0) B(4, 0)
Determinación de la intersección con el eje y.
Si x = 0 obtenemos:
𝑦 = 𝑉(𝑥) = 2(0)2 − 28(0) + 80
𝑦 = 𝑉(𝑥) = 80
De manera que la intersección con el eje y es el par ordenado:
C(0, 80)
Si representamos las intersecciones con los ejes en el sistema coordenado rectangular podemos construir la gráfica aproximada de la función como se muestra en la Figura 10.7
La gráfica de una función algunas veces solo tiene una intersección con el eje x, es decir, en realidad solo lo toca, no lo cruza. Ejemplo Construir la gráfica de la función cuadrática definida por la ecuación 𝑦 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16 mediante la obtención de sus intersecciones con los ejes. Solución: a) Intersección con el eje y: El par ordenado es 𝐴(0, 16)
Si 𝑥 = 0 𝑦 = 4(0)2 − 16(0) + 16 𝑦 = 16
b) Intersección con el eje x: Si 𝑦 = 0 0 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16
4𝑥2 − 16𝑥 + 16 = 0
𝑥 =16 ± √(16)2 − 4(4)(16)
2(4)
𝑥 =16 ± √256 − 256
8
𝑥 =16±0
8=
16
8= 2
El par ordenado es 𝐵(2, 0)
Nota que sólo hay un punto de intersección, lo que significa que la gráfica baja de izquierda a derecha, «toca» al eje x en el punto B y «sube» [Figura 10.8]. ¿Se puede asegurar que B es el punto más bajo de la gráfica? Demuéstralo transformando la ecuación a la forma
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑎(𝑦 − 𝑘) y obteniendo el valor de las coordenadas del vértice. Ejemplo
Construir la gráfica de la función cuadrática definida por la ecuación 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 4y mediante la obtención de sus intersecciones con los ejes.
Solución: a) Intersección con el eje y:
Si 𝑥 = 0 𝑦 = (−0)2 + 4(0) − 4 𝑦 = −4
El par ordenado es 𝐴(0, −4) b) Intersección con el eje x: Si 𝑦 = 0 0 = −𝑥2 + 4𝑥 − 4
−𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0
𝑥 =−4 ± √(4)2 − 4(−1)(−4)
2(−1)
𝑥 =−4 ± √16 − 16
−2
𝑥 =−4±0
−2=
−4
−2= 2
El par ordenado es 𝐵(2, 0)
Nota que sólo hay un punto de intersección; en este caso la gráfica sube de izquierda a derecha, «toca» al eje x y baja a partir del punto B [Figura 10.9].