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Prof. L. Marconi Controlli Automatici T

Parte 3, 1

Controlli Automatici T Regolatori PID

Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: [email protected] URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

Parte 10bis Aggiornamento: Settembre 2010


Parte 3, 2

Regolatori molto diffusi a livello industriale per la loro versatilità e il loro facile progetto mediante regole empiriche

Tempo derivativo

Tempo integrale

Posizione zeri

Realizzazione “fisicamente realizzabile”

PID ideale

Polo di fisica realizzabilità ad alta frequenza


Parte 3, 3

Dallo scenario B abbiamo visto che tipiche strutture di controllo risultanti possono essere del tipo

PI)

PID)

Formulazione standard:

Formulazione standard:


Parte 3, 4

Regolatori PI: regole di taratura

Dal diagramma di Bode si nota che complessivamente l’effetto utile del regolatore PI e’ quello di attenuare ad alta frequenza di una quantità che può essere scelta ad arbitrio ritardando l’intervento dello zero e di non sfasare (sfasamento negativo trascurabile a frequenze elevate)

Livello di attenuazione dipendente da e

Il PI si comporta complessivamente come una rete a ritardo


Parte 3, 5

La taratura, nell’ottica delle reti correttrici, può essere eseguita calibrando l’intervento dello zero (che risulta essere il regolatore dinamico) al fine di imporre un certo margine di fase e una certa pulsazione di attraversamento per il sistema esteso

Caratterizzazione dell’effetto dello zero:

Entità dell’amplificazione

Entità dello sfasamento positivo

Regolatori PI


Parte 3, 6 Regolatori PI

grad

i

Caratterizzazione dell’effetto dello zero


Parte 3, 7 Tuning del regolatore PI

Problema: Dato il sistema esteso , una pulsazione di attraversamento desiderata e il margine di fase desiderato determinare la costante dello zero e il guadagno

Algoritmo:

Step 1: Leggere e quindi l’anticipo di fase necessario per soddisfare la specifica su

Posizionamento dello zero affinché alla pulsazione anticipi di

Step 2: Dal diagramma identificare il valore di che assicura l’anticipo di fase necessario e scegliere


Parte 3, 8 ….Step 2

grad

i

Attenuazione necessaria per attraversare in

Step 3: Dal diagramma identificare il valore di amplificazione introdotto dallo zero per e scegliere il valore di come


Parte 3, 9 Tuning PI: Esempio

specifiche

Step 1

Step 2

Step 3


Parte 3, 10 Tuning PI: Esempio

Risposta al gradino del sistema in retroazione

Risposta al gradino del sistema del secondo ordine con


Parte 3, 11 Tuning del PI: effetti collaterali zero

La calibrazione del PI piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:

Zero-polo del PI

1)  La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante

possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi

2)  Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)

possibili code di assestamento

Esempio precedente

Poli in retro


Parte 3, 12 Tuning del PI: zero in cancellazione

Per ovviare agli inconvenienti prima detti, un rimedio è quello di posizionare lo zero del PI in cancellazione con un polo del sistema a frequenze inferiori rispetto a

Una volta fissato lo zero non è più possibile assegnare arbitrariamente e con l’unico grado di libertà rimasto

Il guadagno statico può essere progettato:

•  o per assegnare la pulsazione di attraversamento (non imponendo quindi di il margine di fase)

•  o per assegnare il margine di fase (non imponendo quindi la pulsazione di attraversamento)


Parte 3, 13 … Tuning del PI: zero in cancellazione

Algoritmo

Step 1 Fissare in modo che lo zero del PI cancelli un polo a bassa frequenza del sistema

Step 2 Identificare la frequenza per cui presenta una fase compatibile con ovvero

Imposizione del margine di fase

e fissare

Imposizione della pulsazione di attraversamento

Step 2 data fissare


Parte 3, 14 … Tuning del PI: zero in cancellazione

Esempio precedente

specifiche

cancellazione

Imposizione pulsazione att.

Imposizione margine di fase


Parte 3, 15


Risposta al gradino del sistema in retroazione

Con assegnamento di

Con assegnamento di

… Tuning del PI: zero in cancellazione


Parte 3, 16 Regolatori PID

Rispetto ai PI presentano uno zero aggiuntivo (e un polo di realizzabilità fisica). Possono in particolare essere visti come:

Significato azione derivativa: introdurre azione di controllo che sia “anticipativa” (reazione a fronte di cambiamenti dell’errore)

PI Rete anticipatrice

L’obiettivo della rete anticipatrice (ovvero dello zero aggiuntivo) è quello di migliorare il margine di fase (allargando anche la banda)


Parte 3, 17

Tuning PID

Problema: Dato il sistema esteso , una pulsazione di attraversamento desiderata e il margine di fase desiderato determinare le costanti degli zeri, la costante del polo e il guadagno

L’algoritmo di tuning segue il paradigma precedente (non unico modo di procedere!) :

Step 1: Leggere e quindi l’anticipo di fase necessario per soddisfare la specifica su

Step 2: identificare di valori di tali che

I due zeri posizionati al fine di dare l’anticipo richiesto alla frequenza


Parte 3, 18 …Tuning PID

Step 3: Dal diagramma identificare i valori di amplificazione introdotti dagli zeri e scegliere il valore di come

Step 4: Posizionare il polo una decade oltre la pulsazione

Questa scelta garantisce che l’attenuazione e lo sfasamento negativo introdotti dal polo sono trascurabili per

Scelta che garantisce l’attraversamento in


Parte 3, 19 Esempio

specifiche

Step 1

Step 3

Step 2

Una possibile scelta, seguita in questo esempio, è di prendere i due zeri uguali


Parte 3, 20 ...Esempio


Risposta del sistema in retro

I due zeri del PID (che coincidono con due zeri del sistema in retro) sono la causa della grande sovraelongazione. Un rimedio a questo potrebbe essere quello di posizionare uno zero in cancellazione


Parte 3, 21 Esempio tuning PID con cancellazione

cancellazione

Step 1

specifiche

Step 2

Step 3


Parte 3, 22 ...Esempio


Risposta del sistema in retro


Parte 3, 23

Metodi di taratura mediante tabella

Sono metodi di taratura “convenzionali” spesso adottati in pratica per tarare strutture di controllo PID per sistemi industriali con poli reali. Esistono due diverse “filosofie” di taratura che si differenziano dal tipo di descrizione del sistema controllato

•  Metodi ad anello aperto

Si basano sull’approssimazione del sistema controllato con un sistema del primo ordine con ritardo

•  Metodi ad anello chiuso

Si basano sulla conoscenza, dedotta per via sperimentale, del margine di ampiezza del sistema e della frequenza caratteristica dove


Parte 3, 24

Taratura ad anello aperto

Si suppone che il sistema controllato sia descritto da un sistema del primo ordine con ritardo del tipo

che potrebbe essere dedotto sperimentalmente valutando la risposta al gradino. Esistono poi tabelle, dedotte adottando criteri diversi, dalla cui lettura è possibile trovare i valori delle tre azioni (proporzionale, integrale e derivativa) come funzione dei tre parametri

Tipologie di tabelle:

•  Ziegler-Nichols •  Cohen-Coon •  3C •  Criteri di ottimalità

Al fine di imporre certe caratteristiche della risposta del sistema in retro (sovraelongazione massima, rapporto tra due picchi di sovraelongazione, ecc.)


Parte 3, 25

Tabelle taratura ad anello aperto


Parte 3, 26 Criteri di ottimalità

Identificazione dei parametri “ottimi” per gli indici:

•  IAE (Integral Absolute Error)

•  ITAE (Integral Time Absolute Error)

Errore in retro a fronte di ingresso a gradino


Parte 3, 27

Plant Risposta sperimentale

Tangente al p.to di flesso

Deduzione sperimentale del modello 1o ordine

•  Metodo con calcolo del punto di flesso

Problema: Come ricavare i parametri , ovvero il modello del primo ordine equivalente, a partire da una risposta al gradino sperimentale?

1.  Guadagno statico dall’andamento asintotico

2.  Ritardo e costante di tempo dal calcolo della tangente nel punto di flesso della risposta sperimentale


Parte 3, 28

Plant

•  Metodo delle aree (potenzialmente meno sensibile a rumori)

….Deduzione sperimentale del modello 1o ordine

Dalla analisi di un sistema del primo ordine con ritardo si ha che

Risposta sperimentale

Dall’analisi sperimentale della risposta al gradino è quindi possibile ricavarsi i parametri seguendo l’algoritmo:

1.  Guadagno statico dall’andamento asintotico

2. 

3. 


Parte 3, 29

Taratura ad anello chiuso

Plant

La dinamica del sistema controllato viene stimata attraverso degli esperimenti sul sistema in retro con guadagno

Si assume che esista un valore di tale che il sistema in retro divenga semplicemente stabile

Attraverso questo esperimento si stima:

•  Margine di ampiezza del plant:

•  Pulsazione del plant ( ):


Parte 3, 30

Tabelle taratura ad anello chiuso

PI

PD

PID

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