7.1 FT-z de un Elemento descrito por Ec. De Diferencia

Un SLI-t discreto con una secuencia de entrada r(k) y una

secuencia de salida y(k)

SLI-ty[k]r[k]

(1)

puede ser representado por una ecuacin de diferencias de

orden n, que relaciona la entrada y la salida

m)-k(b...1)-r(kb

r(k)b n)-y(ka...1)-y(kay(k)

m1

0n1

(cont.)

Si se asume que en este sistema las c.i.: y(-n), y(-n+1), ...y(-1)

son cero. Tomando trans. z de la ec.de diferencias (1)

nzz

zz

z

zz

n

1

1

m

m

1

10

a...a1

b...bb

)R(

)Y()G( (3)

Se obtiene la FT-z:

(2) R(z))zb...zbb(Y(z))za...za(1 -mm1

10

-n

n

-1

1

(cont.)

De la definicin de FT, la transformada z de la salida del

sistema ser

)z(R)z(G)z(Y (4)

n

1n

1

n

mn

m

1n

1

n

0

a...zaz

zb...zbzb

)R(

)Y()G(

z

zz

Multiplicando ambos lados de (2) por zn , se obtiene la FT

del sistema discreto dado por la ec. (1)

7.2 FT-z de un Elemento con Muestreador

Para hallar la FT-z, de un SLI-t se deber muestrear la seal

de entrada y la seal de salida.

La T. de Laplace de la salida del sistema

(1)

donde R*(s) es la T. de Laplace de r*(t).

(s)G(s)*RY(s)

SLI-tr(t) r*(t)

T

y(t)

y*(t)

T

(cont.)

A la salida del muestreador ficticio se tiene:

En el dominio de la frecuencia

wn

s0y(0)),jns(Y

T

1)s(*Y

Expresiones similares pueden obtenerse para R*(s)

(2)

Reemplazando (1) en (2)

)jns(G)jns(*R

T

1)s(*Y

ssn

ww

(3)

(cont.)

)s(*R)jns(*Rs

w

)jns(GT

1)s(*R)s(*Y

sn

w

)jns(GT

1)s(*G

sn

w

Aplicando la propiedad de periodicidad:

Definiendo

(4)

y reemplazando en (5) se obtiene

(5)

)s(*G)s(*R)s(*Y

Funcin de Transferencia de Pulso

)s(*R

)s(*Y)s(*G

)z(R

)z(Y)z(G (8)

(7)

La FT-z se obtiene al reemplazar z=eTs en (7)

La FT de pulso es definida como

8

7.3 SISTEMAS DE CONTROL DE LAZO ABIERTO

CON MUESTREO

9

FT DE SIST. DISCRETOS CON ELEMENTOS SEPARADOS POR UN

MUESTREADOR

G2(s)G

1(s)

R(s) R*(s) U*(s)U(s) Y(s)

)s(R)s(G)s(U *1

)s(U)s(G)s(Y *2

Se introduce un muestreador ficticio a la salida del sistema.

(1)

(2)

y en la salida del sistema

Y*(s)

En la salida de G1(s) se tiene

10

(cont.)

)s(R)s(G)s(G)s(Y **

12

)s(R)s(G)s(G)s(Y **

12**

)z(R)z(G)z(G)z(Y12

Tomando la T. de pulso en (1) y sustituyendo en (2)

(3)

Tomando la T. de pulso en ambos lados de esta ltima ec.

Finalmente la transformada-z de (4)

La FT-z de dos elementos lineales separados por un

muestreador es igual al producto de las FT-z de estos

elementos

(4)

de donde

)()()(

)(12 zGzG

zR

zY

11

FT DE SIST. DISCRETOS CON ELEMENTOS

NO SEPARADOS POR UN MUESTREADOR

Dado que G1(s) y G2(s) no estn separados por un

muestreador, estos debern tratarse como un solo elemento

cuando se toma la T. de pulso.

)s(R)s(G)s(G)s(Y *21

G2(s)G

1(s)

R(s) R*(s) U(s) Y(s)

)s(R)s(G)s(G)s(Y **21

*

En la salida del sistema mostrado en la figura se tiene

(5)

Tomando la T. de pulso (6)

Y*(s)

12

(cont.)

Este anlisis puede ser extendido a sistemas con ms de dos

elementos.

)s(R)s(GG)s(Y **21

*

)s(GG)s(GG)s(G)s(G *12

*

21

*

21

)z(R)z(GG)z(Y21

)z(GG)s(G)s(G2121

)z(G)z(G)z(GG2121

Por simplicidad se emplea la notacin:

La ec. (6) se puede escribir como

(7)

Tomando la T-z en (7)

de donde

Nota.- En general

)()(

)(21 zGG

zR

zY

aqu

13

EJEMPLO 1

y resolviendo

R(s) U(s) Y(s)

Y*(s)

s

e Ts1)5.0(

1

ssT=1s

s

sGZzzG

p )()1()( 1

)5.0(

1)1()(

2

1

ssZzzG

606,0606,1

361,0426,0)(

2

zz

zzG

Hallar la FT-z del sistema mostrado en la figura

La FT-z del sistema se halla empleando

as, reemplazando

7.4 SISTEMAS DE CONTROL DE LAZO

CERRADO CON MUESTREO

FT DE SIST. DISCRETOS DE LAZO CERRADO

Para determinar la FT de estos sistemas se puede emplear

Mtodo del Algebra de Bloques

Mtodo del Grfico de Flujo de Seal

La mayora de los sistemas discretos tienen tanto seales

analgicas como digitales y los muestreadores pueden

encontrarse en cualquier punto, asimismo el sistema puede

tener uno o mas lazos.

METODO DEL ALGEBRA DE BLOQUES

1. Establecer las variables de entrada y de salida:

- Elegir las variables de entrada y salida del sistema.

- La entrada de un muestreador es considerada como una

salida del sistema.

- La salida de un muestreador es considerada como una

entrada del sistema.

- Cualquier otra variable (no establecida en los pasos

anteriores) se considerar como variable de salida. 2. Escribir las ecuaciones de causa - efecto entre las entradas y

salidas del sistema. 3. Manipular las ecuaciones de causa - efecto a fin de obtener

la FT-z.

Ejemplo 1. FT de un S. Discreto con un Muestreador en

la Rama Directa

se introduce un muestreador ficticio a la salida, as se tiene

G(s)

H(s)

R(s) E*(s)E(s) Y(s)- T

En el sistema de la figura

Variables de salida: Y(s), Y*(s), E(s)

Variables de entrada: R(s), E*(s)

Y*(s)T

(cont.)

Tomando la T-z en esta ltima ecuacin obtenemos

)s(E)s(H)s(G)s(R)s(E *

(s)G(s)EY(s) *

)s(GH1

)s(G

)s(R

)s(Y*

*

*

*

)z(GH1

)z(G

)z(R

)z(Y

Ecuaciones de entrada - salida

(1)

(2)

Tomando la T. de pulso en las ec. (1) y (2), luego operando